Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 35 страниц)

Чтобы получить величину силы тяжести на поверхности Солнца и планет, примем во внимание, что если бы Юпитер и Земля были в точности сферическими и не имели вращательного движения, силы тяжести на их экваторах были бы пропорциональны их массам, разделённым на квадраты их диаметров. На расстоянии, равном среднему расстоянию Земли от Солнца, полудиаметр Юпитера был бы виден под углом в 291.^сс185 [94."344], а полудиаметр земного экватора – под углом в 26.^сс54 [8."60]. Если за единицу взять вес тела на этом экваторе, вес этого же тела, перенесённого на экватор Юпитера, был бы 2.716. Но его нужно уменьшить приблизительно на 1/9, чтобы учесть центробежные силы, вызванные вращением этих планет. То же самое тело на экваторе Солнца весило бы 27.9. За первую секунду своего падения тела там пролетают 102 м.

Огромные расстояния, отделяющие нас от этих больших тел, казалось, должны были навсегда скрыть от человеческого познания действие тяжести на их поверхности. Но последовательность истин приводит нас к результатам, которые представлялись недоступными, когда начало, от которого они зависят, было неизвестно. Благодаря открытию закона всемирного тяготения, стало возможным измерить силу тяжести на поверхности Солнца и планет.³¹

Глава IV О ВОЗМУЩЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ КОМЕТ

Влияние планет создаёт в движениях комет неравенства, заметные главным образом по промежуткам между их возвращениями к перигелию. Галлей, заметив, что элементы орбит комет, наблюдённых в 1531, 1607 и 1682 гг., были почти одинаковыми, заключил из этого, что они принадлежали одной и той же комете, которая за промежуток в 151 год сделала два обращения. На самом деле период её обращения был на 13 месяцев продолжительнее в интервале с 1531 по 1607 г., чем с 1607 по 1682 г. Но этот великий астроном не без основания подумал, что притяжение планет, и в особенности Юпитера и Сатурна, могло вызвать эту разницу. В соответствии с несколько неопределённой оценкой этого действия в течение следующего периода обращения он пришёл к выводу, что оно должно будет замедлить следующее возвращение кометы, и установил его дату на конец 1758 или начало 1759 г. Это сообщение было очень важным само по себе и слишком тесно связано с теорией всемирного тяготения, которой геометры середины прошлого века усиленно занимались с целью расширить область её приложения. Поэтому оно не могло не возбудить любопытство всех интересующихся успехами наук и, в особенности теорией, которая уже согласовывалась с большим числом явлений. Неуверенные во времени появления кометы астрономы искали её начиная с 1757 г., и Клеро, одним из первых разрешивший задачу трёх тел, приложил своё решение к поискам тех изменений, которые движение кометы испытывало под воздействием Юпитера и Сатурна. 14 ноября 1758 г. он доложил Академии наук, что время возвращения кометы к своему перигелию будет в этом обращении приблизительно на 618 суток длиннее, чем было в предыдущем, и поэтому комета пройдёт перигелий около середины апреля 1759 г. В то же время он отметил, что некоторые небольшие величины, не принятые им во внимание в его приближениях, могут на месяц передвинуть вперёд или назад эту дату. Он отметил ещё, что «тело, проходящее по таким отдалённым районам и исчезающее из наших глаз на столь длинные промежутки времени, могло быть подвержено действию совершенно незнакомых нам сил, таких как влияние других комет или даже какой-либо планеты, всегда настолько удалённой от Солнца, что она никогда не сможет быть обнаружена». Этот геометр получил удовлетворение, увидев своё предсказание сбывшимся: комета прошла перигелий 12 марта 1759 г. – в пределах допускавшейся им ошибки в вычислениях. После новой ревизии своих расчётов, Клеро определил дату этого прохождения на 4 апреля и передвинул бы её на 24 марта, т.е. на дату, отстоящую всего на 12 суток от фактического момента наблюдения, если бы использовал значение массы Сатурна, приведённое в предыдущей главе. Эта разница покажется очень маленькой, если принять во внимание большое число пренебрежённых им величин и возможное влияние планеты Уран, о существовании которой во времена Клеро было неизвестно.

Заметим, к чести прогресса человеческого разума, что на эту комету, которая в прошлом веке возбуждала живейший интерес среди астрономов и геометров, смотрели совсем иначе четырьмя её обращениями раньше, в 1456 г. Длинный хвост, тянувшийся за ней, наводил ужас в Европе, уже подавленной быстрыми успехами турок, ниспровергнувших Византию, и папа Каликст повелел совершать публичные моления, в которых заклинали комету и турок. В это невежественное время люди были далеки от мысли, что природа всегда послушна неизменным законам. В зависимости от того, регулярно ли следовали одни за другими явления или без видимого порядка, их считали зависящими от конечных причин или от случая. А когда явления были необыкновенными и казались противоречащими естественному порядку вещей, их рассматривали как знак небесного гнева.

Страхи, вызываемые некогда появлением комет, сменились боязнью, что какая-нибудь из множества комет, пересекающих во всех направлениях планетную систему, разрушит Землю. Они с такой скоростью проводят мимо нас, что влияния их притяжения не следует бояться. Только столкнувшись с Землёй, они могут причинить гибельные разрушения. Но это столкновение, хотя и возможно, очень маловероятно в интервале одного века. Для столкновения двух тел, столь малых в сравнении с необъятным пространством, в котором они движутся, нужно такое необыкновенное стечение обстоятельств, что не может возникнуть разумного опасения в этом отношении. Однако малая вероятность такой встречи, накапливаясь в течение многих лет, может сделаться очень большой. Легко представить себе действие такого удара о Землю. Ось вращения и вращательное движение Земли изменятся. Моря покинут свои прежние места и устремятся к новому экватору. Большая часть людей и животных потонут в этом всемирном потопе или погибнут от сильнейшего сотрясения, испытанного земным шаром. Какие-то виды живых существ погибнут целиком. Все сооружения, созданные деятельностью человека, разрушатся. Вот каковы бедствия, которые произвёл бы удар кометы, если бы её масса была сравнима с массой Земли. Мы видим из этого, почему Океан покрывал высокие горы, на которых он оставил неоспоримые следы своего присутствия. Мы видим, почему животные и растения юга могли существовать в северных странах, где находят их останки и следы. Наконец, становится объяснимым недолгий срок существования культурного мира, несомненные памятники которого не старше пяти тысячелетий. Человеческий род, сокращённый до небольшого числа индивидуумов и в самом жалком состоянии занятый в течение очень продолжительного времени единственной заботой – сохранением своего существования, должен был полностью потерять память о науках и искусствах, и когда успехи цивилизации вновь дали почувствовать в них нужду, пришлось начинать всё сначала, как если бы люди заново заселили Землю.

Какова бы ни была причина, приписанная некоторыми философами этим явлениям, я повторяю, мы должны успокоиться насчёт повторения такого страшного события во время короткого промежутка жизни, тем более, что, по-видимому, массы комет исключительно малы, и поэтому их удар может произвести только местные разрушения. Но человек так склонён к боязни, что мы видели в 1773 г., как после простого извещения о мемуаре Лаланда, где он перечислил те из наблюдённых комет, которые могут ближе всего подойти к Земле, в Париже распространился сильнейший страх, передавшийся затем всей Франции. Вот в какой мере верно, что заблуждения, суеверия, напрасные страхи и всё зло, являющееся следствием незнания, быстро возобновились бы, если бы потух светоч науки.

Наблюдения кометы, появившейся в 1770 г., привели астрономов к необыкновенному результату. После безуспешных попыток подчинить эти наблюдения законам параболического движения, до сих пор почти точно представлявшего движение комет, астрономы наконец поняли, что во время своего появления она описывала эллипс, в котором продолжительность её обращения не превышала 6 лет. Лексель, впервые сделавший этот интересный вывод, удовлетворил таким образом всем наблюдениям этой кометы. Но такая короткая продолжительность могла быть принята только после неопровержимых доказательств, основанных на новых и углублённых исследованиях наблюдений кометы и положений звёзд, к которым её относили. Академия наук предложила премию за эти исследования, которую получил Буркхардт. Его исследования привели почти точно к результатам Лекселя, относительно которых теперь не должно оставаться никаких сомнений. Комета, имеющая такое быстрое обращение, должна была бы часто появляться. Однако она не наблюдалась ранее 1770 г., да и после него её больше не видели. Чтобы объяснить это, Лексель заметил, что в 1767 и 1779 гг. эта комета очень близко приближалась к Юпитеру, сильное притяжение которого уменьшило в 1767 г. перигельное расстояние её орбиты настолько, что она стала видима в 1770 г., тогда как раньше не была видна. Затем, в 1779 г., это расстояние вновь увеличилось, и комета навсегда сделалась невидимой. Но необходимо было доказать возможность этих двух воздействий притяжения Юпитера и показать, что элементы эллипса, описанного кометой, могли им удовлетворить. Я это сделал, подвергнув этот предмет анализу, благодаря которому предыдущее объяснение стало правдоподобным.

Из всех наблюдённых комет эта больше всего приближалась к Земле, которая должна была бы испытать заметное воздействие, если бы масса этой кометы была сравнима с массой земного шара. Если предположить, что эти две массы одинаковы, действие кометы должно было бы увеличить продолжительность звёздного года на 11612^c [10033^s]. Но, исходя из многочисленных сравнений наблюдений, сделанных Деламбром и Буркхардтом при составлении солнечных таблиц, мы вполне уверены, что с 1770 г. звёздный год не прибавился даже на 3^c [2.6^s]. Поэтому масса кометы не превышает 1/5000 массы Земли и, если принять во внимание, что в 1767 и 1779 гг. это светило пересекло систему спутников Юпитера, не вызвав в ней ни малейших нарушений, можно заключить, что она даже ещё меньше. Малость масс комет вообще подтверждается незаметностью их влияния на движение тел планетной системы. Эти движения представляются одним только действием тел этой системы с такой точностью, что небольшие отклонения наших лучших таблиц можно приписать одним лишь погрешностям приближений и ошибкам наблюдений. Но только очень точные наблюдения, выполняемые в течение нескольких веков и сравниваемые с теорией, могут осветить этот важный вопрос системы мира.

Глава V О ВОЗМУЩЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ

Луна одновременно притягивается и Солнцем и Землёй. Её движение вокруг Земли нарушается только разностью действия Солнца на эти два тела. Если бы Солнце находилось на бесконечно большом расстоянии, оно действовало бы на них одинаково по параллельным направлениям. Их относительное движение не было бы искажено этим действием, общим для них обоих. Но расстояние до Солнца, хотя и очень большое по сравнению с расстоянием до Луны, не может считаться бесконечным. Луна попеременно находится то ближе, то дальше от Солнца, чем Земля, и прямая, соединяющая её центр с центром Солнца, составляет более или менее острые углы с радиусом-вектором Земли. Поэтому на Землю и на Луну Солнце действует неодинаково и в разных направлениях. От этого различия его действий в лунном движении должны появляться неравенства, зависящие от взаимного положения Солнца и Луны. В исследованиях этих неравенств заключается знаменитая задача трёх тел, точное решение которой превосходит возможности математического анализа. Однако она может быть решена методом приближений благодаря близости Луны по сравнению с её расстоянием до Солнца и малости её массы по сравнению с массой Земли. Тем не менее необходим очень тонкий анализ, чтобы выделить все члены, имеющие заметное влияние. Наиболее важным пунктом этого анализа является рассмотрение этих членов, если поставлена задача улучшения лунных таблиц, что должно быть главной целью работы. Можно легко представить себе множество различных способов составления уравнений для решения проблемы трёх тел. Но главная трудность заключается в том, чтобы в дифференциальных уравнениях распознать и точно определить те члены, которые, будучи сами по себе очень маленькими, достигают заметной величины при последовательных интегрированиях; это требует иаивыгоднейшего выбора координат, тщательного рассмотрения природы интегралов, хорошо проведённых приближений и тщательных вычислений, проверенных много раз. Я поставил своей задачей выполнить все эти условия в теории движения Луны, приведённой в моей «Небесной механике», и имел удовлетворение видеть, что мои результаты совпадают с теми, которые Мейсон и Бюрг получили путём сравнения почти 5000 наблюдений Брадлея и Маскелайна; эти наблюдения придали лунным таблицам точность, которую будет трудно превзойти, и именно ей география и главным образом мореходная астрономия обязаны своим прогрессом. Здесь следует сказать, что Майер по праву считается одним из величайших астрономов, которые когда-либо существовали. Он первый придал этим таблицам ту степень точности, которая необходима для этого важного дела. Мейсон и Бюрг сохранили приданную им форму таблиц. Они исправили коэффициенты предложенных им неравенств и прибавили ещё несколько других неравенств, указанных в его теории. Кроме того, изобретением повторительного круга, значительно усовершенствованного Борда, Майер придал наблюдениям на море ту же точность, какую он внёс в лунные таблицы. Наконец, Буркхардт усовершенствовал лунные таблицы, придав их аргументам более простую и удобную форму и определив их коэффициенты по всей совокупности современных наблюдений. Задачей моей теории было показать, что закон всемирного тяготения является единственным источником всех неравенств лунного движения, и затем воспользоваться этим законом для улучшения таблиц и для вывода некоторых важных элементов системы мира, таких как вековые уравнения Луны, её параллакс, параллакс Солнца и сжатие Земли. К счастью, когда я занимался этими исследованиями, Бюрг, со своей стороны, работал над улучшением лунных таблиц. Мой анализ дал ему несколько новых, очень важных уравнений, и сравнение с большим числом наблюдений, которое он сделал, подтвердило их справедливость и пролило новый свет на элементы, о которых я только что говорил.

Движения узлов и перигея Луны – вот главные следствия возмущений, испытываемых этим светилом. Первое приближение дало геометрам сперва только половину второго из этих движений. Отсюда Клеро заключил, что закон притяжения не так прост, как это до сих пор считалось, и что он состоит из двух частей, из которых первая обратно пропорциональна квадрату расстояния и одна только действует на больших расстояниях, отделяющих планеты от Солнца, а другая возрастает в большем отношении при уменьшении расстояния и становится заметной на расстоянии Луны от Земли. Это заключение оспаривалось Бюффоном. Он основывался на том, что изначальные законы природы должны быть самыми простыми, они не могут зависеть более чем от одного модуля, и их выражение не может включать больше одного члена. Это соображение, несомненно, должно привести нас к тому, чтобы не усложнять закон притяжения иначе, как лишь при крайней надобности. Но незнание нами природы этой силы не позволяет уверенно говорить о простоте её выражения. Как бы то ни было, метафизик был на этот раз ближе к истине, чем геометр, который сам обнаружил свою ошибку и сделал важное замечание, что при дальнейших приближениях закон тяготения даёт движение лунного перигея, в точности совпадающее с наблюдениями. Впоследствии это было подтверждено всеми, кто занимался этим предметом. Движение, выведенное мной из моей теории, отличается от истинного не больше чем на 1/440 его часть. Что касается движения узлов, эта разность не превосходит 1/350 части.

Чтобы показать зависимость всех неравенств движения Луны от совместного действия Солнца и Земли на нашего спутника, необходим математический анализ. Однако, не прибегая к нему, можно объяснить причины возникновения годичного и векового лунных уравнений. Я тем охотнее остановлюсь на их описании, что при этом будет видно зарождение самых больших лунных неравенств, которые до сих пор оставались мало заметными, но по прошествии веков должны раскрыться наблюдателям.

Во время соединений с Солнцем Луна находится ближе к нему, чем Земля, и испытывает с его стороны более значительное влияние. При этом разность притяжения Солнцем этих двух тел стремится уменьшить притяжение Луны к Земле. Подобным же образом во время противостояний Луны и Солнца Луна более удалена от Солнца, чем Земля, и притягивается им слабее; поэтому разность солнечных притяжений опять стремится уменьшить притяжение Луны. В этих двух случаях указанное уменьшение почти одинаково и равно удвоенному произведению массы Солнца на частное от деления радиуса лунной орбиты на куб расстояния Солнца от Земли. В квадратурах действие Солнца на Луну, разложенное по направлению лунного радиуса-вектора, стремится увеличить притяжение Луны к Земле, но это увеличение равно лишь половине уменьшения притяжения, испытываемого Луной в сизигиях. Итак, в результате всех влияний Солнца на Луну в течение её синодического обращения возникает средняя сила, направленная вдоль радиуса-вектора Луны, уменьшающая силу тяготения этого светила и равная половине произведения массы Солнца на частное от деления этого радиуса на куб расстояния от Солнца до Земли.

Чтобы получить отношение этого произведения к силе тяготения Луны, заметим, что эта сила, удерживающая её на орбите, почти в точности равна сумме масс Земли и Луны, разделённой на квадрат расстояния между ними, и что сила, удерживающая на орбите Землю, близка к массе Солнца, делённой на квадрат его расстояния до Земли. В соответствии с теорией центростремительных сил, изложенной в третьей главе, эти две силы относятся как радиусы орбит Луны и Солнца, разделённые, соответственно, на квадраты периодов обращения этих светил. Отсюда следует, что упоминавшееся выше произведение относится к силе тяготения Луны как квадрат времени звёздного обращения Луны относится к квадрату времени звёздного обращения Земли. Поэтому вышеуказанное произведение почти точно равно 1/179 этого тяготения, которое средним влиянием Солнца уменьшается, таким образов, на 1/358 своей величины.

Вследствие этого уменьшения Луна удерживается на большем расстоянии от Земли, чем если бы она была предоставлена полному действию силы своего тяготения. Сектор, описанный её радиусом-вектором вокруг Земли, не изменяется, так как производящая его сила направлена по этому радиусу, но реальная скорость и угловое движение этого светила уменьшаются. Поэтому если удалить Луну настолько, что её центробежная сила сравняется с её силой тяготения, уменьшенной влиянием Солнца, а радиус-вектор станет описывать сектор, равный тому, который он описал бы за то же время без этого влияния, то этот радиус увеличится на 1/358, а угловое движение уменьшится на 1/179.

Эти величины изменяются обратно пропорционально кубам расстояний от Солнца до Земли. Когда Солнце находится в перигее, его влияние, увеличиваясь, растягивает лунную орбиту. Но по мере продвижения Солнца к своему апогею эта орбита сжимается. Таким образом, Луна описывает ряд эпициклоид, центры которых лежат на земной орбите и которые расширяются или сжимаются в зависимости от того, приближается ли Земля к Солнцу или удаляется от него. Отсюда в её угловом движении возникает неравенство, похожее на уравнение центра Солнца, но с той лишь разницей, что оно замедляет это движение, когда движение Солнца увеличивается, и ускоряет, когда движение Солнца уменьшается. Таким образом, эти два уравнения имеют противоположные знаки. Угловое движение Солнца, как было показано в первой книге, обратно пропорционально квадрату его расстояния от Земли. Так как в перигее это расстояние на 1/60 меньше своей средней величины, угловое движение увеличивается на 1/30. А так как замедление лунного движения на 1/179, производимое Солнцем, пропорционально увеличению куба расстояния Солнца от Земли, это замедление увеличивается на 1/20. Поэтому возрастание этого замедления составляет 1/3580 часть лунного движения. Отсюда следует, что уравнение Солнца относится к годичному уравнению Луны, как 1/30 солнечного движения относится к 1/3580 лунного, что даёт для её годичного уравнения величину 2398^сс [777"]. Согласно наблюдениям, оно приблизительно на 1/8 меньше. Эта разница зависит от некоторых величин, не учтённых при этом первом вычислении.

Причина, подобная той, которая порождает годичное уравнение, производит и вековое уравнение Луны. Галлей первым заметил это уравнение, которое подтвердили Дэнторн и Майер путём углублённого анализа наблюдений. Эти два учёных астронома выяснили, что одно и то же среднее движение Луны не может удовлетворить и современным наблюдениям, и затмениям, наблюдённым халдеями и арабами. Они попробовали представить их, прибавляя к средним долготам этого спутника величину, пропорциональную квадрату числа веков до и после 1700 г. Согласно Дэнторну, для I в. эта величина равна З0.^сс9 [10."О]. Майер в своих первых таблицах Луны принял её равной 21.^сс6 [7."] и довёл до 27.^сс8 [9."0] в последних. Наконец, Лаланд, проведя новое исследование этого вопроса, пришёл к результату Дэнторна.

Арабские наблюдения, которые главным образом были использованы, – два солнечных и одно лунное затмения, наблюдённые в Каире Ибн-Юнусом около конца I в., давно извлечены из находящейся в лейденской библиотеке рукописи этого астронома. Были сомнения в реальности этих затмений, но сделанный Коссеном перевод той части этой ценной рукописи, которая заключает наблюдения, рассеял эти сомнения. Мало того, он познакомил нас ещё с 25 затмениями, наблюдавшимися арабами и подтвердившими ускорение среднего движения Луны. Впрочем, чтобы его установить, достаточно сравнить современные наблюдения с наблюдениями греков и халдеев. В самом деле, с помощью большого числа наблюдений, сделанных за два последних века, Деламбр, Бувар и Бюрг определили современное значение векового движения. С точностью, которая оставляет лишь небольшую неуверенность, они нашли, что оно на 600 или 700 секунд больше, чем получаемое из сравнения современных наблюдений с древними. Следовательно, со времён халдеев лунное движение ускорилось; а так как наблюдения арабов, сделанные в отделяющем нас от халдеев интервале, подтверждают этот результат, невозможно подвергать его сомнению.

Но какова причина этого явления? Всемирное тяготение, которое позволило нам так хорошо познать многочисленные неравенства Луны, даёт ли оно объяснение её векового неравенства? Эти вопросы тем более интересно разрешить, поскольку, если это удастся, мы получим закон вековых вариаций движения Луны, так как чувствуется, что гипотеза об ускорении лунного движения, пропорциональном времени, принятая астрономами, является лишь приближением, и её нельзя распространять на неограниченное время.

Этот вопрос очень интересовал геометров. Но их изыскания долго оставались бесплодными и не обнаружили ни в действии Солнца и планет на Луну, ни в сферичности этого спутника и Земли ничего такого, что могло бы заметно изменить её среднее движение. Некоторые решились отвергнуть её вековое движение. Другие для его объяснения прибегали к разным причинам, таким как влияние комет, сопротивление эфира и постепенность передачи силы тяжести. Между тем соответствие других небесных явлений с теорией всемирного тяготения настолько совершенно, что нельзя без сожаления видеть, как вековое уравнение Луны не подчиняется этой теории; это составляет единственное исключение из общего простого закона, открытие которого по величию и разнообразию объектов, которые он охватывает, делает такую честь человеческому уму. Такие размышления заставили меня решиться снова рассмотреть это явление, и после нескольких попыток я наконец пришёл к открытию его причины.

Вековое уравнение Луны вызвано действием на неё Солнца в сочетании с вековыми вариациями эксцентриситета земной орбиты.

Чтобы составить себе правильное представление об этой причине, напомним, что элементы земной орбиты испытывают изменения под влиянием планет. Её большая ось всегда остаётся неизменной, но эксцентриситет, наклон к неподвижной плоскости, положение её узлов и перигелия непрерывно изменяются. Припомним ещё, что действие Солнца на Луну на 1/179 уменьшает её угловую скорость и что численный коэффициент этой скорости изменяется обратно пропорционально кубу расстояния Земли от Солнца. Приняв большую полуось земной орбиты за единицу и развёртывая обратную третью степень расстояния от Земли до Солнца в ряд по синусам и косинусам среднего движения Земли и его кратным, находим, что этот ряд содержит член, равный утроенной половине квадрата эксцентриситета этой орбиты. Поэтому уменьшение угловой скорости Луны содержит произведение этого члена на 1/179 этой скорости. Это произведение смешалось бы со средней угловой скоростью Луны, если бы эксцентриситет земной орбиты был постоянен. Но его изменение, хотя и очень малое, с течением времени заметно влияет на лунное движение. Ясно, что оно ускоряет движение Луны, когда эксцентриситет уменьшается; это и имело место со времён древнейших наблюдений и до наших дней. Это ускорение изменится и перейдёт в замедление, когда эксцентриситет, дойдя до своего минимума, перестанет уменьшаться и начнёт увеличиваться.

В промежутке между 1750 и 1860 гг. квадрат эксцентриситета земной орбиты уменьшился на 0.00000140595, а соответствующее увеличение угловой скорости Луны было равно 0.0000000117821 этой скорости. Поскольку это увеличение действовало последовательно и пропорционально времени, его влияние на движение Луны было вдвое меньше, чем если бы в течение всего века оно было одинаковым и равным своему конечному значению. Поэтому для определения этого влияния, или векового уравнения Луны к концу одного века от 1801 г., надо умножить вековое движение Луны на половину очень малого ускорения её угловой скорости. Так как в течение века движение Луны равно 5 347 405 406^сс [1732 559 351."], получим это вековое уравнение равным З1.^сс5017 [10."2066].

Пока уменьшение квадрата эксцентриситета земной орбиты можно будет считать пропорциональным времени, вековое уравнение Луны будет увеличиваться как квадрат времени. Поэтому для получения векового уравнения достаточно умножить З1.^сс5017 [10."2066] на квадрат числа веков, протёкших с момента, для которого производятся вычисления, до начала XIX в. Но я убедился, что, если обратиться к наблюдениям, член, пропорциональный третьей степени времени, при разложении в ряд векового уравнения Луны становится заметным. Для I в этот член равен 0.^сс057214 [0."018537]. Его следует умножить на куб числа протёкших веков, начиная от 1801 г., причём для предшествующих веков это произведение отрицательно.

Среднее влияние Солнца на Луну зависит ещё от наклонности лунной орбиты к эклиптике, и можно было бы думать, что из-за изменений положения эклиптики в движении Луны должны возникать вековые неравенства, подобные тому, которое производит эксцентриситет земной орбиты. Но путём математического анализа я выяснил, что лунная орбита действием Солнца непрерывно возвращается к неизменному наклону относительно земной орбиты, поэтому в силу вековых вариаций наклонности эклиптики самые малые отклонения Луны подвержены тем же изменениям, что и подобные отклонения Солнца. Это постоянство наклонности лунной орбиты подтверждается всеми древними и современными наблюдениями. Эксцентриситет лунной орбиты и её большая ось подобным же образом испытывают лишь неощутимые изменения из-за вариаций эксцентриситета земной орбиты.

Совсем иначе обстоит дело с вариациями движения лунных узлов и перигея. Подвергнув эти вариации анализу, я нашёл, что влияние членов, зависящих от квадрата возмущающей силы и, как мы видели, удваивающих среднее движение перигея, оказывает ещё большее действие на вариации этого движения. Результат этого трудного анализа дал мне вековое уравнение, втрое большее векового уравнения среднего движения Луны и вычитаемое из средней долготы её перигея, так что среднее движение перигея замедляется, когда ускоряется среднее движение Луны. Я нашёл также в движении узлов лунной орбиты по истинной эклиптике вековое уравнение, прибавляемое к их средней долготе и равное 0.735 векового уравнения среднего движения. Таким образом, движение узлов замедляется, как и движение перигея, при возрастании движения Луны; и вековые уравнения этих трёх движений постоянно относятся как числа 0.735, 3, 1. Отсюда легко заключить, что три движения Луны относительно Солнца, её перигея и её узлов ускоряются и что их вековые уравнения относятся между собой как числа 1, 4, 0.265.

Будущие века увеличат эти большие неравенства, которые со временем создадут изменения, равные, по меньшей мере, сороковой части окружности в вековом движении Луны и тринадцатой части окружности в вековом движении лунного перигея. Эти неравенства не всегда возрастают. Они периодические, так же как неравенства эксцентриситета земной орбиты, от которых они зависят, и восстанавливаются лишь через миллионы лет. С течением времени они должны изменить воображаемые периоды, охватывающие целые числа обращений Луны по отношению к её узлам, к перигею и к Солнцу, периоды, заметно различающиеся в разных частях огромного периода векового уравнения. Лунно-солнечный период в 600 лет был точен в эпоху, вернуться к которой было бы легко путём анализа, если бы массы планет были точно известны. Но эти данные, столь желательные для совершенствования астрономических теорий, у нас ещё отсутствуют. К счастью, Юпитер с хорошо известной массой является именно той планетой, которая больше всего влияет на вековое уравнение Луны, а значения масс других планет всё же известны достаточно точно, чтобы не бояться значительной ошибки в численном выражении этого уравнения.

Уже древние наблюдения, несмотря на их несовершенство, подтверждают лунные неравенства, ход которых можно проследить как по наблюдениям, так и по астрономическим таблицам, сохранившимся до наших дней. Мы видели, что древние наблюдения затмений позволили заметить ускорение лунного движения раньше, чем теория тяготения объяснила его причину. Сопоставляя с этой теорией современные наблюдения, а также затмения, наблюдавшиеся арабами, греками и халдеями, мы находим между ними такое согласие, которое представляется изумительным, если принять во внимание несовершенство древних наблюдений и неуверенность, которая ещё остаётся относительно изменений эксцентриситета земной орбиты из-за неточного знания масс Венеры и Марса. Развитие вековых уравнений Луны будет одним из наиболее подходящих способов для определения этих масс.³²