Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 35 страниц)

_ν

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

=

0.

(1.22)

Из (1.22) следует

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑ν

=

𝐶

𝑟²

,

где 𝐶 – некоторая постоянная, определяемая источниками энергии звезды.

Таким образом, полный поток излучения (т.е. поток излучения, проинтегрированный по всему спектру) в сферически-симметричной фотосфере обратно пропорционален квадрату расстояния от центра звезды. Соотношение (1.23), как и уравнение (1.17), является следствием отсутствия источников и стоков энергии в фотосфере.

Как уже говорилось, почти все звёзды обладают фотосферами, толщина которых очень мала по сравнению с радиусом звезды. Для этих звёзд уравнения (1.20) и (1.23) могут быть сильно упрощены. Этого нельзя сделать лишь для звёзд особых типов (например, для звёзд типа Вольфа – Райе).

Рис. 2

Если толщина фотосферы гораздо меньше радиуса звезды, то фотосферные слои могут считаться не сферическими, а плоскопараллельными (рис. 2). В этом случае угол θ не меняется вдоль луча и вместо уравнения (1.20) получаем

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(1.24)

Так как расстояние 𝑟 от центра звезды меняется в фотосфере в очень небольших пределах, то вместо уравнения (1.23) имеем

∞

∫

0

𝐻

_ν

𝑑

_ν

=

const.

(1.25)

Таким образом, при рассмотрении поля излучения в фотосферах «обычных» звёзд следует пользоваться уравнениями (1.24) и (1.17) или уравнениями (1.24) и (1.25).

§ 2. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты

1. Основные уравнения.

Первоначально в теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты, ведущее к существенному упрощению теории. В дальнейшем, однако, было установлено, что это предположение является весьма грубым. Тем не менее теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты, продолжает сохранять своё значение, так как она может рассматриваться как первое приближение к более строгой теории.

Считая, что коэффициент поглощения не зависит от частоты (т.е. α_ν=α), вместо уравнения переноса излучения (1.24) и уравнения лучистого равновесия (1.17) получаем

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

,

(2.1)

4π

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

=

α

∫

𝑑ω

∞

∫

0

𝐼

_ν

𝑑ν

.

(2.2)

Введём обозначения

∞

∫

0

𝐼

_ν

𝑑ν

=

𝐼

,

∞

∫

0

ε

_ν

𝑑ν

=

ε.

(2.3)

Величину 𝐼 можно назвать полной интенсивностью излучения, а величину ε – полным коэффициентом излучения.

Проинтегрировав уравнение (2.1) по всем частотам, находим

cosθ

𝑑𝐼

𝑑𝑟

=-

α𝐼

+

ε

,

(2.4)

а уравнение (2.2) переписывается в виде

4πε

=

α

∫

𝐼

𝑑ω

.

(2.5)

При исследовании переноса излучения в любой среде целесообразно переходить от геометрических расстояний к оптическим расстояниям. В данном случае удобно ввести оптическую глубину τ, определяемую формулой

τ

=

∞

∫

𝑟

α

𝑑𝑟

(2.6)

Положим также

ε

=

α𝑆

.

(2.7)

Тогда уравнения (2.4) и (2.5) принимают вид

cosθ

𝑑𝐼

𝑑τ

=

𝐼-𝑆

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

=

∫

𝐼

𝑑ω

4π

.

(2.8)

Таким образом, мы получили два уравнения для определения двух неизвестных функций 𝐼 и 𝑆.

В системе уравнений (2.8) величина 𝐼 является функцией от τ и θ, а величина 𝑆 – функцией от τ. Учитывая, что 𝑑ω=sinθ 𝑑θ 𝑑φ, и производя интегрирование по φ в пределах от 0 до 2π, вместо (2.8) получаем

cosθ

𝑑𝐼(τ,θ)

𝑑τ

=

𝐼(τ,θ)

–

𝑆(τ)

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆(τ)

=

½

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.9)

К системе уравнений (2.9) необходимо добавить ещё граничное условие. Оно выражает тот факт, что нет излучения, падающего на звезду извне, т.е.

𝐼(0,θ)

=

0

при

θ

>

π

2

.

(2.10)

Кроме того, для получения вполне определённого решения системы уравнений (2.9) при граничном условии (2.10) следует задать ещё полный поток излучения в фотосфере, равный

𝐻

=

𝐿

4π𝑅²

,

(2.11)

где 𝐿 – светимость звезды (т.е. полное количество энергии, излучаемое звездой за 1 с) и 𝑅 – радиус звезды.

Системы уравнений типа (2.9) весьма часто встречаются в астрофизике. С такими же уравнениями приходится иметь дело и в геофизике (при изучении рассеяния света в земной атмосфере и в водных бассейнах). К аналогичным уравнениям приводят и некоторые проблемы физики (например, проблема диффузии нейтронов). Поэтому системы уравнений типа (2.9) были предметом многочисленных исследований и для их решения предложен ряд методов (см. [4] и [5]).

Ниже излагаются некоторые из этих методов, представляющих наибольший интерес для астрофизики.

2. Приближённое решение уравнений.

Для решения системы уравнений (2.9) были предложены приближённые методы, основанные на усреднении интенсивности излучения по направлениям. Первый из этих методов принадлежит Шварцшильду и Шустеру, второй – Эддингтону. Мы сейчас решим систему уравнений (2.9) при помощи каждого из указанных методов.

Метод Шварцшильда – Шустера. Обозначим через 𝐼₁(τ) среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼₂(τ) – среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз. Эти величины равны

𝐼₁(τ)

=

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

,

𝐼₂(τ)

=

π

∫

π/2

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.12)

Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от 0 до π/2, получаем

𝑑

𝑑τ

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

=

𝐼₁(τ)

–

𝑆(τ)

.

(2.13)

Интеграл в левой части этого уравнения приближённо представим в виде

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

=

½

𝐼₁(τ)

,

(2.14)

т.е. вынесем за знак интеграла среднее значение cosθ в верхней полусфере, равное ½. Тогда вместо (2.13) будем иметь

1

2

𝑑𝐼₁(τ)

𝑑τ

=

𝐼₁(τ)

–

𝑆(τ)

.

(2.15)

Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от π/2 до π, аналогично находим

-

1

2

𝑑𝐼₂(τ)

𝑑τ

=

𝐼₂(τ)

–

𝑆(τ)

.

(2.16)

Второе из уравнений (2.9) при помощи величин 𝐼₁(τ) и 𝐼₂(τ) переписывается так:

𝑆(τ)

=

½[

𝐼₁(τ)

+

𝐼₂(τ)

]

(2.17)

Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)—(2.17), которая решается весьма просто.

Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим

𝐼₁(τ)

–

𝐼₂(τ)

=

𝐹

,

(2.18)

где 𝐹 – произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем

𝐼₁(τ)

+

𝐼₂(τ)

=

2𝐹τ

+

𝐶

,

(2.19)

где 𝐶 – новая постоянная.

Для определения постоянных 𝐹 и 𝐶 обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что 𝐼₂(0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину 𝐼₂(0) и пользуясь этим условием, имеем

𝐶

=

𝐹

.

(2.20)

Что касается постоянной 𝐹, то она выражается через полный поток излучения 𝐻, который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен

𝐻

=

2π

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

.

(2.21)

В принятом приближении

𝐻

=2π

⎡

⎢

⎣

1

2

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

–

1

2

π

∫

π/2

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

⎤

⎥

⎦

=

=

π[

𝐼₁(τ)

–

𝐼₂(τ)

].

(2.22)

Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем

𝐻

=

π𝐹

.

(2.23)

Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:

𝑆(τ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

τ

+

1

2

⎞

⎟

⎠

.

(2.24)

Другая искомая функция 𝐼(τ,θ) легко выражается через 𝑆(τ) при помощи первого из уравнений (2.9).

Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2π cosθ sinθ 𝑑θ и проинтегрируем от 0 до π. Пользуясь формулой (2.21), получаем

2π

𝑑

𝑑τ

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

cos²θ

sinθ

𝑑θ

=

𝐻

.

(2.25)

Вынесем за знак интеграла среднее значение cos² на сфере, равное ¹/₃ т.е. приближённо положим

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

cos²θ

sinθ

𝑑θ

=

1

3

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.26)

Тогда вместо (2.25) при учёте второго из уравнений (2.9) находим

4π

3

𝑑𝑆(τ)

𝑑τ

=

𝐻

.

(2.27)

Так как полный поток излучения постоянен в фотосфере, то из (2.27) следует

𝑆(τ)

=

3

4π

𝐻τ

+

𝐶

,

(2.28)

где 𝐶 – произвольная постоянная.

Для нахождения 𝐶 напишем выражение для величин 𝑆(τ) и 𝐻 при τ=0. Принимая во внимание граничное условие (2.10), находим

𝑆(0)

=

1

2

π

∫

0

𝐼(0,θ)

sinθ

𝑑θ

,

(2.29)

а также приближённо

𝐻

=

π

π

∫

0

𝐼(0,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.30)

Поэтому имеем

𝑆(0)

=

𝐻

2π

.

(2.31)

При условии (2.31) для постоянной 𝐶 получаем

𝐶

=

𝐻

2π

.

(2.32)

Подстановка (2.32) в (2.28) даёт

𝑆(τ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

3

4

τ

+

1

2

⎞

⎟

⎠

,

(2.33)

где, как и раньше, использовано обозначение (2.23).

Мы видим, что выражение (2.33) для функции 𝑆(τ) не сильно отличается от выражения (2.24), полученного предыдущим методом.

3. Применение квадратурных формул.

Изложенные выше приближённые методы нашли довольно широкое применение в астрофизике. Однако точность результатов, получаемых этими методами, сравнительно невелика. Поэтому получил распространение другой приближённый метод, основанный на замене интегрального члена уравнения лучистого равновесия суммой Гаусса для численных квадратур. Уравнение переноса излучения пишется при этом для тех значений cosθ, которые являются точками деления интервала в квадратурной формуле. Это позволяет свести задачу к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Преимущество этого метода состоит в том, что можно повышать точность результатов, увеличивая число членов квадратурной формулы. Однако и при небольшом числе членов этой формулы получаются удовлетворительные результаты благодаря высокой точности замены интеграла суммой Гаусса.

Указанный метод был подробно разработан Чандрасекаром [4]. Мы сейчас применим этот метод к решению системы уравнений (2.9).

Предварительно перепишем эту систему в виде одного уравнения:

μ

𝑑𝐼(τ,μ)

𝑑τ

=

𝐼(τ,μ)

–

1

2

+1

∫

–1

𝐼(τ,μ')

𝑑μ'

,

(2.34)

где обозначено μ=cosθ.

Представим интегральный член уравнения (2.34) в виде суммы согласно квадратурной формуле Гаусса:

+1

∫

–1

𝐼(τ,μ)

𝑑μ

=

𝑛

∑

𝑗=-𝑛

𝑎

_𝑗

𝐼(τ,μ

_𝑗

)

.

(2.35)

Здесь μ_-𝑛,…,μ_-1,μ₁,…μ_𝑛 суть корни полинома Лежандра 𝑃_2𝑛(μ) и 𝑎_𝑗 – некоторые весовые множители (𝑎_-𝑗=𝑎_𝑗). Представление (2.35) тем точнее, чем больше 𝑛

В 𝑛-м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2𝑛:

μ

_𝑖

𝑑𝐼_𝑖

𝑑τ

=

𝐼

_𝑖

–

1

2

∑

𝑗

𝑎

_𝑗

𝐼

_𝑗

(𝑖

=

±1,

±2,

…,

±𝑛

),

(2.36)

где для краткости 𝐼(τ,μ) обозначено через 𝐼_𝑖.

Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. 𝐼_-𝑖=0 при τ=0 (𝑖=1,2, ,𝑛); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с τ, 3) задан поток излучения 𝐻=π𝐹.

После нахождения величин 𝐼_𝑖 из уравнений (2.36) основная искомая функция 𝑆(τ) определяется по формуле

𝑆(τ)

=

1

2

∑

𝑎

_𝑗

𝐼

_𝑗

.

(2.37)

Найдём в виде примера функцию 𝑆(τ) в первом приближении. В данном случае μ₁=-μ_-1=1/√3, 𝑎₁=𝑎_-1=1. Поэтому вместо (2.36) получаем

1

√3

𝑑𝐼₁

𝑑τ

=

𝐼

₁

–

1

2

(

𝐼

₁

+

𝐼

_-1

),

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

-

1

√3

𝑑𝐼_-1

𝑑τ

=

𝐼

_-1

–

1

2

(

𝐼

₁

+

𝐼

_-1

).

(2.38)

Система уравнений (2.38) должна быть решена при условиях, что 𝐼_-1=0 при τ=0 и

2

√3

(

𝐼

₁

+

𝐼

_-1

)=

𝐹

.

(2.39)

Находя 𝐼₁ и 𝐼_-1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции 𝑆(τ) получаем

𝑆(τ)

=

3

4

𝐹

⎛

⎜

⎝

τ

+

1

3

⎞

⎟

⎠

.

(2.40)

Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции 𝑆(τ) оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё более точные выражения для 𝑆(τ).

4. Интегральное уравнение Милна.

Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ). Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно 𝐼(τ,θ) и подставить найденное выражение 𝐼(τ,θ) через 𝑆(τ) во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.

Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид

𝐼(τ,θ)

=

𝐼(τ

_∗

,θ)

𝑒

^{-(τ_∗-τ)secθ}

+

+

τ_∗

∫

τ

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

𝑑τ'

.

(2.41)

Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].

Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.

В первом случае, полагая τ_∗=∞ и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом τ, получаем

𝐼(τ,θ)

=

∞

∫

τ

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

𝑑τ'

⎛

⎜

⎝

θ

<

π

2

⎞

⎟

⎠

.

(2.42)

Во втором случае, полагая τ_∗=0 и принимая во внимание граничное условие (2.10), находим

𝐼(τ,θ)

=-

τ

∫

0

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

𝑑τ'

⎛

⎜

⎝

θ

>

π

2

⎞

⎟

⎠

.

(2.43)

Теперь мы должны подставить выражения (2.42) и (2.43) во второе из уравнений (2.9). Делая эту подстановку и меняя порядок интегрирования, имеем

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

τ

𝑆(τ')

𝑑τ'

×

×

π/2

∫

0

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

sinθ

𝑑θ

–

-

1

2

τ

∫

0

𝑆(τ')

𝑑τ'

π

∫

π/2

𝑒

^{-(τ'-τ)secθ}

𝑆(τ')

secθ

sinθ

𝑑θ

.

(2.44)

Положим secθ=𝑥 в первом интеграле и -secθ=𝑥 во втором. Учитывая, что secθsinθ𝑑θ=𝑑𝑥/𝑥 вместо предыдущего уравнения получаем

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

τ

𝑆(τ')

𝑑τ'

∞

∫

1

𝑒

^{-(τ'-τ)𝑥}

𝑑𝑥

𝑥

+

+

1

2

τ

∫

0

𝑆(τ')

𝑑τ'

∞

∫

1

𝑒

^{-(τ-τ')𝑥}

𝑑𝑥

𝑥

.

(2.45)

Так как показатели в обеих экспонентах могут быть представлены в виде -|τ-τ'|𝑥, то (2.45) короче записывается так:

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝑆(τ')

𝑑τ'

∞

∫

1

𝑒

^{-|τ-τ'|𝑥}

𝑑𝑥

𝑥

.

(2.46)

Ядро интегрального уравнения (2.46) есть интегральная показательная функция, определяемая формулой

𝐸₁τ

=

∞

∫

1

𝑒

^-τ𝑥

𝑑𝑥

𝑥

.

(2.47)

Заметим, что функция 𝐸₁τ при τ=0 имеет логарифмическую особенность, а при τ→∞ стремится к нулю как 𝑒^-τ/τ.

С помощью (2.47) интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ) окончательно записывается в виде

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁

|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

.

(2.48)

Это интегральное уравнение называется уравнением Милна.

Уравнение (2.48) определяет функцию 𝑆(τ) с точностью до произвольного множителя, который находится из того условия, что задан поток излучения 𝐻=π𝐹.

Выразим поток излучения через функцию 𝑆(τ). Для этого надо подставить в формулу (2.21) выражения (2.42) и (2.43). Выполняя такие же преобразования, как и при получении уравнения (2.48), находим

𝐹

=

2

∞

∫

τ

𝑆(τ')

𝐸₂

(τ'-τ)

𝑑τ'

–

2

τ

∫

0

𝑆(τ')

𝐸₂

(τ-τ')

𝑑τ'

,

(2.49)

где 𝐸₂τ – вторая из интегральных показательных функций, определяемых равенством

𝐸

_𝑛

τ

=

∞

∫

1

𝑒

^-τ𝑥

𝑑𝑥

𝑥^𝑛

.

(2.50)

Интегральное уравнение Милна рассматривалось многими авторами. Наиболее полное исследование принадлежит Хопфу, который нашёл, что точное решение этого уравнения имеет вид

𝑆(τ)

=

3

4

𝐹

⎡

⎣

τ

+

𝑞(τ)

⎤

⎦

(2.51)

где 𝑞(τ) – функция, монотонно изменяющаяся в небольших пределах между

𝑞(0)

=

1

√3

=

0,58

и

𝑞(∞)

=

0,71

.

Представляет интерес сравнение приближённых выражений для 𝑆(τ), полученных выше при помощи методов Шварцшильда – Шустера, Эддингтона и Чандрасекара (в первом приближении), с точной формулой (2.51). Эти приближённые выражения даются соответственно формулами (2.24), (2.33) и (2.40). Мы видим, что наибольшей точностью обладает формула (2.40). Значения функции 𝑆(τ), найденные по этой формуле при τ=0 и при больших τ, а именно

𝑆(0)

=

√3

4

𝐹

(2.52)

и

𝑆(τ)

=

3

4

𝐹τ

при

τ

≫

1

,

(2.53)

совпадают с точными значениями 𝑆(τ). Формула (2.33) даёт точные значения функции 𝑆(τ) лишь при τ≫1. Значения 𝑆(τ), полученные по формуле (2.24), отличаются от точных значений как при τ=0, так и при τ≫1.

5. Распределение яркости по диску звезды.

Рис. 3

Знание функции 𝑆(τ) позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину 𝐼(0,θ). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом θ к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии θ от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной 𝐼(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды.

Чтобы найти величину 𝐼(0,θ), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при θ<π/2), положить τ=0. Делая это и заменяя переменную интегрирования τ' на τ, находим

𝐼(0,θ)

=

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-τsecθ

secθ

𝑑τ

.

(2.54)

Выше были получены различные приближённые формулы для функции 𝑆(τ). Посмотрим, к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул.

Пользуясь для функции 𝑆(τ) формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда – Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим

𝐼(0,θ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

1

2

+

cosθ

⎞

⎟

⎠

,

(2.55)

𝐼(0,θ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

1

2

+

3

4

cosθ

⎞

⎟

⎠

,

(2.56)

и

𝐼(0,θ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

√3

4

+

3

4

cosθ

⎞

⎟

⎠

,

(2.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины 𝐼(0,0)/𝐼(0,π/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9.

Таким образом, яркость в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю.

Приведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску.

Подчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже.

§ 3. Точное решение основных уравнений

1. Уравнение для резольвенты.

Приведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.).

Рассмотрим интегральное уравнение

𝑆(τ)

=

∞

∫

0

𝐾

(|τ-τ'|)

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

𝑔(τ)

,

(3.1)

определяющее функцию 𝑆(τ) (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией 𝑆(τ), но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь 𝐾(|τ-τ'|) – ядро уравнения и 𝑔(τ) —функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции 𝐾(τ) и 𝑔(τ) являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее).

Решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

𝑆(τ)

=

𝑔(τ)

+

∞

∫

0

Γ(τ,τ')

𝑔(τ')

𝑑τ'

,

(3.2)

где Γ(τ,τ') – резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению

Γ(τ,τ')

=

𝐾

(|τ-τ'|)

+

∞

∫

0

𝐾

(|τ-τ''|)

Γ(τ'',τ')

𝑑τ''

.

(3.3)

При этом Γ(τ,τ') является симметричной функцией от τ и τ', т.е. Γ(τ,τ')=Γ(τ',τ).

Пользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде

Γ(τ,τ')

=

𝐾(|τ-τ'|)

+

τ

∫

0

𝐾(α)

Γ(τ-α,τ')

𝑑α

+

+

∞

∫

0

𝐾(α)

Γ(τ+α,τ')

𝑑α

.

(3.4)

Дифференцируя (3.4) сначала по τ, затем по τ' и складывая почленно полученные равенства, находим

∂Γ

∂τ

+

∂Γ

∂τ'

=

𝐾(τ)

Γ(0,τ')

+

+

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ''|)

⎛

⎜

⎝

∂Γ

∂τ

+

∂Γ

∂τ'

⎞

⎟

⎠

𝑑τ''

.

(3.5)

С другой стороны, из уравнения (3.3) имеем

Γ(0,τ)

=

𝐾(τ)

+

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ''|)

Γ(τ'',0)

𝑑τ''

.

(3.6)

Сравнение (3.5) и (3.6) даёт

∂Γ

∂τ

+

∂Γ

∂τ'

=

Φ(τ)

Φ(τ')

,

(3.7)

где обозначено

Γ(0,τ)

=

Φ(τ)

.

(3.8)

Из (3.7) следует (при τ'>τ):

Γ(τ,τ')

=

Φ(τ'-τ)

+

τ

∫

0

Φ(α)

Φ(α+τ'-τ)

𝑑α

.

(3.9)

Таким образом, резольвента Γ(τ,τ') выражается через функцию Φ(τ), зависящую только от одного аргумента.

Для определения функции Φ(τ) может быть использовано уравнение

Φ(τ)

=

𝐾(τ)

+

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

Φ(τ')

𝑑τ'

,

(3.10)

представляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения Φ(τ) будет получено ниже.

2. Вспомогательные уравнения.

Через функцию Φ(τ) выражается решение уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ). Поэтому функция Φ(τ) должна играть фундаментальную роль в теории рассматриваемых уравнений. С целью определения этой функции мы сейчас получим некоторые вспомогательные уравнения. Вместе с тем, как мы увидим дальше, эти уравнения представят интерес и сами по себе.

Рассмотрим уравнение

𝑆(τ,𝑥)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆(τ',𝑥)

𝑑τ'

+

𝑒

^-𝑥τ

,

(3.11)

являющееся частным случаем уравнения (3.1). На основании формулы (3.2) имеем

𝑆(τ,𝑥)

=

𝑒

^-𝑥τ

+

∞

∫

0

Γ(τ',τ)

𝑒

^-𝑥τ'

𝑑τ'

.

(3.12)

Умножая (3.7) на 𝑒^-𝑥τ', интегрируя по τ' в пределах от 0 до ∞ и учитывая (3.12), получаем

∂𝑆(τ,𝑥)

∂τ

=-

𝑥𝑆(τ,𝑥)

+

Φ(τ)

⎡

⎢

⎣

1

+

∞

∫

0

Φ(τ')

𝑒

^-𝑥τ'

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.13)

Но из (3.12) следует

𝑆(0,𝑥)

=

1

+

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑τ

.

(3.14)

Поэтому находим

∂𝑆(τ,𝑥)

∂τ

=-

𝑥𝑆(τ,𝑥)

+

𝑆(0,𝑥)

Φ(τ)

.

(3.15)

Интегрирование уравнения (3.15) даёт

𝑆(τ,𝑥)

=

𝑆(0,𝑥)

⎡

⎢

⎣

𝑒

^-𝑥τ

+

τ

∫

0

𝑒

^{-𝑥(τ-τ')}

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.16)

В большинстве задач о переносе излучения ядро интегрального уравнения (3.1) представляется в виде

𝐾(τ)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑦)

𝑒

^-𝑦τ

𝑑𝑦

,

(3.17)

где 𝐴(𝑦) – произвольная функция, 𝑎 и 𝑏 – некоторые числа. В этом случае для определения функции 𝑆(0,𝑥) получаются сравнительно простые уравнения. В свою очередь искомая функция Φ(τ) выражается через функцию 𝑆(0,𝑥).

Если 𝐾(τ) даётся формулой (3.17), то из уравнения (3.11) следует

𝑆(0,𝑥)

=

1

+

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑦)

𝑑𝑦

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑒

^-𝑦τ

𝑑τ

.

(3.18)

Умножая (3.15) на 𝑒^-𝑦τ, интегрируя по τ в пределах от 0 до ∞ и принимая во внимание (3.14), находим

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑒

^-𝑦τ

𝑑τ

=

𝑆(0,𝑥)𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

.

(3.19)

Подстановка (3.19) в (3.18) даёт

𝑆(0,𝑥)

=

1

+

𝑆(0,𝑥)

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑦)

𝑆(0,𝑦)

𝑥+𝑦

𝑑𝑦

.

(3.20)

Мы получили нелинейное интегральное уравнение для определения 𝑆(0,𝑥), которое легко может быть решено численно.

Из уравнения (3.20) можно также получить линейное интегральное уравнение для определения 𝑆(0,𝑥). Умножая (3.20) на 𝐴(𝑥)/(𝑥-𝑧) и интегрируя по 𝑥 в пределах от 𝑎 до 𝑏 после небольших преобразований находим

𝑆(0,𝑧)

⎡

⎢

⎣

1

–

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑥𝑑𝑥

𝑥²-𝑧²

⎤

⎥

⎦

=

1

–

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑥-𝑧

𝑑𝑥

.

(3.21)

Решение этого уравнения может быть получено в явном виде.

3. Определение функции Φ(τ).

Сравнивая между собой уравнения (3.10) и (3.11), мы видим, что свободный член уравнения (3.10) является суперпозицией свободных членов уравнения (3.11). Поэтому имеем

Φ(τ)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(τ,𝑥)

𝑑𝑥

.

(3.22)

Умножая (3.16) на 𝐴(𝑥) и интегрируя по 𝑥 в пределах от 𝑎 до 𝑏, находим

Φ(τ)

=

𝐿(τ)

+

τ

∫

0

𝐿(τ-τ')

Φ(τ')

𝑑τ'

,

(3.23)

где

𝐿(τ)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

.

(3.24)

Уравнение (3.23) является искомым уравнением для определения функции Φ(τ). Применяя к нему преобразование Лапласа, получаем

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-𝑠τ

𝑑τ

=

⎛

⎜

⎝

1

–

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑑𝑥

𝑥+𝑠

⎞⁻¹

⎟

⎠

–

1.

(3.25)

Таким образом, определение резольвенты уравнения (3.1) сводится к нахождению функции 𝑆(0,𝑥) из уравнения (3.20) [или (3.21)] и последующему определению функции Φ(τ) из (3.25) путём обращения преобразования Лапласа. Последняя операция легко выполняется методом контурного интегрирования при использовании соотношения (3.21).

Если функция Φ(τ) известна, то при помощи формул (3.2) и (3.9) может быть найдена и функция 𝑆(τ) при любых источниках излучения. В некоторых случаях функция 𝑆(τ) выражается через Φ(τ) весьма просто. Примером может служить случай, когда источники излучения распределены в среде экспоненциально. Как уже было показано выше, при 𝑔(τ)=𝑒^-𝑥τ функция 𝑆(τ), обозначенная, нами через 𝑆(τ,𝑥), даётся формулой (3.16).

Особенно простое выражение для функции 𝑆(τ) получается при равномерном распределении источников излучения в среде, т.е. при 𝑔(τ)=1. Полагая в формуле (3.16) 𝑥=0, находим

𝑆(τ,0)

=

𝑆(0,0)

⎡

⎢

⎣

1

+

τ

∫

0

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.26)

Входящая в формулу (3.26) величина 𝑆(0,0) непосредственно выражается через функцию 𝐴(𝑥). Положим в (3.20) 𝑥=0 и в (3.21) 𝑧=0. Тогда из полученных уравнений следует

𝑆²(0,0)

⎡

⎢

⎣

1

–

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

𝑥

⎤

⎥

⎦

=

1.

(3.27)

Простые формулы для функции 𝑆(τ) можно также получить при: 𝑔(τ)=τ^𝑛, где 𝑛 – целое число.

4. Решение однородного уравнения.

Выше было показано, что решение неоднородного уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ) выражается через функцию Φ(τ). Теперь мы покажем, что через ту же функцию Φ(τ) выражается решение однородного уравнения

𝑆(τ)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆(τ')

𝑑τ'

.

(3.28)

С физической точки зрения это уравнение соответствует случаю, когда источники энергии расположены на бесконечно большой глубине.

Предполагая, что решение уравнения (3.28) существует, продифференцируем его по τ. В результате находим

𝑆'(τ)

=

∞

∫

0

𝐾(|τ-τ'|)

𝑆'(τ')

𝑑τ'

𝑆(0)

𝐾(τ)

.

(3.29)

Сравнивая между собой уравнения (3.29) и (3.10), мы видим, что

𝑆'(τ)

=

𝑘

𝑆(τ)

+

𝑆(0)

Φ(τ)

,

(3.30)

где 𝑘 – некоторая постоянная. Из (3.30) следует

𝑆(τ)

=

𝑆(0)

⎡

⎢

⎣

𝑒

^𝑘τ

τ

∫

0

𝑒

^𝑘(τ-τ')

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.31)

Для нахождения постоянной 𝑘 рассмотрим уравнение (3.28) при τ=0. Учитывая (3.17), имеем

𝑆(0)

=

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑τ

.

(3.32)

Умножая (3.30) на 𝑒^-𝑥τ интегрируя по τ в пределах от 0 до ∞ и принимая во внимание (3.14), находим

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-𝑥τ

𝑑τ

=

𝑆(0)

𝑆(0,𝑥)

𝑥-𝑘

.

(3.33)

Подстановка (3.33) в (3.32) даёт

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑥-𝑘

𝑑𝑥

=

1,

(3.34)

или, при учёте (3.21),

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑥 𝑑𝑥

𝑥²-𝑘²

=

1.

(3.35)

Таким образом, решение однородного уравнения (3.28) выражается через функцию Φ(τ) формулой (3.31), в которой постоянная 𝑘 определяется уравнением (3.35).

5. Интенсивность выходящего излучения.

Вспомогательная функция Φ(τ) представляет интерес не только потому, что через неё выражается резольвента интегрального уравнения (3.1). Не менее существенно и то, что интенсивность излучения, выходящего из среды, во многих случаях также непосредственно выражается через ту же функцию.

Мы сейчас рассмотрим некоторые из этих случаев, однако предварительно получим важную общую формулу для интенсивности выходящего из среды излучения.

Рассмотрим излучение, выходящее из полубесконечной среды под углом θ к нормали. Обозначая cosθ=μ, для интенсивности этого излучения имеем

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

𝑆(τ)

𝑒

^-τ/μ

𝑑τ

μ

.

(3.36)

Здесь под 𝑆(τ) понимается решение интегрального уравнения (3.1) при любой функции 𝑔(τ), т.е. при любых источниках излучения.

Функция 𝑆(τ) выражается через 𝑔(τ) и резольвенту Γ(τ,τ') при помощи формулы (3.2). Подставляя (3.2) в (3.36), получаем

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

𝑔(τ)

𝑑τ

μ

⎡

⎢

⎣

𝑒

^-τ/μ

+

∞

∫

0

Γ(τ,τ')

𝑒

^-τ'/μ

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

.

(3.37)

Отсюда на основании (3.12) следует:

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

𝑔(τ)

𝑆

⎛

⎜

⎝

τ,

1

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

.

(3.38)

Это и есть искомая формула для интенсивности излучения. Таким образом, для нахождения функции 𝐼(0,μ) при любых источниках излучения достаточно знать лишь функцию 𝑆(τ,𝑥), определённую уравнением (3.11).

Однако, как уже сказано, во многих частных случаях для определения интенсивности излучения нам должна быть известна только функция 𝑆(0,𝑥). Поскольку эта функция определяется непосредственно из уравнений (3.20) или (3.21), то для нахождения 𝐼(0,μ) в этих случаях не требуется знания функции Φ(τ).

Рассмотрим следующие частные случаи расположения источников излучения:

1. Пусть функция 𝑔(τ) убывает с оптической глубиной экспоненциально, т.е.

𝑔(τ)

=

𝑒

^-𝑚τ

.

(3.39)

В данном случае, пользуясь формулой (3.19), находим

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0,𝑚)𝑆(0,1/μ)

1+𝑚μ

.

(3.40)

2. Допустим, что источники излучения расположены в среде равномерно, т.е. 𝑔(τ)=1. В этом случае, полагая в (3.40) 𝑚=0, получаем

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0,0)

𝑆

⎛

⎜

⎝

0

,

1

μ

⎞

⎟

⎠

.

(3.41)

Подстановка 𝑆(0,0) из (3.27) в (3.41) даёт

𝐼(0,μ)

=

𝑆

⎛

⎜

⎝

0

,

1

μ

⎞

⎟

⎠

⎡

⎢

⎣

1

–

2

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

𝑥

⎤-½

⎥

⎦

.

(3.42)

3. Предположим, что 𝑔(τ)=τ. На основании формулы (3.38) имеем

𝐼(0,μ)

=

∞

∫

0

τ

𝑆

⎛

⎜

⎝

τ

,

1

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

.

(3.43)

Для определения интеграла (3.43) воспользуемся уравнением (3.15). Умножая это уравнение на τ и интегрируя по τ от 0 до ∞, получаем

𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

τ𝑑τ

=

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑑τ

+

𝑆(0,𝑥)

∞

∫

0

Φ(τ)

τ𝑑τ

.

(3.44)

Но из формул (3.38) и (3.41) следует

𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

𝑑τ

=

𝑆(0,0)

𝑆(0,𝑥)

.

(3.45)

Поэтому вместо (3.44) находим

𝑥

∞

∫

0

𝑆(τ,𝑥)

τ𝑑τ

=

𝑆(0,𝑥)

⎡

⎢

⎣

1

𝑥

𝑆(0,0)

+

∞

∫

0

Φ(τ)

τ𝑑τ

⎤

⎥

⎦

.

(3.46)

Для определения интеграла в правой части соотношения (3.46) умножим это соотношение на 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 и проинтегрируем от 𝑎 до 𝑏. Пользуясь формулой (3.22) и уравнением (3.20) при 𝑥=0, получаем

∞

∫

0

Φ(τ)

τ𝑑τ

=

𝑆²(0,0)

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑑𝑥

𝑥²

.

(3.47)

Заменяя в (3.46) 𝑥 на 1/μ и подставляя (3.47), окончательно находим

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0,0)

𝑆

⎛

⎜

⎝

0,

1

μ

⎞

⎟

⎠

×

×

⎡

⎢

⎣

μ

+

𝑆(0,0)

𝑏

∫

𝑎

𝐴(𝑥)

𝑆(0,𝑥)

𝑑𝑥

𝑥²

⎤

⎥

⎦

.

(3.48)

Аналогично, пользуясь формулой (3.38) и уравнением (3.15), можно найти интенсивность излучения 𝐼(0,μ) и в случае, когда 𝑔(τ)=τ^𝑛 при любом целом 𝑛.

4. Будем считать, что источники излучения расположены на бесконечно большой глубине. В этом случае функция 𝑆(τ), определяемая однородным уравнением (3.28), связана с функцией Φ(τ) соотношением (3.30). Умножая это соотношение на 𝑒^-τ/μ и интегрируя по τ от 0 до ∞, находим

𝐼(0,μ)

(1-𝑘μ)

=

𝑆(0)

⎡

⎢

⎣

1

+

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-τ/μ

𝑑τ

⎤

⎥

⎦

.

(3.49)

Отсюда, при использовании формулы (3.14), следует:

𝐼(0,μ)

=

𝑆(0)

𝑆(0,1/μ)

1-𝑘μ

.

(3.50)

Мы видим, что во всех рассмотренных случаях интенсивность излучения 𝐼(0,μ) выражается через функцию 𝑆(0,𝑥) весьма простыми формулами. В дальнейшем эти формулы будут неоднократно применяться.

6. Применение к звёздным фотосферам.

Применим изложенный выше метод к решению задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. Как мы знаем, при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты указанная задача сводится к интегральному уравнению Милна

𝑆(τ)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁

|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

.

(3.51)

Мы видим, что это уравнение является частным случаем однородного уравнения (3.28) при

𝐾(τ)

=

1

2

𝐸₁τ

=

1

2

∞

∫

1

𝑒

^-τ𝑥

𝑑𝑥

𝑥

,

(3.52)

т.е. при 𝐴(𝑥)=½𝑥, 𝑎=1 и 𝑏=∞.

Применение изложенного метода должно начинаться с составления уравнения для определения функции 𝑆(0,𝑥). Для упрощения записи обозначим 𝑥=1/μ, 𝑆(0,𝑥)=φ(μ). Тогда уравнение (3.20) для данного случая принимает вид

φ(μ)

=

1

+

μ

2

φ(μ)

1

∫

0

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

.

(3.53)

Уравнение (3.53) было впервые получено В. А. Амбарцумяном другим способом. Путём численного решения этого уравнения были составлены подробные таблицы функции φ(μ). Эта функция монотонно возрастает от значения φ(0)=1 до значения φ(1)=2.9. Получено также выражение φ(μ) в явном виде * ).

* ) Подробнее об уравнениях типа (3.53) см. гл. IV.

Если функция φ(μ) известна, то может быть найдена и функция Φ(τ). Для её определения мы имеем уравнение

∞

∫

0

Φ(τ)

𝑒

^-𝑠τ

𝑑τ

=

⎛

⎜

⎝

1

–

1

2

1

∫

0

φ(μ)

𝑑μ

1+𝑠μ

⎞⁻¹

⎟

⎠

–

1,

(3.54)

вытекающее из (3.25). Обращение преобразования Лапласа даёт

Φ(τ)

=

√

3

+

2

1

∫

0

𝑒^-τ/μ𝑑μ

⎡

⎢

⎣ (πμ)² +

⎛

⎜

⎝ 2 + μ ln

1-μ

1+μ

⎞

⎟

⎠

²

  μφ(μ)

⎤

⎥

⎦

.

(3.55)

Знание функции Φ(τ) позволяет получить как решение однородного уравнения (3.51), так и решение соответствующего ему неоднородного уравнения. Однако нас сейчас интересует только решение уравнения (3.51). Это решение определяется формулой (3.31).