Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 22 (всего у книги 35 страниц)

Движение Земли благодаря простоте, с которой оно объясняет небесные явления, было признано астрономами и получило новое подтверждение из принципа тяготения, который поднял его на высшую ступень очевидности, достижимую физическими науками. Достоверность теории можно увеличивать, либо уменьшая число гипотез, на которые она опирается, либо увеличивая число явлений, которые она объясняет. Принцип тяготения дал теории движения Земли оба этих достоинства. Поскольку это движение является его необходимым следствием, оно не добавляет никаких новых предположений к этой теории; но чтобы объяснить движение светил, Коперник приписывал Земле три различных движения: одно – вокруг Солнца, второе – вращение вокруг себя самой и, наконец, третье – движение её полюсов вокруг полюсов эклиптики. В соответствии с принципом тяготения, все эти движения зависят от одного движения, сообщённого Земле в направлении, не проходящем через её центр тяжести. В силу этого движения она вращается вокруг Солнца и самой себя, приняла фигуру, сплюснутую у полюсов, и действие Солнца и Луны на эту фигуру заставляет ось Земли медленно двигаться вокруг полюсов эклиптики. Открытие этого принципа сократило до самого малого возможного числа предположения, на которых Коперник обосновал свою теорию. Этот принцип имеет то достоинство, что он связывает теорию со всеми астрономическими явлениями. Без него эллиптичность планетных орбит, законы, которым следуют планеты и кометы в своих движениях вокруг Солнца, их вековые и периодические неравенства, многочисленные неравенства Луны и спутников Юпитера, предварение равноденствий, нутация земной оси, движение лунной оси, наконец, морские приливы и отливы были бы лишь не связанными между собой результатами наблюдений. И что действительно достойно восхищения, все эти явления, которые кажутся с первого взгляда столь разрозненными, вытекают из общего закона, который связывает их с движением Земли так, что, однажды приняв это движение, мы путём геометрических рассуждений приходим ко всем этим явлениям. Поэтому каждое из них даёт доказательство его существования; и если учесть, что теперь нет ни одного явления, которое не было бы приведено к закону тяготения, и что этим законом определяются с наибольшей точностью положения небесных тел, в каждое мгновение и на всех их путях, то можно не опасаться, что он будет опровергнут каким-нибудь до сих пор не наблюдённым явлением. Наконец, его подтверждает то, что планета Уран и её спутники, а также четыре недавно открытые малые планеты подчиняются ему. Невозможно отвергать совокупность этих доказательств и не согласиться с тем, что ничто не доказано лучше в натуральной философии, чем движение Земли и принцип всемирного тяготения, пропорционального массам и обратно пропорционального квадратам расстояний.

Исключительная трудность проблем, относящихся к системе мира, заставляет прибегать к приближениям, которые всегда оставляют опасения, что пренебрежённые величины окажут на их результаты заметное влияние. Когда наблюдения наводили геометров на мысль, что это влияние имеет место, они возвращались к своему анализу. Исправляя его, они всегда находили причину наблюдённых аномалий. Они определяли законы и часто, открывая неравенства, опережали наблюдения, которые их ещё не указывали. Теории Луны, Сатурна, Юпитера и его спутников дают, как мы видели, много примеров такого рода. Поэтому можно сказать, что сама природа содействовала улучшению астрономических теорий, созданных исходя из принципа всемирного тяготения. По моему мнению, это одно из самых сильных доказательств истинности этого удивительного принципа.

Является ли этот принцип первичным законом природы? Не есть ли он лишь общее следствие неизвестной причины? Здесь неведение, в котором мы пребываем относительно внутренних свойств материи, останавливает нас и отнимает всякую надежду удовлетворительным образом ответить на эти вопросы. Вместо гипотез ограничимся более подробным рассмотрением того, каким образом принцип тяготения был применён геометрами.

Они исходили из пяти следующих предположений: 1) тяготение имеет место между самыми малыми молекулами тел; 2) оно пропорционально массам; 3) оно обратно пропорционально квадрату расстояния; 4) оно мгновенно передаётся от одного тела к другому; 5) наконец, оно одинаково действует на тела, находящиеся в покое и на те, которые, уже двигаясь в его направлении, кажутся частично освобождёнными от его действия.

Первое из этих предположений, как мы видели, есть необходимый результат равенства, существующего между действием и противодействием. Каждая молекула Земли должна притягивать всю Землю так же, как она притягивается сама. Это предположение подтверждается к тому же измерениями градусов меридиана и наблюдениями маятника, так как из неправильностей фигуры Земли, как будто указываемых измеренными градусами, если можно так выразиться, выделяют черты правильной фигуры, согласующейся с теорией. Два неравенства лунного движения, по долготе и широте, вызванные эллиптичностью Земли, также доказывают, что её притяжение складывается из притяжения всех её молекул. Наконец, то же самое доказывается для Юпитера большим влиянием его сжатия на движение узлов и перийовиев его спутников.

Пропорциональность силы тяготения массам доказывается на Земле опытами с маятником, продолжительность колебания которого в точности одинакова, каково бы ни было вещество, которое заставляют колебаться. В небесных пространствах она доказывается постоянным отношением квадратов времён обращения тел, движущихся вокруг общего фокуса, к кубам больших осей их орбит. Действие силы тяжести не нарушается причинами, которые, не меняя массы системы тел, могут значительно изменять её внутреннее строение. Так, кипение, расширение газов, электричество, теплота и соединения, получаемые путём смешивания нескольких веществ, заключённых в закрытом сосуде, не меняют вес системы ни во время, ни после смешивания. Подобно этому наблюдали, что после сильного намагничивания стальная полоса сохраняет тот же вес, что и до него. Равенство действия противодействию и аналогия доказывают, что подобные явления, происходящие на Земле и во всех небесных телах, не изменяют их притягивающих сил иначе, как путём изменения, производимого ими в положении молекул вокруг центра тяжести этих тел; действие такого изменения становится неощутимым на больших расстояниях.

Мы видели в главе I, с какой точностью почти абсолютная неподвижность перигелиев планетных орбит указывает на закон обратной пропорциональности тяготения квадратам расстояний. Теперь, когда мы знаем причину небольших движений этих перигелиев, мы должны считать этот закон строгим. Формула закона одинакова для всех эманаций, выходящих из одного центра, таких, как свет. Представляется даже, что все силы, действие которых замечается на ощутимых расстояниях, следуют этому закону. Недавно узнали, что электрические и магнитные притяжения и отталкивания убывают в отношении квадратов расстояний, поскольку все эти силы ослабляются при своём распространении только потому, что они распространяются как свет, причём их суммы одинаковы на различных сферических поверхностях, которые можно вообразить вокруг их фокусов. Замечательным свойством этого закона природы является то, что если бы размеры всех тел нашей вселенной, их взаимные расстояния и их скорости пропорционально возросли или уменьшились, они описывали бы кривые, полностью подобные тем, которые они описывают; и их видимые движения остались бы в точности такими же, поскольку силы, движущие ими, являются результатом притяжений, пропорциональных массам, разделённым на квадраты расстояний, и они возросли бы или уменьшились пропорционально размерам новой вселенной. В то же время видно, что это свойство может принадлежать только закону природы. Таким образом, видимые движения вселенной независимы от её абсолютных размеров, так же как и от абсолютного движения, которое она может иметь в пространстве; мы можем наблюдать и познавать только их соотношения. Этот закон даёт сферам свойство взаимно притягиваться так, как если бы их массы были сосредоточены в их центрах. Он ограничивает орбиты и фигуры небесных тел линиями и поверхностями второго порядка, по крайней мере, если пренебречь их возмущениями и полагать эти тела состоящими из флюида.

Мы не имеем никакой возможности измерить время распространения тяготения, поскольку Солнце, коль скоро его притяжение однажды достигло планет, продолжает воздействовать на них, как если бы его притягивающая сила передавалась до пределов планетной системы. Поэтому нельзя знать, за какое время тяготение достигает Земли, так же как было бы невозможно без затмений спутников Юпитера и без аберрации узнать, что свет распространяется с конечной скоростью. Иначе обстоит дело с маленькой разницей, которая может существовать в действии силы тяготения на тела в зависимости от направления и величины их скорости. Расчёт показал мне, что из этой разницы следует возрастание средних движений планет вокруг Солнца и спутников вокруг своих планет. Я вообразил, что таким способом можно объяснить вековое уравнение Луны, поскольку думал, так же как и все геометры, что оно необъяснимо при принятых представлениях о действии тяготения. Я нашёл, что если бы вековое уравнение Луны происходило по этой причине, то чтобы полностью заменить ею тяготение Луны к Земле, надо было бы приписать Луне скорость, направленную к центру этой планеты, по крайней мере, в 7 000 000 раз большую, чем скорость света. Поскольку истинная причина векового уравнения Луны сегодня хорошо известна, мы уверены, что скорость распространения тяготения ещё гораздо больше. Значит, эта сила действует со скоростью, которую мы можем рассматривать как бесконечную; и мы должны заключить, что притяжение Солнца передаётся за почти неделимое мгновенье до крайних пределов солнечной системы.

Существуют ли между небесными телами другие силы, помимо их взаимного притяжения? Мы этого не знаем, но, по крайней мере, можем утверждать, что их действие не замечается. Мы можем также утверждать, что все эти тела испытывают до сих пор не замеченное сопротивление со стороны флюидов, сквозь которые они проходят, таких как свет, хвосты комет и зодиакальный свет. Масса Солнца должна беспрерывно уменьшаться из-за непрерывной эмиссии его лучей. Но то ли из-за исключительной лёгкости света, то ли потому, что это светило восстанавливает потерю неизвестным до сих пор способом, несомненно, что за 2000 лет его вещество не уменьшалось даже на 1/2000000.

В электрических и магнитных явлениях природа представляет нам силы отталкивания, которые следуют тому же закону, что и всемирное тяготение. С помощью очень тонких опытов Кулон показал, что точки, несущие одинаковые электрические заряды, отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и притягиваются, следуя тому же закону, если заряды противоположны. Рассматривая электричества противоположного знака как два различных флюида, совершенно подвижных в проводящих телах и удерживаемых поверхностями непроводящих тел, полагая затем, что молекулы одного и того же флюида взаимно отталкиваются и притягивают молекулы другого флюида, следуя закону небесных притяжений, можно применять к ним формулы, относящиеся к этим притяжениям. Таким способом я показал, что в проводящих телах электрический флюид для равновесия должен находиться полностью на поверхности, где он образует очень тонкий слой, сдерживаемый окружающим его воздухом. Его отталкивание внутри тела равно нулю, но на внешней поверхности оно в каждой точке пропорционально толщине слоя. Давление, испытываемое каждой из его внешних точек, вследствие которого флюид стремится удалиться, пропорционально квадрату этой толщины. На каком-либо эллипсоиде две поверхности слоя, внешняя и внутренняя, подобны и концентричны поверхности эллипсоида. Если это вытянутый эллипсоид вращения, стремление флюида удалиться с полюсов относится к его стремлению покинуть экватор как квадрат большой оси к квадрату малой, и это даёт математическое объяснение способности, которою природа наделила острия тел. Но распределение электрических флюидов на теле произвольной формы или на нескольких телах, находящихся вместе, является исключительно трудной проблемой, которая может привести к очень любопытным аналитическим исследованиям, так как решение этих трудных вопросов имеет то преимущество, что при этом совершенствуется сразу и физика и анализ. Г-н Пуассон с помощью очень искусного анализа уже вывел закон, по которому электричество распределяется по поверхности двух находящихся вместе сфер. Согласие этих результатов с опытами Кулона подтверждает правильность принципа, служащего им основой. Надо, впрочем, рассматривать все эти силы лишь как математические представления, благодаря которым эти силы могут быть подвергнуты вычислению, а не как качества, присущие электрическим молекулам. Возможно, что они являются равнодействующими других сил, аналогичных химическому сродству, которые сами по себе ощутимы при исключительной близости к контакту, но действие которых с помощью промежуточных флюидов передаётся на заметные расстояния и в отношении, обратном квадратам этих расстояний. Притяжения малых тел, плавающих на поверхности жидкостей, в следующей главе дадут нам замечательный пример такой передачи.

Глава XVIII О МОЛЕКУЛЯРНОМ ПРИТЯЖЕНИИ¹⁶

Притяжение исчезает между телами незначительных размеров и появляется снова в их элементах, принимая бесконечно разнообразные формы. Твёрдость, кристалличность, преломление света, поднятие и понижение жидкостей в капиллярных пространствах, а также все химические реакции суть результаты действия сил, познание которых является одной из главных целей изучения природы. Так, материя подчинена власти различных притягивающих сил: одна из них, бесконечно простираясь в пространстве, управляет движениями Земли и небесных сил; всё, что относится к внутреннему строению составляющих их веществ, зависит главным образом от других сил, действие которых чувствительно только на неуловимо малых расстояниях. Поэтому почти невозможно познать законы их изменения с расстоянием. К счастью, свойство быть заметными лишь в непосредственной близости контакта достаточно, чтобы подвергнуть анализу большое число интересных явлений, зависящих от этих сил. Здесь я представлю вкратце главные результаты этого анализа и этим дополню математическую теорию притягивающих сил в природе.

Мы видели в книге I, что световой луч, переходя из пустоты в прозрачную среду, отклоняется так, что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления постоянно. Этот фундаментальный закон диоптрики есть результат действия среды на свет, причём мы предполагаем, что это действие заметно только на неощутимых расстояниях. В самом деле, представим себе среду, ограниченную плоскостью. Ясно, что молекула света перед тем, как её пересечь, притягивается со всех сторон от перпендикуляра к этой поверхности одинаково, потому что на ощутимом расстоянии от молекулы со всех сторон находится равное число притягивающих молекул. Поэтому их равнодействующая направлена по этому перпендикуляру. После вхождения в среду молекула света продолжает притягиваться вдоль перпендикуляра к поверхности. Если вообразить эту среду разделённой на бесконечно тонкие слои, параллельные её поверхности, то поскольку притяжение слоёв, лежащих выше притягиваемой молекулы, уничтожается притяжением равного числа нижележащих слоёв, мы увидим, что молекула света притягивается в точности так, как она притягивалась бы на том же расстоянии от поверхности перед тем, как её пересечь. Поэтому испытываемое ею притяжение неощутимо, когда она заметно проникла в прозрачную среду, и её движение тогда делается равномерным и прямолинейным. Из принципа сохранения живых сил, изложенного в книге III, вытекает, что квадрат начальной скорости молекулы света, разложенной перпендикулярно к поверхности среды, увеличивается всегда на одну и ту же величину, какова ни была бы эта скорость. Параллельно этой поверхности действием среды скорость не изменяется, и, следовательно, возрастание квадрата полной скорости, как и самой этой скорости, не зависит от начального направления светового луча. Отношение скорости в направлении, параллельном поверхности, к начальной скорости образует синус угла падения, а её отношение к скорости в среде есть синус угла преломления. Поэтому эти два синуса относятся друг к другу как скорости света до и после его входа в среду, и, следовательно, они находятся в постоянном отношении. Разность их квадратов, делённая на квадрат синуса преломления и умноженная на квадрат скорости света в пустоте, выражает действие среды на луч. Разделив его на удельную плотность этой среды, получим её преломляющую силу.

Искривлённая поверхность, ограничивающая прозрачную среду, может быть заменена плоскостью, касательной в точке её пересечения с лучом, так как поскольку действие тел на свет заметно только на неуловимых расстояниях, можно пренебречь действием мениска, заключённого между касательной плоскостью и поверхностью. Поэтому, восставив перпендикуляр к этой поверхности в точке, где её встречает луч, и взяв синусы углов падения и преломления в том же отношении, как если бы поверхность была плоской, мы получим направление луча в среде.

Переходя из одной среды в другую, свет преломляется таким образом, что синусы углов падения и преломления находятся в постоянном отношении, но тогда преломление света вызывается только разностью действий, испытываемых им со стороны этих сред. Когда один луч проходит несколько прозрачных сред, ограниченных плоскими и параллельными поверхностями, его скорость в каждой среде равна и параллельна той, которую он имел бы, если бы прошёл в эту среду непосредственно из пустоты. Вообще, каким бы образом световой луч ни приходил из пустоты в прозрачную среду, его скорость одинакова.

Гипотеза о незаметности действия на ощутимых расстояниях позволяет распространить эти результаты на бесконечно тонкие слои прозрачной среды с переменной плотностью.

С помощью этих принципов, которыми мы обязаны Ньютону, все явления прохождения света через любое число прозрачных сред, а также в атмосфере были подвергнуты строгим расчётам. Эти явления не определяют закона притяжения света телами. Они подчиняются ему только при условии, что он действует лишь на неощутимых расстояниях.

Прозрачная среда различным образом действует на лучи разных цветов. В силу этой разницы белый луч, проходя через прозрачную призму, разлагается на множество цветов. Неравенства скоростей, которое можно предположить у разных лучей, недостаточно, чтобы объяснить явления, наблюдающиеся при дисперсии света, так как в этом случае дисперсия была бы одинаковой для всех сред, которые одинаково преломляют средние лучи, что противоречит опыту, который только один может её установить.

Из этих различий в дисперсии света при прохождении через линзы из разных сортов стекла извлекли большую пользу, устранив цвета, появляющиеся вокруг предметов в обычных телескопах, что придало большое совершенство этим инструментам, столь полезным в астрономии.

Описанные выше законы прохождения света изменяются в прозрачных кристаллах. Свет в них представляет особое явление, наблюдённое впервые в кристалле исландского шпата. Световой луч, падающий перпендикулярно на грань природного ромбоида этого кристалла, разделяется на два пучка: один из них проходит кристалл, не меняя своего направления; другой отклоняется и проходит через плоскость, параллельную плоскости, проведённой перпендикулярно грани по линии, соединяющей два тупых угла этого ромбоида. Эта линия, следовательно, одинаково наклонена к сторонам этих углов. Она называется осью кристалла, а главным сечением натуральной или искусственной грани называют плоскость, проведённую по этой оси перпендикулярно грани, а также всякую параллельную ей плоскость.

Разделение светового луча имеет место при любом угле падения. Одна часть его следует закону обычного преломления, другая часть подчиняется закону, открытому Гюйгенсом; этот закон, который можно рассматривать как результат опыта, может быть поставлен в ряд самых прекрасных открытий этого редкого гения. Он пришёл к этому закону тем остроумным способом, каким он рассматривал прохождение света, который он считал образованным волнами эфирного флюида. Он полагал, что в прозрачных некристаллических средах скорость этих волн меньше, чем в пустоте, и одинакова во всех направлениях. Но в кристалле исландского шпата он предположил два вида колебаний. Скорость первого из них представлялась, как в некристаллических средах, радиусами сферы, центр которой находится в точке падения светового луча на грань кристалла. Скорость второго была переменной и представлялась радиусами эллипсоида вращения, сжатого у полюсов и имевшего тот же центр, что и предыдущая сфера, причём ось вращения эллипсоида была параллельна оси кристалла. Гюйгенс не указывал причину различия этих колебаний; и удивительные явления, которые даёт нам свет, проходя из одного кристалла в другой, о них мы поговорим после, не объясняются его гипотезой. Вместе с трудностями, представляемыми теорией световых волн, это является причиной, почему Ньютон и большинство следовавших ему геометров не оценили по достоинству закон, который связывался Гюйгенсом с этой теорией. Таким образом, этот закон испытал то же, что и прекрасные законы Кеплера, которые долго оставались непризнанными, потому что их ассоциировали с идеями порядка, которыми, к несчастью, этот великий человек заполнил все свои работы. Однако Гюйгенс подтвердил свой закон большим числом опытов. Выдающийся физик Волластон, проделав очень хитроумным способом различные эксперименты с двойным лучепреломлением в кристалле исландского шпата, нашёл их согласными с этим замечательным законом. Наконец, Малю провёл множество очень точных опытов с естественными и искусственными гранями этого кристалла и постоянно наблюдал при этом самое полное согласие между опытом и законом Гюйгенса. Поэтому, не колеблясь надо отнести его к числу наиболее достоверных и прекрасных результатов физики. Непосредственные опыты показали Малю, что этот закон распространяется также и на горный хрусталь.

Теперь о явлении, которое демонстрирует свет, подвергшийся двойному преломлению. Если на некотором расстоянии под кристаллом поместить другой кристалл из такого же или из другого вещества, расположенный так, что главные сечения их противоположных граней параллельны, лучи, преломлённые в первом кристалле как обычным, так и необычным образом, будут так же преломлены и во втором. Но если один из кристаллов повернуть таким образом, что их главные сечения станут взаимно перпендикулярными, луч, обычным образом преломлённый в первом кристалле, необычно преломится во втором, и наоборот. В промежуточных положениях каждый луч, выходящий из первого кристалла, при входе во второй кристалл, разделится на два, интенсивности которых относятся, по-видимому, как квадраты синуса и косинуса угла, образованного между собой главными сечениями. Когда Гюйгенсу указали на это явление в исландском шпате, оп с чистосердечием, которое характеризует преданного друга истины, согласился, что его гипотезы не объясняют этого явления; это показывает, как важно отделить их от закона преломления, который он вывел. Это явление с очевидностью указывает, что свет, проходя через кристаллы с двойным лучепреломлением, получает две различные модификации, в силу которых одна часть его преломляется обыкновенным образом, а другая необыкновенным. Но эти модификации не абсолютны. Они зависят от положения луча относительно оси кристалла, потому что луч, преломлённый обычным образом в одном кристалле, преломляется необычно в другом, если главные сечения противоположных граней двух кристаллов взаимно перпендикулярны.

Было бы очень интересно приложить закон Гюйгенса к притягивающим и отталкивающим силам между молекулами, как это сделал Ньютон с обыкновенным преломлением, ибо на этом рубеже геометр останавливается, не стремясь возвыситься до причин этих сих Но чтобы разрешить эту проблему, надо было бы знать форму молекул кристаллических сред и молекулы света, а также изменения, которые она претерпевает, проникая в эти среды. Незнание нами всех этих данных приводит к необходимости применить к необыкновенному преломлению и отражению лишь общие закономерности действия этих сил. Это применение привело меня к новой теории явлений такого рода, согласие которой с опытом не оставляет сомнения в том, что они вызваны притягивающими и отталкивающими силами между молекулами.

Один из наиболее общих принципов действия этих сил – это принцип живых сил, согласно которому возрастание квадрата скорости молекулы света, проникшей в прозрачную среду на заметное расстояние, остаётся неизменным для определённого направления, каким бы способом молекула ни вошла в эту среду. Это возрастание выражает, как мы видели, действие среды на свет, и его выражение должно быть гораздо проще, чем выражение закона необыкновенного преломления, который его включает и который зависит ещё от положения грани, через которую световой луч проник в кристалл. Таким образом, проблема преломления разделяется на две другие: первая состоит в определении закона преломления, которое соответствует известному закону действия среды; вторая имеет своею целью привести этот последний закон к закону взаимного действия молекул кристалла и света. Мы видели, скольких данных нам не хватает, чтобы её разрешить. Но первая проблема может быть решена на основании принципа наименьшего действия, независимо от этих данных.

Этот принцип вообще относится к движению точки, подверженной действию сил притяжения и отталкивания. Прилагая его к свету, можно отвлечься от очень малой дуги, которую описывает свет, переходя из пустоты в прозрачную среду, и предположить, что его движение равномерно, когда он проник в неё на заметное расстояние. Принцип наименьшего действия сводится тогда к тому, что свет переходит от одной точки, взятой вне кристалла, к другой точке внутри него так, что если прибавить произведение прямого пути, описанного вне кристалла, на начальную скорость к произведению прямого пути внутри кристалла на приобретённую в нем скорость, сумма будет минимальна. Теперь направление скорости определяется углами, которые оно образует с двумя взаимно перпендикулярными осями. Закон действия среды на свет на основании принципа живых сил даёт его скорость, когда он проник в прозрачную среду. Поэтому принцип наименьшего действия для углов, составленных направлением света до и после его вхождения в среду с двумя осями, даёт два дифференциальных уравнения, определяющих направление преломлённого света как функцию углов, образованных первоначальным направлением с двумя осями. Таким образом, мы получим закон необыкновенного преломления, соответствующего закону влияния среды на свет.

Самый простой закон действия – это тот, выражение которого сводится к постоянной. В этом случае по предыдущему методу находим, что синусы угла преломления и угла падения находятся в постоянном отношении, что соответствует наблюдениям.

За этим законом следует другой, его выражение содержит лишь первую и вторую степени синусов углов, которые преломлённый луч составляет с двумя осями. По отношению к кристаллу исландского шпата, если взять за одну из осей ось кристалла, поскольку она симметрична относительно трёх заключающих её сторон, легко видеть, что предыдущее выражение должно зависеть только от угла, составленного ею с направлением преломлённого луча, и что оно должно свестись к постоянной плюс произведение другой постоянной на квадрат синуса этого угла. Подставляя это выражение в два дифференциальных уравнения принципа наименьшего действия, мы приходим в точности к формулам закона Гюйгенса, из которых следует, что этот закон удовлетворяет одновременно и принципу наименьшего действия, и принципу живых сил; это не оставляет ни малейшего сомнения в том, что он порождён действием притягивающих и отталкивающих сил, влияние которых заметно только на неощутимых расстояниях. До сих пор этот закон был лишь результатом наблюдений, приближающимся к истине в пределах ошибок, которыми пока ещё отягощены самые точные опыты. Теперь простота закона действия, от которого он зависит, позволяет рассматривать его как строгий.

Если взять за единицу скорость света в пустоте, скорость необыкновенно преломлённого луча будет выражаться дробью, числитель которой – единица, а знаменателем является радиус эллипсоида Гюйгенса, по которому направлен свет. Скорость обыкновенного луча в кристалле постоянна во всех направлениях и равна единице, делённой на отношение синуса угла преломления к синусу угла падения. Опытным путём Гюйгенс узнал, что полуось вращения его эллипсоида почти в точности представляет это отношение, что связывает между собой оба вида преломления – обыкновенное и необыкновенное. Но принцип непрерывности показывает, что эта замечательная зависимость есть необходимый результат действия кристалла на свет и что этот результат зависит единственно от той причины, что обыкновенный луч превращается в необыкновенный, когда его положение изменяют соответствующим образом по отношению к оси нового кристалла. В самом деле, если этот луч перпендикулярен к грани этого кристалла, вырезанного перпендикулярно его оси, ясно, что бесконечно малый наклон оси к грани, полученной сечением, бесконечно близким к первому, достаточен, чтобы сделать из обыкновенного луча необыкновенный и наоборот. Этот наклон лишь на бесконечно малую величину может изменить действие кристалла и скорость проходящего в нем луча. Значит, это – скорость необыкновенного луча и, следовательно, она равна единице, делённой на полуось вращения эллипсоида. Таким образом, она вообще превосходит скорость обыкновенного луча, так как разность квадратов этих двух скоростей пропорциональна квадрату синуса угла, который ось образует с этим последним лучом. Эта разность представляет собой разность действия кристалла на эти два рода лучей. Она – наибольшая, когда луч, падающий на искусственную поверхность, проведённую через ось кристалла, находится в плоскости, перпендикулярной этой оси. Тогда необыкновенное преломление следует тому же закону, что и обыкновенное, только отношение синусов угла преломления и угла падения, которое в случае обыкновенного преломления равно половине малой оси эллипсоида, равно половине большой оси при необыкновенном преломлении.