Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 14 (всего у книги 35 страниц)

Возмущения эллиптического движения планет могут быть разделены на два очень различающихся класса. Одни из них действуют на элементы эллиптического движения и возрастают исключительно медленно. Их называют вековыми неравенствами. Другие зависят от расположения планет, либо относительно друг друга, либо относительно их узлов и перигелиев, и восстанавливаются всякий раз, когда эти расположения повторяются. Они были названы периодическими неравенствами, чтобы отличить их от вековых неравенств, также являющихся периодическими, но периоды которых гораздо длиннее и не зависят от взаимного расположения планет.

Самый простой способ анализа различных возмущений заключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся в согласии с законами эллиптического движения по эллипсу, элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой, по очень маленькой траектории, свойства которой зависят от её периодических возмущений.

Рассмотрим сперва вековые неравенства, которые, действуя в течение веков, должны за длительное время изменять форму и положение всех планетных орбит. Самое важное из этих неравенств то, которое может повлиять на среднее движение планет. При сравнении между собой наблюдений, сделанных со времени возрождения астрономии, движение Юпитера оказалось более быстрым, а Сатурна более медленным, чем движения, полученные из сравнения этих же наблюдений с древними. Астрономы пришли к заключению, что первое из этих движений ускоряется, а второе замедляется от века к веку; и чтобы учесть эти изменения, они ввели в таблицы этих планет два вековых уравнения, возрастающих пропорционально квадратам времени: одно – прибавляемое к среднему движению Юпитера, а другое – вычитаемое из среднего движения Сатурна. Согласно Галлею, вековое ускорение Юпитера равно 106^сс [34"] для первого столетия, начиная от 1700 г. Соответствующее уравнение Сатурна равно 256.^сс94 [83."25]. Естественным было искать причину во взаимном действии этих самых значительных в нашей системе планет. Эйлер, первый занявшийся изучением этого вопроса, получил вековое уравнение, одинаковое для обеих планет. Его надо было прибавлять к их средним движениям, что противоречило наблюдениям. Затем Лагранж получил более соответствующие наблюдениям результаты. Другие геометры нашли ещё иные уравнения. Поражённый этими разногласиями, я снова исследовал этот вопрос, рассмотрев его с наибольшей тщательностью, и пришёл к истинному аналитическому выражению векового движения планет. Подставив в него численные значения величин, относящихся к Юпитеру и Сатурну, я был удивлён, видя, что оно обращалось в нуль. Я догадывался, что это не является исключительной особенностью этих двух планет и что, если полученное мной выражение привести в возможно более простую форму, сведя его к наименьшему числу входящих в него различных величин с помощью существующих между ними зависимостей, все эти члены взаимно уничтожатся. Расчёты подтвердили эту догадку и показали, что, вообще, средние движения планет и их средние расстояния от Солнца неизменны, по крайней мере, если пренебречь четвёртыми степенями эксцентриситетов и наклонностей орбит и квадратами возмущающих масс, что более чем достаточно для современных надобностей астрономии. Лагранж впоследствии подтвердил этот результат, показав с помощью очень красивого метода, что он сохраняет силу даже в отношении любых степеней и произведений эксцентриситетов и наклонностей, а Пуассон путём глубокого анализа показал, что этот вывод продолжает существовать, если распространить приближения на квадраты и произведения масс планет. Таким образом, изменения, наблюдаемые в средних движениях Юпитера и Сатурна, не зависят от их вековых неравенств.

Постоянство средних движений планет и больших осей их орбит представляет одно из самых замечательных явлений в мироздании. Все другие элементы планетных эллипсов изменчивы. Эти эллипсы незаметно приближаются или отдаляются от круговой формы, их наклон к неподвижной плоскости и к эклиптике увеличивается или уменьшается, их перигелии и узлы находятся в движении. Все эти изменения, вызванные взаимным действием планет, осуществляются так медленно, что в течение многих веков они почти пропорциональны времени. Наблюдения уже позволили их обнаружить: мы видели в первой книге, что перигелий земной орбиты в настоящее время имеет прямое годичное движение, равное 36^сс [12"], и что вековое уменьшение наклонности этой орбиты к экватору равно 148^сс [48"]. Эйлер первый объяснил причину этого уменьшения, вызываемого ныне всеми планетами, относительным расположением плоскостей их орбит. Изменения земной орбиты привели к совпадению солнечного перигея с весенним равноденствием в эпоху, к которой можно возвратиться путём анализа и которая, по моим расчётам, была за 4089 лет до нашей эры. Примечательно, что эта астрономическая эпоха приблизительно совпадает с той, к которой большинство хронологов относит сотворение мира.

Старинные наблюдения недостаточно точны, а современные слишком близки друг к другу, чтобы с точностью установить величину больших изменений в орбитах планет. Тем не менее их совокупность достаточна, чтобы доказать существование этих изменений и показать, что их ход именно таков, какой вытекает из закона всемирного тяготения. Поэтому посредством теории можно было бы опередить наблюдения и определить истинные значения вековых неравенств планет, если бы знать их массы; одним из наиболее надёжных способов узнать их является наблюдение развития этих неравенств во времени. Тогда можно будет мысленно вернуться к последовательным изменениям, которые испытала планетная система; можно будет предвидеть те изменения, которые в будущие века предстанут перед наблюдателями, и геометр в своих формулах одним взглядом охватит все прошлые и будущие состояния этой системы.

Здесь возникает много интересных вопросов. Всегда ли были и будут планетные эллипсы близкими к окружностям? Не были ли некоторые из планет вначале кометами, орбиты которых потом постепенно приблизились к круговым под влиянием притяжения других планет? Не будет ли уменьшение наклонности эклиптики продолжаться до совпадения её с экватором, что установило бы постоянное равенство дня и ночи на всей Земле? На эти вопросы анализ отвечает удовлетворительным образом. Мне удалось доказать, что каковы бы ни были массы планет, только из-за того, что все они движутся в одном направлении и по мало эксцентричным орбитам с малым наклоном по отношению друг к другу, их вековые неравенства должны быть периодическими и заключёнными в узкие пределы, так что планетная система только колеблется около среднего состояния, от которого она отклоняется лишь на очень малую величину. Таким образом, эллипсы планет всегда были и будут почти круговыми, откуда следует, что ни одна планета не была вначале кометой, по крайней мере, если принимать во внимание лишь взаимодействие тел планетной системы. Эклиптика никогда не совпадёт с экватором, и полный размах изменений её наклонности не может превысить трёх градусов.

Движения планетных орбит и звёзд могут помешать астрономам, если они захотят сравнивать точные наблюдения, разделённые большими промежутками времени. Это затруднение уже даёт о себе знать. Поэтому было бы интересно найти неизменную плоскость, или такую, которая сохраняла бы положение, параллельное самой себе. В конце предыдущей книги мы изложили простой способ для определения подобной плоскости при движении системы тел, подверженных только их взаимным воздействиям. Этот способ в применении к солнечной системе даёт следующее правило:

«Если в некоторый момент на плоскости, проходящей через центр Солнца, провести из этого центра прямые к восходящим узлам планетных орбит на этой плоскости; если на этих прямых отложить от центра Солнца отрезки, представляющие тангенсы углов наклона орбиты к этой плоскости; если затем предположить, что на концах отложенных отрезков находятся массы, пропорциональные массам планет, умноженным, соответственно, на квадратные корни из параметров их орбит и на косинусы их наклонностей, и, наконец, определить центр тяжести этой новой системы масс, то прямая, проведённая из этой точки в центр Солнца, представит тангенс угла наклона неизменной плоскости над данной плоскостью, и продолжение прямой за эту точку, до пересечения с небом, отметит положение её восходящего узла».

Каковы бы ни были изменения, внесённые чередой веков в планетные орбиты и в плоскость, к которой их относят, определённая нами по этим правилам плоскость сохранит всегда параллельное положение. Правда, её положение зависит от масс планет. Но скоро они будут достаточно хорошо известны, чтобы с точностью его установить. Принимая для этих масс значения, которые мы приведём в следующей главе, находим, что долгота восходящего узла неизменной плоскости в начале XIX в. была равна 114.^g7008 [103.°2307], а её наклон к эклиптике в ту же эпоху составляет l.^g7565 [1.°5808].

Мы не учитываем здесь кометы, которые всё же должны оказывать влияние на положение этой неизменной плоскости, поскольку они входят в солнечную систему. Было бы легко принять их во внимание по тому же правилу, если бы их массы и элементы их орбит были известны. Но из-за недостатка наших знаний в этой области мы предполагаем их массы достаточно малыми, чтобы их действие на планетную систему было незаметно. Это представляется очень вероятным, так как теория взаимного притяжения планет оказывается достаточной, чтобы представить все неравенства, наблюдаемые в их движениях. Впрочем, если влияние комет сказывается с течением времени, оно должно изменять главным образом положение плоскости, которое мы считаем неизменным. Даже с этой, новой точки зрения рассмотрение этой плоскости будет полезным, если удастся узнать её изменения, что представит большие трудности.

Теория вековых и периодических неравенств движения планет, основанная на теории всемирного тяготения, была подтверждена её согласием со всеми древними и современными наблюдениями. Эти неравенства особенно заметны в теории Юпитера и Сатурна. Они представляются в таком сложном виде и продолжительность их периодов столь значительна, что понадобилось бы несколько веков, чтобы из одних наблюдений определить их законы; и в этом теория обогнала наблюдения.

Узнав о неизменности средних планетных движений, я заподозрил, что наблюдаемые изменения в движениях Юпитера и Сатурна происходят от действия комет. Лаланд заметил в движении Сатурна неправильности, казавшиеся независимыми от действия Юпитера. Он нашёл, что возвращения Сатурна к точке весеннего равноденствия в прошлом веке происходили раньше, чем возвращения к осеннему равноденствию, хотя положения Юпитера и Сатурна как между собой, так и относительно их перигелиев были почти одинаковыми. Ламберт наблюдал ещё, что среднее движение Сатурна, которое, если исходить из сравнения современных наблюдений с древними, казалось, замедляется от века к веку, напротив, ускорялось, если сравнивать между собой одни современные наблюдения, тогда как среднее движение Юпитера представляло обратное явление. Всё это наводило на мысль, что изменения в движениях Юпитера и Сатурна происходили по причинам, не зависящим от действия этих планет. Но при дальнейшем размышлении ход наблюдённых изменений в средних движениях этих двух планет показался мне так хорошо согласующимся с тем, который должен был следовать из их взаимного притяжения, что без дальнейших колебаний я отбросил гипотезу постороннего влияния.

Замечательный результат взаимного влияния планет заключается в том, что если принять во внимание лишь неравенства, имеющие очень длинные периоды, сумма отношений массы каждой планеты к большой оси её орбиты, рассматриваемой как изменяющийся эллипс, всегда почти постоянна. Поскольку квадраты средних движений обратно пропорциональны кубам этих осей, из этого следует, что если движение Сатурна замедляется действием Юпитера, то движение Юпитера должно ускоряться влиянием Сатурна; это согласуется с наблюдениями. Я увидел также, что и отношение этих изменений совпадает с тем, что получалось из наблюдений. Если, подобно Галлею, для первого века, считая с 1700 г., отставание Сатурна положить равным 256.^сс94 [83."25], соответствующее ускорение Юпитера было бы 104,^сс91 [33."99], а Галлей из наблюдений получил 106.^сс02 [34."35]. Поэтому было очень вероятно, что изменения, наблюдённые в средних движениях Юпитера и Сатурна, создаются их взаимным притяжением, а так как достоверно известно, что это действие не может создать никакого постоянно возрастающего неравенства, так же как и периодического, но с периодом, независимым от взаимного расположения этих планет, и что оно создаёт только неравенства, зависящие от этого взаимного расположения, то было естественно думать, что в их теории существует значительное неравенство-такого рода с очень долгим периодом, порождающее эти изменения.

Такого рода неравенства, хотя и очень малые и почти незаметные в дифференциальных уравнениях, значительно увеличиваются при интегрировании и могут достичь большой величины в выражении, представляющем долготу планеты. Мне было легко обнаружить подобные неравенства в дифференциальных уравнениях движения Юпитера и Сатурна. Эти движения почти соизмеримы, и пятикратное движение Сатурна почти равно удвоенному движению Юпитера.

Отсюда я заключил, что члены, имеющие аргументом пятикратную среднюю долготу Сатурна без удвоенной средней долготы Юпитера, могут стать очень заметными при интегрировании, хотя они умножаются на кубы и произведения трёх измерений эксцентриситетов и наклонностей орбит. В соответствии с этим я смотрел на эти члены как на очень возможную причину вариаций, наблюдаемых в средних движениях этих планет. Большая вероятность этой причины и важность вопроса побудили меня предпринять утомительные вычисления, необходимые для подтверждения моих предположений. Результат вычислений их полностью подтвердил и показал, что, во-первых, в теории Сатурна существует большое неравенство с максимумом в 8895.^сс7 [2882."2] и с периодом в 929 лет, которое должно прибавляться к среднему движению этой планеты, и что, во-вторых, движение Юпитера подобным же образом подчинено соответствующему неравенству обратного знака почти с таким же периодом, доходящему до З662.^сс4 [1186."6]. Величины коэффициентов этих неравенств и их периоды не всегда одинаковы. Они участвуют в вековых вариациях элементов орбит, от которых они зависят. Я с особой тщательностью определил эти коэффициенты и их вековые уменьшения.

Этим двум большим неравенствам, ранее не известным, следует приписать видимое замедление Сатурна и видимое ускорение Юпитера. Явления эти достигли максимума около 1560 г. С этой эпохи средние видимые движения этих двух планет стали приближаться к истинным и были им равны в 1790 г. Вот почему Галлей, сравнив современные наблюдения с древними, нашёл среднее движение Сатурна более медленным, а Юпитера более быстрым, чем при сравнении между собой современных наблюдений, а Ламберт, наоборот, исходя из современных наблюдений, получил ускорение в движении Сатурна и замедление Юпитера. Замечательно, что величина этих изменений, выведенная только из наблюдений Галлея и Ламберта, очень близка к той, которая получается из двух больших неравенств, о которых я говорил. Если бы астрономия возродилась на четыре с половиной века позже, наблюдения дали бы противоположный результат. Таким образом, средние движения, приписываемые астрономами какого-либо народа Юпитеру и Сатурну, могут указать нам эпоху, когда у этого народа возникла астрономия. Таким путём находим, что индийцы определили среднее движение этих планет в той части периода описанных неравенств, в которой видимое среднее движение Сатурна было самым медленным, а Юпитера самым быстрым. Две из таких эпох, из которых одна относится к 3102 г. до христианской эры, а другая – к 1491 г., удовлетворяют этим условиям.

Почти соизмеримое отношение движений Юпитера и Сатурна порождает ещё другие, очень заметные неравенства. Самое значительное из них проявляется в движении Сатурна. Оно смешалось бы с уравнением центра, если бы пятикратное движение этой планеты не оказалось в точности равным двукратному движению Юпитера. Главным образом в прошлом веке оно привело к более быстрому возвращению Сатурна к весеннему равноденствию, чем к осеннему. Вообще, когда я обнаружил эти неравенства и с большей точностью, чем это делалось раньше, определил те, которые уже вычислялись, я увидел, что все явления, наблюдаемые в движениях этих двух планет, сами собой укладываются в теорию. Прежде казалось, что они составляют исключения из закона всемирного тяготения, но теперь они стали одним из самых убедительных его доказательств. Такова была судьба этого блестящего открытия Ньютона, что каждая возникающая трудность оказывалась для него источником нового триумфа, что является наиболее верным признаком истинной системы природы. Формулы, к которым я пришёл, чтобы представить движение Юпитера и Сатурна, удовлетворяют с замечательной точностью противостояниям этих двух планет, наблюдённым самыми искусными астрономами с помощью лучших меридианных инструментов и самых больших квадрантов. Ошибка никогда не достигала 40^сс [13"], а ведь не прошло и 20 лет с той поры, когда ошибки лучших таблиц, превышали иногда 4000^сс [1300"]. С точностью самих наблюдений эти формулы представляют ещё наблюдения Флемстида и арабов, а также наблюдения, упоминаемые Птолемеем. Высокая точность, с которой две самые большие планеты нашей системы подчинялись с самых отдалённых времён законам своего взаимного притяжения, доказывает устойчивость этой системы, поскольку Сатурн, притяжение которого Солнцем приблизительно в 100 раз меньше, чем притяжение тем же светилом Земли, со времён Гиппарха и до наших дней не испытал никакого заметного действия со стороны посторонних причин.³⁰

Я не могу не сравнить здесь реальные эффекты отношения, существующего между средними движениями Юпитера и Сатурна, с теми, которые им приписывала астрономия. В силу этого отношения взаимные соединения этих двух планет происходят с интервалом около 20 лет. Но точка неба, где это случается, отступает приблизительно на одну треть зодиака, так что, если соединение случается в первой точке Овна, через 20 лет оно будет в знаке Стрельца, ещё через 20 лет перейдёт в знак Льва, а потом опять в знак Овна, но уже на расстоянии 10^g [9°] от своего первоначального положения. Соединения будут происходить в этих трёх знаках зодиака около 200 лет. Затем точка соединений подобным же образом за два следующих столетия пройдёт знаки Тельца, Козерога и Девы, затратит ещё 200 лет, чтобы пройти знаки Близнецов, Водолея и Весов и наконец в два следующих века пройдёт знаки Рака, Рыб и Скорпиона, чтобы снова начать движение со знака Овна. Так образуется большой год, каждый сезон которого продолжается два века. Этим сезонам приписывали разную температуру, так же как и знакам, которые им соответствуют. Совокупность этих трёх знаков называлась тригоном. Первый был тригоном огня, второй – земли, третий – воздуха и четвёртый – воды. Можно себе представить, что астрология широко пользовалась этими тригонами, которые сам Кеплер с большими подробностями разъяснял во многих работах. Но примечательно, что здравая астрономия, заставив исчезнуть эти воображаемые влияния соотношений между средними движениями Юпитера и Сатурна, нашла в них источник больших возмущений планетной системы.

Планета Уран, хотя открыта недавно, уже обнаруживает неопровержимые признаки возмущений, испытываемых ею под воздействием Юпитера и Сатурна. Законы эллиптического движения не удовлетворяют в точности её наблюдённым положениям, и чтобы представить последние, надо учитывать эти возмущения. Их теория по замечательному совпадению помещает эту планету в 1769, 1756, 1690 гг. в те точки неба, в которых Лемонье, Майер и Флемстид определили положение трёх слабых звёзд, не обнаруживаемых в наши дни, что не оставляет сомнения в их идентичности с Ураном.

Недавно открытые малые планеты подвержены действию очень больших неравенств, которые прольют новый свет на теорию небесных притяжений и приведут к её усовершенствованию. Но путём наблюдений ещё не было возможности их выявить. Нет ещё и трёх веков, как Коперник, первый, ввёл в астрономические таблицы движения планет вокруг Солнца. Около века спустя Кеплер ввёл в них законы эллиптического движения, найденные им по наблюдениям Тихо Браге и приведшие Ньютона к открытию всемирного тяготения. После этих трёх эпох, которые будут навеки памятными в истории науки, развитие анализа бесконечно малых позволило нам применить его к вычислению многочисленных неравенств в движениях планет, возникающих от их взаимного притяжения. Благодаря этому таблицы достигли неожиданной точности: ранее их ошибки доходили до нескольких минут, теперь же они уменьшились до немногих секунд; и, вероятно, их отклонения часто вызваны неизбежными погрешностями наблюдений.

Глава III О МАССАХ ПЛАНЕТ И О СИЛЕ ТЯЖЕСТИ НА ИХ ПОВЕРХНОСТИ

Так как отношение массы планеты к массе Солнца является главным элементом теории возмущений, которые эта планета производит, сравнение этой теории с большим числом очень точных наблюдений должно позволить нам узнать это отношение тем точнее, чем больше возмущения, причиной которых она является. Именно таким способом были определены массы Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна. Массы Юпитера и Сатурна, а также планет, имеющих спутников, могут быть определены ещё следующим образом.

Из изложенных в предыдущей книге теорем о центробежной силе следует, что сила притяжения спутника к своей планете относится к притяжению Земли Солнцем, как радиус орбиты спутника, разделённый на квадрат звёздного времени обращения, относится к среднему расстоянию Земли от Солнца, разделённому на квадрат звёздного года. Чтобы привести эти силы тяготения к одному и тому же расстоянию от тел, которые их порождают, надо умножить их, соответственно, на квадраты радиусов орбит, описываемых под действием этих сил; и так как на одинаковых расстояниях массы пропорциональны притяжениям, масса планеты относится к массе Солнца как куб среднего радиуса орбиты спутника, разделённый на квадрат времени его звёздного обращения, относится к кубу среднего расстояния Земли от Солнца, разделённому на квадрат звёздного года. Этот результат предполагает, что можно пренебречь массой спутника относительно его планеты и массой планеты относительно массы Солнца; это можно сделать без заметной ошибки. Результат будет точнее, если вместо массы планеты подставить сумму масс планеты и спутника, а вместо массы Солнца – сумму масс Солнца и планеты, потому что сила, удерживающая тело на своей орбите вокруг притягивающего его тела, зависит от суммы обеих масс.

Применим полученный вывод к Юпитеру. Средний радиус орбиты четвёртого спутника, который мы приводили во второй книге, если бы наблюдать его с расстояния, равного среднему расстоянию Земли от Солнца, был бы виден под углом в 7964.^сс75 [2580."58]. Радиус окружности содержит 636 619.^сс8 [206 264."8]. Следовательно, отношение средних радиусов орбиты четвёртого спутника и Земли равно отношению этих двух чисел. Продолжительность звёздного обращения четвёртого спутника равна 16.6890 суток, а звёздный год равен 365.2564 суток. Исходя из этих данных, находим, что масса Юпитера, если за единицу взять массу Солнца, равна 1/1067.09. Для большей точности надо уменьшить делитель этой дроби на одну единицу. Тогда получаем 1/1066.09.

Таким же образом я нашёл, что масса Сатурна равна 1/3359.4, а масса Урана составляет 1/19504 массы Солнца.

Возмущения, испытываемые этими тремя большими планетами под влиянием их взаимного притяжения, дают способ с большой точностью получить значения их масс. Бувар, сравнив с моими формулами, приведёнными в «Небесной механике», большое число особенно тщательно проанализированных наблюдений, построил новые, очень точные таблицы Юпитера, Сатурна и Урана. Для этой важной работы он составил условные уравнения, оставив в них в качестве неизвестных массы этих планет. Решив эти уравнения, он получил, соответственно, следующие величины масс: 1/1070.5; 1/3512; 1/17918.

Если учесть трудность измерения элонгаций спутников Сатурна и Урана и незнание нами эллиптичности орбит этих спутников, достойна удивления та малая разница, которая получилась между величинами, вычисленными исходя из этих элонгаций, и выведенными по возмущениям. Эти последние величины включают для каждой планеты как её массу, так и массу её спутников, к тому же для Сатурна надо прибавить ещё массу кольца. Но всё наводит на мысль, что масса планеты сильно превышает массы окружающих её тел. Во всяком случае это несомненно для Юпитера и Земли. Применяя мой метод анализа вероятностей к условным уравнениям г-на Бувара, было найдено, что, с вероятностью в миллион против одного, значение массы Юпитера, которое получил Бувар, ошибочно не более чем на ±1/100 своей величины. Для массы Сатурна эта вероятность равна 11000 против единицы. Так как возмущения, производимые Ураном в движении Сатурна, незначительны, придётся ждать большего числа наблюдений, чтобы получить его массу с той же вероятностью. Но при существующем состоянии наблюдений можно ставить 2500 против одного, что приведённая выше величина ошибочна не больше чем на свою четвёртую часть.

Возмущения, испытываемые Землёй из-за притяжения Венерой и Марсом, достаточно заметны, чтобы определить массы этих двух планет. Буркхардт, составивший великолепные солнечные таблицы, основанные на четырёх тысячах наблюдений, получил массы этих планет, равными, соответственно, 1/405871 и 1/2546320.

Описанным ниже способом можно получить и массу Земли. Если за единицу взять её среднее расстояние от Солнца, дуга, описываемая ею за секунду времени, будет равна отношению окружности к радиусу, делённому на число секунд в звёздном году, или на 36 525 636.1с [31 558 149.^s6]. Разделив квадрат этой дуги на диаметр, получим для её синуса-верзуса 1479 565/10²⁰. Это та величина, на которую Земля падает за одну секунду на Солнце в силу своего относительного движения вокруг этого светила. В предыдущей главе мы видели, что на земной параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3, в результате притяжения Земли тела падают за одну секунду на 3.66477 м. Чтобы привести это притяжение к среднему расстоянию Земли от Солнца, его надо умножить на квадрат синуса солнечного параллакса и полученное произведение разделить на число метров, заключённых в этом расстоянии. Земной радиус на рассматриваемой нами параллели равен 6 369 809 м. Поэтому, разделив это число на синус солнечного параллакса, полагаемого равным 26.^сс54 [8."60], мы получим средний радиус земной орбиты, выраженный в метрах. Отсюда следует, что действие притяжения Земли на среднем расстоянии этой планеты от Солнца равно произведению дроби 3.66477/6369809 на куб синуса 26.^сс54 [8."60], т.е. 4.16856/10²⁰. Вычтя эту дробь из 1479565/10²⁰, получим, что притяжение Солнца на таком же расстоянии равно 1 479 560.8/10²⁰. Следовательно, отношение масс Солнца и Земли равно отношению чисел 1479 560.8 и 4.16856, откуда следует, что масса Земли равна 1/354936 массы Солнца.

Если параллакс Солнца немного отличается от предположенного нами, значение массы Земли должно измениться как куб этого параллакса по сравнению с кубом параллакса 26.^сс54 [8."60].

Масса Меркурия была определена по его объёму в предположении, что плотности этой планеты и Земли обратны их расстояниям до Солнца. Хотя эта гипотеза весьма ненадёжна, но она довольно хорошо удовлетворяет относительным плотностям Земли, Юпитера и Сатурна. Со временем, когда будут лучше известны вековые изменения движений небесных тел, все эти величины надо будет уточнить.

Массы планет при массе Солнца, принятой за единицу:

Меркурий

1/2 025 810

Юпитер

1/1070.5

Венера

1/405 871

Сатурн

1/3512

Земля

1/354 936

Уран

1/17 918

Марс

1/2 546 320

Плотности тел пропорциональны массам, делённым на объёмы, а когда массы имеют приблизительно сферическую форму, их объёмы относятся как кубы их радиусов. Поэтому плотности относятся как массы, делённые на кубы радиусов. Но для большей точности за радиус планеты надо брать радиус, соответствующий параллели, у которой квадрат синуса широты равен 1/3.

В первой книге мы видели, что полудиаметр Солнца виден со среднего расстояния Солнца от Земли под углом в 2966 ^сс [961"]. На таком же расстоянии земной радиус был бы виден под углом в 26.^сс54 [8."60]. Отсюда легко заключить, что если за единицу взять среднюю плотность солнечного шара, средняя плотность Земли оказывается равной 3.9326. Эта величина независима от солнечного параллакса, так как и объём и масса Земли возрастают как кубы этого параллакса.

Экваториальный полудиаметр Юпитера, видимый на среднем расстоянии от Солнца, по точным измерениям Араго равен 56.^сс702 [18."371]. Полуось, проходящая через полюса, равна 53.^сс497 [17."333]. Поэтому радиус сфероида Юпитера, соответствующий параллели, квадрат синуса широты которой равен 1/3, был бы виден на таком же расстоянии под углом в 55.^сс967 [18."133], а на среднем расстоянии от Земли до Солнца – под углом в 291.^сс185 [94."344]. Отсюда легко заключить, что плотность Юпитера равна 0.99239.

Таким же способом можно определить плотности других планет, но ошибки измерений их видимых диаметров и оценки их масс ещё создают большую неуверенность в результатах вычислений. Если предположить видимый диаметр Сатурна на среднем расстоянии от Солнца равным 50^сс [16"], получим его плотность, равной 0.55, опять-таки принимая за единицу плотность Солнца.

Сравнивая относительные плотности Земли, Юпитера и Сатурна, видим, что они меньше у планет, более отдалённых от Солнца. Кеплер пришёл к тому же выводу, руководствуясь идеями порядка и гармонии, и предположил, что плотности планет обратно пропорциональны корням квадратным из их расстояний. Но по тем же соображениям он считал, что Солнце – наиболее плотное из всех небесных светил, что, конечно, не так. Планета Уран, плотность которой кажется превосходящей плотность Сатурна, отклоняется от приведённого правила, но неуверенность в измерениях её видимого диаметра и наибольших элонгаций её спутников не позволяет дать окончательный ответ на этот вопрос.