Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 29 (всего у книги 35 страниц)

Наш нынешний век начался самым счастливым образом для астрономии. Его первый день ознаменовался открытием планеты Цереры, сделанным Пиацци в Палермо, а вскоре за этим открытием последовало открытие ещё трёх планет – Паллады и Весты – Ольберсом и Юноны – Хардингом.

Глава V ОБ ОТКРЫТИИ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

После того как мы описали, с какими усилиями человеческий ум пришёл к открытию законов движения небесных тел, мне остаётся показать, как он поднялся до основного начала, из которого эти законы вытекают.

Декарт первый попытался свести причину этих движений к механике. Он придумал вихри из неуловимой материи, в центре которых он поместил Солнце и планеты. Вихри планет увлекают их спутников, а солнечный вихрь уносит планеты и спутники с их вихрями. Но движения комет, движущихся в разных направлениях, устранили все эти вихри точно так же, как они уничтожили небесную твердь и всю систему кругов, придуманных древними астрономами. Так, Декарт не оказался удачливее в небесной механике, чем Птолемей в астрономии. Но их работы в этой области вовсе не были бесполезными для науки. Птолемей передал нам прошедшие через четырнадцать веков невежества астрономические истины, найденные древними астрономами и дополненные им самим. Когда явился Декарт, движение, в которое пришли умы после изобретения книгопечатания, открытия Нового Света, создания системы Коперника, а также религиозных революций, пробудило в них жажду нового. Этот философ, заменивший старые заблуждения более новыми и заманчивыми и поддержанный авторитетом своих работ по геометрии, ниспроверг господство Аристотеля, которое другой, более благоразумный философ едва мог бы пошатнуть. Его «вихри», принятые сперва с энтузиазмом, поскольку они были основаны на движении Земли и планет вокруг Солнца, способствовали признанию этих движений. Но возведя сомнения во всех начинаниях в принцип, Декарт сам предписал подвергнуть его суждения суровому экзамену, и его астрономическая система вскоре была разрушена последующими открытиями, которые, соединившись с его собственными, с открытиями Кеплера и Галилея и с философскими идеями, проникшими тогда во все области, сделали его век, украшенный столькими шедеврами литературы и искусства, наиболее замечательной эпохой истории человеческого разума.

Познакомить нас с общим принципом небесных движений судьбой было предназначено Ньютону. Наградив его величайшей гениальностью, природа позаботилась ещё о том, чтобы он жил в самых благоприятных исторических условиях. Декарт преобразовал математические науки плодотворным применением алгебры к теории кривых и к переменным функциям. Ферма заложил основы анализа бесконечно малых своими прекрасными методами максимумов и касательных. Валлис, Рен и Гюйгенс только что нашли законы передачи движения. Учения Галилея о падении тел и Гюйгенса об эволютах и о центробежной силе – всё это приводило к теории движения тел по кривым. Кеплер определил те из них, которые описываются планетами, и предугадывал явление всемирного тяготения. Наконец, Гук очень хорошо видел, что движения планет являются результатом начальной силы движения в сочетании с притяжением Солнца. Таким образом, небесная механика для своего полного расцвета ожидала лишь гениального человека, который, сблизив и обобщив эти открытия, сумел бы вывести из них закон тяготения. И Ньютон выполнил это в своём сочинении «Математические начала натуральной философии».

Этот человек, столь знаменитый и имевший столько титулов, родился в Вулсгорпе в Англии в конце 1642 г., в год смерти Галилея. Уже первые его математические работы показали, чего он может достигнуть со временем. Беглого чтения учебников ему было достаточно, чтобы понять их содержание. Оп прошёл геометрию Декарта, оптику Кеплера и арифметику бесконечно малых Валлиса. Вскоре, занявшись новыми открытиями, он, не достигнув ещё 27 лет, был уже автором «Исчисления флюксий» и «Теории света». Дорожа своим покоем и опасаясь литературных споров, которых оп скорее мог бы избежать, не публикуя свои открытия, он не торопился с их изданием. Доктор Барроу, учеником и другом которого он был, отказался в его пользу от места профессора математики в Кембриджском университете. Именно в то время, когда Ньютон его занимал, он, уступая настояниям Королевского общества в Лондоне и побуждаемый Галлеем, опубликовал свои «Начала». Кембриджский университет, привилегии которого он ревностно отстаивал от нападок короля Якова II, избирал его своим представителем в парламент созыва 1688 и 1701 гг. Королём Вильгельмом он был назначен директором Монетного двора, а королева Анна присвоила ему рыцарское звание. В 1703 г. он был избран президентом Королевского общества и оставался им без перерыва до конца своих дней. Он пользовался самым глубоким уважением в течение всей своей долгой жизни. И после его смерти, наступившей в 1727 г., высшие круги его нации, которой он принёс славу, похоронили его с большими почестями.

В 1666 г. Ньютон, удалившись в сельскую местность, стал в первый раз. обдумывать систему мира. То обстоятельство, что сила тяжести на вершинах самых высоких гор почти такая же, как на поверхности Земли, навело его на мысль, что она простирается до самой Луны и, складываясь с поступательным движением этого спутника, заставляет его описывать эллиптическую орбиту вокруг Земли. Чтобы проверить это предположение, надо было знать закон уменьшения силы тяжести. Ньютон предположил, что если земная сила тяготения удерживает Луну на её орбите, планеты также должны удерживаться на орбитах своим тяготением, направленным к Солнцу, и доказал это, исходя из закона площадей, пропорциональных времени; а из постоянства отношения между квадратами времён обращения планет и кубами больших осей их орбит, найденного Кеплером, вытекает, что их центробежная сила и, следовательно, их стремление к Солнцу уменьшаются как квадраты их расстояний до центра этого светила. Ньютон предположил поэтому, что по такому же закону уменьшается и сила тяготения тела по мере его удаления от поверхности Земли.²⁰ Исходя из опытов Галилея с падением тяжёлых тел, он определил высоту, на которую Лупа, предоставленная самой себе, опустилась бы за короткий промежуток времени к Земле. Эта высота равна синусу-верзусу дуги, которую Луна описывает за это же время; этот синус-верзус определяется параллаксом Луны и выражается в долях земного радиуса. Так, чтобы сравнить наблюдение с законом силы тяжести, обратно пропорциональной квадрату расстояния, было необходимо знать величину этого радиуса. Но Ньютон, имея тогда лишь ошибочное измерение земного меридиана, пришёл к результату, отличавшемуся от ожидаемого, и, полагая, что ещё какие-то неизвестные силы присоединяются к тяготению Луны, отказался от своей идеи. Несколькими годами позже письмо доктора Гука побудило его вновь заняться поиском вида кривой, описываемой брошенным телом, движущимся вокруг центра Земли. В это время Пикар измерил во Франции градус меридиана. Из результатов этого измерения Ньютон узнал, что Луна удерживается на своей орбите одной только силой тяготения, предполагаемой обратно пропорциональной квадрату расстояний. По этому закону он нашёл, что траектория, описываемая падающими телами, представляется эллипсом, в фокусе которого находится Земля. Учтя затем результаты наблюдений Кеплера, считавшего, что орбиты планет также являются эллипсами, в фокусе которых помещается Солнце, оп с удовлетворением увидел, что решение, к которому он пришёл, ведомый любопытством, распространяется на величайшие объекты природы. Он изложил множество теорем, относящихся к эллиптическому движению планет; и когда доктор Галлей склонил его опубликовать их, он написал свой труд «Математические начала натуральной философии», который вышел в свет в конце 1687 г.²¹ Эти подробности, взятые нами у Памбертона, современника и друга Ньютона, подтвердившего их своим свидетельством, доказывают, что этот великий геометр ещё в 1666 г. нашёл основные теоремы о центробежной силе, которые Гюйгенс опубликовал лишь через шесть лет в конце своего сочинения «О маятниковых часах». В самом деле, очень вероятно, что автор метода флюксий [дифференциального исчисления], который, по-видимому, в то время уже владел этим методом, легко открыл эти теоремы.

Ньютон пришёл к закону всемирного тяготения с помощью отношения между квадратами времён обращения планет и кубами больших осей их орбит, предполагаемых круговыми. Он показал, что в общем случае это отношение имеет место и для эллиптических орбит и что оно указывает на одинаковую силу притяжения планет к Солнцу, если предположить одинаковыми их расстояния до его центра. Такое же равенство силы тяготения к главной планете существует во всех системах спутников, и Ньютон проверил это на земных телах с помощью очень многочисленных и точных опытов, из которых вытекало, что выделение газов, электричества, теплоты и химические реакции в смеси многих веществ, заключённых в закрытом сосуде, не изменяют вес системы ни во время, ни после смешивания.

Обобщив затем свои изыскания, этот великий геометр показал, что брошенное тело может двигаться по любому коническому сечению под влиянием силы, направленной к его фокусу и обратно пропорциональной квадратам расстояний. Он изучил различные свойства движений по таким кривым, определил условия, необходимые, чтобы такая кривая была окружностью, эллипсом, параболой или гиперболой, условия, зависящие только от скорости и исходного положения тела. Каковы бы ни были скорость, положение и начальное направление движения тела, Ньютон определил коническое сечение, которое может быть им описано и в котором оно, следовательно, должно двигаться. Это является ответом на упрёк, высказанный ему Иоганном Бернулли относительно того, что он не показал, что конические сечения – это единственные траектории, которые могут быть описаны телами, побуждаемыми к движению силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния. Изыскания Ньютона, приложенные к движению комет, показали, что эти светила движутся вокруг Солнца по тем же законам, что и планеты, с той единственной разницей, что их эллипсы очень сильно вытянуты, причём он дал способ определения элементов этих эллипсов из наблюдений.

Сравнение величин орбит спутников и продолжительности их обращений с теми же величинами, относящимися к планетам, познакомило его с массами и относительными плотностями Солнца и планет, сопровождаемых спутниками, а также с величинами силы тяжести на их поверхности.

Учитывая, что спутники движутся вокруг своих планет почти так же, как если бы эти планеты были неподвижны, он выяснил, что все эти тела подчиняются той же силе тяготения к Солнцу. Из равенства действия и противодействия он вывел, что Солнце притягивается планетами, а они – своими спутниками, и даже Земля притягивается всеми телами, притягивающимися к ней. Это свойство он затем распространил на все части материи и установил в качестве общего принципа, что каждая молекула материи притягивает все другие пропорционально своей массе и обратно пропорционально квадрату расстояния до притягиваемой молекулы.

Этот принцип – не просто гипотеза, которая удовлетворяет явлениям, поддающимся другим объяснениям, как удовлетворяют разными способами уравнениям неопределённой задачи. Здесь задача определена законами, наблюдёнными в небесных движениях, из которых этот принцип является необходимым следствием. Тяготение планет к Солнцу доказывается законом площадей, пропорциональных времени. Уменьшение тяготения в обратном отношении к квадрату расстояния доказывается эллиптичностью планетных орбит; а закон квадратов времён обращения, пропорциональных кубам больших осей, с очевидностью показывает, что сила тяготения Солнца действовала бы на все планеты, если бы все они были на одинаковом расстоянии от Солнца и, следовательно, их вес был бы, соответственно, пропорционален их массам. Из равенства действия и противодействия следует, что Солнце в свою очередь испытывает притяжение планет, пропорциональное их массам, разделённым на квадраты их расстояний до этого светила. Движения спутников доказывают, что они притягивают одновременно и Солнце, и свои планеты, которые в свою очередь притягивают их. Таким образом, между всеми телами солнечной системы существует взаимное притяжение, пропорциональное массам и обратно пропорциональное квадратам расстояний. Наконец, фигуры планет и эффекты тяжести на поверхности Земли показывают, что это притяжение свойственно не только этим телам, рассматриваемым как целое, но и каждой из составляющих их молекул.

Придя к этому принципу, Ньютон увидел, что из него вытекают важные явления мироздания. Рассматривая силу тяготения на поверхности небесных тел как равнодействующую притяжения всех молекул, он нашёл, что это замечательное свойство характерно для закона притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний, так что две сферы, образованные из концентрических слоёв переменной плотности, изменяющейся по какому-либо закону, взаимно притягиваются, как если бы их массы были сосредоточены в их центрах. Поэтому тела солнечной системы действуют друг на друга и даже на тела, находящиеся на их поверхности, почти так же, как действовали бы центры притяжения.

Этот вывод, объясняющий упорядоченность движений тел солнечной системы, позволил этому великому геометру признать в силе, которая удерживает Луну на своей орбите, силу земного тяготения. Он доказал, что вращательное движение Земли должно было сжать её у полюсов, и определил законы изменения градусов меридиана и распределения силы тяжести на её поверхности. Он увидел, что притяжение Солнца и Луны порождает и поддерживает наблюдаемые в океане колебания, называемые морскими приливами и отливами. Он понял, что некоторые неравенства Луны и попятное движение её узлов являются следствием притяжения Солнца. Рассматривая затем вздутие земного сфероида на экваторе как систему спутников, прилегающих к его поверхности, он нашёл, что совместное действие Солнца и Луны стремится обратить вспять движение узлов окружностей, которые они описывают вокруг оси Земли, и что все эти стремления, передаваясь на всю массу этой планеты, должны производить в пересечении её экватора с эклиптикой медленное попятное движение, называемое прецессией равноденствий. Итак, причину этого великого явления, зависящего от сжатия Земли и от попятного движения, сообщаемого действием Солнца узлам спутников, два влияния которых Ньютон установил первым, до него нельзя было и заподозрить; даже сам Кеплер, увлечённый своим живым воображением всё объяснять гипотезами, был принуждён признать бесполезность своих усилий в этом вопросе.

Но, за исключением того, что касается эллиптического движения планет и комет, притяжения сферических тел и отношения масс планет, сопровождаемых спутниками, к массе Солнца, все эти открытия были Ньютоном только намечены. Его теория фигуры планет ограничена предположением об их однородности, его решение проблемы прецессии равноденствий, хотя и очень хитроумное, ошибочно в нескольких отношениях, несмотря на видимое согласие с наблюдениями. Из большого числа возмущений движения небесных тел он рассматривал только возмущения лунного движения, причём самое большое из них, эвекция, выпало из его исследований. Он хорошо обосновал существование открытого им принципа, но развитие вытекающих из него следствий и возможностей было делом последователей этого великого геометра. Несовершенство исчисления бесконечно малых при зарождении этого метода не позволило ему полностью разрешить трудные проблемы, возникающие в теории системы мира, и он часто был вынужден ограничиваться только краткими заметками, всегда ненадёжными, пока они не проверены строгим анализом. Несмотря на эти неизбежные недостатки, важность и общность открытий, относящихся к системе мира и к наиболее интересным вопросам математической физики, большое число оригинальных и глубоких мыслей, ставших зародышем многих блестящих теорий геометров прошлого века, – всё это, изложенное с большой элегантностью, обеспечивает труду о «Началах» превосходство над другими произведениями человеческого ума.

В науках не так, как в литературе. В ней есть границы, которые гениальный человек может достичь, если он владеет совершенным языком. Его читают с одинаковым интересом во все времена, и его известность не только не ослабляется временем, но ещё усиливается бесплодными попытками тех, кто хочет с ним сравниться. Науки, наоборот, не имея пределов, как и природа, возрастают до бесконечности трудами последующих поколений. Самый совершенный труд, поднимая их на высоту, с которой они впредь уже не могут опуститься, порождает новые открытия и подготавливает таким образом новые работы, которые должны его затмить. Другие люди представят под более общим углом зрения и более просто теории, изложенные в книге «Начал», и все истины, которые она раскрыла. Но эта книга навсегда останется памятником глубины гения, открывшего нам самый великий закон вселенной.

Это произведение и не менее оригинальный трактат того же автора по оптике объединяют в себе заслугу открытий с заслугой быть лучшими образцами, которые можно найти в науках и в тонком искусстве производить опыты и подвергать их вычислению. И мы видим в них наиболее удачные применения метода, состоящего в том, чтобы путём ряда индукций подняться от явлений к их причинам, а затем от этих причин перейти ко всем деталям явлений.

Общие законы скрыты во всех частных случаях, где они усложнены таким количеством посторонних обстоятельств, что часто нужно величайшее умение, чтобы их открыть. Надо выбрать наиболее подходящие для данного случая явления или создать их, умножить их число, изменяя сопутствующие им обстоятельства, и наблюдать, что в них имеется общего. Таким способом последовательно восходят ко всё более и более широким соотношениям и наконец приходят к общим законам, проверяя их либо путём доказательств или непосредственных опытов, когда это возможно, либо проверкой, удовлетворяют ли они всем известным явлениям.

Таков самый надёжный метод, который может руководить нами в поисках истины. Никто из философов не был так верен этому методу, как Ньютон, и никто не располагал в такой степени, как он, счастливой интуицией, которая позволяла, ему различать в вещах заключённые в них общие принципы, что присуще истинному гению наук. Эта интуиция позволила ему в падении тел распознать принцип всемирного тяготения. Английские учёные, современники Ньютона, приняли по его примеру метод индукции, ставший основой большого числа великолепных трудов по физике и по анализу. Античные философы, следуя противоположным путём и ставя себя у источника всего, придумывали общие причины для объяснения различных явлений. Их метод, порождавший только бесплодные системы, имел не больше успеха и в руках Декарта. Во времена Ньютона Лейбниц, Мальбранш и другие философы применяли его со столь же малым успехом. Наконец, бесполезность гипотез, которые придумывали с помощью этого метода, и успехи, которыми науки были обязаны методу индукции, привели учёных к этому новому методу, установленному Бэконом со всей силой здравого смысла и убедительности и ещё сильнее зарекомендовавшему себя в открытиях Ньютона.

В эпоху, в которую были сделаны эти открытия, Декарт заменил мистические свойства, приписанные перипатетиками²² природе, понятными идеями движения, импульса и центробежной силы. Его остроумная система вихрей, основанная на этих идеях, была с жадностью принята учёными, отвергавшими тёмные и не имевшие смысла доктрины этой школы; но учёные думали, что во всемирном тяготении возрождаются те мистические свойства, которые были столь справедливо изгнаны французским философом. Только после того, как была распознана неопределённость картезианских объяснений, тяготение было понято и принято в том виде, как его представил Ньютон, т.е. как общий. факт, к которому он пришёл путём ряда индукций и от которого затем исходил, чтобы объяснить небесные движения. Этот великий человек, несомненно, заслужил бы упрёк в восстановлении мистических свойств, если бы он ограничился приложением всемирного тяготения к эллиптическому движению планет и комет, к неравенствам движения Луны, неравенствам земных градусов и силы тяжести, к прецессии равноденствий и морским приливам и отливам, не показав связи своего принципа с этими явлениями. Но геометры, уточняя и обобщая его доказательства и найдя самое полное согласие между наблюдениями и результатами анализа, единодушно приняли его теорию системы мира, с помощью их изысканий ставшую основанием всей астрономии. Эта аналитическая связь отдельных частных фактов с общим фактом и составляет сущность теории. Именно выведя путём точного расчёта все явления капиллярности из единственного принципа взаимного притяжения между молекулами материи, которое делается ощутимым только на неуловимых расстояниях, мы можем льстить себя тем, что нашли истинную теорию этого явления. Некоторые учёные, поражённые преимуществами, которые даются предположением о действующем начале, причины которого неизвестны, снова ввели в отдельные отрасли естественных наук таинственные силы и не имеющие смысла объяснения древних философов. Рассматривая философию Ньютона с той же точки зрения, с которой она была отброшена картезианцами, они навязывали ей свои доктрины, которые, однако, с ней не имеют ничего общего в самом главном, а именно, в строгом согласии её результатов с явлениями.

Ньютон изложил свою теорию системы мира по методу синтеза. Однако представляется, что большинство своих теорем он нашёл путём анализа, границы которого он расширил и которому, как он сам подтверждает, он обязан своими основными результатами в исследовании квадратур. Но предпочтение, отдаваемое им синтезу, и высокая оценка Ньютоном геометрии древних заставили его перевести в синтетическую форму свои теоремы и даже свой метод флюксий. И в правилах, и в примерах, которые он дал, мы видим, какое большое значение он этому придавал. Вместе с геометрами его времени можно пожалеть, что он не следовал в изложении своих открытий тому пути, по которому он к ним пришёл, и исключил доказательства некоторых выводов, предпочитая удовольствие заставлять своих читателей отгадывать эти доказательства удовольствию их просвещать. Знание метода, которым руководствовался такой гениальный человек, не менее полезно для прогресса науки и даже для его собственной славы, чем его открытия. Этот метод часто составляет их наиболее интересную часть, и если бы Ньютон, вместо простого написания дифференциального уравнения твёрдого тела наименьшего сопротивления, одновременно представил весь ход своего анализа, он имел бы преимущество дать первое изложение метода вариаций, являющегося одной из самых плодотворных ветвей современного анализа.

Предпочтение, которое этот великий геометр отдавал синтезу, и его пример, возможно, помешали его соотечественникам внести столько, сколько они могли бы, в то развитие астрономии, которое она получила в результате применения математического анализа к принципу всемирного тяготения. Это предпочтение объясняется тем изяществом, с которым он сумел связать свою теорию криволинейных движений с изысканиями древних по коническим сечениям и с прекрасными открытиями, опубликованными Гюйгенсом, следовавшим этому методу. Геометрический синтез имеет свойство никогда не терять из вида свой объект и освещать весь путь, ведущий от первых аксиом к их последним следствиям, в то время как алгебраический анализ скоро заставляет забыть главный предмет [исследований], чтобы заниматься алгебраическими абстрактными операциями, и только в самом конце вновь возвращает нас к этой цели. Но отвлекаясь таким образом от предметов, взяв от них всё необходимое, чтобы прийти к искомому результату, мы отдаёмся затем аналитическим операциям, собираем все свои силы, чтобы преодолеть возникающие трудности, и приходим, благодаря общности этого метода и неоценимому преимуществу превращать рассуждения в механически выполняемые действия, к результатам, которые часто оказываются недоступными для синтеза. Плодотворность анализа такова, что достаточно перевести на этот универсальный язык частные истины, чтобы получить из их выражений множество новых и неожиданных истин. Никакой язык в такой степени не обладает изяществом, рождённым в результате развития длинного ряда связанных между собой выражений, которые исходят из одной и той же фундаментальной идеи. К преимуществам анализа следует ещё отнести возможность всегда приводить решение задачи к самым простым методам. Для этого необходимо только применять его соответствующим образом, удачно подбирая неизвестные и давая окончательному результату вид, наиболее удобный для геометрического построения или численного выражения. Сам Ньютон даёт много таких примеров в своей «Универсальной арифметике», а современные геометры, убедившись в этом преимуществе анализа, специально занялись расширением области его применения.²³

Тем не менее геометрические представления не следует отбрасывать. Они очень полезны в науках. К тому же любопытно представить себе в пространстве различные результаты анализа и, наоборот, все видоизменения линий и поверхностей и изменения движений тел читать в уравнениях, которые их выражают. Это сближение геометрии и анализа проливает новый свет на эти два направления науки; абстрактные операции анализа делаются наглядными благодаря геометрическим изображениям, их становится легче охватить и интереснее им следовать; и когда наблюдения воплощаются в эти изображения и преобразуют геометрические результаты в законы природы, и когда эти законы, охватывая вселенную, раскрывают перед нашим взором её прошлые и будущие состояния, вид этого величественного зрелища заставляет нас испытывать самое благородное удовольствие, доступное человеку.

Около 50 лет прошло после открытия притяжения, и к этому открытию не было прибавлено ничего замечательного. Всё это время понадобилось для того, чтобы великая истина была широко понята и преодолела противодействие, оказанное принятым на континенте мнением, что тяготение, по примеру Декарта, следует объяснять механически, чтобы истина преодолела различные системы, придуманные по этому поводу, и авторитет нескольких великих геометров, боровшихся с нею, может быть, из самолюбия, но тем не менее ускоривших её победу своими работами по анализу бесконечно малых. Среди современников Ньютона Гюйгенс сделал больше всех других, чтобы достоинства этого открытия были оценены. Он принял утверждение, что притяжение друг к другу больших небесных тел обратно пропорционально квадратам расстояний, а также все выводы, сделанные из этого Ньютоном относительно эллиптического движения планет, спутников и комет, и силы тяжести на поверхности планет, сопровождаемых спутниками. Он воздал Ньютону в этом отношении всё по его заслугам. Но ошибочные идеи о причине силы тяжести заставили его отбросить взаимное притяжение молекул, теории фигуры планет и зависящие от этой фигуры изменения силы тяжести на их поверхности. Однако надо заметить, что закон всемирного тяготения для современников Ньютона, да и для него самого ещё не имел той несомненности, которую ему придали успехи математических наук и наблюдений. Эйлер и Клеро, подобно Даламберу, применившие математический анализ к возмущениям небесных движений, первые не считали его достаточно установленным, чтобы различия, найденные ими в наблюдениях и своих расчётах, относившихся к движению Сатурна и лунного перигея, приписать неточностям приближений или вычислений. Но эти три великих геометра и их последователи, проверив расчёты, улучшив методы и продвинув приближения настолько, насколько это было необходимо, посредством одного только закона тяготения пришли наконец к объяснению всех явлений системы мира и довели теорию и астрономические таблицы до точности, превзошедшей ожидаемую. Не прошло ещё и трёх веков, как Коперник ввёл в эти таблицы движение Земли и других планет вокруг Солнца. Около века спустя Кеплер ввёл в них законы эллиптического движения, зависящие только от солнечного притяжения. Теперь они включают множество неравенств, рождённых из взаимного притяжения тел планетной системы; весь эмпиризм из них изгнан, а из наблюдений в них использованы только необходимые величины.

Вся мощь анализа проявляется главным образом в этих его применениях. Это чудесный инструмент, без которого было бы невозможно проникнуть в столь сложный по своим проявлениям механизм, причина которого так проста. Геометр в своих формулах охватывает теперь всю совокупность солнечной системы и её последовательные изменения. Он возвращается к различным состояниям этой системы в самые отдалённые времена и переходит к её состояниям, которые откроют наблюдателям грядущие века. Он видит, как эти большие изменения, полное развитие которых требует миллионов лет, возобновляются за немногие столетия в системе спутников Юпитера благодаря быстроте их обращений и производят необычные явления, предвиденные астрономами, но слишком сложные или слишком медленные, чтобы они могли определить их законы. Теория тяготения, благодаря стольким приложениям ставшая средством таких же надёжных открытий, как сами наблюдения, познакомила нас с этими законами и со многими другими, из которых наиболее замечательные – это большие неравенства Юпитера и Сатурна, вековые уравнения движения Луны относительно Солнца, своих узлов и перигея и замечательное отношение, существующее между движениями трёх первых спутников Юпитера.

При помощи этого средства геометр смог извлечь из наблюдений, как из неисчерпаемого рудника, наиболее важные элементы астрономии, которые без анализа оставались бы навечно скрытыми. Он определил относительные значения масс Солнца, планет и спутников по обращениям этих светил и по развитию их периодических и вековых неравенств. Скорость света и эллиптичность Юпитера были даны ему затмениями спутников Юпитера с большей точностью, чем непосредственными наблюдениями. Он вывел вращение Урана и Сатурна с его кольцом, а также сжатие этих двух планет из взаимных положений орбит их спутников. Параллаксы Солнца и Луны и сама эллиптичность земного сфероида проявились в лунных неравенствах, потому что Луна своим движением выявляет усовершенствованной астрономии сжатие Земли, с шаровидностью которой она познакомила первых астрономов своими затмениями. Наконец, благодаря счастливому сочетанию анализа с наблюдениями, Луна, которая, казалось, была придана Земле, чтобы освещать её ночью, стала ещё самым надёжным лоцманом мореплавателя, оберегая его от опасностей, которым он долгое время подвергался из-за ошибок в вычислении своего места положения. Совершенство лунной теории, которому моряки обязаны этим ценным преимуществом и возможностью с точностью определить положение места, где они пристали к берегу, есть результат полувековой работы геометров. За этот короткий промежуток времени география, обогащённая применением лунных таблиц и морских часов, сделала больше успехов, чем за все предыдущие века. Эти величественные теории объединяют в себе всё, что может дать цену открытиям: величие и практическую пользу предмета, плодотворность результатов и заслугу преодоления трудностей.