Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 35 страниц)

Подставляя (5.8) и (5.10) в формулу (5.3) и учитывая отрицательное поглощение, получаем следующее выражение для объёмного коэффициента поглощения, обусловленного водородными атомами:

_ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

⎡

⎢

⎣

χ₁

𝑘𝑇

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝑔

_ν

⎤

⎥

⎦

ν³

⋅

⎧

⎪

⎩

–

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎭

(5.11)

Зависимость коэффициента поглощения от частоты, даваемая формулой (5.11), схематически представлена на рис. 5. Мы видим, что эта зависимость является весьма сложной. Бросаются в глаза скачки коэффициента поглощения у пределов серий.

Рис. 5

Аналогичный характер носит зависимость коэффициента поглощения от частоты для водородоподобных ионов (He⁺, Li⁺⁺, и т.д.). В этом случае коэффициенты поглощения определяются приведёнными выше формулами с небольшими видоизменениями. Для иона с атомным номером Z в правую часть формулы (5.6) надо ввести множитель Z⁴, а в правые части формул (5.10) и (5.11) – множитель Z². При этом в формуле (5.11) под χ₁ следует понимать энергию ионизации из основного состояния рассматриваемого иона.

Приведённые формулы можно использовать и для приближённого вычисления коэффициентов поглощения неводородоподобных атомов. Это можно делать в тех случаях, когда поглощение связано с переходами электронов с высоких энергетических уровней. Вообще же коэффициенты поглощения разных атомов должны определяться специальными расчётами или экспериментально. Оказывается, что зависимость коэффициента поглощения от частоты для разных атомов весьма различна. Например, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального гелия обратно пропорционален квадрату частоты, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального кислорода с увеличением частоты сначала растёт, а затем убывает, и т.д.

Из всех неводородоподобных атомов наибольшую роль в фотосферах играет отрицательный ион водорода. Поэтому вопрос о поглощении отрицательными ионами водорода мы должны рассмотреть более подробно.

3. Поглощение отрицательными ионами водорода.

Отрицательный ион водорода (обозначаемый через H⁻) представляет собой систему, состоящую из нейтрального атома водорода с присоединившимся к нему электроном. Такая система имеет только одно устойчивое состояние с очень небольшой энергией ионизации, равной χ=0,75 эВ. Для сравнения укажем, что энергия ионизации из основного состояния водорода равна 13,6 эВ, а энергия квантов в видимой части спектра равна 2—3 эВ. Следовательно, частота ионизации отрицательного иона водорода ν₁=χ₁/ℎ находится в далёкой инфракрасной части спектра. При фотоионизации отрицательного иона водорода могут поглощаться все кванты с частотами ν≥ν₁ в частности, кванты в видимой области спектра.

Определение коэффициента поглощения иона H⁻ было предметом многих исследований. На рис. 6 приведён коэффициент поглощения 𝑘_ν рассчитанный на один отрицательный ион водорода, в зависимости от частоты. Эта зависимость была получена в работе Чандрасекара [4] (последующие исследования её мало изменили). Из рис. 6 следует, что в видимой части спектра коэффициент поглощения иона H⁻ меняется плавно и в сравнительно небольших пределах.

Рис. 6

Объёмный коэффициент поглощения, обусловленный отрицательным ионом водорода, равен α_νʹ=𝑛⁻𝑘_ν, где 𝑛⁻ – число ионов H⁻ в 1 см³. Чтобы получить полный объёмный коэффициент поглощения иона H⁻, надо к этому выражению добавить ещё объёмный коэффициент поглощения α_νʺ обусловленный свободно-свободными переходами электрона в поле нейтрального атома водорода (который играет роль ионизованного атома для иона H⁻). Очевидно, что коэффициент поглощения α_νʺ пропорционален числу нейтральных атомов водорода и числу свободных электронов в 1 см³. Поэтому мы можем представить его в виде α_νʺ=𝑛₁𝑝_𝑒𝑎_ν где 𝑝_𝑒=𝑛_𝑒𝑘𝑇 – электронное давление.

Таким образом, полный объёмный коэффициент поглощения иона H⁻ равен

_ν

⎛

⎝

𝑛⁻

𝑘

_ν

–

𝑛₁

𝑝

_𝑒

𝑎

_ν

⎞

⎠

⎧

⎪

⎩

–

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎭

(5.12)

где множителем 1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇)}, как и выше, учтено отрицательное поглощение.

Для вычисления коэффициента поглощения α_ν по формуле (5.12) необходимо найти число ионов H⁻ в 1 см³. Это можно сделать с помощью формулы ионизации (5.5), которая в данном случае принимает вид

𝑛

_𝑒

𝑛₁

𝑛⁻

𝑔₁

𝑔⁻

2(2π𝑚𝑘𝑇)²^/³

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.13)

где 𝑔₁ и 𝑔⁻ – статистические веса основного состояния нейтрального атома водорода и отрицательного иона водорода соответственно (𝑔₁=2, 𝑔⁻=1), χ₁ —энергия ионизации иона H⁻. Подставляя 𝑛⁻ из (5.13) в (5.12), получаем

_ν

𝑛₁

𝑝

_𝑒

⎡

⎢

⎣

𝑘

_ν

ℎ³

4(2π𝑚)³^/²(𝑘𝑇)⁵^/²

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝑎

_ν

⎤

⎥

⎦

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎭

(5.14)

Результаты вычисления коэффициента поглощения α_ν по формуле (5.14) приведены на графике, взятом из книги Чандрасекара 14]. График даёт величину α_ν, отнесённую к одному нейтральному атому водорода и к единице электронного давления, в зависимости от длины волны для разных температур (рис. 7). Из вычислений, в частности, следует, что поглощение, обусловленное свободно-свободными переходами играет существенную роль только для больших длин волн (примерно для значений λ>12 000 Å).

Рис. 7

4. Рассеяние света свободными электронами.

Кроме поглощения света атомами, в переносе излучения через фотосферу некоторую роль играет также рассеяние излучения —свободными электронами (имеющее наибольшее значение), атомами и молекулами. Коэффициент рассеяния, рассчитанный на один свободный электрон, даётся формулой Томсона:

σ₀

8π

⎛

⎜

⎝

𝑒²

𝑚𝑐²

⎞²

⎟

⎠

(5.15)

где 𝑚 и 𝑒 – заряд и масса электрона, 𝑐 – скорость света. Числовое значение этого коэффициента равно σ₀=6,65×10⁻²⁵ см².

Объёмный коэффициент рассеяния свободными электронами равен

_𝑒

𝑛

_𝑒

σ₀

(5.16)

где 𝑛_𝑒 – число свободных электронов в 1 см³. Очевидно, что в формулу (5.16) не нужно вводить множитель, учитывающий отрицательное поглощение.

Пользуясь формулами (5.16) и (5.11), можно сравнить роль электронного рассеяния и роль поглощения атомами водорода. Находя с помощью указанных формул отношение σ_𝑒/α_ν, мы видим, что оно тем больше, чем меньше плотность и чем выше температура. Поэтому роль электронного рассеяния особенно велика в фотосферах горячих сверхгигантов.

Если в элементарном объёме фотосферы происходит поглощение света и рассеяние света свободными электронами, то объёмный коэффициент излучения равен

_ν

2ℎν³

𝑐²

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

_𝑒

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

(5.17)

где α_ν – объёмный коэффициент поглощения и 𝐼_ν – интенсивность падающего на объём излучения. Из формулы (5.17) ясно видно различие между поглощением и рассеянием излучения: только поглощённая энергия перерабатывается в элементарном объёме и переизлучается им согласно закону Кирхгофа – Планка (если имеет место локальное термодинамическое равновесие).

Однако электронное рассеяние все же способствует переработке излучения, так как благодаря электронному рассеянию увеличивается путь фотона в среде, а значит, и вероятность поглощения.

В формуле (5.17) приближённо принимается, что рассеяние света свободными электронами является изотропным. В действительности интенсивность излучения, рассеянного элементарным объёмом, зависит от угла γ между направлениями падающего и рассеянного излучения (а именно, пропорциональна 1+cos²γ). Отметим также, что излучение, рассеянное свободными электронами, является поляризованным.

5. Средний коэффициент поглощения.

Выше были приведены результаты определения коэффициентов поглощения для некоторых атомов. На самом деле в каждом объёме фотосферы находится смесь атомов разных химических элементов. Поэтому объёмный коэффициент поглощения зависит не только от физических условий в данном месте (т.е. от температуры и плотности), но и от химического состава. Вследствие этого ещё более усложняется зависимость объёмного коэффициента поглощения от частоты.

Между тем в изложенной в предыдущих параграфах теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты. При отказе от этого предположения теория фотосфер становится гораздо более сложной. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться результатами изложенной теории фотосфер и для того случая, когда коэффициент поглощения зависит от частоты, по крайней мере в первом приближении. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения (т.е. коэффициент поглощения, усреднённый по частоте). Его пытаются определить так, чтобы сохранилась ранее полученная зависимость температуры от оптической глубины.

Возьмём уравнение переноса излучения

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

_ν

𝐼

_ν

(5.18)

Умножая это уравнение на cos θ, интегрируя по всем направлениям и вынося за знак интеграла среднее значение cos²θ, равное ¹/₃, получаем

4π

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

_ν

𝐻

_ν

(5.19)

где 𝐻_ν – поток излучения и 𝐼_ν – средняя интенсивность излучения равная

𝐼

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

(5.20)

Интегрируя (5.19) по всем частотам и вводя обозначение

∫α_ν𝐻_ν𝑑_ν

𝐻

(5.21)

находим

4π

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

𝐻

(5.22)

где 𝐻 – полный поток излучения в фотосфере и 𝐼 – средняя полная интенсивность излучения.

Величина α, определённая формулой (5.21), есть средний коэффициент поглощения. Вводя соответствующую ему оптическую глубину τ по формуле

∞

∫

𝑟

𝑑𝑟

(5.23)

вместо (5.22) имеем

4π

𝑑𝐼_ν

𝑑τ

𝐻

(5.24)

Так как поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере, то интегрирование (5.24) даёт

𝐼

𝐻

2π

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

(5.25)

Здесь мы воспользовались граничным условием: 2π𝐼=𝐻 при τ=0.

Считая, что величина 𝐼 равна полной интенсивности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. 𝐼=σ𝑇⁴/π, и выражая полный поток излучения через эффективную температуру 𝑇_𝑒 по формуле

𝐻

σ𝑇

𝑒

вместо (5.25) находим

𝑇⁴

𝑇

𝑒

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

(5.26)

т.е. ранее полученную формулу (4.20).

Таким образом, определяя средний коэффициент поглощения α формулой (5.21) и пользуясь приближением Эддингтона, мы приходим к такой же зависимости между температурой и оптической глубиной, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Однако вычислить точно величину α мы не можем, так как в формулу (5.21) входит поток излучения 𝐻_ν в реальной фотосфере, в которой коэффициент поглощения зависит от частоты. Поэтому средний коэффициент поглощения α приходится вычислять приближённо.

Для приближённого вычисления величины α были предложены следующие способы.

1. Будем считать, что поток излучения 𝐻_ν равен потоку излучения из абсолютно чёрного тела, т.е. 𝐻_ν=π𝐵_ν(𝑇) где 𝐵_ν(𝑇) – планковская интенсивность при температуре 𝑇. Тогда

∫α_ν𝐵_ν(𝑇)𝑑ν

∫𝐵_ν(𝑇)𝑑ν

(5.27)

2. Возьмём выражение для 𝐻_ν, даваемое формулой (5.19). Заменяя в ней 𝐼_ν на планковскую интенсивность 𝐵_ν(𝑇), находим

𝐻

_ν

4π

α_ν

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑𝑇

𝑑𝑟

(5.28)

Подстановка (5.28) в (5.21) даёт

∫

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑𝑇

𝑑ν

⋅

⎛

⎜

⎝

α_ν

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑𝑇

𝑑ν

⎞⁻¹

⎟

⎠

(5.29)

Формула (5.29) была предложена Росселандом [2].

3. Примем для 𝐻_ν выражение, которое получается в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Обозначая поток излучения для этого случая через

𝐻

(τ)

получаем

∫

_ν

𝐻

ν (τ)

𝐻

(5.30)

Формулу (5.30) предложил Чандрасекар [4], табулировавший также величину

𝐻

ν (τ)

𝐻

Мы не будем сравнивать между собой различные способы вычисления величины α Отметим только, что вычисления по формулам (5.27) и (5.30) проще, чем по формуле (5.29). Это особенно заметно в случае сложного химического состава, так как в формулы (5.27) и (5.30) члены, соответствующие разным атомам, входят аддитивно. Однако формула (5.29), по-видимому, точнее.

Для примера найдём средний коэффициент поглощения по формуле (5.27) в случае, когда поглощение вызывается атомами водорода.

Пользуясь формулой (5.11) для α_ν и формулой (4.2) для 𝐵_ν(𝑇), получаем

∞

∫

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

2ℎ

𝑐²

∞

∫

⎡

⎢

⎣

1+2

χ₁

𝑘𝑇

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝑑ν

(5.31)

Здесь для простоты мы положили 𝑔_𝑖ν=1 и 𝑔_ν=1. Меняя порядок интегрирования и суммирования и производя интегрирование, находим

∞

∫

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

2ℎ

𝑐²

𝑘𝑇

ℎ

⎡

⎢

⎣

2,4

χ₁

𝑘𝑇

⎤

⎥

⎦

(5.32)

Кроме того, имеем

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

2ℎ

𝑐²

⎛

⎜

⎝

𝑘𝑇

ℎ

⎞⁴

⎟

⎠

∞

∫

𝑥³𝑑𝑥

𝑒^𝑥-1

2ℎ

𝑐²

⎛

⎜

⎝

𝑘𝑇

ℎ

⎞⁴

⎟

⎠

π⁴

(5.33)

Подстановка (5.32) и (5.33) в формулу (5.27) даёт

π⁴√3

𝑒⁶ℎ⁴

𝑚𝑒(2π𝑚)³^/²

χ₁

⎡

⎢

⎣

2,4

χ₁

𝑘𝑇

⎤

⎥

⎦

𝑛_𝑒𝑛⁺

(𝑘𝑇)⁷^/²

(5.34)

Формулу (5.34) мы получили для атома водорода, но она справедлива без изменений и для водородоподобных ионов (так как атомный номер Z входит в χ₁) Приближённо формула (5.34) справедлива и для других атомов.

Напомним, что первый член в квадратных скобках формулы (5.34) соответствует свободно-свободным переходам, а второй член – связанно-свободным переходам. В случае поглощения излучения водородными атомами первый член преобладает при температурах, больших 400 000 K, а второй член – при температурах, меньших 400 000 K (так как для водорода χ₁/𝑘=157 200).

Считая, что водородные атомы полностью ионизованы (а значит, 𝑛_𝑒=𝑛⁺~ρ), в двух указанных случаях из формулы (5.34) получаем

≈

ρ²

𝑇⁷^/²

(5.35)

(при сравнительно высоких температурах) и

≈

ρ²

𝑇⁹^/²

(5.36)

(при сравнительно низких температурах). Формулы (5.35) и (5.36) довольно часто применяются в астрофизике.

§ 6. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты

1. Приближённая теория.

Самый простой путь для построения приближенной теории фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты, состоит в использовании результатов изложенной выше теории фотосфер при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения α. Как было показано в предыдущем параграфе, его можно определить так, что сохраняется такая же зависимость температуры 𝑇 от оптической глубины τ, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Поэтому сохраняются и полученные ранее выводы о строении звёздной фотосферы, т.е. об изменении в ней плотности и температуры с геометрической глубиной (в соответствующих формулах § 4 надо лишь заменить α на α).

Однако для определения поля излучения в фотосфере для разных частот необходимо, чтобы в теории фигурировал коэффициент поглощения α_ν или соответствующая ему оптическая глубина τ_ν. Для нас особенный интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды. Как было показано ранее, она определяется формулой (4.30), справедливой при любой зависимости τ_ν от ν. Мы будем считать, что входящая в эту формулу температура 𝑇 при помощи формулы (5.26) выражается через оптическую глубину τ, соответствующую среднему коэффициенту поглощения. Поэтому для вычисления по формуле (4.30) надо выразить и τ_ν через τ. Мы приближённо примем, что α_ν/α не меняется в фотосфере. Тогда получаем

_ν

∞

∫

𝑟

_ν

𝑑𝑟

α_ν

∞

∫

𝑟

𝑑𝑟

α_ν

(6.1)

На самом деле величина α_ν/α зависит от глубины в фотосфере. Очевидно, что для вычисления интенсивности излучения, выходящего из звезды, для величины α_ν/α надо брать её значение в поверхностных слоях фотосферы (точнее говоря, в тех слоях, в которых в среднем возникает непрерывный спектр).

Подставляя (6.1) в (4.30), для интенсивности излучения, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору в частоте ν, получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎜

⎝

–

α_ν

secθ

⎞

⎟

⎠

secθ

α_ν

𝑑τ

(6.2)

где 𝐵_ν(𝑇) – планковская интенсивность при температуре 𝑇. Принимая во внимание (4.2) и (5.26), вместо (6.2) находим

𝐼

_ν

(0,θ)

2ℎν³

𝑐²

∞

∫

exp

⎛

⎜

⎝

–

α_ν

secθ

⎞

⎟

⎠

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎧

⎪

⎩

⎫-¼

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

–1

⎤⁻¹

⎥

⎦

secθ

α_ν

𝑑τ

(6.3)

В том же приближении (т.е. при α_ν/α=const) для потока излучения в частоте ν на поверхности звезды имеем

𝐻

_ν

4πℎν³

𝑐²

∞

∫

𝐸₂

⎛

⎜

⎝

α_ν

α τ

⎞

⎟

⎠

α_ν

α 𝑑τ

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎧

⎪

⎩

2 +

4 τ

⎫

⎪

⎭

–¼

⎞

⎟

⎠ -1

(6.4)

Ранее полученные формулы (4.39) и (4.40) являются частными случаями формул (6.3) и (6.4) (при τ_ν=τ).

Иногда при вычислении величины 𝐼_ν(0,θ) по формуле (6.2) функцию 𝐵_ν(𝑇) представляют в виде ряда, расположенного по степеням τ:

𝐵

_ν

(τ)

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+β

_ν

τ+…)

(6.5)

в котором берут только два первых члена. Мы имеем

_ν

𝐵_ν(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

𝑑𝐵_ν

𝑑𝑇

𝑑τ

⎤

⎥

⎦τ=0

(6.6)

или, на основании формул (4.2) и (5.26),

_ν

ℎν

𝑘𝑇₀

1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇₀)}

(6.7)

Для величины 𝐼_ν(0,θ) приближённо получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

𝐵

_ν

(𝑇₀)

∞

∫

(1+β

_ν

τ)

exp

⎛

⎜

⎝

–

α_ν

secθ

⎞

⎟

⎠

α_ν

secθ

𝑑τ

(6.8)

или, после интегрирования,

𝐼

_ν

(0,θ)

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

α_ν

_ν

cosθ

⎞

⎟

⎠

(6.9)

Подставляя (6.9) в (4.35), для потока излучения находим

𝐻

_ν

π𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

α_ν

_ν

⎞

⎟

⎠

(6.10)

Формулы (6.9) и (6.10) являются довольно грубыми, однако из них ясно видно, как отношение α_ν/α влияет на величины 𝐼_ν(0,θ) и 𝐻_ν. Легко понять, что это влияние объясняется ростом температуры с глубиной. Чем меньше отношение α_ν/α, тем из более глубоких слоёв фотосферы до нас доходит излучение и тем, следовательно, величины 𝐼_ν(0,θ) и 𝐻_ν оказываются больше.

Как известно, величиной 𝐼_ν(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды. Из формулы (6.9) следует, что в частотах, для которых коэффициент поглощения α_ν очень велик, яркость диска везде приблизительно одинакова; в частотах же, для которых коэффициент поглощения очень мал, яркость сильно убывает при переходе от центра к краю. Рассмотрим для примера звёзды, в фотосферах которых поглощение вызывается в основном атомами водорода (т.е. звёзды классов 𝙰 и 𝙱, как увидим дальше). Из формулы (5.11) видно, что коэффициент поглощения α_ν сразу за пределом серии Бальмера в несколько раз больше, чем до предела (так как за пределом 𝑖₀=2, а до предела 𝑖₀=3). Поэтому распределение яркости по диску звезды в частотах после бальмеровского предела должно заметно отличаться от распределения яркости по диску в частотах до бальмеровского предела. Этот вывод может быть сопоставлен с результатами наблюдений затменных переменных звёзд классов 𝙰 и 𝙱.

Величина 𝐻_ν характеризует относительное распределение энергии в непрерывном спектре звезды. Важной особенностью спектров звёзд некоторых классов являются скачки интенсивности у пределов серий, вызванные скачками коэффициента поглощения. В частности, в спектрах звёзд классов 𝙰 и 𝙱 должны быть скачки у предела серии Бальмера (интенсивность до предела больше интенсивности после предела). Приближённо бальмеровский скачок может быть найден по формуле (6.10). Более точные данные о бальмеровских скачках в звёздных спектрах будут приведены ниже.

Пользуясь формулой (6.10) и наблюдательными данными о распределении энергии в непрерывном спектре звезды, можно приближённо определить зависимость коэффициента поглощения от частоты в фотосфере (точнее говоря, величину α_ν/α). Такое определение было сделано для Солнца, когда ещё не был решён вопрос о том, какими атомами вызывается в основном поглощение в фотосфере Солнца. Это исследование сильно способствовало решению указанного вопроса.

2. Случай поглощения атомами одного рода.

Изложенная выше приближённая теория даёт результаты, которые могут быть использованы лишь для грубых оценок. Переходя теперь к более строгой теории фотосфер, мы сначала рассмотрим один частный случай, в котором эта теория сравнительно проста. Именно, допустим, что поглощение в фотосфере вызывается в основном атомами одного рода, т.е. атомами одного элемента в определённой стадии ионизации. В этом случае объёмный коэффициент поглощения может быть представлен в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от частоты и температуры, а другая – только от температуры и плотности, т.е.

_ν

Φ(ν,𝑇)

Ψ(𝑇,ρ)

(6.11)

Возможность такого представления видна, например, из формулы (5.11), определяющей коэффициент поглощения α_ν для водорода.

Если α_ν даётся формулой (6.11), то уравнение переноса излучения может быть записано так:

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑ζ

Φ(ν,𝑇)

[𝐼

_ν

–𝐵

_ν

(𝑇)]

(6.12)

где 𝐵_ν(𝑇) – интенсивность излучения абсолютно чёрного тела при температуре 𝑇 и

∞

∫

𝑟

Ψ(𝑇,ρ)

𝑑𝑟

(6.13)

Уравнение лучистого равновесия (1.17) в данном случае принимает вид

∞

∫

Φ(ν,𝑇)

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑑ν

∞

∫

Φ(ν,𝑇)

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

(6.14)

Из уравнений (6.12) и (6.14) может быть получено одно интегральное уравнение для определения температуры 𝑇 в виде функции от ζ. Если эта функция найдена, то из уравнения (6.12) можно определить интенсивность излучения 𝐼_ν(ζ,θ) и, в частности, интенсивность излучения на границе звезды, т.е. величину 𝐼_ν(0,θ).

Введение независимой переменной ζ даёт возможность избежать нахождения распределения плотности в фотосфере при определении спектра звезды. Если же нас интересует не только спектр звезды, но и величины 𝑇 и ρ в зависимости от 𝑟, то, зная функцию 𝑇(ζ), их можно легко найти из уравнения (6.13) и уравнения механического равновесия (4.42).

Так как самым распространённым элементом в поверхностных слоях звёзд является водород, то можно было бы думать, что поглощение излучения в фотосферах всех звёзд вызывается в основном атомами водорода. В действительности дело обстоит не так. В фотосферах звёзд поздних классов атомы водорода находятся почти полностью в первом состоянии, вследствие чего они поглощают излучение практически только за границей серии Лаймана. Между тем при низких температурах кривая распределения энергии по частотам имеет максимум в инфракрасной части спектра. Следовательно, в фотосферах звёзд поздних классов поглощение излучения водородными атомами не может играть существенной роли.

Однако с увеличением температуры растёт число атомов водорода в возбуждённых состояниях. Вместе с тем происходит смещение максимума кривой распределения энергии по частотам в сторону больших частот. Поэтому с увеличением температуры роль атомов водорода в поглощении возрастает. Подсчёты показывают, что в фотосферах звёзд классов 𝙰 и 𝙱 (точнее говоря, звёзд с эффективными температурами порядка 10 000-20 000 K) поглощение производится в основном атомами водорода. В фотосферах более горячих звёзд существенную роль в поглощении играют также атомы гелия.

Таким образом, для звёзд с 𝑇_𝑒≃10 000-20 000 K коэффициент поглощения обусловлен в основном водородом и может быть представлен в форме (6.11). Теория фотосфер этих звёзд была разработана Э.Р. Мустелем [6]. Вместо рассмотрения упомянутого интегрального уравнения для функции 𝑇(ζ) он предложил определять её последовательными приближениями из уравнения

𝑑𝑇

𝐻

𝑑ζ

4π

∞

∫

𝑑𝐾

_ν

–

𝑑ν

Φ(ν,𝑇)

𝑑𝑇

(6.15)

где

𝐾

_ν

∫

𝐼

_ν

cos²θ

𝑑ω

4π

(6.16)

Уравнение (6.15) получается из (6.12) путём умножения его на cos θ/Φ(ν,𝑆) и интегрирования по всем частотам и направлениям. Величина 𝐻 есть полный поток излучения в фотосфере. Как мы знаем, 𝐻=const, что является следствием уравнения (6.14). При решении уравнения (6.15) в качестве первого приближения можно принять 𝐾_ν=𝐵_ν(𝑇).

Э. Р. Мустель вычислил распределение энергии в непрерывном спектре звёзд с эффективными температурами 10 500 К, 15 500 К и 20 500 К. Часть полученных им результатов приведена на рис. 8 и в табл. 1.

Рис. 8

На рис. 8 представлена для примера теоретическая кривая распределения энергии в спектре звезды класса 𝙱5(𝑇_𝑒=15 000 K). Вместе с ней дана планковская кривая, соответствующая той же температуре 𝑇_𝑒 (площади под кривыми одинаковы и равны σ𝑇_𝑒⁴/π). Мы видим, что действительная кривая распределения энергии в спектре звезды весьма сильно отличается от планковской кривой. Особенно следует отметить большие скачки интенсивности у пределов серий. Такой же характер носят кривые распределения энергии в спектрах звёзд рассматриваемых типов, полученные из наблюдений.

Таблица 1

Спектрофотометрические температуры

и бальмеровские скачки звёзд ранних спектральных классов

Спектр, класс

𝙰0

𝙱5

𝙱2

𝑇

_𝑒

500 K

000 K

𝑇

_𝑐

⎰

⎱

теор.

000

набл.

000

500

𝑇

_𝑐

⎰

⎱

теор.

500

000

набл.

000

500

𝐷

⎰

⎱

теор.

,49

,22

,10

набл.

,47

,24

,11

В таблице 1 приведены теоретические и наблюдённые значения спектрофотометрической температуры 𝑇_𝑐 и бальмеровского скачка 𝐷. При этом через 𝑇_𝑐' и 𝑇_𝑐ʺ обозначены значения 𝑇_𝑐 до бальмеровского предела (т.е. при ν<ν₂) и после него соответственно.

Напомним, что спектрофотометрической температурой характеризуется наклон кривой распределения энергии в данном месте спектра. Точнее говоря, она определяется из условия, что логарифмическая производная интенсивности спектра равна логарифмической производной планковской интенсивности при температуре 𝑇_𝑐, т.е.

𝑑

𝑑ν

lg 𝐻

_ν

𝑑

𝑑ν

lg 𝐵

_ν

(𝑇

_𝑐

)

(6.17)

Подставляя сюда выражение для 𝐵_ν(𝑇), находим следующее уравнение для определения 𝑇_𝑐:

𝑑

𝑑ν

lg 𝐻

_ν

–

ℎ

𝑘𝑇_𝑐

1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇_𝑐)}

(6.18)

Что же касается бальмеровского скачка, то он определяется формулой

𝐷

𝐻_ν<ν₂

𝐻_ν>ν₂

(6.19)

Из таблицы 1 видно, что теория находится в хорошем согласии с наблюдениями. Это говорит прежде всего о том, что в фотосферах рассматриваемых звёзд главная роль в поглощении радиации принадлежит действительно атомам водорода.

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"