Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 22 (всего у книги 35 страниц)

Однако, вообще говоря, туманности не прозрачны для излучения в частотах основной серии. Это сильно усложняет расчёт поля излучения в указанных частотах, так как при этом приходится применять уравнение переноса излучения. Мы сейчас сделаем расчёт поля излучения в частотах лаймановской серии водорода. При этом для простоты примем, что туманность ограничена двумя концентрическими сферами с радиусами 𝑟₁ и 𝑟₂, а в центре этих сфер находится ядро туманности. Толщину туманности будем считать малой по сравнению с её расстоянием от ядра (т.е. 𝑟₂-𝑟₁≪𝑟₁). В таком случае туманность может считаться состоящей из плоскопараллельных слоёв, а коэффициент дилюции излучения – постоянным.

Рассмотрим сначала поле излучения в лаймановской континууме. При поглощении L_𝑐-квантов, приходящих от звезды в туманность, происходит ионизация водородных атомов, а при последующих рекомбинациях на первый уровень L_𝑐-кванты излучаются. Такие процессы поглощения и излучения L_𝑐-квантов могут продолжаться и дальше. Следовательно, в туманности происходит диффузия L_𝑐-излучения. При этом вероятность «выживания» кванта при элементарном акте рассеяния равна отношению числа рекомбинаций на первый уровень к числу рекомбинаций на все уровни.

Чтобы определить плотность диффузного L_𝑐-излучения, мы должны написать уравнение переноса излучения и уравнение лучистого равновесия. В данном случае уравнение лучистого равновесия должно выражать собой тот факт, что в каждом элементарном объёме туманности число ионизаций равно числу рекомбинаций. Следовательно, мы имеем

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

𝑛₁

∞

∫

ν₁

𝑘₁

_ν

𝑑ν

ℎν

∫

(

𝐼

_ν

𝐼

_ν

⁰

)

𝑑ω

(27.1)

где 𝐼_ν – интенсивность диффузного излучения и 𝐼_ν⁰ – интенсивность излучения, приходящего в данное место туманности непосредственно от звезды. Ранее (в § 23) мы писали подобное уравнение без учёта диффузного излучения.

Обозначим через 𝑝 долю рекомбинаций на первый уровень. Кроме того, примем во внимание, что для водорода коэффициент поглощения на основании формулы (5.6) меняется с частотой по закону

𝑘₁

_ν

𝑘₁

_ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

(27.2)

Тогда вместо уравнения (27.1) получаем

𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶₁

𝑛₁𝑘₁_ν₁

𝑝

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

𝑑ν

ℎν

∫

(

𝐼

_ν

𝐼

_ν

⁰

)

𝑑ω

(27.3)

В случае туманности, состоящей из плоскопараллельных слоёв, уравнение переноса излучения имеет вид

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

𝑛₁𝑘₁

_ν

𝐼

_ν

ε₁

_ν

(27.4)

где ε₁_ν – объёмный коэффициент излучения при рекомбинациях на первый уровень. Как следует из формулы (26.2), величина ε₁_ν может быть представлена в виде

ε₁

_ν

ε₁

_ν₁

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎ(ν-ν₁)

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

(27.5)

Пусть τ – оптическое расстояние какого-либо места в туманности от её внутренней границы в частоте ν₁ т.е.

𝑟

∫

𝑟₁

𝑛₁

𝑘₁

_ν₁

𝑑𝑟

(27.6)

При помощи формул (27.2), (27.5) и (27.6) вместо уравнения (27.4) находим

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

𝐼

_ν

ε₁_ν₁

𝑛₁𝑘₁_ν₁

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎ(ν-ν₁)

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

(27.7)

Очевидно, что величины 𝐶₁ и ε₁_ν₁ должны быть связаны между собой. Подстановка (27.5) в (26.3) даёт

𝑛

_𝑒

𝑛⁺𝐶₁

4π

ε₁_ν₁

ℎ

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

(27.8)

Введём обозначение

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶₁

4π𝑛₁𝑘₁_ν₁

(27.9)

Тогда уравнения (27.7) и (27.3) принимают вид

cos θ

𝑑𝐼

_ν

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞

⎟

⎠

𝐼

_ν

ℎ

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν

⎞

⎟

⎠

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑑τ

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ₁

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_𝑒

𝑘𝑇

_𝑒

(27.10)

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑝

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

𝑑ν

ℎν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

(27.11)

где

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

𝑝

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

𝑑ν

ℎν

∫

𝐼

_ν

⁰

𝑑ω

4π

(27.12)

Интенсивность излучения, приходящего от звезды в данное место туманности, очевидно, равна

𝐼

_ν

⁰

𝐼

_ν

⃰

exp

⎡

⎢

⎣

–τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

(27.13)

где 𝐼_ν⃰ – интенсивность излучения, выходящего из атмосферы звезды. Поэтому находим

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

𝑝𝑊

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

𝐼

_ν

⃰

exp

⎡

⎢

⎣

–τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞³

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑ν

ℎν

(27.14)

где 𝑊 – коэффициент дилюции излучения.

Таким образом, для определения двух искомых величин 𝐼_ν(τ,θ) и 𝑆_𝑐(τ) мы получили два уравнения, (27.10) и (27.11). К этим уравнениям надо добавить ещё граничные условия, которые в данном случае имеют вид

𝐼

_ν

(0,θ)

𝐼

_ν

(0,π-θ)

𝐼

_ν

(τ₀,θ)

при

(27.15)

Рис. 34

Первое из этих условий, имеющее место на внутренней границе туманности (при τ=0), означает, что интенсивность излучения, выходящего из туманности, равна интенсивности излучения, входящего в туманность. Это происходит потому, что излучение, входящее в туманность в каком-либо месте на внутренней границе под углом θ к нормали, есть не что иное, как излучение, выходящее из туманности под углом π-θ на противоположной стороне (рис. 34). Второе же условие показывает, что на внешней границе туманности (при τ=τ₀) нет излучения, идущего внутрь. Из уравнения (27.10) при граничных условиях (27.15) можно найти выражение для интенсивности излучения 𝐼_ν(τ,θ) через функцию 𝑆_𝑐(τ). Подставляя это выражение в уравнение (27.11), получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆_𝑐(τ):

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑝

τ₀

∫

⎡

⎣

𝐾(|τ-τ'|)

𝐾(τ-τ')

⎤

⎦

𝑆

_𝑐

(τ')

𝑑τ'

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

(27.16)

где

𝐾(τ)

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞

⎟

⎠

𝐸₁

⎡

⎢

⎣ τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦ exp

⎛

⎜

⎝ -

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑑ν

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

(27.17)

Уравнение (27.16) может быть изучено методами, изложенными в § 3. В частности, при τ₀ можно получить точное решение этого уравнения в явном виде.

Для упрощения рассматриваемой задачи иногда вводят средний коэффициент поглощения для всего лаймановского континуума и под τ понимают соответствующее ему оптическое расстояние. Как легко видеть, тогда вместо уравнения (27.16) имеем

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑝

τ₀

∫

⎡

⎣

𝐸₁|τ-τ'|

𝐸₁(τ-τ')

⎤

⎦

𝑆

_𝑐

(τ')

𝑑τ'

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

(27.18)

Что же касается величины 𝑆_𝑐⁰(τ), то её можно представить в виде

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

𝑝

𝑁_𝑐

4π

𝑒

^-τ

(27.19)

где 𝑁_𝑐 – число квантов лаймановского континуума, падающих от звезды на 1 см² внутренней границы туманности за 1 с.

При τ₀=∞ точное решение уравнения (27.18), полученное указанным выше методом, имеет вид

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑝

𝑁_𝑐

4π

⎧

⎨

⎩

𝑒

^-τ

∞

∫

Φ(τ')

⎡

⎣

𝑒

^-|τ-τ'|

𝑒

^-(τ+τ')

⎤

⎦

𝑑τ'

⎫

⎬

⎭

(27.20)

где

Φ(τ)

4𝑝

∞

∫

𝑥𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

(𝑝π)²

⎛

⎜

⎝

2𝑥

𝑝 ln

𝑥-1

⎞

⎟

⎠

𝑥+1

2𝑘(1-𝑘²)

𝑒

^-𝑘τ

𝑝+𝑘²-1

(27.21)

и 𝑘 определяется из уравнения

𝑝

2𝑘

1+𝑘

1-𝑘

(27.22)

В таблице 42 приведены значения величины 4π𝑆_𝑐(τ)/𝑝 вычисленные при помощи формулы (27.20).

Таблица 42

Значения величины 4π𝑆_𝑐(τ)/𝑝

𝑝

0,0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0

1,0

1,13

1,20

1,30

1,42

1,61

1,93

2,68

0,2

0,82

0,97

1,04

1,14

1,27

1,46

1,79

2,54

0,4

0,67

0,81

0,87

0,96

1,09

1,27

1,59

2,32

0,6

0,55

0,67

0,71

0,81

0,92

1,10

1,40

2,11

0,8

0,45

0,55

0,60

0,68

0,78

0,94

1,23

1,91

1,0

0,37

0,46

0,50

0,57

0,66

0,81

1,08

1,73

1,5

0,22

0,28

0,32

0,36

0,43

0,55

0,76

1,34

2,0

0,14

0,17

0,20

0,23

0,28

0,37

0,54

1,03

2,5

0,08

0,11

0,12

0,15

0,18

0,25

0,38

0,80

3,0

0,05

0,06

0,08

0,09

0,12

0,16

0,27

0,62

При τ≫1 из формулы (27.20) можно получить следующее асимптотическое выражение для функции 𝑆_𝑐(τ):

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑁_𝑐

2π

𝑘𝑝

𝑝+𝑘²-1

𝑒

^-𝑘τ

(27.23)

Значения величины 𝑘, найденные из уравнения (27.22), приведены в таблице:

𝑝

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

𝑘

1,00

0,96

0,91

0,82

0,70

0,52

Из таблицы 42 видно, что роль диффузного излучения существенно зависит от величины параметра 𝑝. В случае диффузии L_𝑐-излучения этот параметр равен

𝑝

𝐶₁(𝑇

_𝑒

)

⎛

⎜

⎝

∞

∫

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

⎞⁻¹

⎟

⎠

(27.24)

Вычисления по формуле (27.24) дают:

𝑇

_𝑒

, K

5 000

10 000

20 000

50 000

𝑝

0,39

0,44

0,49

0,57

Как мы знаем, электронные температуры туманностей порядка 10 000 K. Поэтому из табл. 42 следует, что в туманностях содержится примерно такое же число квантов диффузного L_𝑐-излучения, как и число L_𝑐-квантов, приходящих непосредственно от звезды. Таким образом, надо признать, что роль диффузного L_𝑐-излучения в туманностях не очень велика (даже в рассмотренном нами случае τ₀=∞, когда она максимальна).

Такой результат объясняется тем, что доля захватов на первый уровень, т.е. величина 𝑝, сравнительно мала. Если бы 𝑝 было близко к единице, то диффузное излучение преобладало бы над прямым. Особенно это было бы заметным при τ≫1 вследствие малости величины 𝑘.

После определения функции 𝑆_𝑐(τ) мы можем, пользуясь уравнением (27.10), найти и величину 𝐼_ν(τ,θ), т.е. интенсивность диффузного L_𝑐-излучения в любом месте туманности. Как видно из уравнения (27.10), распределение диффузного L_𝑐-излучения по частотам сильно зависит от электронной температуры 𝑇_𝑒.

В каждом месте туманности диффузное L_𝑐-излучение добавляется к L_𝑐-излучению, приходящему непосредственно от звезды. Интенсивность приходящего от звезды излучения даётся формулой (27.13). Очевидно, что спектральный состав суммарного L_𝑐-излучения (т.е. диффузного и приходящего от звезды) должен существенно меняться при переходе от одного места туманности к другому.

2. Поле L_α-излучения в неподвижной туманности.

Оптические толщины туманностей в линиях серии Лаймана гораздо больше, чем в лаймановской континууме. Даже в тех случаях, когда туманность прозрачна для L_𝑐-излучения, она может быть в высокой степени непрозрачной для излучения в лаймановских линиях. Поэтому для определения плотности излучения в лаймановских линиях необходимо рассматривать диффузию излучения в этих линиях (см. [8] и [9]).

Очевидно, что плотность излучения в высоких членах серии Лаймана (начиная с L_β) не может быть большой. Объясняется это тем, что из высоких состояний (начиная с третьего) атом может совершить спонтанный переход не только в первое состояние, но и в другие. Поэтому кванты в рассматриваемых линиях после небольшого числа рассеяний превращаются в другие кванты (в частности, в кванты L_α). Иначе обстоит дело с излучением в линии L_α. Из второго состояния атом совершает спонтанный переход только в первое состояние с излучением L_α-кванта, а переходы из него под действием излучения и столкновений происходят крайне редко (в условиях туманностей они редки даже из метастабильных состояний). Поэтому возникший L_α-квант не может исчезнуть в туманности. Вследствие же огромной оптической толщины туманности в линии L_α этот квант выходит из туманности наружу лишь после большого числа рассеяний. Это приводит к весьма большой плотности L_α-излучения в туманностях.

При рассмотрении диффузии L_α-излучения в туманностях мы примем такую же геометрическую модель туманности, как и выше (см. рис. 34). Уравнение переноса излучения в любой частоте ν внутри линии может быть записано в виде

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

𝑛₁

𝑘

_ν

𝐼

_ν

(27.25)

где 𝑘_ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, и ε_ν – объёмный коэффициент излучения.

Уравнение лучистого равновесия для L_α-излучения может быть получено из уравнения стационарности для второго уровня атома водорода. Как мы знаем, атомы водорода попадают во второе состояние в результате поглощения L_𝑐-квантов и последующих рекомбинаций. При этом каждая рекомбинация на высокий уровень (начиная со второго) приводит к попаданию атома во второе состояние. Поэтому в качестве уравнения стационарности для этого состояния мы имеем

𝑛₂𝐴₂₁

𝑛₁𝐵₁₂ρ₁₂

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

(27.26)

Очевидно, что

𝑛₂𝐴₂₁

4π

ℎν₁₂

∫

_ν

𝑑ν

(27.27)

𝐵₁₂ρ₁₂

ℎν₁₂

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

(27.28)

где ℎν₁₂ – энергия L_α-кванта. Кроме того, используя формулу (27.9), получаем

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

1-𝑝

𝑝

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶₁

4π

1-𝑝

𝑝

𝑛₁

𝑘₁

_ν₁

𝑆

_𝑐

(τ)

(27.29)

где функция 𝑆_𝑐(τ) определяется уравнением (27.16). Подстановка трёх последних соотношений в уравнение (27.26) даёт

∫

_ν

𝑑ν

𝑛₁

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

1-𝑝

𝑝

𝑛₁

𝑘₁

_ν₁

𝑆

_𝑐

(τ)

ℎν₁₂

(27.30)

Как было выяснено в теории образования линий поглощения (в § 11), диффузия излучения в спектральной линии сопровождается перераспределением излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. При этом в качестве хорошего приближения к действительности можно принять предположение о полном перераспределении излучения по частотам (или о полностью некогерентном рассеянии), при котором коэффициент излучения ε_ν пропорционален коэффициенту поглощения 𝑘_ν. Сделав такое предположение, мы можем представить величину ε_ν в виде

_ν

𝑛₁

𝑘

_ν

𝑆

(27.31)

где 𝑆 не зависит от частоты.

При выполнении соотношения (27.31) уравнение переноса излучения (27.25) и уравнение лучистого равновесия (27.30) могут быть переписаны так:

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

𝑛₁

𝑘

_ν

(𝑆-𝐼

_ν

)

(27.32)

𝑆

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

1-𝑝

𝑝

𝑘₁

_ν₁

𝑆

_𝑐

ℎν₁₂

(27.33)

Обозначим через 𝑘₀ коэффициент поглощения в центре линии L_α и введём оптические расстояния в туманности:

𝑡

𝑟

∫

𝑟₁

𝑛₁

𝑘₀

𝑑𝑟

𝑡₀

𝑟₂

∫

𝑟₁

𝑛₁

𝑘₀

𝑑𝑟

(27.34)

Кроме того, представим коэффициент поглощения в виде

𝑘

_ν

𝑘₀

α(𝑥)

(27.35)

где 𝑥 – безразмерная частота, представляющая собой отношение расстояния от центра линии к доплеровской полуширине линии, т.е.

𝑥

ν-ν₀

Δν_𝐷

(27.36)

При принятых обозначениях вместо уравнений (27.32) и (27.33) имеем

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

α(𝑥)

(𝑆-𝐼

_ν

)

(27.37)

𝑆

𝐴

+∞

∫

–∞

α(𝑥)

𝑑𝑥

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

1-𝑝

𝑝

𝐴𝑞ℎν₁₂

Δν_𝐷

𝑆

_𝑐

(τ)

(27.38)

где

𝑞

𝑘₁_ν₁

𝑘₀

𝐴

+∞

∫

–∞

α(𝑥)

𝑑𝑥

(27.39)

Уравнения (27.37) и (27.38) должны быть решены при граничных условиях, аналогичных (27.15). Пользуясь этими условиями, из указанных уравнений получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡):

𝑆(𝑡)

𝑡₀

∫

⎡

⎣

𝐾(|𝑡-𝑡'|)

𝐾(𝑡+𝑡')

⎤

⎦

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑆₀(𝑡)

(27.40)

где

𝐾(𝑡)

𝐴

+∞

∫

–∞

α²(𝑥)

𝐸₁[𝑡α(𝑥)]

𝑑𝑥

(27.41)

𝑆₀(𝑡)

1-𝑝

𝑝

𝐴𝑞ℎν₁₂

Δν_𝐷

𝑆

_𝑐

(τ)

(27.42)

Заметим, что между оптическими расстояниями 𝑡 и τ существует очевидная связь:

𝑞𝑡

τ₀

𝑞𝑡₀

(27.43)

Как показывают вычисления, 𝑞≈10⁻⁴. Поэтому мы видим, что при оптической толщине туманности сразу за пределом серии Лаймана порядка единицы (такие значения τ₀ следует принять для зоны 𝙷 II) оптическая толщина туманности в центре линии L_α будет порядка десятка тысяч.

Нахождение функции 𝑆(𝑡) из уравнения (27.40) полностью определяет поле L_α-излучения в туманности, так как после этого из уравнения (27.37) может быть найдена и интенсивность излучения 𝐼_ν(𝑡,θ). Через функцию 𝑆(𝑡) можно выразить и другие физические величины, связанные с L_α-излучением. Например, из формул (27.27) и (27.31) мы получаем следующее выражение для степени возбуждения второго уровня атома водорода:

𝑛₂

𝑛₁

𝑔₂

𝑔₁

𝑐²

2ℎν₁₂³

𝑆(𝑡)

(27.44)

Здесь мы воспользовались также формулами (8.12) и (8.5).

Ядро интегрального уравнения (27.40) выражается через функцию 𝐾(𝑡), которая в свою очередь зависит от величины α(𝑥). Поэтому и искомая функция 𝑆(𝑡) будет существенно зависеть от величины α(𝑥), характеризующей контур коэффициента поглощения.

Первоначально в теории диффузии L_α-излучения в туманностях принимался прямоугольный контур коэффициента поглощения, т.е. считалось, что α(𝑥)=1 при |𝑥|≤1 и α(𝑥)=0 при |𝑥|>1. В таком случае уравнение (27.40) имеет вид

𝑆(𝑡)

𝑡₀

∫

⎡

⎣

𝐸₁|𝑡-𝑡'|

𝐸₁(𝑡+𝑡')

⎤

⎦

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑆₀(𝑡)

(27.45)

Здесь мы не будем заниматься решением этого уравнения, а только укажем, что в результате получаются очень большие значения для плотности L_α-излучения в туманности. Это значит, что L_α-квант испытывает в туманности очень большое число рассеяний. Именно, среднее число рассеяний оказывается порядка квадрата оптической толщины туманности в центре линии L_α, т.е.

𝑁

≈

𝑡₀²

(27.46)

Следовательно, при 𝑡₀≈10⁴ будет 𝑁≈10⁸.

Однако предположение о прямоугольном контуре коэффициента поглощения является весьма грубым. В действительности коэффициент поглощения максимален в центре линии и постепенно убывает с удалением от него. Вследствие этого диффузия излучения в спектральной линии обладает следующей особенностью. Каждый квант, поглощённый в каком-либо месте туманности, может быть затем излучён на любом расстоянии от центра линии (так как ε_ν~𝑘_ν). В частности, он может быть излучён с такой частотой, что оптическая толщина туманности в этой частоте будет по порядку меньше единицы (т.е. 𝑡_ν⁰=𝑡₀α(𝑥)). Такой квант беспрепятственно выйдет из туманности. Следовательно, для каждого кванта, поглощённого в любом месте туманности, имеется определённая вероятность выйти из туманности наружу сразу после переизлучения. Очевидно, что такой процесс не может происходить в случае прямоугольного контура коэффициента поглощения. В этом случае квант выходит из туманности наружу только после длительной диффузии, подойдя близко к границе туманности.

Указанная особенность диффузии излучения в спектральной линии позволяет легко получить приближённое решение уравнения (27.40). Из сказанного выше следует, что L_α-квант, возникший в каком-либо месте туманности, выходит из неё наружу после диффузии в сравнительно небольшой области. Следовательно, плотность L_α-излучения в данном месте мало зависит от плотности излучения в далёких от него частях туманности. Поэтому в уравнении (27.40) мы можем приближённо вынести за знак интеграла значение функции 𝑆(𝑡') при 𝑡'=𝑡. Сделав это, получаем

𝑆(𝑡)

⎡

⎢

⎣

∞

∫

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

∞

∫

𝑡₀-𝑡

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

∞

∫

𝑡₀+𝑡

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

⎤

⎥

⎦

𝑆₀(𝑡)

(27.47)

Но из (27.41) следует

∞

∫

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

(27.48)

Поэтому из (27.47) находим

𝑆(𝑡)

2𝑆₀(𝑡)

𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)

(27.49)

где

𝐿(𝑡)

∞

∫

𝑡

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

𝐴

+∞

∫

–∞

α²(𝑥)

𝐸₂[α(𝑥)𝑡]

𝑑𝑥

(27.50)

𝐸₂𝑡 – вторая интегрально-показательная функция.

Легко видеть, что величина ½[𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)] представляет собой долю L_α-квантов, выходящих из туманности, из общего числа L_α-квантов, излучаемых на оптическом расстоянии 𝑡 от внутренней границы туманности. Следовательно, соотношение (27.49) выражает равенство между собой числа L_α-квантов, возникающих в данном объёме из 𝐿_𝑐-излучения, и числа L_α-квантов, излучаемых этим объёмом и покидающих туманность.

Мы можем считать, что отношение 𝑆(𝑡)/𝑆₀(𝑡) приближённо определяет собой среднее число рассеяний, испытываемых L_α-квантом, возникшим на оптическом расстоянии 𝑡. Из формулы (27.49) следует, что это число приближённо равно

𝑁(𝑡)

𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)

(27.51)

Формулу (27.51) легко понять и на основании физического смысла величины 𝐿(𝑡).

Рассмотрим в виде примера случай, когда коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е. α(𝑥)=𝑒^-𝑥². В этом случае

𝐾(𝑡)

√π

∞

∫

α(𝑥)=𝑒

^-2𝑥²

𝐸₁(𝑡𝑒

^-𝑥²

)

𝑑𝑥

(27.52)

𝐿(𝑡)

√π

∞

∫

α(𝑥)=𝑒

^-𝑥²

𝐸₂(𝑡𝑒

^-𝑥²

)

𝑑𝑥

(27.53)

При 𝑡≫1 из (27.52) и (27.53) вытекают следующие асимптотические формулы:

𝐾(𝑡)

2√π 𝑡² √ln 𝑡

(27.54)

𝐿(𝑡)

2√π 𝑡 √ln 𝑡

(27.55)

Подставляя выражение (27.55) в формулы (27.49) и (27.51), мы получаем приближённые формулы для величин 𝑆(𝑡) и 𝑁(𝑡) соответственно. В частности, среднее число рассеяний L_α-кванта, возникшего на внутренней границе туманности, приближённо равно

𝑁(0)

2√

𝑡₀

√

ln 𝑡₀

(27.56)

Мы видим, что формула (27.56) даёт для величины 𝑁 гораздо меньшие значения, чем формула (27.46). Например, при 𝑡₀=10⁴ по формуле (27.56) получается значение 𝑁≈10⁵ вместо значения 𝑁≈10⁸ даваемого формулой (27.46). Такой результат вполне понятен: при доплеровском профиле коэффициента поглощения квант может выходить наружу во внешних частях линии при излучении в любом месте туманности, в то время как при прямоугольном контуре коэффициента поглощения он лишён этой возможности. Вместе е тем следует заметить, что среднее число рассеяний L_α-кванта в туманности, даваемое формулой (27.56), остаётся все же очень большим. Объясняется это малостью доли квантов, которые могут выйти из туманности во внешних частях линии [т.е. там, где 𝑡₀α(𝑡)≪1] при большой оптической толщине туманности в центре линии.

Если функция 𝑆(𝑡) известна, то с помощью уравнения (27.37) можно найти интенсивность выходящего из туманности излучения в линии L_α т.е. величину 𝐼_ν(𝑡₀,θ) а также поток выходящего излучения 𝐻_ν(𝑡₀). Тем самым определяется профиль линии L_α в спектре туманности. Как было выяснено, L_α-кванты выходят из туманности главным образом во внешних частях линии. Поэтому линия L_α может иметь двухвершинный профиль. Очевидно, что расстояние между вершинами будет тем больше, чем больше оптическая толщина туманности 𝑡₀.

3. Поле L_α-излучения в расширяющейся туманности.

До сих пор мы считали, что туманность неподвижна. На самом деле разные части туманностей могут двигаться друг относительно друга. В частности, как уже говорилось, планетарные туманности расширяются со скоростями порядка нескольких десятков километров в секунду.

Относительное движение вещества в туманностях должно быть принято во внимание при рассмотрении диффузии излучения в них. Движение вещества влияет на поле излучения благодаря эффекту Доплера. Очевидно, что это влияние очень мало в случае непрерывного спектра, но очень велико в случае спектральных линий.

Сейчас мы рассмотрим процесс диффузии L_α-излучения в расширяющейся туманности. При этом, как и выше, будем представлять себе туманность в виде тонкого сферического слоя.

Допустим сначала, что скорость расширения 𝑣 не зависит от расстояния 𝑟 от центра звезды. В этом случае расширение туманности будет сказываться на постановке граничного условия при 𝑟=𝑟₁. Когда мы рассматривали неподвижную туманность, то считали, что интенсивность излучения, выходящего из туманности через внутреннюю границу, точно равна интенсивности излучения, вступающего в туманность в обратном направлении. Однако в случае расширяющейся туманности оба эти излучения смещены друг относительно друга по частоте, вследствие чего указанное равенство не будет иметь места. Если мы предположим, что скорость расширения гораздо больше средней тепловой скорости атома (т.е. 𝑣≫𝑢), то излучение, приходящее в туманность с её противоположной стороны, уже не будет поглощаться в туманности. Поэтому интенсивность этого излучения можно считать равной нулю. Таким образом, вместо граничных условий (27.15), имеющих место для неподвижной туманности, мы должны написать следующие граничные условия для туманности, расширяющейся с большой скоростью:

𝐼

_ν

(0,θ)

при

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐼

_ν

(𝑡₀,θ)

при

(27.57)

Разумеется, если скорость расширения туманности сравнима со средней тепловой скоростью атома, то первое из этих условий надо соответствующим образом изменить.

Из уравнений (27.37) и (27.38) при граничных условиях (27.57) получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡):

𝑆(𝑡)

𝑡₀

∫

𝐾(|𝑡-𝑡'|)

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡

𝑆₀(𝑡)

(27.58)

где функция 𝐾(𝑡) определяется формулой (27.41). Приближённое решение этого уравнения имеет вид

𝑆(𝑡)

2𝑆₀(𝑡)

𝐿(𝑡)+𝐿(𝑡₀-𝑡)

(27.59)

где 𝐿(𝑡) даётся формулой (27.50). Очевидно, что плотность L_α-излучения в расширяющейся туманности будет меньше, чем в неподвижной.

Будем теперь считать, что скорость расширения туманности зависит от 𝑟. В этом случае влияние эффекта Доплера надо учесть в уравнении переноса излучения и в уравнении лучистого равновесия (см. [4]).

Рассмотрим излучение частоты ν, направление которого образует угол θ с нормалью к плоскопараллельным слоям туманности. Вдоль этого луча центральная частота для коэффициента поглощения будет меняться по закону

ν₀́

ν₀

𝑣(𝑡)

𝑐

cos θ

(27.60)

где ν₀ – центральная частота линии для неподвижного наблюдателя. Поэтому коэффициент поглощения может быть представлен в виде

𝑘

_ν

𝑘₀α

⎛

⎜

⎝

ν-ν₀́

Δν_𝐷

⎞

⎟

⎠

𝑘₀α

⎡

⎢

⎣

𝑥

–

𝑣(𝑡)

𝑢

cos θ

⎤

⎥

⎦

(27.61)

где принято во внимание, что

𝑥

ν-ν₀

Δν_𝐷

_𝐷

ν₀

𝑢

𝑐

Считая, как и выше, что диффузия излучения сопровождается перераспределением по частотам при элементарном акте рассеяния, мы для коэффициента излучения ε_ν возьмём выражение (27.31). На основании сказанного в качестве уравнения переноса излучения имеем

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑡

⎡

⎢

⎣

𝑥

–

𝑣(𝑡)

𝑢

cos θ

⎤

⎥

⎦

(𝑆-𝐼

_ν

)

(27.62)

Уравнение лучистого равновесия будет теперь иметь вид

𝑆(𝑡)

𝐴

+∞

∫

–∞

𝑑𝑥

∫

⎡

⎢

⎣

𝑥

–

𝑣(𝑡)

𝑢

cos θ

⎤

⎥

⎦

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

𝑆₀(𝑡)

(27.63)

При 𝑣=0 два последних уравнения переходят в уравнения (27.37) и (27.38).

Из уравнений (27.62) и (27.63) при граничных условиях (27.15) или (27.57) можно получить интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡). Для простоты мы примем, что скорость расширения 𝑣 линейно возрастает с ростом оптического расстояния 𝑡, т.е.

𝑣(𝑡)

𝑣(0)

𝑑𝑣

𝑑𝑡

⋅

𝑡

, где

𝑑𝑣

𝑑𝑡

const

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Тогда функция 𝑆(𝑡) будет определяться уравнением (27.40) или (27.58), в которых функция 𝐾(𝑡) равна

𝐾(𝑡)

𝐴

∫

𝑑μ

+∞

∫

–∞

α(𝑥)

α(𝑥+γ𝑡μ)

exp

⎛

⎜

⎝

–

–𝑡

∫

α(𝑥+γ𝑧μ)

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

(27.64)

где обозначено

𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑡

(27.65)

Приближённое решение упомянутых уравнений даётся формулами (27.49) или (27.59), в которых

𝐿(𝑡)

𝐴

∫

𝑑μ

+∞

∫

–∞

α(𝑥)

exp

⎛

⎜

⎝

–

–𝑡

∫

α(𝑥+γ𝑧μ)

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝐴

∫

𝑑μ

+∞

∫

–∞

α(𝑥)

exp

⎛

⎜

⎝

–

γμ²

𝑥+γ𝑡μ

∫

𝑥

α(𝑦)

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

(27.66)

В газовых туманностях обычно величина γ очень мала, а величина 𝑡 очень велика. Рассмотрим поэтому два частных случая формулы (27.66).

1. Будем считать, что γ𝑡≪1, т.е. туманность расширяется с небольшим градиентом скорости. В предельном случае можем положить γ=0. Тогда формула (27.66) переходит в формулу (27.50), и поле L_α-излучения в туманности определяется выходом из неё квантов в крыльях линии (таким путём, какой был подробно рассмотрен выше).

2. Допустим, что γ𝑡≫1, т.е. градиент скорости в туманности велик. В предельном случае положим 𝑡=∞. Тогда выход квантов в крыльях линии будет невозможен, и поле L_α-излучения в туманности определяется выходом из неё квантов вследствие эффекта Доплера. В данном случае формула (27.66) принимает вид

𝐿

𝐴γ

∫

⎛

⎜

⎝

–

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝐴γμ²

⎤

⎥

⎦

⎞

⎟

⎠

μ²

𝑑μ

(27.67)

При 𝐴γ≪1 из (26.67) находим

𝐿

𝐴γ

(27.68)

Следует отметить, что величина 𝐴γ не зависит от контура коэффициента поглощения. В самом деле, мы имеем

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

𝑘₀

_𝐷

+∞

∫

–∞

α(𝑥)

𝑑𝑥

𝑘₀ν₀𝑢

𝑐𝐴

(27.69)

Поэтому, пользуясь формулой (8.12), получаем

𝑘₀𝑢

𝐴

ℎ𝐵₁₂

(27.70)

Следовательно,

𝐴γ

𝐴

𝑛₁𝑢𝑘₀

𝑑𝑣

𝑑𝑟

𝑛₁ℎ𝐵₁₂

𝑑𝑣

𝑑𝑟

(27.71)

В рассматриваемом случае приближённое выражение для функции 𝑆(𝑡) имеет вид

𝑆(𝑡)

3𝑆₀(𝑡)

𝐴γ

(27.72)

Разумеется, этой формулой можно пользоваться только для областей туманности, далёких от границ [как и вообще выражениями для 𝑆(𝑡), полученными изложенным методом].

Интересно выяснить, при каких условиях указанные частные случаи формулы (27.66) осуществляются в действительности. Как уже было установлено, ответ на этот вопрос зависит от значения величины

γ𝑡

𝑡

𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑟

(27.73)

Если δ≫1, то кванты в линии выходят из туманности в основном вследствие эффекта Доплера, и функция 𝑆(𝑡) определяется формулой (27.72). Если же δ≪1, то кванты покидают туманность в основном в крыльях линии. Такое заключение вполне понятно, так как величина δ на основании формул (27.55) и (27.68) по порядку равна отношению доли квантов, выходящих из туманности вследствие эффекта Доплера, и доли квантов, выходящих в крыльях, линии.

Формулу (27.73) мы можем переписать в виде

Δ𝑟

𝑢

⋅

𝑑𝑣

𝑑𝑟

(27.74)

где Δ𝑟 – толщина туманности. Оценить величину 𝑑𝑣/𝑑𝑟 весьма трудно, однако надо иметь в виду, что для реальных туманностей вместо 𝑑𝑣/𝑑𝑟 надо брать 𝑑𝑣/𝑑𝑠, т.е. градиент скорости, усреднённый по всем направлениям. Как будет показано в § 28, в туманностях всегда 𝑑𝑣/𝑑𝑠≈𝑣/𝑟 (вследствие кривизны слоёв). Поэтому вместо формулы (27.74) получаем

≈

Δ𝑟

𝑟

𝑣

𝑢

(27.75)

Применим формулу (27.75) к планетарным туманностям. Так как толщина туманности составляет несколько десятых её радиуса, а скорость расширения туманности в несколько раз больше средней термической скорости атома, то в данном случае δ – порядка единицы. Следовательно, функция 𝐿(𝑡) определяется самой формулой (27.66), а не её предельными случаями. Иными словами, при нахождении поля L_α-излучения в туманности надо принимать во внимание как выход кванта в крыльях линии, так и выход вследствие эффекта Доплера.

Представляет также интерес задача о нахождении поля L_α-излучения в оболочках новых звёзд. Скорости расширения этих оболочек гораздо больше скорости расширения планетарных туманностей. Поэтому в данном случае будет выполняться неравенство δ≫1. Следовательно, поле L_α-излучения в оболочках новых звёзд определяется в основном выходом квантов из оболочки вследствие эффекта Доплера.

4. Световое давление в туманностях.

Определение поля L_α-излучения в туманности даёт возможность вычислить давление, обусловленное этим излучением. Впервые такое вычисление сделал В. А. Амбарцумян [6], указавший на большую роль давления L_α-излучения в динамике туманностей. Особенно велика сила светового давления на границах туманности, где наибольшего значения достигает поток излучения. При этом сила светового давления различна на границах неподвижной и расширяющейся туманностей. Если туманность неподвижна, то поток L_α-излучения на внутренней границе равен нулю и сила светового давления действует только на внешней границе, причём она направлена наружу. В расширяющейся же туманности поток излучения отличен от нуля не только на внешней, но и на внутренней границе. Поэтому в данном случае сила светового давления действует на обеих границах, причём на внешней границе она направлена от звезды, а на внутренней – к звезде. В обоих случаях диффундирующее в туманности L_α-излучение своим давлением приводит к увеличению толщины туманности.

Сила светового давления в линии L_α, действующая на единицу объёма за 1 с, равна

𝑓

_𝑟

𝑛₁

𝑐

∫

𝑘

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

(27.76)

где 𝑛₁ – число атомов водорода в 1 см³, 𝑘_ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, 𝐻_ν – поток излучения и 𝑐 – скорость света.

Будем сначала считать, что туманность неподвижна или расширяется без градиента скорости. При прямоугольном контуре коэффициента поглощения вместо формулы (27.76) имеем

𝑓

_𝑟

𝑛₁𝑘₀𝐻

𝑐

(27.77)

где 𝐻 – полный поток излучения в линии L_α. Определение величины f_r по формуле (27.77) для границ туманности не составляет труда, так как число L_α-квантов, выходящих из туманности, равно числу L_𝑐-квантов звезды, поглощённых в туманности. Подсчёты дают, что под действием светового давления в линии L_α внешние части неподвижной туманности должны испытывать ускорение порядка 1 км/с за 10 лет. Примерно такой же величины торможение должны испытывать ближайшие к звезде слои расширяющейся туманности.

Однако, как мы знаем, предположение о прямоугольном контуре коэффициента поглощения является весьма грубым. В действительности силу светового давления в линии L_α надо определять не по формуле (27.77), а по формуле (27.76). При этом предварительно должна быть решена задача о диффузии излучения в линии при реальном контуре коэффициента поглощения и при учёте перераспределения излучения по частотам. Как было выяснено ранее, в ходе диффузии излучения происходит переход квантов из центральных частей линии в её крылья. Поэтому при большой оптической толщине туманности в центре линии L_α поток излучения 𝐻_ν оказывается большим в крыльях линии и малым в её центральных частях. Между тем коэффициент поглощения 𝑘_ν велик в центральных частях линии и мал в её крыльях. Вследствие сказанного формула (27.76) даёт для силы светового давления на границе туманности гораздо меньшие значения, чем формула (27.77) (примерно в 100 раз при оптической толщине туманности в центре линии L_α порядка 10⁴).

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"