Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 35 страниц)

Из формулы (8.47) также видно, что во внешних частях линий коэффициент поглощения, обусловленный эффектом Штарка, убывает как (λ-λ₀)⁻⁵^/². Этим он существенно отличается от коэффициента поглощения, обусловленного затуханием, который убывает как (λ-λ₀)⁻².

Рассмотрим теперь вопрос о том, какое влияние на коэффициент поглощения оказывает эффект Штарка, вызванный свободными электронами. В данном случае вследствие больших скоростей свободных электронов можно применить метод дискретных встреч. Он приводит к коэффициенту поглощения, даваемому формулой (8.18) с соответствующей постоянной затухания вследствие столкновений. Оказывается, что такое выражение для 𝑘_λ справедливо до весьма большого расстояния от центра линии. Мы обозначим это граничное расстояние через Δλ_𝑔 В табл. 8, взятой из статьи Унзольда [2], приведены значения величины Δλ_𝑔 (выраженной в ангстремах) для некоторых бальмеровских линий. В той же таблице даны для сравнения значения Δλ_𝑔 при эффекте Штарка, вызванном протонами. Мы видим, что в последнем случае значения Δλ_𝑔 весьма малы. При значениях λ-λ₀, превосходящих Δλ_𝑔, следует пользоваться выражением для 𝑘_λ, даваемым статистической теорией.

Таблица 8

Значения величины Δλ_𝑔 для бальмеровских линий

𝑇

20 000 K

10 000 K

5 000 K

3 000 K

𝐻

_α

⎧

⎨

⎩

электроны

580

230

110

протоны

0,63

0,25

0,12

0,08

𝐻

_β

⎧

⎨

⎩

электроны

120

протоны

0,13

0,05

0,03

0,02

𝐻

⎧

⎨

⎩

электроны

протоны

0,05

0,02

0,01

0,006

𝐻

_δ

⎧

⎨

⎩

электроны

протоны

0,03

0,01

0,007

0,004

Вычисления, сделанные указанным методом, привели к заключению, что коэффициент поглощения, обусловленный электронами, значительно меньше коэффициента поглощения, обусловленного протонами. Поэтому влиянием электронов на коэффициент поглощения пренебрегали. Однако затем было установлено, что эксперимент не подтверждает теорию, основанную только на учёте влияния протонов. В связи с этим был выполнен ряд исследований, в которых рассмотрено одновременное воздействие протонов и электронов на атом водорода. Вместе с тем были приняты во внимание неадиабатические явления, заключающиеся в переходах между компонентами, на которые расщепляется энергетический уровень в электрическом поле (раньше этого не делалось). В результате было показано, что влияние электронов на коэффициент поглощения является существенным.

Согласно полученным результатам коэффициент поглощения в крыльях водородных линий представляется в виде

𝑘

_λ

𝐶

𝐹₀³^/²

(λ-λ₀)⁵^/²

⎡

⎣

𝑅(𝑛

_𝑒

,𝑇)

√

λ-λ₀

⎤

⎦

(8.48)

где множитель перед квадратными скобками – коэффициент поглощения, обусловленный протонами, а второе слагаемое в скобках учитывает влияние электронов. Значения величины 𝑅(𝑛_𝑒,𝑇), для трёх бальмеровских линий при разных значениях электронной концентрации 𝑛_𝑒 и температуры 𝑇 приведены в табл. 9 (считается, что λ-λ₀ выражено в ангстремах).

Таблица 9

Значения величины 𝑅(𝑛_𝑒,𝑇)

lg 𝑛

_𝑒

𝑇

𝐻

_α

𝐻

_β

𝐻

_γ

10⁴

2⋅10⁴

4⋅10⁴

10⁴

2⋅10⁴

4⋅10⁴

10⁴

2⋅10⁴

4⋅10⁴

1,05

0,79

0,59

1,05

0,80

0,60

1,37

1,04

0,78

0,82

0,63

0,48

0,81

0,62

0,48

1,03

0,80

0,62

0,59

0,46

0,36

0,56

0,45

0,35

0,70

0,56

0,45

0,47

0,38

0,30

0,45

0,35

0,28

0,53

0,44

0,35

0,30

0,25

0,33

0,26

0,22

0,37

0,31

0,26

0,24

0,22

0,19

0,21

0,17

0,15

0,21

0,19

0,17

0,12

0,14

0,13

0,09

0,08

0,09

Многие формулы для коэффициента поглощения в спектральной линии, употребляемые в астрофизике, содержатся в справочнике К. Ленга [4].

§ 9. Линии поглощения при локальном термодинамическом равновесии

1. Основные формулы.

После определения коэффициента поглощения в спектральной линии перейдем к вопросу об образовании линий поглощения в спектре звезды. Мы будем рассматривать линию, возникающую при переходе из 𝑖-го состояния в 𝑘-е данного атома. Коэффициент поглощения в линии, как и раньше, обозначим через σ_ν, а коэффициент излучения – через ε_ν. Эти величины зависят от индексов 𝑖 и 𝑘, но для упрощения записи мы их не пишем. Коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре обозначим соответственно через α_ν и ε_ν⁰. Эти величины обусловлены всеми атомами, находящимися в данном элементарном объёме. В пределах линии коэффициенты α_ν и ε_ν⁰ очень слабо зависят от частоты.

Принимая, что атмосфера состоит из плоскопараллельных слоёв, получаем следующее уравнение переноса излучения в спектральной линии:

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

(σ

_ν

+α

_ν

)

𝐼

_ν

⁰

(9.1)

Здесь, как и раньше, θ – угол между направлением излучения и внешней нормалью к атмосферным слоям, а интенсивность излучения 𝐼_ν зависит от 𝑟 и θ.

При рассмотрении непрерывного спектра звёзд мы сделали предположение о локальном термодинамическом равновесии. В таком случае имеем

_ν

⁰

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

(9.2)

где 𝐵_ν(𝑇) – планковская интенсивность излучения для частот данной линии.

Аналогичное предположение мы сделаем сначала и при рассмотрении образования спектральных линий, т.е. будем считать

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

(9.3)

Очевидно, что применимость соотношения (9.3) нуждается в большем обосновании, чем применимость соотношения (9.2), так как линии возникают в среднем в более поверхностных слоях звёзд, чем непрерывный спектр.

При помощи (9.2) и (9.3) вместо уравнения (9.1) находим

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

(σ

_ν

+α

_ν

)

(𝐼

_ν

–𝐵

_ν

)

(9.4)

Пусть 𝑡_ν – оптическая глубина в атмосфере в частоте ν внутри линии, т.е.

𝑡

_ν

∞

∫

(σ

_ν

+α

_ν

)

𝑑𝑟

(9.5)

Тогда уравнение (9.4) принимает вид

cosθ

𝑑𝐼_ν(𝑡_ν,θ)

𝑑𝑡_ν

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

,θ)

–

𝐵

_ν

(𝑇)

(9.6)

Наибольший интерес для нас представляет интенсивность излучения в линии, выходящего из атмосферы. Для этой величины из уравнения (9.6) получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎝

–𝑡

_ν

sec θ

⎞

⎠

sec θ

𝑑𝑡

_ν

(9.7)

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, мы обозначим через 𝐼_ν⁰(0,θ). Эта величина равна

𝐼

_ν

⁰(0,θ)

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎝

–τ

_ν

sec θ

⎞

⎠

sec θ

𝑑τ

_ν

(9.8)

где τ_ν – оптическая глубина в атмосфере в непрерывном спектре вблизи линии, т.е.

_ν

∞

∫

𝑟

_ν

𝑑𝑟

(9.9)

Отношение

𝑟

_ν

(θ)

𝐼_ν(0,θ)

𝐼_ν⁰(0,θ)

(9.10)

характеризует профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска звезды. Очевидно, что величина 𝑟_ν(θ) может быть найдена из наблюдений только для Солнца (и в принципе – для затменных переменных). Для обычных же звёзд из наблюдений определяется лишь профиль линии поглощения в спектре всего диска. Этот профиль характеризуется отношением

𝑟

_ν

𝐻_ν

𝐻_ν⁰

(9.11)

где 𝐻_ν – поток излучения, выходящего из звезды в частоте ν внутри линии, и 𝐻_ν⁰ – поток излучения, выходящего из звезды в непрерывном спектре вблизи линии. Величина 𝐻_ν определяется формулой

𝐻

_ν

2π

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑𝑡

_ν

(9.12)

где 𝐸₂𝑡_ν – вторая интегральная показательная функция. Аналогичной формулой (с заменой 𝑡_ν на τ_ν) определяется и величина 𝐻_ν⁰ (см. §4).

Рис. 11

Если известна величина 𝑟_ν, то легко может быть найдена и так называемая эквивалентная ширина линии поглощения. Под ней понимается ширина соседнего участка непрерывного спектра, энергия которого равна энергии, поглощённой в линии (рис. 11). Обозначая эквивалентную ширину линии через 𝑊, на основании определения имеем

𝐻

_ν

⁰

𝑊

∫

(

𝐻

_ν

⁰

–

𝐻

_ν

)

𝑑ν

(9.13)

или, при использовании (9.11),

𝑊

∫

(1-𝑟

_ν

)

𝑑ν

(9.14)

Приведёнными формулами, определяющими профили и эквивалентные ширины линий, мы будем часто пользоваться ниже.

2. Определение профилей линий.

Для вычисления профилей линий поглощения мы должны знать зависимость между температурой 𝑇 и оптической глубиной 𝑡_ν. Точная зависимость между этими величинами может быть найдена только на основе расчёта моделей звёздных фотосфер. Однако некоторый интерес представляет и приближённая зависимость между 𝑇 и 𝑡_ν, которой мы сейчас воспользуемся.

Из формул (6.1) и (6.5) вытекает следующая приближённая формула, связывающая между собой температуру 𝑇 и оптическую глубину τ_ν в непрерывном спектре:

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

_ν

α_ν

_ν

⎞

⎟

⎠

(9.15)

При получении этой формулы предполагалось, что отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре α_ν к среднему коэффициенту поглощения α не зависит от глубины. Теперь мы допустим, что и отношение коэффициента поглощения в линии к коэффициенту поглощения в непрерывном спектре, т.е. величина σ_ν/α_ν, также не зависит от глубины. Тогда на основании формул (9.5) и (9.9) имеем

𝑡

_ν

⎛

⎜

⎝

σ_ν

α_ν

⎞

⎟

⎠

_ν

(9.16)

Подстановка (9.16) в (9.15) даёт

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

_ν

σ_ν+α_ν

_ν

⎞

⎟

⎠

(9.17)

Для нахождения величины 𝑟_ν(θ), определённой формулой (9.10), мы должны подставить (9.17) в (9.7) и (9.15) в (9.8). Делая это, получаем

𝑟

_ν

(θ)

1 + β_ν

σ_ν+α_ν cos θ

1 + β_ν

σ_ν cos θ

(9.18)

Формулой (9.18) определяется профиль линии на угловом расстоянии θ от центра диска. Аналогично получается выражение для величины 𝑟_ν, характеризующей профиль линии в спектре всей звезды:

𝑟

_ν

1 +

3 β_ν

σ_ν+α_ν

1 +

3 β_ν

α_ν

(9.19)

Очевидно, что в случае локального термодинамического равновесия линия поглощения возникает вследствие роста температуры с глубиной. Так как коэффициент поглощения в линии больше коэффициента поглощения в непрерывном спектре, то излучение в линии доходит до нас из менее глубоких слоёв, где температура ниже. Поэтому интенсивность излучения в линии и оказывается меньше интенсивности излучения в непрерывном спектре. Если бы температура в атмосфере была постоянной, то в формулах (9.18) и (9.19) мы имели бы β_ν=0, а значит 𝑟_ν(θ)=1 и 𝑟_ν=1, т.е. линий поглощения не было бы.

Следует иметь в виду, что приближённые формулы (9.18) и (9.19) могут в некоторых случаях обладать очень малой точностью, так как величины σ_ν/α_ν и α_ν/α, которые мы считали постоянными, могут в реальных атмосферах сильно меняться с глубиной.

Как уже сказано, для получения точных профилей линий необходимы предварительные расчёты моделей звёздных фотосфер. Эти расчёты дают распределение температуры и плотности в поверхностных слоях звезды, в которых возникают линии поглощения. Пользуясь такими данными, можно вычислить коэффициенты поглощения σ_ν и α_ν на разных глубинах, а значит, и оптические глубины 𝑡_ν и τ_ν в виде функций от геометрической глубины.

В качестве примера построения моделей звёздных фотосфер и последующего вычисления непрерывных и линейчатых спектров звёзд можно указать большую работу де Ягера и Невена. Названные авторы построили 50 моделей фотосфер с поверхностными температурами 𝑇₀ от 4 000 до 25 000𝙺 и с значениями lg 𝑔 от 1 до 5. Для каждой модели было найдено распределение энергии в непрерывном спектре и определены профили и эквивалентные ширины многих линий (водорода, гелия, углерода, азота и других атомов). Часть результатов, относящихся к линии 𝙷_γ, приведена в табл. 10. Эта таблица, составленная для случая 𝑇₀= 14 000𝙺, содержит значения величины 𝑟_ν на разных расстояниях от центра линии (выраженных в ангстремах) и при различных значениях lg 𝑔. В последнем столбце таблицы даны значения эквивалентной ширины 𝑊 в ангстремах.

Таблица 10

Величины 𝑟_ν и 𝑊 для линии 𝙷_γ

при разных ускорениях силы тяжести

в атмосфере звезды

lg 𝑔

0,5

𝑊

0,70

0,74

0,92

0,97

1,00

0,60

0,72

0,76

0,84

0,92

0,99

1,00

0,90

0,74

0,78

0,81

0,86

0,91

0,96

1,00

2,05

0,75

0,76

0,77

0,80

0,86

0,93

0,98

1,00

3,50

0,78

0,79

0,81

0,83

0,86

0,90

0,95

1,00

4,20

При вычислении профиля линии 𝙷_γ было взято выражение для коэффициента поглощения, учитывающее эффект Штарка. Как известно, этот эффект действует тем сильнее, чем больше плотность, а плотность в атмосфере тем больше, чем больше ускорение силы тяжести. Этим объясняется тот факт, что эквивалентная ширина линии 𝑊 растёт с увеличением 𝑔.

3. Слабые линии и крылья сильных линий.

Приведённые выше формулы, определяющие профили линий поглощения, сильно упрощаются в случае слабых линий, т.е. таких, для которых σ_ν≪α_ν. Очевидно, что это неравенство справедливо и для внешних частей сильных линий (которые называются обычно крыльями линий). Поэтому упрощение формулы для 𝑟_ν будет относиться и к ним.

Рассмотрим какую-либо линию в спектре всей звезды. При выполнении условия σ_ν≪α_ν формула (9.19) может быть переписана в виде

1-𝑟

_ν

(9.20)

Мы видим, что в данном случае величина 1-𝑟_ν пропорциональна коэффициенту поглощения в линии σ_ν. Что же касается множителя перед σ_ν, то его можно считать не зависящим от частоты.

В предыдущем параграфе были получены выражения для коэффициента поглощения во внешних частях линии. Пользуясь этими выражениями и формулой (9.20), можно найти величину 1-𝑟_ν в крыльях сильных линий. В частности, если σ_ν определяется затуханием излучения, то

1-𝑟

_λ

𝐷₁

(Δλ)²

(9.21)

а если σ_ν определяется эффектом Штарка, то

1-𝑟

_λ

𝐷₂

(Δλ)⁵^/²

(9.22)

где 𝐷₁ и 𝐷₂ – некоторые постоянные. Следует, однако, иметь в виду, что в формуле (9.22) принято во внимание лишь влияние протонов. Если же учитывать и влияние электронов, то, как можно заключить на основании выражения (8.48) для коэффициента поглощения, в достаточно далёких крыльях линий величина 1-𝑟_λ опять даётся формулой (9.21) (разумеется, с другим значением постоянной 𝐷₁). Значение Δλ, при котором надо перейти от одной формулы к другой для величины 1-𝑟_λ в случае действия эффекта Штарка, зависит от электронной концентрации и температуры.

Формула (9.20) является приближённой, так как она основана на приближённой формуле (9.15) и на допущении, что величина σ_ν/α_ν не меняется в атмосфере. Однако при выполнении неравенства σ_ν≪α_ν можно также получить упрощённую формулу для 𝑟_ν, не делая указанных предположений.

На основании формул (9.11) и (9.12) имеем

𝑟

_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ 𝑡_ν 𝑑𝑡_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ 𝑡_ν 𝑑τ_ν

(9.23)

Займёмся числителем этого выражения. Пользуясь равенством

𝑑𝑡

_ν

⎛

⎜

⎝

σ_ν

α_ν

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

_ν

мы можем представить его в виде суммы:

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑𝑡

_ν

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑τ

_ν

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

σ_ν

α_ν

𝑑τ

_ν

(9.24)

Для первого слагаемого находим

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑τ

_ν

∞

∫

𝑑𝑧

𝑧²

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑒

^-𝑡

^𝑧

𝑑τ

_ν

∞

∫

𝑑𝑧

𝑧²

∞

∫

𝑒

^{-(𝑡_ν-τ_ν)𝑧}

𝑑τ

_ν

𝑑

𝑑τ_ν

∞

∫

τ_ν

𝐵

_ν

(𝑇')

𝑒

^-τ'_ν𝑧

𝑑τ'

_ν

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

_ν

𝑑τ

_ν

–

∞

∫

σ_ν

α_ν

𝑑τ

_ν

∞

∫

τ_ν

𝐵

_ν

(𝑇')

𝐸₁

τ'

_ν

𝑑τ'

_ν

(9.25)

(здесь использовано интегрирование по частям). Во втором же слагаемом при σ_ν≪α_ν можно просто заменить 𝑡_ν на τ_ν. Поэтому вместо соотношения (9.24) получаем

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

𝑡

_ν

𝑑𝑡

_ν

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

_ν

𝑑τ

_ν

–

∞

∫

σ_ν

α_ν

𝑑τ

_ν

⎡

⎢

⎣

∞

∫

τ_ν

𝐵

_ν

(𝑇')

𝐸₁

τ'

_ν

𝑑τ'

_ν

–

𝐵

_ν

(𝑇)

𝐸₂

_ν

⎤

⎥

⎦

(9.26)

Подстановка (9.26) в (9.23) даёт

1-𝑟

_ν

∞

∫

σ_ν

α_ν

𝐺(τ

_ν

)

𝑑τ

_ν

(9.27)

где обозначено

𝐺(τ

_ν

)

∞

∫

τ_ν 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₁ τ_ν 𝑑τ_ν – 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ τ_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ τ_ν 𝑑τ_ν

(9.28)

Формулу (9.28) можно переписать также в виде

𝐺(τ

_ν

)

∞

∫

τ_ν

𝑑𝐵_ν(𝑇)

𝑑τ_ν 𝐸₂ τ_ν 𝑑τ_ν

∞

∫

0 𝐵_ν(𝑇) 𝐸₂ τ_ν 𝑑τ_ν

(9.29)

Таким образом, для искомой величины 𝑟_ν мы получили формулу (9.27), в которой функция 𝐺(τ_ν) даётся формулой (9.29). Легко видеть, что в случае, когда для 𝐵_ν(𝑇) принимается выражение (9.15) и величина σ_ν/α_ν считается постоянной в атмосфере, формула (9.27) переходит в приведённую выше формулу (9.20).

В формуле (9.27) функция 𝐺(τ_ν) представляет собой весовую функцию при величине σ_ν/α_ν. Удобство вычислений по этой формуле обусловлено тем, что весовая функция зависит только от величин, характеризующих непрерывный спектр (но не линии), и слабо зависит от частоты. Поэтому для данной атмосферы весовую функцию можно заранее табулировать и затем вычислять профили различных линий по формуле (9.27).

Вопрос о вычислении величины 𝑟_ν для слабых линий и для крыльев сильных линий был впервые рассмотрен Унзольдом (см. [5]). Предложенный им «метод весовых функций» мы изложили выше для случая, когда делается предположение о локальном термодинамическом равновесии. Однако этот метод с различными видоизменениями применяется также и в других случаях.

4. Отклонения от термодинамического равновесия.

Сделанное нами предположение о локальном термодинамическом равновесии сильно упрощает теорию звёздных спектров. Однако возникает важный вопрос о том, в какой мере справедливо это предположение.

Обратимся прежде всего к сравнению теории с наблюдениями. Из формулы (9.7) следует, что при переходе от центра диска к краю интенсивность внутри линии должна стремиться к интенсивности непрерывного спектра на краю диска, т.е. должно быть

𝐼

_ν

(0,θ)

→

𝐵

_ν

(𝑇₀)

при

→

(9.30)

Иными словами, линии поглощения на краю диска должны исчезать. Особенно ясно это видно из формулы (9.18), из которой следует, что 𝑟_ν(θ)→1 при θ→π/2.

Однако наблюдательные данные об изменении профилей линий на диске Солнца показывают, что исчезновения линий на краю диска в действительности не происходит.

Легко понять, чем вызывается это расхождение между теорией и наблюдениями. В глубоких слоях атмосферы возбуждение атомов происходит в основном под действием столкновений. При этом благодаря максвелловскому распределению частиц по скоростям устанавливается больцмановское распределение атомов по возбуждённым уровням. В свою очередь это приводит к тому, что отношение коэффициента излучения ε_ν к коэффициенту поглощения σ_ν будет равняться планковской интенсивности при температуре, равной кинетической температуре газа. Таким образом, в глубоких слоях атмосферы можно предполагать наличие локального термодинамического равновесия. Однако при переходе к менее глубоким слоям роль столкновений в возбуждении атомов уменьшается, а в самых верхних слоях возбуждение вызывается в основном излучением. Вследствие же того, что плотность этого излучения сильно отличается от планковской плотности, распределение атомов по состояниям уже не будет определяться формулой Больцмана. Поэтому не будет соблюдаться и закон Кирхгофа – Планка.

Таким образом, в верхних слоях атмосферы должны существовать значительные отклонения от локального термодинамического равновесия. Этим и объясняется тот факт, что профили линий, вычисленные при предположении о наличии локального термодинамического равновесия, не согласуются с наблюдаемыми профилями линий.

Из сказанного следует, что при решении задачи об образовании линий поглощения в звёздных спектрах коэффициент излучения в линии ε_ν нельзя задавать формулой (9.3), а его следует определять в ходе решения самой задачи. Точнее говоря, нахождение профилей линий поглощения должно основываться на рассмотрении переноса излучения в спектральных линиях. Таким рассмотрением мы займёмся в следующих параграфах. Пока же заметим, что строгое решение задачи об образовании линейчатых спектров звёзд представляет большие трудности. Поэтому при вычислении профилей линий часто всё-таки пользуются приведёнными выше формулами, основанными на предположении о локальном термодинамическом равновесии. По-видимому, приближённо это можно делать для слабых линий, возникающих в сравнительно глубоких слоях атмосферы.

Ясно, что при исследовании переноса излучения в спектральных линиях следует одновременно принимать во внимание все линии данного атома, т.е. иметь дело с многоуровенным атомом. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать в основном изолированную спектральную линию, т.е. двухуровенный атом. Это необходимо сделать как для получения первого приближения к действительности, так и для более отчётливого понимания физических процессов, ведущих к образованию линейчатых спектров звёзд.

§ 10. Линии поглощения при когерентном рассеянии

1. Модель Шварцшильда – Шустера.

В предыдущем параграфе мы сделали допущение о локальном термодинамическом равновесии в звёздных атмосферах и в соответствии с этим для коэффициента излучения в линии ε_ν пользовались формулой (9.3). Однако это допущение не подтверждается наблюдениями, и поэтому мы должны рассмотреть те реальные физические процессы, которые обусловливают величину ε_ν. Как уже говорилось, возбуждение атомов во внешних слоях звёзд вызывается в основном излучением. Следовательно, энергия, излучаемая каким-либо объёмом, зависит от лучистой энергии, поглощаемой этим объёмом. Поэтому чтобы написать выражение для ε_ν надо знать долю энергии, излучаемой в частоте ν внутри данной линии, из общего количества поглощаемой лучистой энергии.

Сначала при нахождении величины ε_ν мы сделаем следующие два предположения:

1. Будем считать, что количество энергии, излучаемое элементарным объёмом в данной линии, точно равно количеству энергии, поглощаемому этим объёмом в той же линии, т.е. нет перераспределения энергии между линиями, а также нет других процессов, ведущих к появлению или исчезновению квантов в рассматриваемой линии. В таком случае говорят о чистом рассеянии излучения в спектральной линии.

2. Будем считать, что энергия, поглощаемая элементарным объёмом в данной частоте внутри линии, испускается им в точности в той же частоте, т.е. нет перераспределения излучения по частотам внутри линии. Такой процесс называется когерентным рассеянием излучения.

Указанные предположения были сделаны ещё в первых работах по теории звёздных спектров и принимались в течение долгого времени. Впоследствии выяснилось, что они весьма далеки от действительности. Это повело к различным уточнениям теории, которые мы рассмотрим позднее.

Из сделанных предположений вытекает, что каждый элементарный объём излучает столько энергии в данной частоте внутри линии, сколько он её поглощает. Таким образом, мы считаем, что в звёздной атмосфере осуществляется монохроматическое лучистое равновесие. Уравнение, выражающее это равновесие, записывается, очевидно, так:

4πε

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

(10.1)

где интегрирование производится по всем телесным углам.

Как уже говорилось во введении к этой главе, первоначально в теории звёздных спектров принималось существование резкой границы между фотосферой и атмосферой. При этом считалось, что из фотосферы идёт излучение без линий поглощения, а эти линии возникают при прохождении излучения через атмосферу. Такая модель внешних слоёв звезды называется моделью Шварцшильда – Шустера.

Принимая эту модель, мы должны в уравнении переноса излучения (9.1) положить равными нулю коэффициенты поглощения и излучения в непрерывном спектре. В таком случае уравнение переноса излучения принимает вид

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

_ν

𝐼

_ν

(10.2)

Введём оптическую глубину в частоте ν

𝑡

_ν

∞

∫

𝑟

_ν

𝑑𝑟

(10.3)

и обозначим

_ν

𝑆

_ν

(10.4)

Тогда вместо уравнений (10.1) и (10.2) получаем

cos θ

𝑑𝐼_ν(𝑡_ν,θ)

𝑑𝑡_ν

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

,θ)

–

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

∫

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

,θ)

sin θ

𝑑θ

(10.5)

Заметим, что уравнения (10.5) формально не отличаются от уравнений (2.8) в теории фотосфер. Однако уравнения (2.8) относятся к интегральному излучению, а уравнения (10.5) – к излучению определённой частоты ν внутри линии.

К системе уравнений (10.5) надо добавить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (при 𝑡_ν=0) выражает отсутствие излучения, падающего на звезду извне:

𝐼

_ν

(0,θ)

при

(10.6)

Условие на нижней границе атмосферы (при 𝑡_ν=𝑡_ν⁰) должно выражать собой тот факт, что интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу, задана и равна интенсивности непрерывного спектра в частоте ν (её, очевидно, можно считать равной интенсивности излучения, выходящего из атмосферы вблизи линии). Обозначая, как и раньше, эту интенсивность через 𝐼_ν⁰(0,θ), имеем

𝐼

_ν

(𝑡

_ν

⁰,θ)

𝐼

_ν

⁰(0,θ)

при

(10.7)

Таким образом, задача состоит в решении системы уравнений (10.5) при граничных условиях (10.6) и (10.7).

Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы методы, изложенные в гл. I. Применим к ней первый приближённый метод (т.е. метод Шварцшильда – Шустера).

Обозначая через 𝐼_ν' среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼_νʺ – среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз, вместо системы уравнений (10.5) приближённо получаем

𝑑𝐼_ν'

𝑑𝑡_ν

𝐼

_ν

–

𝑆

_ν

–

𝑑𝐼_νʺ

𝑑𝑡_ν

𝐼

_ν

–

𝑆

_ν

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

_ν

(

𝐼

_ν

–

𝐼

_ν

(10.8)

Из уравнений (10.8) следует

𝐼

_ν

–

𝐼

_ν

𝐹

_ν

𝐼

_ν

𝐼

_ν

2𝐹

_ν

𝑡

_ν

𝐶

_ν

(10.9)

где 𝐹_ν и 𝐶_ν – произвольные постоянные.

Граничные условия (10.6) и (10.7) в данном случае принимают вид

𝐼

_ν

при

𝑡

_ν

𝐼

_ν

𝐼

_ν

⁰

при

𝑡

_ν

𝑡

_ν

⁰

(10.10)

где 𝐼_ν⁰ – средняя интенсивность излучения, входящего из фотосферы в атмосферу. При помощи (10.10) находим

𝐶

_ν

𝐹

_ν

𝐹

_ν

𝐼_ν⁰

1+𝑡_ν⁰

(10.11)

Знание произвольных постоянных позволяет получить из уравнений (10.8) и (10.9) следующее выражение для функции 𝑆_ν:

𝑆

_ν

𝐼_ν⁰

1+𝑡_ν⁰

⎛

⎜

⎝

𝑡

_ν

⎞

⎟

⎠

(10.12)

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, в рассматриваемом случае равна

𝐼

_ν

(0,θ)

𝑡_ν⁰

∫

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

𝑒

^{-𝑡_νsec θ}

sec θ

𝑑𝑡

_ν

𝐼

_ν

⁰(0,θ)

𝑒

^{-𝑡_ν⁰sec θ}

(10.13)

Если мы подставим сюда найденное выражение для 𝑆_ν и воспользуемся формулой (9.10), то получим искомую величину 𝑟_ν(θ), характеризующую профиль линии поглощения на угловом расстоянии θ от центра диска.

Чтобы определить величину 𝑟_ν, характеризующую профиль линии в спектре всей звезды, надо найти потоки излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν внутри линии и в непрерывном спектре вблизи линии. В принятом приближении эти величины равны

𝐻

_ν

π𝐹

_ν

𝐻

_ν

⁰

𝐹

_ν

⁰

(10.14)

Подставляя (10.14) в (9.11) и пользуясь второй из формул (10.11), получаем

𝑟

_ν

1+𝑡_ν⁰

(10.15)

Заметим, что величина 1/(1+𝑡_ν⁰) представляет собой долю фотосферного излучения, пропущенного атмосферой в частоте ν (вообще говоря, после многократных рассеяний). Величина же 𝑡_ν⁰/(1+𝑡_ν⁰) есть доля этого излучения, отражённого обратно в фотосферу.

Мы можем переписать формулу (10.15) в несколько другом виде. Входящая в неё величина 𝑡_ν⁰/(1+𝑡_ν⁰) представляющая собой оптическую толщину атмосферы в частоте ν, равна

𝑡

_ν

⁰/(1+𝑡

_ν

⁰)

∞

∫

𝑟₀

_ν

𝑑𝑟

(10.16)

где 𝑟₀ – радиус основания атмосферы. Представим объёмный коэффициент поглощения в виде σ_ν=𝑛𝑘_ν, где 𝑛 – число атомов в нижнем состоянии для данной линии (или, как иногда говорят, число поглощающих атомов) в 1 см³ и 𝑘_ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Тогда, считая, что 𝑘_ν не зависит от места в атмосфере, вместо (10.16) получаем

𝑡

_ν

⁰

𝑘

_ν

𝑁

(10.17)

где

𝑁

∞

∫

𝑟₀

𝑛(𝑟)

𝑑𝑟

(10.18)

Величина 𝑁 есть число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см² над фотосферой. Подставляя (10.17) в (10.15), находим

𝑟

_ν

1+𝑘_ν𝑁

(10.19)

Если бы для решения системы уравнений (10.5) мы использовали второй приближённый метод (т.е. метод Эддингтона), то получили бы следующее выражение для величины 𝑟_ν:

𝑟

_ν

𝑘

_ν

𝑁

(10.20)

Как видим, оно не сильно отличается от выражения (10.19).

2. Модель Эддингтона.

Сделанное выше предположение о разделении внешних частей звезды на два слоя, фотосферу и атмосферу, является довольно грубым. Теперь мы откажемся от этого предположения и будем считать, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение и излучение энергии как в непрерывном спектре, так и в линиях. Такую модель внешних слоёв звезды будем называть моделью Эддингтона.

Строго говоря, при принятии модели Эддингтона задачи об образовании непрерывного и линейчатого спектров звёзд следует рассматривать совместно. Однако влияние поглощения и излучения в линиях на возникновение непрерывного спектра невелико и в первом приближении им можно пренебречь (это влияние, как мы знаем из § 8, учитывается во втором приближении в виде так называемого «покровного эффекта»). Следовательно, при решении задачи об образовании линейчатых спектров звёзд все величины, относящиеся к непрерывному спектру, можно считать известными.

Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим– уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

(σ

_ν

+α

_ν

)

𝐼

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

(10.21)

Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины 𝐼_ν:

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

(σ

_ν

+α

_ν

)

𝐼

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

(10.22)

Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре τ_ν посредством соотношения 𝑑τ_ν=-α_ν𝑑𝑟, вместо (10.22) находим

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

(η

_ν

+1)

𝐼

_ν

–

_ν

∫

𝑑ω

4π

–

𝐵

_ν

(𝑇)

(10.23)

где обозначено

_ν

σ_ν

α_ν

(10.24)

Вообще говоря, величина η_ν является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что η_ν=const.

Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:

𝐼

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

𝐻

_ν

∫

𝐼

_ν

cos θ

𝑑ω

4π

(10.25)

Величина 𝐼_ν представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4π𝐻_ν – поток излучения.

Умножив (10.23) сначала на 𝑑ω/4π, а затем на cos θ 𝑑ω/4π, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим

𝑑𝐻_ν

𝑑τ_ν

𝐼

_ν

–

𝐵

_ν

(10.26)

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

(1+η

_ν

)

𝐻

_ν

(10.27)

Здесь мы использовали приближённое соотношение

∫

𝐼

_ν

cos²θ

𝑑ω

4π

𝐼

_ν

(10.28)

Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения 𝐼_ν:

𝑑²𝐼_ν

𝑑τ_ν²

3(1+η

_ν

)

(

𝐼

_ν

–

𝐵

_ν

(10.29)

Для величины 𝐵_ν(𝑇), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от τ_ν. В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно 𝐵_ν(𝑇). В качестве общего же решения этого уравнения находим

𝐼

_ν

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

–τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

𝐷

_ν

exp

⎛

⎝

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

𝐵

_ν

(10.30)

где 𝐶_ν и 𝐷_ν – произвольные постоянные.

Очевидно, что в глубоких слоях атмосферы, где линии в спектре отсутствуют, 𝐼_ν=𝐶_ν. Поэтому должно быть 𝐷_ν=0. Следовательно, имеем

𝐼

_ν

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

–τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+β

_ν

⃰τ

_ν

)

(10.31)

где обозначено β_ν⃰=β_να/α_ν. При помощи (10.27) получаем

𝐻

_ν

3(1+η_ν)

⎡

⎢

⎣

–

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

–τ

_ν

√

3(1+η

_ν

)

⎞

⎠

√

3(1+η

_ν

)

𝐵

_ν

(𝑇₀)

_ν

⃰

⎤

⎥

⎦

(10.32)

Для определения постоянной 𝐶_ν надо использовать граничное условие (10.6). В принятом приближении его можно записать в виде

𝐼

_ν

𝐻

_ν

(при

_ν

)

(10.33)

Подставляя (10.31) и (10.32) в (10.33), находим

𝐶

_ν

√

3(1+η

_ν

)

3(1+η_ν)-2β_ν⃰

√3(1+η_ν)+2

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(10.34)

Так как нашей задачей является определение профиля линии поглощения в спектре звезды, то нам надо найти поток выходящего из звезды излучения, т.е. величину 𝐻_ν(0)=4π𝐻(0). Полагая в формуле (10.32) τ_ν=0 и принимая во внимание (10.34), получаем.

_ν

⃰

𝐻

_ν

(0)

4π

𝐵

_ν

(𝑇₀)

√

3(1+η

_ν