Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 35 страниц)

В круговом движении мы имеем ещё один пример непрерывно действующей силы. Так как движение материи, предоставленной самой себе, равномерно и прямолинейно, ясно, что тело, движущееся по окружности, непрерывно стремится удалиться от центра по касательной. Усилие, которое оно для этого делает, называется центробежной силой, а центральной, или центростремительной, силой называют всякую силу, направленную к центру. В круговом движении центростремительная сила равна и прямо противоположна центробежной. Она непрерывно стремится приблизить тело с окружности к центру, и за очень короткий промежуток времени её действие измеряется синусом-верзусом малой описанной дуги.

Учитывая сказанное, можно сравнить силу тяжести с центробежной силой, вызванной вращением Земли. На экваторе тела вследствие этого вращения за каждую секунду времени описывают дугу 40.^сс1095 [12."9955] экваториальной окружности Земли. Так как радиус экватора равен почти в точности 6 376 606 м, синус-верзус дуги равен 0.0126559 м. За 1 с сила тяжести на экваторе заставляет тела падать на 3.64930 м; центростремительная сила, необходимая, чтобы удержать тела на поверхности Земли, и, тем самым, центробежная сила, обусловленная её вращением, относится к силе тяжести на экваторе как единица к 288.4. Центробежная сила уменьшает силу тяжести, и на экваторе тела падают под действием только разности этих двух сил. Поэтому, называя гравитацией полное притяжение, или силу тяжести, не уменьшенную центробежной силой, получим, что на экваторе центробежная сила с большим приближением равна 1/289 гравитации. Если бы Земля вращалась в 17 раз быстрее, дуга, описанная за 1 с, была бы в 17 раз больше, её синус-верзус был бы в 289 раз больше, центробежная сила была бы в этом случае равна гравитации и тела на земном экваторе потеряли бы вес.

Вообще, ускоряющая постоянная сила, действующая всегда в одном направлении, равна удвоенному пути, который она заставляет описать тело, разделённому на квадрат времени. Всякая ускоряющая сила в очень коротком интервале времени может считаться постоянной и действующей в одном направлении. Путь, который центростремительная сила заставляет тело описывать при круговом движении, равен синусу-верзусу описанной малой дуги, и этот последний почти точно равен квадрату дуги, разделённому на диаметр. Поэтому выражение этой силы представляется квадратом описанной дуги, делённым на квадрат времени и на радиус окружности. Дуга, разделённая на время, равна скорости тела, и, следовательно, как центростремительная, так и центробежная сила равны квадрату скорости, разделённому на радиус.

Сопоставив этот вывод с тем, к которому мы пришли раньше и в соответствии с которым сила тяжести равна квадрату достигнутой скорости, разделённой на удвоенное расстояние, пройденное по вертикали, мы увидим, что центробежная сила равна силе тяжести, если скорость вращающегося тела равна скорости, приобретаемой весомым телом, падающим с высоты, равной половине радиуса описываемой окружности.

Скорости нескольких тел, двигающихся по окружностям, равны периметрам этих окружностей, делённым на время обращения. Окружности относятся друг к другу как их радиусы. Следовательно, квадраты скоростей относятся как квадраты радиусов, делённые на квадраты времён обращения. Поэтому центробежные силы относятся между собой как радиусы окружностей, делённые на квадраты времён обращения. Отсюда следует, что на разных параллелях Земли центробежные силы, вызванные её вращательным движением, пропорциональны радиусам этих паралелей.

Эти прекрасные теоремы, выведенные Гюйгенсом, привели Ньютона к общей теории движения по кривым и к закону всемирного тяготения.

Тело, описывающее некоторую кривую, стремится отклониться от неё по касательной; всегда можно вообразить окружность, проходящую через два смежных элемента²⁸ этой кривой и называемую оскулирующей окружностью. В два последовательных отрезка времени тело движется по этой окружности. Следовательно, его центробежная сила равна квадрату скорости, разделённому на радиус этой оскулирующей окружности, но её положение и радиус непрерывно изменяются.

Если кривая описана под действием силы, направленной к неподвижной точке, её можно разложить на две, из которых одна направлена по оскулирующему радиусу, а другая – по элементу кривой. Первая из них уравновешивает центробежную силу, вторая – увеличивает или уменьшает скорость тела, и поэтому его скорость непрерывно изменяется. Но она всегда такова, что площади, описанные радиусом-вектором вокруг центра действия силы, пропорциональны времени. И наоборот, если площади, описанные радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, возрастают как время, сила, заставляющая их описывать, направлена постоянно к этой точке. Эти зависимости, фундаментальные для теории системы мира, легко доказываются следующим образом.

Можно предположить, что ускоряющая сила действует только в начале каждого отрезка времени, в течение которого движение тела равномерно. Тогда радиус-вектор опишет маленький треугольник. Если бы сила перестала действовать в следующий отрезок времени, радиус-вектор описал бы в этот второй отрезок времени новый треугольник, равный первому, поскольку вершины этих треугольников находятся в неподвижной точке – центре действия силы, а их основания, расположенные на одной прямой, равны, как описанные с. одинаковыми скоростями в равные промежутки времени. Но в начале нового отрезка времени ускоряющая сила сочетается с касательной силой, действующей на тело, и заставляет его описать диагональ параллелограмма, стороны которого представляют эти силы. Треугольник, описываемый радиусом-вектором под действием этой комбинированной силы, равен тому, который был бы описан в отсутствие ускоряющей силы, так как эти два треугольника имеют общим основанием радиус-вектор конца первого отрезка времени, а их вершины находятся на прямой, параллельной этому основанию. Поэтому площади, описанные радиусом-вектором, равны в обоих последовательных и равных отрезках времени. Следовательно, сектор, описанный этим радиусом, возрастает как число таких отрезков времени или как время. Ясно, что это будет только при условии, если ускоряющая сила направлена к неподвижной точке. В противном случае рассматриваемые нами треугольники не были бы одинаковой высоты. Таким образом, пропорциональность площадей времени доказывает, что ускоряющая сила постоянно направлена к началу радиуса-вектора.

В этом случае, если вообразить очень малый сектор, описанный за очень короткое время, из начала дуги этого сектора провести касательную к кривой и продолжить до этой касательной радиус, проведённый из центра действия силы к другому концу дуги сектора, то часть радиуса, заключённая между дугой и касательной, будет, очевидно, расстоянием, пройденным под влиянием центростремительной силы. Удвоив это расстояние и разделив результат на квадрат времени, получим выражение силы. А так как сектор пропорционален времени, центростремительная сила будет как бы частью радиуса, заключённой между кривой и касательной, разделённой на квадрат сектора. Строго говоря, центростремительная сила в разных точках кривой не пропорциональна этой дроби, но она приближается к ней по мере уменьшения секторов так, что в пределе равна ей в точности. Дифференциальный анализ даёт этот предел в виде функции радиуса, когда форма кривой известна, и тогда получают функцию расстояния, которому пропорциональна центростремительная сила.

Хотя закон действия силы известен, определение кривой, которую она заставляет описывать, всё же представляет большие трудности. Но каковы бы ни были силы, приводящие в движение тело, предполагаемое свободным, легко следующим образом написать дифференциальные уравнения его движения. Вообразим три неподвижные и взаимно перпендикулярные оси, относительно которых для некоторого момента определены три координаты рассматриваемого тела. Разлагая каждую из действующих на него сил на три других, параллельных этим же осям, и умножив равнодействующую всех сил, параллельных одной из координатных осей, на элемент времени её действия, получим приращение скорости тела, параллельное этой координате. Эта скорость может быть приравнена к элементу координаты, разделённому на элемент времени, так что дифференциал частного от этого деления равен предыдущему произведению. Рассмотрение двух других координат даёт ещё два подобных равенства. Таким образом, определение движения тела становится задачей чистого анализа, который сводится к интегрированию этих дифференциальных уравнений.

Вообще, если положить, что элемент времени постоянен, вторая разность каждой координаты, разделённая на квадрат этого элемента, представит силу, которая, будучи приложена к точке в обратном направлении, уравновесила бы силу, действующую по этой координате. Если умножить разность этих сил на произвольное изменение координаты и сложить три подобных произведения, относящихся к трём координатам, то, по условию равновесия, их сумма будет равна нулю. Если тело свободно, изменения всех трёх координат будут произвольными, и, приравняв коэффициенты при каждой из них нулю, получим три дифференциальных уравнения движения точки. Но если точка не свободна, между тремя координатами возникают одна или две зависимости, которые дадут такое же число уравнений, связывающих произвольные изменения координат. Поэтому, исключив с их помощью столько же этих изменений, мы приравняем нулю коэффициенты остающихся изменений и получим дифференциальные уравнения движения, которые в сочетании с соотношениями координат определят положение точки для любого момента.

Интегрирование этих уравнений нетрудно, если сила направлена к неподвижному центру. Но часто природа сил делает это интегрирование невозможным. Однако рассмотрение дифференциальных уравнений приводит к некоторым, интересным принципам механики. Например, дифференциал квадрата скорости точки, подвергнутой действию ускоряющих сил, равен удвоенной сумме произведений каждой силы на малый отрезок, на который точка подвигается в направлении этой силы. Отсюда легко заключить, что скорость, достигнутая весомым телом вдоль некоторой кривой или изогнутой поверхности, такова, как если бы оно вертикально падало с той же высоты.

Многие философы, поражённые порядком, господствующим в природе, и её плодовитостью в создании явлений, пришли к мысли, что она всегда приходит к своей цели самым простым путём. Распространяя этот взгляд на механику, они искали в ней экономию, которую соблюдает природа в использовании сил и времени. Птолемей узнал, что отражённый свет проходит из одной точки в другую по самому короткому пути и, следовательно, в самое короткое время, полагая скорость световых лучей неизменной. Ферма, один из самых великолепных гениев, которыми гордится Франция, обобщил этот принцип, распространив его на преломление света. Он предположил, что свет проходит из точки, взятой вне прозрачной среды, в точку, находящуюся внутри её, за самое короткое время. Затем, считая очень вероятным, что скорость света должна быть меньше в этой среде, чем в пустоте, он искал, каков будет при этом предположении закон преломления света. Приложив к этой проблеме свой прекрасный метод максимумов и минимумов, который надо рассматривать как истинный зародыш дифференциального исчисления, он нашёл в согласии с опытом, что синусы углов падения и преломления должны быть в постоянном отношении, большем единицы. Счастливый способ, которым Ньютон вывел это отношение из притяжения сред, навёл Мопертюи на мысль, что скорость света в прозрачных средах увеличивается и что, таким образом, вопреки утверждениям Ферма, не сумма частных от деления расстояний, пройденных в пустоте и в среде, на соответствующие скорости, а сумма произведений этих величин должна быть минимальна. Эйлер распространил это предположение на непрерывно изменяющиеся движения и доказал разными примерами, что среди всех кривых, какие может описать тело, двигаясь из одной точки в другую, оно всегда выбирает ту, в которой интеграл произведения его массы на скорость и на элемент кривой минимален. Таким образом, скорость точки, движущейся по кривой поверхности и не побуждаемой никакой силой, постоянна; точка переходит из одного положения в другое по самой короткой линии на этой поверхности. Вышеупомянутый интеграл назвали действием тела, а совокупность подобных интегралов, относящихся к каждому телу некоторой системы, действием системы. Эйлер установил, что это действие всегда минимально, так что экономия природы сводится к его сбережению. В этом заключается принцип наименьшего действия, настоящим изобретателем которого надо считать Эйлера, и который затем был выведен Лагранжем из основных законов движения. Этот принцип по существу есть лишь весьма любопытный результат этих законов, которые, как мы уже видели, наиболее естественны и самые простые из всех, какие можно вообразить, и которые поэтому кажутся вытекающими из самого существа материи. Он годится для всех математически возможных зависимостей между силой и скоростью, если в эти зависимости вместо скорости подставлять функцию скорости, через которую выражена сила. Поэтому принцип наименьшего действия' не следует рассматривать как конечную причину. Этот принцип не только не породил законы движения, но даже не способствовал их открытию, без которого всё ещё спорили бы о том, что следует понимать под принципом наименьшего действия в природе.

Глава III О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Самый простой случай равновесия нескольких тел – это равновесие двух материальных точек, сталкивающихся с равными, но противоположными скоростями. Их взаимная непроницаемость – свойство материи, в силу которого два тела не могут в одно и то же время занимать одно и то же место, уничтожает, очевидно, их скорости и приводит эти тела в состояние покоя. Но каково будет в случае равновесия отношение скоростей к массам, если сталкиваются два тела с разными массами и с взаимно противоположными скоростями? Чтобы разрешить эту проблему, вообразим систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на одной прямой и двигающихся с некоторой общей скоростью в одном направлении. Кроме того, представим себе другую систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на той же прямой и перемещающихся тоже с общей скоростью в противоположном направлении. Столкнувшись, обе системы приходят в равновесие. Ясно, что если бы первая система состояла только из одной материальной точки, каждая точка второй системы погашала бы при столкновении часть скорости первой системы, равную скорости второй системы. Следовательно, в рассматриваемом случае равновесия, скорость ударяющей точки должна быть равной произведению скорости второй системы на число её точек. В результате первую систему можно заменить одной точкой, придав ей скорость, равную этому произведению. Подобным же образом вторую систему можно заменить материальной точкой со скоростью, равной скорости первой системы, умноженной на число её точек. Так, вместо двух систем, мы получим две точки, которые уравновесятся противоположными скоростями, из которых одна будет произведением скорости первой системы на число её точек, а вторая – произведением скорости второй системы на число её точек. В случае равновесия эти произведения должны быть одинаковы.

Масса тела равна сумме его материальных точек. Произведение массы на скорость называют количеством движения, или ещё силой тела. Для равновесия двух тел или двух систем материальных точек, сталкивающихся в противоположных направлениях, количества движения, или противоположные силы тела, должны быть равны и, следовательно, их скорости должны быть в обратном отношении к массам.

Очевидно, что две материальные точки могут действовать друг на друга только по соединяющей их прямой. Действие первой из них, направленное на вторую, сообщает ей некоторое количество движения. Можно представить себе, что вторая точка ещё раньше, чем на неё подействовала первая, находилась под воздействием этого количества и ещё другого количества движения, равного ему, но противоположно направленного. Тогда действие первого тела сведётся к уничтожению этого последнего количества движения. Но для этого оно должно затратить равное и противоположное количество движения, которое будет уничтожено. Вообще, мы видим, что при взаимодействии тел противодействие всегда равно и противоположно действию. Мы видим ещё, что это равенство вовсе не предполагает наличия в материи какой-то особой силы. Оно вытекает из того, что одно тело не может приобрести движение, не отняв его у другого, подобно тому, как один сосуд наполняется по мере расхода жидкости в другом, соединённом с ним сосуде.

Равенство действия противодействию проявляется во всех явлениях природы. Железо притягивает магнит точно так же, как магнит притягивает железо. То же самое наблюдается в электрическом притяжении и отталкивании и даже в действии сил, присущих живым существам; так как, каков бы ни был двигательный принцип человека и животных, через реакцию материи они всегда испытывают действие силы, равной и противоположной той силе, которую они этой материи сообщают; и в этом смысле они подвержены действию тех же законов, что и неживые тела.

Обратная пропорциональность скоростей массам в случае равновесия служит для определения отношения масс различных тел. У однородных тел массы пропорциональны их объёмам, измерению которых учит геометрия. Но все тела, как мы знаем, не имеют одинаковых свойств, и существующее между ними несходство либо в составляющих их молекулах, либо в числе и величине пор, или промежутков, которые разделяют эти молекулы, приводит к очень большим различиям в массах этих тел, заключённых в одинаковых объёмах. В таких случаях геометрии оказывается недостаточно, чтобы определить отношения их масс, и становится необходимым прибегнуть к механике.

Если представить себе два шара из разных материалов и менять их диаметры до тех пор, пока движимые с равными и противоположными скоростями они не придут в состояние равновесия, можно быть уверенным, что тогда они будут включать одинаковое число материальных точек и, следовательно, будут иметь одинаковые массы. Таким образом, получаем отношение объёмов этих веществ к равным массам. Затем с помощью геометрии получаем отношение масс двух любых объёмов одинакового вещества. Но применение этого метода было бы очень трудным при многочисленных сравнениях, которые постоянно требуются для нужд коммерции. К счастью, природа предлагает нам – через свойство тяжести предметов – очень простой способ сравнивать их массы.

В предыдущей главе мы отмечали, что каждая материальная точка в одном и том же пункте на Земле под действием силы тяжести стремится двигаться с одинаковой скоростью. Сумма этих стремлений и представляет вес тела. Таким образом, вес пропорционален массе. Отсюда следует, что если два тела, подвешенные на концах нити, перекинутой через блок, оказываются уравновешенными, когда части нити по обе стороны блока равны по длине, массы этих тел равны. Стремясь под влиянием силы тяжести двигаться с одинаковой скоростью, они действуют одно на другое, как если бы они столкнулись с равными и противоположными скоростями. Два тела можно привести в равновесие ещё с помощью весов, у которых плечи коромысла и чашки строго равны между собой, что позволит быть уверенным в равенстве их масс. Таким образом, отношение масс различных тел можно получить с помощью точных и чувствительных весов и большого числа одинаковых гирек, определяя их число, необходимое для уравновешивания этих масс.

Плотность тела зависит от числа его материальных точек, заключённых в данном объёме. Она пропорциональна отношению массы к объёму. Вещество, не имеющее пор, имело бы самую большую плотность из всех возможных. Сравнивая с ним плотность других тел, можно было бы получить количество заключённой в них материи. Но так как подобного вещества мы не знаем, то можем получить только относительные плотности тел. Эти плотности относятся между собой как веса соответствующих тел, взятых в одинаковом объёме, так как веса пропорциональны массам. Поэтому, взяв за единицу плотность какого-либо вещества при постоянной температуре, например максимум плотности дистиллированной воды, получим плотность тела, равную отношению его веса к весу такого же объёма воды, приведённого к этому максимуму. Это отношение называется удельным весом.

Во всём сказанном, как будто, предполагалось, что материя однородна и тела различаются только формой и величиной их пор и составляющих эти тела молекул. Между тем возможно, что есть существенные различия в свойствах самих молекул, и тому немногому, что мы знаем о материи, не противоречит предположение, что небесное пространство заполнено флюидом, лишённым пор, но в то же время таким, что он оказывает лишь неощутимое сопротивление движению планет. Это позволило бы примирить неизменность этих движений, доказанную наблюдаемыми явлениями, с мнением тех, кто не считает возможным существование пустоты. Но это безразлично для механики, изучающей только протяжённость тел и их движение. Поэтому можно, не боясь впасть в ошибку, принять однородность элементов материи при условии, что под одинаковыми массами подразумеваются массы, которые, будучи подвергнуты действию равных, но противоположных сил, приходят в равновесие.

В теории равновесия и движения тел отвлекаются от числа и формы пор, которыми они пронизаны. Можно объяснить различие их относительных плотностей, предположив, что тела образованы из более или менее плотных материальных точек, совершенно свободных в жидкости и газе, соединённых между собой лишёнными массы несгибаемыми прямыми в твёрдых телах и гибкими и растяжимыми – в телах эластических и мягких. Ясно, что при этих предположениях тела казались бы такими, какими мы их воспринимаем.

Условия равновесия системы тел могут всегда быть определены по закону сложения сил, изложенному в первой главе этой книги; ибо можно представить силу, действующую на каждую материальную точку, приложенной к месту встречи направления её действия с направлениями других сил, которые её уничтожат или, сложившись с нею, образуют равнодействующую силу, которая в случае равновесия погасится неподвижными точками системы. Рассмотрим, например, две материальные точки, расположенные на концах несгибаемого рычага, и предположим, что на них воздействуют силы, направленные в плоскости, проходящей через этот рычаг. Если принять, что эти силы сосредоточены в точке встречи их направлений, равнодействующая сила для равновесия должна проходить через точку опоры – единственную точку, которая может её уничтожить. По закону сложения сил, две составляющие должны быть противоположны перпендикулярам, проведённым из точки опоры на их направления.

Если вообразить два тяжёлых тела, расположенных на концах несгибаемого рычага, массу которого можно считать бесконечно малой по сравнению с массой этих тел, можно положить, что направления, параллельные силе тяжести, соединяются в бесконечности. В этом случае силы, действующие на каждое из этих двух тел, или, что то же, их веса, для равновесия должны быть противоположны направлениям перпендикуляров, проведённых из точки опоры на направления этих сил. Эти перпендикуляры пропорциональны плечам рычага. Таким образом, веса двух уравновешенных тел обратно пропорциональны плечам рычага, с которыми они связаны.

Поэтому очень небольшой вес с помощью рычага и подобных ему приспособлений может уравновесить очень значительный вес, и таким способом можно поднять огромный груз, приложив лишь небольшое усилие. Но для этого надо, чтобы плечо рычага, к которому прилагается сила, было гораздо длиннее плеча, поднимающего тяжесть, и чтобы подъёмная сила перемещалась на большем расстоянии, поднимая груз на малую высоту. При этом потеря во времени возмещается выигрышем в силе, что обычно имеет место в машинах. А часто бывает, что, располагая неограниченным временем, можно использовать лишь ограниченную силу. При других обстоятельствах, например если надо развить большую скорость, можно также использовать рычаг, прилагая силу к его более короткому плечу. Именно в возможности по мере надобности увеличивать массу или скорость подлежащих перемещению тел и состоит главное преимущество машин.

Рассмотрение рычага породило идею моментов. Моментом силы, заставляющей систему вращаться вокруг точки, называют произведение этой силы на расстояние от точки до направления действующей силы. Таким образом, в случае равновесия рычага, к концам которого приложены две силы, моменты этих сил по отношению к точке опоры должны быть равны и противоположны, или, что сводится к тому же, сумма моментов относительно этой точки должна быть равна нулю.

Проекция силы на проходящую через неподвижную точку плоскость, умноженная на расстояние точки от этой проекции, называется моментом силы, вращающей систему вокруг оси, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно этой плоскости.

Момент равнодействующей любого числа сил по отношению к точке или какой-либо оси равен сумме таких же моментов составляющих сил.

Так как можно предположить, что параллельные силы соединяются в бесконечности, их можно свести к равнодействующей силе, равной их сумме и параллельной им. Поэтому, разлагая каждую силу, действующую на систему тел, на две – одну, лежащую в плоскости, и другую, перпендикулярную к этой плоскости, – можно все силы, лежащие в этой плоскости, свести к одной равнодействующей, так же как и перпендикулярные ей силы – к другой равнодействующей. Всегда существует плоскость, проходящая через неподвижную точку, и притом такая, что равнодействующая сил, перпендикулярных этой плоскости, равна нулю или проходит через эту точку. В обоих этих случаях момент равнодействующей равен нулю по отношению к осям, начало которых лежит в этой точке, и момент сил системы относительно этих осей сводится к моменту равнодействующей, расположенной в плоскости, о которой идёт речь. Ось, относительно которой этот момент максимален, перпендикулярна этой плоскости, и момент сил системы относительно оси, проходящей через неподвижную точку и составляющей некоторый угол с осью наибольшего момента, равен наибольшему моменту системы, умноженному на косинус этого угла, так что этот момент равен нулю для всех осей, расположенных в плоскости, перпендикулярной оси наибольшего момента.

Сумма квадратов косинусов углов, образованных осью наибольшего момента с тремя любыми взаимно перпендикулярными осями, проходящими через неподвижную точку, равна единице. Поэтому квадраты трёх сумм моментов сил относительно этих осей равны квадрату наибольшего момента.

Для равновесия системы жёстко связанных между собой тел, могущей двигаться вокруг неподвижной точки, сумма моментов сил по отношению к любой оси, проходящей через эту точку, должна равняться нулю. Из предыдущего следует, что это имеет место, если эта сумма равна нулю по отношению к трём неподвижным взаимно перпендикулярным осям. Если в системе нет неподвижной точки, то для равновесия, кроме того, необходимо, чтобы три суммы сил, разложенные параллельно этим осям, каждая в отдельности, были равны нулю.

Рассмотрим систему весомых точек, жёстко связанных между собой и отнесённых к трём взаимно перпендикулярным плоскостям, связанным с системой. Разлагая действие силы тяжести параллельно пересечениям этих плоскостей, можно все силы, параллельные одной и той же плоскости, свести к единой равнодействующей, параллельной этой плоскости и равной их сумме. Три полученные равнодействующие, соответствующие трём плоскостям, должны встретиться в одной точке, так как воздействия силы тяжести на разные точки системы параллельны и имеют единую равнодействующую, которую можно получить, складывая сперва две силы, затем их равнодействующую с третьей, равнодействующую трёх сил с четвёртой и т.д. Положение точки встречи по отношению к системе не зависит от наклона плоскостей к направлению силы тяжести, так как больший или меньший наклон меняет лишь значения трёх равнодействующих, не изменяя их положения относительно плоскостей. Если эта точка неподвижна, все действия силы тяжести в системе уничтожатся во всех возможных её положениях, которые она может принять, вращаясь вокруг этой точки, названной поэтому центром тяжести системы.

Представим себе, что положение этого центра и положения разных точек системы определены координатами, параллельными трём взаимно перпендикулярным осям. Так как действия сил тяжести равны и параллельны и их равнодействующая проходит через центр тяжести системы при любых её положениях, то если предположить, что эта равнодействующая последовательно параллельна каждой из трёх осей, равенство момента равнодействующей сумме моментов составляющих приводит к тому, что любая из координат этого центра, умноженная на полную массу системы, равна сумме произведений массы каждой точки на соответствующую ей координату. Таким образом, определение центра тяжести не зависит от самой тяжести, породившей мысль о нем. Рассмотрение этого центра применительно к системам весомых или невесомых тел, свободных или связанных между собой каким-либо образом, очень полезно в механике.

Обобщая теорему о равновесии точки, рассмотренную в конце первой главы, мы приходим к следующей теореме, которая заключает в наиболее общем виде условия равновесия системы материальных точек, движимых какими-либо силами.

Если изменить положение системы на бесконечно малую величину, так, чтобы не нарушились связи между её частями, каждая материальная точка подвинется в направлении увлекающей её силы на величину, равную части этого направления, заключённой между первым положением точки и перпендикуляром, опущенным из её второго положения на это направление. Установив это, получим:

в состоянии равновесия сумма произведений каждой силы на величину перемещения в её направлении каждой точки, к которой она приложена, равна нулю. И обратно: если эта сумма равна нулю, каково бы ни было изменение системы, она находится в равновесии.

В этом заключается принцип возможных скоростей, открытый Жаном Бернулли. Но чтобы его использовать, надо произведения, о которых шла речь, относящиеся к точкам, которые при изменении положения системы перемещаются в направлении, противоположном действию приложенных к ним сил, взять с обратным знаком. К тому же надо помнить, что сила есть произведение массы материальной точки на скорость, которую она бы приобрела под действием этой силы, если бы была свободной.