Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 35 страниц)

Наконец, неравенство третьего спутника, во время его затмений сопоставленное с соответствующими положениями второго и третьего спутников, показывает, что и здесь существуют те же зависимости, какие имели место при сравнении неравенства второго спутника с соответствующими положениями первого и второго. Следовательно, в движении третьего спутника существует неравенство, пропорциональное синусу избытка средней долготы второго спутника над средней долготой третьего, неравенство, которое в своём максимуме равно 808^сс [262"]. Если представить себе светило, угловое движение которого равно избытку среднего синодического движения второго спутника над удвоенным средним синодическим движением третьего, то неравенство третьего спутника при его затмениях становится пропорциональным синусу движения этого воображаемого светила. Таким образом, неравенство третьего спутника во время его движений имеет тот же период и подчиняется тем же законам, что и неравенства первых двух спутников.

Таков ход главных неравенств трёх первых спутников Юпитера, предугаданный Брадлеем и затем опубликованный Варгентином. Взаимное соответствие этих неравенств, а также средних движений и средних долгот этих спутников, как будто, создаёт особую систему из этих трёх тел, движимых, но всей видимости, общими силами, являющимися источником их общности.

Рассмотрим теперь спутники Сатурна. Если взять за единицу экваториальный полудиаметр этой планеты, видимый на её среднем расстоянии от Солнца и полагаемый равным 25^сс [8"], средние расстояния спутников от её центра и времена их сидерических обращений будут следующими.

 

Среднее расстояние

Время обращения

I

3.351

0.

^d

94271

II

4.300

1.37024

III

5.284

1.88780

IV

6.819

2.73948

V

9.524

4.51749

VI

22.081

15.94530

VII

64.359

79.32960

Сопоставляя время обращения спутников с их средними расстояниями от центра Сатурна, мы вновь находим прекрасное соотношение, открытое Кеплером для планет, которое, как мы уже видели, существует в системе спутников Юпитера, а именно, что квадраты времён обращения спутников Сатурна относятся между собой как кубы их средних расстояний от центра этой планеты.

Большая отдалённость спутников Сатурна и трудность наблюдения их положений не позволили обнаружить эллиптичность их орбит и, тем более, неравенства в их движениях. Однако эллиптичность орбиты шестого спутника всё же заметна.²⁴

Возьмём теперь за единицу полудиаметр Урана, предположив что он, видимый на среднем расстоянии планеты от Солнца, равен 6^cc [2"]. Тогда, по наблюдениям Гершеля, средние расстояния спутников от центра Урана и время их звёздного обращения будут следующими.

 

Среднее расстояние

Время обращения

I

13.120

5.

^d

8926

II

17.022

8.7068

III

19.845

10.9611

IV

22.752

13.4559

V

45.507

38.0750

VI

91.008

107.6944

Эти времена обращения, за исключением второго и четвёртого спутников, были выведены из наибольших наблюдённых элонгаций и из закона, по которому квадраты времён обращения спутников относятся как кубы их средних расстояний от центра планеты, закона, который подтверждается наблюдениями второго и четвёртого спутников, единственных хорошо известных. Таким образом, закон этот надо рассматривать как всеобщий закон движения системы тел, обращающихся вокруг общего центра.

Каковы же главные силы, удерживающие планеты, их спутники и кометы на своих орбитах? Какие особые силы возмущают их эллиптическое движение? Какие причины заставляют отступать равноденствия и колебаться оси вращения Земли и Луны? Наконец, какими силами вода в морях поднимается два раза в сутки? Предположение об одном общем начале, от которого зависят все эти законы, достойно простоты и величия природы. Общность законов, представляющих движение небесных тел, по-видимому, указывает на существование такого начала. Его проявление предугадывается уже в связи этих явлений с соответствующим расположением тел солнечной системы. Но чтобы обнаружить его с полной очевидностью, необходимо знать законы движения материи.

Книга третья О ЗАКОНАХ ДВИЖЕНИЯ

В самом же деле, в морях, на Земле и в небесных высотах

Многоразличным путём совершается много движений

Перед глазами у нас.

Лукреций. О природе вещей, кн. I, 340—342.⁹

В бесконечном разнообразии явлений, непрерывно сменяющих друг друга в небесах и на Земле, мы распознали небольшое число основных законов, которым в своих движениях следует материя. Всё подчиняется им в природе, всё вытекает из них с такой же необходимостью, как смена времён года. Кривая, описанная лёгким атомом, который уносится ветром, казалось бы, по воле случая, на самом деле управляется этими законами с такой же определённостью, как и орбиты планет. Важность этих законов, от которых мы постоянно зависим, должна была бы возбуждать любопытство во все времена. Но из-за обычного для человеческого ума безразличия они не привлекли к себе внимания до начала предпоследнего века, эпохи, в которую Галилей наметил первые основания науки о движении своими прекрасными открытиями в области падения тел. Геометры, идя по его следам, свели наконец всю механику к общим формулам, которые не требуют теперь больше ничего, как лишь усовершенствования математического анализа.

Глава I О СИЛАХ, ИХ СЛОЖЕНИИ И О РАВНОВЕСИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Тело представляется нам движущимся, если оно меняет своё положение по отношению к системе тел, которую мы считаем неподвижной. Так, на равномерно движущемся корабле тела кажутся нам движущимися, если они оказываются последовательно в разных его частях. Это движение лишь относительное, так как корабль движется по поверхности моря, которое вращается вокруг земной оси, а центр Земли обращается вокруг Солнца, которое само вместе с Землёй и планетами уносится в пространство. Чтобы понять, где же предел этих движений, и чтобы прийти к неподвижным точкам, от которых можно было бы отсчитывать абсолютные движения тел, воображают беспредельное и неподвижное пространство, проницаемое для материи. К частям этого пространства, реального или идеального, мы и относим мысленно положения тел. И мы считаем их движущимися, если они последовательно находятся в разных частях этого пространства.

Сущность этого своеобразного изменения, в силу которого тело переносится из одного места в другое, нам неизвестна и никогда не будет известна. Она была обозначена названием сила, и мы можем лишь определять её влияние и законы её действия.

Если ей ничего не противопоставляется, результат влияния силы на материальную точку выражается в том, что ей сообщается движение. Направление силы есть прямая, по которой она перемещает эту точку. Ясно, что если две силы действуют в одном направлении, они прибавляются одна к другой, а если они действуют в противоположных направлениях, точка движется только благодаря их разности и останется недвижной, если силы равны.

Если направления двух сил образуют между собой какой-либо угол, их равнодействующая примет среднее направление. С помощью одной только геометрии доказывается, что если из точки приложения сил провести представляющие их прямые и затем построить на этих отрезках параллелограмм, то его диагональ представит направление и величину результирующей силы.

Две составляющие силы можно заменить одной равнодействующей или, наоборот, одну какую-либо силу разложить на две, для которых она будет равнодействующей. Следовательно, одну силу можно разложить на две составляющие, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, лежащим в плоскости этой силы. Для этого достаточно через начало прямой, представляющей эту силу, провести две линии, параллельные этим осям, и образовать на этих линиях прямоугольник, у которого эта прямая будет диагональю. Тогда две стороны этого прямоугольника представят силы, на которые может быть разложена исходная сила параллельно осям.

Если сила наклонена к заданной плоскости, то, отложив в направлении этой силы от точки, где она встречает эту плоскость, представляющий её отрезок и опустив из его конца на плоскость перпендикуляр, получим составляющую исходной силы, перпендикулярную этой плоскости. Проведённая в ней прямая, соединяющая силу и перпендикуляр, будет составляющей параллельной плоскости. Эта вторая, частная сила сама может быть разложена на две другие, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в той же плоскости. Таким образом, всякая сила может быть разложена на три составляющие, параллельные трём взаимно перпендикулярным осям.

Отсюда рождается простой способ получения равнодействующей любого числа сил, действующих на материальную точку, так как, разлагая каждую из них на три другие, параллельные трём заданным взаимно перпендикулярным осям, все силы, параллельные каждой из осей, сводам к одной, равной сумме тех, которые действуют в одном направлении, без суммы сил, действующих в противоположном направлении. Таким образом, точка будет подвержена действию трёх взаимно перпендикулярных сил, и, если по направлению каждой из них отложить её величину от общего начала и на отложенных отрезках построить прямоугольный параллелепипед, его диагональ представит по направлению и величине равнодействующую всех сил, приложенных к данной точке.

Каковы бы ни были число, величина и направление этих сил, если каким-либо способом положение точки было изменено на бесконечно малую величину, произведение равнодействующей на величину перемещения в её направлении равно сумме произведений каждой силы на соответствующую ей величину. Величина, на которую точка перемещается в направлении силы, есть проекция прямой, соединяющей два положения точки, на направление силы. Эта величина считается отрицательной, если точка перемещается в направлении, обратном направлению силы.

Если точка свободна, то в состоянии равновесия равнодействующая всех сил равна нулю. Если это не так, равнодействующая сила должна быть перпендикулярна к поверхности или кривой, где находится эта точка, и тогда, если изменять положение точки на бесконечно малую величину, произведение равнодействующей на перемещение в её направлении равно нулю. Таким образом, это произведение вообще равно нулю, независимо от того, точка свободна или связана с кривой или плоскостью. Итак, во всех случаях, когда имеет место равновесие, при изменении положения точки на бесконечно малую величину сумма произведений каждой силы на перемещение точки в её направлении равна нулю, и равновесие продолжает существовать, если это условие выполнено.

Глава II О ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Покоящееся тело не может сообщить себе самому никого движения, так как не содержит в себе причины, побуждающей его двигаться в некотором направлении предпочтительнее, чем в другом. Если оно было подвергнуто действию какой-либо силы и затем предоставлено самому себе, оно движется непрерывно и равномерно в направлении действия этой силы, если не встречает никакого сопротивления, т.е. в каждый момент его сила и направление его движения одинаковы. Это стремление материи сохранять своё состояние движения или покоя называется инерцией. В этом состоит первый закон движения тел.

Движение по прямой линии следует, очевидно, из того, что нет никакой причины, чтобы точка отклонялась скорее направо, чем налево от своего начального направления. Но равномерность её движения не так очевидна. Поскольку природа действующей силы неизвестна, невозможно знать a priori, должна ли эта сила непрерывно сохраняться. Однако поскольку тело не может само себе сообщить движение, представляется, что оно равным образом не способно изменить уже полученное им движение, поэтому закон инерции, по меньшей мере, самый естественный и самый простой из всех, какие можно себе представить. К тому же, он подтверждается опытом. В самом деле, на Земле мы наблюдаем, что движения сохраняются тем дольше, чем меньше противодействующих им препятствий. Это приводит нас к мысли, что в отсутствие препятствий тела двигались бы вечно. Но инерция материи очевидна главным образом в небесных движениях, которые за много веков не претерпели заметных изменений. Поэтому мы будем рассматривать инерцию как общий закон природы и, если мы наблюдаем изменение в движении тела, будем предполагать, что оно вызвано действием посторонней причины.

При равномерном движении пройденный путь пропорционален времени. Но время, затрачиваемое на прохождение определённого пути, может быть больше или меньше в зависимости от движущей силы. Это различие породило идею скорости, которая при равномерном движении определяется отношением пройденного пути к затраченному на его прохождение времени. Чтобы не сравнивать между собой разнородные величины, такие как пространство и время, берут интервал времени, например секунду, за единицу времени. Подобным же образом выбирают единицу длины, такую как метр, и тогда пространство и время представляются отвлечёнными числами, выражающими, сколько они заключают единиц своего рода, и их можно сравнивать между собой. Таким образом, скорость определяется отношением двух отвлечённых чисел, и её единица есть скорость тела, пробегающего один метр в секунду. Приводя таким образом расстояние, время и скорость к отвлечённым числам, мы видим, что расстояние равно произведению скорости на время, которое в свою очередь равно расстоянию, делённому на скорость.

Так как сила определяется только через путь, который она заставляет тело пройти в определённое время, естественно взять этот путь для её измерения. Но это предполагает, что несколько сил, одновременно и в одном направлении действующих на тело, заставят его пройти за единицу времени расстояние, равное сумме расстояний, которые заставили бы пройти каждая из них по отдельности, или, иначе говоря, сила пропорциональна скорости. A priori мы этого знать не можем, так как природа движущей силы нам неизвестна. Поэтому в этом вопросе мы снова должны обратиться к опыту, так как всё, что не является необходимым следствием из того немногого, что мы знаем о природе вещей, есть для нас лишь результат наблюдения.

Сила может быть выражена бесконечным числом функций скорости, не вносящих противоречий. Так, например, можно предположить, что она пропорциональна квадрату скорости. При таком предположении легко определить движение точки, увлекаемой любым числом сил, скорости которых известны. Так, если отложить на направлениях этих сил от начальной точки отрезки, выражающие скорости, которые они сообщили бы по отдельности каждой материальной точке, и исходя из этой же точки отложить в тех же направлениях другие отрезки, относящиеся между собой как квадраты первых, то эти отрезки могли бы представить эти самые силы. Далее, складывая их, как было указано, получим как направление результирующей силы, так и выражающий её отрезок. Из сказанного видно, как можно определить движение точки, какова бы ни была функция скорости, выражающая силу. Среди всевозможных математических функций исследуем ту, которая присуща природе.

На Земле мы наблюдаем, что тело, побуждаемое какой-нибудь силой, движется одинаковым образом, каков бы ни был угол, составленный направлением этой силы с направлением движения, общим для этого тела и для той части земной поверхности, где оно находится. Небольшое отклонение от этого правила очень заметно изменило бы продолжительность колебания маятника в зависимости от положения плоскости его колебаний. А опыт показывает, что во всех вертикальных плоскостях эта продолжительность в точности одинакова. На корабле, движение которого равномерно, подвижное тело под воздействием пружины, силы тяжести или любой другой силы движется относительно частей корабля одинаково, каковы бы ни были скорость корабля и направление его движения. Следовательно, можно установить как общий закон земных движений, что, если в системе тел, увлекаемых общим движением, к одному из них приложить некоторую силу, его относительное или видимое движение будет одним и тем же, каковы бы ни были общее движение системы и угол, составленный его направлением с направлением приложенной силы.

Из этого закона, предполагаемого строгим, вытекает, что сила пропорциональна скорости. Так, если представить себе два тела, с одинаковой скоростью движущихся по одной прямой, и к одному из них приложить силу, прибавляющуюся к первой, его скорость относительно другого тела будет такой же, как если бы первоначально оба тела были неподвижны. Ясно, что путь, пройденный телом под воздействием начальной силы и той, что к ней прибавлена, равен сумме путей, которые каждая из сил заставила бы тело пройти за это же время. А это предполагает, что сила пропорциональна скорости.

И наоборот: если сила пропорциональна скорости, относительные движения тел, движущихся под воздействием любых сил, останутся прежними, каково бы ни было их общее движение, потому что это движение, разложенное на три составляющие, параллельные трём неподвижным осям, заставляет увеличиваться на одну и ту же величину парциальные скорости каждого тела параллельно этим осям. А так как относительная скорость зависит только от разности парциальных скоростей, она будет той же, каково бы ни было общее движение всех тел. Поэтому, участвуя в движении системы тел, по наблюдаемым в ней явлениям невозможно судить о её абсолютном движении. Вот что характеризует этот закон, неведение которого задержало познание истинной системы мира из-за того, что трудно было разобраться в относительных движениях тел, перемещающихся над Землёй, увлекаемой двойным движением: вращением вокруг самой себя и обращением вокруг Солнца.

Ввиду исключительной малости самых значительных движений, которые мы можем сообщить телам, по сравнению с движением, увлекающим их вместе с Землёй, для того чтобы видимые движения системы тел были независимы от направления этого движения, достаточно, чтобы небольшое увеличение силы, приводящей в движение Землю, относилось к соответствующему увеличению скорости, как сами эти величины. Так, наш опыт только доказывает реальность этой пропорции, которая, если она имеет место независимо от скорости Земли, дала бы закон пропорциональности скорости и силы. Более того, она дала бы этот закон, если бы функция скорости, выражающая силу, состояла бы лишь из одного члена. Если бы скорость не была пропорциональна силе, пришлось бы предположить, что в природе функция скорости, выражающая силу, образована из нескольких членов, что мало вероятно. Кроме того, надо было бы предположить, что скорость Земли в точности такова, чтобы удовлетворить упомянутому выше отношению, что мало правдоподобно. К тому же скорость Земли изменяется в разные времена года: она приблизительно на 1/30 больше зимой, чем летом. Это изменение делается ещё значительнее, если, как всё на это указывает, солнечная система движется в пространстве. Поэтому в зависимости от того, совпадает ли это поступательное движение с движением Земли или обратно ему, в абсолютном движении Земли должны получаться большие годичные неравномерности. А это должно было бы изменить пропорцию, о которой идёт речь, и отношение приложенной силы к относительной скорости, которую она сообщает, если бы эти пропорция и отношение не были независимы от абсолютной скорости.

Все небесные явления подтверждают эти доводы. Скорость света, определённая по затмениям спутников Юпитера, складывается со скоростью Земли в точности по такому же закону, как закон пропорциональности силы и скорости, и все движения солнечной системы, вычисленные по этому закону, в точности совпадают с наблюдениями.

Итак, вот два закона движения, а именно, закон инерции и закон пропорциональности силы и скорости, которые получены благодаря наблюдениям. Они наиболее естественные и самые простые из всех, какие можно вообразить, и, несомненно, вытекают из самой природы материи. Но так как эта природа нам неизвестна, для нас эти законы – лишь только наблюдённые факты, впрочем, единственные, которые механика заимствует из опыта.

Поскольку скорость пропорциональна силе, эти две величины могут быть выражены одна через другую. Поэтому на основании предыдущего можно получить скорость точки, увлекаемой любым числом сил, у которых известны направления и скорости.

Если точка подвергается действию постоянных сил, в своём непрерывно меняющемся движении она опишет кривую, вид которой зависит от действующих на неё сил. Чтобы его определить, надо рассмотреть элементы этой кривой, выяснить, как они рождаются одни из других и, исходя из закона изменения координат, установить их окончательные выражения. Это является задачей исчисления бесконечно малых, счастливое открытие которого доставило механике так много возможностей. Понятно, насколько полезно совершенствовать этот мощный инструмент человеческого разума.

Сила тяжести являет нам повседневный пример силы, действующей, по-видимому, беспрерывно. Правда, мы не знаем, не разделено ли её действие неощутимо малыми промежутками времени, но поскольку при этой гипотезе явления были бы почти такими же, как и в случае совершенно непрерывного действия, геометры предпочли последнюю гипотезу как более удобную и простую. Изложим законы этих явлений.

Сила тяжести представляется действующей одинаково как на неподвижные, так и на движущиеся тела. В первое мгновение тело, предоставленное её действию, приобретает бесконечно малую ступень скорости, во второе мгновение к ней прибавляется ещё одна ступень скорости и так далее. Таким образом, скорость возрастает вместе со временем.

Если вообразить прямоугольный треугольник, одна сторона которого представляет время и увеличивается вместе с ним, другая сторона могла бы представлять скорость. Элемент поверхности этого треугольника, равный произведению элемента времени на скорость, будет представлять элемент расстояния, пройденного под действием силы тяжести. Это расстояние будет представлено всей площадью треугольника, которая, увеличиваясь как квадрат одной из его сторон, показывает, что в движении, ускоренном силой тяжести, скорости возрастают как время, и высоты, с которых тела падают из положения покоя, увеличиваются как квадраты времени или скорости. Поэтому если за единицу принять расстояние, на которое тело упадёт за первую секунду, оно опустится на четыре единицы за 2 с, на девять единиц через 3 с и т.д. Таким образом, за каждую секунду тело пролетит расстояние, возрастающее как нечётные числа 1,3,5, 7... и т.д.

Расстояние, которое тело прошло бы при постоянной скорости, приобретённой им к концу падения, за время, затраченное на это падение, будет равно произведению этого времени на скорость. Это произведение равно удвоенной поверхности треугольника. Итак, тело, двигающееся равномерно под влиянием приобретённой им скорости, за время, равное времени его падения, описала бы расстояние, вдвое большее, чем то, которое оно прошло при падении.

Отношение приобретённой скорости к времени постоянно для данной ускоряющей силы. Оно увеличивается или уменьшается в зависимости от величины этой силы и, следовательно, может служить для её выражения. Так как удвоенное пройденное расстояние равно произведению времени на скорость, ускоряющая сила равна этому удвоенному расстоянию, разделённому на квадрат времени. Она также равна квадрату скорости, разделённому на удвоенный путь. Эти три способа выражения ускоряющей силы полезны при разных обстоятельствах. Они не дают абсолютных значений этих сил, а выражают лишь их взаимные отношения, что только и нужно для механики.

На наклонной плоскости действие силы тяжести разлагается на две составляющие: одна, перпендикулярная плоскости, уничтожается её сопротивлением, другая, параллельная плоскости, относится к исходному значению силы тяжести как превышение одного конца плоскости над другим к её длине. Следовательно, на наклонных плоскостях движение будет равномерно ускоренным, но скорости и пройденные расстояния будут находиться к скоростям и расстояниям, пройденным за то же время по вертикали, в том же отношении. Отсюда следует, что все хорды вертикальной окружности, сходящиеся к одному из концов её вертикального диаметра, под влиянием силы тяжести описываются за то же время, что и этот диаметр.

Тело, брошенное в направлении любой прямой, непрерывно от неё отклоняется, описывая вогнутую к горизонту кривую, к которой эта прямая является первой касательной. Движение тела, перенесённое на эту касательную вертикальными линиями, равномерно, по оно ускоряется по вертикали в соответствии с приведённым нами законом. Таким образом, вертикали, построенные в каждой точке кривой и продолженные до пересечения с первой касательной, будут пропорциональны квадратам соответствующих отрезков этой касательной, что свойственно параболе. Если сила метания направлена вверх по вертикали, парабола совпадает с ней. Поэтому формулы параболического движения охватывают и ускоренные или замедленные движения по вертикали.

Таковы законы падения тяжёлых тел, открытые Галилеем. Сегодня нам кажется, что их легко было открыть. Но поскольку они ускользнули от исследований философов, несмотря на явления, воспроизводившие их непрерывно, оказался необходимым редкий гений, чтобы распознать их в этих явлениях.

В первой книге мы уже видели, что материальная точка, подвешенная на одном конце невесомой прямой, противоположный конец которой закреплён неподвижно, образует простой маятник. Если этот маятник отклонить от вертикали, он стремится возвратиться к ней, и это стремление почти пропорционально отклонению, если отклонение незначительно. Представим себе два маятника одинаковой длины, одновременно отклоняющихся с очень малыми скоростями от вертикального положения. В первый момент они опишут дуги, пропорциональные этим скоростям. В начале второго момента, равного первому, скорости будут замедлены пропорционально описанным дугам и, следовательно, начальным скоростям. Значит, дуги, описанные за второй момент, также пропорциональны этим скоростям. То же произойдёт в третий момент, в четвёртый и т.д. Таким образом, в каждый момент скорости и дуги, отсчитанные от вертикального положения, будут пропорциональны исходным скоростям, и маятники одновременно придут к состоянию покоя. Затем они вернутся к вертикали ускоренным движением по тем же законам, по которым их скорость замедлялась, и одновременно достигнут её с исходной скоростью. После этого они таким же образом качнутся по другую сторону от вертикали, и, не испытывая сопротивления, качались бы так бесконечно долго. Ясно, что размах их колебаний пропорционален начальной скорости, но время колебаний одно и то же и, следовательно, не зависит от размаха колебаний. Так как сила, ускоряющая или замедляющая маятник, не вполне точно соответствует дуге отклонения от вертикали, при малых колебаниях тяжёлого тела, движущегося по дуге круга, эта изохронность является лишь приблизительной. Изохронность соблюдается в точности при движении маятника по кривой, на которой сила тяжести, разложенная параллельно касательной, пропорциональна дуге, отсчитанной от самой нижней точки, что немедленно даёт её дифференциальное уравнение. Гюйгенс, которому мы обязаны приложением маятника к часам, старался найти эту кривую и способ заставить маятник её описывать. Он нашёл, что это – циклоида, расположенная вертикально так, что её вершина является самой низкой точкой. Чтобы заставить тело, подвешенное на конце нерастяжимой нити, описывать эту циклоиду, достаточно другой конец этой нити укрепить в общем начале двух других таких же циклоид, расположенных тоже вертикально, но в противоположном направлении, причём пить во время качания должна охватывать поочерёдно каждую из этих кривых. Как бы ни были остроумны эти исследования, опыт заставил предпочесть круговой маятник, как более простой и достаточно точный, даже для астрономии.²⁵ Но теория развёрток, или эволют, порождённая ими, оказалась очень важной по своим применениям к системе мира.

Период очень малых колебаний кругового маятника относится к времени, за которое тяжёлое тело падает с высоты, равной двойной длине этого маятника, как полуокружность относится к диаметру. Таким образом, время падения вдоль малой дуги, ограниченной вертикальным диаметром, относится к времени падения вдоль этого диаметра, или, что то же самое, к хорде этой дуги, как четверть окружности относится к диаметру. Следовательно, прямая, проведённая между двумя заданными точками, не является линией самого быстрого спуска от одной из них к другой. Поиски такой линии заинтересовали геометров, и они нашли, что это циклоида, начало которой расположено в самой высокой точке.

Длина простого маятника, отбивающего секунды, относится к удвоенной высоте, с которой падают тела под действием силы тяжести в первую секунду их падения, как квадрат диаметра относится к квадрату окружности. Так как эту длину можно измерить с большой точностью, посредством этой теоремы можно получить время падения тел с определённой высоты значительно точнее, чем путём прямых опытов.²⁶ В первой книге указывалось, что очень точные опыты дали длину секундного маятника ²⁷ в Париже, равную 0.741877 м. Отсюда следует, что сила тяжести заставляет тело за первую секунду падать на 3.66107 м. Этот переход от колебательного движения, период которого можно с большой точностью определять, к прямолинейному движению тяжёлых тел является остроумнейшим наблюдением, которым мы обязаны Гюйгенсу.

Продолжительности очень малых колебаний маятников разной длины, движимых одной и той же силой тяжести, относятся как корни квадратные из их длины. Если же маятники одинаковой длины, а силы тяжести различны, продолжительности колебаний обратны квадратным корням из сил тяжести.

На основании этих теорем было определено изменение силы тяжести на поверхности Земли и на вершинах гор. Наблюдения маятников позволили также узнать, что сила тяжести не зависит ни от поверхности, ни от формы тел, но что она проникает в самые глубокие их части и стремится сообщить им одновременно одинаковые скорости. Чтобы в этом убедиться, Ньютон заставлял колебаться большое число тел одинакового веса, но разной формы и из разных материалов, помещая их в одну и ту же ёмкость, чтобы сопротивление воздуха было одинаковым. Несмотря на всю точность, с которой производились им эксперименты, он не заметил ощутимой разницы в длине простых секундных маятников, выведенной из продолжительности колебания этих тел. Отсюда следует, что при отсутствии сопротивления качанию их скорости, достигнутые под влиянием силы тяжести за одинаковое время, равны между собой.