Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 35 страниц)

Очевидно, что излучение, идущее от всего диска сферически-симметричной звезды, будет неполяризованным. Поэтому указанный эффект поляризации света звёзд может быть обнаружен только при наблюдениях затменных переменных, один из компонентов которых является горячей звездой, а другой – холодной. В таком случае при покрытии горячей звезды её холодным спутником излучение системы будет в небольшой степени поляризованным. Этот эффект, предсказанный теорией, был затем действительно обнаружен при наблюдениях.

Особенно интересно то, что при упомянутых наблюдениях было открыто новое явление – поляризация света звёзд вне затмения и даже поляризация света одиночных звёзд. В основном это явление объясняется поляризацией излучения при прохождении его через межзвёздное пространство (о чем мы будем подробно говорить в § 32). Однако в некоторых случаях указанное явление может быть также вызвано рассеянием света на свободных электронах. Поляризация излучения двойной системы вне затмения может быть результатом рассеяния света одной звезды на свободных электронах в фотосфере другой звезды или в газовом потоке, которые иногда обнаруживаются в двойных системах. Излучение одиночной звезды может оказаться поляризованным вследствие рассеяния света на свободных электронах при отклонении формы звезды от сферической

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I

Мilnе Е. A. Thermodynamics of the Stars. In «Handbuch der Astrophysik». Bd. III, Berlin, 1930.

Rosseland S. Astrophysik auf Atomtheoretischer Grundlage.– 1931 (русский перевод: Росселанд С. Астрофизика на основе теории атома, 1936).

Амбарцумян В. А. Теоретическая астрофизика.– М.: ГОНТИ, 1939.

Chandrasekhar S. Radiative Transfer. 1950 (русский перевод: Перенос лучистой энергии.– М.: Изд-во иностр. лит., 1953).

Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет.– М.: Гостехиздат, 1956.

Мустель Э. Р. Звёздные атмосферы.– М.: Физматгиз, 1960.

Gray D. The observation and analysis of stellar photospheres. 1976 (русский перевод: Гpeй Д. Наблюдения и анализ звёздных фотосфер.– М.: Мир, 1980).

Мihаlas D. Stellar atmospheres.– 1978 (русский перевод: Михалас Д. Звёздные атмосферы, ч. 1.– М.: Мир, 1982).

Vаrdjа М. S. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, v. 8.– 1970.

Теория звёздных спектров.– М.: Наука, 1966.

Глава II ЗВЁЗДНЫЕ АТМОСФЕРЫ

Под звёздной атмосферой мы будем понимать слой, в котором возникает линейчатый спектр звезды. В среднем атмосфера находится выше фотосферы, дающей непрерывный спектр. Объясняется это тем, что коэффициент поглощения в линии гораздо больше коэффициента поглощения в непрерывном спектре. Поэтому в самых внешних частях звезды поглощение в непрерывном спектре уже не играет заметной роли, а поглощение в линиях остаётся сильным.

Первоначально в астрофизике делалось даже допущение, что между фотосферой и атмосферой существует резкая граница. Иными словами, предполагалось, что из фотосферы идёт излучение в непрерывном спектре без линий, а при прохождении его через атмосферу (или, как тогда говорилось, через обращающий слой) возникают линии поглощения. В настоящее время указанное предположение обычно не делается, т.е. считается, что в каждом элементарном объёме происходит поглощение как в линиях, так и в непрерывном спектре. Однако и в этом случае сначала занимаются теорией фотосфер, т.е. задачей об образовании непрерывного спектра звезды, а затем – теорией атмосфер, т.е. задачей об образовании линий поглощения. При этом в теории фотосфер обычно не учитывается влияние линий, а в теории атмосфер считается известным решение задачи об образовании непрерывного спектра.

В этой главе сначала рассматривается вопрос о коэффициенте поглощения в спектральной линии, затем решается задача об образовании линейчатых спектров звёзд и, наконец, путём сравнения теории с наблюдениями определяются различные характеристики звёздных атмосфер. Следует подчеркнуть, что большинство наших сведений о звёздах получено на основе изучения их линейчатых спектров. К ним относятся сведения о химическом составе звёздных атмосфер, о движениях в атмосферах, о вращении звёзд, о магнитных полях звёзд и др. Поэтому теория образования линий поглощения в звёздных спектрах занимает исключительно важное место в теоретической астрофизике.

§ 8. Коэффициент поглощения в спектральной линии

1. Эйнштейновские коэффициенты переходов.

Излучение и поглощение в спектральной линии связано с переходами атома из одного дискретного состояния в другое. Если атом находится в возбуждённом состоянии, то он может спонтанно (самопроизвольно) перейти в любое состояние с меньшей энергией. При спонтанном переходе атома из 𝑘-го состояния в 𝑖-е излучается фотон с энергией

ℎν

_𝑖𝑘

=

𝐸

_𝑘

–

𝐸

_𝑖

,

(8.1)

где 𝐸_𝑘 и 𝐸_𝑖 – энергия начального и конечного состояния соответственно. Под действием излучения частоты ν_𝑖𝑘 может произойти обратный переход, в результате которого фотон поглощается. Излучение частоты ν_𝑖𝑘 может также вызвать переход атома из 𝑘-го состояния в 𝑖-е, связанный с излучением фотона. Это – процесс вынужденного излучения или отрицательного поглощения.

Вероятности указанных процессов характеризуются некоторыми коэффициентами, введёнными Эйнштейном. Пусть 𝑛_𝑘 – число атомов в 𝑘-м состоянии в 1 см³. Очевидно, что число спонтанных переходов из 𝑘-го состояния в 𝑖-е, происходящих в 1 см³ за время 𝑑𝑡, пропорционально числу 𝑛_𝑘 и времени 𝑑𝑡, т.е. равно 𝑛_𝑘𝐴_𝑘𝑖𝑑𝑡. Величина 𝐴_𝑘𝑖 называется эйнштейновским коэффициентом спонтанного перехода. Число переходов из 𝑖-го состояния в 𝑘-е, связанных с поглощением фотонов, в 1 см³ за время 𝑑𝑡 равно 𝑛_𝑖𝐵_𝑖𝑘ρ_𝑖𝑘𝑑𝑡 где 𝑛_𝑖 – число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³ и ρ_𝑖𝑘 – плотность излучения частоты ν_𝑖𝑘. Величина 𝐵_𝑖𝑘 представляет собой эйнштейновский коэффициент поглощения. Число переходов из 𝑘-го состояния в 𝑖-е, вызванных излучением, в 1 см³ за время 𝑑𝑡 может быть записано в виде

𝑛

_𝑘

𝐵

_𝑘𝑖

ρ

_𝑖𝑘

𝑑𝑡

,

где 𝐵_𝑘𝑖 – эйнштейновский коэффициент отрицательного поглощения.

Эйнштейновские коэффициенты переходов не являются независимыми, а связаны друг с другом двумя соотношениями. Для вывода этих соотношений рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс компенсируется обратным процессом. В частности, число переходов из 𝑘-го состояния в 𝑖-е равно числу переходов из 𝑖-го состояния в 𝑘-е т.е.

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

+

𝑛

_𝑘

𝐵

_𝑘𝑖

ρ

_𝑖𝑘

=

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

.

(8.2)

С другой стороны, при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана

𝑛_𝑘

𝑛_𝑖

=

𝑔_𝑘

𝑔_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν_𝑖𝑘

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(8.3)

где 𝑔_𝑖 и 𝑔_𝑘 – статистические веса состояний. Из (8.2) при помощи (8.3) получаем

ρ

_𝑖𝑘

=

𝐴_𝑘𝑖

𝐵_𝑘𝑖

×

⎡

⎢

⎣

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

𝐵_𝑖𝑘

𝐵_𝑘𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν_𝑖𝑘

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

–

1

⎤⁻¹

⎥

⎦

.

(8.4)

Сравнивая (8.4) с формулой Планка (4.4), также имеющей место при термодинамическом равновесии, находим

𝐴

_𝑘𝑖

=

8πℎν_𝑖𝑘³

𝑐³

𝐵

_𝑘𝑖

,

𝐵

_𝑘𝑖

=

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

𝐵

_𝑖𝑘

.

(8.5)

Таким образом, если известен один из коэффициентов Эйнштейна, то два других определяются при помощи соотношений (8.5). Заметим, что хотя эти соотношения и были получены при рассмотрении термодинамического равновесия, они справедливы всегда, так как эйнштейновские коэффициенты переходов характеризуют свойства атома и фотона и не зависят от того, как распределены атомы по состояниям и фотоны по частотам.

Следует подчеркнуть большое различие между спонтанным и вынужденным излучением. При спонтанных переходах фотоны испускаются во все стороны. При вынужденных переходах фотоны испускаются в том же направлении, в каком летят вызвавшие эти переходы фотоны. Поэтому интенсивность падающего на атомы пучка излучения убывает вследствие поглощения, но возрастает вследствие вынужденных переходов. Этим объясняется, почему вынужденное излучение называют также отрицательным поглощением.

Из сказанного следует, что полное количество фотонов, поглощаемых в рассматриваемой линии в 1 см³ за 1 с, равно

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

–

𝑛

_𝑘

𝐵

_𝑘𝑖

ρ

_𝑖𝑘

=

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

⎛

⎜

⎝

1

–

𝑛_𝑘𝐵_𝑘𝑖

𝑛_𝑖𝐵_𝑖𝑘

⎞

⎟

⎠

.

На основании второго из соотношений (8.5) это выражение можно переписать в виде

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

⎛

⎜

⎝

1

–

𝑔_𝑖𝑛_𝑘

𝑔_𝑘𝑛_𝑖

⎞

⎟

⎠

.

Таким образом, для учёта отрицательного поглощения надо количество фотонов, претерпевших обычное поглощение, умножить на величину

1

–

𝑔_𝑖𝑛_𝑘

𝑔_𝑘𝑛_𝑖

.

Если распределение атомов по уровням даётся формулой Больцмана (в частности, при термодинамическом равновесии), то вместо последнего выражения имеем

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

⎛

⎜

⎝

1

–

exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν_𝑖𝑘

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

.

Следовательно, в данном случае множитель, учитывающий отрицательное поглощение, равен

1

–

exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν_𝑖𝑘

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

.

Этим результатом мы уже пользовались ранее при рассмотрении поглощения в непрерывном спектре (§ 5).

Знание эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов даёт возможность определить среднюю продолжительность жизни атома в возбуждённых состояниях. Пусть 𝑛_𝑘(0) – число атомов в 𝑘-м состоянии в момент времени 𝑡=0. Убывание вследствие спонтанных переходов на все лежащие ниже уровни происходит по закону

𝑑𝑛

_𝑘

=-

𝑛

_𝑘

𝑘-1

∫

𝑖=1

𝐴

_𝑘𝑖

𝑑𝑡

,

(8.6)

или после интегрирования,

𝑛

_𝑘

(𝑡)

=

𝑛

_𝑘

(0)

𝑒

^-γ_𝑘𝑡

,

(8.7)

где обозначено

γ

_𝑘

=

𝑘-1

∫

𝑖=1

𝐴

_𝑘𝑖

.

(8.8)

Отсюда для средней продолжительности жизни атома в 𝑘-м состоянии получаем

𝑡

_𝑘

=

∞

∫

0

𝑡

𝑒

^-γ_𝑘𝑡

γ

_𝑘

𝑑𝑡

=

1

γ_𝑘

.

(8.9)

Величины 𝐴_𝑘𝑖 для разрешённых переходов – порядка 10⁷ с⁻¹. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в возбуждённом состоянии оказывается порядка 10⁻⁷ с. Исключение составляют метастабильные состояния, из которых все переходы на нижележащие уровни запрещены. Для запрещённых переходов величины 𝐴_𝑘𝑖 гораздо меньше, чем для разрешённых переходов. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (иногда доходит до нескольких часов).

Для вычисления эйнштейновских коэффициентов переходов необходимо знать волновые функции атома. Так как определение волновых функций представляет весьма сложную задачу, то эйнштейновские коэффициенты переходов вычислены лишь для простейших случаев.

В таблице 5 даны значения величин 𝐴_𝑘𝑖 для атома водорода. Здесь под индексами 𝑖 и 𝑘 понимаются главные квантовые числа, а величины 𝐴_𝑘𝑖 имеют следующий смысл. Если 𝑛_𝑘 есть количество атомов во всех состояниях с главным квантовым числом 𝑘, то общее число переходов в состояния с главным квантовым числом 𝑖, происходящих за 1 с, равно 𝑛_𝑘𝐴_𝑘𝑖. При этом предполагается, что распределение атомов по состояниям с разными азимутальными квантовыми числами пропорционально статистическим весам этих состояний.

Таблица 5

Значения 𝐴_𝑘𝑖 для атома водорода

𝑘

𝑖

1

2

3

4

5

6

7

2

4,67⋅10⁸

–

–

–

–

–

–

3

5,54⋅10⁷

4,39⋅10⁷

–

–

–

–

–

4

1,27⋅10⁷

8,37⋅10⁶

8,94⋅10⁶

–

–

–

–

5

4,10⋅10⁶

2,52⋅10⁶

2,19⋅10⁶

2,68⋅10⁶

–

–

–

6

1,64⋅10⁶

9,68⋅10⁵

7,74⋅10⁵

7,67⋅10⁵

1,02⋅10⁶

–

–

7

7,53⋅10⁵

4,37⋅10⁵

3,34⋅10⁵

3,03⋅10⁵

3,24⋅10⁵

4,50⋅10⁵

–

8

3,85⋅10⁵

2,20⋅10⁵

1,64⋅10⁵

1,42⋅10⁵

1,38⋅10⁵

1,55⋅10⁵

2,26⋅10⁵

Эйнштейновские коэффициенты переходов 𝐴_𝑘𝑖, 𝐵_𝑘𝑖 и 𝐵_𝑖𝑘 просто выражаются через так называемую силу осциллятора 𝑓_𝑖𝑘. Например, эйнштейновский коэффициент спонтанного перехода равен

𝐴

_𝑘𝑖

=

8π²𝑒²ν_𝑖𝑘²

𝑚𝑐³

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

_𝑖𝑘

,

(8.10)

где 𝑚 – масса электрона и 𝑒 – его заряд. Величина 𝑓_𝑖𝑘 является безразмерной и представляет собой число классических осцилляторов, которые по поглощательному действию заменяют один атом.

2. Коэффициент поглощения, обусловленный затуханием излучения и тепловым движением атомов.

Спектральные линии не являются строго монохроматическими. В каждой линии могут поглощаться фотоны разных частот, близких к центральной частоте линии ν₀. Вероятность поглощения фотонов частоты ν внутри линии определяется многими причинами. Как и раньше (см. § 1), мы будем характеризовать эту вероятность объёмным коэффициентом поглощения, который обозначим через σ_ν. Физический смысл этой величины, как мы помним, состоит в том, что вероятность поглощения фотона частоты ν на пути 𝑑𝑠 равна σ_ν𝑑𝑠. Отметим также, что количество энергии частоты ν, поглощаемое единицей объёма за 1 с, равно σ_ν∫𝐼_ν𝑑ω где 𝐼_ν – интенсивность излучения и интегрирование ведётся по всем направлениям.

Пусть рассматриваемая линия возникает при переходе атома из 𝑖-го состояния в 𝑘-е и 𝑛_𝑖 – число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³. Мы можем представить величину σ_ν в виде σ_ν=𝑛_𝑖𝑘_ν, где 𝑘_ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Очевидно, что величины σ_ν и 𝑘_ν зависят от индексов 𝑖 и 𝑘, но для упрощения записи эти индексы мы опускаем.

Коэффициент поглощения 𝑘_ν связан простой зависимостью с эйнштейновским коэффициентом поглощения 𝐵_𝑖𝑘. Чтобы получить эту зависимость, напишем выражение для числа переходов с 𝑖-го уровня на 𝑘-й происходящих в 1 см³ за 1 с, сначала с помощью 𝐵_𝑖𝑘, а затем с помощью 𝑘_ν. С одной стороны, указанное число переходов равно 𝑛_𝑘𝐵_𝑖𝑘ρ_𝑖𝑘. С другой стороны, то же число переходов можно представить в виде

𝑛

_𝑘

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

ℎν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

.

Приравнивая оба эти выражения и учитывая, что ∫𝐼_ν 𝑑ω=𝑐ρ_ν, где ρ_ν – плотность излучения, находим

𝑐

∫

𝑘

_ν

ρ_ν

ℎν

𝑑ν

=

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

.

(8.11)

Так как коэффициент поглощения 𝑘_ν имеет резкий максимум в центральной частоте ν₀, то среднее значение величины ρ_ν/ℎν можно вынести за знак интеграла. Тогда вместо (8.11) получаем

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

=

ℎν₀

𝑐

𝐵

_𝑖𝑘

.

(8.12)

Соотношение (8.12) имеет место во всех случаях, независимо от того, какими причинами обусловлен вид функции 𝑘_ν В частности, из этого соотношения следует, что чем шире интервал частот, внутри которого величина 𝑘_ν не сильно отличается от своего значения в центре линии, тем меньше среднее значение коэффициента 𝑘_ν в этом интервале.

Зависимость коэффициента поглощения 𝑘_ν от частоты, как уже сказано, определяется рядом причин. Главными из них являются следующие: 1) затухание излучения (в терминах классической электронной теории) или размытость энергетических уровней атома (в терминах квантовой механики), 2) эффект Доплера, происходящий от теплового движения атомов.

Допустим сначала, что коэффициент поглощения определяется только затуханием излучения. В этом случае, согласно квантовой теории излучения (см., например, [1]), мы имеем

𝑘

_ν

=

𝑐²

𝑔

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

Γ

_𝑘𝑖

,

32π³ν₀²

𝑔

_𝑖

(ν-ν₀)²

+

⎛

⎜

⎝

Γ

_𝑘𝑖

⎞

⎟

⎠

²

4π

(8.13)

где Γ_𝑘𝑖=γ_𝑖+γ_𝑘, а величина γ_𝑘 даётся формулой (8.8). Обозначим через Δν_𝐸 расстояние от центра линии, на котором значение 𝑘_ν составляет половину максимального значения 𝑘_ν₀ Очевидно, что Δν_𝐸=Γ_𝑘𝑖/4π. Величина 2Δν_𝐸 называется естественной шириной спектральной линии. От ширины, выраженной в частотах, мы можем перейти к ширине, выраженной в длинах волн, пользуясь формулой Δλ_𝐸=λ₀Δν_𝐸/ν₀. Естественная ширина линии, выраженная в длинах волн, оказывается порядка 0,001 Å.

Будем теперь считать, что зависимость 𝑘_ν от частоты определяется только тепловым движением атомов. В этом случае выражение для 𝑘_ν можно получить весьма легко. Если неподвижный атом поглощает фотоны с частотой ν₀, то движущийся атом поглощает фотоны с частотой ν=ν₀+ν₀𝑣_𝑥/𝑐, где 𝑣_𝑥 – проекция скорости атома на направление излучения (ось 𝑥). Мы примем, что распределение атомов по скоростям даётся формулой Максвелла, т.е. число атомов со скоростями от 𝑣_𝑥 до 𝑣_𝑥+𝑑𝑣_𝑥 равно

𝑑𝑛

~

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑀𝑣_𝑥²

2𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑣

_𝑥

,

(8.14)

где 𝑀 – масса атома. Очевидно, что вероятность поглощения фотонов с частотами от ν до ν+𝑑ν пропорциональна числу атомов со скоростями от 𝑣_𝑥 до 𝑣_𝑥+𝑑𝑣_𝑥. Поэтому для коэффициента поглощения имеем

𝑘

_ν

=

𝑘₀

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑀

2𝑘𝑇

⎧

⎪

⎩

ν-ν₀

ν₀

𝑐

⎫²

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

,

(8.15)

где 𝑘₀ – значение 𝑘_ν в центре линии.

Величину 𝑘₀ мы пока не знаем, однако во всех случаях, когда коэффициент поглощения в линии известен с точностью до постоянного множителя, этот множитель можно найти с помощью соотношения (8.12). Подставляя (8.15) в (8.12), получаем

𝑘₀

=

𝑐³

8π³^/²ν₀³𝑣

𝑔_𝑘

𝑔_𝑖

𝐴

_𝑘𝑖

.

(8.16)

Формулу (8.15) можно переписать в виде

𝑘

_ν

=

𝑘₀

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎧

⎪

⎩

ν-ν₀

Δν_𝐷

⎫²

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

,

(8.17)

где Δν_𝐷=ν₀𝑣/𝑐 и 𝑣 – средняя тепловая скорость атома, равная 𝑣=√2𝑘𝑇/𝑀. Величина 2Δν_𝐷 называется доплеровской шириной спектральной линии. Выраженная в длинах волн доплеровская ширина оказывается порядка 0,1 Å (при средней скорости атома порядка 1 км/с). Следовательно, доплеровская ширина гораздо больше естественной ширины.

Легко получить, что при совместном действии затухания излучения и эффекта Доплера коэффициент поглощения равен

𝑘

_ν

=

𝑘₀

𝑎

π

+∞

∫

–∞

𝑒^-𝑦²𝑑𝑦

(𝑢+𝑦)²+𝑎²

,

(8.18)

где

𝑢

=

ν-ν₀

Δν_𝐷

,

𝑎

=

Δν_𝐸

Δν_𝐷

(8.19)

и 𝑘₀ даётся формулой (8.16).

Вводя обозначение 𝑘_ν/𝑘₀=𝐻(𝑢,𝑎), мы имеем

𝐻(𝑢,𝑎)

=

𝑎

π

+∞

∫

–∞

𝑒^-𝑦²𝑑𝑦

(𝑢+𝑦)²+𝑎²

.

(8.20)

Функция 𝐻(𝑢,𝑎) играет очень большую роль в теории линейчатых спектров звёзд и поэтому подробно изучалась и табулировалась.

Вследствие того, что величина 𝑎 обычно очень мала, удобно разложить функцию 𝐻(𝑢,𝑎) в ряд по степеням 𝑎, т.е. представить в виде

𝐻(𝑢,𝑎)

=

𝐻₀(𝑢)

+

𝑎𝐻₁(𝑢)

+

𝑎²𝐻₂(𝑢)

+ …

(8.21)

Оказывается, что

𝐻₀(𝑢)

=

𝑒

^-𝑢²

,

(8.22)

𝐻₁(𝑢)

=-

2

√π

⎡

⎢

⎣

1

–

2𝑢

𝑒

^-𝑢²

𝑢

∫

0

𝑒

^𝑡²

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(8.23)

и т.д. В табл. 6 приведены значения функций 𝐻₀(𝑢), 𝐻₁(𝑢) и 𝐻₂(𝑢) для некоторых значений 𝑢. Подробные таблицы функций 𝐻_𝑖(𝑢) даны Гаррисом [2].

Таблица 6

Значения функций 𝐻₀(𝑢), 𝐻₁(𝑢) и 𝐻₂(𝑢)

𝑢

𝐻₀(𝑢)

𝐻₁(𝑢)

𝐻₂(𝑢)

0

1,0000

-1,1284

+1,0000

0,2

0,9608

–1,0405

+0,8839

0,4

0,2521

–0,8035

+0,5795

0,6

0,6977

–0,4855

+0,1953

0,8

0,5273

–0,1672

–0,1476

1,0

0,3679

+0,0859

–0,3679

1,2

0,2369

+0,2454

–0,4454

1,4

0,1409

+0,3139

–0,4113

1,6

0,0773

+0,3157

–0,3185

1,8

0,0392

+0,2803

–0,2146

2,0

0,0183

+0,2317

–0,1282

2,2

0,0079

+0,1849

–0,0686

2,4

0,0032

+0,1461

–0,0332

2,6

0,0012

+0,1165

–0,0245

2,8

0,0004

+0,0947

–0,0058

3,0

0,0001

+0,0786

–0,0021

Приближённо при 𝑎≪1 в центральных частях линии коэффициент поглощения равен

𝑘

_ν

=

𝑘₀

𝑒

^-𝑢²

.

(8.24)

Для далёких же от центра частей линии из формулы (8.18) находим

𝑘

_ν

=

𝑘₀

𝑎

√π

1

𝑢²

(8.25)

Переходная область между областями применения формул (8.24) и (8.25) находится из того условия, что в ней значения 𝑘_ν, даваемые этими формулами, одного порядка.

Легко видеть, что формула (8.24) совпадает с (8.17), а формула (8.25) – с (8.13) (если пренебречь в последней Γ_𝑖𝑘/4π по сравнению с |ν-ν₀|). Следовательно, вблизи центра линии коэффициент поглощения определяется эффектом Доплера, а вдали от него – затуханием излучения.

3. Эффекты давления.

При получении формулы (8.18) были приняты во внимание только естественная размытость энергетических уровней атома и участие атома в тепловом движении. Однако на вид функции 𝑘_ν также сильно влияет присутствие посторонних частиц. Это влияние мы будем называть эффектами давления (так как чем больше давление, тем сильнее это влияние).

Самой простой формой эффектов давления является столкновение атома с посторонней частицей, при котором энергия возбуждения атома передаётся частице (удар второго рода). Из-за таких столкновений среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии будет меньше, чем определённое по формуле (8.9), а размытость энергетического уровня – соответственно больше. Последнее следует из принципа неопределённостей Гейзенберга, согласно которому Δ𝐸Δ𝑡≃ℎ. При учёте столкновений для средней продолжительности жизни атома в возбуждённом состоянии вместо формулы (8.9) имеем

𝑡

_𝑘

=

1

γ_𝑘+γ_𝑐

.

(8.26)

где γ_𝑐 – число столкновений за 1 с, рассчитанное на один возбуждённый атом.

Коэффициент поглощения при учёте столкновений будет опять определяться формулой (8.18), в которой под 𝑎 следует понимать величину

𝑎

=

Δν_𝐸+Δν_𝑐

Δν_𝐷

,

(8.27)

где Δν_𝑐 – полуширина, определяемая столкновениями (т.е. соответствующая величине γ_𝑐).

Однако на коэффициент поглощения влияют не только удары второго рода. Гораздо большее влияние на него оказывают прохождения посторонних частиц около атома. При таких прохождениях меняется силовое поле вблизи атома, вследствие чего происходит смещение энергетических уровней. Очевидно, что смещение уровней данного атома меняется с течением времени, а для определённого момента времени уровни разных атомов смещены на неодинаковую величину. Поэтому указанный эффект вызывает расширение спектральных линий.

Задача об определении коэффициента поглощения при учёте прохождения посторонних частиц около атома весьма сложна (см. [3]). При её решении необходимо принимать во внимание как различия в типах атомов (нейтральные и ионизованные), так и различия в типах посторонних частиц (свободные электроны, ионы, нейтральные атомы, молекулы). Обычно принимается, что если посторонняя частица находится на расстоянии 𝑟 от атома, то происходит смещение частоты линии на величину

Δ

_ν

=

𝐶_𝑘

𝑟^𝑘

,

(8.28)

где 𝑘 и 𝐶_𝑘 – некоторые постоянные, различные для разных случаев. При прохождении около атома заряженной частицы 𝑘=2 или 𝑘=4 (соответственно линейный и квадратичный эффект Штарка). Если рассматриваемые атомы встречаются с подобными им атомами, то 𝑘=3 (эффект собственного давления). При встречах атомов с атомами других элементов или с молекулами 𝑘=6 (эффект сил ван-дер-Ваальса). Постоянная 𝐶_𝑘 для каждого случая определяется из теоретических соображений или экспериментально.

Для нахождения коэффициента поглощения при заданном законе взаимодействия между атомами и посторонними частицами были разработаны два метода. Первый из них состоит в рассмотрении отдельных сближений атомов с частицами и в последующем суммировании результатов сближений (метод дискретных встреч). Второй метод основан на определении вероятности напряжённости поля при случайном расположении возмущающих частиц, которые считаются неподвижными (статистическая теория).

При использовании первого метода атом обычно заменяется классическим осциллятором и считается, что каждая встреча атома с частицей ведёт к изменению фазы колебания. Вычисление изменения фазы производится для встреч с произвольными прицельными расстояниями при учёте формулы (8.28). Разложение в ряд Фурье колебания с внезапно изменившейся фазой приводит к выражению для коэффициента поглощения, аналогичному выражению (8.13). При дополнительном учёте теплового движения атомов для коэффициента поглощения получается формула (8.18), в которой величина 𝑎 даётся формулой (8.27), а Δν_𝑐=γ_𝑐/4π. Вычисление величины γ_𝑐 с указанным способом для разных случаев привело к следующим результатам:

γ

_𝑐

=

4π³

𝐶₃

𝑛

(при

𝑘=3

),

(8.29)

γ

_𝑐

=

38,8

𝐶₄²

𝑣¹

^/

³

𝑛

(при

𝑘=4

),

(8.30)

γ

_𝑐

=

17,0

𝐶₆²

^/

⁵

𝑣³

^/

⁵

𝑛

(при

𝑘=6

).

(8.31)

В этих формулах 𝑣 – средняя относительная скорость атома и возмущающей частицы, а 𝑛 – число частиц в 1 см³.

Таким образом, в принятой приближённой теории близкие прохождения возмущающих частиц около атома влияют на коэффициент поглощения так же, как удары второго рода. Вместе с тем это влияние аналогично влиянию затухания излучения. Поэтому величина γ_𝑐 обычно называется постоянной затухания вследствие столкновений.

Статистическая теория является очень простой, если считать, что возмущение вызывается только ближайшей к атому частицей. Приближённо так считать можно потому, что возмущения далёких частиц в какой-то мере компенсируют друг друга. Обозначим через 𝑊₁(𝑟)𝑑𝑟 вероятность того, что ближайшая частица находится на расстоянии от 𝑟 до 𝑟+𝑑𝑟 от атома. Как легко показать,

𝑊₁(𝑟)

𝑑𝑟

=

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑟

𝑟₀

⎞³

⎟

⎠

𝑑

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑟₀

⎞³

⎟

⎠

,

(8.32)

где 𝑟₀ – среднее расстояние между частицами, определённое соотношением

4

3

π

𝑟₀³

𝑛

=

1.

(8.33)

От вероятности 𝑊₁(𝑟)𝑑𝑟 при помощи формулы (8.28) мы можем перейти к вероятности различных смещений по частоте. Поскольку коэффициент поглощения 𝑘_ν пропорционален этой вероятности, то мы получаем

𝑘

_ν

≈

𝐶_𝑘^3/𝑘𝑛

(Δν)^{(3+𝑘)/𝑘}

exp

⎛

⎜

⎝

–

4

3

π𝑛

⎧

⎪

⎩

𝐶_𝑘

Δν

⎫3/𝑘

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

.

(8.34)

Очевидно, что формулу (8.34) при малых значениях Δν нельзя считать правильной, так как малые возмущения вызываются в основном далёкими частицами. Однако большие возмущения производятся в основном ближайшей частицей. Поэтому формулой (8.34) можно пользоваться при больших значениях Δν. В данном случае, заменяя в формуле (8.34) экспоненциальный множитель единицей (это возможно, когда 𝑟≪𝑟₀), находим

𝑘

_ν

≈

𝐶_𝑘^3/𝑘𝑛

(ν-ν₀)^{(3+𝑘)/𝑘}

.

(8.35)

Формулой (8.35) даётся асимптотическое выражение для коэффициента поглощения в крыльях линии.

Разумеется, обе рассматриваемые теории, если бы они были точными, давали бы одинаковые результаты. Однако в обеих теориях сделаны упрощающие предположения, вследствие чего каждая из них имеет свою область применимости. Исследование этого вопроса показало, что метод дискретных встреч даёт правильные результаты для центральных частей линии, а статистический метод – для внешних. Иными словами, в центральных частях линии коэффициент поглощения определяется формулой (8.18) с соответствующими значениями 𝑎 и γ_𝑐, а во внешних частях линии – формулой (8.35) (которая, как уже было сказано, только для этих частей и справедлива).

Граница между областями применимости приведённых выше выражений для 𝑘_ν зависит как от типа взаимодействия между атомами и возмущающими частицами, так и от физических условий в звёздной атмосфере (оказывается, что эта граница тем дальше от центра линии, чем больше концентрация возмущающих частиц и чем меньше средняя относительная скорость частицы и атома).

В звёздных атмосферах присутствуют возмущающие частицы разных сортов, и все они как-то влияют на коэффициент поглощения в данной линии. Обычно основное влияние в центральных частях линии оказывают частицы одного рода, а во внешних частях – другого рода. Однако при изменении глубины в атмосфере относительная роль разных частиц меняется. Разумеется, происходит изменение относительной роли частиц и при переходе к другим линиям и к атмосферам других типов. Поэтому правильный учёт влияния посторонних частиц (т.е. эффектов давления) на коэффициент поглощения в спектральной линии является довольно трудным делом.

4. Эффект Штарка.

Особенно большое влияние на коэффициент поглощения оказывает присутствие заряженных частиц (ионов и свободных электронов) около поглощающих атомов. В электрическом поле, создаваемом этими частицами, происходит смещение энергетических уровней атома, т.е. действует эффект Штарка. Очевидно, что смещение уровней у разных атомов в данный момент различно, вследствие чего спектральная линия расширяется. Как известно, различают линейный и квадратичный эффект Штарка. В первом случае смещение уровней пропорционально первой степени напряжённости поля, во втором – её квадрату. Соответственно этому, в формуле (8.28), определяющей смещение уровней, 𝑘=2 и 𝑘=4 (так как напряжённость поля пропорциональна 𝑟⁻²).

Мы сейчас рассмотрим (более подробно, чем выше) линейный эффект Штарка, который действует на уровни водорода и высокие уровни гелия. Сначала допустим, что возмущающими частицами являются ионы. Так как тепловые скорости ионов сравнительно невелики, то в этом случае можно применить статистическую (или, как её иногда называют, статическую) теорию.

Выше было получено выражение для 𝑘_ν при допущении, что возмущение вызывается лишь ближайшей к атому частицей. Теперь мы примем во внимание все частицы, которые будем считать случайно расположенными в пространстве.

Пусть 𝐹 – напряжённость поля, создаваемого частицей, находящейся на расстоянии 𝑟 от атома, т.е.

𝐹

=

𝑒

𝑟²

,

(8.36)

и 𝐹₀ – «средняя» напряжённость поля, соответствующая значению 𝑟₀, определённому формулой (8.33), т.е.

𝐹₀

=

𝑒

𝑟₀²

=

⎛

⎜

⎝

4π

3

⎞²^/³

⎟

⎠

𝑒𝑛²

^/

³

=

2,60

𝑒𝑛²

^/

³

.

(8.37)

Обозначим через β величину 𝐹/𝐹₀ и через 𝑊(β)𝑑β – вероятность того, что эта величина заключена в интервале от β до β+𝑑β.

Функция 𝑊(β) при учёте действия всех частиц была впервые найдена Хольцмарком. Она даётся формулой

𝑊(β)

=

2

πβ

∞

∫

0

𝑥sin 𝑥

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎧

⎪

⎩

𝑥

β

⎫³^/²

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

.

(8.38)

При β≫1 из (8.38) получаем

𝑊(β)

=

1,496β⁻⁵

^/

²

×

×

(

1

+

5,106β⁻³

^/

²

+

14,43β⁻³

+…

),

(8.39)

а при β≪1

𝑊(β)

=

4

3π

β²

(

1

–

0,4628β²

+

0,1227β⁴

+…

).

(8.40)

Значения функции Хольцмарка приведены в табл. 7.

Таблица 7

Функция Хольцмарка

β

𝑊(β)

β

𝑊(β)

β

𝑊(β)

0

0

3,0

0,176

6,0

0,0242

0,2

0,017

3,2

0,150

6,2

0,0219

0,4

0,063

3,4

0,128

6,4

0,0199

0,6

0,130

3,6

0,111

6,6

0,0181

0,8

0,203

3,8

0,098

6,8

0,0166

1,0

0,271

4,0

0,086

7,0

0,0153

1,2

0,324

4,2

0,075

7,5

0,0125

1,4

0,356

4,4

0,065

8,0

0,0104

1,6

0,367

4,6

0,0573

8,5

0,0087

1,8

0,360

4,8

0,0494

9,0

0,0075

2,0

0,339

5,0

0,0431

10,0

0,0056

2,2

0,310

5,2

0,0379

15,0

0,00188

2,4

0,275

5,4

0,0336

20,0

0,00089

2,6

0,238

5,6

0,0299

25,0

0,00050

2,8

0,206

5,8

0,0268

30,0

0,00031

Если бы мы приняли во внимание только действие ближайшей частицы, то, пользуясь формулой (8.32) и тем, что β=(𝑟₀/𝑟)², получили бы

𝑊(β)

=

3

2

exp

⎛

⎝

–β⁻³

^/

²

⎞

⎠

β⁻⁵

^/

²

.

(8.41)

При β≫1 формула (8.41) даёт почти такие же значения 𝑊(β), как и формула (8.38). Объясняется это тем, что большие напряжённости поля создаются в основном ближайшей частицей.

После определения функции 𝑊(β) можно без труда найти и коэффициент поглощения 𝑘_ν Очевидно, что величина β может быть представлена в виде β=(ν-ν₀)/(Δν)₀, где (Δν)₀ – смещение линии при напряжённости поля 𝐹₀. Поэтому вероятность поглощения фотонов с частотами от ν до ν+𝑑ν будет равна 𝑊[(ν-ν₀)/(Δν)₀]𝑑ν/(Δν)₀. Однако в действительности линия в электрическом поле расщепляется на ряд компонент. Обозначим через 𝐼_𝑗 относительную силу 𝑗-й компоненты и через 𝑏_𝑗 – смещение этой компоненты при единичной напряжённости поля (следовательно, (Δν)₀=𝑏_𝑗 𝐹₀). Тогда для коэффициента поглощения получаем

𝑘

_ν

∼

∑

𝐼_𝑗

𝑏_𝑗 𝐹₀

𝑊

⎛

⎜

⎝

ν-ν₀

𝑏_𝑗 𝐹₀

⎞

⎟

⎠

.

(8.42)

Как известно (см., например, [3]),

𝑏

_𝑗

=

3ℎ

8π²𝑚𝑒

𝑛

_𝑗

,

(8.43)

где 𝑚 и 𝑒 – масса и заряд электрона, 𝑛_𝑗 – целое число, зависящее от начального и конечного уровней.

Чтобы полностью определить 𝑘_ν, воспользуемся, как обычно в таких случаях, формулой (8.11). В результате находим

𝑘

_ν

=

ℎν₀

𝑐

𝐵

_𝑖𝑘

∑

𝐼_𝑗

𝑏_𝑗 𝐹₀

𝑊

⎛

⎜

⎝

ν-ν₀

𝑏_𝑗 𝐹₀

⎞

⎟

⎠

.

(8.44)

Наибольший интерес представляет поведение коэффициента поглощения в далёких от центра частях линии. В этом случае, беря для 𝑊(β) только первый член в формуле (8.39), имеем

𝑘

_ν

=

ℎν₀

𝑐

𝐵

_𝑖𝑘

1,496𝐹₀³^/²

(ν-ν₀)⁵^/²

∑

𝐼

_𝑗

𝑏

_𝑗

³

^/

²

.

(8.45)

Эта формула, как и должно быть, находится в полном соответствии с формулой (8.35) при 𝑘=2.

Перейдём в формуле (8.45) от частоты ν к длине волны λ и запишем её в виде

𝑘

_λ

=

𝐶

𝐹₀³^/²

(λ-λ₀)⁵^/²

,

(8.46)

где 𝐶 – постоянная, различная для разных линий. В случае бальмеровских линий вычисления дали, что постоянная 𝐶 равна 3,13⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_α, 0,885⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_β, 0,442⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_γ и 0,309⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_δ, причём λ-λ₀ выражено в ангстремах.

Следует подчеркнуть, что входящая в формулу (8.46) величина 𝐹₀ представляет собой «среднюю» напряжённость поля, обусловленную ионами. Подставляя (8.37) в (8.46), находим

𝑘

_λ

=

4π

3

𝐶

𝑒³^/²𝑛

(λ-λ₀)⁵^/²

,

(8.47)

где 𝑛 – число ионов в 1 см³. Мы видим, что в крыльях водородных линий коэффициент поглощения тем больше, чем больше концентрация ионов. Поэтому можно ожидать широких водородных линий поглощения в спектрах звёзд с большими плотностями в атмосферах (особенно в спектрах белых карликов).