Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 35 страниц)

Назад к карточке книги

5. Спорадическое радиоизлучение.

Солнце редко бывает спокойным в радиочастотах. Обычно на радиоизлучение спокойного Солнца накладывается возмущённое излучение, которое можно разделить на две составляющие. Первая из них меняется сравнительно медленно (в течение часов, дней и месяцев), вторая – очень быстро (в течение секунд и минут).

Медленно меняющаяся компонента возмущённого солнечного радиоизлучения наблюдается главным образом на сантиметровых и дециметровых волнах. Её интенсивность сравнима с интенсивностью излучения спокойного Солнца. Из наблюдений следует, что возникновение этой компоненты связано с образованием солнечных пятен (так как чем больше площадь пятен, тем интенсивнее радиоизлучение). Точнее говоря, источниками медленно меняющегося радиоизлучения Солнца являются области, находящиеся над пятнами и факелами. Об этом свидетельствует прямое сопоставление изображений Солнца в радиочастотах и в оптической области спектра. Локальные источники радиоизлучения вращаются вместе с Солнцем, и так как они расположены выше пятен, то восходят раньше, а заходят позже них. На этом основании можно определить высоты источников над фотосферой, которые оказываются порядка 0,05 𝑅_☉.

Наблюдения (в частности, выполненные во время затмений) дают возможность определить положение, размеры и яркостные температуры локальных радиоисточников. Из наблюдений также следует, что радиоизлучение локальных источников является поляризованным. Рассмотрение этих данных приводит к заключению, что медленно меняющееся возмущённое радиоизлучение Солнца возникает при свободно-свободных переходах электронов в поле ионов (тормозное излучение) и при движении электронов в магнитном поле по искривлённой траектории (магнитно-тормозное излучение).

Быстро меняющаяся компонента солнечного радиоизлучения наблюдается во всем радиодиапазоне (от миллиметровых до метровых волн). Она обнаруживается в виде всплесков радиоизлучения различной длительности и интенсивности. Некоторые всплески происходят в течение времени порядка 1 с с яркостной температурой, в несколько раз превосходящей яркостную температуру спокойного Солнца. Однако наблюдаются и гораздо более сильные всплески – продолжительностью в несколько минут с яркостной температурой 10⁸-10⁹, а иногда и 10¹² кельвинов.

Для объяснения всплесков радиоизлучения привлекаются различные механизмы нетеплового излучения (см. [8] и [10]). Один из них состоит в возбуждении плазменных колебаний потоком быстрых частиц. При этом образуются продольные плазменные волны, которые затем превращаются в поперечные электромагнитные волны. Частоты собственных колебаний плазмы определяются формулой (18.26). Из неё видно, что при электронных концентрациях, характерных для короны, возникают метровые волны, на которых как раз и наблюдаются сильные всплески радиоизлучения. Возможно, что причиной плазменных колебаний являются быстрые частицы, образующиеся при хромосферных вспышках. В пользу этой гипотезы говорит тот факт, что сильные всплески радиоизлучения обнаруживаются через несколько минут после максимумов хромосферных вспышек. При этом сначала наблюдаются всплески на более коротких волнах, а затем на все более и более длинных. Это можно объяснить перемещением быстрых частиц, вызывающих колебания плазмы, из более плотных областей короны в менее плотные. Всплески могут также возникать в результате движения через корону ударной волны, порождённой хромосферной вспышкой. В качестве другого возможного механизма всплесков радиоизлучения было указано тормозное излучение релятивистских электронов в магнитном поле, т.е. так называемое синхротронное излучение (о нём см. § 31). Так как всплески очень разнообразны, то можно думать, что они возникают под действием различных механизмов.

6. Сверхкорона Солнца.

Изучать солнечную корону можно не только по её радиоизлучению, но и по ослаблению короной излучения, идущего от источников, расположенных за ней. По счастливой случайности один из самых мощных галактических источников радиоизлучения, Крабовидная туманность, находится очень близко от эклиптики (приблизительно на расстоянии 4,5 угловых солнечных радиуса). Поэтому ежегодно происходит покрытие Крабовидной туманности внешними частями короны. Наблюдения этого явления, выполненные впервые В. В. Виткевичем, привели к обнаружению частей короны, удалённых от центра Солнца на несколько десятков его радиусов.

Внешние части короны (называемые обычно сверхкороной) производят ослабление излучения Крабовидной туманности вследствие рассеяния радиоволн на электронных неоднородностях. При прохождении луча через неоднородность происходит отклонение луча из-за различия в показателях преломления неоднородности и окружающей среды. Простые подсчёты дают возможность определить уменьшение интенсивности излучения, проходящего через корону на разных расстояниях от центра солнечного диска, в зависимости от числа неоднородностей, их размеров и электронной концентрации в них. Из сравнения теории с наблюдениями найдено, например, что в короне на расстоянии 20 солнечных радиусов линейные размеры неоднородностей составляют около 10¹⁰ см, и электронные концентрации в них – около 10³ см⁻³.

Наблюдения, подобные описанным выше наблюдениям Крабовидной туманности, были выполнены и для многих других радиоисточников. В результате получены сведения о свойствах сверхкороны на расстояниях от Солнца, доходящих до 100 его радиусов. Следует отметить, что сверхкорону можно также наблюдать в оптической области спектра во время солнечных затмений.

На основании наблюдаемого медленного падения плотности в короне с удалением от Солнца возникло представление о том, что межпланетная среда является не чем иным, как продолжением короны. Сначала определение свойств межпланетной среды на разных расстояниях от Солнца делалось путём расчёта модели статической короны. Затем Паркер [11] произвёл подробное гидродинамическое рассмотрение «расширяющейся короны», т.е. короны, состоящей из частиц, движущихся от Солнца. Это движение происходит с громадными скоростями (на больших расстояниях от Солнца – порядка сотен километров в секунду) и вызывает существование «солнечного ветра» в межпланетном пространстве. По-видимому, солнечный ветер оказывает значительное влияние на внешние части планетных атмосфер, хвосты комет и некоторые другие объекты в солнечной системе.

Запуск космических аппаратов даёт возможность непосредственно измерить характеристики межпланетной плазмы. В частности, при этом обнаружено, что радиальная скорость плазмы возрастает во время магнитных бурь. Результаты таких измерений в значительной мере подтверждают указанную выше теорию.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III

Амбарцумян В. А., Мустель Э. Р., Северный А. Б., Соболев В. В. Теоретическая астрофизика.—М.:Гостехиздат, 1952.

The Sun/Ed. G. Kuiper, Chicago: 1953 (русский перевод: Солнце.– М.: Изд-во иностр. лит., 1957).

Zirin Н. The Solar Atmosphere.– 1966 (русский перевод: 3ирин Г. Солнечная атмосфера.– М.: Мир, 1969).

Gibson Е. G. The Quiet Sun.– 1973 (русский перевод: Гибсон Э. Спокойное Солнце.– М.: Мир, 1977).

Thomas R. N., Athау R. G. Physics of the Solar Chromosphere.– New York: 1961 (русский перевод: Томас P., Атей Р. Физика солнечной хромосферы.– М.: Мир, 1965).

Иванов-Холодный Г. С., Никольский Г. М. Солнце и ионосфера.– М.: Наука, 1969.

Шкловский И. С. Физика солнечной короны.– М.: Физматгиз, 1962.

Железняков В. В. Радиоизлучение Солнца и планет.– М.: Наука, 1964.

Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Физматгиз, 1960.

Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Цытович В. Н. Физика плазмы солнечной атмосферы.– М.: Наука, 1977.

Parker Е. N. Interplanetary dynamical processes.– 1963 (русский перевод: Паркер Е. Н. Динамические процессы в межпланетной среде.– М.: Мир, 1965)

Глава IV АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ

Как известно, планеты светятся вследствие отражения ими солнечного излучения. В планетных атмосферах происходит сложный процесс многократного рассеяния света, в результате которого лучистая энергия частично испытывает истинное поглощение (т.е. переходит в другие формы энергии), а частично выходит из атмосферы наружу. По излучению, диффузно отражённому планетной атмосферой, мы можем судить об оптических свойствах атмосферы и о физической природе составляющих её частиц.

Атмосферы некоторых планет (например, Венеры и Юпитера) обладают очень большой оптической толщиной и сквозь атмосферу не видна поверхность планеты. Другие планеты (например, Марс) окружены атмосферами малой оптической толщины. В этом случае путём изучения свечения планеты можно получить сведения не только об атмосфере, но и о поверхности планеты.

В настоящей главе в основном излагается теория многократного рассеяния света в планетных атмосферах вместе с её применениями к отдельным планетам. При этом используются результаты фотометрических и спектроскопических наблюдений планет. Более подробно упомянутая теория изложена в специальных работах [1]—[3].

В последнее время были получены весьма ценные сведения о планетах при наблюдении с помощью космических аппаратов. Большой интерес представляют также результаты исследования радиоизлучения планет. Об этих результатах будет кратко сказано в конце главы.

§ 19. Рассеяние света в планетных атмосферах

1. Основные уравнения.

Вследствие малости толщины атмосферы по сравнению с радиусом планеты приближённо можно считать, что атмосфера состоит из плоскопараллельных слоёв. Вместе с тем можно принять, что атмосфера освещена параллельными солнечными лучами. Угол падения солнечных лучей на атмосферу в данном месте мы обозначим через θ₀, а освещённость перпендикулярной к ним площадки – через 𝑛𝐹. Наша задача будет состоять в нахождении интенсивности излучения, выходящего из атмосферы в разных направлениях после процесса многократного рассеяния в ней.

Для решения поставленной задачи мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения. Как было показано в § 1, в случае плоскопараллельных слоёв это уравнение имеет вид

cos

𝑑𝐼

𝑑𝑧

α𝐼

(19.1)

где 𝐼 – интенсивность излучения, α – коэффициент поглощения, ε – коэффициент излучения, 𝑧 – высота над поверхностью планеты, θ – угол между направлением излучения и нормалью к атмосферным слоям (рис. 24). Величины 𝐼, α и ε зависят от частоты излучения, но для упрощения записи индекс ν мы опускаем.

Рис. 24

Входящая в уравнение (19.1) величина ε обусловлена рассеянием света, происходящим в элементарном объёме. Мы будем считать, что из общего количества лучистой энергии, поглощённой в этом объёме, рассеивается им доля λ. В таком случае величина λα будет представлять собой коэффициент рассеяния, а величина (1-λ)α – коэффициент истинного поглощения. Вообще говоря, вероятность рассеяния излучения в разные стороны неодинакова. Мы обозначим через 𝑥(γ)𝑑ω/4π вероятность рассеяния излучения в направлении, образующем угол γ с направлением падающего на объём излучения, внутри телесного угла 𝑑ω. Величина 𝑥(γ) называется индикатрисой рассеяния. Если рассеяние излучения происходит с одинаковой вероятностью во все стороны, то 𝑥(γ)=1. Индикатриса рассеяния в этом случае называется сферической.

Чтобы получить выражение для величины ε, рассмотрим элементарный объём с единичной площадью основания и толщиной 𝑑𝑧, находящийся на высоте 𝑧. Этот объём освещён как излучением, приходящим непосредственно от Солнца, так и излучением, рассеянным атмосферой. Обозначим через τ оптическую глубину данного объёма, т.е. положим

∞

∫

𝑧

α(𝑧)

𝑑𝑧

(19.2)

Тогда количество энергии, падающее на объём непосредственно от Солнца, будет равно π𝐹 exp(-τ sec θ₀)cos θ₀. Из этого количества энергии поглощается объёмом доля α 𝑑𝑧 θ₀, а из неё рассеивается им под углом γ к направлению солнечного излучения в телесном угле 𝑑ω доля λ𝑥(γ) 𝑑ω/4π. Поэтому для коэффициента излучения, обусловленного рассеянием первого порядка, находим

ε₁

α𝐹

𝑥(γ)

exp

⎛

⎝

–τ

sec θ₀

⎞

⎠

(19.3)

К выражению (19.3) надо добавить ещё член, происходящий от рассеяний высших порядков. В результате для полного коэффициента излучения получаем

λα

∫

𝐼𝑥(γ')

𝑑ω'

4π

α𝐹

𝑥(γ)

exp

⎛

⎝

–τ

sec θ₀

⎞

⎠

(19.4)

где интегрирование производится по всем направлениям падающего на объём излучения и γ' есть угол между каким-либо из этих направлений и направлением излучения, рассеянного объёмом.

В уравнениях (19.1) и (19.4) вместо коэффициента излучения ε введём величину 𝑆 посредством соотношения

α𝑆

(19.5)

При произвольной индикатрисе рассеяния величины 𝑆 и 𝐼 зависят от оптической глубины τ зенитного расстояния θ и азимута φ. Поэтому вместо уравнений (19.1) и (19.4) мы можем написать

cos θ

𝑑𝐼(τ,θ,φ)

𝑑τ

𝐼(τ,θ,φ)

–

𝑆(τ,θ,φ)

(19.6)

𝑆(τ,θ,φ)

4π

2π

∫

𝑑ψ'

∫

𝑥(γ')

𝐼(τ,θ',φ')

sin θ'

𝑑θ'

𝐹

𝑥(γ)

exp

⎛

⎝

–τ

sec θ₀

⎞

⎠

(19.7)

где

cos γ'

cos θ

cos θ'

sin θ

sin θ'

cos(φ-φ')

⎫

⎬

⎭

cos γ

cos θ

cos θ₀

sin θ

sin θ₀

cos φ

(19.8)

а азимут направления солнечных лучей принят равным нулю.

Таким образом, задача о рассеянии света в планетной атмосфере сводится к решению уравнений (19.6) и (19.7). К этим уравнениям следует присоединить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (т.е. при τ=0) должно выражать тот факт, что нет диффузного излучения, падающего на атмосферу извне. Условие на нижней границе (т.е. при τ=τ₀) должно учитывать отражение излучения поверхностью планеты.

Решая приведённые уравнения, можно найти интенсивности излучения, выходящего из атмосферы. Сравнение теоретических и наблюдённых значений этих интенсивностей позволяет сделать заключения об оптических свойствах атмосферы, т.е. о величинах τ₀, λ, и 𝑥(γ).

В свою очередь по оптическим свойствам атмосферы можно судить о природе частиц, которые её составляют. Для этого используется теория рассеяния света на отдельных частицах (см., например, [4]). Эта теория, разработанная особенно подробно для шаровых частиц, определяет коэффициент поглощения α, альбедо частицы λ и индикатрису рассеяния 𝑥(γ) в зависимости от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и от показателя преломления вещества частицы.

Заметим, что в случае рассеяния света молекулами индикатриса рассеяния определяется формулой Рэлея

𝑥(γ)

(1+cos²γ)

(19.9)

Если же рассеяние света производится частицами, радиусы которых сравнимы с длиной волны излучения, то индикатриса рассеяния обычно оказывается сильно вытянутой вперёд.

2. Полубесконечная атмосфера.

Как уже сказано, атмосферы некоторых планет обладают оптической толщиной, превосходящей по порядку единицу. В этом случае при определении интенсивности излучения, диффузно отражённого атмосферой, приближённо можно считать τ₀=∞.

Сначала мы допустим, что в атмосфере происходит изотропное рассеяние света, т.е. 𝑥(γ)=1. Тогда величина 𝑆 будет функцией только от τ, а интенсивность излучения 𝐼 – функцией только от τ и θ. Поэтому уравнения (19.6) и (19.7) можно переписать в виде

𝑑𝐼(τ,μ,μ₀)

𝑑τ

𝐼(τ,μ,μ₀)

–

𝑆(τ,μ₀)

(19.10)

𝑆(τ,μ₀)

∫

–1

𝐼(τ,μ,μ₀)

𝑑μ

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(19.11)

где обозначено cos θ=μ, cos θ₀=μ₀ и подчёркнута зависимость величин 𝐼 и 𝑆 от параметра μ₀.

Из уравнений (19.10) и (19.11) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀). Поступая так же, как при выводе уравнения (2.48), находим

𝑆(τ,μ₀)

∞

∫

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(19.12)

где 𝐸₁ – первая интегральная показательная функция.

Если функция 𝑆(τ,μ₀) известна, то может быть легко определена и интенсивность излучения, выходящего из атмосферы, т.е. величина 𝐼(0,μ,μ₀). Полагая

𝐼(0,μ,μ₀)

𝐹ρ(μ,μ₀)

μ₀

(19.13)

имеем

ρ(μ,μ₀)

𝐹

∞

∫

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μμ₀

(19.14)

Величина ρ(μ,μ₀) называется коэффициентом яркости или коэффициентом отражения атмосферы.

Интегральное уравнение (19.12) относится к уравнениям типа (3.1), подробно рассмотренным в § 3. В данном случае ядро уравнения (3.1) даётся формулой (3.17), в которой 𝐴(𝑥)=λ/2𝑥, 𝑎=1, 𝑏=∞, а свободный член имеет вид

𝑔(τ)

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

Пользуясь соотношениями (3.19) и (3.20), мы получаем для коэффициента яркости выражение

ρ(μ,μ₀)

φ(μ) φ(μ₀)

μ-μ₀

(19.15)

в котором функция φ(μ) определяется уравнением

φ(μ)

μφ(μ)

∫

φ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

(19.16)

Как мы помним, функция φ(μ) уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции φ(μ) при разных значениях параметра λ приведены на стр. 119.

Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно также получить без использования этого уравнения, а именно – при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).

При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния

𝑥(γ)

𝑥₁cos γ

(19.17)

где 𝑥₁ – некоторый параметр.

В данном случае коэффициент яркости определяется формулой

ρ(μ,μ₀,φ)

ρ₀(μ,μ₀)

ρ₁(μ,μ₀)

cos φ

(19.18)

а величины ρ₀(μ,μ₀) и ρ₁(μ,μ₀) имеют следующую структуру:

ρ₀(μ,μ₀)

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)

μ+μ₀

(19.19)

ρ₁(μ,μ₀)

𝑥₁

φ₁¹(μ) φ₁¹(μ₀)

μ+μ₀

(19.20)

В свою очередь вспомогательные функции φ₀⁰(μ) и φ₁⁰(μ) определяются из системы уравнений

φ₀⁰(μ)

∫

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')

μ-μ'

𝑑μ'

(19.21)

φ₁⁰(μ)

–

∫

φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ')-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ')

μ-μ'

𝑑μ'

(19.22)

а вспомогательная функция φ₁¹(μ) – из уравнения

φ₁¹(μ)

√

1-μ²

𝑥₁μ

φ₁¹(μ)

∫

φ₁¹(μ')

μ+μ'

√

1-μ'²

𝑑μ'

(19.23)

Функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) – (19.20) не составляет труда.

При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения ρ(μ,μ₀,φ) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.

3. Атмосфера конечной оптической толщины.

Рассмотрим теперь рассеяние света в атмосфере произвольной оптической толщины τ₀. Считая для простоты, что индикатриса рассеяния является сферической, получаем следующее уравнение для определения функции 𝑆(τ,μ₀):

𝑆(τ,μ₀)

τ₀

∫

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(19.24)

Здесь мы пока пренебрегли отражением света поверхностью планеты.

Наша задача состоит в определении интенсивностей излучения, диффузно отражённого и диффузно пропущенного атмосферой. Вместо них мы будем искать соответствующие им коэффициенты яркости (или коэффициенты отражения и пропускания) ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀), выражающиеся через функцию 𝑆(τ,μ₀) при помощи формул

𝐹ρ(μ,μ₀)

μ₀

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

(19.25)

𝐹σ(μ,μ₀)

μ₀

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀-τ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

(19.26)

Однако для нахождения величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) нет необходимости в предварительном определении функции 𝑆(τ,μ₀) Как и в случае τ₀=∞, можно получить уравнения, непосредственно определяющие коэффициенты яркости. Для этого поступим следующим образом.

Перепишем уравнения (19.24) в виде

𝑆(τ,μ₀)

∫

𝐸₁(τ-𝑡)

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

τ₀

∫

𝐸₁(𝑡-τ)

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(19.27)

Положив τ-𝑡=𝑥 в первом интеграле и 𝑡-τ=𝑥 во втором, получаем

𝑆(τ,μ₀)

∫

𝐸₁𝑥

𝑆(τ-𝑥,μ₀)

𝑑𝑥

τ₀-τ

∫

𝐸₁𝑥

𝑆(τ+𝑥,μ₀)

𝑑𝑥

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(19.28)

Дифференцируя это уравнение по τ, находим

𝑆'(τ,μ₀)

τ₀

∫

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆'(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

–

λ𝐹

4μ₀

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

𝑆(0,μ₀)

𝐸₁τ

–

𝑆(τ₀,μ₀)

𝐸₁(τ₀-τ)

(19.29)

Сравнивая между собой уравнения (19.24) и (19.29), мы видим, что они имеют одинаковые ядра и отличаются друг от друга лишь свободными членами. Но так как функция 𝐸₁τ определяется формулой

𝐸₁τ

∫

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

(19.30)

то свободный член уравнения (19.29) представляет собой суперпозицию свободных членов уравнения (19.24). Поэтому вследствие линейности рассматриваемых уравнений имеем

𝑆'(τ,μ₀)

μ₀

𝑆(τ,μ₀)

𝐹

𝑆(0,μ₀)

∫

𝑆(τ,μ')

𝑑μ'

μ'

–

𝐹

𝑆(τ₀,μ₀)

∫

𝑆(τ₀-τ,μ')

𝑑μ'

μ'

(19.31)

Соотношение (19.31) и даёт нам возможность получить уравнения, определяющие величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). Умножая это соотношение на

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

интегрируя по τ в пределах от нуля до τ₀ и учитывая формулы (19.25) и (19.26), находим

𝐹

ρ(μ,μ₀)

(μ+μ₀)

𝑆(0,μ₀)

φ(μ)

–

𝑆(τ₀,μ₀)

ψ(μ)

(19.32)

где обозначено

φ(μ)

2μ

∫

ρ(μ,μ')

𝑑μ'

(19.33)

ψ(μ)

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

2μ

∫

σ(μ,μ')

𝑑μ'

(19.34)

После умножения соотношения (19.31) на

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀-τ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

и интегрирования аналогично получаем

𝐹

σ(μ,μ₀)

(μ-μ₀)

𝑆(0,μ₀)

ψ(μ)

–

𝑆(τ₀,μ₀)

φ(μ)

(19.35)

С другой стороны, из уравнения (19.24) вытекает

𝑆(0,μ₀)

τ₀

∫

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

∫

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

𝐹

∫

𝑑μ

τ₀

∫

𝑆(𝑡,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑡

𝐹

⎡

⎢

⎣

2μ₀

∫

ρ(μ,μ₀)

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

(19.36)

Из того же уравнения аналогично находим

𝑆(τ₀,μ₀)

𝐹

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

2μ₀

∫

σ(μ,μ₀)

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

(19.37)

Пользуясь симметричностью величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). относительно μ и μ₀ (которая будет доказана ниже) и обозначениями (19.33) и (19.34), получаем

𝑆(0,μ₀)

𝐹

φ(μ₀)

𝑆(τ₀,μ₀)

𝐹

ψ(μ₀)

(19.38)

Подстановка выражений (19.38) в формулы (19.32) и (19.35) даёт

ρ(μ,μ₀)

φ(μ)φ(μ₀)-ψ(μ)ψ(μ₀)

μ+μ₀

(19.39)

σ(μ,μ₀)

ψ(μ)φ(μ₀)+φ(μ)ψ(μ₀)

μ-μ₀

(19.40)

Подставляя же выражения (19.39) и (19.40) в формулы (19.33) и (19.34), находим

φ(μ)

∫

φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

(19.41)

ψ(μ)

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

∫

ψ(μ)φ(μ')-φ(μ)ψ(μ')

μ-μ'

𝑑μ'

(19.42)

Соотношения (19.39)—(19.42) являются искомыми. Формулы (19.39) и (19.40) определяют структуру коэффициентов яркости, а уравнения (19.41) и (19.42) служат для определения вспомогательных функций φ(μ) и ψ(μ).

При индикатрисе рассеяния произвольного вида коэффициенты яркости также выражаются через вспомогательные функции, зависящие только от одного аргумента, и эти функции определяются системами уравнений, похожими на уравнения (19.41) и (19.42) (см., например, [2]).

Нам ещё остаётся доказать симметричность коэффициентов яркости относительно углов падения и отражения (или пропускания). Для этого рассмотрим интегральное уравнение

𝑆(τ,μ₀)

τ₀

∫

𝐾(|τ-𝑡|)

𝑆(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

𝑔(τ,μ₀)

(19.43)

с произвольным ядром, зависящим от модуля разности двух аргументов, и с произвольным свободным членом, зависящим от параметра μ₀ Уравнение (19.24) является частным случаем уравнения (19.43).

Считая, что 𝑔(τ,μ) представляет собой свободный член уравнения (19.43), в котором μ₀ заменено на μ получаем

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

𝑔(τ,μ)

𝑑τ

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

⎡

⎢

⎣

𝑆(τ,μ)

–

τ₀

∫

𝐾(|τ-𝑡|)

𝑆(𝑡,μ)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑑τ

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

𝑆(τ,μ)

𝑑τ

–

τ₀

∫

𝑆(τ,μ)

𝑑𝑡

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

𝐾(|τ-𝑡|)

𝑑τ

(19.44)

Отсюда, обращаясь снова к уравнению (19.43), находим

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

𝑔(τ,μ)

𝑑τ

τ₀

∫

𝑆(τ,μ)

𝑔(τ,μ₀)

𝑑τ

(19.45)

Аналогично можно получить:

τ₀

∫

𝑆(τ,μ₀)

𝑔(τ₀-τ,μ)

𝑑τ

τ₀

∫

𝑆(τ,μ)

𝑔(τ₀-τ,μ₀)

𝑑τ

(19.46)

Полагая

𝑔(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

μ₀

⎞

⎟

⎠

и принимая во внимание формулы (19.25) и (19.26), из (19.45) и (19.46) имеем

ρ(μ,μ₀)

ρ(μ₀,μ)

σ(μ,μ₀)

σ(μ₀,μ)

(19.47)

Эти соотношения, которыми раньше мы уже пользовались, нам и требовалось доказать.

Соотношения (19.47) играют весьма важную роль в теории рассеяния света. С физической точки зрения они выражают «принцип обратимости» для оптических явлений. К планетным атмосферам впервые этот принцип применил Миннарт (см. [5]).

4. Отражение света поверхностью планеты.

Выше мы предполагали, что коэффициент отражения света поверхностью планеты равен нулю. Теперь примем во внимание эффект отражения, причём для простоты будем считать, что интенсивность отражённого света не зависит от направления (т.е. отражение является изотропным). Альбедо поверхности планеты обозначим через 𝐴. Индикатрису рассеяния света в планетной атмосфере, как и раньше, будем считать сферической.

В данном случае атмосфера освещена не только прямыми солнечными лучами сверху, но и диффузным излучением, идущим от поверхности планеты снизу. Отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения теперь мы обозначим через 𝑆(τ,μ₀) и вместо уравнения (19.24) получаем

𝑆

(τ,μ₀)

τ₀

∫

𝐸₁|τ-𝑡|

𝑆

(𝑡,μ₀)

𝑑𝑡

𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

𝐼

(μ₀)

∫

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀-τ

⎞

⎟

⎠

𝑑μ

(19.48)

где 𝐼(μ₀) – интенсивность излучения, отражённого поверхностью.

Нам надо найти коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) определяемые формулами

𝐹

(μ,μ₀)

μ₀

τ₀

∫

𝑆

(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

𝐼

(μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

(19.49)

𝐹

(μ,μ₀)

μ₀

τ₀

∫

𝑆

(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀-τ

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

(19.50)

Последний член формулы (19.49) учитывает излучение, отражённое поверхностью и прошедшее через атмосферу.

Входящая в уравнение величина 𝐼(μ₀) заранее также не является известной. Очевидно, что она зависит от искомой интенсивности излучения, падающего на поверхность, или от соответствующего коэффициента яркости σ(μ,μ₀). Чтобы найти указанную зависимость, надо прежде всего написать выражение для освещённости поверхности. Легко видеть, что освещённость прямыми солнечными лучами равна

π𝐹

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

μ₀

а освещённость диффузным излучением атмосферы равна

2π𝐹

μ₀

∫

(μ,μ₀)

𝑑μ

Умножая суммарную освещённость на альбедо поверхности 𝐴, мы получаем количество энергии, отражённое поверхностью. С другой стороны, это количество энергии равно π𝐼(μ₀). Поэтому имеем

𝐼

(μ₀)

𝐴𝐹

μ₀

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

∫

(μ,μ₀)

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

(19.51)

Для нахождения величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) сравним между собой уравнения (19.24) и (19.48). Из этого сравнения видно, что

𝑆

(τ,μ₀)

𝑆(τ,μ₀)

𝐹

𝐼

(μ₀)

∫

𝑆(τ₀-τ,μ')

𝑑μ'

(19.52)

Умножая (19.52) на

exp

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

интегрируя в пределах от нуля до τ₀ и пользуясь формулами (19.25), (19.26) и (19.49), получаем

(μ,μ₀)

ρ(μ,μ₀)

𝐼(μ₀)

𝐹(μ₀)

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

∫

σ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

⎤

⎥

⎦

(19.53)

Аналогично находим

(μ,μ₀)

σ(μ,μ₀)

𝐼(μ₀)

𝐹(μ₀)

∫

ρ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

(19.54)

Для определения величины 𝐼(μ₀) умножим (19.54) на 2μ 𝑑μ и проинтегрируем в пределах от нуля до 1. При помощи (19.51) это даёт

𝐼

(μ₀)

𝐴

1-𝐴𝐶

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

μ₀

⎞

⎟

⎠

∫

σ(μ,μ₀)

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

𝐹

μ₀

(19.55)

где обозначено

𝐶

∫

𝑑μ

∫

ρ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

(19.56)

Вводя также обозначения

𝑀(μ)

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ₀

⎞

⎟

⎠

∫

σ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

(19.57)

𝑁(μ)

∫

ρ(μ,μ')

μ'

𝑑μ'

(19.58)

и подставляя (19.55) в (19.53) и (19.54), получаем

(μ,μ₀)

ρ(μ,μ₀)

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑀(μ)

𝑀(μ₀)

(19.59)

(μ,μ₀)

σ(μ,μ₀)

𝐴

1-𝐴𝐶

𝑁(μ)

𝑀(μ₀)

(19.60)

Таким образом, мы пришли к формулам, посредством которых коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴≠0 выражаются через коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴=0.

Входящие в формулы (19.59) и (19.60) величины 𝑀(μ) и 𝑁(μ) можно выразить через те же вспомогательные функции φ(μ) и ψ(μ), через которые раньше были выражены величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). При помощи формул (19.39) и (19.40), а также уравнений (19.41) и (19.42), находим

𝑀(μ)

⎛

⎜

⎝

α₀

⎞

⎟

⎠

ψ(μ)

β₀

φ(μ)

(19.61)

𝑁(μ)

⎛

⎜

⎝

α₀

⎞

⎟

⎠

φ(μ)

–

β₀

ψ(μ)

(19.62)

где использованы обозначения

_𝑖

∫

φ(μ)

^𝑖

𝑑μ

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

_𝑖

∫

ψ(μ)

^𝑖

𝑑μ

(19.63)

т.е. α₀ и β₀ – нулевые моменты функций φ(μ) и ψ(μ).

Легко видеть, что величины 𝑁(μ₀) и 𝑁(μ₀) имеют простой физический смысл. Первая из них представляет собой отношение освещённости поверхности планеты к освещённости верхней границы атмосферы, а вторая – отношение освещённости верхней границы снизу к освещённости верхней границы сверху (при 𝐴=0).

5. Альбедо планеты.

Полученные выше формулы для интенсивности излучения, диффузно отражённого планетной атмосферой, позволяют легко определить альбедо планеты. Сначала мы найдём так называемое плоское альбедо, т.е. альбедо планеты в данном месте при определённом угле падения солнечных лучей на плоский слой, в виде которого представляется атмосфера. Очевидно, что поток излучения, выходящего из атмосферы, равен

2π

𝐹μ₀

∫

(μ,μ₀)

𝑑μ

а поток солнечного излучения, падающего на атмосферу, равен π𝐹μ₀. Поэтому плоское альбедо, являющееся отношением указанных потоков, равно

𝐴₁(μ₀)

∫

(μ,μ₀)

𝑑μ

(19.64)

Для вычисления величины 𝐴₁(μ₀) подставим в формулу (19.64) выражение (19.59). Учитывая при этом формулы (19.58) и (19.61), получаем

𝐴₁(μ₀)

𝑁(μ₀)

𝐴

1-𝐴𝐶

⎡

⎣

(2-λα₀)

β₁

β₀

α₁

⎤

⎦

𝑀(μ₀)

(19.65)

где, как и раньше, 𝐴 – альбедо поверхности планеты, а α₁ и β₁ – первые моменты функций φ(μ) и ψ(μ). Как видно из формул (19.56), (19.58) и (19.62), величина 𝐶 равна

𝐶

(2-λα₀)

α₁

–

β₀

β₁

(19.66)

Отметим, что входящие в приведённые формулы величины α₀ и β₀ связаны между собой простым соотношением. Чтобы получить его, проинтегрируем уравнение (19.41) по μ в пределах от нуля до 1. В результате находим

α₀

∫

𝑑μ

∫

φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')

μ+μ'

𝑑μ'

(19.67)

или, после замены

μ+μ'

μ'

μ+μ'

α₀

(α₀²+β₀²)

–

∫

𝑑μ

∫

φ(μ)φ(μ')-ψ(μ)ψ(μ')

μ+μ'

μ'

𝑑μ'

(19.68)

Из двух последних формул и вытекает искомое соотношение:

α₀

(α₀²+β₀²)

(19.69)

Рассмотрим два частных случая формулы (19.65), определяющей плоское альбедо.

1. Допустим, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀=∞). В этом случае функция φ(μ) определяется уравнением (19.16), а ψ(μ)=0. Поэтому формула (19.65) принимает вид

𝐴₁(μ₀)

⎛

⎜

⎝

α₀

⎞

⎟

⎠

φ(μ₀)

(19.70)

Но из соотношения (19.69) в данном случае (т.е. при β₀) находим

α₀