Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 35 страниц)

1

+

β

_ν

⃰

𝐻

_ν

⁰(0)

=

4π

𝐵

_ν

(𝑇₀)

√

3

.

√

3

+2

(10.36)

Из (10.35) и (10.36) находим

𝑟

_ν

=

𝐻_ν(0)

𝐻_ν⁰(0)

=

1 +

β_ν⃰

√3(1+η_ν)

1 +

β_ν⃰

√3

•

√3+2

√3(1+η_ν)+2

.

(10.37)

Этой формулой и определяется искомый профиль линии поглощения в звёздном спектре.

Заметим, что в центральных частях сильных линий η_ν≫1. Поэтому в данном случае имеем

𝑟

_ν

≃

√3+2

√3+β_ν⃰

⋅

1

√η_ν

.

(10.38)

Мы видим, что величина 𝑟_ν зависит от β_ν⃰ только через посредство потока в непрерывном спектре. Поток же в центральных частях линии от β_ν⃰ практически не зависит. Это объясняется тем, что центральные части сильных линий образуются в самых поверхностных слоях атмосферы [где можно считать, что 𝐵_ν(𝑇)=𝐵_ν(𝑇₀)].

Во внешних частях линии η_ν≪1. В этом случае формула (10.37) даёт

𝑟

_ν

=

1

–

η_ν

2

⎛

⎜

⎝

β_ν⃰

√3+β_ν⃰

+

√3

√3+2

⎞

⎟

⎠

.

(10.39)

Таким образом, величина 1-𝑟_ν пропорциональна коэффициенту поглощения в линии σ_ν [как и согласно формуле (9.20)].

При помощи уравнения (10.21) и полученного выражения для величины 𝐼_ν мы можем найти также и величину 𝑟_ν(θ), но на этом не будем останавливаться.

3. Флуоресценция в звёздных атмосферах.

Полученные выше выражения для 𝑟_ν определяют собой теоретические профили линий поглощения. Однако эти профили (как в случае модели Шварцшильда – Шустера, так и в случае модели Эддингтона) не находятся в хорошем согласии с наблюдёнными профилями. Особенно велико расхождение между ними в отношении центральных интенсивностей линий. При этом для сильных линий теоретические значения 𝑟_ν₀ гораздо меньше наблюдённых значений (подробнее см. в § 11).

Указанные расхождения говорят о том, что предположения, сделанные нами при составлении уравнения (10.1), в действительности не осуществляются. Одно из этих предположений заключалось в том, что в каждой линии происходит чистое рассеяние излучения. На самом деле в звёздных атмосферах происходят и процессы флуоресценции, т.е. перераспределение излучения между линиями, а также между линиями и непрерывным спектром. Очевидно, что перераспределение излучения между линиями не может привести к увеличению центральных интенсивностей всех линий: если интенсивность одной линии увеличилась, то интенсивности других линий должны уменьшиться.

Иначе обстоит дело в случае перераспределения излучения между линиями и непрерывным спектром. Рассмотрим для простоты атом, обладающий только тремя уровнями энергии (1, 2 и 3), причём первые два дискретные, а третий соответствует ионизованному состоянию. Кроме процесса чистого рассеяния в спектральной линии (1→2→1), рассмотренного нами ранее, возможны также два следующих взаимно противоположных циклических процесса: 1) переход 1→3→2→1, т.е. ионизация атома из первого состояния, захват электрона на второй уровень и излучение кванта в линии; 2) переход 1→2→3→1, т.е. поглощение кванта в линии, ионизация из второго состояния и захват электрона на первый уровень. Очевидно, что процессы первого рода приводят к появлению квантов в линии, а процессы второго рода – к исчезновению таких квантов. В глубоких слоях атмосферы, где можно предполагать наличие термодинамического равновесия, указанные процессы компенсируют друг друга. Однако во внешних слоях атмосферы процессы первого рода преобладают над процессами второго рода. Объясняется это тем, что вероятность процессов первого рода зависит только от плотности излучения за границей основной серии, а вероятность процессов второго рода – как от плотности излучения за границей второй серии, так и от плотности излучения в спектральной линии. Что касается плотности излучения в непрерывном спектре, то она, очевидно, не меняется в атмосфере. Однако плотность излучения в спектральной линии убывает при переходе от глубоких слоёв к внешним.

Таким образом, перераспределение излучения между линиями и непрерывным спектром в звёздных атмосферах чаще приводит к появлению квантов в линии, чем к их исчезновению. В частности, благодаря этому процессу должны увеличиваться центральные интенсивности линий поглощения.

Чтобы определить профили линий при учёте действия указанного флуоресцентного механизма, мы должны составить и решить соответствующее уравнение переноса излучения. Сделаем это, следуя Стрёмгрену.

Примем Эддингтоновскую модель атмосферы и будем исходить из уравнения (10.21). Однако вместо формулы (10.1), определяющей величину ε_ν, мы напишем

ε

_ν

=

(1-γ)

σ

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

+

ε

_ν

'

,

(10.40)

где ε_ν' – объёмный коэффициент излучения, обусловленный процессами первого рода, а под γ понимается доля квантов в спектральной линии, испытавших истинное поглощение (т.е. доля атомов, перешедших из второго состояния в ионизованное); введением величины γ учитываются процессы второго рода.

Пользуясь изложенными выше соображениями, легко найти выражение для величины ε_ν'. В глубоких слоях атмосферы, где число процессов первого рода равно числу процессов второго рода,

ε

_ν

'

=

γ

σ

_ν

𝐼

_ν

.

(10.41)

Вместе с тем в тех же слоях 𝐼_ν=𝐵_ν(𝑇) Поэтому вместо (10.41) имеем

ε

_ν

'

=

γ

σ

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.42)

Можно считать, что полученное выражение для ε_ν', сохранится и при переходе от глубоких слоёв атмосферы к более внешним, так как плотность излучения, вызывающего ионизацию атомов из основного состояния, в атмосфере не меняется. Однако чтобы учесть возможное отличие плотности этого излучения в атмосфере звезды от плотности при термодинамическом равновесии, мы введём в правую часть соотношения (10.42) некоторый поправочный множитель 𝑄. Тогда получаем

ε

_ν

=

(1-γ)

σ

_ν

𝐼

_ν

+

𝑄

γ

σ

_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.43)

Подставляя (10.43) в (10.21), а также переходя от переменной 𝑟 к τ_ν, находим

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

=

(1+η

_ν

)𝐼

_ν

–

(1-γ)

η

_ν

𝐼

_ν

–

-

(1+𝑄γη

_ν

)

𝐵

_ν

(𝑇)

,

(10.44)

где η_ν определяется формулой (10.24).

Получим приближённое решение уравнения (10.44), считая, что η_ν=const. Из этого уравнения имеем

𝑑𝐻_ν

𝑑τ_ν

=

(1+γη

_ν

)

𝐼

_ν

–

(1+𝑄γη

_ν

)

𝐵

_ν

,

(10.45)

𝑑𝐼_ν

𝑑τ_ν

=

3(1+η

_ν

)

𝐻

_ν

.

(10.46)

Отсюда получается следующее уравнение для определения 𝐼_ν:

𝑑²𝐼_ν

𝑑τ_ν²

=

3(1+η

_ν

)

⎡

⎣

(1+γη

_ν

)

𝐼

_ν

–

(1+𝑄γη

_ν

)

𝐵

_ν

⎤

⎦

(10.47)

Решение уравнения (10.47) имеет вид

𝐼

_ν

=

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

–

𝑏

_ν

τ

_ν

⎞

⎠

+

1+𝑄γη_ν

1+γη_ν

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+

β

_ν

⃰

τ

_ν

),

(10.48)

где

𝑏

_ν

²

=

3(1+η

_ν

)

(1+γη

_ν

)

,

(10.49)

а 𝐶_ν – произвольная постоянная. Постоянная при exp(𝑏_ντ_ν) равна нулю, так как 𝐼_ν не может с увеличением τ_ν возрастать экспоненциально. Подставляя (10.48) в (10.46), находим

𝐻

_ν

=

1

3(1+η_ν)

⎡

⎢

⎣

–𝑏

_ν

𝐶

_ν

exp

⎛

⎝

–

𝑏

_ν

τ

_ν

⎞

⎠

+

+

1+𝑄γη_ν

1+γη_ν

𝐵

_ν

(𝑇₀)

β

_ν

⃰

⎤

⎥

⎦

(10.50)

Определяя постоянную 𝐶_ν из условия (10.33), получаем следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:

𝐻

_ν

(0)

=

4π

𝐵

_ν

(𝑇₀)

1+𝑄γη_ν

1+γη_ν

𝑏_ν+β_ν⃰

3(1+η_ν)+2𝑏_ν

.

(10.51)

Отсюда вытекает, что

𝑟

_ν

=

1+𝑄γη

_ν

•

𝑏

_ν

+β

_ν

⃰

•

√

3

+2

.

1+γη

_ν

1

+

β

_ν

⃰

3(1+η

_ν

)+2𝑏

_ν

√

3

(10.52)

Полученная формула для 𝑟_ν является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.

Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину γ. Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина γ представляется в виде

γ

=

𝐵₂₃ρ₂₃

𝐵₂₃ρ₂₃+𝐴₂₁

.

(10.53)

В этой формуле

𝐵₂₃ρ₂₃

=

𝑐

∞

∫

ν₂₃

ρ

_ν

𝑘

_2ν

𝑑ν

ℎν

,

(10.54)

где ν₂₃ – частота ионизации из второго состояния, 𝑘_2ν – коэффициент поглощения за границей второй серии.

Для грубой оценки величины γ можно поступить так. Будем считать, что величина 𝐵₂₃ρ₂₃ действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии ρ₂₃ на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя ρ₂₃ и 𝐴₂₁ в виде

ρ₂₃

=

σ₂₃

,

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₂₃

⎞

⎟

⎠

–1

𝑘𝑇

(10.55)

𝐴₂₁

=

𝑔₁

𝑔₂

σ₁₂

𝐵₁₂

(10.56)

где

σ

_𝑖𝑘

=

8πℎν_𝑖³𝑘

𝑐³

,

(10.57)

и принимая приближённо 𝑔₂≈𝑔₁, σ₁₂≈σ₂₃, 𝐵₁₂≈𝐵₂₃, получаем

γ

≈

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν₂₃

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(10.58)

Оценка величины γ по формуле (10.58) для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт γ≈10⁻³. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (γ=0,0015 для линий D₁ и D₂ натрия и γ=0,0004 для линии λ 4227 Са I).

Формулу (10.52) для 𝑟_ν и сделанные оценки величины γ мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.

4. Точное решение задачи.

Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.

Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения ε_ν зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑡_ν

=

𝐼

_ν

–

𝑆

_ν

,

(10.59)

где 𝑑𝑡_ν=-(σ_ν+α_ν) 𝑑𝑟 и

𝑆

_ν

=

(1-γ)

η_ν

1+η_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

+

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

.

(10.60)

Функцию 𝐵_ν(𝑇), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от τ_ν к 𝑡_ν, имеем

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎛

⎜

⎝

1+

β_ν⃰

1+η_ν

⎞

⎟

⎠

(10.61)

где

β

_ν

⃰

=

β

_ν

α

α_ν

.

Решая уравнение (10.59) относительно 𝐼_ν и подставляя найденное выражение 𝐼_ν через 𝑆_ν в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции 𝑆_ν(𝑡_ν):

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

)

=

λ_ν

2

∞

∫

0

𝐸₁|𝑡

_ν

–𝑡

_ν

'|

𝑆

_ν

(𝑡

_ν

')

𝑑𝑡

_ν

'

+

+

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

,

(10.62)

где обозначено

λ

_ν

=

(1-γ)

η_ν

1+η_ν

.

(10.63)

Перепишем уравнение (10.62) в виде

𝑆(𝑡)

=

λ

2

∞

∫

0

𝐸₁|𝑡-𝑡'|

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡'

+

𝑔(𝑡)

,

(10.64)

опуская для простоты на время индекс ν. Свободный член этого уравнения является линейной функцией от 𝑡 т.е.

𝑔(𝑡)

=

𝑐₀

+

𝑐₁𝑡

.

(10.65)

Мы видим, что уравнение (10.64) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Если в уравнении (3.1) положить

𝐾(𝑡)

=

λ

2

𝐸₁𝑡

=

λ

2

∞

∫

1

𝑒

^-𝑡𝑥

𝑑𝑥

𝑥

,

(10.66)

то мы получим уравнение (10.64). При представлении ядра 𝐾(𝑡) в форме (3.17) имеем 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥.

Согласно способу, изложенному в § 3, решение уравнения (10.64) надо начинать с нахождения функции 𝑆(0,𝑥) определённой уравнением (3.20). В данном случае, полагая 𝑥=1/μ и 𝑆(0,𝑥)=φ(μ), вместо (3.20) имеем

φ(μ)

=

1+

λ

2

φ(μ)μ

1

∫

0

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

.

(10.67)

При λ=1 из (10.67) получается ранее рассмотренное уравнение (3.53).

Функция φ(μ), впервые введённая В. А. Амбарцумяном, была затем подробно изучена рядом авторов. В табл. 11 приведены значения этой функции, а в табл. 12 – значения её моментов [т.е. величин, определённых формулой (3.59)].

Таблица 11

Значения функции φ(μ)

μ

λ

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

0

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

0,1

1,00

1,06

1,09

1,14

1,15

1,17

1,18

1,20

1,21

1,25

0,2

1,00

1,09

1,15

1,23

1,26

1,29

1,31

1,34

1,37

1,45

0,3

1,00

1,11

1,19

1,30

1,34

1,39

1,42

1,46

1,51

1,64

0,4

1,00

1,13

1,22

1,36

1,41

1,48

1,52

1,57

1,64

1,83

0,5

1,00

1,14

1,25

1,41

1,48

1,56

1,61

1,67

1,76

2,01

0,6

1,00

1,15

1,27

1,46

1,53

1,63

1,69

1,77

1,88

2,19

0,7

1,00

1,16

1,29

1,50

1,58

1,69

1,76

1,85

1,98

2,37

0,8

1,00

1,17

1,31

1,54

1,63

1,75

1,83

1,93

2,08

2,55

0,9

1,00

1,18

1,32

1,57

1,67

1,81

1,89

2,01

2,18

2,73

1,0

1,00

1,18

1,34

1,60

1,71

1,85

1,95

2,08

2,27

2,91

Таблица 12

Значения моментов функции φ(μ)

λ

0

0,4

0,6

0,8

0,85

0,90

0,925

0,95

0,975

1

α₀

1,00

1,13

1,23

1,38

1,44

1,52

1,57

1,63

1,73

2,00

α₁

0,50

0,58

0,64

0,74

0,77

0,83

0,86

0,90

0,96

1,15

α₂

0,33

0,39

0,43

0,50

0,53

0,57

0,59

0,63

0,67

0,82

Функция 𝑆(𝑡) являющаяся решением уравнения (10.64), может быть выражена через функцию φ(μ). Однако нас сейчас интересуют лишь профили линий поглощения. Поэтому мы должны найти только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величину 𝐼(0,μ). Как мы знаем, величина 𝐼(0,μ) также выражается непосредственно через функцию φ(μ).

В данном случае, т.е. когда 𝑔(𝑡) является линейной функцией от 𝑡, для определения интенсивности излучения 𝐼(0,μ) мы должны использовать формулы (3.41) и (3.48). Первая из них получена при 𝑔(𝑡)=1, вторая – при 𝑔(𝑡)=𝑡 Как следует из формулы (3.27), при ядре вида (10.66)

𝑆(0,0)

=

1

√1-λ

.

(1.68)

Поэтому находим

𝐼(0,μ)

=

φ(μ)

√1-λ

⎡

⎢

⎣

𝑐₀

+

𝑐₁

⎛

⎜

⎝

μ

+

λ

2

α₁

√1-λ

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(1.69)

где α₁ – первый момент функции φ(μ).

Сопоставляя между собой свободный член уравнения (10.60) и выражение (10.65) для функции 𝑔(𝑡), получаем следующее выражение для интенсивности излучения, выходящего из атмосферы в частоте ν:

𝐼

_ν

(0,μ)

=

φ_ν(μ)

√1-λ_ν

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

𝐵

_ν

(𝑇₀)

×

×

⎡

⎢

⎣

1

+

β_ν⃰

1+η_ν

⎛

⎜

⎝

μ

+

λ_ν

2

α_ν₁

√1-λ_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(10.70)

Здесь под φ_ν(μ) понимается функция φ(μ), определённая уравнением (10.67) при значении λ, даваемом формулой (10.63).

Интенсивность излучения, выходящего из атмосферы в непрерывном спектре вблизи линии, получается из (10.70) при η_ν=0. Она равна

𝐼

_μ

⁰(0,μ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

(1+β

_ν

⃰μ)

.

(10.71)

Из (10.70) и (10.71) следует, что величина 𝑟_ν(μ), определяющая профиль линии поглощения на угловом расстоянии arccos μ от центра диска, даётся формулой

𝑟

_ν

(μ)

=

𝐼_μ(0,μ)

𝐼_μ⁰(0,μ)

=

φ_ν(μ)

(1+β_ν⃰μ)√1-λ_ν

1+𝑄γη_ν

1+η_ν

×

×

⎡

⎢

⎣

1

+

β_ν⃰

1+η_ν

⎛

⎜

⎝

μ

+

λ_ν

2

α_ν₁

√1-λ_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(10.72)

Для однородной атмосферы (т.е. в случае β_ν⃰=0) и при отсутствии флуоресценции (т.е. при γ=0) из формулы (10.72) находим

𝑟

_ν

(μ)

=

φ_ν(μ)

√1+η_ν

.

(10.73)

Формула (10.72) (при 𝑄=1) была впервые получена Чандрасекаром.

§ 11. Линии поглощения при некогерентном рассеянии

1. Перераспределение излучения по частотам внутри линии.

В предыдущем параграфе при рассмотрении вопроса об образовании линий поглощения в звёздных спектрах были сделаны два предположения: 1) о чистом рассеянии в спектральной линии (т.е. об отсутствии перераспределения излучения между линиями, а также между линиями и непрерывным спектром), 2) о когерентном рассеянии (т.е. об отсутствии перераспределения излучения по частотам внутри линии). Однако профили линий, вычисленные при этих предположениях, весьма сильно отличаются от наблюдённых профилей. Это свидетельствует о том, что указанные предположения на самом деле не осуществляются, и от них надо отказаться. Учёт флуоресценции (точнее говоря, перераспределения излучения между линиями и непрерывным спектром), уже произведённый выше, значительно уменьшает расхождение между теорией и наблюдениями. Теперь мы примем во внимание и некогерентность рассеяния, т.е. изменение частоты излучения при элементарном акте рассеяния.

Перечислим сначала причины, приводящие к перераспределению излучения по частотам внутри линии.

1. Естественная размытость энергетических уровней атома. Если уровни размыты, то атом может поглощать фотоны одной частоты, а излучать фотоны несколько другой частоты, возвращаясь после процесса рассеяния не точно в исходное состояние. Этот эффект играет роль в случае линий субординатных серий, для которых как верхний, так и нижний уровень являются размытыми. В случае же линий основной серии, для которых нижний уровень может считаться бесконечно тонким (если только атом вследствие каких-либо причин не выводится часто из основного состояния), частота излучённого фотона совпадает с частотой поглощённого фотона.

2. Тепловое движение атомов. Пусть движущийся атом поглотил фотон определённой частоты. Так как этот атом может испустить фотон в любую сторону, то вследствие эффекта Доплера частота излучённого фотона для неподвижного наблюдателя может быть различной. Поэтому частоты поглощённого и излучённого движущимся атомом фотонов, вообще говоря, не совпадают.

3. Эффекты давления. Пусть в момент поглощения атомом фотона вблизи от атома находится возмущающая частица. За время, в течение которого атом пребывает в верхнем состоянии, частица может удалиться от атома, вследствие чего вызываемое ею смещение энергетических уровней изменится. По указанной причине частота излучаемого фотона будет отличаться от частоты поглощённого фотона. При этом разность энергий фотонов унесёт с собой возмущающая частица.

Обозначим через 𝑝(ν,ν')𝑑ν вероятность того, что элементарный объём, поглотив фотоны частоты ν', излучает после этого фотоны в интервале частот от ν до ν+𝑑ν. Функция 𝑝(ν,ν') определяется перечисленными причинами и, вообще говоря, весьма сложна (см., например, [6]).

Мы сейчас не будем заниматься подробным рассмотрением функции 𝑝(ν,ν'), а отметим лишь два частных случая. Допустим сначала, что эффекты давления не играют роли, т.е. функция 𝑝(ν,ν') обусловлена только естественной размытостью уровней (иными словами, затуханием излучения) и тепловым движением атомов. В этом случае для резонансной линии была получена следующая формула, определяющая 𝑝(ν,ν'):

𝑝(ν,ν')

σ

_ν'

=

𝑛𝑘₀

πΔν_𝐷

∞

∫

0

exp

⎛

⎝

–(𝑦+𝑟)²

⎞

⎠

×

×

⎡

⎢

⎣

arctg

𝑦+𝑠

𝑎

+

arctg

𝑦-𝑠

𝑎

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑦

,

(11.1)

где

𝑠

=

𝑢+𝑢'

2

,

𝑟

=

|𝑢+𝑢'|

2

,

(11.2)

σ_ν – объёмный коэффициент поглощения, равный σ_ν=𝑛𝑘_ν. Величина 𝑘_ν определяется формулой (8.17), и прочие величины в (11.1) имеют такой же смысл, что и в (8.17). В точную формулу для 𝑝(ν,ν') входит также угол рассеяния. Формула (11.1) может быть получена из точной формулы путём интегрирования по углу.

В другом частном случае мы предположим, что эффекты давления оказывают основное влияние на вид функции 𝑝(ν,ν'). Если за время жизни атома в возбуждённом состоянии возмущающее поле меняется очень сильно, то можно считать, что частота излучаемого фотона ν не зависит от частоты поглощённого фотона ν'. В этом случае функция 𝑝(ν,ν'), которую мы можем обозначить просто через 𝑝_ν, определяется весьма легко.

Очевидно, что функция 𝑝(ν,ν') должна удовлетворять условию

∫

𝑝(ν,ν')

𝑑ν

=

1,

(11.3)

где интегрирование производится по всем частотам. Кроме того, должно выполняться соотношение

𝑝(ν,ν')

σ

_ν'

=

𝑝(ν',ν)

σ

_ν

,

(11.4)

выражающее «принцип обратимости» для оптических явлений.

Если функция 𝑝(ν,ν') не зависит от ν', то из (11.4) следует, что 𝑝_ν=𝑐σ_ν, где 𝑐 – постоянная. Определяя 𝑐 из формулы (11.3), получаем

𝑝

_ν

=

σ_ν

∫σ_ν'𝑑ν'

.

(11.5)

Мы будем говорить, что в данном случае происходит полное перераспределение излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. Такое рассеяние излучения будем называть полностью некогерентным.

Приведённые формулы для функции 𝑝(ν,ν') соответствуют разным значениям давления: при малых давлениях следует пользоваться формулой (11-1), при больших – формулой (11.5). Очевидно, что при изучении диффузии излучения в газовых туманностях должна применяться формула (11.1). В случае же звёздных атмосфер можно, по-видимому, пользоваться формулой (11.5). Однако и в случае туманностей обычно делается предположение о полном перераспределении излучения по частотам, так как некоторые вычисления показали, что замена формулы (11.1) на (11.5) не приводит к большим различиям в результатах.

Используя функцию 𝑝(ν,ν'), мы можем написать выражение для коэффициента излучения ε_ν. Если считать, что в линии происходит чистое рассеяние излучения, то имеем

ε

_ν

=

∫

𝑝(ν,ν')

σ

_ν'

𝑑ν'

∫

𝐼

_ν'

𝑑ω

4π

.

(11.6)

При 𝑝(ν,ν')=δ(ν-ν'), где δ – функция Дирака, из (11.6) следует

ε

_ν

=

σ

_ν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

,

(11.7)

т.е. выражение для ε_ν в случае когерентного рассеяния излучения.

Подставляя в (11.6) выражение для 𝑝(ν,ν'), даваемое формулой (11.5), получаем

∫

σ

_ν'

𝑑ν'

𝐼

_ν'

𝑑ω

ε

_ν

=

σ

_ν

4π

.

∫

σ

_ν'

𝑑ν'

(11.8)

Этой формулой определяется коэффициент излучения при полностью некогерентном рассеянии.

В дальнейшем мы будем считать, что в звёздных атмосферах происходит полностью некогерентное рассеяние излучения в спектральных линиях.

2. Уравнение переноса излучения и его решение.

После рассмотрения процессов, происходящих при элементарном акте рассеяния, перейдём к определению профилей линий поглощения. При этом, как уже сказано, сделаем предположение о полном перераспределении излучения по частотам.

Для простоты будем считать, что флуоресценция отсутствует. В таком случае уравнение переноса излучения мы должны взять в форме (10.21), а выражение для коэффициента излучения – в форме (11.8).

Введём оптическую глубину τ в непрерывном спектре при помощи соотношения 𝑑τ=-α_ν𝑑𝑟 (для упрощения записи мы опускаем индекс ν при τ). Тогда указанные уравнения принимают вид

μ

𝑑𝐼_ν(τ,ν)

𝑑τ

=

(η

_ν

+1)

𝐼

_ν

(τ,ν)

–

η

_ν

𝑆(τ)

–

𝐵

_ν

(𝑇)

(11.9)

и

𝑆(τ)

=

½

∫

𝑝

_ν

𝑑ν

+1

∫

–1

𝐼

_ν

(τ,ν)

𝑑ν

,

(11.10)

где μ=cos θ, η=σ_ν/α и использовано обозначение (11.5).

Величину 𝐵_ν(𝑇) мы раньше брали в виде линейной функции от τ, однако теперь для простоты будем считать её постоянной и равной 𝐵_ν(𝑇₀).

Из уравнения (11.9) следует, что искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, равна

𝐼

_ν

(0,μ)

=

η_ν

η_ν+1

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑥

𝑑τ

+

𝐵_ν(𝑇₀)

η_ν+1

,

(11.11)

где обозначено

𝑥

=

η_ν+1

μ

.

(11.12)

Для составления интегрального уравнения, определяющего функцию 𝑆(τ), найдём интенсивность излучения 𝐼_ν из (11.9) и подставим в (11.10). В результате получаем

𝑆(τ)

=

½

∫

𝑝

_ν

𝑑ν

∞

∫

0

⎡

⎣

η

_ν

𝑆(τ')

+

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎤

⎦

𝐸₁

×

×

⎡

⎣

|τ-τ'|

(η

_ν

+1)

⎤

⎦

𝑑τ'

.

(11.13)

Уравнение (11.13) может быть переписано в виде

𝑆(τ)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

𝑔(τ)

,

(11.14)

где

𝐾(τ)

=

½

∫

𝑝

_ν

η

_ν

𝑑ν

∞

∫

η_ν+1

𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

𝑥

(11.15)

и

𝑔(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

–

½

∫

𝑝

_ν

𝑑ν

∞

∫

η_ν+1

𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

𝑥²

⎤

⎥

⎦

.

(11.16)

Меняя порядок интегрирования в (11.15), находим

𝐾(τ)

=

∞

∫

0

𝑒

^-𝑥τ

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

,

(11.17)

где

𝐴(𝑥)

=

1

𝑥

∞

∫

ν(𝑥)

𝑝

_ν

η

_ν

𝑑ν

,

(11.18)

а ν(𝑥)=ν₀, если 𝑥>η_ν₀, и η_ν(𝑥)+1=𝑥, если 𝑥<η_ν₀+1 (ν₀ – центральная частота линии).

Аналогично получаем

𝑔(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

–

½

∞

∫

1

𝑒

^-𝑥τ

𝐴₁(𝑥)

𝑑𝑥

⎤

⎥

⎦

,

(11.19)

где

𝐴₁(𝑥)

=

1

𝑥²

∞

∫

ν(𝑥)

𝑝

_ν

𝑑ν

(11.20)

и нижний предел интегрирования определяется так же, как в (11.18).

Уравнение (11.14) может быть решено методом, изложенным в § 3. Однако нас интересует не сама функция 𝑆(τ), а только интенсивность излучения, выходящего из атмосферы. Эту же величину можно найти по формулам, приведённым в § 3, без предварительного определения функции 𝑆(τ). При этом она будет выражена через функцию 𝑆(0,𝑥), определённую уравнением (3.20).

Из формулы (11.19) мы видим, что свободный член уравнения (11.14) состоит из двух частей: постоянной и суперпозиции экспонент. Поэтому, обозначая через 𝑆(τ,𝑥) решение уравнения (11.14) при свободном члене 𝑒^-𝑥τ, получаем

𝑆(τ)

=

𝐵

_ν

(𝑇₀)

⎡

⎢

⎣

𝑆(τ,0)

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

–

-

½

∞

∫

1

𝑆(τ,𝑥)

𝐴₁(𝑥)

𝑑𝑥

⎤

⎥

⎦

.

(11.21)

Подставляя (11.21) в (11.11) и пользуясь формулой (3.19), находим

𝐼

_ν

(0,μ)

=

η_ν

η_ν+1

𝐵

_ν

(𝑇₀)

𝑆(0,𝑥)

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑆(0,0)

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

–

𝑥

2

∞

∫

1

𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

𝐴₁(𝑦)

𝑑𝑦

⎤

⎥

⎦

+

𝐵_ν(𝑇₀)

η_ν+1

.

(11.22)

Входящая в формулу (11.22) величина 𝑆(0,0) может быть найдена при помощи соотношения (3.27). Принимая во внимание (11.17), вместо этого соотношения имеем

𝑆²(0,0)

=

⎡

⎢

⎣

1-2

∞

∫

0

𝐾(τ)

𝑑τ

⎤

⎥

⎦

=

1.

(11.23)

Подставляя сюда выражение (11.15), получаем

𝑆²(0,0)

∫

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

=

1.

(11.24)

Поэтому формула (11.22) принимает вид

𝐼

_ν

(0,μ)

=

η_ν

η_ν+1

𝐵

_ν

(𝑇₀)

𝑆(0,𝑥)

×

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

⎞½

⎟

⎠

–

𝑥

2

∞

∫

1

𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

𝐴₁(𝑦)

𝑑𝑦

⎤

⎥

⎦

+

𝐵_ν(𝑇₀)

η_ν+1

.

(11.25)

Формулой (11.25) и даётся искомая интенсивность излучения, выходящего из атмосферы внутри спектральной линии. Вне линии интенсивность излучения в данном случае равна 𝐵_ν(𝑇₀). Поэтому для величины 𝑟_ν(μ) имеем

𝑟

_ν

(μ)

=

𝐼_ν(0,μ)

𝐵_ν(𝑇₀)

(11.26)

Функция 𝑆(0,𝑥), через которую выражается интенсивность излучения 𝐼_ν(0,μ), определяется уравнением (3.20). Полагая 𝑥=1/𝑧 и 𝑆(0,𝑥)=φ(𝑧), вместо этого уравнения получаем

φ(𝑧)

=

1+

𝑧φ(𝑧)

1

∫

0

φ(𝑧')

𝑧+𝑧'

𝐴

⎛

⎜

⎝

1

𝑧'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧'

𝑧'

.

(11.27)

В новых обозначениях формула для 𝑟_ν(μ) записывается в виде

𝑟

_ν

(μ)

=

1

η_ν+1

+

η_ν

η_ν+1

φ(𝑧)

×

×

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

⎞½

⎟

⎠

–

½

1

∫

0

φ(𝑧')

𝑧+𝑧'

𝐴₁

⎛

⎜

⎝

1

𝑧'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧'

𝑧'

⎤

⎥

⎦

.

(11.28)

Для вычисления величины 𝑟_ν(μ) по формуле (11.28) необходимо найти функцию φ(𝑧) из уравнения (11.27). Это легко достигается численными методами.

Формула (11.28) даёт окончательное выражение для величины 𝑟_ν(μ), определяющей профиль линии поглощения при полностью некогерентном рассеянии. Эта формула может быть легко обобщена на тот случай, когда функция 𝐵ν(𝑇) представляется в виде линейной функции от τ и учитывается флуоресценция [7].

Следует подчеркнуть, что предположение о полном перераспределении излучения по частоте сильно упрощает теорию образования спектральных линий. При таком предположении, в большинстве случаев оправдывающемся на практике, были решены многие важные задачи, относящиеся к звёздным спектрам (см. [8]). Однако при решении некоторых частных задач (особенно касающихся резонансных линий) должны использоваться истинные законы перераспределения излучения по частоте внутри линии.

3. Центральные интенсивности линий поглощения.

До сих пор мы не занимались сравнением рассматриваемой теории образования линейчатых спектров звёзд с результатами наблюдений. Сделаем это сейчас в отношении центральных интенсивностей линий поглощения.

Наблюдения показывают, что даже для очень сильных линий центральные интенсивности довольно велики. Выраженные в долях интенсивности непрерывного спектра, они составляют несколько сотых или десятых (т.е. 𝑟_ν₁≈0,01-0,1). Посмотрим, к каким значениям 𝑟_ν₁ приводит изложенная выше теория.

Рассмотрим сначала профили линий при когерентном рассеянии света и при отсутствии флуоресценции. В этом случае величина 𝑟_ν определяется формулой (10.37). Мы видим, что профиль линии зависит от величины η_ν, которая равна

η

_ν

=

𝑛𝑘_ν

α_ν

,

(11.29)

где 𝑛 – число поглощающих атомов в 1 см³ и 𝑘_ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Величину 𝑘_ν можно считать известной, а величину 𝑛/α_ν можно определить по ширине линии (например, сравнивая теоретические и наблюдённые расстояния от центра линии при 𝑟_ν=½). Это даёт возможность найти значение величины η_ν в центре линии. Для сильных линий значения η_ν₀, оказываются очень большими – порядка 10⁶.

Из формулы (10.37) при η_ν₀≫1 вытекает следующая порядковая оценка для величины 𝑟_ν₀:

𝑟

_ν₀

≈

1

√η_ν₀

.

(11.30)

При η_ν₀≈10⁶ формула (11.30) даёт 𝑟_ν₀≈10⁻³. Это значение 𝑟_ν₀ гораздо меньше значений, получаемых из наблюдений.

Как уже отмечалось, указанное расхождение между теорией и наблюдениями заставило обратиться к учёту флуоресценции. В этом случае для величины 𝑟_ν была получена формула (10.52). При η_ν₀≈10⁶ и при γ≈10⁻³ (такая оценка величины γ была сделана выше) мы имеем γη_ν₀≫1. Поэтому из формулы (10.52) по порядку величины находим

𝑟

_ν₀

≈

𝑄

√

γ

.

(11.31)

При γ≈10⁻³ и 𝑄≈1 из формулы (11.31) следует: 𝑟_ν₀≈0,03. Таким образом, формула (11.31) даёт гораздо более высокие значения 𝑟_ν₀, чем формула (11.30). Иными словами, учёт флуоресценции сильно повышает теоретические значения центральных интенсивностей линий.

Однако при 𝑄≈1 теоретические значения 𝑟_ν₀ оказываются всё-таки меньше наблюдённых. Например, для линий 𝙳₁ и 𝙳₂ натрия и λ 4227 Å кальция в спектре Солнца теоретические и наблюдённые значения 𝑟_ν₀ расходятся в 2—4 раза. Для линий 𝙷 и 𝙺 ионизованного кальция это расхождение гораздо больше, так как величина γ в этом случае очень мала. Чтобы привести в согласие теорию с наблюдениями, приходится считать, что введённый выше гипотетический множитель 𝑄 значительно больше единицы. Это значит, что интенсивность ультрафиолетового излучения Солнца, вызывающего ионизацию атомов из основного состояния, должна во много раз превосходить интенсивность излучения, даваемую формулой Планка. Однако, как увидим в гл. III, у нас нет оснований для такого предположения.

В связи со сказанным возникает вопрос, не может ли учёт некогерентности рассеяния привести к более высоким теоретическим значениям центральных интенсивностей линий поглощения. Для решения этого вопроса мы должны обратиться к формуле (11.28), определяющей величину 𝑟_ν(μ) при полностью некогерентном рассеянии. Можно показать, что второй член в квадратных скобках формулы (11.28) по крайней мере в два раза меньше первого. Что же касается множителя перед скобками, то для центра линии он близок к единице [так как 𝑧=μ/(1+η_ν), а при очень малых 𝑧, как видно из уравнения (11.27), φ(𝑧)≈1]. Поэтому в данном случае по порядку величины имеем

𝑟

_ν₀

≈

⎛

⎜

⎝

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

⎞½

⎟

⎠

(11.32)

При оценке величины 𝑟_ν₀ по формуле (11.32) мы возьмём для коэффициента поглощения в линии его обычное выражение, даваемое формулой (8.17). Тогда получаем

𝑟

_ν₀

≈

⎛

⎜

⎝

𝑎

η_ν

⎞¼

⎟

⎠

.

(11.33)

При 𝑎≈10⁻² и η_ν₀≈10⁶ формула (11.33) даёт 𝑟_ν₀≈10⁻². При когерентном же рассеянии по формуле (11.30) мы раньше получили 𝑟_ν₀≈10⁻³. Таким образом, центральные интенсивности линий поглощения при некогерентном рассеянии могут быть гораздо больше, чем при когерентном.

Большие значения величины 𝑟_ν₀, даваемые формулой (11.33), объясняются перераспределением излучения по частотам внутри линии: во внешних слоях атмосферы происходит поглощение сильного излучения в крыльях линии и последующее испускание энергии в центральных частях линии.

Как уже говорилось, для величины 𝑟_ν(μ) была получена формула при одновременном учёте некогерентности рассеяния и флуоресценции (см. [7]). Для величины 𝑟_ν₀ эта формула даёт

𝑟

_ν₀

≈

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑎

η_ν

⎞½

⎟

⎠

+

γ

⎤½

⎥

⎦

.

(11.34)

Мы видим, что если выполняется неравенство

⎛

⎜

⎝

𝑎

η_ν

⎞½

⎟

⎠

≫

γ

,

(11.35)

то величина 𝑟_ν₀ обусловлена в основном перераспределением излучения по частотам внутри линии. В случае же выполнения противоположного неравенства главную роль в формировании центральных частей линии играет флуоресценция.

Можно высказать предположение, что для некоторых линий солнечного спектра имеет место неравенство (11.35). Для таких линий значение величины 𝑟_ν₀ вычисленное по формуле (11.34), будет больше значения, даваемого формулой (11.31) при 𝑄=1, т.е. в этом случае возможно согласие теории с наблюдениями.

Следует ещё отметить, что центральные части сильных линий поглощения формируются в самых верхних слоях атмосферы, которые являются уже хромосферой. В этих слоях в результате столкновений возникают эмиссионные линии, накладывающиеся на линии поглощения. Благодаря этому происходит наблюдаемое увеличение линий поглощения в их центральных частях (подробнее см. §16).