Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 3 (всего у книги 34 страниц)
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ГЛАВА ОБ ИЗМЕРЕНИИ ВЕЛИЧИН
1. Любое выражение для какой-нибудь Величины состоит из двух факторов или компонент. Одним из таковых является наименование некоторой известной величины того же типа, что и величина, которую мы выражаем. Она берётся в качестве эталона отсчёта. Другим компонентом служит число, показывающее, сколько раз надо приложить эталон для получения требуемой величины. Эталонная, стандартная величина называется в технике Единицей, а соответствующее число – Численным Значением данной величины.
Сколько существует разновидностей измеряемых величин, столько же должно существовать и различных единиц; однако во всех динамических науках эти единицы можно определять через три основные: единицу Длины, единицу Времени и единицу Массы. Так, единицы площади и объёма определяются соответственно как квадрат и куб, стороны которых равны единице длины.
Иногда всё же мы обнаруживаем несколько единиц одного и того же вида, возникших по независимым соображениям. Так, галлон (объём десяти фунтов воды) используется в качестве единицы ёмкости наряду с кубическим футом. В некоторых случаях галлон может быть удобной мерой, но он не относится к системным единицам, так как его численное отношение к кубическому футу не равно круглому целому числу.
2. При построении математической системы мы считаем основные единицы – длины, времени и массы – заданными, а все производные единицы выводим из них с помощью простейших приемлемых определений.
Формулы, к которым мы приходим, должны быть такими, чтобы представитель любого народа, подставляя вместо символов численные значения величин, измеренные в его национальных единицах, получил бы верный результат.
Следовательно, во всех научных исследованиях очень важно использовать единицы, принадлежащие к системе, должным образом определённой, равно как и знать их связи с основными единицами, чтобы иметь возможность сразу же пересчитывать результаты из одной системы в другую.
Удобнее всего это делать, установив размерность каждой единицы по отношению к трём основным. Если некоторая заданная единица изменяется как 𝑛-я степень одной из основных единиц, то говорят, что она 𝑛-размерна или имеет размерность 𝑛 по отношению к этой единице.
Например, принятая в науке единица объёма всегда представляет собой куб, стороны которого равны единице длины. Если единица длины изменится, то единица объёма изменится как третья степень длины, поэтому говорят, что единица объёма относительно единицы длины имеет размерность равную трём.
Знание размерности единиц снабжает нас способом проверки, который следует применять к уравнениям, полученным в результате длительных исследований. Размерность каждого из членов такого уравнения относительно каждой из трёх основных единиц должна быть одной и той же. Если это не так, то уравнение бессмысленно, оно содержит какую-то ошибку, поскольку его интерпретация оказывается разной и зависящей от той произвольной системы единиц, которую мы принимаем 1.
1 Теория размерностей была сформулирована впервые Фурье (Fourier, Théorie de Cha-teur, § 160).
Три основные единицы
3. (1) Длина. Эталоном длины, используемым в нашей стране в научных целях, служит фут, который составляет третью часть стандартного ярда, хранящегося в Казначейской Палате.
Во Франции и в других странах, принявших метрическую систему, эталоном длины является метр. Теоретически это одна десятимиллионная часть длины земного меридиана, измеренного от полюса до экватора; практически же это длина хранящегося в Париже эталона, изготовленного Борда (Borda) с таким расчётом, чтобы при температуре таяния льда он соответствовал значению длины меридиана, полученному Делямбром (Delambre). Изменения, отражающие новые и более точные измерения Земли, не вносятся в метр, наоборот,– сама дуга меридиана исчисляется в первоначальных метрах.
В астрономии за единицу длины принимается иногда среднее расстояние от Земли до Солнца.
При современном состоянии науки наиболее универсальным эталоном длины из числа тех, которые можно было бы-предложить, служила бы длина волны света определённого вида, испускаемого каким-либо широко распространённым веществом (например, натрием), имеющим в своём спектре чётко отождествляемые линии. Такой эталон не зависел бы от каких-либо изменений в размерах Земли и его следовало бы принять тем, кто надеется, что их писания окажутся более долговечными, чем это небесное тело.
При работе с размерностями единиц мы будем обозначать единицу длины как [𝐿]. Если численное значение длины равно 𝑙, то это понимается как значение, выраженное через определённую единицу [𝐿], так что вся истинная длина представляется как 𝑙[𝐿]
4. (2) Время. Во всех цивилизованных странах стандартная единица времени выводится из периода обращения Земли вокруг своей оси. Звёздные сутки или истинный период обращения Земли может быть установлен с большой точностью при обычных астрономических наблюдениях, а средние солнечные сутки могут быть вычислены из звёздных благодаря нашему знанию продолжительности года.
Секунда среднего солнечного времени принята в качестве единицы времени во всех физических исследованиях.
В астрономии за единицу времени иногда берётся год. Более универсальную единицу времени можно было бы установить, взяв период колебаний того самого света, длина волны которого равна единице длины.
Мы будем именовать конкретную единицу времени как [𝑇], а числовую меру времени обозначать через 𝑡.
5. (3) Масса. В нашей стране стандартной единицей массы является эталонный коммерческий фунт (avoirdupois pound), хранящийся в Казначейской Палате. Часто используемый в качестве единицы гран (grain) составляет одну 7000-ю долю этого фунта.
В метрической системе единицей массы служит грамм; теоретически это масса кубического сантиметра дистиллированной воды при стандартных значениях температуры и давления, а практически это одна тысячная часть эталонного килограмма, хранящегося в Париже.
Та точность, с которой массы тел можно сравнивать между собой при помощи взвешивания, далеко превышает точности, достигнутые в измерении длин, так что все массы должны по мере возможности сравниваться непосредственно с эталоном, а не вычисляться на основе опытов с водой.
В описательной астрономии за единицу массы иногда берётся масса Солнца или Земли, но в теоретической астродинамике единица массы выводится исходя из единиц времени и длины в сочетании с фактом универсальности гравитации. Астрономической единицей массы является такая масса, которая, притягивая другое тело, помещённое от неё на единичном расстоянии, сообщает этому телу единичное ускорение.
Формируя некоторую универсальную систему единиц, мы можем либо вывести единицу массы указанным выше путём из уже определённых ранее единиц длины и времени (а это мы умеем делать в грубом приближении уже при современном состоянии науки), либо, рассчитывая на возможность определения 2 в недалёком будущем массы одной молекулы стандартного вещества, можем подождать этого определения и не устанавливать пока универсального эталона массы.
2 См. Prof. J. Loschmidt, «Zur Grösse der Luftmolecule», Academy of Vienna, Oct. 12, 1865; G. J. Stoney on «The Inertial Motion of Gases» Phil. Mag., Aug. 1868 and Sir W. Thomson on «The Size of Atoms», Nature. March 31, 1870.
При рассмотрении размерности других единиц мы будем обозначать конкретную единицу массы символом [𝑀]. Единица массы будет взята в качестве одной из трёх основных величин. Но если, как это делается во французской системе, определённое вещество, а именно вода, берётся в качестве эталона плотности, то единица массы уже перестаёт быть независимой, а изменяется подобно единице объёма, т. е. как [𝐿3].
Если же, как в астрономической системе, единица массы выражена через силу её притяжения, то размерность [𝑀] оказывается такой: [𝐿3𝑇-2].
В самом деле, ускорение, обусловленное притяжением массы 𝑚 на расстоянии 𝑟, согласно закону Ньютона равно 𝑚/𝑟2. Допустим, что это притяжение действует на первоначально покоящееся тело в течение очень короткого промежутка времени 𝑡 и заставляет его описать пространственное смещение 𝑠, тогда по формуле Галилея имеем
𝑠
=
1
2
ƒ𝑡²
=
1
2
𝑚
𝑟²
𝑡²
,
откуда 𝑚=2𝑟²𝑠/𝑡². Так как и 𝑟, и 𝑠 – длины, a 𝑡 – время, это уравнение не может выполняться, если размерность 𝑚 не равна [𝐿3𝑇-2]. То же самое можно показать и для любого астрономического уравнения, где масса тела фигурирует в некоторых (но не во всех) членах 3.
3 Если взять за единицы измерений сантиметр и секунду, то, согласно Бэйли (Baily), повторившему эксперименты Кавендиша, астрономическая единица массы окажется равной примерно 1,537⋅107 грамма или 15,37 тонн. Бэйли принял для средней плотности Земли значение 5,6604 как средний результат всех его опытов; это даёт с учётом использованных им размеров Земли и силы тяжести на поверхности Земли приведённое выше значение массы, являющееся, таким образом, непосредственным следствием его экспериментов.
Производные Единицы
6. Единица Скорости – это такая скорость, при которой в единицу времени проходится единица длины. Её размерность равна [𝐿𝑇-1].
Если за единицу длины и времени принять величины, выведенные из колебаний света, то единицей скорости станет скорость света.
Единица Ускорения – это такое ускорение, при котором скорость возрастает на единицу за единицу времени. Её размерность [𝐿𝑇-2].
Единица Плотности – это плотность вещества, содержащего в единице объёма единицу массы. Её размерность [𝑀𝐿-3].
Единица Импульса (количества движения) – это импульс единицы массы, движущейся с единичной скоростью. Её размерность [𝑀𝐿𝑇-1].
Единица Силы – это такая сила, которая производит единичный импульс в единицу времени. Её размерность [𝑀𝐿𝑇-2].
Эта единица силы является абсолютной, и такое её определение применимо к любому уравнению Динамики. Тем не менее во многих учебниках, где приводятся эти уравнения, принята иная единица силы, а именно вес национальной единицы массы; тогда, для того чтобы удовлетворить уравнениям, приходится отказываться от самой национальной единицы массы, а в качестве динамической единицы принять некоторую искусственную, равную национальной единице, делённой на численное значение интенсивности тяготения в данном месте. При этом обе единицы – и силы, и массы – становятся зависящими от значения интенсивности тяготения, которая изменяется от места к месту, так что утверждения, в которых фигурируют эти величины, оказываются неполными без знания интенсивности тяготения для тех мест, где установлена справедливость этих утверждений.
Упразднение этого метода измерения сил для всех научных целей в основном обусловлено введением Гауссом общей системы наблюдений магнитной силы в странах, где интенсивность тяготения различна. Сейчас все силы такого рода измеряются в соответствии со строго динамическим методом, вытекающим из наших определений, и численные результаты измерений получаются одинаковыми, в какой бы стране эти измерения ни проводились.
Единица Работы – это работа, производимая единичной силой, действующей на единичном пути в направлении этой силы. Её размерность [𝑀𝐿2𝑇-2].
Энергия системы, будучи её способностью к совершению работы, измеряется той работой, которую способна совершать система, израсходовав всю свою энергию.
Определения других величин, а также относящихся к ним единиц, будут даны в тех местах, где они нам потребуются.
Преобразовывая значения физических величин, определённых через одну физическую единицу, с целью их представления через какие-либо другие однотипные единицы, мы должны помнить, что каждое выражение величины состоит из двух множителей – из единицы измерений и числа, показывающего, сколько раз эта единица должна быть взята. Следовательно, численная часть выражения изменяется обратно пропорционально величине единицы измерений, т. е. обратно пропорционально тем различным степеням основных единиц, которые определяют размерность данной производной единицы.
О физической непрерывности и разрывности
7. Про какую-либо величину говорят как про изменяющуюся непрерывно, если при переходе от одного значения к другому она принимает все промежуточные значения.
К понятию непрерывности мы приходим при рассмотрении непрерывного существования частицы материи во времени и в пространстве. Такая частица не может перейти из одного положения в другое, не описав в пространстве непрерывную линию, и координаты её положения должны быть непрерывными функциями времени.
В так называемом «уравнении непрерывности» в том виде, как оно приводится в трактатах по Гидродинамике, выражен факт, что вещество не может появиться или исчезнуть из некоторого элемента объёма, не проходя внутрь или наружу через его границы.
Величина называется непрерывной функцией своих переменных, если при непрерывном изменении этих переменных она сама изменяется непрерывно.
Таким образом, если 𝑢 есть функция 𝑥 и при непрерывном изменении 𝑥 от 𝑥0 до 𝑥1 и непрерывно переходит от 𝑢0 до 𝑢1 а при изменении 𝑥 от 𝑥1 до 𝑥2 и переходит от 𝑢'1 до 𝑢'2, причём 𝑢'1 отличается от 𝑢1 то про величину 𝑢 говорят, что она имеет разрыв относительно изменения 𝑥 при значении 𝑥=𝑥1, потому что она меняется от 𝑢1 до 𝑢'1 скачком при непрерывном прохождении 𝑥 через 𝑥1.
Рассмотрим производную от 𝑢 по 𝑥 при значении 𝑥=𝑥1 как предел дроби (𝑢2-𝑢)/(𝑥2-𝑥), когда 𝑥2 и 𝑥0 становятся сколь угодно близкими к 𝑥1. Тогда, если 𝑥0 и 𝑥2 всё время находятся по разные стороны от 𝑥1 предельное значение числителя станет равным 𝑢'1-𝑢1, а предельное значение знаменателя обратится в нуль. Если 𝑢 является величиной физически непрерывной, то разрыв может осуществляться только при определённых значениях переменной 𝑥. В этом случае мы можем допустить, что величина 𝑢 имеет бесконечную производную при 𝑥=𝑥1. Если же 𝑢 не является физически непрерывной, она может быть недифференцируема вообще.
В физических вопросах можно избавиться от идеи разрывности без ощутимых изменений условий рассматриваемой задачи. Если 𝑥0 ничтожно меньше 𝑥1, а 𝑥2 ничтожно больше 𝑥1 то величина 𝑢0 почти равна 𝑢1 а величина 𝑢2 почти равна 𝑢'1. И мы можем теперь предположить, что 𝑢 изменяется каким-либо произвольным, но непрерывным образом от 𝑢0 до 𝑢2 между пределами 𝑥0 и 𝑥2. Во многих физических вопросах можно, сделав вначале такого рода предположение, исследовать затем полученный результат, приближая, а в пределе и совмещая, значения 𝑥0 и 𝑥2 со значением 𝑥1. Если ответ не зависит от произвола, допущенного нами в способе изменения величины 𝑢 (внутри её пределов), мы можем считать его верным также и для разрывных 𝑢.
Разрывность функции от более чем одной переменной
8. Если значения всех переменных, кроме 𝑥, положить постоянными, то разрыв функции будет происходить при некоторых значениях 𝑥, связанных с другими переменными уравнением, которое можно записать так:
φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.
Разрыв будет происходить, когда φ=0. При φ положительных функция будет иметь вид 𝐹2(𝑥,𝑦,𝑧,…), а при φ отрицательных -𝐹1(𝑥,𝑦,𝑧,…), причём не нужно налагать никаких необходимых связей между 𝐹1 и 𝐹2.
Для того, чтобы выразить эту разрывность в математической форме, допустим, что одна из переменных, скажем, переменная 𝑥, представлена как функция от φ и от остальных переменных; допустим также, что 𝐹1 и 𝐹2 представлены как функции φ, 𝑦, 𝑧, …. Тогда мы может описать общий вид этой функции с помощыо такой формулы, которая при положительных φ давала бы значения приблизительно равные 𝐹2, а при отрицательных φ – приблизительно равные 𝐹1. Эта формула такова:
𝐹=
𝐹1+𝑒𝑛φ𝐹2
1+𝑒𝑛φ
.
До тех пор, пока число 𝑛 остаётся конечным (хотя и большим), функция 𝐹 будет непрерывной, но если сделать 𝑛 бесконечным, то функция 𝐹 окажется равной 𝐹2 при положительных φ и 𝐹1 при отрицательных φ.
Разрывность производных от непрерывных функций
Первые производные от непрерывной функции могут быть и разрывными. Пусть значения переменных, для которых происходит разрыв производных, связаны уравнением
φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.
a 𝐹1 и 𝐹2 выражены через φ и через (𝑛-1) остальных переменных, скажем, через (𝑦,𝑧,…).
Тогда при φ отрицательных следует брать 𝐹1, а при φ положительных 𝐹2, и так как при φ=0 функция 𝐹 сама по себе непрерывна, то 𝐹1=𝐹2.
Следовательно, при значении φ, равном нулю, производные 𝑑𝐹1/𝑑φ и 𝑑𝐹2/𝑑φ могут быть различными, но производные по любой другой переменной, такие, как 𝑑𝐹1/𝑑𝑦 и 𝑑𝐹2/𝑑𝑦, должны быть одинаковыми. Разрывность, таким образом, ограничена только производными по φ, все же другие производные остаются непрерывными.
Периодические и кратные функции
9. Если функция 𝑢 от 𝑥 такова, что её значения при 𝑥, 𝑥+𝑎, 𝑥+𝑛𝑎 одинаковы, как и при всех других значениях 𝑥, отличающихся на 𝑎, то 𝑢 называется периодической функцией 𝑥, а 𝑎 – её периодом.
Если же рассматривать 𝑥 как функцию 𝑢, то для некоторого заданного значения 𝑢 должен существовать бесконечный ряд значений 𝑥, отличающихся друг от друга на величину, кратную 𝑎. В этом случае 𝑥 называется кратной функцией 𝑢, а величина 𝑎 – её циклической постоянной.
Производная 𝑑𝑥/𝑑𝑢 имеет только конечное число значений, отвечающих данному значению 𝑢.
О соотношении между физическими величинами и направлениями в пространстве
10. Характеризуя разновидности физических величин, очень важно знать, как они зависят от направлений тех координатных осей, которые обычно используются для установления местоположения предметов. Введение Декартом координатных осей в геометрию было одним из величайших шагов в развитии математики, ибо это свело методы геометрии к расчётам, совершаемым над численными величинами. Положение точки сделалось зависящим от длин трёх линий, проводимых всякий раз в определённых направлениях, а линия, соединяющая две точки, подобным же образом стала рассматриваться как результирующая трёх линий.
Однако, в отличие от вычислений, для многих целей физического обоснования желательно избегать явного введения декартовых координат, сосредоточивая внимание сразу же на точке в пространстве, а не на трёх её координатах, или на величине и направлении силы, а не на трёх её составляющих. Такой подход к рассмотрению геометрических и физических величин является более простым и естественным, чем другой, координатный, хотя связанные с ним представления не получили полного развития до тех пор, пока Гамильтон не сделал следующего великого шага в обращении с пространством и не изобрёл своё Кватернионное Исчисление.
Поскольку декартовы методы всё ещё остаются наиболее привычными для исследователей, занимающихся наукой, и они действительно являются наиболее удобными при вычислениях, мы тоже будем выражать все наши результаты в декартовой форме. Я убеждён, однако, что введение идей, извлечённых из кватернионных операций и методов, принесёт нам огромную пользу при изучении всех разделов нашего курса, особенно электродинамики, где приходится иметь дело с рядом физических величин, соотношения между которыми можно существенно проще представить при помощи нескольких выражений по Гамильтону, чем через обычные уравнения.
11. Одной из наиболее важных особенностей метода Гамильтона является разделение величин на Скаляры и Векторы.
Скалярная величина допускает полное определение при помощи одной-единственной численной характеристики. Её численное значение никоим образом не зависит от принятого нами направления координатных осей.
Вектор, или Направленная величина, для своего определения требует трёх численных характеристик, и проще всего они могут быть поняты как величины, отсчитываемые в направлениях координатных осей.
Скалярные величины не включают в себя никаких направлений. Объём геометрической фигуры, масса и энергия материального тела, гидростатическое давление в какой-либо точке жидкости, потенциал в какой-либо точке пространства – всё это примеры скалярных величин.
Векторная величина имеет направление, а также модуль, причём обращение её направления на противоположное изменяет её знак. Смещение точки, представляемое прямой линией, проведённой из-её начального положения в конечное, может быть взято в качестве типичной векторной величины, из которой в самом деле и было образовано название Вектор.
Скорость тела, его импульс, сила, действующая на тело, электрический ток, намагниченность частицы железа – всё это примеры векторных величин.
Существуют и другого рода физические величины, которые хотя и связаны с направлениями в пространстве, но не являются векторами. Натяжения и деформация в твёрдых телах служат этому примерами, сюда же относятся некоторые свойства тел, изучаемые в теории упругости и теории двойного лучепреломления. Для определения величин этого класса требуется девять численных характеристик. На языке кватернионов они выражаются как линейные и векторные функции от вектора.
Сложение одной векторной величины с другой, однотипной с ней, производится в соответствии с правилом сложения сил в статике. Действительно, доказательство, которое даёт Пуассон для «параллелограмма сил», применимо к составлению любых величин, перевёртывание (перестановка концов) которых равносильно обращению их знака.
В тех случаях, когда у нас появится желание обозначить векторную величину одним символом и привлечь внимание к тому факту, что она является вектором и что у неё необходимо рассматривать как направление, так и модуль, мы будем прибегать к заглавным готическим буквам, например 𝔄, 𝔅, …
В кватернионном исчислении положение точки в пространстве определяется вектором, проведённым в эту точку из некоторой фиксированной точки, называемой начальной точкой или началом координат. Если нам нужно изучать какую-либо физическую величину, значение которой зависит от положения точки, то она рассматривается как функция вектора, проведённого из начала координат. Сама эта функция может быть и скаляром, и вектором. Плотность тела, его температура, его гидростатическое давление, потенциал в точке – всё это примеры скалярных функций. Результирующая сила в точке, скорость жидкости в точке, скорость вращения элемента жидкости, а также момент пары сил, производящий вращение,– всё это примеры векторных функций.
12. Физические векторные величины можно разделить на два класса: в одном из них величина определена относительно линии, в другом – относительно площади.
Так, например, результирующую силу притяжения можно измерить, отыскав работу, которую она произвела бы над телом при его перемещении на малое расстояние в направлении силы, и поделив её на величину этого малого расстояния. Здесь сила притяжения определена относительно линии.
С другой стороны, поток тепла в каком-либо направлении в какой-либо точке твёрдого тела может быть определён как количество тепла, которое проходит через маленькую площадку, проведённую перпендикулярно к данному направлению, делённое на величину этой площадки и на время. Здесь поток определён относительно площадки.
Существуют некоторые случаи, в которых одна и та же величина может быть измерена и относительно линии, и относительно площадки.
Так, при рассмотрении смещений в упругих телах мы можем обратить внимание либо на начальное и фактическое положения частицы, и в этом случае её смещение измеряется линией, проведённой из первого положения во второе; либо мы можем рассматривать маленькую фиксированную в пространстве площадку и определить, какое количество вещества проходит через эту площадку за время смещения.
Точно так же можно исследовать и скорость жидкости, принимая во внимание либо действительную скорость отдельных её частей, либо количество жидкости, протекающей через какую-либо фиксированную площадку.
Однако для применения первого метода в обоих этих случаях наряду со смещением или скоростью требуется независимо знать плотность тела; второй же метод должен применяться всякий раз при попытках построения молекулярной теории.
В случае потока электричества в проводнике мы не знаем ничего ни о его плотности, ни о скорости, нам известна лишь та величина, которая в теории жидкости соответствовала бы произведению плотности на скорость. И поэтому во всех таких случаях следует применять более общий метод измерения потока через площадку.
В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряжённости принадлежат к величинам первого класса – они определены относительно линий. При желании отметить это обстоятельство мы можем, ссылаясь на них, именовать их Напряжённостями (интенсивностями).
Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса – они определены относительно площади. При желании отметить это обстоятельство мы будем, ссылаясь на них, именовать их Потоками.
Можно считать, что каждая из этих напряжённостей производит (или стремится произвести) соответствующий ей поток. Так, электродвижущая напряжённость создаёт электрические токи в проводниках и стремится создать их в диэлектриках. Она создаёт электрическую индукцию в диэлектриках, а возможно, и в проводниках тоже. В этом же смысле магнитная напряжённость производит магнитную индукцию.
13. В одних случаях поток оказывается просто пропорциональным напряжённости и совпадающим с ней по направлению, в других – мы можем только утверждать, что и его направление, и его величина являются функциями направления и величины напряжённости.
Случай, в котором составляющие потока представляют собой линейные функции составляющих напряжённости, обсуждается в п. 297 главы «Уравнения Проводимости». Связь между напряжённостью и потоком определяется, вообще говоря, девятью коэффициентами. Но иногда у нас есть основания полагать, что шесть из них образуют три пары равных между собой величин. Тогда связь между линией, вдоль которой направлена напряжённость, и плоскостью, нормальной к потоку, подобна связи между полудиаметром эллипсоида и сопряжённой ему диаметральной плоскостью. На кватернионном языке в этом случае говорят, что один из векторов является линейной векторной функцией другого, а когда существует три попарно одинаковых коэффициента, то эту функцию называют самосопряжённой.
В случае магнитной индукции в железе поток (намагниченность железа) не является линейной функцией интенсивности намагничивания. Однако во всех случаях произведение напряжённости (интенсивности) на поток, спроектированный на направление напряжённости, приводит к важному научному результату. И это произведение всегда является скалярной величиной.
14. С этими двумя классами векторов или направленных величин связаны две часто встречающиеся математические операции.
В случае напряжённости следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряжённости вдоль этого элемента. Результат такой операции называется Линейным (криволинейным) интегралом от напряжённости. Он представляет собой работу, производимую над телом, перемещаемым вдоль этой линии. В некоторых случаях, когда линейный интеграл не зависит от формы линии, а зависит только от положения её конечных точек, линейный интеграл называется Потенциалом.
В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый из её элементов. Результат этой операции называется Поверхностным интегралом от потока, он представляет собой то количество, которое проходит через поверхность.
Существуют определённые поверхности, потоки через которые равны нулю. Если две из них пересекаются, то линия пересечения является линией потока. В тех случаях, когда поток совпадает по направлению с силой, линии подобного рода называют Линиями Силы. Однако было бы правильнее в электростатике и магнитостатике говорить о них как о линиях индукции, а в электрокинематике – как о Линиях Тока.
15. Существует ещё одно различие между двумя разными видами направленных величин, хотя и очень важное с физической точки зрения, однако не настолько необходимое, чтобы его следовало отмечать ради применения математических методов. Речь идёт о различии между поступательными (продольными) и вращательными свойствами.
Направление и модуль величины могут зависеть от какого-то действия или эффекта, целиком и полностью происходящего вдоль определённой линии, а могут зависеть от чего-то иного, имеющего характер вращения вокруг этой линии, принимаемой за ось. Законы сложения направленных величин, и поступательных (продольных), и вращательных, одинаковы, так что при математическом рассмотрении между величинами этих двух классов нет никаких различий, однако могут существовать некие физические обстоятельства, указывающие, к какому из классов мы обязаны отнести данное частное явление. Так, электролиз состоит в переносе некоторых веществ вдоль линии в одном направлении и некоторых других веществ в противоположном направлении; он представляет собой, очевидно, явление поступательное (продольное), в нём нет никаких признаков эффекта вращения вокруг направления силы.
Отсюда мы делаем вывод, что и электрический ток, который вызывает или сопровождает электролиз, относится к поступательным (продольным), а не к вращательным явлениям.
С другой стороны, северный и южный полюса магнита разделяются не так, как кислород и водород, которые в процессе электролиза появляются на противоположных местах, поэтому у нас нет свидетельства в пользу того, что магнетизм относится к продольным явлениям; в то же время действие магнетизма при вращении плоскости поляризации плоско поляризованного света отчётливо показывает, что магнетизм относится к явлениям вращательным.
О линейных интегралах
16. Операция интегрирования проекции векторной величины вдоль линии имеет важное значение в физике, и потому её следовало бы ясно понимать.
Пусть 𝑥, 𝑦, 𝑧 – координаты точки 𝑃, расположенной на некоторой кривой, длина которой, измеряемая от определённой точки 𝐴, равна 𝑠. Эти координаты будут функциями только одной переменной 𝑠.
Обозначим через 𝑅 численное значение векторной величины в точке 𝑃, и пусть касательная к кривой в этой точке образует с направлением 𝑅 угол ε. Тогда величина 𝑅 cos ε представляет собой составляющую 𝑅 вдоль кривой, а интеграл
𝐿=
𝑠
∫
0
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
называется линейным интегралом от 𝑅 вдоль 𝑠.
Это выражение может быть записано так:
𝐿=
𝑠
∫
0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑍
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 – составляющие 𝑅, параллельные осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно.
В общем случае этот интеграл для различных линий, проведённых между 𝐴 и 𝑃 различен. Но когда внутри некоторой области величина
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
–𝐷Ψ
является полным дифференциалом, то интеграл 𝐿 становится равным 𝐿=Ψ𝐴-Ψ𝑃. при этом он одинаков для любых двух путей произвольной формы между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что форма одного пути может быть преобразована в форму другого посредством непрерывного перемещения без выхода за пределы данной области.
