Текст книги "Изложение системы мира"

Автор книги: Пьер Лаплас

сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 35 страниц)

По Гюйгенсу, скорость необыкновенного луча в кристалле выражается самим радиусом эллипсоида. Следовательно, его гипотеза не удовлетворяет принципу наименьшего действия. Но замечательно, что она удовлетворяет принципу Ферма, следуя которому, свет проходит из одной точки, взятой вне кристалла, в другую – внутри кристалла в наименьшее возможное время, так как ясно, что этот принцип возвращает нас к принципу наименьшего действия, заменив выражение скорости на обратное. Идентичность закона Гюйгенса и принципа Ферма всегда имеет место, каким бы ни был сфероид, который в его гипотезе представляет скорость света внутри кристалла, так что эта гипотеза даёт все законы преломления, которые могут быть выведены из сил притяжения и отталкивания. Но эллиптический сфероид удовлетворяет явлениям двойного преломления, наблюдённым до настоящего времени. В этом случае, как в движениях и в фигурах небесных тел, природа, переходя от простого к сложному, заставляет эллиптические формы следовать за круговыми.

Закон отражения света от поверхностей прозрачных кристаллов выводится также из принципов наименьшего действия и живых сил. Но его можно связать с законом преломления путём следующих соображений. Какова бы ни была природа силы, заставляющей свет отражаться от поверхности тел, её можно рассматривать как отталкивающую силу, которая отдаёт свету в обратном направлении скорость, которую она заставила его потерять, так же как упругость возвращает телам, в противоположном направлении, скорость, которую она погасила; в этом случае принцип наименьшего действия всегда остаётся в силе. Что касается обыкновенного или необыкновенного луча света, отражённого от внешней поверхности тела, этот принцип сводится к тому, что свет проходит из одного пункта в другой по наикратчайшему пути из всех тех, которые встречаются с поверхностью, так как в силу принципа живых сил его скорость одинакова до и после отражения. Как заметил Птолемей, условие кратчайшего пути придаёт равенство углам падения и отражения в плоскости, перпендикулярной к поверхности. Это общий закон отражения от внешних поверхностей тел.

Но когда свет, войдя в кристалл, разделился на обыкновенный и необыкновенный лучи, часть этих лучей отражается внутренней поверхностью при выходе из кристалла. Отражаясь, каждый из лучей, обыкновенный и необыкновенный, разделяется на два других таким образом, что один солнечный луч, попадая в кристалл, благодаря частичному отражению на его выходной поверхности образует четыре различных пучка, направления которых мы определим.

Предположим сперва, что грани входа и выхода, которые мы назовём первой и второй, параллельны. Дадим кристаллу неощутимую толщину, но всё же большую, чем сфера заметного действия обеих граней. В этом случае на основании предыдущего рассуждения окажется, что четыре отражённых пучка составят вместе лишь один смешанный пучок, расположенный в плоскости падения исходного пучка и составляющий с первой гранью угол отражения, равный углу падения. Восстановим теперь у кристалла его толщину. Ясно, что в этом случае отражённые пучки после прохождения через первую грань примут направления, параллельные тем, какие они имели в первом случае. Поэтому эти пучки, а также плоскости падения исходного луча будут параллельны между собой. Но только вместо того, чтобы перемешаться, как в первом случае, они будут разделены на тем большие расстояния, чем кристалл будет толще.

Теперь, если рассматривать какой-нибудь внутренний луч, выходящий частично из второй грани и частично отражённый ею в виде двух пучков, вышедший луч будет параллелен исходному лучу, так как свет, выходя из кристалла, должен принять направление, параллельное тому, которое он имел при входе, потому что вследствие сделанного предположения о параллельности входной и выходной граней он испытывает действие тех же сил, которые испытал при входе, но в обратном направлении. Вообразим в направлении вышедшего луча плоскость, перпендикулярную второй грани, и в этой плоскости представим себе вне кристалла прямую, проходящую через точку выхода и образующую с перпендикуляром к грани, но со стороны, противоположной направлению вышедшего луча, такой же угол, какой составляет это направление. Наконец, вообразим солнечный луч, входящий по этому направлению в кристалл. При входе этот луч разделится на два других, которые при выходе из кристалла через первую грань примут направления, параллельные солнечному лучу до его вхождения через вторую грань. Они будут параллельны направлениям двух отражённых пучков, что может быть только в том случае, если два луча, на которые разделяется солнечный луч при входе через вторую грань, соответственно, совместятся внутри кристалла с направлениями двух отражённых лучей. Формулы, относящиеся к необыкновенному преломлению, дают направления лучей, на которые разделяется солнечный луч. Поэтому они дадут также направления двух пучков, отражённых внутри кристалла.

Если две грани кристалла не параллельны, то по формулам необыкновенного преломления получим направления двух лучей, на которые разделяется исходный луч, проникая через первую грань. Затем по тем же формулам получим направления каждого из этих лучей при их выходе через вторую грань, откуда посредством изложенного выше построения определим направления двух солнечных лучей, проникающих в кристалл через вторую грань и образующих четыре луча с таким же направлением как направления четырёх пучков исходного луча, отражённого этой гранью; эти направления будут заданы формулами необыкновенного преломления.

Таким образом, при помощи этих формул получим все явления отражения света поверхностями прозрачных кристаллов. Г-н Малю сделал множество соответствующих опытов, замечательное согласие которых с предыдущими формулами, выведенными из принципов наименьшего действия и живых сил, завершает доказательство того, что явления преломления и отражения света в этих кристаллах, – результат действия притягивающих и отталкивающих сил.

Кроме того, он наблюдал удивительное явление особого отражения света всеми телами, заключающееся в том, что под определёнными для каждого из них углами падения весь отражённый свет становится поляризованным, в результате чего одно из двух отражённых изображений предмета, рассматриваемое при отражении света от его поверхности через призму из кристалла исландского шпата в плоскости его главного сечения, полностью исчезает. Оно появляется вновь вне этих границ угла падения. Только металлы как будто до сих пор были исключением из этого общего правила: изображения, которые должны были бы исчезнуть, лишь ослаблялись. Свет, поляризованный в направлении, противоположном тому, в котором полированная поверхность отражает свет всех других тел, полностью поглощается телом, когда он падает на поверхность под углом поляризации.

Как мы видели в книге II, аберрация звёзд зависит от скорости их света в сочетании со скоростью Земли на орбите. Поэтому она не будет одинаковой для всех этих светил, если их лучи приходят к нам с разными скоростями. Учитывая малость аберрации, было бы трудно с её помощью точно узнать эти различия. Но большое влияние скорости света на его преломление при вхождении в прозрачную среду даёт очень точный метод для определения относительных скоростей световых лучей. Для этого перед объективом телескопа достаточно установить стеклянную призму и измерять получающиеся от этого отклонения в положениях звёзд. Таким способом нашли, что скорости прямого и отражённого света от всех небесных и земных тел совершенно одинаковы. Опыты, которые по моей просьбе любезно провёл г-н Араго, не оставляют никаких сомнений в этом физическом правиле, важном для астрономии тем, что оно доказывает правильность формул аберрации звёзд.

Скорость света звёзд относительно наблюдателя не одинакова во всех точках земной орбиты. Она наибольшая, когда её направление противоположно движению Земли, и наименьшая, когда эти два движения совпадают. Хотя разница в относительной скорости светового луча не превышает 1/5000 доли полной скорости, всё же она может произвести заметные изменения в отклонении света, проходящего через призму. Так как очень точные опыты, сделанные г-ном Араго, не позволили их обнаружить, следует заключить, что относительная скорость однородного светового луча постоянна и, по-видимому, определена природой флюида, приводимого им в движение в наших органах зрения, чтобы произвести ощущение света. Это следствие указывается ещё равенством скорости света, излучаемого звёздами и земными предметами, равенством, которое без этого было бы необъяснимо. Разве не правдоподобно предположить, что светящиеся тела испускают бесконечное число лучей, наделённых разными скоростями, и что только лучи, скорость которых заключается в определённых пределах, обладают свойством возбуждать ощущение света, тогда как другие производят тёмную теплоту? Не так ли горячие тела становятся светящимися при возрастании теплоты? И превосходные опыты Гершеля с теплотой солнечного спектра не доказывают ли нам, что Солнце излучает горячие невидимые лучи, причём некоторые из них, менее преломляемые, чем даже красные лучи, представляются наделёнными большей скоростью?

Явления двойного лучепреломления и аберрации света звёзд, по-видимому, придают системе взглядов на излучение света если не полную достоверность, то, по меньшей мере, исключительную вероятность. Эти явления необъяснимы при предположении о волновых колебаниях эфирного флюида. Удивительное свойство луча, поляризованного кристаллом, не делиться больше при прохождении второго кристалла, параллельного первому, очевидно указывает на то, что один и тот же кристалл оказывает различное действие на разные стороны молекулы света, движения которой, как мы видели, подчинены общим законам движения летящих тел.

Декарт первым опубликовал истинный закон обыкновенного преломления, который Кеплер и другие физики безуспешно искали. Гюйгенс в своей «Диоптрике» утверждает, что он видел этот закон, представленный в другой форме, в рукописи Снеллиуса и что, как ему сказали, он был сообщён Декарту, откуда, может быть, прибавляет он, этот последний и вывел постоянство отношения синусов углов преломления и падения. Но эта запоздалая претензия Гюйгенса в пользу своего соотечественника не представляется мне достаточной, чтобы отнять у Декарта заслугу открытия, которое никто не оспаривал при его жизни. Этот великий геометр вывел его из двух предположений: первого – скорость света, параллельная плоскости падения, не изменяется ни отражением, ни преломлением и второго – скорость различна в разных прозрачных средах, и больше в тех из них, которые сильнее преломляют свет. Отсюда Декарт заключил, что если при переходе из одной среды в другую, менее преломляющую, наклон световых лучей таков, что значение синуса угла преломления равно или больше единицы, то преломление меняется на отражение, причём углы отражения и падения между собой равны. Все эти выводы согласуются с природой, но доказательства, данные Декартом, не точны, и примечательно, что Гюйгенс и он благодаря неточной или ложной теории пришли к истинным законам преломления света. По этому вопросу у Декарта были долгие споры с Ферма, продолженные картезианцами после его смерти; эти споры предоставили Ферма счастливую возможность применить свой прекрасный метод максимумов и минимумов к выражениям с радикалами. Рассматривая этот предмет с метафизической точки зрения, он искал закон преломления на основании принципа, изложенного нами ранее, и был очень удивлён, придя к принципу Декарта. Но, найдя, что для удовлетворения его принципу скорость света должна быть меньше в прозрачных средах, чем в пустоте, тогда как Декарт считал её большей, что казалось Ферма невероятным, он утвердился в мнении, что доказательства этого великого геометра были ошибочными.

В главе II третьей книги мы видели, как принцип Ферма привёл к принципу наименьшего действия, применение которого к движению света в прозрачных кристаллических телах заставляет законы преломления и отражения света зависеть от законов действия этих тел на свет; это доказывает, что такого рода явления суть результат притягивающих и отталкивающих сил, и ставит закон Гюйгенса в ряд строго доказанных истин.

Внимательно изучая явления капиллярности, такие же разнообразные, как и движения света, я узнал, что и они, подобно последним, зависят от притягивающих сил, которые перестают быть ощутимыми при самых малых расстояниях, доступных нашим чувствам, и сумел на основании только этого свойства подвергнуть их строгому анализу. Рассмотрим сначала главные из этих явлений – поднятие и опускание жидкостей в очень узких трубках.

Если опустить в спокойную воду конец очень тонкой цилиндрической стеклянной трубки, вода поднимется в ней на высоту, обратно пропорциональную её внутреннему диаметру. Если этот диаметр равен 1 мм и если внутренность трубки хорошо смочена, высота воды над уровнем будет около 30.5 мм при температуре 10°. Все жидкости демонстрируют подобные явления, но их поднятия неодинаковы: некоторые из них вместо того, чтобы подниматься, опускаются ниже уровня, но опускание всегда обратно пропорционально диаметру трубки. Для ртути это опускание в стеклянной трубке с внутренним диаметром в 1 мм близко к 13 мм. Трубки из мрамора или из других материалов дают результаты, аналогичные предыдущим: если они очень узкие, жидкости поднимаются или опускаются обратно пропорционально диаметру их полостей.

В трубках и, вообще, в капиллярных пространствах поверхность жидкости вогнута, если жидкость поднимается над уровнем, и выпукла, если опускается ниже его.

Все эти явления имеют место как в пустоте, так и на открытом воздухе. Следовательно, они не зависят от давления атмосферы. Поэтому они могут быть только результатом притяжения одних молекул жидкости другими, а также стенками, которые их заключают.

Большая или меньшая толщина стенок не оказывает никакого заметного влияния на эти явления. Поднятие и опускание жидкостей в капиллярных трубках всегда одинаковы, какова бы ни была эта толщина, если только одинаковы внутренние диаметры. Значит, цилиндрические слои, находящиеся на заметном расстоянии от внутренней поверхности, не участвуют в поднятии жидкости, хотя в каждом из них, взятом в отдельности, она должна была бы подниматься над уровнем. Естественно думать, что их действию не мешают промежуточные слои, которые ими охватываются, и что притяжения такого рода передаются через тела так же, как сила тяжести. В связи с этим действие заметно удалённых от внутренней– поверхности трубки слоёв исчезает только вследствие их отдалённости от жидкости, откуда следует, что действие тел на жидкости, как и на свет, заметно только на незаметных расстояниях.

Но притягивающая сила, производя капиллярные явления, действует совсем иным способом, чем при преломлении света. Это последнее явление обусловлено действием прозрачных сред, и когда они ограничены криволинейными поверхностями, можно, как мы видели, пренебречь действием мениска, отсекаемого плоскостью, касательной к этим поверхностям, тогда как капиллярные явления производятся действием этого мениска. В самом деле, если по оси стеклянной трубки, погруженной вертикально в сосуд, наполненный водой, вообразить бесконечно тонкий канал, изгибающийся в нижней части трубки и оканчивающийся далеко от неё на поверхности воды в сосуде, действие воды в трубке на воду, содержащуюся в этом канале, будет меньше, чем действие воды в сосуде на воду, заключённую в другом конце канала. Разность определяется действием водяного мениска, отсекаемого плоскостью, касательной в самой низкой точке поверхности воды в трубке, действием, которое, очевидно, стремится приподнять жидкость в канале и поддерживать её приподнятой в равновесии над её уровнем. Поэтому для объяснения капиллярных явлений было необходимо знать действие подобных менисков. Подвергнув этот предмет математическому анализу, я пришёл к такой основной теореме: во всех законах, где притяжение заметно только на незаметных расстояниях, аналитическое выражение действия жидкого тела, оканчивающегося изогнутой поверхностью, на внутренний бесконечно узкий канал, перпендикулярный к этой поверхности в любой точке, состоит из трёх членов: первый, несравнимо превосходящий два других, выражает действие тела в предположении, что оно оканчивается плоскостью; второй есть дробь, числитель которой – постоянная, зависящая от интенсивности и закона притягивающей силы, а знаменатель – самый малый оскулирующий радиус поверхности в этой точке; третий член есть дробь, имеющая одинаковый числитель с предыдущей, а знаменателем – наибольший оскулирующий радиус в той же точке.

Оскулирующие радиусы должны считаться положительными, если поверхность выпуклая, и отрицательными, если она вогнутая. Под действием тела на канал нужно подразумевать давление, которое жидкость, заключённая в канале, в силу притяжения этого тела оказывала бы на основание, расположенное внутри канала перпендикулярно его сторонам, если принять это основание за единицу.

С помощью этой теоремы и законов равновесия жидкостей можно легко получить дифференциальное уравнение фигуры, которую должна принять жидкая масса, заключённая в сосуде заданной формы под влиянием тяжести. Анализ приводит к уравнению с частными производными второго порядка, интеграл которого не берётся никакими известными методами. Если фигура – тело вращения, уравнение сводится к обычным разностям и может быть интегрировано быстро сходящимися приближениями, когда поверхность очень мала. Таким путём находим, что в цилиндрических очень узких трубках поверхность жидкости тем больше приближается к сферическому сегменту, чем меньше внутренний диаметр трубки. Если в разных цилиндрических трубках из одинакового материала эти сегменты подобны, радиусы их поверхностей относятся как диаметры трубок; а это подобие сферических сегментов представляется очевидным, если принять во внимание малость расстояния, на котором действие трубки перестаёт быть ощутимым. Таким образом, если с помощью очень сильного микроскопа удалось бы его представить равным 1 мм, очень вероятно, что такая же сила увеличения дала бы диаметру трубки видимую величину в несколько метров. Поэтому внутренняя поверхность трубки может рассматриваться как почти плоская в радиусе, равном радиусу сферы её заметного действия. Жидкость в этом промежутке понижается или поднимается от этой поверхности, как если бы она была плоской. Поскольку жидкость вне этого предела подвержена лишь действию самой на себя, её поверхность есть сферический сегмент, крайние касательные плоскости которого, будучи плоскостями жидкой поверхности на границах активного действия трубки, в разных трубках почти одинаково наклонены к их стенкам, откуда следует, что эти сегменты подобны.

Сопоставление этих результатов даёт истинную причину поднятия и опускания жидкостей в капиллярных трубках обратно пропорционально их диаметрам.

Таким образом, когда жидкость поднимается в цилиндрической трубке, её поверхность, становясь вогнутой, оказывает меньшее действие на канал, упоминавшийся выше, чем действие жидкости в. сосуде на этот же канал. По предыдущей теореме, эта разность равна постоянной, делённой на радиус сферического сегмента, поверхность которого почти в точности соответствует поверхности жидкости. А так как сегменты в разных трубках подобны, их радиусы относятся как внутренние диаметры трубок. Следовательно, эта разность и поднятие жидкости над уровнем, причиной которого она является, обратно пропорциональны этим диаметрам.

Если поверхность внутренней жидкости выпукла, что имеет место для ртути в стеклянной трубке, действие жидкости на канал будет больше, чем действие жидкости в сосуде. Следовательно, в силу этой разности жидкость должна опуститься обратно пропорционально внутреннему диаметру трубки.

Поэтому с помощью наблюдённого поднятия или опускания жидкости в цилиндрической капиллярной трубке известного диаметра можно определить их для такой же жидкости в капиллярной трубке любого диаметра. Но если трубка не цилиндрическая и если её внутренняя поверхность есть некоторая вертикальная и прямая призма, каково будет опускание и поднятие жидкости в такой трубке? Решение этой проблемы как будто требует невозможного для современного анализа интегрирования уравнения по поверхности внутренней жидкости. К счастью, это уравнение, преобразованное особым образом, приводит к замечательному выводу, заключающему решение и объяснение многих капиллярных явлений: каковы бы ни были форма и размеры призмы, объём жидкости, поднятой или пониженной капиллярным действием, пропорционален контуру внутреннего сечения горизонтальной плоскостью. Это можно показать без математического анализа, если рассматривать явление капиллярности со следующей точки зрения.

Представим себе, что жидкость поднимается в прямой вертикальной призме; ясно, что это происходит под действием стенок трубки на жидкость и самой жидкости на себя. Первый слой жидкости, прилегающий к стенкам, поднимается этим действием, этот слой поднимает второй, тот – третий и т.д. до тех пор, пока вес поднятого объёма жидкости не уравновесит притягивающие силы, которые стремятся поднять его ещё больше. Чтобы определить этот объём в состоянии равновесия, вообразим на нижнем конце трубки вторую идеальную трубку, стенки которой бесконечно тонки и являются продолжением внутренней поверхности первой трубки; эта трубка, не оказывая никакого действия на жидкость, не мешает взаимному действию первой трубки и жидкости. Предположим, что вторая трубка сначала имеет вертикальное положение, затем изгибается горизонтально и наконец снова занимает вертикальное положение, поднимаясь до поверхности жидкости и сохраняя по всей своей длине одинаковую форму и ширину. Ясно, что при равновесии жидкости давление в обеих вертикальных ветвях канала, составленного первой и второй трубками, одинаково. Но так как в первой вертикальной ветви, образованной первой трубкой и частью второй, жидкости больше, чем в другой вертикальной ветви, надо, чтобы возникающий избыток давления уничтожался вертикальными притяжениями призмы и жидкости, находящейся в этой первой ветви. Проанализируем внимательно эти притяжения.

Рассмотрим сначала те, которые имеют место около нижней части первой трубки. Если предположить, что призма – вертикальная и прямая, её основание будет горизонтальным. Жидкость, заключённая во второй трубке, притягивается вертикально вниз: во-первых, сама собой, во-вторых, жидкостью, окружающей эту вторую трубку. Но оба этих притяжения уничтожаются такими же притяжениями, испытываемыми жидкостью, заключённой во второй вертикальной ветви канала, около поверхности уровня всей массы жидкости. Поэтому здесь их можно не принимать во внимание. Жидкость первой вертикальной ветви второй трубки притягивается вертикально ещё жидкостью первой трубки, но это притяжение уничтожается притяжением, с которым она сама действует на эту последнюю жидкость. Поэтому и здесь снова эти два взаимных притяжения можно оставить без внимания. Наконец, жидкость второй трубки вертикально притягивается вверх первой трубкой, в результате чего появляется вертикальная сила, которую мы назовём первой силой и которая участвует в уничтожении избытка давления, вызванного поднятием жидкости в первой трубке.

Рассмотрим теперь силы, действующие на жидкость в первой трубке. В её нижней части она испытывает следующие притяжения: во-первых, она притягивает сама себя; но взаимные притяжения тела не сообщают ему никакого движения, если оно твёрдое, поэтому, не нарушая равновесия, можно вообразить жидкость в первой трубке отвердевшей. Во-вторых, эта жидкость притянута лежащей ниже жидкостью второй трубки. Но мы видели, что взаимные притяжения этих двух жидкостей уничтожаются и нет надобности их учитывать. В-третьих, она притянута наружной жидкостью, окружающей вторую трубку; из этого притяжения возникает вертикальная сила, направленная вниз, которую мы назовём второй силой. Мы видим здесь, что если закон притяжения, зависящий от расстояния, одинаков для молекул первой трубки и для молекул жидкости, так что они отличаются только интенсивностью в одинаковых объёмах, эти интенсивности относятся между собой как первая сила ко второй, так как внутренняя поверхность жидкости, окружающей вторую трубку, – та же самая, что и внутренняя поверхность первой трубки. Поэтому две массы отличаются только своей толщиной, но поскольку притяжение масс делается незаметным на заметных расстояниях, разность в их толщине, если она ощутима, не оказывает никакого влияния на их притяжения. Наконец, в-четвёртых, жидкость первой трубки притягивается вертикально вверх этой трубкой. В самом деле, вообразим эту жидкость разделённой на бесконечное число маленьких вертикальных колонн. Если через верхний конец одной из этих колонн провести горизонтальную плоскость, часть трубки ниже этой плоскости не создаёт никакой вертикальной силы в колонне, а следовательно, нет вертикальной силы, создаваемой этой трубкой, кроме силы, вызванной её частью, лежащей выше плоскости, и ясно, что вертикальное притяжение этой части трубки на колонну такое же, как всей трубки на равную и подобным же образом расположенную колонну во второй трубке. Поэтому полная вертикальная сила, созданная притяжением первой трубки на жидкость, заключённую в ней, равна силе, созданной притяжением этой трубки на жидкость, заключённую во второй трубке. Следовательно, эта сила равна первой силе.

Объединяя все вертикальные притяжения, испытываемые жидкостью, заключённой в первой вертикальной ветви канала, получим вертикальную составляющую, направленную снизу вверх и равную удвоенной первой силе без второй. Эта равнодействующая должна уравновешивать избыток давления, вызванного весом столба жидкости, возвышающегося над её уровнем. Поэтому она равна этому объёму, умноженному на удельный вес жидкости.

Поскольку действие трубки имеет место только на неощутимых расстояниях, призма тоже действует только на колонны жидкости, крайне близкие к её поверхности. Поэтому можно не учитывать кривизну её стенок и рассматривать их как бы развёрнутыми в плоскость. И первая, и вторая силы тогда будут равны произведению ширины этой плоскости, или, что то же, периметра внутреннего основания трубки на постоянные коэффициенты, которые на основании предыдущего могут обозначать соответствующие интенсивности притяжения молекул трубки и жидкости при равенстве их объёмов. Равнодействующая, о которой мы говорили, будет поэтому пропорциональна этому периметру; и, следовательно, объём поднятой жидкости также будет ему пропорционален.

Средняя из высот всех точек верхней поверхности этой жидкости над уровнем есть частное от деления её объёма на основание призмы. Поэтому эта высота пропорциональна периметру призмы, разделённому на её основание.

Если призма представляет собой цилиндр, периметр её основания пропорционален её диаметру, а основание пропорционально квадрату диаметра. Поэтому средняя высота жидкости обратно пропорциональна диаметру. Когда призма очень узка, эта высота очень мало отличается от высоты самой низкой точки поверхности внутренней жидкости. Если жидкость смачивает стенки трубки, как спирт и вода смачивают стекло, эта поверхность очень близка к полусфере, и, исходя из этого, легко прийти к выводу, что для получения её средней высоты над уровнем надо к высоте её самой низкой точки прибавить 1/6 диаметра трубки. Эта последняя высота, исправленная таким образом, обратно пропорциональна диаметру трубки. Г-н Гей-Люссак подтвердил эти теоретические результаты большим числом опытов, проделанных с величайшей тщательностью и очень точными методами с водой, спиртом различной плотности, эфирными маслами и т.д.

Постоянное отношение объёма поднявшейся жидкости к периметру основания существует даже в том случае, когда кривизна его прерывиста, например когда этот контур – прямолинейный многоугольник, так как это отношение может быть нарушено только действием трубки около её краёв и только на протяжении, равном сфере заметного действия молекул. Поскольку это пространство неощутимо, ошибка должна быть совершенно нечувствительной. Поэтому указанное выше отношение можно распространить на призмы с любыми основаниями. Если эти основания подобны, они пропорциональны квадратам гомологичных линий, и их периметры пропорциональны этим линиям. Периметры, делённые на соответствующие им основания, а следовательно, средние высоты поднявшейся жидкости, обратно пропорциональны этим линиям.

Когда контуры оснований являются многоугольниками, описанными вокруг одного и того же круга, основания равны произведениям периметров этих контуров на полурадиус окружности. Поэтому отношения контуров к основаниям одинаковы и равны единице, делённой на этот полурадиус. Следовательно, средние высоты поднятия жидкости во всех этих трубках одинаковы.

Если основание призмы – прямоугольник, у которого две стороны очень большие, а другие очень маленькие, отношение периметра к основанию будет близко к единице, делённой на половину маленькой стороны. Если основание – окружность, у которой эта маленькая сторона является радиусом, отношение контура к основанию такое же, как и в предыдущем случае. Поэтому среднее поднятие жидкости в этих двух случаях одинаково. Первый случай весьма близок к тому, когда две параллельные плоскости погружены нижними частями в жидкость. Таким образом, средняя высота жидкости между двумя параллельными плоскостями равна этой высоте в цилиндрической трубке с внутренним радиусом, равным расстоянию между плоскостями, что полностью согласуется с опытами.

Если поместить призму вертикально в другую призму, вертикальную и пустую внутри, и погрузить их нижние концы в жидкость, объём этой жидкости, поднявшейся между внешней поверхностью внутренней призмы и внутренней поверхностью наружной призмы, пропорционален сумме периметров обоих оснований: одного – внутреннего и другого – внешнего. Эта теорема может быть легко доказана предыдущим методом. Отсюда следует, что если основания – подобные многоугольники, средняя высота поднявшейся между призмами жидкости такая же, как в подобной им призме, у которой каждая сторона внутреннего основания равна разности соответствующих сторон оснований.

Если полая призма, опущенная нижним концом в жидкость, наклонена к горизонту, объём поднявшейся над её уровнем жидкости, умноженный на синус угла наклона граней призмы, постоянно один и тот же, каков бы ни был этот наклон. В самом деле, это произведение выражает вес поднявшегося объёма жидкости, разложенный параллельно сторонам призмы. Этот разложенный таким образом вес должен уравновешивать действие призмы и внешней жидкости на жидкость, содержащуюся в призме, действие, которое, очевидно, одинаково при всех наклонах призмы. Поэтому вертикальная средняя высота поднявшейся жидкости всегда одинакова.