Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 35 страниц)

Мы сейчас найдём интенсивности эмиссионных линий водорода. Количество энергии, излучаемое туманностью в линии, соответствующей переходу 𝑘→𝑖, за 1 с равно

𝐸

_𝑘𝑖

=

𝐴

_𝑘𝑖

ℎν

_𝑖𝑘

∫

𝑛

_𝑘

𝑑𝑉

,

(24.8)

где интегрирование производится по всему объёму туманности. Представим число атомов 𝑛_𝑘 в виде 𝑛_𝑘=𝑧_𝑘(𝑇_𝑒)𝑛_𝑒𝑛⁺, где величина 𝑧_𝑘(𝑇_𝑒) определяется из системы уравнений (24.2) или (24.3). Если считать, что электронная температура не меняется в туманности, то вместо формулы (24.8) имеем

𝐸

_𝑘𝑖

=

𝑧

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

ℎν

_𝑖𝑘

∫

𝑛

_𝑘

𝑑𝑉

,

(24.9)

Входящий в полученную формулу интеграл нам не известен, но он общий для всех линий. Поэтому формула (24.9) даёт возможность вычислить относительные интенсивности эмиссионных линий.

В частности, при помощи формулы (24.9) можно найти относительные интенсивности бальмеровских линий, т.е. так называемый бальмеровский декремент. Выражая интенсивности бальмеровских линий в интенсивности линии 𝙷_β (как обычно делается), получаем

𝐸_𝑘₂

𝐸₄₂

=

𝑧_𝑘𝐴_𝑘₂ν₂_𝑘

𝑧₄𝐴₄₂ν₄₂

.

(24.10)

Теоретический бальмеровский декремент (вычисленный Ситоном) приведён в табл. 33.

Мы видим, что теоретический бальмеровский декремент в каждом из рассмотренных случаев слабо зависит от электронной температуры и практически может считаться постоянным. Однако наблюдённый бальмеровский декремент заметно меняется от туманности к туманности, причём он более крут, чем теоретический (например, для многих туманностей отношение интенсивностей линий 𝙷_α и 𝙷_β приблизительно равно 5). Как было установлено, расхождения между теорией и наблюдениями объясняются в основном избирательным поглощением света в пространстве, приводящим к покраснению далёких объектов. Благодаря этому наблюдённое отношение интенсивностей линий 𝙷_α и 𝙷_β и кажется больше, чем оно есть на самом деле. После учёта поглощения света теория (в случае В) и наблюдения согласуются удовлетворительно. Это видно, например, из табл. 33, в последнем столбце которой приведён наблюдённый бальмеровский декремент с учётом поглощения света (средний для 17 туманностей).

Таблица 33

Бальмеровский декремент

𝑇

_𝑒

, K

Случай А

Случай B

Набл.

10 000

20 000

10 000

20 000

𝙷

_α

1,91

1,99

2,71

2,97

2,77

𝙷

_β

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

𝙷

_γ

0,589

0,569

0,506

0,491

0,50

𝙷

_δ

0,378

0,356

0,298

0,282

0,26

𝙷

_ε

0,258

0,238

0,192

0,178

0,18

Очевидно, что путём сравнения теоретических и наблюдённых интенсивностей линий в спектрах туманностей можно определить поглощение света в Галактике. При таких определениях целесообразно использовать данные не только о бальмеровских, но и о пашеновских линиях.

К настоящему времени, кроме относительных интенсивностей линий водорода в спектрах туманностей, также приближённо вычислены относительные интенсивности линий некоторых других атомов (в частности, 𝙷𝚎 I и 𝙽 III).

3. Роль столкновений.

Свободные электроны, возникающие при фотоионизации атомов, обладают довольно большой кинетической энергией. Эту энергию они могут тратить на возбуждение атомов при столкновениях. Очевидно, что чем меньше потенциал возбуждения атома, тем большая доля свободных электронов может возбудить этот атом. Поэтому атомы, имеющие низкие потенциалы возбуждения, в туманностях возбуждаются в основном электронными ударами. Так, в частности, происходит возбуждение свечения туманностей в линиях «небулия». Однако электронные удары не могут заметно влиять на населённости уровней атомов с большими потенциалами возбуждения. Сейчас мы рассмотрим вопрос о возбуждении электронными ударами атомов водорода (потенциалы возбуждения которых надо отнести к значительным, хотя и не очень большим). Столкновения, приводящие к свечению туманностей в линиях «небулия», будут подробно рассмотрены в следующем параграфе.

Пусть, как и выше, 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑖(𝑇_𝑒) – число возбуждений и 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑐(𝑇_𝑒) – число ионизаций из основного состояния при столкновениях в 1 см³ за 1 с. Значения величин 𝐷_𝑖(𝑇_𝑒) и 𝐷_𝑐(𝑇_𝑒) для водорода, вычисленные Чемберленом, приведены в табл. 34. При 𝑖>6 величина 𝐷_𝑖 приближённо определяется формулой

𝐷

_𝑖

=

𝐷₆

⎛

⎜

⎝

6

𝑖

⎞3,20

⎟

⎠

.

(24.11)

Таблица 34

Значения величин 𝐷_𝑖(𝑇_𝑒) и

𝐷_𝑐(𝑇_𝑒) для водорода

 𝑇

_𝑒

, K

10 000

20 000

40 000

𝐷₂

231

⋅10⁻¹⁵

89

⋅10⁻¹²

23,2

⋅10⁻¹⁰

𝐷₃

6

,32

6

,85

5

,05

𝐷₄

1

,50

1

,86

0

,92

𝐷₅

0

,435

0

,69

0

,404

𝐷₆

0

,201

0

,36

0

,218

𝐷

_𝑐

27

,7

5

,31

6

,25

Для определения чисел атомов в разных состояниях при возбуждении столкновениями мы должны составить уравнения стационарности, аналогичные уравнениям (24.3). В данном случае вместо числа рекомбинаций 𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶_𝑖 надо написать число столкновений 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑖. Поэтому вместо уравнения (24.3) получаем

𝑛

_𝑖

𝑖-1

∑

𝑘=2

𝐴

_𝑖𝑘

=

𝑛₁

𝑛

_𝑒

𝐷

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

+

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

(𝑖=3, 4, 5, …).

(24.12)

В результате решения уравнений (24.12) могут быть найдены величины 𝑛_𝑖/𝑛₁𝑛_𝑒, а затем и относительные интенсивности эмиссионных линий. Вычисленный Чемберленом бальмеровский декремент приведён в табл. 35.

Таблица 35

Бальмеровский декремент

при возбуждении столкновениями

 𝑇

_𝑒

, K

10 000

20 000

40 000

𝙷

_α

5,76

4,79

4,96

𝙷

_β

1,000

1,000

1,000

𝙷

_γ

0,291

0,347

0,383

𝙷

_δ

0,136

0,169

0,194

𝙷

_ε

0,076

0,097

0,112

Из сравнения табл. 33 и 35 видно, что в случае возбуждения атомов столкновениями бальмеровский декремент оказывается более крутым, чем в случае возбуждения ионизациями и рекомбинациями. Вследствие этого высказывалась мысль, что наблюдаемый крутой бальмеровский декремент в спектрах планетарных туманностей вызван не только поглощением света в Галактике, но и влиянием столкновений на населённости атомных уровней. Однако, как легко показать, это влияние не может быть большим, если свободные электроны возникают при фотоионизации атомов водорода. В самом деле, из каждого 𝐿_𝑐-кванта звезды, поглощённого туманностью, образуется при рекомбинации один бальмеровский квант, в то время как далеко не каждый свободный электрон производит столкновение, приводящее к появлению такого кванта. Объясняется это, прежде всего, тем, что при температуре звезды порядка нескольких десятков тысяч кельвинов средняя энергия оторванного электрона составляет лишь небольшую часть энергии возбуждения водородных уровней. Кроме того, значительная часть энергии свободных электронов идёт на возбуждение свечения туманности в линиях «небулия». Наконец, как видно из табл. 34, при неупругих столкновениях свободных электронов с атомами водорода основная часть энергии расходуется на возбуждение линии L_α, а не на возбуждение бальмеровских линий. Таким образом, надо признать, что энергия свободных электронов недостаточна, чтобы вызвать путём столкновений такое же свечение в бальмеровских линиях, какое вызывается в результате рекомбинаций.

4. Массы и плотности туманностей.

По свечению туманности в линиях водорода может быть определена концентрация атомов водорода в туманности. Для этого надо воспользоваться формулой (24.9), определяющей энергию, излучаемую туманностью в данной линии. Применяя эту формулу к бальмеровской линии, соответствующей переходу 𝑘→2, имеем

𝐸

_𝑘

₂

=

𝑧

_𝑘

𝐴

_𝑘

₂

ℎν₂

_𝑘

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

.

(24.13)

Так как водород является наиболее распространённым элементом, а в светящейся части туманности он находится преимущественно в ионизованном состоянии, то можно считать, что 𝑛_𝑒=𝑛⁺. Поэтому формула (24.13) может быть переписана в виде

𝐸

_𝑘

₂

=

𝑧

_𝑘

𝐴

_𝑘

₂

ℎν₂

_𝑘

𝑛⁺²

𝑉

,

(24.14)

где 𝑛⁺ – среднее число протонов в 1 см³, а 𝑉 – объём светящейся части туманности. Из формулы (24.14) получаем

𝑛⁺

=

⎛

⎜

⎝

𝐸_𝑘₂

𝑧_𝑘𝐴_𝑘₂ℎν₂_𝑘𝑉

⎞½

⎟

⎠

.

(24.15)

Оценка величины 𝑛⁺ в планетарных туманностях по формуле (24.15) приводит к значениям порядка нескольких тысяч. С этими значениями 𝑛⁺ ионизационная формула даёт для степени ионизации атомов водорода 𝑛⁺/𝑛₁≈10³. Следовательно, число нейтральных атомов водорода в 1 см³ составляет в среднем несколько единиц.

Знание величины 𝑛⁺ даёт возможность определить массу светящейся части туманности, которая равна

𝑀

=

𝑚

_𝙷

𝑛⁺

𝑉

,

(24.16)

где 𝑚_𝙷 – масса атома водорода. Подставляя (24.15) в (24.16), находим

𝑀

=

𝑚

_𝙷

⎛

⎜

⎝

𝐸_𝑘₂𝑉

𝑧_𝑘𝐴_𝑘₂ℎν₂_𝑘

⎞½

⎟

⎠

.

(24.17)

Энергия, излучаемая туманностью в данной бальмеровской линии, составляет некоторую долю δ₂_𝑘 визуальной светимости туманности 𝐿, т.е. 𝐸_𝑘₂=δ₂_𝑘𝐿. Поэтому вместо формул (24.15) и (24.17) имеем

ρ

=

𝑚

_𝙷

𝑛⁺

=

𝐶√

𝐿/𝑉

,

(24.18)

𝑀

=

𝐶√

𝐿𝑉

,

(24.19)

где

𝐶

=

𝑚

_𝙷

⎛

⎜

⎝

δ₂_𝑘

𝑧_𝑘𝐴_𝑘₂ℎν₂_𝑘

⎞½

⎟

⎠

.

(24.20)

Для большинства туманностей можно принять, что визуальные светимости определяются в основном излучением в линиях 𝑁₁ и 𝑁₂ (исключением являются туманности с сильным непрерывным спектром, которые будут рассмотрены в гл. VII). Тогда, грубо говоря, величина δ₂_𝑘 представляет собой отношение интенсивности данной линии к интенсивности линий 𝑁₁+𝑁₂. Например, в том случае, когда линия 𝑁₂ ярче линии 𝙷_β в три раза, величина δ₂₄ равна ¹/₁₂. В этом случае 𝐶=1,5⋅10⁻¹². Конечно, величина δ₂₄ несколько меняется от туманности к туманности, однако это мало сказывается на значении 𝐶, так как δ₂_𝑘 входит в формулу (24.20) под знаком корня. Поэтому в первом приближении множитель 𝐶 может считаться постоянным для всех рассматриваемых туманностей.

Формулы (24.18) и (24.19) впервые были получены В. А. Амбарцумяном. Их применение к определению масс и плотностей планетарных туманностей дало следующие результаты:

𝑀

≈

0,01𝑀

_☉

,

ρ

≈

10⁻²⁰ г/см³

.

Эти значения 𝑀 и ρ являются средними. Массы и плотности отдельных планетарных туманностей могут отличаться от указанных средних значений, по-видимому, в десятки раз.

Плотности диффузных газовых туманностей оказываются в среднем несколько меньше плотностей планетарных туманностей (примерно на один-два порядка). Что же касается масс диффузных туманностей, то они заключены в очень широких пределах – от небольших долей массы Солнца до нескольких тысяч масс Солнца. Например, масса туманности «Омега» оказывается порядка 500 𝑀_☉.

Следует подчеркнуть, что формула (24.19) даёт значение массы только той части туманности, которая светится в линиях водорода. Это значение является массой всей туманности лишь в том случае, когда оптическая толщина туманности за границей серии Лаймана меньше единицы.

Для определения плотностей и масс туманностей по формулам (24.18) и (24.19) необходимо знать расстояния до них. Однако расстояния до планетарных туманностей известны плохо, вследствие чего их плотности и массы находятся с некоторыми ошибками. Обозначая через 𝑅 расстояние до туманности, мы из упомянутых формул видим, что ρ~𝑅⁻¹^/² и ρ~𝑀⁵^/². Следовательно, ошибка в расстоянии влияет мало на значение плотности, но очень сильно – на значение массы.

Интересно отметить, что слабая зависимость 𝑅 от 𝑀 позволила И. С. Шкловскому использовать формулу (24.19) для определения расстояний до планетарных туманностей при предположении о постоянстве их масс. Мы, очевидно, имеем

𝑉

~

𝑟³

~

𝑅³φ³

и

𝐿

~

𝑟²𝐼

~

𝑅²φ²𝐼

,

где 𝑟 – радиус туманности, φ – её радиус в угловой мере, 𝐼 – поверхностная яркость туманности. Поэтому из формулы (24.19) получаем

𝑅

~

𝑀²^/⁵

φ𝐼¹^/⁵

.

(24.21)

Пользуясь формулой (24.21), И. С. Шкловский составил каталог расстояний до планетарных туманностей. При этом коэффициент пропорциональности в формуле (24.21) был определён при помощи статистических параллаксов. Кроме того, как уже сказано, масса 𝑀 считалась постоянной для всех туманностей. Однако даже для одной туманности величина 𝑀 меняется с возрастанием зоны 𝙷 II по мере расширения туманности. Лишь для туманностей с небольшой оптической толщиной в лаймановском континууме величина 𝑀 остаётся постоянной с течением времени. Поэтому упомянутый каталог относится именно к этим туманностям.

Для некоторых из ближайших к нам туманностей удалось определить расстояния тригонометрическим путём. Они оказались в удовлетворительном согласии с расстояниями, найденными по формуле (24.21). Это говорит о том, что массы планетарных туманностей не очень сильно различаются между собой.

§ 25. Запрещённые линии

1. Необходимые условия для появления запрещённых линий.

В спектрах газовых туманностей присутствует много запрещённых линий, принадлежащих разным атомам и ионам: 𝙾 I, 𝙾 II, 𝙾 III, 𝙽 I, 𝙽 II, 𝚂 II и др. Наиболее интенсивными из них являются главные небулярные линии 𝙽₁ и 𝙽₂ дважды ионизованного кислорода (с длинами волн 5006 и 4959 Å соответственно). Из других запрещённых линий следует отметить линию 4363 Å дважды ионизованного кислорода, фиолетовый дублет 3726 и 3729 Å однажды ионизованного кислорода, красный дублет 6548 и 6584 Å однажды ионизованного азота. Схемы энергетических уровней упомянутых ионов приведены на рис. 32.

Рис. 32

Как известно, «запрещённые» линии отличаются от «разрешённых» линий крайней малостью вероятностей переходов. Эйнштейновские коэффициенты вероятности спонтанных переходов для разрешённых линий порядка 10⁸ с⁻¹, для запрещённых линий они в миллионы и миллиарды раз меньше. В табл. 36 даны для примера значения коэффициентов вероятности спонтанных переходов для некоторых запрещённых линий ионов 𝙾 III, 𝙽 II и 𝙾 I (вычисленные Гарстангом).

В обычных звёздных спектрах запрещённые линии не наблюдаются. В спектрах же газовых туманностей они сравнимы по интенсивности с разрешёнными линиями. Чем же вызвано это различие?

Как мы помним, запрещённые линии (принадлежащие, правда, совсем другим ионам) присутствуют также в спектре солнечной короны. При рассмотрении короны (в § 17) мы выяснили условия, которые необходимы для появления запрещённых линий. Очевидно, что подобные условия должны осуществляться и в газовых туманностях.

Таблица 36

Коэффициенты вероятностей

спонтанных переходов

для некоторых запрещённых линий

Переход

𝙾 III

𝙽 II

𝙾 I

λ, Å

𝐴

λ, Å

𝐴

λ, Å

𝐴

³𝑃₂ – ¹𝐷₂

5006,84

0,021

6583,4

0,0030

6300,23

0,0069

³𝑃₁ – ¹𝐷₂

4958,91

0,0071

6548,1

0,00103

6363,88

0,0022

³𝑃₀ – ¹𝐷₂

4931,0

1,9

⋅

10

⁻⁶

6527,4

4,2

⋅

10

⁻⁷

6392

1,1

⋅

10

⁻⁶

¹𝐷₂ – ¹𝑆₀

4363,21

1,6

5754,8

1,08

5577,35

1,28

Как было установлено, интенсивные запрещённые линии могут возникать только из метастабильных состояний, т.е. из таких, из которых нет других переходов вниз, кроме запрещённых (в противном случае гораздо чаще происходят разрешённые переходы, чем запрещённые). Но продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (например, для иона 𝙾⁺⁺ в состоянии ¹𝐷₂, из которого испускаются линии 𝙽₁ и 𝙽₂, она равна 38 секундам). Следовательно, для того чтобы мог совершиться спонтанный переход из метастабильного состояния, необходимо, чтобы атом в течение длительного времени не был подвержен каким-либо возмущениям: ни воздействию излучения, ни столкновениям. Это значит, что для появления запрещённых линий необходимы малая плотность излучения и малая плотность вещества.

Отсутствие запрещённых линий в звёздных спектрах говорит о том, что в атмосферах звёзд указанные условия не выполняются. Наоборот, на основании наличия многочисленных и весьма интенсивных запрещённых линий в спектрах газовых туманностей можно сделать вывод о крайне малой плотности излучения и плотности вещества в этих объектах.

Условия, необходимые для появления запрещённых линий, могут быть выражены в виде некоторых неравенств. Для их получения рассмотрим атом, обладающий тремя энергетическими уровнями. При этом будем считать, что переход из второго состояния в первое запрещён (т.е. второе состояние метастабильное), а переходы из третьего состояния вниз разрешены. В таком случае 𝐴₂₁≪𝐴₃₁, 𝐴₃₂.

Возбуждение атома может происходить как под действием излучения, так и при столкновениях. Очевидно, что число возбуждений второго уровня будет по порядку таким же, как и число возбуждений третьего уровня. Следовательно, запрещённая линия по своей интенсивности будет сравнима с разрешёнными линиями, если из второго состояния будут в основном происходить спонтанные переходы.

Число спонтанных переходов из второго состояния в 1 см³ за 1 с равно 𝑛₂𝐴₂₁. Вместе с ними могут совершаться и переходы из второго состояния под действием излучения, из которых в данном случае гораздо чаще будут переходы вверх, чем вниз (так как коэффициенты 𝐵_𝑖𝑘 пропорциональны коэффициентам 𝐴_𝑘𝑖). Число переходов 2→3 при поглощении излучения равно 𝑛₂𝐵₂₃ρ₂₃ Следовательно, для того чтобы излучение не мешало спонтанным переходам из метастабильного состояния, должно выполняться условие

𝐴₂₁

≫

𝐵₂₃ρ₂₃

.

(25.1)

Представим плотность излучения в виде ρ₂₃=𝑊ρ₂^⃰₃, где ρ₂^⃰₃ – плотность излучения в атмосфере звезды и 𝑊 – коэффициент дилюции излучения. Тогда вместо неравенства (25.1) получаем

Из второго состояния возможны также переходы при столкновениях со свободными электронами. Число ударов первого рода в 1 см³ за 1 с мы обозначим через 𝑛₂𝑏₂₃, а число ударов второго рода – через 𝑛₂𝑎₂₁. Так как удары первого рода могут производиться только теми электронами, энергия которых превосходит энергию возбуждения атома ℎν₂₃ а удары второго рода–электронами с любой энергией, то обычно 𝑎₂₁≫𝑏₂₃. Таким образом, для того чтобы столкновения не препятствовали излучению квантов в запрещённой линии, должно выполняться неравенство

𝐴₂₁

≫

𝑎₂₁

.

(25.3)

Величина 𝑎₂₁ может быть представлена в виде 𝑎₂₁=𝑛_𝑒σ₂₁𝑣, где 𝑛_𝑒 – концентрация свободных электронов, σ₂₁ – среднее эффективное сечение для ударов второго рода, 𝑣 – средняя скорость свободного электрона. Поэтому вместо (25.3) имеем

𝐴₂₁

≫

𝑛

_𝑒

σ₂₁𝑣

.

(25.4)

Неравенства (25.2) и (25.4) выражают собой условия, необходимые для появления запрещённых линий, сравнимых по интенсивности с разрешёнными линиями.

В газовых туманностях величины 𝑊 и 𝑛_𝑒 чрезвычайно малы. Вследствие этого неравенства (25.2) и (25.4) выполняются даже для линий с очень малыми значениями 𝐴₂₁ т.е. запрещённых очень сильными правилами отбора.

По наличию запрещённых линий в спектре туманности при помощи приведённых неравенств можно оценить верхние пределы величин 𝑊 и 𝑛_𝑒. Например, для линии 𝙽₁ и 𝙽₂ на основании табл. 36 имеем 𝐴₂₁=0,028 с⁻¹. Далее при грубой оценке можно принять: σ₂₁≈10⁻¹⁶ см², 𝑣≈10⁸ см/с. Поэтому из неравенства (25.4) получаем, что в туманности 𝑛_𝑒≪10⁶ см⁻³. Разумеется, линии 𝙽₁ и 𝙽₂ будут видны и при 𝑛_𝑒≈10⁶ см⁻³, но в этом случае населённость второго уровня уже будет уменьшаться ударами второго рода. При 𝑛_𝑒≫10⁶ см⁻³ удары второго рода будут «гасить» эти линии.

Как мы видели, условия в туманностях таковы, что атомы, попавшие в метастабильное состояние, могут находиться в нём очень долго (до спонтанного перехода вниз). Поэтому в метастабильных состояниях должно накопиться огромное число атомов. Очевидно, что этот процесс должен происходить не только в туманностях, но и в других объектах с малыми значениями величин 𝑊 и 𝑛_𝑒

Подчеркнём, что только благодаря накоплению атомов в метастабильных состояниях и излучаются интенсивные запрещённые линии, так как интенсивность линии пропорциональна числу атомов в исходном состоянии и вероятности соответствующего спонтанного перехода, а вероятности спонтанных переходов из метастабильных состояний очень малы.

Вместе с тем накопление атомов в метастабильных состояниях может приводить к возникновению линий поглощения, для которых эти состояния являются нижними уровнями. Примером может служить линия поглощения λ 3889 Å, имеющая нижним уровнем метастабильное состояние 2²S гелия. В частности, эта линия наблюдается в спектре звезды θ₁ Ориона, находящейся в туманности Ориона.

Вопрос об условиях, необходимых для появления запрещённых линий, и о накоплении атомов в метастабильных состояниях был подробно рассмотрен В. А. Амбарцумяном [6]. С этим вопросом приходится встречаться при изучении не только газовых туманностей, но и некоторых других объектов: оболочек новых звёзд, комет и т.д.

2. Вероятности столкновений.

Большинство запрещённых линий в спектрах газовых туманностей возникает вследствие возбуждения атомов электронным ударом. Поэтому для всех расчётов, связанных с излучением туманностей в запрещённых линиях, необходимо знать вероятности неупругих столкновений атомов со свободными электронами.

Рассмотрим переходы атома между состояниями 𝑖 и 𝑗 под действием электронных ударов. Число ударов первого рода в 1 см³ за 1 с мы обозначим через 𝑛_𝑖𝑏_𝑖𝑗. При таких ударах происходят переходы атома из нижнего состояния 𝑖 в верхнее состояние 𝑗 за счёт энергии электрона. Число ударов второго рода в 1 см³ за 1 с обозначим через 𝑛_𝑖𝑎_𝑗𝑖. При таких ударах совершаются обратные переходы, причём энергия возбуждения атома передаётся электрону.

Величины 𝑏_𝑖𝑗 и 𝑎_𝑗𝑖 характеризующие вероятности неупругих столкновений, связаны между собой простым соотношением. Для получения этого соотношения рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае на основании принципа детального равновесия имеем

𝑛

_𝑖

𝑏

_𝑖𝑗

=

𝑛

_𝑗

𝑎

_𝑗𝑖

.

(25.5)

Но при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана. Поэтому из (25.5) находим

𝑏

_𝑖𝑗

=

𝑎

_𝑗𝑖

𝑔_𝑗

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν_𝑖𝑗

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(25.6)

Очевидно, что полученное соотношение справедливо во всех случаях, когда имеет место максвелловское распределение электронов по скоростям при температуре 𝑇.

Величина 𝑎_𝑗𝑖 очень слабо зависит от температуры электронного газа, так как удары второго рода могут производиться электронами с любой скоростью (в этом случае электрон не затрачивает энергию, а получает). Наоборот, величина 𝑏_𝑖𝑗 зависит от температуры очень сильно, причём 𝑏_𝑖𝑗 тем больше, чем больше 𝑇. Это обусловлено тем, что удары первого рода могут производить лишь те электроны, энергия которых больше энергии возбуждения атома. В выражении (25.6) зависимость 𝑏_𝑖𝑗 от температуры даётся в основном экспоненциальным членом.

Величины 𝑎_𝑗𝑖 и 𝑏_𝑖𝑗 выражаются через эффективные сечения для столкновений атомов с электронами. Пусть σ_𝑖𝑗(𝑣) – эффективное сечение для удара первого рода между атомом и свободным электроном со скоростью 𝑣 и 𝑛_𝑒𝑓(𝑣)𝑑𝑣 – число электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 в 1 см³. Мы, очевидно, имеем

𝑏

_𝑖𝑗

=

𝑛

_𝑒

∞

∫

𝑣₀

σ

_𝑖𝑗

(𝑣)

𝑣𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

,

(25.7)

где 𝑚𝑣₀²=ℎν_𝑖𝑗 Для величины 𝑎_𝑗𝑖 аналогично получаем

𝑎

_𝑗𝑖

=

𝑛

_𝑒

∞

∫

0

σ

_𝑗𝑖

(𝑣)

𝑣𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

.

(25.8)

На основании квантовомеханических вычислений можно считать, что в случае метастабильных состояний эффективные поперечные сечения для столкновений обратно пропорциональны энергии электрона. Поэтому величину σ_𝑖𝑗(𝑣) можно представить в виде

σ

_𝑖𝑗

(𝑣)

=

ℎ²

4π𝑚²

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑖𝑣²

,

(25.9)

где Ω(𝑖,𝑗) – безразмерное эффективное сечение (порядка единицы). Величина σ_𝑗𝑖(𝑣) даётся аналогичной формулой с заменой 𝑔_𝑖 на 𝑔_𝑗.

Подставляя (25.9) в (25.7) и пользуясь максвелловским выражением (23.6) для функции 𝑓(𝑣), получаем

𝑎

_𝑗𝑖

=

𝑛

_𝑒

ℎ²

4π𝑚²

⎛

⎜

⎝

𝑚

2π𝑘𝑇_𝑒

⎞½

⎟

⎠

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν_𝑖𝑗

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

=

=

8,54⋅10⁻⁶

𝑛_𝑒

√𝑇_𝑒

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν_𝑖𝑗

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(25.10)

Для величины 𝑎_𝑗𝑖 находим

𝑎

_𝑗𝑖

=

8,54⋅10⁻⁶

𝑛_𝑒

√𝑇_𝑒

Ω(𝑖,𝑗)

𝑔_𝑗

(25.11)

Значения величины Ω(𝑖,𝑗) для ряда ионов были вычислены Ситоном. Часть полученных им результатов приведена в табл. 37.

Таблица 37

Эффективные поперечные сечения

для столкновений

Конфигу-

рация

Ион

Ω

(1,2)

Ω

(1,3)

Ω

(2,3)

2𝑝²

𝙽

II

2,39

0,223

0,46

𝙾

III

1,73

0,195

0,61

𝙵

IV

(1,21)

(0,172)

(0,58)

𝙽𝚎

V

(0,84)

(0,157)

0,53

2𝑝³

𝙾

II

1,44

0,218

1,92

𝙵

III

(1,00)

(0,221)

(3,11)

𝙽𝚎

IV

(0,68)

(0,234)

(3,51)

𝙽𝚊

V

0,43

(0,255)

(3,49)

2𝑝⁴

𝙵

II

(0,95)

(0,057)

0,17

𝙽𝚎

III

0,76

0,077

0,27

𝙽𝚊

IV

(0,61)

(0,092)

(0,30)

𝙼𝚐

V

0,54

(0,112)

(0,30)

Вычисленные значения величия Ω(𝑖,𝑗) отличаются от точных значений, по-видимому, не более чем на 40%, оценки (числа в скобках) – не более чем вдвое.

3. Интенсивности запрещённых линий.

Если нам известны вероятности столкновений, возбуждающих метастабильные состояния, и эйнштейновские коэффициенты вероятностей спонтанных переходов из этих состояний, то мы можем легко вычислить интенсивности запрещённых линий. Такие вычисления сильно упрощаются вследствие полной прозрачности туманностей для излучения в запрещённых линиях, обусловленной чрезвычайной малостью атомного коэффициента поглощения в этих линиях.

Для определения интенсивностей линий надо найти населённости энергетических уровней. Мы сейчас ограничимся рассмотрением только трёх нижних уровней атома. Как видно из рис. 32, в наиболее интересных случаях этого вполне достаточно.

Принимая во внимание переходы под действием соударений и спонтанные переходы, получаем следующие уравнения стационарности для второго и третьего состояний атома:

𝑛₂

(

𝐴₂₁

+

𝑎₂₁

+

𝑏₂₃

)=

𝑛₁

𝑏₁₂

(

𝐴₃₂

+

𝑎₃₂

),

⎫

⎬

⎭

𝑛₃

(

𝐴₃₁

+

𝐴₃₂

+

𝑎₃₁

+

𝑎₃₂

)=

𝑛₁

𝑏₁₃

+

𝑛₂

𝑏₂₃

.

(25.12)

Решая эти уравнения относительно величин 𝑛₂ и 𝑛₃, находим

𝑛₂

=

𝑛₁

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃

,

(25.13)

𝑛₃

=

𝑛₁

𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)(𝐴₂₁+𝑎₂₁)+(𝐴₃₁+𝑎₃₁)𝑏₂₃

.

(25.14)

Формулы (25.13) и (25.14) справедливы при любых концентрациях свободных электронов 𝑛_𝑒 от которых зависят величины 𝑎_𝑗𝑖 и 𝑏_𝑖𝑗. В двух предельных случаях – при больших и малых значениях 𝑛_𝑒 – эти формулы существенно упрощаются.

При больших значениях 𝑛_𝑒 мы можем пренебречь спонтанными переходами по сравнению с переходами под действием столкновений. Легко видеть, что в этом случае, как и следовало ожидать, получается больцмановское распределение атомов по состояниям. Например, из формулы (25.13) при использовании соотношения (25.6) находим

𝑛₂

=

𝑛₁

(𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+𝑎₃₂𝑏₁₃

(𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑎₂₁+𝑎₃₁𝑏₂₃

=

𝑛₁

𝑔₂

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν₁₂

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(25.15)

При малых значениях 𝑛_𝑒 мы можем пренебречь всеми переходами из возбуждённых состояний под действием столкновений по сравнению со спонтанными переходами. В данном случае формулы (25.13) и (25.14) принимают вид

𝑛₂

=

𝑛₁

𝐴₂₁

⎛

⎜

⎝

𝑏₁₂

+

𝐴₃₂

𝐴₃₁+𝐴₃₂

𝑏₁₃

⎞

⎟

⎠

,

(25.16)

𝑛₃

=

𝑛₁𝑏₁₃

𝐴₃₁+𝐴₃₂

(25.17)

В газовых туманностях (за некоторыми исключениями) осуществляется второй из рассмотренных случаев, т.е. населённости метастабильных состояний определяются формулами (25.16) и (25.17).

При помощи полученных выражений для населённостей уровней мы можем определить интенсивности запрещённых линий. Найдём, например, отношение интенсивностей линий, возникающих при переходах 2→1 и 3→2. Пользуясь формулами (25.13) и (25.14), получаем

𝐸₂₁

𝐸₃₂

=

𝑛₂𝐴₂₁ν₁₂

𝑛₃𝐴₃₂ν₃₂

=

ν₁₂𝐴₂₁

ν₂₃𝐴₃₂

×

×

(𝐴₃₁+𝐴₃₂+𝑎₃₁+𝑎₃₂)𝑏₁₂+(𝐴₃₂+𝑎₃₂)𝑏₁₃

𝑏₁₃(𝐴₂₁+𝑎₂₁+𝑏₂₃)+𝑏₁₂𝑏₂₃

.

(25.18)

При больших концентрациях свободных электронов из этой формулы следует

𝐸₂₁

𝐸₃₂

=

ν₁₂𝐴₂₁

ν₂₃𝐴₃₂

𝑔₂

𝑔₃

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₂₃

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(25.19)

При малых значениях 𝑛_𝑒 формула (25.18) даёт

𝐸₂₁

𝐸₃₂

=

ν₁₂

ν₂₃

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝐴₃₁

𝐴₃₂

+1

⎞

⎟

⎠

𝑏₁₂

𝑏₁₃

+1

⎤

⎥

⎦

.

(25.20)

Найденные формулы для интенсивностей запрещённых линий будут применены в дальнейшем не только к газовым туманностям, но и к оболочкам новых звёзд.

Как уже говорилось, при малых значениях 𝑛_𝑒 (и вместе с тем при малых значениях 𝑊) происходит сильное накопление атомов в метастабильных состояниях. Это хорошо видно из формул (25.16) и (25.17), согласно которым населённость возбуждённого уровня тем больше, чем меньше вероятности спонтанных переходов из него. Если бы мы считали переход из второго состояния вниз запрещённым, а переходы из третьего состояния разрешёнными, то число атомов во втором состоянии было бы гораздо больше, чем в третьем. Иными словами, населённость метастабильного уровня значительно превосходит населённость обычного уровня. Что же касается интенсивности запрещённой линии, то, как видно из формулы (25.20), она примерно такого же порядка, что и интенсивность разрешённой линии.

4. Электронные температуры и концентрации.

Интенсивность запрещённой линии какого-либо атома в спектре туманности зависит от количества этих атомов, от концентрации свободных электронов и от температуры электронного газа. Поэтому по наблюдённым интенсивностям запрещённых линий в спектре туманности можно определять значения указанных величин.

Для определения электронной температуры туманности широко используется способ, основанный на измерении относительных интенсивностей запрещённых линий иона 𝙾 III. Этот ион обладает двумя метастабильными состояниями, при переходах из которых возникают линии λ 4363 Å и 𝙽₁+𝙽₂ (см. рис. 32). Возбуждение упомянутых состояний производится электронным ударом. Так как для возбуждения свечения в линии λ 4363 Å электрон должен обладать большей энергией, чем для возбуждения свечения в линиях 𝙽₁ и 𝙽₂, то отношение интенсивностей этих линий (т.е. величина 𝐸_{λ₄₃₆₃}/𝐸_{𝙽₁+𝙽₂}) должно увеличиваться с ростом 𝑇_𝑒.

Полученные выше формулы для населённостей метастабильных состояний и для интенсивностей запрещённых линий можно непосредственно применить к иону 𝙾 III. Назовём три нижних состояния этого иона (основное и два метастабильных) состояниями 1, 2 и 3. Если считать, что концентрация свободных электронов в туманности мала, то отношение интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å будет определяться формулой (25.20).

Перейдём здесь от величин 𝑏_𝑖𝑗 к величинам 𝑎_𝑗𝑖 при помощи соотношения (25.6). Это позволит нам в явном виде выразить зависимость отношения интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å от температуры, так как величины 𝑎_𝑗𝑖 от 𝑇_𝑒 почти не зависят. Выполнив указанный переход, находим

𝐸_{𝙽₁+𝙽₂}

𝐸_{λ₄₃₆₃}

=

ν₁₂

ν₃₂

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝐴₃₁

𝐴₃₂

+1

⎞

⎟

⎠

𝑔₂𝑎₂₁

𝑔₃𝑎₃₁

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν₂₃

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(25.21)

Формула (25.21) была впервые получена В. А. Амбарцумяном [6]. Так как тогда не были известны эффективные сечения для столкновений, то он принял 𝑔₂𝑎₂₁/𝑔₃𝑎₃₁≈1. Теперь на основании формулы (25.11) и табл. 37 получаем 𝑔₂𝑎₂₁/𝑔₃𝑎₃₁=Ω(1,2)/Ω(1,3)=8,9. Учитывая также, что в данном случае 𝐴₃₁/𝐴₃₂=0,14, вместо (25.21) имеем

𝐸_{𝙽₁+𝙽₂}

𝐸_{λ₄₃₆₃}

=

8,74

exp

⎛

⎜

⎝

33000

𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(25.22)

Эта формула и даёт возможность определять 𝑇_𝑒 по получаемому из наблюдений отношению интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å.

Изложенный метод определения электронных температур туманностей был использован в работах Мензела с сотрудниками [9]. Для большого числа туманностей они получили значения 𝑇_𝑒 в интервале от 7000 до 25 000 K. Эти значения мало отличаются от тех, которые были найдены путём рассмотрения энергетического баланса свободных электронов (см. § 23).

Если электронная концентрация в туманности не является малой, то на населённости метастабильных уровней влияют удары второго рода. В этом случае отношение интенсивностей линий 𝙽₁+𝙽₂ и λ 4363 Å будет определяться формулой (25.18). Пользуясь формулами (25.10) и (25.11), а также табл. 36 и 37, вместо формулы (25.18) приближённо получаем

𝐸_{𝙽₁+𝙽₂}

𝐸_{λ₄₃₆₃}

=

0,0753

exp

⎛

⎜

⎝

33000

𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

×

×

1 + 2,67⋅10⁵

√𝑇_𝑒

𝑛_𝑒

1 + 2300

√𝑇_𝑒

𝑛_𝑒

.

(25.23)

Как и следовало ожидать, при малых электронных концентрациях (приблизительно при 𝑛_𝑒<10⁵ см⁻³, если 𝑇_𝑒 порядка 10⁴ кельвинов) формула (25.23) переходит в формулу (25.22). С увеличением 𝑛_𝑒 роль ударов второго рода возрастает и отношение интенсивностей линий становится зависящим не только от 𝑇_𝑒, но и от 𝑛_𝑒. Однако при больших значениях 𝑛_𝑒 (примерно при 𝑛_𝑒>10⁷ см⁻³) отношение интенсивностей линий опять зависит только от 𝑇_𝑒 и определяется формулой