Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 13 (всего у книги 34 страниц)
ГЛАВА V
МЕХАНИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
103. Пусть 𝐸1 и 𝐸2 – две электрические системы, взаимодействие между которыми и является предметом рассмотрения. Пусть распределение заряда в системе 𝐸1 даётся объёмной плотностью ρ1 в элементе объёма с координатами 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, a ρ2 – объёмная плотность в элементе объёма системы 𝐸2 с координатами 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2.
Тогда 𝑥-составляющая силы отталкивания, действующей на элемент 𝐸1 со стороны элемента 𝐸2, равна
ρ
1
ρ
2
𝑥1-𝑥2
𝑟³
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑧
2
,
где 𝑟² = (𝑥1-𝑥2)² + (𝑦1-𝑦2)² + (𝑧1-𝑧2)², а 𝑥-составляющая 𝐴 полной силы, действующей на систему 𝐸1 из-за наличия системы 𝐸2, равна
𝐴
=
∭∭
𝑥1-𝑥2
𝑟³
ρ
1
ρ
2
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑧
2
,
(1)
где интегрирование по 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 производится по объёму, занимаемому системой 𝐸1 а интегрирование по 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 – по объёму, занимаемому системой 𝐸2. Но поскольку ρ1 равно нулю вне системы 𝐸1, а ρ2 равно нулю вне системы 𝐸2, то значение интеграла не изменится при расширении пределов интегрирования, так что мы можем считать пределы интегрирования равными ±∞.
Это выражение для силы является буквальным переводом на математический язык теории, предполагающей прямое воздействие электрической силы между телами на расстоянии и не придающей значения промежуточной среде.
Если теперь определить потенциал Ψ2 в точке 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 возникающий из-за наличия системы 𝐸2, уравнением
Ψ
2
=
∭
ρ2
𝑠
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
2
𝑑𝑧
2
,
(2)
то Ψ2 будет обращаться в нуль на бесконечности и удовлетворять всюду уравнению
∇²Ψ
2
=
4πρ
2
.
(3)
Величину 𝐴 можно теперь записать в виде тройного интеграла
𝐴
=-
∭
𝑑Ψ2
𝑥1
ρ
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
.
(4)
Здесь предполагается, что потенциал Ψ2 имеет определённое значение в каждой точке поля. Сила 𝐴 выражается через этот потенциал и через плотность электричества ρ1 в первой системе 𝐸1; распределение электричества во второй системе 𝐸2 явно сюда не входит.
Пусть теперь Ψ1 – потенциал, создаваемый первой системой, выраженный как функция от 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 и определяемый уравнением
Ψ
1
=
∭
ρ1
𝑟
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
.
(5)
Он обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет всюду уравнению
∇²Ψ
1
=
4πρ
1
.
(6)
Мы можем теперь исключить ρ1 из 𝐴 и получить соотношение
𝐴
=-
1
4π
∭
𝑑Ψ2
𝑑𝑥1
∇²Ψ
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
,
(7)
выражающее силу только через оба потенциала.
104. В рассмотренных до сих пор интегралах безразлично, каковы их пределы, лишь бы они включали весь объём системы 𝐸1. Но теперь мы предположим, что системы 𝐸1 и 𝐸2 таковы, что существует некоторая замкнутая поверхность 𝑠 содержащая внутри всю систему 𝐸1 и ни одной части системы 𝐸2.
Положим также
ρ=ρ
1
+ρ
2
,
Ψ=Ψ
1
+Ψ
2
.
(8)
Тогда внутри 𝑠 имеем ρ2=0, ρ=ρ1, а вне 𝑠
ρ
1
=0
,
ρ=ρ
2
.
(9)
Далее, интеграл
𝐴
11
=-
∭
𝑑Ψ1
𝑑𝑥1
ρ
1
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
(10)
даёт 𝑥-составляющую результирующей силы, действующей на систему 𝐸1 из-за наличия электричества в самой этой системе. Но по теории прямого взаимодействия эта сила должна быть равна нулю, так как сила действия любой частицы 𝑃 на частицу 𝑄 равна и противоположна силе действия 𝑄 на 𝑃, а поскольку в интеграл входят составляющие обеих сил, то они уничтожают друг друга.
Поэтому можно написать
𝐴
=-
1
4π
∭
𝑑Ψ
𝑑𝑥
∇²Ψ
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
1
𝑑𝑧
1
,
(11)
где Ψ – потенциал, создаваемый обеими системами, а интегрирование ограничено объёмом внутри поверхности 𝑠, охватывающей всю систему 𝐸1 и ни одной части системы 𝐸2.
105. Если считать, что 𝐸2 действует на 𝐸1 не непосредственно на расстоянии, а через посредство напряжений, распределённых в среде, простирающейся непрерывно от 𝐸2 до 𝐸2, то очевидно, что, зная напряжения во всех точках любой замкнутой поверхности, полностью отделяющей 𝐸1 от 𝐸2, мы можем определить механическое действие 𝐸2 на 𝐸1. Если бы сила, действующая на 𝐸1, не полностью объяснялась напряжением на 𝑠, это означало бы прямое взаимодействие между чем-то вне 𝑠 и чем-то внутри 𝑠.
Следовательно, если действие 𝐸2 на 𝐸1 можно объяснить распределением напряжений в промежуточной среде, то оно должно записываться в виде поверхностного интеграла по любой поверхности 𝑠, полностью отделяющей 𝐸2 от 𝐸1.
Попытаемся поэтому представить
𝐴
=-
1
4π
∭
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎡
⎢
⎣
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(12)
в виде поверхностного интеграла.
По Теореме III, п. 21, это возможно, если удаётся найти такие 𝑋, 𝑌, 𝑍, что
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
=
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
.
(13)
Преобразуя отдельно каждое слагаемое, получим
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑²Ψ
𝑑𝑥²
=
1
2
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
,
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑²Ψ
𝑑𝑦²
=
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
–
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑²Ψ
𝑑𝑥𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
–
1
2
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
.
Аналогично
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑²Ψ
𝑑𝑧²
=
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
–
1
2
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
.
Таким образом, если положить
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
=
8π𝑝
𝑥𝑥
,
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑧
=
4π𝑝
𝑦𝑧
=
4π𝑝
𝑧𝑦
,
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
=
8π𝑝
𝑦𝑦
,
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑥
=
4π𝑝
𝑧𝑥
=
4π𝑝
𝑥𝑧
,
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
=
8π𝑝
𝑧𝑧
,
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
=
4π𝑝
𝑥𝑦
=
4π𝑝
𝑦𝑥
,
(14)
то
𝐴
=
∭
⎡
⎢
⎣
𝑑𝑝𝑥𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑𝑝𝑦𝑥
𝑑𝑦
+
𝑑𝑝𝑧𝑥
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(15)
где интегрирование производится по всему объёму внутри 𝑠.
Преобразуя объёмный интеграл по Теореме III, п. 21, получим
𝐴
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑛𝑝
𝑧𝑥
)
𝑑𝑠
,
(16)
где 𝑛𝑠 – элемент любой замкнутой поверхности, охватывающий всю систему 𝐸1 но ни одной части системы 𝐸2, а 𝑙, 𝑚, 𝑛, – направляющие косинусы внешней нормали к 𝑛𝑠.
Точно так же для составляющих силы, действующей на 𝐸1 по осям 𝑦 и 𝑧, получим
𝐵
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑦
+
𝑚𝑝
𝑦𝑦
+
𝑛𝑝
𝑧𝑦
)
𝑑𝑠
,
(17)
𝐶
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑧
+
𝑚𝑝
𝑦𝑧
+
𝑛𝑝
𝑧𝑧
)
𝑑𝑠
,
(18)
Если в действительности воздействие системы 𝐸2 на 𝐸1 происходит непосредственно на расстоянии, без вмешательства какой-либо среды, то величины 𝑝𝑥𝑥 и т. д. должны рассматриваться как простые сокращённые обозначения определённых математических выражений, не имеющие никакого физического смысла.
Но если принять, что взаимодействие между 𝐸2 и 𝐸1 осуществляется посредством напряжений в среде между ними, то, поскольку уравнения (16), (17), (18) дают составляющие результирующей силы, обусловленной действием извне на поверхность 𝑠 напряжения, шесть компонент которого равны 𝑝𝑥𝑥 и т.д., величины 𝑝𝑥𝑥 и т. д. следует рассматривать как составляющие реально существующего в среде напряжения.
106. Чтобы получить более ясное представление о природе этого напряжения, изменим форму части поверхности 𝑠 так, чтобы элемент 𝑑𝑠 стал частью эквипотенциальной поверхности. (Такое изменение поверхности всегда допустимо, если только при этом не исключается какая-либо часть 𝐸1 и не включается какая-либо часть 𝐸2).
Обозначим через ν наружную нормаль к 𝑑𝑠. Пусть 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑ν) – напряжённость электрического поля в направлении ν, тогда (𝑑Ψ/𝑑𝑥)=-𝑅𝑙, (𝑑Ψ/𝑑𝑦)=-𝑅𝑚, (𝑑Ψ/𝑑𝑧)=-𝑅𝑛.
Таким образом, шесть составляющих напряжения равны
𝑝
𝑥𝑥
=
1
8π
𝑅²(𝑙²-𝑚²-𝑛²)
,
𝑝
𝑦𝑧
=
1
4π
𝑅²𝑚𝑛
,
𝑝
𝑦𝑦
=
1
8π
𝑅²(𝑚²-𝑛²-𝑙²)
,
𝑝
𝑧𝑥
=
1
4π
𝑅²𝑛𝑙
,
𝑝
𝑧𝑧
=
1
8π
𝑅²(𝑛²-𝑙²-𝑚²)
,
𝑝
𝑥𝑦
=
1
4π
𝑅²𝑙𝑚
.
Если 𝑎, 𝑏, 𝑐, – составляющие силы, действующей на единицу площади элемента 𝑑𝑠, то
𝑎
=
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑚𝑧
𝑧𝑥
=
1
8π
𝑅²𝑙
,
𝑏
=
1
8π
𝑅²𝑚
,
𝑐
=
1
8π
𝑅²𝑛
.
Таким образом, сила, с которой часть среды, расположенная по внешнюю сторону 𝑑𝑠, действует на часть среды, находящуюся по внутреннюю сторону 𝑑𝑠, нормальна к элементу площади 𝑑𝑠 и направлена наружу, т. е. является натяжением, подобным натяжению верёвки, и величина этой силы, приходящейся на единицу площади, равна 𝑅²/8π,
Пусть теперь элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае
𝑙
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑Ψ
𝑑𝑧
=
0.
(19)
Далее:
8π
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑛𝑝
𝑧𝑥
)
=
𝑙
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
+
+
2𝑚
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
2𝑛
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑧
.
(20)
Умножив (19) на 2(𝑑Ψ/𝑑𝑥) и вычтя из (20), найдём
8π
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑦𝑥
+
𝑛𝑝
𝑧𝑥
)
=-
𝑙
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
–𝑙𝑅²
.
(21)
Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента 𝑑𝑠 равны
𝑎
=-
1
8π
𝑅²𝑙
,
𝑏
=-
1
8π
𝑅²𝑚
,
𝑐
=-
1
8π
𝑅²𝑛
.
Таким образом, если элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление её обратное – это не натяжение, а давление.
Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.
Направление электродвижущей напряжённости в точке является главной осью напряжения; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно
𝑝=𝑅²/8π
,
(22)
где 𝑅 – электродвижущая напряжённость.
Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна 𝑝.
Определённое так напряжение – не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье – равно им численно, но отличается знаком.
Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трёх; поэтому оно полностью определяется составляющими электродвижущей напряжённости -(𝑑Ψ/𝑑𝑥), -(𝑑Ψ/𝑑𝑦), -(𝑑Ψ/𝑑𝑧).
Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид
𝑝²
𝑦𝑧
=
(𝑝
𝑥𝑥
+𝑝
𝑦𝑦
)
(𝑝
𝑧𝑧
+𝑝
𝑥𝑥
)
,
𝑝²
𝑧𝑥
=
(𝑝
𝑦𝑦
+𝑝
𝑧𝑧
)
(𝑝
𝑥𝑥
+𝑝
𝑦𝑦
)
,
𝑝²
𝑥𝑦
=
(𝑝
𝑧𝑧
+𝑝
𝑥𝑥
)
(𝑝
𝑦𝑦
+𝑝
𝑧𝑧
)
.
(23)
107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изменении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на конечной поверхности, так что объёмная плотность заряда бесконечна на поверхности .
Как было показано в п. 78а, 786, в этом случае составляющие электродвижущей напряжённости разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие напряжения тоже разрывны на поверхности.
Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали к 𝑑𝑠; 𝑃, 𝑄, 𝑅 – составляющие электродвижущей напряжённости на той стороне, куда проведена нормаль, а 𝑃', 𝑄', 𝑅' – её составляющие с другой стороны.
Тогда, согласно 78а и 786
𝑃-𝑃'
=
4πσ𝑙
,
𝑄-𝑄'
=
4πσ𝑚
,
𝑅-𝑅'
=
4πσ𝑛
,
где σ – поверхностная плотность заряда.
Если 𝑎 – составляющая по оси х результирующей силы, действующей на единицу поверхности вследствие напряжений по обе стороны от неё, то
𝑎
=
𝑙(𝑝
𝑥𝑥
–𝑝'
𝑥𝑥
)
+
𝑚(𝑝
𝑥𝑦
–𝑝'
𝑥𝑦
)
+
𝑚(𝑝
𝑥𝑧
–𝑝'
𝑥𝑧
)
=
=
1
8π
𝑙{
(𝑃²-𝑃'²)
–
(𝑄²-𝑄'²)
–
(𝑅²-𝑅'²)}
+
+
1
4
𝑚
(𝑃𝑄-𝑃'𝑄')
+
1
4
𝑛
(𝑃𝑅-𝑃'𝑅')
=
=
1
8π
𝑙{
(𝑃-𝑃')(𝑃+𝑃')
–
(𝑄-𝑄')(𝑄+𝑄')
–
(𝑅-𝑅')(𝑅+𝑅')}
+
+
1
8π
𝑚{
(𝑃-𝑃')(𝑄+𝑄')
+
(𝑃+𝑃')(𝑄-𝑄')
}+
+
1
8π
𝑛{
(𝑃-𝑃')(𝑅+𝑅')
+
(𝑃+𝑃')(𝑅-𝑅')
}=
=
1
2
𝑙σ{
𝑙(𝑃+𝑃')
–
𝑚(𝑄+𝑄')
–
𝑛(𝑅+𝑅')
}+
+
1
2
𝑚σ{
𝑙(𝑄+𝑄')
+
𝑚(𝑃+𝑃')
}+
+
1
2
𝑛σ{
𝑙(𝑅+𝑅')
+
𝑛(𝑃+𝑃')
}=
1
2
σ(𝑃+𝑃')
.
Таким образом, приняв, что напряжение во всех точках даётся уравнениями (14), мы нашли, что 𝑥-составляющая результирующей силы, действующей на единицу площади заряженной поверхности, равна поверхностной плотности заряда, умноженной на среднее арифметическое значение 𝑥-составляющей электродвижущей напряжённости по обе стороны поверхности.
К этому же результату мы пришли в п. 79 фактически аналогичным методом.
Таким образом, гипотеза о напряжении в окружающей среде применима и в случае, когда на конечной поверхности сосредоточено конечное количество электричества.
Обычно значение результирующей силы, действующей на элемент поверхности, выводится из теории действия на расстоянии при рассмотрении участка поверхности, размеры которого много меньше радиусов кривизны поверхности 1.
1 Этот метод берёт начало от Лапласа. См. Пуассон «О распределении электричества...». Mém. de l'Institut, 1811, р. 30.
Возьмём на нормали к средней точке этого элемента поверхности точку 𝑃, расстояние которой от поверхности много меньше размеров элемента поверхности – Электродвижущая напряжённость в этой точке, обусловленная небольшим участком поверхности, приблизительно равна напряжённости, создаваемой бесконечной плоскостью, т. е. равна 2πσ и направлена от поверхности по нормали к ней. В точке 𝑃', расположенной точно так же по другую сторону поверхности, напряжённость будет такая же, но направлена в противоположную сторону.
Теперь рассмотрим ту часть электродвижущей напряжённости, которая создаётся остальной поверхностью и другими заряженными телами, находящимися на конечном расстоянии от рассматриваемого элемента поверхности. Поскольку точки 𝑃 и 𝑃' бесконечно близки друг к другу, составляющие электродвижущей напряжённости, создаваемой зарядами, находящимися на конечном расстоянии, будут в обеих точках одинаковы.
Обозначим 𝑥-составляющую электродвижущей напряжённости в точках 𝐴 и 𝐴', создаваемую зарядами, находящимися на конечном расстоянии, через 𝑃0. Тогда значение полной 𝑥-составляющей в точке 𝐴 будет 𝑃=𝑃0+2πσ𝑙, а в точке 𝐴' – 𝑃'=𝑃0-2πσ𝑙, откуда 𝑃0=(𝑃+𝑃')/2.
Но полная механическая сила, действующая на элемент поверхности, должна являться целиком результатом действия зарядов на конечных расстояниях, поскольку суммарная сила действия элемента на самого себя равна нулю. Поэтому 𝑥-составляющая силы, приходящейся на единицу площади, равна
𝑎
=
σ𝑃
0
=
(𝑃+𝑃')/2
.
(25)
108. Если (как в уравнении (2)) определить потенциал через считаемое заданным распределение электричества, то из того, что действие и противодействие для пары точечных зарядов равны и противоположны, следует, что 𝑥-составляющая силы воздействия системы на саму себя равна нулю, что может быть записано в виде
1
4π
∭
𝑑Ψ
𝑑𝑥
∇²Ψ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
0.
(26)
Но если определять Ψ как функцию 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющую уравнению ∇²Ψ=0 в любой точке вне замкнутой поверхности 𝑠 и равную нулю на бесконечном расстоянии, то равенство нулю рассматриваемого объёмного интеграла по любому объёму, включающему 𝑠, представляется нуждающимся в доказательстве.
Один из методов доказательства основан на теореме (п. 100в), утверждающей, что если ∇²Ψ задано в любой точке и Ψ=0 на бесконечном расстоянии, то значение Ψ в каждой точке определено и равно
Ψ'
=
1
4π
∭
1
𝑟
∇²Ψ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(27)
где 𝑟 – расстояние между элементом 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, где концентрация Ψ задана равной ∇²Ψ, и точкой 𝑥, 𝑦, 𝑧, где ищется Ψ.
Этим теорема сводится к полученному нами следствию из первого определения Ψ.
Однако если рассматривать Ψ как первичную функцию от 𝑥, 𝑦, 𝑧, через которую выражаются остальные, то целесообразнее свести (26) к поверхностному интегралу
𝐴
=
∬
(
𝑙𝑝
𝑥𝑥
+
𝑚𝑝
𝑥𝑦
+
𝑛𝑝
𝑥𝑧
)
𝑑𝑆
.
(28)
Если поверхность 𝑆 находится всюду на большом расстоянии 𝑎 от поверхности 𝑠, охватывающей все точки, в которых ∇²Ψ отлично от нуля, то, как мы знаем, Ψ не может численно превосходить 𝑒/𝑎 (4π𝑒– объёмный интеграл от ∇²Ψ), 𝑅 не может превосходить -(𝑑Ψ/𝑑𝑎) т.е. 𝑒/𝑎², а величины 𝑝𝑥𝑥, 𝑝𝑥𝑦, 𝑝𝑥𝑧, не могут каждая превосходить 𝑝, т.е. 𝑅²/(8π) или 𝑒4/(8π𝑎4). Значит, поверхностный интеграл по сфере очень большого радиуса 𝑎 не может превосходить 𝑒²/(2𝑎²) и при неограниченно возрастающем радиусе поверхностный интеграл стремится к нулю.
Но этот поверхностный интеграл равен объёмному интегралу (26), причём значение этого интеграла одно и то же, какой бы объём ни охватывала поверхность 𝑆, лишь бы она включала в себя все точки, где ∇²Ψ отлично от нуля. Раз этот интеграл равен нулю при бесконечном 𝑎, он должен быть равен нулю и для любой поверхности, охватывающей все точки, в которых ∇²Ψ отлично от нуля.
109. Рассмотренное в этой главе распределение напряжений в точности совпадает с распределением, к которому пришёл Фарадей в своих исследованиях индукции через диэлектрики. Он резюмирует свои результаты следующими словами:
«1297. Прямая индуктивная сила, которую можно вообразить действующей цо линиям между двумя ограничивающими и заряженными проводящими поверхностями, сопровождается боковой или поперечной силой, эквивалентной расширению или отталкиванию этих воображаемых линий (1224); или иначе: сила притяжения, существующая между частицами диэлектрика в направлении индукции, сопровождается силой отталкивания, вызывающей их расхождение в поперечном направлении (1304).
1298. Индукция состоит, по-видимому, в некотором поляризованном состоянии частиц, в которое их приводит наэлектризованное тело, поддерживающее это действие, причём у частиц появляются положительные или отрицательные точки или участки, расположенные симметрично по отношению друг к другу или к индуцирующим поверхностям или частицам. Это состояние должно быть вынужденным, ибо оно создаётся и поддерживается только силой и при удалении этой силы падает до нормального состояния покоя. Одним и тем же количеством электричества оно может длительно поддерживаться только в изоляторах, потому что только они могут сохранять такое состояние частиц».
Это точное изложение тех выводов, к которым мы пришли в наших математических исследованиях. В каждой точке среды существует состояние напряжения, при котором вдоль силовых линий имеет место натяжение, а по всем перпендикулярным им направлениям – давление, причём численно давление равно натяжению и оба они меняются как квадрат результирующей силы в точке.
Выражение «электрическое натяжение» применялось в разных смыслах различными авторами. Я буду всегда применять его для обозначения натяжения вдоль силовой линии, меняющегося, как мы видели, от точки к точке и всегда пропорционального квадрату результирующей силы в точке.
110. Предположение о существовании напряжённого состояния такого типа в газообразном или в жидком диэлектрике, например в воздухе или скипидаре, может на первый взгляд показаться противоречащим установленному закону о том, что в жидкости давление во все стороны одинаково. Однако при выводе этого закона из рассмотрения подвижности и равновесия частей жидкости подразумевается, что в жидкости нет никаких воздействий типа предполагаемого здесь воздействия вдоль силовых линий.
Рассмотренное нами состояние напряжения вполне согласуется с подвижностью и равновесием жидкости, поскольку, как мы видели, для любой части жидкости, лишённой заряда, равнодействующая сил, обусловленных напряжениями на её поверхности, равна нулю, как бы велики эти напряжения ни были. Только если какая-либо часть жидкости заряжена, то её равновесие нарушается напряжениями на поверхности, но мы знаем, что в этом случае жидкость действительно приходит в движение. Итак, предположенное состояние напряжения не противоречит равновесию жидкого диэлектрика.
Исследованная в Главе IV, п. 99а величина 𝑊 может быть истолкована как энергия в среде, обусловленная распределением напряжений. Из теорем этой главы следует, что распределение напряжений, удовлетворяющее приведённым там условиям, обеспечивает также абсолютный минимум 𝑊. Но если для какой-либо конфигурации энергия минимальна, то эта конфигурация равновесна и равновесие устойчиво. Таким образом, диэлектрик, находящийся под индуктивным воздействием заряженных тел, сам по себе придёт в состояние напряжения, распределённого описанным нами способом.
Не следует забывать, что мы сделали лишь первый шаг в теории воздействия среды. Мы приняли, что она находится в состоянии напряжения, но мы никак не объяснили это напряжение, не показали, как оно поддерживается. Однако этот шаг представляется мне весьма важным, так как он объясняет взаимодействием прилегающих частей среды явления, которые раньше считались объяснимыми только с помощью взаимодействия на расстоянии.
111. Мне не удалось сделать следующий шаг, т. е. дать механическое объяснение этих напряжений в диэлектрике. Поэтому я оставляю теорию на этой ступени и укажу лишь на другие стороны явления индукции в диэлектрике.
I. Электрическое смещение. Когда индукция передаётся через диэлектрик, то прежде всего возникает смещение электричества в направлении индукции. Так, например, в Лейденской банке, внутреннее покрытие которой заряжено положительно, а внешнее отрицательно, смещение положительного электричества в толще стекла направлено изнутри наружу.
Любое увеличение этого смещения эквивалентно току положительного электричества, текущему изнутри наружу во время увеличения смещения, а любое уменьшение смещения эквивалентно току в обратном направлении.
Полное количество электричества, смещающееся через любую площадку поверхности, зафиксированную в диэлектрике, измеряется величиной, которую мы уже рассмотрели в п. 75 как поверхностный интеграл от индукции через площадь, умноженный на 𝐾/4π где 𝐾 – удельная индуктивная способность диэлектрика.
II. Поверхностный заряд частиц диэлектрика. Представим себе любую часть диэлектрика, большую или малую, отделённой (мысленно) от остального диэлектрика замкнутой поверхностью. Тогда мы должны будем считать, что на каждом элементе этой поверхности имеется заряд, измеряемый полным смещением электричества через этот элемент, отсчитываемым внутрь.
В случае лейденской банки, внутреннее покрытие которой заряжено положительно, на любом участке стекла внутренняя сторона будет заряжена положительно, а внешняя – отрицательно. Если этот участок находится целиком внутри стекла, то его поверхностный заряд нейтрализуется благодаря противоположному заряду прилегающих к нему частей, но если он прилегает к проводящему телу, внутри которого невозможно индуктивное состояние, то поверхностный заряд не нейтрализуется, а образует тот кажущийся заряд, который обычно называют Зарядом Проводника.
Таким образом, заряд на граничной поверхности между проводником и окружающим его диэлектриком, который в старой теории назывался зарядом проводника, следует в теории индукции называть поверхностным зарядом окружающего диэлектрика.
Согласно этой теории, все заряды – это остаточный эффект поляризации диэлектрика. Поляризация существует во всей толще вещества, но там она нейтрализуется наложением противоположно заряженных частей, так что эффект проявляется только на поверхности диэлектрика.
Эта теория полностью объясняет теорему п. 77, что полная индукция через замкнутую поверхность равна полному количеству электричества, умноженному на 4π. Ибо то, что мы называем индукцией через поверхность, есть просто электрическое смещение, умноженное на 4π, а полное смещение наружу по необходимости равно полному заряду внутри поверхности.
Теория объясняет также невозможность сообщения «абсолютного заряда» веществу, поскольку каждая частица диэлектрика имеет равные и противоположные заряды на обоих концах, или, лучше сказать, эти заряды являются лишь проявлением единого явления, которое можно назвать Электрической Поляризацией.
Поляризованная таким образом диэлектрическая среда является вместилищем электрической энергии, причём количество энергии в единице объёма среды численно равно электрическому натяжению на единицу площади, и оба они равны половине произведения смещения на напряжённость электрического поля, т.е.
𝑝
=
1
2
𝔇𝔈
=
1
8π
𝐾𝔈²
=
2π
𝐾
𝔇²
,
где 𝑝 – электрическое натяжение, 𝔇 – смещение, 𝔈 – электродвижущая напряжённость, 𝐾 – удельная индуктивная способность.
Если среда не является совершенным изолятором, то вынужденное состояние, которое мы называем поляризацией, постепенно исчезает. Среда поддаётся электродвижущей силе, электрическое напряжение ослабляется, и потенциальная энергия вынужденного состояния переходит в тепло. Скорость, с которой происходит распад состояния поляризации, зависит от природы среды. Для некоторых типов стекла могут пройти дни или годы, прежде чем поляризация упадёт до половины своего начального значения. Для меди такое изменение происходит менее чем за одну биллионную долю секунды.
Мы предположили, что среда, после того как она поляризована, просто предоставлена сама себе. В явлении, называемом электрическим током, постоянное прохождение электричества через среду стремится восстановить состояние поляризации в той же мере, в какой проводимость среды способствует её исчезновению. Поэтому внешний агент, поддерживающий ток, всегда совершает работу по восстановлению поляризации среды. Но поляризация непрерывно стремится ослабнуть, а её потенциальная энергия непрерывно переходит в тепло, так что в конце концов энергия, затрачиваемая на поддержание тока, расходуется на постепенное повышение температуры проводника до тех пор, пока за счёт теплопроводности и излучения с поверхности не будет теряться столько тепла, сколько порождается электрическим током.
