Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 33 (всего у книги 35 страниц)

3. Перенос энергии внутри звезды.

Выше уже отмечалось, что важную роль в переносе энергии внутри звезды играет лучеиспускание. Поэтому необходимо выяснить, при каких процессах происходит поглощение лучистой энергии внутри звезды. Как и в фотосферах, основными из этих процессов являются следующие: 1) переходы электронов из связанных состояний в свободные, т.е. фотоионизация атомов, 2) переходы электронов из свободных состояний в свободные, 3) рассеяние излучения на свободных электронах.

Вследствие очень высоких температур внутри звезды лёгкие атомы (в частности, водород и гелий) полностью ионизованы. Поэтому поглощение излучения, связанное с фотоионизацией атомов, может производиться лишь тяжёлыми атомами. Так как тяжёлые атомы также лишены значительной части своих электронов, то приближённо их можно считать водородоподобными. Коэффициент поглощения, обусловленный фотоионизацией атомов водорода, даётся формулой (5.8) гл. I. Аналогично пишется и коэффициент поглощения, обусловленный фотоионизацией водородоподобных атомов:

α

_ν

́

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π𝑒⁶

3√3 𝑐ℎ 𝑚

𝑍₁²

(2π𝑚𝑘𝑇)¹^/²

χ₁

𝑘𝑇

1

ν³

×

×

∞

∫

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑘ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(36.29)

где 𝑍₁ – эффективный заряд иона.

Свободно-свободные переходы электронов происходят в основном в поле ядер водорода и гелия. Коэффициент поглощения, обусловленный этими переходами, равен

α

_ν

ʺ

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2³π𝑒⁶𝑍₁²

3√3 𝑐ℎ 𝑚(2π𝑚𝑘𝑇)¹^/²

𝑔_ν

ν³

.

(36.30)

При 𝑍₁=1 т.е. для водорода, из этой формулы получается формула (5.10) гл. I.

Коэффициент рассеяния на свободных электронах, как известно, даётся формулой

σ

_𝑒

=

𝑛

_𝑒

σ₀

=

𝑛

_𝑒

8π

3

⎛

⎜

⎝

𝑒²

𝑚𝑐²

⎞²

⎟

⎠

.

(36.31)

В уравнение (35.46), выражающее энергетическое равновесие звезды, входит средний коэффициент поглощения ϰ, рассчитанный на единицу массы. Поэтому приведённые выше выражения для объёмных коэффициентов поглощения следует усреднить по частоте и воспользоваться соотношением α=ϰρ.

Средний коэффициент поглощения атомами водорода уже был определён в гл. I и даётся формулой (5.34). Указанная формула применима и к водородоподобным атомам. Основываясь на ней, можно получить следующие выражения для коэффициентов поглощения, обусловленных фотоионизациями и свободно-свободными переходами соответственно:

ϰ'

=

2,4

χ₁

𝑘𝑇

𝑛_𝑒𝑛⁺

ρ

80𝑒⁶ℎ²𝑍₁²

π²√3 𝑐 (2π𝑚)³^/²

𝑔

(𝑘𝑇)⁷^/²

(36.32)

и

ϰʺ

=

𝑛_𝑒𝑛⁺

ρ

80𝑒⁶ℎ²𝑍₁²

π²√3 𝑐 (2π𝑚)³^/²

𝑔

(𝑘𝑇)⁷^/²

.

(36.33)

Здесь через 𝑔 обозначено среднее значение множителя Гаунта.

Входящие в формулы (36.32) и (36.33) величины 𝑛_𝑒 и 𝑛⁺ зависят от плотности и химического состава. Пусть, как и раньше, 𝑋 – весовая доля водорода и 𝑌 – весовая доля гелия. Число свободных электронов в 1 см³, возникающих при ионизации водорода и гелия, равно соответственно 𝑋ρ/𝑚_𝙷 и 𝑌ρ/2𝑚_𝙷. Можно считать, что ионизация тяжёлых элементов даёт

1

2

𝐴(1-𝑋-𝑌)

ρ

𝐴𝑚_𝙷

электронов в 1 см³. Поэтому полная концентрация свободных электронов будет равна

𝑛

_𝑒

=

1

2

(1+𝑋)

ρ

𝑚_𝙷

.

(36.34)

Величина 𝑛⁺, входящая в формулу (36.32), представляет собой концентрацию атомов данного элемента в стадии ионизации, следующей за той, в которой находятся поглощающие атомы. Очевидно, что в каждом месте звезды поглощение производится в основном атомами, находящимися в одной определённой стадии ионизации. Как уже говорилось, для этой стадии ионизации величина χ₁/𝑘𝑇 должна быть порядка единицы. Величину 𝑛⁺ можно приближённо считать равной концентрации всех атомов рассматриваемого элемента, т.е. равной весовой доле этого элемента, умноженной на ρ/𝐴𝑚_𝙷. Суммируя величины 𝑛⁺𝑍₁² для всех тяжёлых атомов и принимая для 𝑍₁²/𝐴 некоторое среднее значение, получаем величину

(1-𝑋-𝑌)

ρ

𝑚_𝙷

𝑍₁²

𝐴

.

Разумеется, этот подсчёт является довольно грубым.

Величина 𝑛⁺, входящая в формулу (36.33), есть концентрация ионизованных атомов водорода или гелия. Для водорода величина 𝑛⁺𝑍₁² равна 𝑋ρ/𝑚_𝙷, а для гелия 𝑌ρ/𝑚_𝙷. Сумма этих величин равна

(𝑋+𝑌)

ρ

𝑚_𝙷

.

Принимая во внимание сказанное, вместо формул (36.32) и (36.33) получаем

ϰ'

=

𝐶'

𝑔

(1+𝑋)

(1-𝑋-𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

(36.35)

и

ϰʺ

=

𝐶ʺ

𝑔

(1+𝑋)

(𝑋+𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

,

(36.36)

где 𝐶' и 𝐶ʺ – некоторые постоянные.

Формулы (36.35) и (36.36) получены путём усреднения коэффициентов поглощения по частоте при весовой функции, представляющей собой планковскую интенсивность. Обычно же средние коэффициенты поглощения находятся по формуле Росселанда. Однако и в этом случае получаются формулы, похожие на формулы (36.35) и (36.36). Некоторое различие между ними заключается лишь в численных коэффициентах. Например, в книге М. Шварцшильда [4] приводятся следующие выражения для росселандовых средних:

ϰ'

=

4,3⋅10²⁵

𝑔

𝑡

(1+𝑋)

(1-𝑋-𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

,

(36.37)

ϰʺ

=

4,3⋅10²²

𝑔

(1+𝑋)

(𝑋+𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

.

(36.38)

Здесь 𝑡 – так называемый гильотинный множитель (порядка единицы).

Коэффициент рассеяния на свободных электронах, определённый формулой (36.31), не зависит от частоты. Полагая σ_𝑒=ϰ_𝑒ρ и пользуясь формулой (36.34), получаем

ϰ

_𝑒

=

σ₀

2𝑚_𝙷

(1+𝑋)

=

0,2

(1+𝑋)

.

(36.39)

Формулами (36.37) – (36.39) определяются средние коэффициенты поглощения в зависимости от химического состава, плотности и температуры. Из этих формул можно заключить, что наибольшую роль в поглощении лучистой энергии внутри звёзд играет фотоионизация. Свободно-свободные переходы вносят заметный вклад в поглощение лишь при большом относительном содержании водорода и гелия. Рассеяние света на свободных электронах имеет существенное значение при малых плотностях и высоких температурах.

Кроме лучеиспускания, некоторую роль в переносе энергии внутри звёзд играет теплопроводность. Количество тепловой энергии внутри звезды даже превосходит количество лучистой энергии. Однако лучеиспускание играет все же бо́льшую роль по сравнению с теплопроводностью, так как скорость и длина свободного пробега для фотонов гораздо больше, чем для электронов. В каждом месте звезды происходят переходы тепловой энергии в лучистую и обратно (при поглощении и излучении фотонов) и перенос энергии в основном совершается тогда, когда она находится в форме лучистой энергии. В некоторых же случаях необходимо принимать во внимание и перенос энергии электронной теплопроводностью. Относительная роль электронной теплопроводности растёт с увеличением плотности. Особенно велика эта роль в случае белых карликов вследствие вырождения в них электронного газа. Объясняется это тем, что в вырожденном газе заняты все нижние состояния и длина свободного пробега электрона оказывается очень большой.

Когда мы занимались фотосферой Солнца, то был рассмотрен (в § 15) ещё один механизм переноса энергии – конвекция. В поверхностных слоях звёзд конвективный перенос энергии может играть значительную роль. Применение критерия (15.10) гл. III показало, что и в некоторых частях внутри звезды лучистое равновесие может оказаться неустойчивым и должна возникнуть конвекция. Если мощность источников энергии сильно возрастает при приближении к центру звезды, то в звезде должно существовать конвективное ядро. В этом случае уравнение (35.46), выражающее условие энергетического равновесия звезды, должно быть соответствующим образом изменено.

4. Ядерные реакции как источник звёздной энергии.

При поисках источников звёздной энергии давно была высказана мысль о возможности выделения больших количеств энергии в ходе ядерных реакций. Допустим, что при некоторой реакции образуется ядро, масса которого на величину Δ𝑀 меньше суммы масс ядер, вступающих в реакцию. Тогда на основании принципа Эйнштейна, утверждающего эквивалентность массы и энергии, при такой реакции выделяется энергия

Δ

𝐸

=

𝑐²

Δ

𝑀

,

(36.40)

где 𝑐 – скорость света.

Основную роль в выделении энергии внутри звёзд играют ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Как известно, атомная масса водорода равна 1,008, а атомная масса гелия равна 4,003 (в кислородных единицах). Поэтому при образовании из четырёх атомов водорода одного атома гелия выделяется энергия, соответствующая приблизительно 0,7% массы. Следовательно, звезда, состоящая первоначально из водорода, должна при превращении водорода в гелий выделить энергию, равную

Δ

𝐸

=

6⋅10¹⁸

𝑀

,

(36.41)

где 𝑀 – масса звезды. В частности, для Солнца получаем Δ𝐸≈10⁵² эрг. Эта энергия может обеспечить излучение Солнца при нынешней его светимости в течение 10¹¹ лет, т.е. достаточно долго с точки зрения современных представлений о сроках существования звёзд.

Превращение водорода в гелий внутри звёзд происходит при двух циклах реакций: протон-протонном и углеродном.

Основная ветвь протон-протонного цикла (который называют также водородным) состоит из трёх реакций:

1)

¹𝙷+¹𝙷

→

²𝙷+e⁺+ν (0,42 МэВ),

2)

¹𝙷+²𝙷

→

³𝙷𝚎+γ,

3)

³𝙷𝚎+³𝙷𝚎

→

⁴𝙷𝚎+¹𝙷+¹𝙷.

Мы видим, что сначала при встрече двух протонов образуются дейтрон (ядро тяжёлого водорода), позитрон и нейтрино. Позитрон сразу же соединяется с каким-либо электроном и вместе с ним исчезает, испуская два γ-кванта. Нейтрино беспрепятственно выходит из звезды, унося с собой некоторую часть выделившейся энергии. Затем образовавшийся дейтрон соединяется с каким-нибудь протоном, в результате чего возникает ядро ³𝙷𝚎 и излучается γ-квант. Наконец, при столкновении двух частиц ³𝙷𝚎 образуются ядро гелия ⁴𝙷𝚎 (α-частица) и два протона.

Как показывают оценки, из всех ядер гелия, возникающих в водородном цикле, примерно 80% приходится на его основную ветвь. Остальные же 20% дают две боковые ветви, в которых сначала вместо последней из указанных выше реакций происходит реакция с образованием бериллия

³𝙷𝚎+⁴𝙷𝚎

→

⁷𝙱𝚎+γ

Затем в первой боковой ветви (сильно преобладающей над второй) идут реакции

⁷𝙱𝚎+e⁻

→

⁷𝙻𝚒+ν

(𝐸

_ν

=0,86 МэВ),

⁷𝙻𝚒+¹𝙷

→

⁴𝙷𝚎+⁴𝙷𝚎,

а во второй ветви

⁷𝙱𝚎+¹𝙷

→

⁸𝙱+γ,

⁸𝙱

→

⁸𝙱𝚎+e⁺+ν

(𝐸

_max

=14 МэВ),

⁸𝙱𝚎

→

⁴𝙷𝚎+⁴𝙷𝚎.

Углеродный цикл (называемый также «циклом Бете») состоит из шести реакций:

1)

¹²𝙲+¹𝙷

→

¹³𝙽+γ,

2)

¹³𝙽

→

¹³𝙲+e⁺+ν

(𝐸

_max

=1,2 МэВ),

3)

¹³𝙲+¹𝙷

→

¹⁴𝙽+γ,

4)

¹⁴𝙽+¹𝙷

→

¹⁵𝙾+γ,

5)

¹⁵𝙾

→

¹⁵𝙽+e⁺+ν

(𝐸

_max

=1,7 МэВ),

6)

¹⁵𝙽+¹𝙷

→

¹²𝙲+⁴𝙷𝚎.

В этом цикле углерод выступает как катализатор.

Для всех приведённых выше реакций, связанных с испусканием нейтрино, в скобках указана уносимая им энергия. При этом под 𝐸_ν понимается дискретная энергия, а под 𝐸_max – максимальное значение энергии в случае непрерывного энергетического спектра нейтрино.

Количество энергии, выделяющейся при образовании одного ядра гелия в водородном цикле, составляет 4,2⋅10⁻⁵ эрг, а в углеродном – 4,0⋅10⁻⁵ эрг. Некоторое различие между этими цифрами объясняется тем, что энергия, уносимая нейтрино, во втором цикле больше, чем в первом.

Для определения количества энергии, вырабатываемой одним граммом вещества за одну секунду (эта величина была выше обозначена через ε), необходимо знать эффективные поперечные сечения для ядерных реакций. При теоретическом определении этих сечений принимается во внимание, что ядерные силы сцепления действуют лишь на расстояниях, не превышающих по порядку 10⁻¹² см, а на больших расстояниях ядра отталкиваются согласно закону Кулона. Если встречаются ядра с зарядами 𝑍₁𝑒 и 𝑍₂𝑒, то при расстоянии 𝑟 между ними энергия отталкивания равна 𝑍₁𝑍₂𝑒²/𝑟 а их средняя кинетическая энергия равна 3𝑘𝑇. Поэтому для преодоления кулоновского барьера (при 𝑟≈10⁻¹² см) большинством ядер необходима температура порядка 𝑇≈5⋅10⁸𝑍₁𝑍₂. Поскольку такая температура слишком высока даже для звёздных недр, то в действительности преодоление кулоновского барьера ядрами осуществляется вследствие «туннельного эффекта», т.е. благодаря определённой вероятности прохождения потенциального барьера частицей с энергией, меньшей величины этого барьера.

Поперечные сечения для ядерных реакций определялись теоретически и экспериментально (см., например, [5] и [6]). В результате было получено, что для протон-протонного цикла

ε

=

2,5⋅10⁶

ρ𝑋²

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞²/₃

⎟

⎠

exp

⎡

⎢

⎣

–33,8

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞¹/₃

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(36.42)

а для углеродного цикла

ε

=

9,5⋅10²⁸

ρ𝑋𝑋

_𝙲𝙽

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞²/₃

⎟

⎠

×

×

exp

⎡

⎢

⎣

–152,3

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞¹/₃

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(36.43)

Здесь 𝑋 – весовая доля водорода, 𝑋_𝙲𝙽 – весовая доля углерода и азота.

Формулы (36.42) и (36.43) можно переписать в более простом виде для определённых интервалов температур. Например, для температур от 3⋅10⁶ до 2⋅10⁷ кельвинов вместо (36.42) имеем

ε

=

9⋅10⁻³⁰

ρ𝑋²𝑇⁴

,

(36.44)

а для температур, близких к 2⋅10⁷ кельвинов, вместо (36.43) получаем

ε

=

3⋅10⁻¹⁵⁰

ρ𝑋𝑋

_𝙲𝙽

𝑇²¹

.

(36.45)

Выражения типа (36.44) и (36.45) применяются при приближённых расчётах.

Из приведённых формул видно, что величина ε для углеродного цикла растёт с температурой быстрее, чем для протон-протонного цикла. При температурах около 15—20 млн. кельвинов обе формулы для ε дают приблизительно одинаковые результаты. При меньших температурах основную роль в выработке энергии играет протон-протонный цикл, при бо́льших – углеродный цикл.

Кроме рассмотренных выше ядерных реакций, при которых водород превращается в гелий, внутри звёзд могут идти и другие реакции. При температурах порядка 10⁸ кельвинов наибольшее значение имеет реакция, преобразующая гелий в углерод (так называемый «тройной альфа-процесс»):

3⁴𝙷𝚎

→

¹²𝙲+γ

.

Выделяющаяся при этой реакции энергия определяется формулой

ε

=

10⁻⁸

ρ²

𝑌³

⎛

⎜

⎝

𝑇

10⁸

⎞³⁰

⎟

⎠

,

(36.46)

где 𝑌 – весовая доля гелия.

Приведённые формулы для величины ε имеют большое значение для астрофизики, так как ядерные реакции являются главным источником энергии звёзд.

Необходимо также отметить, что в ходе ядерных реакций одни атомные ядра превращаются в другие ядра, т.е. происходит синтез химических элементов (нуклеосинтез). С примерами таких процессов мы уже встречались выше: водород превращается в гелий, а гелий – в углерод. При температурах порядка 10⁸ градусов в звёздах происходит также синтез и более сложных атомов при реакциях:

¹²𝙲+⁴𝙷𝚎

→

¹⁶𝙾+γ,

¹⁶𝙾+⁴𝙷𝚎

→

²⁰𝙽𝚎+γ,

²⁰𝙽𝚎+⁴𝙷𝚎

→

²⁴𝙼𝚐+γ.

При более высоких температурах идут также реакции между ядрами тяжёлых элементов, например,

¹²𝙲+¹²𝙲

→

²³𝙽𝚊+¹𝙷,

¹⁶𝙾+¹⁶𝙾

→

³²𝚂+γ.

В ядерной физике определены эффективные поперечные сечении для многих реакций, идущих в звёздах. Процессами нуклеосинтеза объясняется химический состав не только звёзд, но и межзвёздной среды (так как большое количество вещества выбрасывается из звёзд в межзвёздное пространство).

§ 37. Строение и эволюция звёзд

1. Основные уравнения.

В § 35 были написаны основные уравнения теории внутреннего строения звёзд – уравнения (35.5) и (35.46). Первое из них выражает условие механического равновесия звезды, второе – условие энергетического равновесия. Далее было выяснено, как зависят входящие в эти уравнения параметры от физических условий внутри звезды. Это даёт возможность получить решения указанных уравнений без каких-либо дополнительных предположений, характерных для первого этапа построения теории.

Основные уравнения теории внутреннего строения звёзд можно записать в виде следующей системы уравнений:

𝑑𝑃

𝑑𝑟

=-

𝐺𝑀_𝑟

𝑟²

ρ

,

(37.1)

𝑑𝑀_𝑟

𝑑𝑟

=

4π

𝑟²

ρ

,

(37.2)

𝑑𝑇

𝑑𝑟

=-

3

4𝑎𝑐

ϰρ

𝑇³

𝐿_𝑟

4π𝑟²

,

(37.3)

𝑑𝐿_𝑟

𝑑𝑟

=

4π

𝑟²

ερ

.

(37.4)

Очевидно, что подстановка (37.2) в (37.1) даёт уравнение (35.5), а подстановка (37.4) в (37.3) – уравнение (35.46).

Входящее в уравнение (37.1) давление 𝑃 является суммой газового и светового давлений. Посредством уравнения состояния газа и закона Стефана – Больцмана давление 𝑃 выражается через температуру 𝑇, плотность ρ и средний молекулярный вес μ. В свою очередь величина μ определяется заданием химического состава. Формулой (36.10) она выражается через весовую долю водорода 𝑋 и весовую долю гелия 𝑌.

Средний коэффициент поглощения ϰ и количество вырабатываемой энергии ε также выражаются через ρ, 𝑇, 𝑋 и 𝑌. Соответствующие формулы были даны в предыдущем параграфе.

Таким образом, приведённая выше система четырёх уравнений (37.1) – (37.4) служит для определения четырёх неизвестных функций: 𝑀_𝑟, 𝐿_𝑟, ρ и 𝑇. Входящие в эту систему величины 𝑋 и 𝑌 считаются заданными.

К указанной системе уравнений следует ещё добавить граничные условия. В центре звезды мы, очевидно, имеем

𝑀

_𝑟

=

0,

𝐿

_𝑟

=

0

при

𝑟

=

0,

(37.5)

а на границе звезды

ρ

=

0,

𝑇

=

0

при

𝑟

=

𝑅.

(37.6)

Необходимо, однако, иметь в виду, что некоторые формулы, справедливые для внутренних слоёв звезды (в частности, выражения для ϰ и μ), неприменимы к поверхностным слоям. Объясняется это тем, что при выводе этих формул делалось предположение о сильной ионизации газа, в то время как в поверхностных слоях степень ионизации мала. Поэтому применение приведённых выше уравнений вместе с граничными условиями (37.6) ко всей звезде может приводить к ненадёжным результатам. Более правильный путь решения задачи состоит в определении структуры поверхностных слоёв на основании теории фотосфер и в решении приведённых уравнений при «граничных условиях», вытекающих из данных о строении фотосферы.

Система уравнений (37.1) – (37.4) при указанных граничных условиях и при заданных значениях 𝑋 и 𝑌 полностью определяет структуру звезды. В результате решения этой системы находятся и значения величин 𝑀_𝑟 и 𝐿_𝑟 при 𝑟=𝑅, т.е. масса звезды 𝑀 и светимость 𝐿. На самом деле для каждой звезды значения 𝑀 и 𝐿 являются заданными. Поэтому задача об определении структуры звезды состоит не только в решении приведённой системы, но и в подборе подходящих значений 𝑋 и 𝑌.

Однако внутри звезды могут существовать большие различия в химическом составе, а значит, и в величинах 𝑋 и 𝑌. Вследствие этого задача о нахождении структуры звезды не является определённой. Причиной различий в химическом составе на разных глубинах в звезде является изменение скорости ядерных реакций при переходе от одного места звезды к другому: эта скорость тем больше, чем больше ρ и 𝑇. Поэтому внутри звёзд могут существовать области, в которых водород полностью или частично «выгорел». Все это принимается во внимание при построении теоретических моделей звёзд. Следовательно, теория внутреннего строения звёзд, неотделима от проблемы эволюции звёзд.

2. Методы расчёта звёздных моделей.

Выше мы видели, что решение проблемы внутреннего строения звёзд сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (37.1) – (37.4) при граничных условиях (37.5) и (37.6). Это интегрирование выполняется численно с помощью электронных вычислительных машин. В результате получаются теоретические модели звёзд. Сейчас мы кратко опишем некоторые методы, применяемые при расчётах звёздных моделей.

Интегрирование указанных уравнений можно начать от центра звезды. Так как при 𝑟=0 известны значения только двух искомых функций (𝑀_𝑟=0 и 𝐿_𝑟=0), то в этой точке мы должны задать также значения давления и температуры. При малых 𝑟 решение рассматриваемых уравнений можно получить в виде ряда. Ограничиваясь членами порядка 𝑟³, имеем

𝑀

_𝑟

=

4

3

πρ

_𝑐

𝑟³

,

(37.7)

𝐿

_𝑟

=

4

3

πρ

_𝑐

ε

_𝑐

𝑟³

,

(37.8)

𝑃

=

𝑃

_𝑐

–

2

3

π𝐺

ρ

_𝑐

²

𝑟²

,

(37.9)

𝑇

=

𝑇

_𝑐

–

ϰ_𝑐ε_𝑐ρ_𝑐²

8𝑎𝑐𝑇_𝑐

𝑟²

,

(37.10)

где индексом 𝑐 отмечены величины в центре звезды. Для перехода от малых 𝑟 к большим следует применить численное интегрирование уравнений. Оно заканчивается тогда, когда плотность и температура достигают своих значений на поверхности звезды (ρ=0 и 𝑇=0). При этом получаются определённые значения для массы звезды 𝑀, её светимости 𝐿 и радиуса 𝑅. Однако такая модель может сильно отличаться от реальных звёзд, т.е. не удовлетворять соотношениям «масса – светимость» и «спектр – светимость». Чтобы устранить расхождение, надо пытаться подобрать более подходящие значения 𝑃_𝑐 и 𝑇_𝑐. Если и это не приведёт к цели, то должен быть изменён принятый химический состав.

Интегрирование системы уравнений (37.1) – (37.4) можно начать также от поверхности звезды. Для внешних слоёв звезды, как и для её центральной области, может быть получено решение в аналитической форме. Оно основывается на том, что во внешних слоях отсутствуют источники энергии и в них содержится лишь очень небольшая доля массы звезды. Поэтому можно считать, что в этих слоях 𝑀_𝑟=𝑀 и 𝐿_𝑟=𝐿. Следовательно, нам надо определить только изменение с 𝑟 температуры и давления.

Разделив (37.1) на (37.3) и пользуясь постоянством массы и светимости, находим

𝑑𝑃

𝑑𝑇

=

16π𝐺 𝑎𝑐 𝑀

3ϰ𝐿

𝑇³

.

(37.11)

Входящий сюда коэффициент поглощения ϰ на основании (36.37) и (36.38) может быть представлен в виде

ϰ

=

ϰ₀

ρ

𝑇⁷^/²

,

(37.12)

где ϰ₀=const. Подставляя (37.12) в (37.11), применяя уравнение состояния (36.4) и производя интегрирование, получаем

𝑃²

=

64π𝐺 𝑀𝑎𝑐 𝑅^∗

51ϰ₀ μ𝐿

𝑇¹⁷

^/

²

.

(37.13)

Формула (37.13) связывает давление с температурой. Чтобы получить зависимость температуры от глубины, надо в уравнение (37.3) подставить выражения (37.12), (37.13) и (36.4). Делая это и интегрируя, находим

𝑇

=

4𝐺𝑀μ

17𝑅^∗

⎛

⎜

⎝

1

𝑅

–

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

.

(37.14)

При переходе от внешних слоёв звезды к внутренним путём численного интегрирования уравнений (37.1) – (37.4) определяется структура звезды и, в частности, находятся значения плотности и температуры в её центре (т.е. величины ρ_𝑐 и 𝑇_𝑐). Однако при таком интегрировании на некоторой глубине мы можем встретиться с условиями, которые потребуют изменения исходных уравнений. Примером может служить быстрое увеличение плотности, приводящее к вырождению газа. В этом случае уравнение (36.4) надо заменить уравнениями состояния вырожденного газа, приведёнными в предыдущем параграфе. В качестве другого примера укажем наступление конвекции, вызванное быстрым нарастанием температуры. Вследствие этого вместо радиативного переноса энергии следует рассматривать перенос энергии конвекцией. Отметим ещё, что на некоторой глубине может оказаться исчерпанной вся заданная масса звезды. В таком случае необходимо изменить принятый химический состав. Изменения в химическом составе надо сделать и тогда, когда при достижении центра звезды мы ещё не исчерпали всю массу или светимость.

Для звёзд сложной структуры интегрирование рассматриваемых уравнений от поверхности оказывается более удобным, чем от центра. Однако на практике при расчёте одной и той же модели интегрирование обычно ведут и от поверхности, и от центра, а затеи на определённой глубине оба решения «сшивают» (т.е. добиваются непрерывности на этой глубине всех искомых функций).

Для решения уравнений (37.1) – (37.4), кроме описанного «метода сшивания», был также предложен «разностный метод», нашедший довольно широкое применение. В этом методе весь промежуток интегрирования делят на большое число мелких интервалов и искомыми величинами считаются значения неизвестных функций в точках деления. Входящие же в исходные уравнения дифференциалы заменяются соответствующими разностями. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка. Для удобства вычислений в качестве независимой переменной вместо 𝑟 используют массу, заключённую в сфере радиуса 𝑟, а также делают другие преобразования переменных. Применение разностного метода требует мощных электронных вычислительных машин.

Построение модели данной звезды связано с неопределённостью, вызванной некоторым произволом в выборе химического состава. Поэтому при вычислении моделей принимается во внимание вероятный эволюционный путь звезды. При этом обычно считается, что в начальном состоянии звезда имеет однородный химический состав с большим содержанием водорода, а затем количество водорода уменьшается при ядерных реакциях. В общем виде уменьшение величины 𝑋 с течением времени можно записать так:

∂𝑋

∂𝑡

=

𝑓(ρ,𝑇,𝑋)

,

(37.15)

С уменьшением величины 𝑋 меняются и величины μ, ϰ, ε. Это приводит к изменению структуры звёзд. После вычисления модели начального состояния звезды с принятым значением 𝑋 (для момента времени 𝑡=0) может быть вычислена модель звезды для момента времени 𝑡₁, со значениями 𝑋, полученными для каждого места звезды по формуле (37.15). Аналогично может быть рассчитана и модель звезды для следующего момента времени 𝑡₂, и т.д. Так определяется эволюционная последовательность звёздных моделей.

При указанных расчётах масса звезды считается постоянной, а светимость и радиус вычисляются. Так как рассчитано уже очень большое число звёздных моделей, то для новой модели нет необходимости выполнять всю работу с самого начала. Можно взять в качестве первого приближения уже рассчитанную модель звезды с близкими параметрами и вести вычисления методом итераций. Такой способ особенно удобен при определении эволюционного пути звезды. В этом случае при расчёте модели звезды для данного момента времени можно использовать модель, найденную для предыдущего момента. Большинство звёздных моделей рассчитано именно таким способом.

3. Модели звёзд.

Описанные выше методы расчёта звёздных моделей были применены к звёздам разных типов. Мы сейчас сообщим некоторые из полученных результатов, заимствованные преимущественно из книги М. Шварцшильда [4].

В звёздах верхней части главной последовательности основную роль в выработке энергии играет углеродный цикл. В центральных частях таких звёзд перенос энергии осуществляется конвекцией, а в наружных – лучеиспусканием. В конвективном ядре звезды заключены все источники энергии и значительная доля массы.

Таблица 57

Характеристики звёзд верхней части

главной последовательности

𝑀/𝑀

_☉

lg 𝐿/𝐿

_☉

lg 𝑅/𝑅

_☉

lg 𝑇

_𝑒

Спектр

𝑇

_𝑐

ρ

_𝑐

10

3,477

0,559

4,350

B1

2,76⋅10⁷

 7,80

 5

2,463

0,376

4,188

B5

2,36⋅10⁷

19,5

 2,5

1,327

0,202

3,991

A2

1,98⋅10⁷

48,3

В таблице 57 даны результаты расчёта моделей звёзд спектральных классов B и A. При вычислениях считалось, что химический состав не меняется с глубиной. Было также принято одинаковое содержание водорода и гелия для всех звёзд (𝑋=0,90, 𝑌=0,09). Расчёты производились для звёзд с массами, равными 10, 5 и 2,5 массам Солнца. В результате для каждой звезды были определены светимость 𝐿, радиус 𝑅 и эффективная температура 𝑇_𝑒 а также плотность ρ_𝑐 и температура 𝑇_𝑐 в центре.

Для сравнения теории с наблюдениями результаты расчётов были нанесены на диаграммы масса – светимость и спектр – светимость. Оказалось, что точки, соответствующие рассчитанным моделям звёзд, очень близко ложатся от средних кривых, построенных на основе наблюдательных данных. Это можно рассматривать как подтверждение правильности теории.

Из звёзд нижней части главной последовательности больше всего исследовалось Солнце. Для Солнца были рассчитаны модели как с однородным, так и с неоднородным химическим составом. Результаты расчёта одной из моделей приведены в табл. 58, которая содержит значения основных физических величин в зависимости от расстояния 𝑟 от центра Солнца.

Таблица 58

Модель Солнца в современном состоянии

𝑟/𝑅

𝑀

_𝑟

/𝑀

𝐿

_𝑟

/𝐿

𝑋

lg 𝑃

lg 𝑇

lg ρ

0

0

0

0,494

17,351

7,165

+2,128

0,1

0,073

0,396

0,611

17,135

7,102

+1,932

0,2

0,337

0,909

0,723

16,667

6,971

+1,561

0,3

0,626

0,994

0,774

16,072

6,823

+1,109

0,4

0,818

1,000

0,744

15,432

6,676

+0,616

0,5

0,919

1,000

0,744

14,788

6,535

+0,113

0,6

0,967

1,000

0,744

14,144

6,397

–0,393

0,7

0,988

1,000

0,744

13,489

6,256

–0,907

0,8

0,996

1,000

0,744

12,792

6,103

–1,451

0,9

0,999

1,000

0,744

11,898

5,782

–2,204

1,0

1,000

1,000

0,744

–

–

–

Из таблицы видно, что с приближением к центру Солнца величина 𝑋 убывает. Это объясняется выгоранием водорода в центральных частях звезды в ходе эволюции.

Приведённые данные для Солнца характеризуют его современное состояние. Для Солнца было определено изменение светимости и радиуса не только в прошлом, но и в будущем. Разумеется, к этим результатам нельзя относиться с полным доверием, но некоторый интерес они представляют.

Хорошей проверкой правильности вычисленной модели Солнца может служить измерение идущего от Солнца потока нейтрино. Эти частицы образуются при ядерных реакциях, происходящих в центральной области Солнца, и вследствие своей огромной проникающей способности беспрепятственно проходят через внешние слои. Следовательно, по наблюдаемому потоку нейтрино можно непосредственно судить о мощности ядерных реакций и температуре в центре Солнца. Так как нейтрино без поглощения проходят и через всю толщу Земли, то обнаружить их чрезвычайно трудно. Все же в 1967 г. под руководством Дэвиса была построена мощная установка, позволяющая улавливать нейтрино по производимым ими реакциям. В течение нескольких лет установка не давала определённого результата, однако в конце концов солнечные нейтрино удалось всё-таки зарегистрировать, причём оказалось, что их наблюдаемый поток всего примерно в 3 раза меньше теоретического.

Основная трудность эксперимента Дэвиса состояла в том, что его установка улавливала лишь те нейтрино, энергия которых больше 0,82МэВ. Поэтому в ходе эксперимента регистрировались не все солнечные нейтрино, а только часть из них, возникающая в боковой ветви водородного цикла, содержащей реакцию с участием бора. Оценки же показывают, что «борных» нейтрино в десятки тысяч раз меньше полного потока солнечных нейтрино. Однако реакция с участием бора очень сильно зависит от температуры, вследствие чего наблюдённая температура оказалась всего на 10—15% меньше теоретической. Пока не выяснено, в чем причина этого расхождения – в недостатках теории или эксперимента.

В звёздах нижней части главной последовательности основной источник энергии – протон-протонный цикл. В этих звёздах конвективного ядра нет, но имеется внешняя конвективная зона, толщина которой сильно зависит от массы звезды. Приведём в качестве примера вычисленные характеристики звезды Кастор С спектрального класса M0. При одном химическом составе (𝑋=0,70, 𝑌=0,27) для температуры и плотности в центре были получены значения 𝑇_𝑐=8,9⋅10⁶ K, ρ=76 г/см³, а при другом (𝑋=0,90, 𝑌=0,09) – значения 𝑇_𝑐=7,8⋅10⁶ K, ρ=81 г/см³. Мы видим, что физические условия внутри таких звёзд слабо зависят от принятого химического состава.

Скажем ещё несколько слов о строении красных гигантов. Согласно расчётам, такие звёзды устроены весьма сложно. Внутри звезды находится очень небольшое изотермическое ядро, в котором водород полностью выгорел. Это ядро окружено тонким слоем, вырабатывающим энергию при термоядерных реакциях. Далее расположена зона, находящаяся в лучистом равновесии, а за ней очень протяжённая конвективная зона. Радиус ядра составляет примерно 0,001 радиуса звезды, а плотность в нём порядка 10⁶ г/см³. Следовательно, ядро похоже на белый карлик. Температура ядра порядка 40 миллионов кельвинов, а конвективной зоны – лишь сотни тысяч кельвинов, причём это падение температуры совершается на небольшой части радиуса. Расчёт моделей красных гигантов довольно труден (в основном из-за переходной области между ядром и конвективной зоной), вследствие чего наши сведения о строении этих звёзд не очень надёжны.

4. Уравнения развития звезды.

Изложенный выше метод расчёта звёздных моделей основан на предположении, что в каждый данный момент звезда является стационарной. Иными словами, развитие звезды мыслится как прохождение через последовательность равновесных состояний. Однако такой метод надо считать только приближённым. На самом деле вместо уравнений равновесия звезды для каждого момента времени следует рассматривать уравнения развития звезды, описывающие её изменение с течением времени. В уравнениях развития звезды все искомые величины зависят от расстояния 𝑟 от центра звезды и от времени 𝑡, а сами эти уравнения являются уравнениями в частных производных.