Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 35 страниц)

Назад к карточке книги

𝐴₁(μ₀)

β₀

⎡

⎣

φ(μ₀)

ψ(μ₀)

⎤

⎦

1-𝐴

1-𝐴𝐶

(19.75)

При изучении планет, кроме плоского альбедо, употребляют ещё так называемое сферическое альбедо, представляющее собой отношение энергии, отражённой всей планетой, к энергии, падающей на планету от Солнца. Если плоское альбедо известно, то легко найти и сферическое альбедо.

Рис. 25

Обозначим радиус планеты через 𝑅 (рис. 25). Тогда энергия, падающая на планету от Солнца, будет равна π𝑅² π𝐹. С другой стороны, обозначая через 𝑟 расстояние данной точки на диске планеты от центра диска, находим, что энергия, отражённая планетой, будет равна

2π

𝑅

∫

𝐴₁(μ₀)

π𝐹𝑟

𝑑𝑟

Так как 𝑟 𝑑𝑟=𝑅²μ₀ 𝑑μ₀, то последнее выражение можно переписать в виде

2π

𝑅²

π𝐹

∫

𝐴₁(μ₀)

μ₀

𝑑μ₀

Поэтому, обозначая сферическое альбедо через 𝐴_∗, получаем

𝐴

_∗

∫

𝐴₁(μ₀)

μ₀

𝑑μ₀

(19.76)

Подставляя (19.65) в (19.76), находим

𝐴

_∗

𝐶

𝐴

1-𝐴𝐶

⎡

⎣

(2-λα₀)

β₁

λβ₀

α₁

⎤²

⎦

(19.77)

где 𝐶 определяется формулой (19.66).

Применим полученную формулу для сферического альбедо к двум рассмотренным выше случаям. В первом из этих случаев (т.е. при τ₀=∞) имеем

𝐴

_∗

1-2

α₁√

1-λ

(19.78)

а во втором (т.е. при τ₀=1)

𝐴

_∗

(1-𝐴)(1-𝐶)

1-𝐴𝐶

(19.79)

Для вычисления величин 𝐴₁(μ₀) и 𝐴_∗ надо иметь таблицы функций φ(μ) и ψ(μ) и их нулевых и первых моментов. Такие таблицы содержатся в ряде работ (см. [3]).

Таблица 24

Сферическое альбедо 𝐴_∗

𝐴

τ₀

0,1

0,2

0,3

0,5

1,0

2,0

3,0

∞

0,00

0,08

0,15

0,21

0,30

0,45

0,61

0,70

1,00

0,1

0,10

0,17

0,22

0,27

0,35

0,48

0,63

0,71

1,00

0,2

0,20

0,26

0,30

0,34

0,40

0,51

0,65

0,72

1,00

0,3

0,30

0,34

0,38

0,41

0,46

0,55

0,67

0,73

1,00

0,4

0,40

0,43

0,46

0,48

0,52

0,60

0,69

0,75

1,00

0,5

0,50

0,52

0,54

0,56

0,59

0,64

0,72

0,77

1,00

0,6

0,60

0,61

0,63

0,64

0,66

0,70

0,75

0,79

1,00

0,7

0,70

0,71

0,72

0,73

0,76

0,80

0,82

1,00

0,8

0,80

0,81

0,82

0,83

0,85

0,86

1,00

0,9

0,90

0,91

0,92

1,00

В таблице 24 приведены значения сферического альбедо, найденные по формуле (19.79), т.е. для того случая, когда в атмосфере оптической толщины τ₀ происходит чистое рассеяние света и атмосфера ограничена поверхностью с альбедо 𝐴.

§ 20. Оптические свойства планетных атмосфер

1. Атмосфера Венеры.

С помощью теории рассеяния света можно истолковать результаты фотометрических наблюдений планет. При этом путём сравнения теории с наблюдениями могут быть определены оптические свойства планетных атмосфер. Сначала мы сделаем это для случая атмосферы Венеры [3].

Так как через атмосферу Венеры не видна поверхность планеты, то приближённо считается, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀). Для определения других величин, характеризующих оптические свойства атмосферы (в частности, индикатрисы рассеяния 𝑥(γ) и параметра λ), следует использовать наблюдаемое распределение яркости по диску планеты при разных углах фазы. Для Венеры могут быть получены особенно обширные наблюдательные данные, так как в этом случае угол фазы (т.е. угол при планете между направлениями на Солнце и Землю) принимает все возможные значения – от 0° до 180° Заключения об оптических свойствах атмосферы Венеры можно сделать и на основании кривой изменения блеска планеты с углом фазы, чем мы сейчас и займёмся.

Рис. 26

Найдём теоретическую зависимость между звёздной величиной планеты 𝑚 и углом фазы α. Обозначим через μ₀ косинус угла падения солнечных лучей в данном месте планеты, через μ – косинус угла отражения и через φ – разность азимутов падающего и отражённого лучей. Введём планетоцентрические координаты ω и ψ (рис. 26). Очевидно, величины μ₀, μ, φ связаны с ω, ψ и α формулами

μ₀

cos

(α-ω)

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

cos

μ₀

–

√

(1-μ²)(1-μ₀²)

cos

(20.1)

Пусть 𝑛𝐹 – освещённость площадки, перпендикулярной к лучам Солнца на верхней границе атмосферы планеты и ρ(μ,μ₀,φ) – коэффициент яркости атмосферы. Тогда интенсивность излучения, диффузно отражённого атмосферой, будет равна 𝐹ρ(μ,μ₀,φ)μ₀, а количество энергии, идущее от элемента площади 𝑑σ в единице телесного угла будет 𝐹ρ(μ,μ₀,φ)μμ₀ 𝑑σ. Так как 𝑑σ=𝑅²cos ψ 𝑑ψ 𝑑ω где 𝑅 – радиус планеты, то это количество энергии может быть записано в виде

𝐹𝑅²

ρ(μ,μ₀,φ)

cos(α-ω)

cos

cos³ψ

𝑑ψ

𝑑ω

Чтобы получить полное количество энергии, идущее от Венеры в направлении Земли в единице телесного угла, надо проинтегрировать последнее выражение по ψ в пределах от -π/2 до +π/2 и по ω в пределах от α -π/2 до +π/2, т.е. от терминатора до края диска. Обозначая через Δ расстояние от Венеры до Земли, для освещённости Земли от Венеры находим

𝐸

_𝑉

2𝐹

𝑅²

Δ²

π/2

∫

α-π/2

cos(α-ω)

cos

𝑑ω

π/2

∫

ρ(μ,μ₀,φ)

cos³ψ

𝑑ψ

(20.2)

Очевидно, что освещённость Земли от Солнца равна 𝐸_𝑇=π𝐹(𝑟₁/𝑟₂)², где 𝑟₁ – расстояние от Солнца до Венеры и 𝑟₁ – расстояние от Солнца до Земли, а 𝐸_𝑉/𝐸_𝑇=2,512^{𝑚_☉-𝑚}, где 𝑚_☉ – звёздная величина Солнца. Поэтому получаем

2,512

^{𝑚_☉-𝑚}

⎛

⎜

⎝

𝑟₁𝑅

𝑟₁Δ

⎞²

⎟

⎠

π/2

∫

α-π/2

cos(α-ω)

cos

𝑑ω

π/2

∫

ρ(μ,μ₀,φ)

cos³ψ

𝑑ψ

(20.3)

Соотношение (20.3) даёт искомую теоретическую зависимость 𝑚 от α, т.е. позволяет построить теоретическую кривую блеска планеты. В соотношение (20.3) надо подставить выражение для ρ(μ,μ₀,φ) и воспользоваться формулами (20.1). Так как коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) зависит от величин 𝑥(γ) и λ, то, сравнивая между собой теоретическую и наблюдённую кривые блеска, можно определить указанные величины. При этом следует также принять во внимание соотношение

∫

𝑥(γ)

sin

𝑑γ

(20.4)

выражающее собой условие нормировки индикатрисы рассеяния.

При определении теоретической кривой блеска удобно в выражении для ρ(μ,μ₀,φ) выделить член, учитывающий рассеяние первого порядка. В таком случае имеем

ρ(μ,μ₀,φ)

𝑥(γ)

μ+μ₀

ρ(μ,μ₀,φ)

(20.5)

где γ=π-α и Δρ – член, учитывающий рассеяния высших порядков. Так как точное выражение для величины Δρ при произвольной индикатрисе рассеяния очень сложное, то мы определим эту величину приближённо, сохраняя в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра только два первых члена. Иными словами, величину Δρ найдём не для действительной индикатрисы рассеяния 𝑥(γ), а для индикатрисы рассеяния

𝑥(γ)

𝑥₁

cos

(20.6)

где

𝑥₁

∫

𝑥(γ)

cos

sin

𝑑γ

(20.7)

Как было показано ранее, коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) при индикатрисе рассеяния вида (20.6) даётся формулами (19.18) – (19.20). Пользуясь ими, находим

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)-1

μ+μ₀

λ𝑥₁

φ₁¹(μ)φ₁¹(μ₀)cos φ+cos α

μ+μ₀

(20.8)

где вспомогательные функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) определяются уравнениями (19.21) – (19.23). Как уже говорилось, эти функции табулированы. Заметим также, что при малой роли истинного поглощения в атмосфере (т.е. при значениях λ, близких к 1), из уравнений (19.21) и (19.22) могут быть получены следующие асимптотические формулы:

φ₀⁰(μ)

φ(μ)

⎛

⎜

⎝

1-3

⎧

⎪

⎩

1-λ

3-𝑥₁

⎫½

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

(20.9)

φ₁⁰(μ)

φ(μ)

⎧

⎪

⎩

3(1-λ)

3-𝑥₁

⎫½

⎪

⎭

(20.10)

где φ(μ) – функция, определяемая уравнением (19.16) при λ=1. Формулами (20.9) и (20.10) можно воспользоваться в случае Венеры, так как альбедо этой планеты весьма велико (порядка 0,7), а следовательно, величина 1-λ очень мала. При сферической индикатрисе рассеяния это видно из формулы (19.78), а при вытянутой вперёд индикатрисе рассеяния величина 1-λ будет ещё меньше.

Подставим теперь выражение (20.5) в соотношение (20.3). Результат этой подстановки можно записать в виде

𝑥(π-α)

ƒ(α)

𝑔(α)

ℎ(α)

(20.11)

где введены обозначения

ƒ(α)

π/2

∫

α-π/2

cos ω cos(α-ω)

cos ω+cos(α-ω)

𝑑ω

π/2

∫

cos²ψ

𝑑ψ

⎛

⎜

⎝

sin

ln ctg

⎞

⎟

⎠

(20.12)

𝑔(α)

π/2

∫

α-π/2

cos

cos(α-ω)

𝑑ω

π/2

∫

cos³ψ

𝑑ψ

(20.13)

ℎ(α)

⎛

⎜

⎝

𝑟₁𝑅

𝑟₁Δ

⎞²

⎟

⎠

2,512

^{𝑚_☉-𝑚}

(20.14)

Левая часть соотношения (20.11) определяется теоретически, а правая зависит только от наблюдательных данных. Если эти данные известны, то, пользуясь соотношением (20.11), а также формулами (20.4) и (20.7), можно найти величины 𝑥(γ) и λ.

Зависимость функции ℎ(α) от угла фазы α обусловлена наблюдаемой кривой изменения блеска планеты. Эта кривая для Венеры определялась в ряде работ. Например, на основании данных Мюллера визуальная звёздная величина Венеры может быть представлена в виде

𝑚

4,71

0,013

22α

0,000

000

425α³

(20.15)

в интервале от α=24° до α=156° при расстоянии Венеры от Земли, равном одной астрономической единице.

Определённая указанным способом индикатриса рассеяния в атмосфере Венеры приведена в табл. 25. При этом для величины 𝑚 было принято среднее из значений, полученных Мюллером и Данжоном. Для данной индикатрисы рассеяния величина 𝑥₁, определённая формулой (20.7) и характеризующая вытянутость индикатрисы рассеяния, оказалась равной 𝑥₁. Альбедо частицы в атмосфере Венеры получилось равным λ=0,987, т.е. очень близким к 1. В той же таблице для сравнения приведена индикатриса рассеяния в безоблачной атмосфере Земли (определённая способом, изложенным ниже).

Таблица 25

Индикатрисы рассеяния

в атмосферах Венеры и Земли

Венера

Земля

9,20

3,30

2,80

1,90

1,22

1,30

0,53

0,94

0,26

0,75

0,18

0,64

105

0,24

0,65

120

0,38

0,72

135

0,61

0,85

150

0,92

1,03

165

1,23

1,10

Как видно из табл. 25, индикатриса рассеяния в атмосфере Венеры весьма сильно вытянута вперёд (причём значительно сильнее, чем индикатриса рассеяния в атмосфере Земли). Это говорит о том, что рассеяние света в атмосфере Венеры производится в основном крупными частицами. Разумеется, в атмосфере Венеры содержится и некоторое количество молекул (на что указывают спектроскопические исследования). Однако роль молекулярного рассеяния света в атмосфере Венеры невелика, так как её индикатриса рассеяния сильно отличается от индикатрисы рассеяния Рэлея. Если считать, что атмосфера Венеры состоит из облачного слоя и находящегося над ним слоя газа, то на основании сказанного оптическая толщина газового слоя должна быть очень малой.

Последний вывод подтверждается результатами исследования поляризации света Венеры. Наблюдения показали, что излучение Венеры поляризовано в сравнительно небольшой степени (не превосходящей 4%). При этом было определено изменение степени поляризации с углом фазы. Однако это изменение нельзя объяснить рассеянием света по закону Рэлея в газовом слое. Приходится поэтому считать, что поляризация света Венеры возникает в основном при рассеянии на крупных частицах. Как выяснилось при подробных исследованиях, средний радиус таких частиц порядка 1 мкм, а их показатель преломления близок к 1,5.

2. Атмосфера Марса.

Сквозь атмосферу Марса (при отсутствии пылевой бури) хорошо видна поверхность планеты, вследствие чего можно считать, что оптическая толщина атмосферы в видимой части спектра меньше единицы. На основании фотометрии Марса могут быть сделаны заключения об оптических свойствах его атмосферы и поверхности. Однако в некоторых отношениях изучать Марс труднее, чем Венеру, так как его угол фазы меняется лишь в пределах от 0° до 47°. Поэтому, в частности, нельзя полностью определить индикатрису рассеяния в атмосфере Марса.

Обычно Марс наблюдается во время противостояний, т.е. когда угол фазы близок к нулю. В такие периоды многими исследователями были получены снимки Марса в разных лучах. Это позволило найти распределение яркости по диску планеты в довольно широком интервале длин волн.

При интерпретации наблюдений Марса в первом приближении можно принять, что в атмосфере происходит лишь однократное рассеяние света. В таком случае, как следует из формулы (19.3), функция 𝑆, представляющая собой отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения, равна

𝑆

𝐹𝑥(γ)

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(20.16)

Подставляя это выражение в соотношение (19.25), получаем следующую формулу для коэффициента яркости, обусловленного рассеянием первого порядка:

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

ρ(μ,μ₀,φ)

𝑥(γ)

μ₀

μ+μ₀

(20.17)

Однако в формуле (20.17) не принято во внимание отражение света поверхностью планеты. Будем считать, что поверхность освещается лишь прямыми солнечными лучами и отражает излучение ортотропно с альбедо 𝐴. Тогда интенсивность излучения, отражённого от поверхности и выходящего из атмосферы под углом arccos μ к нормали, будет, очевидно, равна

𝐴𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

μ₀

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

μ₀

Поэтому выражение для коэффициента яркости при учёте отражения света поверхностью планеты принимает вид

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

ρ(μ,μ₀,φ)

𝑥(γ)

μ₀

μ+μ₀

𝐴𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

μ₀

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

(20.18)

Применяя формулу (20.18) к противостоянию планеты, мы должны положить μ₀=μ, φ=π, γ=π. Следовательно, в данном случае имеем

ρ(μ,μ₀,φ)

λ𝑥(π)

8μ

⎛

⎜

⎝

exp

⎧

⎪

⎩

–

τ₀

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝐴

exp

⎧

⎪

⎩

–

τ₀

⎫

⎪

⎭

(20.19)

Эта формула определяет коэффициент яркости планеты на угловом расстоянии arccos μ от центра диска.

Формула (20.19) обычно и используется при интерпретации фотометрических наблюдений Марса. Так как величина ρ(μ,μ₀,φ) известна из наблюдений, то, пользуясь этой формулой, можно пытаться найти неизвестные величины λ𝑥(π), τ₀ и 𝐴 (считая их не зависящими от μ). В первом приближении можно допустить отсутствие истинного поглощения в атмосфере и рэлеевскую индикатрису рассеяния, т.е. принять λ𝑥(π)=³/₂. В таком случае для согласования теоретических и наблюдённых значений коэффициента яркости на диске планеты надо подобрать лишь две величины: оптическую толщину атмосферы τ₀ и альбедо поверхности 𝐴.

Указанным способом было найдено, что в видимой части спектра оптическая толщина атмосферы Марса порядка 0,03—0,06, т.е. примерно в 10 раз меньше оптической толщины безоблачной атмосферы Земли. Вместе с тем для альбедо поверхности планеты были получены значения порядка 0,1—0,3 (различные для «материков», «морей» и «полярных шапок»).

Найденные для Марса величины τ₀ и 𝐴 весьма сильно зависят от длины волны излучения. При этом величина τ₀ возрастает при переходе от красной части спектра к фиолетовой. Однако это возрастание происходит медленнее, чем по закону τ₀∼ν⁴, имеющему место при чисто молекулярном рассеянии света, вследствие чего надо считать, что в атмосфере Марса заметную роль играет рассеяние света крупными частицами.

Для тех частей спектра, в которых оптическая толщина атмосферы порядка единицы и больше, уже нельзя пользоваться формулой (20.18), так как в этом случае необходимо учитывать рассеяние высших порядков. Точное выражение для коэффициента яркости, справедливое при любом значении τ₀, было получено выше. Оно даётся формулой (19.39) при 𝐴=0 и формулой (19.59) при 𝐴≠0. При нахождении указанных формул предполагалось, что рассеяние света является изотропным. Однако при помощи этих формул можно также получить приближённое выражение для коэффициента яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. При этом рассеяние первого порядка будем учитывать точно, а рассеяния высших порядков – приближённо, определяя их не для данной индикатрисы рассеяния, а для сферической. В таком случае для коэффициента яркости получаем выражение

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

ρ(μ,μ₀,φ)

𝑥(γ)

μ₀

μ+μ₀

ρ(μ,μ₀)

(20.20)

где, на основании формул (19.39) и (19.59),

ρ(μ,μ₀)

4(μ+μ₀)

⎡

⎢

⎣

φ(μ)

φ(μ₀)

–

ψ(μ)

ψ(μ₀)

–1+

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

μ₀

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑀(μ)

𝑀(μ₀)

(20.21)

Формула (20.20) может быть, в частности, применена для изучения Марса в период так называемых глобальных пылевых бурь, когда практически вся поверхность планеты затянута пылевыми облаками. Например, в 1971 г. пылевая буря на Марсе длилась примерно 4 месяца. В начальной и заключительной фазах развития пылевой бури оптическая толщина облаков в видимом участке спектра порядка единицы, в средней же фазе τ₀≫1 (подробнее см. [6]).

3. Атмосфера Земли.

Оптические свойства атмосферы Земли изучены чрезвычайно подробно. Однако здесь мы остановимся лишь на тех свойствах земной атмосферы, которые определяются на основе простейших фотометрических наблюдений и с помощью формул теории рассеяния света, приведённых в предыдущем параграфе.

Оптическая толщина земной атмосферы наиболее просто находится путём измерения интенсивности солнечного излучения, пропущенного атмосферой, при разных зенитных расстояниях Солнца. Указанная интенсивность определяется формулой

𝐼

𝐼₀

exp

⎛

⎝

–

τ₀

sec

θ₀

⎞

⎠

(20.22)

где 𝐼₀ – интенсивность солнечного излучения на верхней границе атмосферы. Для нахождения оптической толщины атмосферы τ₀ при помощи формулы (20.22) необходимы по крайней мере два измерения величины 𝐼 при разных зенитных расстояниях Солнца (чтобы исключить 𝐼₀). При ясном небе оптическая толщина атмосферы в видимой части спектра оказывается порядка 0,3, причём она возрастает с убыванием длины волны. Последнее обстоятельство, как известно, объясняет покраснение Солнца при приближении его к горизонту и голубой цвет неба. По отклонению изменения величины τ₀ с длиной волны от закона τ₀∼ν⁴ можно судить об относительной роли рассеяния света молекулами и крупными частицами в земной атмосфере.

Измерение распределения яркости по небу даёт возможность найти индикатрису рассеяния в атмосфере. Для этого мы должны воспользоваться формулой, определяющей интенсивность излучения, диффузно пропущенного атмосферой, или соответствующий ей коэффициент яркости σ(μ,μ₀,φ). Если учитывать лишь рассеяние первого порядка, то для нахождения величины σ(μ,μ₀,φ) надо подставить выражение (20.16) в соотношение (19.26). В результате имеем

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

–

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

σ(μ,μ₀,φ)

𝑥(γ)

μ₀

μ-μ₀

(20.23)

Рассеяние высших порядков может быть учтено так же, как в формуле (20.20), т.е. при сферической индикатрисе рассеяния. В таком случае вместо формулы (20.23) получаем

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

–

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

σ(μ,μ₀,φ)

𝑥(γ)

μ₀

μ-μ₀

σ(μ,μ₀)

(20.24)

где, как следует из формул (19.40) и (19.60),

σ(μ,μ₀)

4(μ-μ₀)

⎡

⎢

⎣

ψ(μ)

φ(μ₀)

–

ψ(μ₀)

φ(μ)

–

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑁(μ)

𝑀(μ₀)

(20.25)

Индикатриса рассеяния земной атмосферы, найденная указанным способом (при использовании несколько иной формулы для величины Δσ), приведена в последней строке табл. 25. В данном случае принималось, что λ=1. Значительное отличие полученной индикатрисы рассеяния от рэлеевской объясняется присутствием в атмосфере, наряду с молекулами, большого числа крупных частиц (пылинок, капель воды и т.д.).

Большой интерес представляет также определение оптических свойств облаков. При сплошной облачности можно считать, что рассеяние света происходит в плоском слое, оптическая толщина которого очень велика. В этом случае до наблюдателя, находящегося на земной поверхности, доходит лишь излучение, испытавшее очень большое число рассеяний. Поэтому нахождение оптических свойств облаков (характеризующих рассеяние света в элементарном объёме) встречает значительные трудности.

Применим к облачному небу в виде примера формулу (20.24). При τ₀≫1 первый член в правой части этой формулы пренебрежимо мал, а для второго члена можно получить простые асимптотические формулы (см. [3]). В частности, при λ=1 и 𝐴=0 имеем

σ(μ,μ₀)

φ(μ)φ(μ₀)

τ₀+𝑏

(20.26)

где φ(μ) – функция, определённая уравнением (19.16) (при λ=1), а 𝑏=2α₂/α₁, где α₁ и α₂ – первый и второй моменты этой функции. Вычисления дают 𝑏=1,42. Из формулы (20.26) видно, что относительное распределение яркости по облачному небу определяется функцией φ(μ), т.е.

𝐼(μ)

∼

φ(μ)

(20.27)

Как было показано в § 3, формулой (20.27) даётся и относительное распределение яркости по диску звезды. Полученный результат вполне понятен, так как в обоих случаях мы имеем дело с рассеянием света в среде, состоящей из плоскопараллельных слоёв, при источниках излучения, находящихся на очень большом оптическом расстоянии от границы.

Если 𝐴≠0 то для определения величины σ(μ,μ₀), нам надо найти функции 𝑀(μ) и 𝑁(μ). При λ=1, как видно из формул (19.61), (19.62) и (19.73),

𝑁(μ)

𝑀(μ)

(20.28)

При τ₀≫1 подстановка (20.26) в (19.57) даёт

𝑀(μ)

φ(μ)

(τ₀+𝑏)√3

(20.29)

где принято во внимание, что α₁=2/√3 (см. § 3). Пользуясь формулами (19.56) и (19.58), а также двумя последними формулами, получаем

𝐶

3(τ₀+𝑏)

(20.30)

Записывая величину σ(μ,μ₀) в виде

σ(μ,μ₀)

φ(μ)φ(μ₀)

τ₀+𝑏

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑁(μ)

𝑀(μ₀)

(20.31)

и подставляя в формулу (20.31) полученные выражения для величин 𝑁(μ), 𝑀(μ₀) и 𝐶, находим

σ(μ,μ₀)

√3

φ(μ₀)

4𝐴+√3(1-𝐴)φ(μ)

4𝐴+3(1-𝐴)(τ₀+𝑏)

(20.32)

Аналогичные формулы для величины σ(μ,μ₀,φ) могут быть выведены и в более сложных случаях, т.е. при произвольных значениях λ и различных индикатрисах рассеяния. Можно также дать асимптотические формулы (при τ₀≫1) для величины ρ(μ,μ₀,φ), характеризующей распределение яркости облаков при наблюдении их сверху. Сравнение теоретических и наблюдённых значений коэффициентов яркости σ(μ,μ₀,φ) и ρ(μ,μ₀,φ) позволяет получить сведения о τ₀, λ и 𝑥(γ) для облаков.

4. Интерпретация спектров планет.

Очень ценные сведения о планетных атмосферах может дать спектроскопическое изучение планет. Однако такое изучение представляет большие трудности. Отчасти это вызвано тем, что свечение планет происходит вследствие рассеяния ими солнечного излучения и поэтому в спектрах планет содержатся все линии спектра Солнца. Кроме того, в спектрах планет присутствуют и теллурические линии, возникающие при прохождении излучения через земную атмосферу. Такая сложность планетных спектров сильно затрудняет выявление линий, возникающих в атмосфере планеты. Особенно это относится к линиям газов, содержащихся в атмосфере Земли (в частности, кислорода и водяного пара). О наличии этих газов в атмосфере планеты можно судить лишь по усилению теллурических линий. Из сказанного видно, какое большое значение для спектроскопии планет имеет вывод астрономических инструментов за пределы земной атмосферы, осуществляемый при помощи искусственных спутников и космических аппаратов.

Приведём некоторые результаты наблюдений планетных спектров, выполненных ещё с поверхности Земли (см., например, [7]). В 1932 г. Адамс и Дэнхем нашли полосы поглощения углекислого газа (𝙲𝙾₂) в инфракрасной части спектра Венеры. Позднее Койпером были открыты полосы поглощения того же газа в спектре Марса. В спектрах Юпитера и Сатурна присутствуют полосы поглощения метана (𝙲𝙷₄) и аммиака (𝙽𝙷₃), однако концентрация этих газов в атмосферах мала. Сильные полосы поглощения метана содержатся также в спектрах Урана и Нептуна. Основной же составляющей атмосфер Юпитера и других планет-гигантов является, как можно ожидать, молекулярный водород (𝙷₂), который обнаружен благодаря наличию в их спектрах полос поглощения, обусловленных квадрупольными переходами.

Следует отметить, что некоторые газы не проявляют себя спектроскопически в доступной наблюдениям с Земли области спектра. К ним относится, в частности, гелий, который, по-видимому, в сравнительно больших количествах содержится в атмосферах планет-гигантов. Эмиссионная линия гелия 584 Å была обнаружена с помощью ультрафиолетового спектрометра с борта космических аппаратов, пролетавших мимо Юпитера и Сатурна.

При количественной интерпретации спектров планет могут быть использованы те же формулы, которые применялись выше при интерпретации фотометрических данных о планетах. Мы сейчас напишем выражения для интенсивности излучения внутри линии планетного спектра в некоторых простейших случаях.

Выше мы считали, что в каждом элементарном объёме атмосферы происходит рассеяние и истинное поглощение света в непрерывном спектре (обусловленное наличием в атмосфере молекул и крупных частиц). При этом коэффициент рассеяния обозначался через λα, а коэффициент истинного поглощения через (1-λ)α где λ – альбедо частицы, а α – коэффициент поглощения. Теперь допустим, что в каждом элементарном объёме, наряду с указанными процессами, происходит также истинное поглощение в спектральной линии. Рассеянием света в линии будем пренебрегать (этого, очевидно, нельзя делать для резонансной полосы). Коэффициент истинного поглощения в частоте ν внутри линии обозначим через α_ν.

При принятых обозначениях уравнение переноса излучения в спектральной линии записывается в виде

cos

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

(α+α

_ν

)

𝐼

_ν

(20.33)

где

_ν

λα

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

λα

𝐹

exp

⎛

⎝

–

_ν

sec

θ₀

⎞

⎠

(20.34)

и τ_ν – оптическая глубина в частоте ν, т.е.

_ν

∞

∫

𝑟

(α+α

_ν

)

𝑑𝑟

(20.35)

В уравнении (20.34) для простоты считается, что рассеяние света является изотропным.

Вводя обозначение

𝑆

_ν

ε_ν

α+α_ν

(20.36)

вместо уравнений (20.33) и (20.34) получаем

cos

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

𝐼

_ν

–

𝑆

_ν

(20.37)

𝑆

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

_ν

𝐹

exp

⎛

⎝

–

_ν

sec

θ₀

⎞

⎠

(20.38)

где

_ν

λα

α+α_ν

(20.39)

Мы видим, что уравнения (20.37) и (20.38) формально совпадают с ранее рассмотренными уравнениями (19.10) и (19.11). При этом вне спектральной линии, т.е. когда α_ν=0, τ_ν=τ и λ_ν=λ, первые из упомянутых уравнений переходят во вторые.

Рассмотрим сначала случай, когда оптическая толщина атмосферы в непрерывном спектре по порядку меньше единицы. В этом случае, на основании формулы (20.18), интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре, равна

⎡

⎢

⎣

1-exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝐼(μ,μ₀)

μ₀

μ+μ₀

⎤

⎥

⎦

+𝐴

exp

⎛

⎜

⎝

–τ₀

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝐹μ₀

μ₀

(20.40)

где 𝐴 – альбедо поверхности планеты. Заменяя здесь λ на λ_ν и τ₀ на τ_ν⁰, получаем выражение для интенсивности излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν внутри спектральной линии:

⎡

⎢

⎣

1-exp

⎛

⎜

⎝

–τ

_ν

⁰

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝐼

_ν

(μ,μ₀)

_ν

μ₀

μ+μ₀

⎤

⎥

⎦

+𝐴

exp

⎛

⎜

⎝

–τ

_ν

⁰

⎧

⎪

⎩

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝐹μ₀

μ₀

(20.41)

Отношение этих интенсивностей, т.е. величина

𝑟

_ν

(μ,μ₀)

𝐼_ν(μ,μ₀)

𝐼(μ,μ₀)

(20.42)

характеризует профиль линии поглощения на угловом расстоянии arccos μ от центра диска планеты.

Если оптическая толщина атмосферы в непрерывном спектре очень мала, то из приведённых формул следует

𝑟

_ν

(μ,μ₀)

exp

⎛

⎝

–

⎧

⎩

_ν

⁰

–

τ₀

⎫

⎭

⎞

⎠

⎛

⎜

⎝

μ₀

⎞

⎟

⎠

(20.43)

Эта формула выражает тот факт, что линия поглощения возникает при прохождении луча через атмосферу, его отражении от поверхности планеты и вторичном прохождении через атмосферу по направлению к наблюдателю. Поэтому линия имеет такую же остаточную интенсивность, как при прохождении излучения через слой газа с оптической толщиной

⎧

⎩

_ν

⁰

–

τ₀

⎫

⎭

⎛

⎜

⎝

μ₀

⎞

⎟

⎠

В данном случае находимая из наблюдений «эквивалентная толщина слоя газа» непосредственно характеризует количество газа в атмосфере. По-видимому, формула (20.43) применима к красной части спектра Марса.

Рассмотрим теперь случай, когда оптическая толщина атмосферы очень велика (мы будем считать τ₀=∞). При этом предположим, что величины λ и λ_ν постоянны в атмосфере. Как следует из формулы (19.15), интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре, равна

𝐼(μ,μ₀)

φ_λ(μ)φ_λ(μ₀)

μ+μ₀

𝐹μ₀

(20.44)

где через φ_λ(μ) мы обозначили функцию, определённую уравнением (19.16). Заменяя здесь λ на λ_ν, находим, что интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в спектральной линии, даётся формулой

𝐼

_ν

(μ,μ₀)

λ_ν

φ_λν(μ)φ_λ(μ₀)

μ+μ₀

𝐹μ₀

(20.45)

Подставляя (20.44) и (20.45) в (20.42), получаем

𝑟

_ν

(μ,μ₀)

λ_νφ_λν(μ)φ_λν(μ₀)

λφ_λ(μ)φ_λ(μ₀)

(20.46)

Будем считать, что величины λ и λ_ν близки к 1. Тогда, как следует из формулы (20.9) при 𝑥₁=0, функция φ_λ(μ) представляется в виде

_λ

(μ)

φ(μ)

⎡

⎣

μ√

3(1-λ)

⎤

⎦

(20.47)

где через φ(μ) обозначена функция φ_λ(μ) при λ=1. Аналогичное выражение можно написать и для функции φ_λν(μ). Подставляя указанные выражения в формулу (20.46) и пренебрегая членами порядка 1-λ, и 1-λ_ν, находим

𝑟

_ν

(μ,μ₀)

√

(μ+μ₀)

(√

1-λ

_ν

–√

1-λ

)

(20.48)

Очевидно, что в данном случае получаемая из наблюдений «эквивалентная толщина слоя газа» уже не имеет такого простого физического смысла, как в случае применимости формулы (20.43). Пользуясь полученным выражением для величины 𝑟_ν(μ,μ₀), можно определить эквивалентную ширину линии поглощения по формуле

𝑊

_ν

(μ,μ₀)

∫

[

𝑟

_ν

(μ,μ₀)

]

𝑑ν

(20.49)

Так как коэффициент поглощения в линии α_ν пропорционален концентрации поглощающих молекул 𝑛, то формула (20.49) даёт зависимость 𝑊 от 𝑛 (точнее говоря, от 𝑛/α). Поэтому сравнение наблюдённого и теоретического значений 𝑊 позволяет найти концентрацию молекул 𝑛 в атмосфере планеты.

Если применить формулу (20.49) к разным линиям молекулярной полосы, то можно получить относительные числа молекул на разных вращательно-колебательных уровнях. Допуская, что вследствие столкновений устанавливается больцмановское распределение молекул по возбуждённым уровням, можно найти температуру газа. Таким способом Чемберлен и Койпер по полосам поглощения 𝙲𝙾₂ определили температуру в атмосфере Венеры, оказавшуюся равной 285 K. При указанном определении температуры использовалось выражение (20.48) для величины 𝑟_ν(μ,μ₀) Иными словами, делалось предположение, что молекулы и крупные частицы перемешаны в атмосфере в постоянном отношении. По-видимому, это предположение приближённо справедливо, так как зависимость эквивалентной ширины полосы 𝙲𝙾₂ от фазы, вычисленная на его основе, согласуется с аналогичной зависимостью, полученной из наблюдений.

Формула (20.48) справедлива лишь при изотропном рассеянии света. Этот случай важен главным образом потому, что к нему можно приближённо свести случай анизотропного рассеяния, который более соответствует реальным атмосферам. Указанная возможность основана на том, что поле излучения при произвольной индикатрисе рассеяния (усреднённое по азимуту) похоже на поле излучения при сферической индикатрисе рассеяния в атмосфере с другими значениями параметров λ и τ₀. В случае анизотропного рассеяния получена также точная формула для величины 𝑟_ν обобщающая формулу (20.48) (см. [3]).

Для расчёта спектров планет необходима как теория многократного рассеяния света, так и теория молекулярных спектров. Вопросы образования спектров молекул, содержащихся в планетных атмосферах, изложены в книге Р. Гуди [8].

§ 21. Строение планетных атмосфер

1. Температуры планет.

При изучении планет, кроме рассмотренных выше наблюдений в оптической области спектра, производятся также и другие наблюдения. Среди них очень важны наблюдения с целью измерения температур планет. Прежде чем сообщить результаты таких измерений, мы выясним, какие значения температур должны ожидаться на планетах.

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"