Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 35 страниц)

Назад к карточке книги

Из уравнения (3.35) следует, что в данном случае 𝑘=0. Поэтому имеем

𝑆(τ)

𝑆(0)

⎡

⎢

⎣

∫

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

(3.56)

Формулой (3.56) и даётся искомое точное решение интегрального уравнения Милна.

Мы можем также получить точный закон распределения яркости по диску звезды. Яркость на угловом расстоянии θ от центра диска даётся формулой (2.54). Полагая в ней cos θ=μ, приходим к формуле (3.36). Выше было показано, что интенсивность излучения 𝐼(0,μ) при источниках на бесконечности определяется формулой (3.50). Но в данном случае 𝑘=0 и 𝑆(0,1/μ)=φ(μ). Поэтому яркость на угловом расстоянии arccos μ от центра диска будет равна

𝐼(0,μ)

𝑆(0)

φ(μ)

(3.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю находим значение φ(1)/φ(0)=2,9, уже упоминавшееся в предыдущем параграфе.

Входящую в формулы (3.56) и (3.57) величину 𝑆(0) можно выразить через поток излучения в фотосфере 𝑛𝐹. Мы имеем

𝐹

∫

𝐼(0,μ)

μ𝑑μ

2𝑆(0)

α₁

(3.58)

где использовано обозначение

_𝑛

∫

φ(μ)

^𝑛

𝑑μ

(3.59)

Величины α_𝑛, представляющие собой моменты функции φ(μ), могут быть найдены из уравнения (3.53). Интегрируя это уравнение по μ в пределах от 0 до 1, получаем

α₀

∫

φ(μ)

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ

𝑑μ'

–

∫

φ(μ)

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ

𝑑μ'

–

α₀

(3.60)

откуда следует, что

α₀

(3.61)

Умножая (3.53) на μ²𝑑μ и интегрируя в пределах от 0 до 1, аналогично находим

α₁

√3

(3.62)

Подстановка (3.62) в (3.58) даёт

𝐹

√3

𝑆(0)

(3.63)

Эта формула, выражающая точную зависимость между величинами 𝐹 и 𝑆(0), уже приводилась в предыдущем параграфе.

Подставляя (3.63) в (3.56), находим

𝑆(τ)

√3

𝐹

⎡

⎢

⎣

∫

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

(3.64)

Сравнение (3.64) с (2.51) даёт

𝑞(τ)

√3

⎡

⎢

⎣

∫

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

–

τ.

(3.65)

Если мы подставим в (3.65) выражение (3.55), то придём к формуле, позволяющей вычислить функцию 𝑞(τ) по известным значениям функции φ(μ).

§ 4. Локальное термодинамическое равновесие

1. Поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как увидим дальше, в теории фотосфер широко используются формулы, описывающие состояние термодинамического равновесия. Поэтому мы должны привести некоторые из этих формул. Особый интерес представляет для нас вопрос о поле излучения при термодинамическом равновесии.

Как известно, термодинамическое равновесие осуществляется в полости, стенки которой нагреты до некоторой постоянной температуры 𝑇. Состояние термодинамического равновесия характеризуется тем, что каждый процесс уравновешивается противоположным ему процессом (в этом состоит «принцип детального равновесия»).

Отсюда, в частности, следует, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит ни от места, ни от направления. Если бы это было не так, то совершался бы переход энергии из одного места в другое в некоторых направлениях.

Очевидно также, что интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от индивидуальных свойств полости. Для уяснения этого достаточно допустить, что имеются две полости с одинаковыми температурами, но с разными значениями интенсивности излучения частоты ν. Тогда при соединении этих полостей начался бы переход энергии из одной полости в другую, в противоречии со вторым началом термодинамики.

Таким образом, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии зависит только от частоты и температуры. Мы обозначим эту интенсивность через 𝐵_ν(𝑇).

Применим к рассматриваемому случаю уравнение переноса излучения (1.11). Так как в данном случае 𝑑𝐼_ν/𝑑𝑠=0, то из (1.11) следует

ε_ν

α_ν

𝐵

_ν

(𝑇)

(4.1)

Формулой (4.1) выражается закон Кирхгофа: при термодинамическом равновесии отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения равно интенсивности излучения, являющейся универсальной функцией от частоты и температуры.

Выражение для интенсивности излучения при термодинамическом равновесии впервые было найдено Планком. Формула Планка имеет вид

𝐵

_ν

(𝑇)

2ℎν³

𝑐²

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

(4.2)

где ℎ – постоянная Планка и 𝑘 – постоянная Больцмана.

Как уже сказано, интенсивность излучения при термодинамическом равновесии не зависит от направления, т.е. излучение является изотропным. В этом случае, как следует из формулы (1.3), плотность излучения равна

_ν

(𝑇)

4π

𝑐

𝐵

_ν

(𝑇)

(4.3)

Поэтому при термодинамическом равновесии для плотности излучения ρ_ν(𝑇) получаем

_ν

(𝑇)

8πℎν³

𝑐³

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

(4.4)

Поток излучения при термодинамическом излучении, очевидно, равен нулю. Однако поток излучения, выходящего из упомянутой полости через малое отверстие, отличен от нуля. Для нахождения этого потока надо воспользоваться формулой (1.4) и принять во внимание, что интенсивность выходящего из полости излучения не зависит от направления, а излучение, входящее в полость, отсутствует. В результате для потока излучения 𝐻_ν(𝑇) в этом случае получаем

𝐻

_ν

(𝑇)

π𝐵

_ν

(𝑇)

(4.5)

Заметим, что если излучение попадает в полость через малое отверстие, то оно в ней практически полностью поглощается. Можно сказать, что в этом случае мы имеем дело с абсолютно чёрным телом. Поэтому величина 𝐵_ν(𝑇) называется часто интенсивностью излучения абсолютно чёрного тела.

Проинтегрировав выражение (4.4) по всем частотам, мы получаем полную плотность излучения при термодинамическом равновесии:

ρ(𝑇)

∞

∫

_ν

(𝑇)

𝑑ν

8πℎ

𝑐³

∞

∫

ν³𝑑ν

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

(4.6)

или

ρ(𝑇)

𝑎𝑇⁴

(4.7)

где

𝑎

8π⁵𝑘⁴

15𝑐³ℎ³

(4.8)

Формула (4.7) выражает закон Стефана – Больцмана. Величина 𝑎 называется постоянной Стефана.

Интегрируя по всем частотам выражение (4.2), находим полную интенсивность излучения абсолютно чёрного тела

𝐵(𝑇)

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

(4.9)

Из (4.5) и (4.9) следует, что полный поток излучения, выходящего из абсолютно чёрного тела, равен

𝐻(𝑇)

σ𝑇⁴

(4.10)

где

𝑎𝑐

(4.11)

2. Предположение о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы.

Поле излучения в фотосфере сильно отличается от поля излучения при термодинамическом равновесии. Это видно уже из того, что интенсивность излучения в фотосфере зависит от глубины и от направления. Поэтому не может быть и речи о наличии термодинамического равновесия в фотосфере в целом.

Даже условия в элементарном объёме фотосферы очень далеки от условий термодинамического равновесия (хотя бы вследствие неизотропности падающего на объём излучения). Однако излучение, поглощаемое элементарным объёмом, в сильной степени им перерабатывается. Как известно, такая переработка идёт в направлении установления термодинамического равновесия. Поэтому можно предположить, что в каждом месте фотосферы коэффициент излучения ε_ν связан с коэффициентом поглощения α_ν таким же соотношением, как и при термодинамическом равновесии с некоторой температурой 𝑇, характерной для данного места. При этом температура определяется из того условия, что полное количество энергии, излучаемое элементарным объёмом, равно полному количеству энергии, поглощаемому этим объёмом, т.е. из условия лучистого равновесия.

Указанное предположение называется предположением о локальном термодинамическом равновесии звёздной фотосферы. Несомненно, что оно выполняется с большой точностью в глубоких слоях фотосферы. Вопрос же о том, в какой мере это предположение выполняется в поверхностных слоях звезды, довольно труден для теоретического рассмотрения. Некоторые заключения по этому вопросу могут быть сделаны на основе сравнения теории с наблюдениями (см. §6).

Предположение о локальном термодинамическом равновесии означает, что в звёздной фотосфере отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения даётся формулами (4.1) и (4.2), т.е.

ε_ν

α_ν

2ℎν³

𝑐²

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

(4.12)

Формула (4.12) принадлежит к числу основных соотношений теории фотосфер (вместе с уравнением переноса излучения и уравнением лучистого равновесия).

Принятие предположения о локальном термодинамическом равновесии сильно упрощает теорию фотосфер. Без такого предположения расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот был бы чрезвычайно трудным.

Как и раньше, мы сейчас допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае зависимость температуры от оптической глубины получается в явном виде и расчёт поля излучения в фотосфере для разных частот выполняется совсем легко.

Если коэффициент поглощения не зависит от частоты, то формула (4.12) принимает вид

_ν

2ℎν³

𝑐²

exp(ℎν/(𝑘𝑇))-1

(4.13)

Интегрируя (4.13) по всем частотам, получаем

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

(4.14)

где принято во внимание (4.9). Как и в § 2, обозначим ε=α𝑆. Величина 𝑆 была найдена в теории лучистого равновесия как функция от оптической глубины τ. Поэтому имеем

𝑆(τ)

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

(4.15)

Этой формулой и даётся связь температуры с оптической глубиной.

Если величина 𝑆(τ) найдена в приближении Эддингтона, то она определяется формулой (2.33). В этом случае получаем

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

𝑛𝐹

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

(4.16)

Взяв для 𝑆(τ) точное выражение, даваемое формулой (2.50), находим

𝑎𝑐

4π

𝑇⁴

𝑛𝐹

⎡

⎣

𝑞(τ)

⎤

⎦

(4.17)

Входящая в формулы (4.16) и (4.17) величина 𝑛𝐹 есть полный поток излучения в фотосфере. Его удобно представить как полный поток излучения абсолютно чёрного тела некоторой температуры 𝑇_𝑒 т.е., основываясь на формуле (4.10), положить

𝑛𝐹

σ𝑇

𝑒

(4.18)

где σ=𝑎𝑐/4. Температура 𝑇_𝑒 называется эффективной температурой звезды. Со светимостью звезды 𝐿 и её радиусом 𝑅 она связана соотношением

𝐿

4π

𝑅²

σ𝑇

𝑒

(4.19)

Подстановка (4.18) в формулы (4.16) и (4.17) даёт

𝑇⁴

𝑇

𝑒

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

(4.20)

𝑇⁴

𝑇

𝑒

⎡

⎣

𝑞(τ)

⎤

⎦

(4.21)

Полагая в полученных формулах τ=0, мы можем определить поверхностную температуру 𝑇₀. В приближении Эддингтона находим

𝑇₀

2⁻¹

⁴

𝑇

_𝑒

0,841

𝑇

_𝑒

(4.22)

Точная связь между 𝑇₀ и 𝑇_𝑒 такова:

𝑇₀

⎛

⎜

⎝

√3

⎞¹/₄

⎟

⎠

𝑇

_𝑒

0,811

𝑇

_𝑒

(4.23)

Положив в тех же формулах 𝑇=𝑇_𝑒, мы находим оптическую глубину, соответствующую эффективной температуре звезды. Она получается равной τ=²/₃ по формуле (4.20) и τ=0,64 по формуле (4.21).

3. Излучение, выходящее из фотосферы.

Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения

cosθ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

_ν

𝐼

_ν

(4.24)

Полагая здесь

ε_ν

α_ν

𝑆

_ν

(4.25)

и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте ν

_ν

∞

∫

𝑟

_ν

𝑑𝑟

(4.26)

вместо (4.24) получаем

cosθ

𝑑𝐼_ν(τ_ν,θ)

𝑑τ_ν

𝐼

_ν

(τ

_ν

,θ)

–

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

(4.27)

Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина 𝐼_ν(0,θ). Эта величина равна

𝐼

_ν

(0,θ)

∞

∫

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

𝑒

^-τ_νsecθ

secθ

𝑑τ

_ν

(4.28)

Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

𝐵

_ν

(𝑇)

(4.29)

где 𝐵_ν(𝑇) – интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

∞

∫

𝐵

_ν

(𝑇)

𝑒

^-τ_νsecθ

secθ

𝑑τ

_ν

(4.30)

или

𝐼

_ν

(0,θ)

2ℎν³

𝑐²

∞

∫

𝑒^-τ_νsecθsecθ𝑑τ_ν

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

(4.31)

Формула (4.31) даёт интенсивность излучения частоты ν, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору. Вместе с тем она даёт яркость диска звезды в частоте ν на угловом расстоянии θ от центра диска (см. § 2).

Величина 𝐼_ν(0,θ) может быть найдена из наблюдений Солнца и затменных переменных. Из наблюдений других звёзд получается лишь величина, пропорциональная потоку излучения 𝐻_ν с поверхности звезды. Точнее говоря, эти наблюдения дают освещённость от звезды, равную

ℰ

_ν

𝐿_ν

4π𝑟²

(4.32)

где ℰ_ν – светимость звезды в частоте ν и 𝑟 – расстояние от звезды до наблюдателя. Но

ℰ

_ν

4π𝑅²

𝐻

_ν

(4.33)

где 𝑅 – радиус звезды. Поэтому имеем

ℰ

_ν

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝑟

⎞²

⎟

⎠

𝐻

_ν

(4.34)

Таким образом, поток излучения 𝐻_ν характеризует относительное распределение энергии в спектре звезды.

Поток излучения 𝐻_ν определяется формулой

𝐻

_ν

2π

π/2

∫

𝐼

_ν

(0,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

(4.35)

вытекающей из (1.5). Подставляя в (4.35) выражение (4.28) и меняя порядок интегрирования, находим

𝐻

_ν

2π

∞

∫

𝑆

_ν

(τ

_ν

)

𝐸₂

_ν

𝑑τ

_ν

(4.36)

где 𝐸₂τ_ν – вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.

При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует

𝐻

_ν

2π

∞

∫

𝐵

_τ

(𝑇)

𝐸₂

_ν

𝑑τ

_ν

(4.37)

или

𝐻

_ν

4πℎν³

𝑐²

∞

∫

𝐸₂τ_ν𝑑τ_ν

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

(4.38)

Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами 𝑇 и τ_ν. В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения α_ν. Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае τ_ν=τ, а связь между 𝑇 и τ даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].

В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем

𝐼

_ν

(0,θ)

2ℎν³

𝑐²

∞

∫

𝑒

^-τsecθ

secθ 𝑑τ

exp

⎡

⎢

⎣

ℎν

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⎤-1/4

⎥

⎦

–1

𝑘𝑇

_𝑒

(4.39)

𝐻

_ν

4πℎν³

𝑐²

∞

∫

𝐸₂τ 𝑑τ

exp

⎡

⎢

⎣

ℎν

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⎤-1/4

⎥

⎦

–1

𝑘𝑇

_𝑒

(4.40)

где использована формула (4.20).

Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.

𝐻

_ν

≃

2ℎν³

𝑐²

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇_𝑒)}-1

(4.41)

Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты ν.

Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов 𝙰 и 𝙱. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.

Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).

4. Зависимость температуры и плотности от глубины.

Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение – о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа – Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).

Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия

𝑑𝑝

𝑔ρ

𝑑𝑟

(4.42)

где 𝑝 – давление, ρ – плотность и 𝑔 – ускорение силы тяжести в фотосфере.

Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:

𝑝

𝑅*

ρ𝑇

(4.43)

где μ – средний молекулярный вес и 𝑅* – газовая постоянная.

Считая, что μ не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим

𝑅*

𝑑(ρ𝑇)

𝑔ρ

𝑑𝑟

(4.44)

Воспользуемся также полученной выше связью между температурой 𝑇 и оптической глубиной τ. Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует

𝑑𝑇⁴

𝑇

𝑒

𝑑𝑟

(4.45)

Здесь под α, как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.

Из двух последних уравнений можно найти ρ и 𝑇 в виде функций от 𝑟. Но для этого надо задать зависимость α от ρ и 𝑇. Мы положим α=ϰρ и будем сначала считать, что ϰ=const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем

𝑑(ρ𝑇)

𝑔μ

ϰ𝑅*

𝑑𝑇⁴

𝑇

𝑒

(4.46)

или, после интегрирования,

𝑔μ

ϰ𝑅*

𝑇⁴

–

𝑇

𝑒 𝑇

(4.47)

где 𝑇₀ – поверхностная температура звезды.

В глубоких слоях фотосферы, где 𝑇⁴≫𝑇₀⁴ плотность оказывается связанной с температурой соотношением

𝑔μ

ϰ𝑅*

𝑇³

𝑇

𝑒

(4.48)

Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

𝑔μ

4𝑅*

(4.49)

Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно α. Допустим, например, что

ρ²

𝑇^𝑠

(4.50)

где 𝑠 – некоторый параметр (такая формула для α, как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем

𝑇

^(𝑠+3)/2

(4.51)

𝑑𝑇

𝑑𝑟

𝑠+5

𝑔μ

𝑅*

(4.52)

Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) 𝑔=2,7⋅10⁴, μ=1, 𝑅*=8,3⋅10⁷, находим: 𝑑𝑇/𝑑𝑟=-10⁻⁴ кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.

Из полученных формул можно также найти величину |𝑑𝑟/𝑑τ|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу 𝑑τ=-ϰρ 𝑑𝑟 выражение (4.48), находим

𝑑𝑟

𝑑τ

𝑅*𝑇_𝑒

𝑔μ𝑇³

(4.53)

Если мы положим здесь 𝑇=𝑇_𝑒 то величина |𝑑𝑟/𝑑τ|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.

5. Световое давление в фотосфере.

При рассмотрении механического равновесия фотосферы мы не приняли во внимание световое давление. Оценим теперь роль светового давления в фотосфере, найдя отношение светового давления к газовому. Для этого получим сначала общие формулы, определяющие силу светового давления. В дальнейшем эти формулы нам понадобятся для применения не только к фотосфере, но и к другим объектам.

Как известно, каждый фотон обладает количеством движения, равным ℎν/𝑐 Если фотон поглощается атомом, то атом получает количество движения ℎν/𝑐 в направлении движения фотона. Этим и вызывается давление излучения на атомы.

Возьмём элементарный объём с площадью основания 𝑑σ и толщиной 𝑑𝑟. Допустим, что на объём падает излучение со всех сторон, и найдём силу светового давления, действующую на объём в направлении нормали к основанию. Рассмотрим сперва излучение, падающее на объём под углом θ к нормали внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение промежутка времени 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения есть 𝐼_ν, то количество энергии, падающее на объём, будет равно 𝐼_ν 𝑑σ cosθ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Однако не вся эта энергия производит давление на объём, а только часть её, поглощаемая объёмом. Так как путь фотонов в объёме равен 𝑑𝑟 secθ, то количество поглощаемой объёмом энергии равно α_ν 𝐼_ν 𝑑σ 𝑑𝑟 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Чтобы найти количество движения, получаемое объёмом в направлении нормали к основанию, надо эту энергию умножить на cosθ/𝑐. Следовательно, указанное количество движения будет равно

cosθ

𝑐

_ν

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

Интегрируя это выражение по всем частотам и по всем направлениям, получаем полное количество движения, приобретаемое объёмом за время 𝑑𝑡. Оно равно

𝑐

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

∫

_ν

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

cosθ

𝑑ω

или

𝑐

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

∫

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

(4.54)

Обозначим через

𝑓

_𝑟

𝑑σ

𝑑𝑟

𝑑𝑡

(4.55)

импульс силы светового давления, действующей на объём 𝑑σ𝑑𝑟 за время 𝑑𝑡. Из основного закона механики следует, что два последние выражения должны быть равны друг другу. Поэтому получаем

𝑓

_𝑟

𝑐

∫

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

(4.56)

Этой формулой даётся сила светового давления, действующая на единицу объёма.

Силу, действующую на элементарный объём, можно также представить как разность давлений на основания объёма. Обозначая через 𝑝_𝑟 световое давление, мы можем записать эту силу в виде

𝑑𝑝

_𝑟

𝑑σ

𝑑𝑡

(4.57)

Приравнивая друг другу выражения (4.54) и (4.57), находим

𝑑𝑝_𝑟

𝑑𝑟

𝑐

∫

_ν

𝐻

_ν

𝑑ν

(4.58)

Применим последнюю формулу к звёздной фотосфере. Считая, как и раньше, что коэффициент поглощения не зависит от частоты, вместо (4.58) получаем

𝑑𝑝

_𝑟

𝑐

𝐻α

𝑑𝑟

(4.59)

или, пользуясь (4.18),

𝑑𝑝

_𝑟

𝑎

𝑇

𝑒

𝑑𝑟

(4.60)

Сравнение (4.60) с (4.45) даёт

𝑝

_𝑟

𝑎

𝑇⁴

(4.61)

Итак, в рассматриваемом случае для светового давления получается такое же выражение, как и при термодинамическом равновесии.

Выше мы считали, что фотосфера находится в равновесии под действием тяготения и газового давления, и поэтому в уравнении (4.42) под 𝑝 понималось только газовое давление. Будем теперь понимать под 𝑝 сумму газового давления 𝑝_𝑔 и светового давления 𝑝_𝑟. Тогда уравнение (4.42) запишется в виде

𝑑(𝑝

_𝑔

+𝑝

_𝑟

)

𝑔ρ

𝑑𝑟

(4.62)

Пользуясь уравнениями (4.62) и (4.45), а также выражением (4.43) для газового давления и выражением (4.61) для светового давления, можно получить, как и выше, распределение температуры и плотности в фотосфере. Однако мы не будем делать этого, а найдём лишь отношение светового давления 𝑝_𝑟 к полному давлению 𝑝=(𝑝_𝑔+𝑝_𝑟) Разделив (4.59) на (4.42) и положив α=ϰρ, получаем

𝑑𝑝_𝑟

𝑑(𝑝_𝑔+𝑝_𝑟)

ϰ𝐻

𝑔𝑐

(4.63)

Полный поток излучения 𝐻 постоянен в фотосфере. Мы примем, что и ϰ=const. В этом случае интегрирование даёт

𝑝

_𝑟

–

𝑝

𝑟

ϰ𝐻

𝑔𝑐

(

𝑝

_𝑔

𝑝

_𝑟

–

𝑝

𝑟

(4.64)

где

𝑝

𝑟

– световое давление на поверхности звезды. Отсюда для глубоких слоёв фотосферы следует

𝑝_𝑟

𝑝

ϰ𝐻

𝑔𝑐

(4.65)

Для вычислений по формуле (4.65) надо знать величину ϰ (т.е. средний коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы). Для этого могут быть использованы формулы, приведённые в следующем параграфе. Вычисления показывают, что для звёзд типа Солнца величина 𝑝_𝑟/𝑝 – порядка нескольких тысячных, а для звёзд более поздних спектральных классов главной последовательности она ещё меньше. Следовательно, для этих звёзд световым давлением можно пренебречь по сравнению с газовым. Однако роль светового давления растёт с увеличением эффективной температуры звезды, и для горячих сверхгигантов отношение светового давления к газовому – порядка единицы.

§ 5. Зависимость коэффициента поглощения от частоты

1. Излучение и поглощение в непрерывном спектре.

До сих пор мы не касались вопроса о том, с какими физическими процессами связано излучение и поглощение энергии в непрерывном спектре. Переходя теперь к рассмотрению этого вопроса, обратимся к схеме энергетических уровней атома (рис. 4).

Рис. 4

Как известно, каждый атом может находиться в некоторых устойчивых состояниях с определёнными дискретными значениями энергии: 𝐸₁, 𝐸₂, …, 𝐸_𝑖, …. Эти значения энергии отрицательны 𝐸_𝑖<0. В соответствующих им состояниях внешний электрон связан с атомом, или, как иногда говорят, находится на эллиптической орбите. При переходах атома между такими состояниями происходит излучение и поглощение квантов в спектральных линиях.

Вместе с тем атом может находиться и в состояниях с положительной энергией 𝐸>0. В таких состояниях электрон не связан с атомом, т.е. находится на гиперболической орбите. Положительные энергетические уровни атома расположены непрерывно.

Переход атома из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией (т.е. переход электрона из связанного состояния в свободное) называется ионизацией атома. Ионизация может происходить под действием излучения; в таком случае она называется фотоионизацией.

При фотоионизации происходит поглощение светового кванта. При этом энергия кванта частично расходуется на отрыв электрона от атома, а частично на сообщение кинетической энергии оторванному электрону. Иными словами, в этом случае имеет место соотношение

ℎν

_𝑖

𝑚𝑣²

(5.1)

где обозначено χ_𝑖=-𝐸_𝑖 Величина χ_𝑖 представляет собой энергию ионизации атома из 𝑖-го состояния. Соотношение (5.1) было впервые получено Эйнштейном при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.

При фотоионизации с 𝑖-го уровня может быть поглощён любой квант, энергия которого больше или равна энергии ионизации, т.е. ℎν≥χ_𝑖. Следовательно, при фотоионизации происходит поглощение энергии в непрерывном спектре.

Процесс, обратный ионизации, т.е. захват ионизованным атомом свободного электрона, называется рекомбинацией. При рекомбинации происходит излучение энергии в непрерывном спектре. При этом если электрон со скоростью 𝑣 захватывается на 𝑖-й уровень, то излучается квант частоты ν, определяемой тем же соотношением (5.1).

Кроме фотоионизаций и рекомбинаций, к поглощению и излучению энергии в непрерывном спектре ведут также переходы атомов между состояниями с положительной энергией, т.е. переходы электронов из свободных состояний в свободные. Очевидно, что при таких переходах могут поглощаться и излучаться кванты любой частоты.

Вероятности всех указанных переходов характеризуются соответствующими коэффициентами поглощения и излучения. Мы обозначим через 𝑘_𝑖ν коэффициент поглощения квантов частоты ν, рассчитанный на один атом в 𝑖-м состоянии. Тогда объёмный коэффициент поглощения квантов частоты ν атомами в 𝑖-м состоянии будет равен α_𝑖ν=𝑛_𝑖𝑘_𝑖ν где 𝑛 – число атомов в 𝑖-м состоянии в единице объёма. А объёмный коэффициент поглощения, обусловленный всеми фотоионизациями, будет равен

_ν

∞

∑

𝑖=𝑖₁

𝑛

_𝑖

𝑘

_𝑖ν

(5.2)

где 𝑖₀ определяется для каждой частоты из того условия, что при 𝑖≥𝑖₀ выполняется неравенство ℎν≥χ_𝑖.

Объёмный коэффициент поглощения, обусловленный свободно-свободными переходами, мы обозначим через α_ν''. Очевидно, что он пропорционален числу свободных электронов и числу ионизованных атомов в единице объёма (так как свободно-свободные переходы совершаются в поле иона).

Полный объёмный коэффициент поглощения α_ν (фигурировавший в предыдущем параграфе) является суммой:

_ν

(5.3)

Мы видим, что коэффициент поглощения α_ν существенно зависит от распределения атомов по состояниям. Как уже было сказано, в теории фотосфер делается предположение о локальном термодинамическом равновесии. Поэтому и распределение атомов по состояниям мы возьмём такое же, как в случае термодинамического равновесия.

Как известно, в указанном случае распределение атомов по дискретным уровням энергии даётся формулой Больцмана:

𝑛_𝑖

𝑛₁

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁-χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.4)

где 𝑔_𝑖 – статистический вес 𝑖-гo уровня. Величина χ₁-χ_𝑖 представляет собой энергию возбуждения 𝑖-гo уровня.

Обобщая (5.4) на состояния атома с положительной энергией, можно получить отношение числа ионизованных атомов к числу нейтральных атомов. Это отношение даётся формулой

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

𝑔⁺

𝑔₁

(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ_₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.5)

которая называется формулой ионизации или формулой Саха. Здесь 𝑛_𝑒 – число свободных электронов и 𝑛⁺ – число ионов в основном состоянии в 1 см³, 𝑔⁺ —статистический вес основного состояния иона.

В дальнейшем мы приведём выражения для коэффициентов поглощения 𝑘_𝑖ν и α_ν'' для некоторых атомов и, пользуясь формулами (5.2) – (5.5), составим выражение для объёмного коэффициента поглощения α_ν. Формулы для коэффициентов излучения, соответствующих разным типам переходов, нам в теории фотосфер не понадобятся, так как при термодинамическом равновесии нужный нам объёмный коэффициент излучения ε_ν выражается через объёмный коэффициент поглощения α_ν законом Кирхгофа – Планка.

2. Поглощение атомами водорода.

Для вычисления коэффициентов поглощения в непрерывном спектре необходимо знать волновые функции атома как для состояний с отрицательной энергией, так и для состояний с положительной энергией. Нахождение волновых функций является, как известно, очень трудной задачей. Только для простейших случаев она более или менее удовлетворительно разрешена.

Мы сейчас приведём результаты определения коэффициентов поглощения для водородного атома. Коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν, рассчитанный на один атом водорода в 𝑖-м состоянии, равен

𝑘

_𝑖ν

2⁶π⁴

3√3

𝑚𝑒¹⁰

𝑐ℎ⁶𝑖ν³

𝑔

_𝑖ν

(5.6)

где 𝑚 и 𝑒 – масса и заряд электрона соответственно, 𝑔_𝑖ν – некоторый поправочный множитель, близкий к единице (так называемый множитель Гаунта). Формула (5.6) справедлива лишь для частот, удовлетворяющих неравенству ν≥ν_𝑖=χ_𝑖/ℎ, т.е. за пределом 1-й серии. Мы видим, что за пределом серии коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν убывает обратно пропорционально кубу частоты. Значения коэффициента поглощения сразу за пределами первых серий порядка 10⁻¹⁷ см² (0,63⋅10⁻¹⁷ см² сразу за пределом серии Лаймана, 1,4⋅10⁻¹⁷ см² – сразу за пределом серии Бальмера и т.д.).

Чтобы найти объёмный коэффициент поглощения α_ν', надо подставить выражение (5.6) в формулу (5.2). Вместе с тем мы примем, что распределение атомов по состояниям даётся формулами (5.4) и (5.5). Из двух последних формул получаем

𝑛

_𝑖

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑔_𝑖

𝑔⁺

ℎ³

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.7)

Подставляя (5.6) и (5.7) в формулу (5.2), находим

_ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁵π²𝑒⁶

3√3𝑐ℎ

χ₁

(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

⋅

ν³

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.8)

где величина χ₁ как и раньше, есть энергия ионизации из первого состояния, равная

χ₁

2π²𝑚𝑒⁴

ℎ²

(5.9)

В формуле (5.8) для частот за границей серии Лаймана 𝑖₀=1, для частот от границы серии Бальмера до границы серии Лаймана 𝑖₀=2 и т.д.

Для коэффициента поглощения α_ν'', обусловленного свободно-свободными переходами электрона в поле протона, квантовая механика даёт

_ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ν³

𝑔

_ν

(5.10)

где 𝑛_𝑒 и 𝑛⁺ – число свободных электронов и число протонов в 1 см³ соответственно, 𝑔_ν – поправочный множитель Гаунта порядка единицы. При получении формулы (5.10) принято, что распределение свободных электронов по скоростям даётся формулой Максвелла с температурой 𝑇. Коэффициент поглощения α_ν'' так же как 𝑘_𝑖ν, обратно пропорционален кубу частоты. Однако формула (5.10), в отличие от формулы (5.6), справедлива для всех частот.

Однако формулы (5.8) и (5.10) не вполне точны, так как в них не учтено так называемое отрицательное поглощение. Подробно об отрицательном поглощении речь будет идти в § 8. Пока же заметим, что при термодинамическом равновесии (точнее говоря, при выполнении формул Максвелла, Больцмана и Саха) для учёта отрицательного поглощения приведённое выше выражение для коэффициента поглощения следует умножить на величину 1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇)}

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"