Трактат об электричестве и магнетизме

Текст добавлен: 20 января 2018, 13:30

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 34 страниц)

Если точка О находится вне поверхности, то положительных значений столько же, сколько отрицательных, так что для любого направления ∑𝑅 cos ε𝑑𝑆=0, и, следовательно, ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆=0, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности.

Если же точка О находится внутри замкнутой поверхности, то радиус-вектор ОР сначала выходит из поверхности, что даёт положительный вклад 𝑒𝑑ω а потом равное число раз входит и выходит, так что в этом случае ∑𝑅 cos ε𝑑𝑆=𝑒𝑑ω.

Взяв интеграл по всей замкнутой поверхности, мы охватим всю сферическую поверхность, площадь которой равна 4π, так что

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

𝑒

∬

𝑑ω

4π𝑒

Таким образом, мы заключаем, что полная индукция в наружном направлении через замкнутую поверхность, обусловленная силовым центром 𝑒 находящимся в точке О, равна нулю, если точка О находится вне поверхности, и равна 4π𝑒 если точка О находится внутри поверхности.

Поскольку в воздухе смещение равно индукции, делённой на 4π, то смещение через замкнутую поверхность, отсчитываемое наружу, равно количеству электричества внутри поверхности.

Следствие. Отсюда следует также, что если поверхность не замкнута, а ограничена некоторой заданной замкнутой кривой, то полная индукция через эту поверхность равна ω𝑒, где ω – телесный угол из точки О, опирающийся на эту замкнутую кривую. Эта величина зависит, следовательно, только от самой замкнутой кривой, а форма поверхности, ограниченной этой кривой, может меняться произвольным образом, лишь бы только она не переходила с одной стороны силового центра на другую.

Об уравнениях Лапласа и Пуассона

77. Поскольку значение полной индукции одного силового центра через замкнутую поверхность зависит лишь от того, находится ли он внутри поверхности или нет, и никак не зависит от положения этого центра, то если имеется несколько таких силовых центров 𝑒'₁, 𝑒'₂ и т. д. внутри поверхности и несколько центров 𝑒₁, 𝑒₂ и т. д. вне поверхности, то ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆=4π𝑒, где 𝑒 означает алгебраическую сумму количеств электричества всех силовых центров внутри замкнутой поверхности, т. е. полное количество электричества, находящееся внутри поверхности, причём смоляное электричество считается отрицательным.

Если электричество распределено внутри поверхности так, что плотность его нигде не обращается в бесконечность, то согласно п. 64 4π𝑒=4π∭ρ𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, а согласно п. 75

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

Если мы примем в качестве поверхности замкнутую поверхность, ограничивающую элемент объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 то, приравнивая эти выражения, получим

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

4πρ

Если существует потенциал 𝑉, то согласно п. 71

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

4πρ

Это уравнение в случае плотности, равной нулю, называется Уравнением Лапласа. В более общей форме оно было впервые приведено Пуассоном. Оно позволяет нам при известном потенциале во всех точках определить распределение электричества. Обозначим, как в п. 26, величину

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

через -∇²𝑉 Тогда мы можем выразить уравнение Пуассона словами: плотность электричества, умноженная на 4π есть концентрация потенциала ∇²𝑉. Там, где нет заряда, нет концентрации потенциала, в этом и заключается интерпретация уравнения Лапласа.

Согласно п. 72 потенциал 𝑉 постоянен внутри проводника. Значит, внутри проводника объёмная плотность заряда равна нулю, и весь заряд должен быть на поверхности проводника.

Если предположить, что при поверхностном и линейном распределении электричества объёмная плотность ρ остаётся конечной, а электричество распределено в виде тонкого слоя или узкой нити, то в пределе, увеличивая ρ и уменьшая толщину слоя или сечение нити, мы можем прийти к истинному поверхностному или линейному распределению. Уравнение для потенциала, справедливое в процессе всего предельного перехода, останется справедливым и в пределе, если его интерпретация соответствует реальным обстоятельствам.

Изменение потенциала на заряженной поверхности

78 а. Потенциальная функция 𝑉 должна быть физически непрерывной в смысле п. 7, за исключением граничных поверхностей между двумя различными средами, на которых, как мы увидим в п. 246, может существовать разность потенциалов между различными веществами, так что при равновесии электричества потенциал в некоторой точке одного вещества больше потенциала в смежной точке второго вещества на постоянную величину С, зависящую от природы обоих веществ и от их температуры.

Что касается первых производных от 𝑉 по 𝑥, 𝑦 или 𝑧, то они могут быть разрывны, и, согласно п. 8, точки разрыва должны лежать на поверхности, уравнение которой можно записать в виде

φ=φ(𝑥,𝑦𝑧)=0,

(1)

Эта поверхность отделяет область отрицательного φ от области положительного φ.

Пусть 𝑉₁ – потенциал в произвольной заданной точке в отрицательной области, а 𝑉₂ – потенциал в произвольной заданной точке положительной области. Тогда в любой точке на поверхности, где φ=0, которую можно считать принадлежащей обеим областям,

𝑉

₁

𝐶

𝑉

₂

(2)

где 𝐶 – постоянная разность потенциалов (если таковая имеется) между положительной и отрицательной сторонами поверхности.

Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали ν₂ в данной точке поверхности в сторону положительной области. Направляющие косинусы нормали ν₁ в сторону отрицательной области будут -𝑙, -𝑚 и -𝑛.

Скорости изменения 𝑉 вдоль нормалей будут равны

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

–𝑙

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

–𝑚

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

–𝑛

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

(3)

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

𝑙

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

+𝑚

𝑑𝑉₂

𝑑𝑦

+𝑛

𝑑𝑉₂

𝑑𝑧

(3)

Проведём на поверхности какую-либо кривую, и пусть 𝑠 – длина, отсчитываемая вдоль этой кривой от некоторой фиксированной точки на ней. В каждой точке поверхности, а значит, и в каждой точке этой кривой, 𝑉₂-𝑉₁=𝐶. Дифференцируя это равенство по 𝑠, получим

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

–

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₂

𝑑𝑦

–

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₂

𝑑𝑧

–

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=0,

(5)

а поскольку нормаль перпендикулярна этой кривой, то

𝑙

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+𝑛

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=0.

(6)

Из (3), (4), (5) и (6) следует, что

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

–

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

𝑙

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

(7)

𝑑𝑉₂

𝑑𝑦

–

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

(8)

𝑑𝑉₂

𝑑𝑧

–

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

𝑛

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

(9)

Если рассматривать изменение электродвижущей напряжённости в точке при прохождении через поверхность, то составляющая напряжённости, перпендикулярная поверхности, может скачком измениться на поверхности, но две другие составляющие, параллельные касательной плоскости, остаются непрерывными при пересечении поверхности.

78 б. Чтобы определить величину заряда на поверхности, рассмотрим замкнутую поверхность, находящуюся частично в положительной области и частично в отрицательной, так что она охватывает часть поверхности разрыва.

Поверхностный интеграл ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 по этой поверхности равен 4π𝑒 где 𝑒 – количество электричества внутри замкнутой поверхности.

Повторяя рассуждения п. 21, получим

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑆

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

∬

{

𝑙

(𝑋

₂

–𝑋

₁

)

+𝑚

(𝑌

₂

–𝑌

₁

)

+𝑛

(𝑍

₂

–𝑍

₁

)

}

𝑑𝑆

(10)

где трехкратный интеграл берётся по всему объёму внутри замкнутой поверхности, а двукратный – по поверхности разрыва.

Подставляя значения входящих сюда величин согласно (7), (8) и (9), получим

4π𝑒

∭

4πρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

–

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

(11)

Но по определению объёмной плотности ρ и поверхностной плотности а

4π𝑒

4π

∭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

4π

∬

𝑑𝑆

(12)

Сравнивая два последних слагаемых этих уравнений, получим

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

4πσ

=0.

(13)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для 𝑉 на заряженной поверхности с поверхностной плотностью σ.

78 в. Если 𝑉 – функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая в данной непрерывной области пространства уравнению Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

и в некоторой конечной части этой области 𝑉 постоянно и равно 𝐶, то 𝑉 постоянно и равно 𝐶 во всей области, где справедливо уравнение Лапласа.

Если 𝑉 не равно 𝐶 во всей области, то обозначим через 𝑆 поверхность, ограничивающую конечную область, где 𝑉=𝐶.

На поверхности 𝑆 𝑉=𝐶.

Пусть ν – наружная нормаль к поверхности 𝑆. Поскольку 𝑆 является границей непрерывной области, в которой 𝑉=𝐶, то при перемещении по нормали от поверхности 𝑆 значение 𝑉 начинает отличаться от 𝐶. Таким образом, 𝑑𝑉/𝑑ν сразу вне поверхности может быть положительно или отрицательно, но не может быть равно нулю, за исключением нормалей на граничной линии между положительной и отрицательной областью.

Для нормали ν', направленной внутрь поверхности 𝑆 очевидно, 𝑉'=𝐶 и (𝑑𝑉'/𝑑ν')=0.

Итак, в каждой точке поверхности 𝑆, за исключением некоторых граничных линий,

𝑑𝑉

𝑑ν

𝑑𝑉'

𝑑ν'

(=-4πρ)

является конечной величиной, положительной или отрицательной, так что на всей поверхности 𝑆, кроме некоторых граничных линий, разделяющих положительные и отрицательные области, имеется непрерывное распределение заряда.

На этой поверхности уравнение Лапласа не выполняется (за исключением точек, лежащих на некоторых линиях). Таким образом, поверхность 𝑆, ограничивающая область, внутри которой 𝑉=𝐶 охватывает всю непрерывную область, в которой выполняется уравнение Лапласа.

Сила, действующая на заряженную поверхность

79. Общие выражения для составляющих силы, действующей на заряженное тело, параллельных трём координатным осям, имеют вид

𝐴

∭

ρ𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(14)

и аналогичные выражения для составляющих 𝐵 и 𝐷, параллельных осям 𝑦 и 𝑧.

Однако на заряженной поверхности ρ бесконечно, а 𝑋 может претерпевать разрыв, так что рассчитать силу непосредственно по этим формулам мы не можем.

Однако мы показали, что разрыв претерпевает лишь составляющая напряжённости, нормальная заряженной поверхности, две другие составляющие остаются непрерывными.

Примем ось 𝑥 перпендикулярной поверхности в данной точке и допустим также, по крайней мере на первом этапе рассмотрения, что 𝑋 меняется в действительности не скачком, а непрерывно от 𝑋₁ до 𝑋₂ при изменении 𝑥 от 𝑥₁ до 𝑥₂. Если в результате расчёта мы получим определённый предел для силы при 𝑥₂-𝑥₁ стремящемся к нулю, мы сможем считать его справедливым при 𝑥₂=𝑥₁ когда заряженная поверхность имеет нулевую толщину.

Подставляя для ρ его значение по п. 77, получим

𝐴

4π

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(15)

Интегрирование по 𝑥 от 𝑥=𝑥₁ до 𝑥=𝑥₂ даёт

𝐴

4π

∬

⎡

⎢

⎣

(𝑋

–𝑋

𝑥₂

∫

𝑥₁

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑋

𝑑𝑥

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(16)

Таково значение 𝐴 для слоя, параллельного плоскости 𝑦𝑧 толщиной 𝑥₂-𝑥₁.

Поскольку 𝑌 и 𝑍 непрерывны, то (𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦) конечно, а поскольку 𝑋 также конечно, то

𝑥₂

∫

𝑥₁

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑋

𝑑𝑥

𝐶

(𝑥

₂

–𝑥

₁

)

где 𝐶 – наибольшее значение [(𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦)]𝑋 между 𝑥=𝑥₁ и 𝑥=𝑥₂.

При неограниченном уменьшении 𝑥₂-𝑥₁ этот член стремится к нулю, так что

𝐴

∬

8π

(𝑋

–𝑋

)

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(17)

где 𝑋₁ – значение 𝑋 на отрицательной стороне поверхности, а 𝑋₂ – на положительной.

Согласно п. 78б,

𝑋

₂

–

𝑋

₁

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

–

𝑑𝑉₂

𝑑𝑥

4πσ

(18)

так что (17) можно переписать в виде

𝐴

∬

(𝑋

₂

+𝑋

₁

)

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(19)

Здесь 𝑑𝑦𝑑𝑧 – элемент поверхности, σ – поверхностная плотность, а (𝑋₂+𝑋₁)/2 – арифметическое среднее значение электродвижущих напряжённостей по обе стороны поверхности.

Таким образом, на элемент заряженной поверхности действует сила, составляющая которой по нормали к поверхности равна произведению заряда этого элемента на арифметическое среднее значений нормальной составляющей напряжённости по обе стороны поверхности.

Поскольку обе оставшиеся составляющие электродвижущей напряжённости не испытывают разрыва, вычисление их вклада в силу, действующую на поверхность, не вызывает осложнений.

Теперь мы можем считать, что нормаль к поверхности расположена произвольным образом относительно осей координат, и написать общее выражение для составляющих силы, действующей на элемент поверхности 𝑑𝑆:

𝐴

(𝑋

₁

+𝑋

₂

)

𝑑𝑆

𝐵

(𝑌

₁

+𝑌

₂

)

𝑑𝑆

𝐶

(𝑍

₁

+𝑍

₂

)

𝑑𝑆

(20)

Заряженная поверхность проводника

80. Мы показали выше (п. 72), что всюду в веществе проводника при электрическом равновесии 𝑋=𝑌=𝑍=0, так что 𝑉 постоянно. Следовательно,

𝑑𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑍

𝑑𝑧

4πρ

т.e. ρ равно нулю во всей толщине проводника: внутри проводника не может быть никаких зарядов.

Таким образом, на проводнике, находящемся в электрическом равновесии, возможно лишь поверхностное распределение электричества.

Распределение электричества в толще тела возможно лишь для непроводящих тел.

Поскольку внутри проводника результирующая напряжённость равна нулю, то вне проводника, непосредственно у его поверхности, она должна быть направлена по нормали к поверхности, равняться 4πσ и действовать в наружном направлении.

Это соотношение между поверхностной плотностью и результирующей напряжённостью вблизи поверхности проводника известно как Закон Кулона, поскольку Кулон экспериментально установил, что электродвижущая напряжённость вблизи некоторой точки поверхности проводника перпендикулярна поверхности и пропорциональна поверхностной плотности в этой точке. Численное значение 𝑅=4πσ было установлено Пуассоном.

Сила, действующая на элемент заряженной поверхности проводника 𝑑𝑆 равна, согласно п. 79, (𝑅σ/2)𝑑𝑆 = 2πσ²𝑑𝑆 = (𝑅²/8π)𝑑𝑆, поскольку с внутренней стороны поверхности напряжённость равна нулю.

Эта сила действует по нормали к проводнику и направлена наружу независимо от того, заряжена поверхность положительно или отрицательно.

Сила в динах, действующая на один квадратный сантиметр поверхности, равна (𝑅σ/2) = 2πσ² = 𝑅²/8π, она действует как натяжение наружу от поверхности проводника.

81. Если теперь представить себе заряженное продолговатое тело, то, уменьшая его поперечные размеры, можно прийти к понятию заряженной линии.

Пусть 𝑑𝑠 – длина небольшого элемента продолговатого тела, 𝑐 – его периметр, а σ – поверхностная плотность заряда на его поверхности. Обозначая через λ заряд, приходящийся на единицу длины, получим λ=𝑐σ. При этом результирующая электрическая напряжённость вблизи поверхности будет равна 4πσ=4πλ/𝑐.

Если при постоянном λ неограниченно уменьшать 𝑐, то напряжённость на поверхности будет стремиться к бесконечности. Но для каждого диэлектрика существует предел, выше которого напряжённость не может подняться, не вызывая пробоя. Поэтому распределение электричества, при котором конечное количество электричества расположено на конечном участке линии, несовместимо с условиями, существующими в природе.

Даже если бы и нашёлся такой изолятор, в котором бесконечная напряжённость не вызывает пробоя, линейный проводник всё равно нельзя было бы зарядить конечным количеством электричества, так как, поскольку конечный заряд создал бы бесконечный потенциал, потребовалось бы бесконечно большая электродвижущая сила, чтобы перенести заряд на линейный проводник.

Аналогично можно показать, что и точечный заряд конечной величины не может существовать в природе. Однако в некоторых случаях удобно говорить о линейных зарядах и точечных зарядах. Мы будем представлять их как заряженные проволоки или малые тела, размеры которых пренебрежимы по сравнению с основными существенными расстояниями.

Поскольку количество электричества на любом заданном участке провода при заданном потенциале стремится к нулю при неограниченном уменьшении диаметра провода, распределение заряда на телах конечных размеров не изменится существенно при внесении очень тонкой металлической проволочки в поле, например, для соединения этих тел с землёй, электрической машиной или электрометром.

О силовых линиях

82. Если построить кривую, направление которой совпадает в каждой точке с направлением результирующей напряжённости в этой точке, то такая кривая называется Силовой Линией.

На любом участке силовой линии она идёт от места с большим потенциалом к месту с меньшим потенциалом.

Поэтому силовая линия не может пересекать саму себя, но должна иметь начало и конец. Начало силовой линии, согласно п. 80, должно быть расположено на положительно заряженной поверхности, а конец силовой линии должен находиться на отрицательно заряженной поверхности.

Началом и концом силовой линии называются соответствующие точки положительной и отрицательной заряженной поверхности.

Если силовая линия перемещается так, что её начало описывает замкнутую кривую на положительной поверхности, то её конец описывает соответствующую замкнутую кривую на отрицательной поверхности, а сами силовые линии образуют трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции. Такую трубку называют Соленоидом ³.

³ От σωλην-труба. Фарадей (§ 3271) употребляет термин «сфондилоид» в том же смысле.

В каждой точке боковой поверхности трубки сила лежит в касательной плоскости, так что индукции поперёк поверхности нет. Следовательно, если в трубке не содержится заряженного вещества, то, согласно п. 77, полная индукция через замкнутую поверхность, образуемую боковой поверхностью трубки и двумя её торцами, равна нулю, следовательно, значение ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆 для обоих торцов должно быть одинаково по величине и отличаться знаком.

Если эти торцевые поверхности являются поверхностями проводников, то ε=0 и 𝑅=-4πσ, так что интеграл ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆 переходит в -4π∬σ𝑑𝑆, т. е. равен заряду поверхности, умноженному на 4π.

Таким образом, положительный заряд участка поверхности, охватываемого замкнутой кривой в начале силовой трубки, численно равен отрицательному заряду, охватываемому соответствующей замкнутой кривой в конце силовой трубки.

Из свойств силовых линий можно вывести ряд важных следствий.

Внутренняя поверхность замкнутого проводящего сосуда совершенно лишена заряда, и потенциал всех точек внутри неё тот же, что и у проводника, если внутри сосуда нет заряженных тел.

Действительно, поскольку силовая линия должна начинаться на положительно заряженной поверхности, а кончаться на отрицательно заряженной, а никаких заряженных тел внутри сосуда нет, то силовая линия, если она существует внутри сосуда, должна начинаться и кончаться на самой поверхности сосуда. Но потенциал в начале силовой линии должен быть больше, чем в конце, между тем мы показали, что потенциал во всех точках проводника один и тот же.

Значит, в объёме внутри полого проводящего сосуда не может быть никаких силовых линий, если там нет никаких заряженных тел.

Если проводник, находящийся внутри замкнутого полого сосуда, соединён с этим сосудом, то его потенциал становится равным потенциалу сосуда, а поверхность его становится непрерывно связанной с внутренней поверхностью сосуда. Следовательно, на проводнике нет никакого заряда.

Если представить себе произвольную заряженную поверхность разбитой на элементарные участки так, что заряд каждого участка равен единице, и если построить в силовом поле соленоиды, опирающиеся на эти элементарные площадки, то поверхностный интеграл через любую другую поверхность будет выражаться числом соленоидов, пересекаемых этой поверхностью. Именно в этом смысле Фарадей применяет понятие силовых линий для указания не только на направление, но и на величину силы в произвольной точке поля.

Мы пользуемся выражением Силовые Линии потому, что им пользовались Фарадей и другие. Строго говоря, их следовало бы назвать Линиями Электрической Индукции.

В обычных случаях линии индукции указывают также величину и направление результирующей электродвижущей напряжённости в каждой точке, поскольку напряжённость и индукция направлены одинаково и находятся в постоянном отношении. Однако бывают случаи, когда важно помнить, что эти линии указывают именно индукцию, а напряжённость непосредственно определяется эквипотенциальными поверхностями: она перпендикулярна этим поверхностям и обратно пропорциональна расстоянию между соседними поверхностями.

Об удельной индуктивной способности

83а. Выше при исследовании поверхностных интегралов мы приняли обычное представление о прямом воздействии на расстоянии и не учитывали никаких эффектов, зависящих от природы диэлектрической среды, в которой наблюдаются эти силы.

Но Фарадей заметил, что количество электричества, наводимое заданной электродвижущей силой на поверхности проводника, граничащего с диэлектриком, для разных диэлектриков различно. Для большинства твёрдых и жидких диэлектриков оно больше, чем для воздуха и для газов. Поэтому говорят, что у этих веществ удельная индуктивная способность больше, чем у воздуха, который Фарадей принял за эталонную среду.

Мы можем выразить теорию Фарадея на математическом языке, сказав, что в диэлектрической среде индукция через поверхность представляет собой произведение нормальной составляющей электрической напряжённости на коэффициент, являющийся удельной индуктивной способностью этой среды. Если этот коэффициент обозначить через 𝐾 то всюду при вычислении поверхностных интегралов нам надо будет умножить 𝑋, 𝑌, 𝑍 на 𝐾, так что уравнение Пуассона примет вид

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

4πρ

(1)

На поверхности раздела двух сред с индуктивными способностями 𝐾₁ и 𝐾₂, потенциалы в которых мы обозначим 𝑉₁ и 𝑉₂, характеристическое уравнение можно записать в виде

𝐾

₁

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝐾

₂

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

4πρ

(2)

где ν₁, ν₂ – нормали в сторону первой и второй среды, а σ – истинная поверхностная плотность заряда на поверхности раздела, т. е. количество электричества, фактически находящееся на поверхности в виде заряда, изменить которое можно, лишь подведя к данному месту или отведя от него какой-то заряд.

Кажущееся распределение электричества

83 б. Если исходить из фактического распределения потенциала и найти по нему объёмную плотность ρ' и поверхностную плотность σ' в предположении, что 𝐾 всюду равно единице, то величину ρ' можно назвать кажущейся объёмной плотностью, а σ' – кажущейся поверхностной плотностью, потому что полученное таким образом распределение электричества создавало бы фактически имеющееся распределение потенциала в предположении, что приведённый в п. 66 закон для электрической силы не требует никакой поправки для учёта различия в свойствах диэлектриков.

Кажущийся заряд электричества внутри заданного объёма может увеличиваться или уменьшаться без какого-либо прохождения электричества через границы этого объёма. Поэтому его следует отличать от истинного заряда, удовлетворяющего уравнению непрерывности.

В неоднородном диэлектрике, в котором 𝐾 меняется непрерывно, для кажущейся объёмной плотности ρ' справедливо соотношение

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

4πρ'

(3)

Сопоставляя его с уравнением (1), получим

4π

(ρ-𝐾ρ')

𝑑𝐾

𝑑𝑥

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑑𝐾

𝑑𝑦

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑𝐾

𝑑𝑧

𝑑𝑉

𝑑𝑧

(4)

Истинная электризация, обозначаемая через ρ, создаст в диэлектрике с неоднородной индуктивной способностью, обозначаемой через 𝐾 такой же потенциал в каждой точке, какой создала бы кажущаяся электризация с плотностью ρ' в диэлектрике с индуктивной способностью, равной всюду единице.

Кажущаяся поверхностная плотность ρ' определяется по электрическим силам, действующим в окрестности поверхности с помощью обычного характеристического уравнения

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

4πρ'

Если твёрдый диэлектрик произвольной формы является идеальным изолятором и на его поверхность не внесён никакой заряд, то истинный заряд на ней равен нулю, каковы бы ни были действующие на неё электрические силы. Таким образом,

𝐾

₁

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

𝐾

₂

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

откуда

𝑑𝑉₁

𝑑ν₁

4πσ𝐾₂

𝐾₁-𝐾₂

𝑑𝑉₂

𝑑ν₂

4πσ𝐾₁

𝐾₂-𝐾₁

Поверхностная плотность σ' – это кажущаяся электризация, создаваемая индукцией на поверхности твёрдого диэлектрика. Она полностью исчезает при устранении индуцирующей силы, но если в период действия индуцирующей силы разрядить кажущуюся электризацию поверхности, проведя по ней пламенем, то после устранения индуцирующей силы появится истинная электризация, равная и противоположная σ' ⁴.

⁴ См. Фарадей «Remarks on Static Induction», Proceedings of the Royal Institution, Feb. 12, 1858.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II

Уравнения

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

4πρ

𝐾

₁

𝑑𝑉

𝑑ν₁

𝐾

₂

𝑑𝑉

𝑑ν₂

4πρ

выражают условие, что смещение через любую замкнутую поверхность отличается множителем 4π от количества электричества внутри неё. Первое уравнение получается сразу при применении этого принципа к параллелепипеду, грани которого перпендикулярны координатным осям, а второе – применением к цилиндру, охватывающему элемент заряженной поверхности.

Предваряя результаты следующей главы, мы можем вывести эти уравнения непосредственно из фарадеевского определения удельной индуктивной способности. Рассмотрим случай конденсатора, состоящего из двух бесконечных параллельных пластин. Пусть 𝑉₁ и 𝑉₂ – потенциалы этих пластин, 𝑑 – расстояние между ними, а 𝐸 – заряд на площади 𝐴 одной из пластин. Тогда, если 𝐾 – удельная индуктивная способность разделяющего их диэлектрика, то

𝐸

𝐾𝐴

𝑉₁-𝑉₂

4π𝑑

Энергия системы 𝑄 согласно п. 84, равна

𝐸

(𝑉

₁

–𝑉

₂

)

𝐾𝐴

(𝑉₁-𝑉₂)²

4π𝑑

или, если обозначить через 𝐹 электродвижущую напряжённость в произвольной точке между пластинами, 𝑄=(1/8π)𝐾𝐴𝑑𝐹². Если мы считаем энергию сосредоточенной в диэлектрике, то на единицу объёма придётся энергия 𝑄=𝐴𝑑, так что количество энергии в единице объёма равно 𝐾𝐹²/8π. Этот результат остаётся справедливым и для неоднородного поля, так что энергия для произвольного электрического поля равна

𝑄

8π

∭

𝐾𝐹²

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

8π

∭

𝐾

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

Предположим, что потенциал каждой точки поля увеличился на малую величину δ𝑉, где δ𝑉 – произвольная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, тогда вариация энергии δ𝑄 будет даваться уравнением

δ𝑄

4π

∭

⎛

⎜

⎝

𝐾

⎧

⎨

⎩

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑑δ𝑉

𝑑𝑥

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑δ𝑉

𝑑𝑦

𝑑𝑉

𝑑𝑧

𝑑δ𝑉

𝑑𝑧

⎫

⎬

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

или, согласно теореме Грина,

δ𝑄

4π

∬

⎛

⎜

⎝

𝐾

₁

𝑑𝑉

𝑑ν₁

𝐾

₂

𝑑𝑉

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑉

𝑑𝑆

–

4π

∭

⎧

⎨

⎩

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

где 𝑑ν₁ и 𝑑ν₂ – элементы нормалей к поверхности в сторону первой и второй среды соответственно.

Но согласно п. 85, 86

δ𝑄

∑

(𝑒δ𝑉)

∬

σδ𝑉

𝑑𝑆

∭

ρδ𝑉

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

и поскольку δ𝑉 произвольно, то

4π

⎛

⎜

⎝

𝐾

₁

𝑑𝑉

𝑑ν₁

𝐾

₂

𝑑𝑉

𝑑ν₂

⎞

⎟

⎠

σ,

4π

∭

⎧

⎨

⎩

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

ρ,

что и совпадает с уравнениями в тексте.

В опытах Фарадея пламя можно рассматривать как проводник, связанный с землёй. Влияние диэлектрика выражается в появлении кажущейся электризации на его поверхности. Эта кажущаяся электризация, воздействуя на проводящее пламя, притягивает к себе электричество противоположного знака, распределяющееся по поверхности диэлектрика, тогда как электричество того же знака отталкивается через пламя на землю. Таким образом, на поверхности диэлектрика появляется действительная электризация, компенсирующая влияние кажущейся электризации. При устранении индуцирующей силы кажущаяся электризация исчезает, а действительная электризация остаётся и уже не компенсируется кажущейся.

ГЛАВА III

О РАБОТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ

84. О Работе, которую должен совершить внешний агент, чтобы зарядить систему заданным образом.

Работа, затрачиваемая при перенесении количества электричества δ𝑒 с бесконечного расстояния (или из любой точки, где потенциал равен нулю) в данную часть системы с потенциалом 𝑉 равна, по определению (п. 70), 𝑉δ𝑒.

В результате такой операции заряд в данной части системы возрастает на δ𝑒, так что если до этого он был равен 𝑒 его значение становится равным 𝑒+δ𝑒.

Следовательно, работа, совершаемая при заданном изменении зарядов системы, выражается интегралом

𝑊

∑

(

∫

𝑉δ𝑒

)

(1)

где суммирование производится по всем частям заряженной системы.

Из выражения для потенциала, приведённого в п. 73, видно, что потенциал в данной точке может рассматриваться как сумма нескольких слагаемых, каждое из которых представляет собой потенциал соответствующей части заряда системы.

Таким образом, если 𝑉 – потенциал в данной точке, обусловленный некоторой системой зарядов, которую мы обозначим ∑(𝑒), а 𝑉' – потенциал в той же точке, обусловленный другой системой зарядов, обозначаемой через ∑(𝑒'), то потенциал в этой точке, обусловленный одновременным наличием обеих систем зарядов, будет 𝑉+𝑉'.

Следовательно, если каждый заряд системы увеличивается в отношении 𝑛 к 1, то и потенциал в любой точке системы также изменяется в отношении 𝑛 к 1.

Поэтому предположим, что внесение заряда в систему происходит следующим образом. Пусть сначала система не заряжена и находится под нулевым потенциалом и пусть все части системы заряжаются одновременно со скоростью, пропорциональной их окончательному заряду.

Так, если 𝑒 – окончательное значение заряда, а 𝑉 – окончательное значение потенциала какой-либо части системы, то если на некотором этапе этого процесса заряд равен 𝑛𝑒 то и потенциал равен 𝑛𝑉, и мы можем описать весь процесс зарядки как непрерывное увеличение 𝑛 от 0 до 1.

Когда 𝑛 меняется от 𝑛 до 𝑛+δ𝑛, каждая часть системы, окончательный заряд которой равен 𝑒, а окончательный потенциал 𝑉 увеличивает свой заряд на 𝑒δ𝑛, а поскольку её потенциал равен 𝑛𝑉 то совершаемая над ней работа равна 𝑒𝑉𝑛δ𝑛.

Отсюда полная работа, совершаемая при зарядке системы, равна

∑

(𝑒𝑉)

∫

𝑛δ𝑛

∑

(𝑒𝑉)

(2)

т.е. полусумме произведений зарядов различных частей системы на соответствующие им потенциалы.

Такова работа, затрачиваемая внешним источником при зарядке системы описанным нами способом, но поскольку система консервативная, то работа, затрачиваемая на приведение системы в это же состояние любым другим способом, будет той же.

Поэтому мы называем величину

𝑊

∑

(𝑒𝑉)

(3)

электрической энергией системы, выраженной через заряды различных частей системы и их потенциалы.

85 а. Предположим теперь, что система переходит из состояния (𝑒,𝑉) в состояние (𝑒',𝑉') таким образом, что различные заряды одновременно изменяются со скоростями, пропорциональными их полному приращению 𝑒'-𝑒.

Если в какой-либо момент заряд определённой части системы равен 𝑒+𝑛(𝑒'-𝑒), то её потенциал равен 𝑉+𝑛(𝑉'-𝑉), а работа, совершенная при изменении заряда этой части системы, равна

∫

(𝑒'-𝑒)

[𝑉+𝑛(𝑉'-𝑉)]

𝑒𝑛

(𝑒'-𝑒)

(𝑉'+𝑉)

так что если 𝑊 – энергия системы в состоянии (𝑒',𝑉'), то

𝑊'-𝑊

∑

(𝑒'-𝑒)

(𝑉'+𝑉)

(4)

Но

𝑊

∑

(𝑒,𝑉)

𝑊'

∑

(𝑒',𝑉')

Подставляя эти значения в (4), получим

∑

(𝑒,𝑉')

∑

(𝑒',𝑉)

Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме"