Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 35 страниц)

Сильное влияние ускорения силы тяжести на бальмеровские линии даёт возможность определить значение 𝑔 для данной звезды путём сравнения теоретических и наблюдённых профилей линий. Теоретические профили должны быть определены на основе расчётов моделей фотосфер при эффективной температуре звезды и при разных значениях 𝑔. Сравнение теории с наблюдениями позволяет выбрать наиболее подходящее значение 𝑔. Как уже говорилось выше, знание 𝑔 даёт возможность найти светимость звезды, а затем и её параллакс.

По расширению бальмеровских линий под действием эффекта Штарка можно также грубо оценить среднее значение электронной концентрации в атмосфере звезды. При учёте эффекта Штарка для коэффициента поглощения в крыльях бальмеровских линий выше было получено выражение (8.46). Пользуясь тем, что в атмосферах горячих звёзд число ионов равно числу свободных электронов (так как водород полностью ионизован), мы можем переписать это выражение в виде

𝑘

_λ

=

4π

3

𝐶

𝑒³^/²𝑛_𝑒

(λ-λ₀)⁵^/²

.

(14.13)

Будем для простоты считать, что линии поглощения образуются при локальном термодинамическом равновесии. Тогда величина 𝑟_λ характеризующая профиль линии, определяется формулой (9.19). Из этой формулы получаем

1-𝑟

_λ

=

σ_λ

σ_λ+α_ν

,

(14.14)

где обозначено

𝐴

=

β

_ν

.

3

α

_ν

+

β

_ν

2

α

(14.15)

Входящая в формулу (14.14) величина σ_λ, представляет собой объёмный коэффициент поглощения в линии, равный σ_λ=𝑛₂𝑘_λ где 𝑛₂ – число атомов водорода во втором состоянии в 1 см³. Пользуясь выражением (14.13), вместо формулы (14.14) находим

1-𝑟

_λ

=

𝐴

,

1

+

⎛

⎜

⎝

λ-λ₁

⎞

⎟

⎠

⁵/₂

𝐷

(14.16)

где

𝐷

=

⎛

⎜

⎝

4π

3

𝐶

𝑒³

^/

²

𝑛₂𝑛_𝑒

α_ν

⎞⁵/₂

⎟

⎠

(14.17)

и под 𝑛_𝑒 понимается средняя концентрация свободных электронов в атмосфере.

Формулой (14.16) определяется профиль линии поглощения, расширенной эффектом Штарка. Строго говоря, эта формула применима лишь к крыльям линии. Однако для центральных частей линии значения величины σ_λ не существенны, так как для них σ_λ≫α_ν и, следовательно,

величина

σ_ν

σ_λ+α_ν

близка к 1.

При помощи формулы (14.16) получается следующее выражение для эквивалентной ширины линий:

𝑊

=

∫

(1-𝑟

_λ

)

𝑑λ

=

2,64

𝐴𝐷

.

(14.18)

Для каждой бальмеровской линии из наблюдений может быть найдена эквивалентная ширина 𝑊 и величина 𝐴, представляющая собой центральную глубину линии (так как 𝐴≈1-𝑟_λ). Пользуясь этими значениями 𝑊 и 𝐴, по формуле (14.18) можно найти величину 𝐷, а значит, и произведение 𝑛₂𝑛_𝑒/α_ν.

Для определения электронной концентрации 𝑛_𝑒 необходимо предварительно найти величину 𝑛₂/α_ν Чтобы сделать это, можно использовать высокие члены бальмеровской серии. Так как коэффициент поглощения быстро убывает с ростом номера линии, то для достаточно высоких членов серии будет выполняться неравенство σ_λ≪α_ν. В этом случае эквивалентная ширина линии равна

𝑊

=

𝐴

𝑛₂

α_ν

∫

𝑘

_λ

𝑑λ

=

𝐴

𝑛₂

α_ν

ℎ

ν₀

𝐵₂

_𝑘

.

(14.19)

Формула (14.19) даёт возможность найти величину 𝑛₂/α_ν, а формула (14.17) – величину 𝑛_𝑒.

Указанный способ определения величины 𝑛_𝑒 имеет, однако, тот недостаток, что бальмеровские линии, для которых выполняется неравенство σ_λ≪α_ν, в действительности могут не наблюдаться вследствие слияния этих линий, вызванного эффектами давления. Как мы помним, другой способ нахождения величины 𝑛_𝑒 основан как раз на установлении номера последней наблюдаемой бальмеровской линии.

Наряду с линиями водорода в спектрах звёзд классов B и O присутствуют интенсивные линии гелия, являющегося, как известно, следующим по распространённости элементом после водорода. Спектр гелия гораздо сложнее спектра водорода, однако он довольно подробно изучен. Многие линии гелия подвержены эффекту Штарка (в одних случаях квадратичному, в других – линейному) и по расширению этих линий можно судить об ускорении силы тяжести в атмосфере звезды. Влияние эффекта Штарка на линии ионизованного гелия, присутствующие в спектрах звёзд класса O, может быть количественно изучено так же, как это делается в отношении линий водорода.

Как уже говорилось ранее (в § 5), в поверхностных слоях горячих звёзд некоторую роль в переносе энергии играет рассеяние излучения на свободных электронах. Этот процесс может заметно влиять на распределение энергии в непрерывном спектре звезды. В некоторых случаях его необходимо также учитывать при изучении линейчатых спектров горячих звёзд.

4. Звёзды поздних спектральных классов.

В спектрах звёзд поздних классов присутствуют многочисленные линии металлов. Так как потенциалы возбуждения металлов сравнительно малы, то в возбуждённых состояниях оказывается довольно много атомов. При переходах электронов из этих состояний и возникают линии, лежащие в видимой части спектра. При очень низких температурах в звёздных атмосферах образуется также большое число молекул. Поэтому в спектрах звёзд самых поздних классов видны интенсивные молекулярные полосы.

Для определения числа молекул в звёздной атмосфере пользуются «формулой диссоциации», аналогичной формуле ионизации (14.2). Пусть при встрече атомов 𝐴 и 𝐵 образуется молекула 𝐴𝐵. Обозначим через 𝑛_𝐴, 𝑛_𝐵 и 𝑛_𝐴𝐵 концентрации этих атомов и молекул. При термодинамическом равновесии имеем

𝑛_𝐴𝑛_𝐵

𝑛_𝐴𝐵

=

𝑔_𝐴𝑔_𝐵

𝑔_𝐴𝐵

⎛

⎜

⎝

2π𝑀

ℎ²

⎞³/₂

⎟

⎠

×

×

√𝑘𝑇ℎ²

8π²𝐼

⎡

⎢

⎣

1

+

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν₀

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑈

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(14.20)

где 𝑔_𝐴, 𝑔_𝐵, 𝑔_𝐴𝐵 —статистические веса основных состояний атомов 𝐴 и 𝐵 и молекулы 𝐴𝐵, 𝑀 – приведённая масса, 𝐼 – момент инерции, ν₀ – основная частота колебаний атомов в молекуле, 𝑈 – энергия диссоциации молекулы. Величины 𝑀 и 𝐼, как известно, равны

𝑀

=

𝑀_𝐴𝑀_𝐵

𝑀_𝐴+𝑀_𝐵

,

𝐼

=

𝑀𝑟₀²

,

(14.20)

где 𝑟₀ – равновесное расстояние между ядрами атомов 𝐴 и 𝐵.

В таблице 17 для некоторых молекул приведены значения параметров, входящих в формулу (14.20). При этом энергия диссоциации 𝑈 дана в электронвольтах, приведённая масса 𝑀 – в атомных единицах массы, расстояние между ядрами 𝑟₀ – в ангстремах.

Таблица 17

Некоторые параметры молекул

Молекула

Энергия

диссоциации

Приведённая

масса

Расстояние

между ядрами

𝙷₂

 4,48

0,504

0,742

𝙲₂

 6,3

6,002

1,312

𝙲𝙷

 3,47

0,930

1,120

𝙲𝙾

11,1

6,858

1,209

𝙲𝙽

 7

6,464

1,172

𝙽𝙷

 3,6

0,940

1,038

𝙾₂

 5,08

8,000

1,207

𝙾𝙷

 4,37

0,948

0,971

𝚃𝚒𝙾

 6

11,998

1,620

𝚉𝚛𝙾

 7

13,584

1,42

Вычисления по формуле (14.20) показывают, что в атмосферах холодных звёзд (с температурами порядка 2000—3000 К) должно находиться много различных молекул. С увеличением температуры число молекул в атмосферах убывает. Однако даже при температурах порядка 5000 K в атмосферах должно находиться ещё достаточное число молекул, чтобы они могли быть обнаружены при наблюдениях. В самом деле, в спектре Солнца наблюдается большое число слабых молекулярных полос.

Для расчёта молекулярных спектров звёзд необходимо не только уметь определять количество молекул в атмосферах, но и знать структуру спектров и коэффициенты поглощения в полосах. Такие сведения для большинства молекул в настоящее время являются лишь приближёнными. Тем не менее, пользуясь имеющимися данными, можно вычислить изменение интенсивностей полос различных молекул с изменением температуры звезды. Если принять, что звёздные атмосферы по химическому составу не отличаются заметно от атмосферы Солнца, то вычисленные молекулярные спектры в общих чертах совпадают с молекулярными спектрами звёзд классов G—K—M.

Важно то, что молекулярные спектры звёзд существенно зависят от давления в атмосферах (так как число молекул 𝑛_𝐴𝐵 пропорционально числам атомов 𝑛_𝐴 и 𝑛_𝐵). Поэтому интенсивности полос одних и тех же молекул в спектрах гигантов и карликов весьма различны. Таким образом, по характеру молекулярных спектров звёзд можно судить об ускорении силы тяжести в атмосферах.

Как уже говорилось, в области поздних классов происходит разветвление спектральной последовательности, что объясняется различиями в химическом составе звёздных атмосфер. В атмосферах звёзд класса M кислорода больше, чем углерода, вследствие чего кислород соединяется в основном с титаном, образуя молекулы 𝚃𝚒𝙾. В атмосферах же звёзд классов R и N углерода больше, чем кислорода. Поэтому кислород соединяется не с титаном, а с углеродом, образуя молекулу 𝙲𝙾 (не имеющую полос в видимой части спектра). Другие же атомы углерода входят в молекулы 𝙲𝙷, 𝙲𝙽 и 𝙲₂, характерные для спектров классов R и N.

5. Белые карлики.

Спектры белых карликов сильно отличаются от спектров звёзд главной последовательности. Основная их особенность – очень небольшое число линий поглощения. Значительная часть белых карликов вообще не содержит заметных линий поглощения в своих спектрах (эти спектры относят к классу DC). В спектрах белых карликов класса DB присутствуют лишь некоторые линии гелия. Большинство изученных белых карликов обладает спектрами класса DA, в которых содержится только несколько первых членов бальмеровской серии водорода. В спектрах белых карликов классов DF, DG и DK присутствуют также линии H и K 𝙲𝚊 II и некоторые линии 𝙵𝚎 I.

С помощью 200-дюймового телескопа Гринстейн получил спектрограммы нескольких десятков белых карликов, позволившие измерить профили и эквивалентные ширины линий поглощения (см. [9]). Он считает, что белые карлики делятся на две последовательности. Атмосферы звёзд одной из них состоят в основном из водорода (спектральные классы DA, DF, DG, DK), а атмосферы звёзд второй – в основном из гелия (спектральные классы DB и DC). Горячие звёзды второй последовательности содержат в своих спектрах линии гелия и принадлежат к классу DB. В спектрах же холодных звёзд второй последовательности линии гелия наблюдаться не могут и эти звёзды относятся к классу DC.

Основные черты спектров белых карликов объясняются огромными ускорениями силы тяжести в их атмосферах (порядка 10⁶-10¹⁰ см/с²). Это приводит к большим концентрациям частиц в атмосферах и, следовательно, к сильному действию эффекта Штарка. По указанной причине бальмеровские линии в спектрах белых карликов оказываются очень широкими (их эквивалентные ширины доходят до десятков ангстрем). Вместе с тем высокие члены бальмеровской серии сливаются и мы видим лишь несколько первых членов серии (обычно не больше пяти). Труднее объяснить слабость линий металлов в спектрах белых карликов. Может быть, здесь играет роль гравитационное разделение атомов, т.е. то обстоятельство, что под действием силы тяжести тяжёлые атомы оказываются в более глубоких слоях атмосферы, чем лёгкие.

Профили и эквивалентные ширины бальмеровских линий в спектрах белых карликов можно приближённо вычислить по формулам (14.16) и (14.18), полученным при учёте эффекта Штарка. Входящие в эти формулы величины 𝐴 и 𝐷 зависят от физических условий на «эффективном» уровне образования линии. Мы будем считать, что на этом уровне оптическая глубина в непрерывном спектре равна ¹/₃, т.е.

α

_ν

Δ

𝑟

=

1

3

,

(14.22)

где Δ𝑟 – «толщина однородной атмосферы». Далее, из уравнения гидростатического равновесия имеем

Δ

𝑟

=

𝑘𝑇

μ𝑚_H𝑔

,

(14.23)

где μ – средний молекулярный вес. Пользуясь также обычной формулой, связывающей температуру с оптической глубиной, получаем

𝑇

=

𝑇₀

⎛

⎜

⎝

1

+

α

2α_ν

⎞¼

⎟

⎠

,

(14.24)

где 𝑇₀ – поверхностная температура звезды. Если задать значения величин 𝑇₀ и 𝑔, а также химический состав атмосферы, то при помощи трёх последних формул можно определить величины Δ𝑟, ρ и 𝑇 на рассматриваемом уровне (значения коэффициента поглощения α_ν в зависимости от ρ и 𝑇 даются в специальных таблицах). После этого могут быть найдены и искомые величины 𝐴 и 𝐷 для Данной линии.

Рис. 16

В результате таких вычислений были определены профили и эквивалентные ширины бальмеровских линий для звёзд с большими ускорениями силы тяжести в атмосферах. На рис. 16 приведены графики, дающие эквивалентные ширины линии H_γ в зависимости от величины θ₀=5040/𝑇₀ при разных значениях 𝑔. Из рисунка видно, что эквивалентная ширина линии растёт с увеличением 𝑔. Это объясняется увеличением плотности в атмосфере, а значит, и усилением эффекта Штарка. Приведённые графики также показывают, что величина 𝑊 сильно зависит от температуры 𝑇₀.

На рис. 17 для сравнения приведена диаграмма, построенная на основании наблюдательных данных. На ней по оси ординат отложены значения эквивалентной ширины линии, а по оси абсцисс – значения показателя цвета 𝑈-𝑉 Так как величина 𝑈-𝑉 примерно линейно зависит от величины θ₀, то из сравнения рисунков 16 и 17 мы можем сделать заключение о приблизительном согласии теории с наблюдениями.

Рис. 17

Профили линий поглощения, вычисленные по формуле (14.16), оказываются весьма различными для разных температур. При больших значениях 𝑇₀ величина 𝐴 мала, а величина 𝐷 велика, т.е. линия является широкой, но неглубокой. Малость величины 𝐴 обусловлена как малостью величины β_ν при высоких температурах, так и большими значениями величины α_ν/α при высоких температурах и больших ускорениях силы тяжести. В спектрах очень горячих белых карликов линии поглощения трудно обнаружить. При низких температурах величина 𝐷 мала, т.е. линия является узкой. Такой характер линий поглощения, определённых теоретически, также согласуется с наблюдательными данными.

Более точные вычисления профилей бальмеровских линий в спектрах белых карликов были сделаны на основе расчётов моделей звёздных фотосфер. Путём сравнения теоретических и наблюдённых профилей линий произведены оценки величин 𝑇₀ и 𝑔 для ряда белых карликов.

Представляет интерес вопрос о влиянии вращения звезды на профили линий поглощения в спектрах белых карликов. Однако этот вопрос очень труден, так как линии в спектрах белых карликов сильно расширены эффектом Штарка. Чтобы определить скорость вращения, необходимы очень большие значения этой скорости. Правда, белые карлики в принципе могут вращаться очень быстро, так как скорость отрыва достигает у них нескольких тысяч километров в секунду.

Можно даже высказать предположение, что быстрое вращение белых карликов делает незаметными линии поглощения в их спектрах. Подсчёты показывают, что это вряд ли возможно в случае линий водорода с большой эквивалентной шириной. Однако менее широкие линии могут стать совершенно незаметными вследствие вращения. Чтобы показать это, воспользуемся формулой (13.20), позволяющей определять профили линий в спектре вращающейся звезды по профилям линий в спектре невращающейся звезды при различных скоростях вращения.

Применяя эту формулу к центру линии, мы можем переписать её в виде

1-

𝑟

(0)

=

+1

∫

–1

⎡

⎢

⎣

1-𝑟

⎛

⎜

⎝

ν₀

𝑣

𝑐

𝑥

sin

𝑖

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

,

(14.25)

где величина 𝐴(𝑥) определяется формулой (13.26). Пользуясь определением эквивалентной ширины линии, из (14.25) получаем

1-

𝑟

(0)

<

𝐴(0)

𝑊_λ𝑐

λ𝑣 sin 𝑖

.

(14.26)

Если 𝑊≈1 Å и 𝑣 sin 𝑖≈1000 км/с, то из неравенства (14.26) следует, что 1-𝑟(0)<0,05. Линии же с такой небольшой глубиной трудно заметить. Поэтому возможно, что именно вращение звезды вызывает отсутствие заметных линий поглощения металлов в спектрах белых карликов (за исключением, например, линий H и K 𝙲𝚊 II, обладающих значительной эквивалентной шириной).

Следует отметить, что вопрос о вращении белых карликов интересен также с точки зрения космогонии. По современным взглядам, белый карлик является конечной стадией эволюции звезды, находившейся когда-то в верхней части главной последовательности и прошедшей затем через стадию гиганта и сверхгиганта. Звёзды же верхней части главной последовательности, как известно, вращаются весьма быстро. Поэтому изучение вращения белых карликов должно способствовать выяснению эволюционных путей звезды.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ II

Неitlеr W. The quantum theory of radiation.– Oxford, 1954 (русский перевод: Гайтлер В. Квантовая теория излучения.– М.: Изд-во иностр. лит., 1956).

Современные проблемы астрофизики и физики Солнца.– М.: Изд-во иностр. лит., 1951.

Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров.– М.: Наука,. 1977.

Lang К. R. Astrophysical Formulae.– 1974 (русский перевод: Ленг К. Астрофизические формулы, ч. I.– М.: Мир, 1978).

Unsöld A. Physik der Sternatmosphären.– 1938 (русский перевод: Унзольд А. Физика звёздных атмосфер.– М.: Изд-во иностр. лит., 1949).

Мihalas D. Stellar Atmospheres.– 1978 (русский перевод: Михалас Д. Звёздные атмосферы, ч. II.:– М.: Мир, 1982).

Соболев В, В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет.-М.: Гостехиздат, 1956.

Иванов В. В. Перенос излучения и спектры небесных тел.– М.: Наука 1969.

Stellar atmospheres/Ed. J. L. Greenstein, 1960 (русский перевод: Звёздные атмосферы.– М.: Изд-во иностр. лит., 1963).

Мустель Э. Р. Звёздные атмосферы.– М.: Физматгиз, 1960.

Aller L. Н. The abundance of the elements, 1961 (русский перевод: Аллep Л. Распространённость химических элементов.– М.: Изд-во иностр. лит., 1963).

Глава III АТМОСФЕРА СОЛНЦА

Солнце – одна из звёзд, и поэтому многое из того, что говорилось в предыдущих главах о звёздах, относится и к Солнцу. Однако чрезвычайная близость к нам Солнца позволяет исследовать его гораздо подробнее других звёзд. В частности, Солнце является единственной из звёзд, диск которой мы видим. Это даёт возможность изучить распределение яркости по диску Солнца и изменение спектральных линий при переходе от центра диска к краю (об этом уже шла речь выше). Вместе с тем наблюдения солнечного диска обнаруживают очень важные детали на нём: пятна, грануляцию и т.д. Несомненно, что такие детали характерны и для других звёзд, но они не могут нами наблюдаться. Краткое рассмотрение различных явлений на солнечном диске будет сделано в начале настоящей главы.

Наибольшее же внимание в этой главе будет уделено самым внешним слоям атмосферы Солнца: хромосфере и короне. Имеются факты, говорящие о наличии таких слоёв и у других звёзд, однако их изучение встречает большие трудности. В случае же Солнца хромосфера и корона исследуются сравнительно легко, особенно на основе наблюдений, выполненных во время затмений. В конце главы кратко рассматривается проблема радиоизлучения Солнца, источником которого являются те же внешние слои его атмосферы.

Физические процессы, происходящие на Солнце, представляют огромный интерес для астрофизики. Вместе с тем их изучение имеет большое практическое значение вследствие сильного влияния Солнца на Землю. Однако многие проблемы физики Солнца, лежащие в стороне от основного направления этой книги, здесь подробно рассматриваться не будут. С ними можно познакомиться по соответствующим монографиям (см., например, [1] – [4]).

§ 15. Общие сведения

1. Фотосфера Солнца.

Путём решения уравнений, приведённых в § 6, может быть построена теоретическая модель солнечной фотосферы. К настоящему времени получен ряд таких моделей, отличающихся друг от друга заданием химического состава, а также теми математическими допущениями, которые делаются при расчётах.

В таблице 18 в виде примера приведены результаты расчёта одной из первых моделей, в которых принимается правильный основной источник поглощения в солнечной фотосфере, т.е. отрицательный ион водорода (см. [2]). При вычислениях были взяты следующие значения основных параметров: 𝑇_𝑒=5713 K, 𝑔=2,74⋅10⁴ см/с², lg 𝐴=3,8 (через 𝐴 обозначается отношение числа атомов водорода к числу атомов металлов).

Таблица 18

Теоретическая модель фотосферы Солнца

τ

𝑇, K

lg 𝑝

lg 𝑝

_𝑒

ρ⋅10⁸

ℎ

0,01

4650

3,74

9,85

1,4

515

0,02

4700

4,01

0,09

2,7

428

0,04

4740

4,19

0,27

3,9

370

0,06

4790

4,30

0,36

5,0

333

0,08

3840

4,38

0,44

6,0

307

0,10

4890

4,43

0,50

6,6

290

0,20

5090

4,60

0,71

9,4

232

0,40

5400

4,77

0,96

13,1

170

0,60

5660

4,86

1,15

15,4

135

0,80

5870

4,91

1,32

16,6

115

1,00

6070

4,94

1,48

17,3

103

В первом столбце таблицы дана оптическая глубина, соответствующая среднему коэффициенту поглощения, во втором – температура 𝑇, в третьем и четвёртом – логарифмы полного давления 𝑝 и электронного давления 𝑝_𝑒 соответственно, в пятом – плотность в г/см³ и в последнем – геометрическая высота в километрах, отсчитываемая от некоторого уровня.

Для Солнца может быть также построена эмпирическая модель фотосферы. Эта возможность основана на том, что в случае Солнца мы имеем наблюдательные данные о распределении яркости по диску для разных частот. Как известно, интенсивность излучения, выходящего из фотосферы на угловом расстоянии θ от центра диска, даётся формулой

𝐼

_ν

(0,θ)

=

∞

∫

0

𝐵

_ν

(𝑇)

exp

⎛

⎝

–

τ

_ν

sec

θ

⎞

⎠

sec

θ

𝑑τ

_ν

,

(15.1)

где 𝐵_ν(𝑇) – планковская интенсивность при температуре 𝑇 и τ_ν – оптическая глубина в частоте ν. Считая температуру 𝑇 функцией от τ_ν, мы можем рассматривать соотношение (15.1) как интегральное уравнение для определения величины 𝐵_ν(𝑇).

Для получения приближённого решения уравнения (15.1) величину 𝐵_ν(𝑇) обычно представляют в виде разложения по некоторым функциям от τ_ν с неопределёнными коэффициентами. Например, можно положить

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

τ

_ν

+

𝑐

_ν

τ

_ν

²

.

(15.2)

Подставляя (15.2) в (15.1) и интегрируя, находим

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

cos

θ

+2

𝑐

_ν

cos²

θ

.

(15.3)

Коэффициенты 𝑎_ν 𝑏_ν и 𝑐_ν определяются по полученным из наблюдений значениям величины 𝐼_ν(0,θ). Вместо выражения (15.2) можно пользоваться формулой:

𝐵

_ν

(𝑇)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

τ

_ν

+

𝑐

_ν

𝐸₂

τ

_ν

,

(15.4)

дающей более правильные результаты как при τ_ν→0, так и при τ_ν→∞. Подставляя (15.4) в (15.1), имеем

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝑎

_ν

+

𝑏

_ν

cos

θ

+

+

𝑐

_ν

⎡

⎣

1-cos

θ

ln(1+sec

θ)

⎤

⎦

.

(15.5)

Формулы (15.2) и (15.4) связывают между собой величины τ_ν и 𝑇, т.е. дают оптические глубины в разных частотах на одном и том же уровне в фотосфере (характеризуемом температурой 𝑇). На основании определения оптической глубины мы имеем

α

_ν

=-

𝑑τ_ν

𝑑𝑟

=-

𝑑τ_ν

𝑑𝑇

⋅

𝑑𝑇

𝑑𝑟

.

(15.6)

Следовательно, если известна величина τ_ν как функция от 𝑇, то можно найти и величину α_ν как функцию от 𝑇 (с точностью до постоянного для данного слоя множителя 𝑑𝑇/𝑑𝑟). Тем самым находится эмпирическая зависимость α_ν от частоты ν на разных глубинах.

Полученная указанным способом зависимость α_ν от ν была сопоставлена с теоретическим выражением для α_ν, обусловленным отрицательным ионом водорода. Такое сопоставление с несомненностью подтвердило правильность принимаемого источника поглощения в фотосфере Солнца.

После определения зависимости температуры 𝑇 от τ_ν может быть найдена и зависимость давления 𝑝 от τ_ν. Для этого мы должны воспользоваться уравнением гидростатического равновесия (4.42), которое вместе с уравнением (15.6) даёт

𝑑𝑝

𝑑τ_ν

=

𝑔ρ

α_ν

.

(15.7)

Для коэффициента поглощения α_ν возьмём теоретическое выражение (5.14), представив его в виде α_ν=ρ𝑝_𝑒ƒ_ν(𝑇) (так как 𝑛₁=ρ/𝑚_H вследствие слабой ионизации водорода в солнечной фотосфере). Поэтому вместо уравнения (15.7) получаем

𝑑𝑝

𝑑τ_ν

=

𝑔

𝑝_𝑒ƒ_ν(𝑇)

.

(15.8)

При заданном химическом составе электронное давление 𝑝_𝑒 может быть выражено через 𝑝 и 𝑇 при помощи формулы ионизации. Это позволяет проинтегрировать уравнение (15.8), т.е. найти 𝑝 в виде функции от τ_ν. После этого плотность ρ находится из уравнения состояния газа. Для установления связи между оптическими и геометрическими расстояниями в фотосфере можно применить соотношение

𝑟-𝑟₀

=-

∫

𝑑τ_ν

α_ν

,

(15.9)

где 𝑟₀ – произвольная постоянная. Так как α_ν зависит от 𝑝 и 𝑇, то для выполнения интегрирования в (15.9) надо использовать найденные выражения этих величин через τ_ν.

Эмпирические модели солнечной фотосферы в общих чертах согласуются с теоретическими моделями, однако между ними имеются и различия. Отчасти эти различия вызваны тем, что в работах по теории фотосфер не вполне точно учитывались некоторые существенные явления (покровный эффект, конвекция и др.).

2. Конвекция и грануляция.

В теории звёздных фотосфер обычно предполагается, что в фотосфере осуществляется лучистое равновесие. Такое предположение мы сделали в гл. I, и на его основе определялась структура фотосферы и рассчитывалось поле излучения в ней. В частности, приведённые в табл. 18 результаты расчёта модели фотосферы Солнца были получены при допущении о лучистом равновесии фотосферы. Однако возникает вопрос о том, будет ли такое состояние фотосферы устойчивым, т.е. будет ли элемент объёма, выведенный каким-либо образом из своего равновесного положения, возвращаться в него под действием существующих в фотосфере сил. Если этого не будет, то в фотосфере возникнут перемещения газовых масс, т.е. конвекция.

Найдём условие наступления конвекции в фотосфере. Для этого допустим, что некоторый элементарный объём испытывает перемещение снизу вверх. Будем считать, что объём при этом перемещении расширяется адиабатически. Тогда температура и плотность в объёме будут изменяться определённым образом (согласно уравнениям адиабаты). Если температура в объёме окажется ниже температуры окружающего газа (а значит, плотность в объёме больше плотности этого газа), то под действием тяготения объём вернётся в исходное положение. Если же температура в объёме окажется выше температуры окружающего газа, то объём будет продолжать подниматься. В последнем случае наступает конвекция.

Таким образом, условие наступления конвекции состоит в том, что адиабатический градиент температуры должен быть меньше градиента температуры при лучистом равновесии, т.е.

⎪

⎪

⎪

𝑑𝑇

𝑑𝑟

⎪

⎪

⎪ад

<

⎪

⎪

⎪

𝑑𝑇

𝑑𝑟

⎪

⎪

⎪луч

.

(15.10)

Полученное неравенство можно привести к более удобному виду. Для этого воспользуемся уравнением гидростатического равновесия (4.42) и уравнением состояния идеального газа (4.43). Из указанных уравнений вытекает

𝑑𝑝

𝑑𝑟

=-

𝑔μ𝑝

𝑅_∗𝑇

.

(15.11)

Поэтому находим

-

𝑑𝑇

𝑑𝑟

=-

𝑑𝑇

𝑑𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑟

=

𝑔𝑝

𝑅_∗

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

.

(15.12)

Следовательно, вместо (15.10) имеем

⎛

⎜

⎝

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

⎞

⎟

⎠ад

<

⎛

⎜

⎝

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

⎞

⎟

⎠луч

.

(15.13)

Условие наступления конвекции в виде неравенства (15.13) было получено Шварцшильдом ещё в 1905 г.

Посмотрим, выполняется ли неравенство (15.13) в фотосфере. Для этого вычислим в отдельности его левую и правую части.

Как известно, при адиабатическом изменении состояния выполняется соотношение

𝑝

^1-γ

𝑇

^γ

=

const,

(15.14)

где γ=𝑐_𝑝/𝑐_𝑣, 𝑐_𝑝 – теплоёмкость газа при постоянном давлении, а 𝑐_𝑣 —теплоёмкость газа при постоянном объёме. Из (15.14) следует

⎛

⎜

⎝

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

⎞

⎟

⎠ад

=

γ-1

γ

.

(15.15)

Для одноатомного газа γ=5/3. Поэтому в данном случае

⎛

⎜

⎝

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

⎞

⎟

⎠ад

=

2

5

(15.16)

Для вычисления правой части неравенства (15.13) воспользуемся формулой (4.49), определяющей величину 𝑑𝑇/𝑑𝑟 при лучистом равновесии в случае ϰ=const. На основании формул (15.12) и (4.49) имеем

⎛

⎜

⎝

𝑑 ln 𝑇

𝑑 ln 𝑝

⎞

⎟

⎠луч

=

1

4

(15.17)

Из сравнения формул (15.16) и (15.17) видно, что неравенство (15.13) не выполняется, т.е. конвекция в фотосфере не возникает. Такой вывод и был сделан первоначально в теории фотосфер. Однако дальнейшими исследованиями было установлено, что конвекция в фотосферах всё-таки может наступать по двум причинам: 1) вследствие изменения коэффициента поглощения ϰ с глубиной, 2) вследствие изменения с глубиной степени ионизации атомов. Последнее обстоятельство связано с тем, что процессы ионизации атомов ведут к изменению теплоёмкости газа, точнее говоря, к уменьшению эффективного значения величины γ. Так как самым распространённым элементом в фотосферах является, водород то наибольшее влияние на величину [𝑑 ln 𝑇/(𝑑 ln 𝑝)]_ад оказывает ионизация водородных атомов. Подсчёты показывают, что при определённой степени ионизации водорода наступает конвекция в фотосфере. С увеличением глубины степень ионизации водорода возрастает. Когда водород становится почти полностью ионизованным, конвекция прекращается.

Таким образом, в звёздных фотосферах существуют конвективные зоны, обусловленные частичной ионизацией водорода. В этих зонах температурный градиент является адиабатическим.

Глубина, на которой начинается конвективная зона, для разных звёзд различна. У звёзд класса 𝐴 тонкая конвективная зона расположена в поверхностных слоях. В фотосфере Солнца эта зона начинается на оптической глубине в видимой части спектра порядка 2. При переходе к более холодным звёздам главной последовательности глубина залегания конвективной зоны и её толщина увеличиваются.

Так как конвективная зона в солнечной фотосфере находится на сравнительно небольшой оптической глубине, то она может влиять на некоторые наблюдаемые характеристики Солнца. Согласно Зидентопфу существованием конвекции объясняется самый вид поверхности Солнца, а именно, так называемая грануляция, т.е. зернистая структура поверхности. При этом гранула отождествляется с конвективной ячейкой, в которой нагретое вещество поднимается вверх (а в промежутках между гранулами стекает вниз).

Как показывают наблюдения, размеры гранул составляют в среднем 500 км, а их средняя продолжительность жизни равна приблизительно 8 минутам. Грубые теоретические оценки этих величин приводят примерно к таким же значениям. Эти оценки основываются на представлении о том, что в атмосфере с градиентом плотности конвективные элементы должны иметь диаметры того же порядка, что и локальная высота однородной атмосферы. Поднимаясь, конвективные элементы адиабатически расширяются и сливаются с другими элементами. Вместо них образуются новые элементы меньших диаметров (так как высота однородной атмосферы уменьшается при переходе к более внешним слоям Солнца). Такая картина развития грануляции подтверждается кинематографированием поверхности Солнца.

С конвекцией тесно связано ещё одно важное явление в атмосфере Солнца – её колебания (или пульсации). Наиболее отчётливо выражены колебания с периодом около 5 минут и со скоростями порядка 0,5 км/с. Причину этих колебаний видят в акустических волнах, возникающих в конвективной зоне.

3. Солнечные пятна.

На диске Солнца временами наблюдаются тёмные образования – солнечные пятна. Линейные размеры пятен доходят до 100 000 км. Продолжительность их существования весьма различна: от нескольких часов до нескольких месяцев. Каждое пятно состоит из более тёмного ядра (или тени) и более светлой каймы, называемой полутенью. Однако пятна кажутся тёмными лишь вследствие контраста с фотосферой; на самом деле они весьма горячие. Эффективная температура пятна порядка 4 500 K (а эффективная температура фотосферы, как известно, равна 5 785 K). Спектр пятна относят к классу K0, в то время как спектральный класс фотосферы есть G2.

Спектроскопическое изучение пятен позволило сделать вывод о движении газа в них. Скорости этого движения – порядка 2 км/с в области полутени. При этом в нижних слоях пятна вещество из него вытекает, а в верхних – в него втекает (эффект Эвершеда). Принимая во внимание существование таких потоков газа, можно было бы думать, что в пятне происходит в основном конвективный перенос энергии. Однако в действительности в пятне, как и в фотосфере, главную роль в переносе энергии играет лучеиспускание. К такому выводу приводит сравнение теоретических и наблюдательных данных об интенсивности излучения, выходящего из пятна. В пятне (как и вообще в фотосферах холодных звёзд) поглощение света производится в основном отрицательным ионом водорода. Поэтому приближённо можно считать, что в видимой части спектра коэффициент поглощения не зависит от длины волны, и интенсивность излучения, выходящего из пятна, в случае лучистого равновесия определяется формулой (4.39). Эта формула даёт: 1) распределение энергии в спектре пятна при заданном угле θ, 2) изменение интенсивности излучения данной частоты ν при изменении положения пятна на диске Солнца. Значения интенсивности излучения 𝐼_ν(0,θ), вычисленные по формуле (4.39), находятся в удовлетворительном согласии с результатами наблюдений пятен. Однако при допущении о конвективном равновесии пятна согласие между теорией и наблюдениями отсутствует.