Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 35 страниц)

В. В. СОБОЛЕВ

КУРС

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

АСТРОФИЗИКИ

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Астрономия»

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1985

22.632

С 54

УДК

523.03

Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики,– 3-е изд., перераб.– М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.—504 с.

В книге изложены основы теоретической астрофизики, изучающей строение небесных тел и происходящие в них физические процессы. Последовательно рассмотрены атмосферы звёзд, Солнца и планет, а затем газовые туманности, нестационарные звёзды и межзвёздная среда. Значительное внимание уделено теории внутреннего строения звёзд.

Табл. 56. Ил. 46. Библиогр. 85 назв.

Рецензент

доктор физико-математических наук Ю. Н. Гнедин

С

1705040000—069

053 (02)—85

156—85

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1975, с изменениями, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию

7

Предисловие ко второму изданию

7

Из предисловия к первому изданию

7

Глава

I.

Звёздные фотосферы

9

§ 1. Лучистое равновесие звёздной фотосферы

9

1. Поле излучения

9

2. Уравнение переноса излучения

12

3. Уравнение лучистого равновесия

14

4. Геометрическая модель фотосферы

16

§2. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты

17

1. Основные уравнения

17

2. Приближённое решение уравнений

19

3. Применение квадратурных формул

22

4. Интегральное уравнение Милна

23

5. Распределение яркости по диску звезды

26

§3. Точное решение основных уравнений

27

1. Уравнение для резольвенты

27

2. Вспомогательные уравнения

29

3. Определение функции

Φ(τ)

30

4. Решение однородного уравнения

32

5. Интенсивность выходящего излучения

33

6. Применение к звёздным фотосферам

35

§ 4. Локальное термодинамическое равновесие

38

1. Поле излучения при термодинамическом равновесии

38

2. Предположение о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы

40

3. Излучение, выходящее из фотосферы

42

4. Зависимость температуры и плотности от глубины

45

5. Световое давление в фотосфере

47

§ 5. Зависимость коэффициента поглощения от частоты

50

1. Излучение и поглощение в непрерывном спектре

50

2. Поглощение атомами водорода

52

3. Поглощение отрицательными ионами водорода

54

4. Рассеяние света свободными электронами

56

5. Средний коэффициент поглощения

57

§ 6. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, зависящем от частоты

60

1. Приближённая теория

60

2. Случай поглощения атомами одного рода

63

3. Модели фотосфер

67

4. Горячие звёзды

68

5. Холодные звёзды

69

6. Белые карлики

71

7. Фотосферы при отсутствии ЛТП

72

§ 7. Специальные вопросы теории фотосфер

74

1. Протяжённые фотосферы

74

2. Покровный эффект

75

3. Эффект отражения в тесных парах

77

4. Поляризация излучения горячих звёзд

79

Глава

II.

Звёздные атмосферы

83

§ 8. Коэффициент поглощения в спектральной линии

83

1. Эйнштейновские коэффициенты переходов

83

2. Коэффициент поглощения, обусловленный затуханием излучения и тепловым движением атомов

87

3. Эффекты давления

91

4. Эффект Штарка

94

§ 9. Линии поглощения при локальном термодинамическом равновесии

98

1. Основные формулы

98

2. Определение профилей линий

101

3. Слабые линии и крылья сильных линий

103

4. Отклонения от термодинамического равновесия

105

§ 10. Линии поглощения при когерентном рассеянии

107

1. Модель Шварцшильда—Шустера

107

2. Модель Эддингтона

111

3. Флуоресценция в звёздных атмосферах

114

4. Точное решение задачи

117

§ 11. Линии поглощения при некогерентном рассеянии

120

1. Перераспределение излучения по частотам внутри линии

120

2. Уравнение переноса излучения и его решение

123

3. Центральные интенсивности линий поглощения

126

4. Изменение профилей линий на диске Солнца

129

5. Многоуровенный атом

130

§ 12. Химический состав звёздных атмосфер

131

1. Эквивалентные ширины линий

131

2. Кривая роста для модели Шварцшильда—Шустера

133

3. Кривая роста для модели Эддингтона

133

4. Построение кривых роста по наблюдательным данным

137

5. Содержание различных атомов в атмосферах

138

§ 13. Физические условия в атмосферах

141

1. Возбуждение и ионизация атомов

141

2. Концентрация свободных электронов

144

3. Турбулентность в атмосферах

146

4. Вращение звёзд

147

5. Магнитные поля звёзд

151

§ 14. Звёзды разных спектральных классов

153

1. Зависимость спектра от температуры

153

2. Влияние ускорения силы тяжести на спектр

156

3. Звёзды ранних спектральных классов

157

4. Звёзды поздних спектральных классов

160

5. Белые карлики

162

Глава

III.

Атмосфера Солнца

167

§ 15. Общие сведения

167

1. Фотосфера Солнца

167

2. Конвекция и грануляция

170

3. Солнечные пятна

172

4. Солнечная активность

174

§ 16. Хромосфера

176

1. Интенсивности линий

176

2. Самопоглощение в линиях

178

3. Распределение атомов по высоте

181

4. Возбуждение атомов в хромосфере

183

5. Ультрафиолетовый спектр Солнца

184

6. Линия

L

_α

в спектре Солнца

186

§ 17. Корона

188

1. Излучение короны

188

2. Происхождение непрерывного спектра

190

3. Электронная концентрация

192

4. Корональные линии

195

5. Температура короны

197

6. Ионизация и возбуждение атомов

200

7. Ультрафиолетовое и рентгеновское излучения

204

§ 18. Радиоизлучение Солнца

205

1. Результаты наблюдений

205

2. Радиоизлучение спокойного Солнца

207

3. Распределение радиоизлучения по диску

210

4. Распространение радиоволн в короне

215

5. Спорадическое радиоизлучение

215

6. Сверхкорона Солнца

216

Глава

IV.

Атмосферы планет

219

§ 19. Рассеяние света в планетных атмосферах

219

1. Основные уравнения

219

2. Полубесконечная атмосфера

222

3. Атмосфера конечной оптической толщины

224

4. Отражение света поверхностью планеты

228

5. Альбедо планеты

230

§ 20. Оптические свойства планетных атмосфер

233

1. Атмосфера Венеры

233

2. Атмосфера Марса

238

3. Атмосфера Земли

240

4. Интерпретация спектров планет

242

§21. Строение планетных атмосфер

246

1. Температуры планет

246

2. Радиоизлучение планет

249

3. Модели планетных атмосфер

250

4. Верхние слои атмосферы

252

Глава

V.

Газовые туманности

257

§ 22. Механизм свечения туманностей

257

1. Наблюдательные данные

257

2. Причина свечения туманностей

259

3. Теорема Росселанда

261

4. Определение температур звёзд по линиям водорода

263

5. Излучение звёзд в ультрафиолетовой области спектра

266

6. Определение температур звёзд по линиям «небулия»

269

§ 23. Ионизация атомов

271

1. Число рекомбинаций

271

2. Степень ионизации в туманности

273

3. Ионизация в туманности большой оптической толщины

275

4. Энергетический баланс свободных электронов

278

§ 24. Возбуждение атомов

284

1. Возбуждение при фотоионизациях и рекомбинациях

284

2. Интенсивности эмиссионных линий

287

3. Роль столкновений

289

4. Массы и плотности туманностей

290

§ 25. Запрещённые линии

293

1. Необходимые условия для появления запрещённых линий

293

2. Вероятности столкновений

297

3. Интенсивности запрещённых линий

298

4. Электронные температуры и концентрации

301

5. Химический состав туманностей

303

§ 26. Непрерывный спектр

305

1. Рекомбинация и свободно-свободные переходы

305

2. Двухфотонное излучение

309

3. Влияние столкновений

312

4. Сравнение теории с наблюдениями

314

5. Излучение в других областях спектра

315

§ 27. Диффузия излучения в туманностях

316

1. Поле

𝐿

_𝑐

–излучения

316

2. Поле

L

_α

–излучения в неподвижной туманности

322

3. Поле

L

_α

–излучения в расширяющейся туманности

328

4. Световое давление в туманностях

332

Глава

VI.

Нестационарные звёзды

337

§ 28. Звёзды с яркими спектральными линиями

337

1. Звёзды ранних классов с яркими линиями

337

2. Профили эмиссионных линий

340

3. Интенсивности эмиссионных линий

343

4. Звёзды типа Be

348

5. Звёзды типа Вольфа—Райе

351

6. Звёзды поздних классов с яркими линиями

355

7. Вспыхивающие звёзды

358

§ 29. Новые звёзды

361

1. Наблюдательные данные

361

2. Объяснение вспышки

365

3. Первый период вспышки

367

4. Небулярная стадия

371

5. Новая Геркулеса 1934 г.

373

6. Новые звёзды через много лет после вспышки

379

§ 30. Движение и свечение оболочек

380

1. Энергия, выделяемая при вспышке

380

2. Интерпретация кривой блеска

383

3. Выбрасывание вещества из звезды

387

4. Движение оболочки в межзвёздной среде

389

§31. Сверхновые звёзды

391

1. Результаты наблюдений

391

2. Синхротронное излучение

393

3. Крабовидная туманность

396

4. Сверхновые звёзды и космические лучи

399

5. Пульсары

400

Глава

VII.

Межзвёздная среда

404

§ 32. Межзвёздная пыль

404

1. Связь между звёздами и туманностями

404

2. Флуктуации яркости Млечного Пути

407

3. Свечение пылевых туманностей

411

4. Природа пылевых частиц

416

5. Поляризация света звёзд

418

§ 33. Межзвёздный газ

420

I. Ионизация межзвёздного водорода

420

2. Ионизация других атомов

423

3. Межзвёздные линии поглощения

427

4. Физическое состояние межзвёздного газа

431

5. Движение межзвёздного газа

432

§ 34. Космическое радиоизлучение

435

1. Излучение зоны

𝐻 II

435

2. Нетепловое излучение

437

3. Монохроматическое радиоизлучение

439

4. Линии поглощения в радиодиапазоне

442

5. Космические мазеры

444

6. Радиоизлучение Метагалактики

446

7. Квазары

448

Глава

VIII.

Внутреннее строение звёзд

452

§ 35. Уравнения равновесия звезды

1. Уравнение механического равновесия

453

2. Плотность, давление и температура внутри звезды

455

3. Гравитационная энергия звезды

457

4. Уравнение энергетического равновесия

460

5. Стандартная модель звезды

461

§ 36. Физические процессы внутри звёзд

464

1. Уравнение состояния звёздного вещества

464

2. Вырождение газа

466

3. Перенос энергии внутри звезды

470

4. Ядерные реакции как источник звёздной энергии

473

§ 37. Строение и эволюция звёзд

476

1. Основные уравнения

476

2. Методы расчёта звёздных моделей

478

3. Модели звёзд

481

4. Уравнения развития звезды

483

5. Строение белых карликов

485

6. Нейтронные звёзды

490

7. Проблема эволюции звёзд

493

Таблицы основных физических и астрономических постоянных

497

Предметный указатель

498

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Первое издание этой книги вышло в свет в 1967 г., а второе – в 1975 г. В течение последнего двадцатилетия теоретическая астрофизика развивалась чрезвычайно быстро, однако основы этой науки изменились в небольшой степени. Поэтому и третье издание книги не сильно отличается от предыдущих (хотя во многих местах текст сокращён, а в других существенно дополнен). Новейшие достижения астрофизики обычно излагаются в специальных курсах, читаемых для студентов после изучения ими «Курса теоретической астрофизики».

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание «Курса теоретической астрофизики» отличается от первого издания в основном рядом дополнений, отражающих наиболее важные достижения астрофизики последних лет. Кроме того, значительно обновлены приложенные к каждой главе списки литературы. Сделаны также небольшие изменения в тексте (исправлены замеченные опечатки, уточнены некоторые сведения и т.д.). Для более глубокого изучения вопросов, затронутых в учебнике, можно обратиться к монографиям из серии «Проблемы теоретической астрофизики», опубликованным издательством «Наука». Ссылки на них имеются в соответствующих местах учебника.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга написана на основе лекций, читавшихся автором в Ленинградском университете в течение последних двадцати лет.

За прошедшие годы теоретическая астрофизика претерпела существенные изменения. Прежде всего чрезвычайно расширился круг наблюдательных данных, которые теоретическая астрофизика должна интерпретировать. В значительной мере это связано с появлением и быстрым развитием радиоастрономии и заатмосферной астрофизики. С другой стороны, в самой теоретической астрофизике возник ряд новых важных представлений: об огромной роли ядерных реакций в энергетике и эволюции звёзд, о большом влиянии электромагнитных сил на состояние звёздных атмосфер и межзвёздной среды и т.д. Вместе с тем в этой науке были разработаны новые сильные методы (в частности, в теории переноса излучения), а также произведено усовершенствование известных методов с целью использования возможностей, даваемых электронными вычислительными машинами.

Предлагаемая книга состоит из восьми глав. В двух первых из них рассматриваются проблемы образования непрерывного и линейчатого спектров звёзд. Подробно исследуются процессы поглощения и испускания лучистой энергии, происходящие в элементарном объёме, а также процессы переноса лучистой энергии через поверхностные слои звезды. Здесь же показывается как по наблюдаемым звёздным спектрам определяются физические условия в поверхностных слоях звёзд и их химический состав.

Глава III специально посвящена солнечной атмосфере. Близость к нам Солнца позволяет изучить детали на его диске, а также самые внешние слои солнечной атмосферы – хромосферу и корону. В гл. IV речь идёт о планетных атмосферах, светящихся, как известно, вследствие рассеяния ими солнечного излучения.

В главе V изложена физика газовых туманностей, представляющая собой сравнительно простой и очень хорошо разработанный раздел астрофизики. Здесь много места уделено вопросам ионизации и возбуждения атомов, образования эмиссионных спектров и др. Результаты, полученные при изучении газовых туманностей, применяются затем при рассмотрении нестационарных звёзд (в гл. VI) и межзвёздной среды (в гл. VII). Книга заканчивается главой, посвящённой теории внутреннего строения звёзд.

При работе над книгой автор не ставил перед собой задачи изложить в ней все разделы теоретической астрофизики с одинаковой полнотой. Если бы поступить иначе, то при заданном объёме книги она состояла бы из частей, очень далёких друг от друга, и по ней нельзя было бы учиться. В книге рассмотрены главным образом проблемы, связанные с полями излучения космических объектов и с образованием их спектров в разных диапазонах. Другие теоретические проблемы освещены менее подробно. Такой характер курса теоретической астрофизики следует считать вполне естественным, так как изучение спектров космических объектов составляет основу этой науки.

Рукопись настоящей книги была прочитана сотрудниками кафедры астрофизики Ленинградского университета В. В. Ивановым и И. Н. Мининым, сделавшими много ценных замечаний. Ряд важных предложений, направленных к улучшению книги, сделал С. А. Каплан. Автор выражает им за это искреннюю благодарность.

В. В. Соболев

Глава I ЗВЁЗДНЫЕ ФОТОСФЕРЫ

Фотосферой звезды называется слой, от которого доходит до наблюдателя излучение в непрерывном спектре. Выше фотосферы расположена атмосфера звезды, дающая линейчатый спектр. Разумеется, между фотосферой и атмосферой нет резкой границы, но все же спектральные линии возникают в среднем в более высоких слоях, чем непрерывный спектр. Под фотосферой находятся недоступные для наблюдений звёздные недра. Мы увидим дальше, что для подавляющего большинства звёзд фотосфера является сравнительно тонкой, т.е. толщина фотосферы гораздо меньше радиуса звезды.

Свечение фотосферы и определяет собой блеск звезды (отсюда и произошло название «фотосфера» – сфера света). Однако в самой фотосфере энергия не вырабатывается. Источники энергии находятся в более глубоких слоях звезды, а через фотосферу энергия лишь переносится наружу.

Уже в первых исследованиях по теории фотосфер было установлено, что перенос энергии в фотосфере осуществляется в основном лучеиспусканием. Перенос энергии теплопроводностью не играет существенной роли вследствие малости коэффициента теплопроводности газов. Перенос энергии конвекцией может иметь значение лишь для отдельных мест в фотосфере.

Изучение переноса лучистой энергии через фотосферу – основная задача теории фотосфер. Решение этой задачи связано с выяснением строения фотосферы, т.е. с нахождением зависимости плотности, температуры и других физических величин от глубины.

Одним из наиболее важных результатов теории фотосфер должно быть получение распределения энергии в непрерывном спектре звезды. Путём сравнения теоретического и наблюдённого распределения энергии в звёздном спектре можно сделать проверку правильности предположений, положенных в основу теории.

Последовательное развитие теории звёздных фотосфер и атмосфер отражено в книгах Э. Милна [1], С. Росселанда [2], В. А. Амбарцумяна [3].

§ 1. Лучистое равновесие звёздной фотосферы

1. Поле излучения.

Поскольку наша ближайшая задача состоит в анализе поля излучения в фотосфере, то прежде всего мы должны ввести величины, характеризующие поле излучения.

Основной из таких величин является интенсивность излучения. Эта величина определяется так. Возьмём в данном месте пространства элементарную площадку, перпендикулярную к направлению излучения. Если величина площадки есть 𝑑σ, а излучение падает в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в телесном угле 𝑑ω за время 𝑑𝑡, то количество лучистой энергии 𝑑𝐸_ν, падающее на площадку, будет пропорционально 𝑑σ 𝑑ν 𝑑ω 𝑑𝑡, т.е. будет равно

𝑑𝐸

_ν

=

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ν

𝑑ω

𝑑𝑡

.

(1.1)

Коэффициент пропорциональности, входящий в эту формулу, и называется интенсивностью излучения. Можно сказать, что интенсивность излучения есть количество лучистой энергии, падающее в единичном интервале частот за единицу времени в единичном телесном угле на единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению излучения. Вообще говоря, интенсивность излучения зависит от координат данной точки, от направления излучения и от частоты ν. Если интенсивность излучения задана, то легко могут быть определены и другие величины, характеризующие поле излучения. Одной из них является плотность излучения ρ_ν, представляющая собой количество лучистой энергии в единичном интервале частот, находящееся в единице объёма.

Чтобы выразить ρ_ν через 𝐼_ν, поступим следующим образом. Допустим сначала, что излучение интенсивности 𝐼_ν падает на площадку 𝑑σ перпендикулярно к ней в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡 внутри малого телесного угла Δω. Тогда количество лучистой энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼_ν 𝑑σ 𝑑ν 𝑑𝑡 Δω. Очевидно, что эта энергия займёт объём 𝑑σ 𝑐 𝑑𝑡 где 𝑐 – скорость света. Поэтому количество лучистой энергии, приходящееся на единицу объёма, будет равно 𝐼_ν 𝑑ν Δω/𝑐. С другой стороны, та же величина по определению равна ρ_ν 𝑑ν Следовательно, в рассматриваемом случае

ρ

_ν

=

𝐼

_ν

Δω

𝑐

.

(1.2)

В общем же случае, когда на данный объём падает излучение со всех сторон, плотность излучения ρ_ν выразится формулой

ρ

_ν

=

1

𝑐

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

,

(1.3)

где интегрирование производится по всем телесным углам.

Рис 1.

Через интенсивность излучения легко также выразить поток излучения 𝐻_ν, представляющий собой количество лучистой энергии, протекающей во всех направлениях через единичную площадку в единичном интервале частот за единицу времени. Чтобы сделать это, рассмотрим сначала излучение, проходящее через площадку 𝑑σ в направлении, составляющем угол θ с её внешней нормалью (рис. 1). В данном случае площадь элементарной площадки, перпендикулярной к направлению излучения, равна 𝑑σ cosθ. Поэтому количество лучистой энергии, протекающее через площадку 𝑑σ под углом θ к нормали внутри телесного угла 𝑑ω за время 𝑑𝑡 в интервале частот от ν до ν+𝑑ν, будет равно 𝐼_ν 𝑑σ cosθ 𝑑ν 𝑑𝑡 𝑑ω. Если мы проинтегрируем это выражение по всем направлениям, то получим величину, которая, по определению, равна 𝐻_ν 𝑑σ 𝑑𝑡 𝑑ν. Следовательно,

𝐻

_ν

=

∫

𝐼

_ν

cosθ

𝑑ω

.

(1.4)

В сферической системе координат с полярной осью, направленной по внешней нормали к площадке 𝑑σ, элемент телесного угла равен 𝑑ω=sinθ 𝑑θ 𝑑φ, где φ – азимут направления излучения. Поэтому выражение для потока излучения может быть переписано в виде

𝐻

_ν

=

2π

∫

0

𝑑φ

π

∫

0

𝐼

_ν

cosθ

sinθ

𝑑θ

.

(1.5)

Так как cosθ<0 при θ>π/2, то из формулы (1.5) следует, что поток излучения 𝐻_ν является разностью двух положительных величин:

𝐻

_ν

=

ℰ

_ν

–

ℰ'

_ν

,

(1.6)

где

ℰ

_ν

=

2π

∫

0

𝑑φ

π/2

∫

0

𝐼

_ν

cosθ

sinθ

𝑑θ

(1.7)

и

ℰ'

_ν

=-

2π

∫

0

𝑑φ

π

∫

π/2

𝐼

_ν

cosθ

sinθ

𝑑θ

.

(1.8)

Величина ℰ_ν представляет собой освещённость площадки с одной стороны, а величина ℰ'_ν – освещённость площадки с другой стороны. Таким образом, поток излучения через какую-либо площадку есть разность освещённостей этой площадки.

Отметим важное свойство интенсивности излучения: в пустом пространстве (т.е. при отсутствии в нём поглощения и испускания лучистой энергии) интенсивность излучения не меняется вдоль луча.

Для доказательства этого свойства возьмём на луче две элементарные площадки, расположенные перпендикулярно к лучу на расстоянии 𝑠 друг от друга. Пусть 𝑑σ и 𝑑σ' – площади этих площадок, а 𝑑ω и 𝑑ω' – телесные углы, под которыми с одной площадки видна другая. Рассматривая лучистую энергию, проходящую через обе площадки, мы можем написать: 𝐼_ν𝑑σ 𝑑ω=𝐼'_ν𝑑σ' 𝑑ω', где 𝐼_ν и 𝐼'_ν – интенсивность излучения, падающего на одну и другую площадку соответственно. Но 𝑑ω=𝑠²𝑑σ' и 𝑑ω'=𝑠²𝑑σ. Поэтому, как и утверждалось, имеем 𝐼_ν=𝐼'_ν

Из сказанного, в частности, следует, что интенсивность солнечного излучения на расстоянии от Солнца до Земли такая же, как и при выходе его из Солнца. Очевидно, однако, что плотность и поток излучения убывают по мере удаления от Солнца.

2. Уравнение переноса излучения.

Выше уже было сказано, что в пустом пространстве интенсивность излучения не меняется вдоль луча. Теперь мы допустим, что пространство заполнено средой, способной поглощать и испускать лучистую энергию. В таком случае интенсивность излучения будет меняться вдоль луча, и мы сейчас выведем уравнение, описывающее это изменение. Однако предварительно введём в рассмотрение величины, характеризующие поглощательную и испускательную способность среды.

Пусть на площадку 𝑑σ, расположенную перпендикулярно к направлению излучения, падает излучение интенсивности 𝐼_ν внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡. Количество энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼_ν𝑑σ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Если среда способна поглощать излучение, то на пути 𝑑𝑠 из указанного количества энергии будет поглощена некоторая доля, пропорциональная 𝑑𝑠. Мы обозначим эту долю через α_ν𝑑𝑠. Таким образом, количество поглощённой энергии на пути 𝑑𝑠 будет равно

α

_ν

𝑑𝑠

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

(1.9)

Величина α_ν называется коэффициентом поглощения. Так как доля поглощённой энергии α_ν𝑑𝑠 есть величина безразмерная, то коэффициент поглощения α_ν имеет размерность, обратную длине. Заметим, что коэффициент поглощения зависит от частоты излучения и координат данной точки, но не зависит от направления излучения (в изотропной среде).

Если среда способна также излучать энергию, то количество энергии, излучённое объёмом 𝑑𝑉 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡, будет пропорционально 𝑑𝑉 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Мы обозначим это количество энергии через

ε

_ν

𝑑𝑉

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

(1.10)

и назовём величину ε_ν коэффициентом излучения. Следовательно, коэффициент излучения есть количество энергии, излучаемое единичным объёмом в единичном телесном угле в единичном интервале частот за единицу времени. Коэффициент излучения зависит от частоты ν, от координат данной точки и, вообще говоря, от направления излучения.

Считая величины α_ν и ε_ν заданными, найдём, как меняется интенсивность излучения вдоль луча. При этом будем предполагать, что поле излучения стационарно, т.е. не меняется с течением времени.

Возьмём элементарный цилиндр, ось которого направлена по данному лучу. Пусть площадь основания,цилиндра равна 𝑑σ, а высота равна 𝑑𝑠 (причём высота мала по сравнению с линейными размерами основания). Рассмотрим излучение, входящее в цилиндр и выходящее из него внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения, входящего в цилиндр, есть 𝐼_ν, то количество входящей в цилиндр энергии будет равно

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

Обозначим интенсивность выходящего из цилиндра излучения через 𝐼_ν+𝑑𝐼_ν. Тогда количество выходящей из цилиндра энергии будет равно

(𝐼

_ν

+𝑑𝐼

_ν

)

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

Разница между указанными количествами энергии возникает как за счёт поглощения энергии в цилиндре, так и за счёт испускания энергии цилиндром. Количество энергии, поглощаемой в цилиндре, определяется выражением (1.9). Что же касается энергии, испускаемой цилиндром, то она будет дана выражением (1.10), если мы положим в нём 𝑑𝑉=𝑑σ 𝑑𝑠. Таким образом, получаем

(𝐼

_ν

+𝑑𝐼

_ν

)

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

=

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

–

-

α

_ν

𝑑𝑠

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

+

ε

_ν

𝑑σ

𝑑𝑠

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

,

или, после необходимых сокращений,

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑠

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(1.11)

Это и есть искомое уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении его через поглощающую и излучающую среду. Оно называется уравнением переноса излучения.

В частном случае, когда в среде происходит поглощение лучистой энергии, но нет испускания (т.е. α_ν≠0, а ε_ν=0), вместо уравнения (1.11) имеем

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑠

=-

α

_ν

𝐼

_ν

.

(1.12)

Интегрирование этого уравнения даёт

𝐼

_ν

(𝑠)

=

𝐼

_ν

(0)

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑠

∫

0

α

_ν

(𝑠')

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

(1.13)

где 𝐼_ν(0) – интенсивность излучения при 𝑠=0 (например, интенсивность излучения, входящего в среду).

Безразмерная величина

𝑠

∫

0

α

_ν

(𝑠')

𝑑𝑠'

называется оптическим расстоянием между двумя точками. При прохождении излучением единичного оптического расстояния интенсивность излучения уменьшается в 𝑒 раз.

В общем случае (т.е. при α_ν≠0, и ε_ν≠0), решая уравнение (1.11) относительно 𝐼_ν, получаем

𝐼

_ν

(𝑠)

=

𝐼

_ν

(0)

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑠

∫

0

α

_ν

(𝑠')

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

+

 +

𝑠

∫

0

ε

_ν

(𝑠')

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑠

∫

𝑠'

α

_ν

(𝑠'')

𝑑𝑠''

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠'

.

(1.14)

Соотношение (1.14) может быть названо уравнением переноса излучения в интегральной форме.

Мы видим, что в общем случае интенсивность излучения состоит из двух частей. Первая часть представляет собой интенсивность первоначального излучения (в точке 𝑠=0), ослабленного вследствие поглощения на пути от 0 до 𝑠. Вторая часть есть интенсивность излучения, обусловленного испусканием лучистой энергии на пути от 0 до 𝑠 и соответствующим ослаблением его вследствие поглощения на пути от места испускания 𝑠' до рассматриваемого места 𝑠.

3. Уравнение лучистого равновесия.

Полученное выше уравнение переноса излучения (1.11) позволяет находить интенсивность излучения 𝐼_ν, если известны коэффициент излучения ε_ν и коэффициент поглощения α_ν. Однако обычно в задачах о переносе излучения коэффициент излучения ε_ν не является заданным, а зависит от количества лучистой энергии, поглощённой в элементарном объёме, т.е. от величин α_ν и 𝐼_ν. Чтобы найти эту зависимость, надо рассмотреть энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме данной среды.

Указанные процессы специфичны для каждой задачи. Мы сейчас рассмотрим энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме звёздной фотосферы.

Как уже было сказано во введении к этой главе, в фотосфере нет источников энергии и вырабатываемая внутри звезды энергия переносится через фотосферу лучеиспусканием. Поэтому излучение каждого элементарного объёма фотосферы происходит за счёт поглощаемой им лучистой энергии. Предполагая стационарность фотосферы» мы можем сказать, что каждый элементарный объём фотосферы излучает столько энергии, сколько он поглощает. Такое состояние фотосферы называется состоянием лучистого равновесия.

Разумеется, в состоянии лучистого равновесия находятся лишь фотосферы тех звёзд, которые не претерпевают быстрых изменений с течением времени. Как известно, они составляют огромное большинство звёзд. Именно об этих звёздах и будет идти речь в настоящей главе. Звёзды с быстро меняющимися блеском и спектром (например, новые звёзды) будут рассмотрены позднее (см. гл. VI).

Дадим математическую формулировку условия лучистого равновесия. Для этого найдём количество лучистой энергии, поглощаемое элементарным объёмом, и количество энергии, излучаемое этим объёмом.

Возьмём элементарный объём с площадью основания 𝑑σ и высотой 𝑑𝑟. Пусть на этот объём падает излучение интенсивности 𝐼_ν внутри телесного угла 𝑑ω в направлении, образующем угол θ с нормалью к основанию. Количество энергии, падающее на объём в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡, будет равно 𝐼_ν𝑑σ cosθ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Так как путь, проходимый излучением в объёме, равен 𝑑𝑟 secθ, то из общего количества падающей на объём энергии будет поглощаться в нём доля α_ν𝑑𝑟 secθ. Следовательно, количество поглощённой энергии будет равно

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

α

_ν

𝐼

_ν

𝑑ν

𝑑ω

.

Чтобы получить полное количество поглощённой объёмом энергии, надо проинтегрировать это выражение по всем частотам и по всем направлениям. В результате находим, что полное количество поглощённой объёмом энергии даётся выражением

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

∞

∫

0

α

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

.

(1.15)

На основании (1.10) количество энергии, излучаемое объёмом 𝑑σ 𝑑𝑟 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡, будет равно

ε

_ν

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑ω

𝐼

_ν

𝑑𝑡

.

Так как энергия в непрерывном спектре излучается элементарным объёмом с одинаковой вероятностью во все стороны, то для полного количества энергии, излучаемого этим объёмом, получаем выражение

4π

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

.

(1.16)

Приравнивая друг к другу выражения (1.15) и (1.16), находим

4π

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

=

∞

∫

0

α

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

.

(1.17)

Уравнение (1.17) называется уравнением лучистого равновесия

Уравнение переноса излучения (1.11) и уравнение лучистого равновесия (1.17) принадлежат к числу основных уравнений теории звёздных фотосфер.

4. Геометрическая модель фотосферы.

Уравнение (1.11) представляет собой самую общую форму уравнения переноса излучения. В конкретных случаях вид уравнения переноса излучения определяется принятой системой координат, а также тем, от каких аргументов зависит интенсивность излучения.

Мы можем считать, что звезда обладает сферической симметрией. В этом случае интенсивность излучения 𝐼_ν зависит от двух аргументов: от расстояния 𝑟 от центра звезды и от угла θ между направлением излучения и направлением радиуса-вектора. В данном случае мы имеем:

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑠

=

∂𝐼_ν

∂𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

∂𝐼_ν

∂θ

𝑑θ

𝑑𝑠

(1.18)

и

𝑑𝑟

𝑑𝑠

=

cosθ

,

𝑑θ

𝑑𝑠

=-

sinθ

𝑟

.

(1.19)

Поэтому уравнение переноса излучения в случае сферически-симметричной фотосферы принимает вид

cosθ

∂𝐼_ν

∂𝑟

–

sinθ

𝑟

∂𝐼_ν

∂θ

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(1.20)

В рассматриваемом случае уравнение лучистого равновесия (1.17) может быть заменено другим, более простым уравнением, имеющим тот же физический смысл. Проинтегрировав уравнение (1.20) по всем частотам и по всем направлениям, получаем

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

=-

∞

∫

0

α

_ν

𝑑

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

+

4π

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

.

(1.21)

Из (1.21) видно, что если выполняется уравнение (1.17), то должно выполняться и уравнение

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

∞

∫

0

𝐻