Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 17 (всего у книги 34 страниц)
Распределение электричества на почти сферическом проводнике
145 а. Пусть уравнение поверхности проводника имеет вид
𝑟=𝑎(1+𝐹)
,
(1)
где 𝐹 – функция от направления 𝑎, т.е. от θ и ψ квадратом которой можно пренебречь в данном исследовании.
Представим 𝐹 в виде ряда по поверхностным гармоникам
𝐹
=
ƒ
0
+
ƒ
1
𝑌
1
+
ƒ
2
𝑌
2
+…+
ƒ
𝑛
𝑌
𝑛
.
(2)
Из всех этих членов первый член определяется отличием среднего радиуса от 𝑎 Если предположить, что 𝑎 равно среднему радиусу, т. е. приблизительно равно радиусу сферы того же объёма, что и заданный проводник, то коэффициент ƒ0 обратится в нуль.
Второе слагаемое, с коэффициентом ƒ1, зависит от расстояния между центром масс проводника, предполагаемого однородным по плотности, и началом координат. Если принять центр масс за начало координат, то коэффициент ƒ1 тоже обратится в нуль.
Предположим сначала, что на проводник с зарядом 𝐴0 не действует внешняя электрическая сила. Тогда потенциал вне проводника должен иметь вид
𝑉
=
𝐴
0
1
𝑟
+
𝐴
1
𝑌'
1
1
𝑟2
+…+
𝐴
𝑛
𝑌'
𝑛
1
𝑟𝑛+1
+…
.
(3)
Здесь не предполагается, что поверхностные гармоники того же вида, что и в разложении 𝐹.
На поверхности проводника потенциал равен потенциалу проводника, т. е. постоянной величине 𝑎. Поэтому, выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹 и пренебрегая квадратами и высшими степенями 𝐹, мы получим
α
=
𝐴
0
1
𝑎
(1-𝐹)
+
𝐴
1
1
𝑎2
𝑌'
1
(1-2𝐹)
+…+
+
𝐴
𝑛
1
𝑎𝑛+1
𝑌'
𝑛
(1-(𝑛-1)𝐹)
+…+
(4)
Поскольку коэффициенты 𝐴1 и т. д., очевидно, много меньше 𝐴0, мы можем для начала пренебречь произведениями этих коэффициентов на 𝐹.
Если теперь подставить вместо 𝐹 в первом члене (4) его разложение по сферическим гармоникам и приравнять нулю слагаемые со сферическими гармоникам одинакового порядка, мы получим
α
=
𝐴
0
/𝑎
,
(5)
𝐴
1
𝑌'
1
=
𝐴
0
𝑎ƒ
1
𝑌
1
=
0,
(6)
. . . . . . . . .
𝐴
𝑑
𝑌'
𝑑
=
𝐴
0
𝑎
𝑑
ƒ
𝑑
𝑌
𝑑
.
(7)
Из этих уравнений следует, что функции 𝑌 должны быть того же типа, что и 𝑌' и, следовательно, совпадать с ними, и что 𝐴1=0 и 𝐴𝑑=𝐴0𝑎𝑛ƒ𝑛.
Для определения плотности заряда в произвольной точке поверхности можно воспользоваться уравнением
4πσ
=
–
𝑑𝑉
𝑑ν
=
–
𝑑𝑉
𝑑𝑟
cos ε (приближённо).
(8)
Здесь ν – нормаль, а ε – угол между нормалью и радиусом. Поскольку в нашем исследовании мы считаем 𝐹 и его первые производные по θ и φ малыми, мы можем считать cos ε=1, так что
4πσ
=
–
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
𝐴
0
1
𝑟2
+…+
(𝑛+1)
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
2
𝑟𝑛+2
+…
.
(9)
Выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹 и пренебрегая произведениями 𝐹 на 𝐴𝑛, получим
4πσ
=
𝐴
0
1
𝑎2
(1-2𝐹)
+…+
(𝑎+1)
𝐴
𝑛
1
𝑎𝑛+2
𝑌
𝑛
.
(10)
Разлагая 𝐹 по сферическим гармоникам и подставляя найденные значения 𝐴𝑛, получим
4πσ
=
𝐴
0
1
𝑎2
[
1
+
ƒ
2
𝑌
2
+
2ƒ
3
𝑌
3
+…+
(𝑛-1)
ƒ
𝑛
𝑌
𝑛
]
.
(11)
Таким образом, если поверхность отличается от поверхности сферы тонким слоем, толщина которого меняется как сферическая гармоника порядка 𝑛 то отношение разности поверхностных плотностей заряда в любых двух точках к их сумме в 𝑛-1 раз больше отношения разностей радиус-векторов этих двух точек к их сумме.
145 б. Пусть теперь почти сферический проводник находится под действием внешних электрических сил, потенциал которых обозначим через 𝑈. Разложим его в ряд по сферическим гармоникам положительной степени с началом координат в центре объёма проводника
𝑈
=
𝐵
0
+
𝐵
1
𝑟𝑌'
1
+
𝐵
2
𝑟
2
𝑌'
2
+…+
𝐵
𝑛
𝑟
𝑛
𝑌'
𝑛
+…
.
(12)
Штрихи при 𝑌 показывают, что эти гармоники не обязательно того же типа, что гармоники того же порядка в разложении для 𝐹.
Если бы проводник был точно сферическим, то потенциал, создаваемый его поверхностным зарядом в точке вне проводника, был бы равен
𝑉
=
𝐴
0
1
𝑟
–
𝐵
1
𝑎3
𝑟2
𝑌'
1
–…-
𝐵
𝑛
𝑎2𝑛+1
𝑟𝑛+1
𝑌'
𝑛
–…
.
(13)
Пусть истинный потенциал, создаваемый поверхностным зарядом, равен 𝑉+𝑊 где
𝑊
=
𝐶
1
1
𝑟2
𝑌''
2
+…+
𝐶
𝑚
1
𝑟𝑚+1
𝑌''
𝑚
+…
.
(14)
Гармоники с двумя штрихами отличаются от гармоник входящих как в 𝐹, так и в 𝑈, а коэффициенты 𝐶 малы, поскольку 𝐹 мало.
Потенциалы должны удовлетворять условию, что при 𝑟=𝑎(1+𝐹) сумма
𝑈+𝑉+𝑊
=
const
=
𝐴0
𝑎
+
𝐵
0
равна потенциалу проводника.
Выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹, сохраняя первую степень 𝐹, умноженную на 𝐴 или 𝐵, и пренебрегая произведениями 𝐹, на малые величины 𝐶, получим
𝐹
⎡
⎢
⎣
–𝐴
0
1
𝑎
+
3𝐵
1
𝑎𝑌'
1
+
5𝐵
2
𝑎
2
𝑌'
2
+…+
(2𝑑+1)
𝐵
𝑛
𝑎
𝑛
𝑌'
𝑛
+…
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐶
1
1
𝑟2
𝑌''
2
+…+
𝐶
𝑚
1
𝑟𝑚+1
𝑌''
𝑚
+…
=
0.
(15)
Чтобы найти коэффициенты 𝐶 нужно выполнить умножение в первой строчке и выразить результат через сферические гармоники. Тогда этот ряд, взятый с обратным знаком, и будем рядом для 𝑊 на поверхности проводника.
Произведение двух поверхностных сферических гармоник порядка 𝑛 и 𝑚 является рациональной функцией степени 𝑛+𝑚 по 𝑥/𝑟, 𝑦/𝑟, 𝑧/𝑟 и, следовательно, может быть разложено в ряд по сферическим гармоникам степени не выше 𝑛+𝑚. Поэтому, если 𝐹 может быть разложено по сферическим гармоникам степени не выше 𝑚, а потенциал внешних сил может быть разложен по сферическим гармоникам степени не выше 𝑛, то потенциал, создаваемый поверхностными зарядами, будет содержать сферические гармоники степени не выше 𝑚+𝑛.
Соответствующая поверхностная плотность заряда может быть затем найдена по потенциалу из приближённого равенства
4πσ
+
𝑑
𝑑𝑟
(𝑈+𝑉+𝑊)
=
0.
(16)
145 в. Почти сферический проводник в почти сферическом и почти концентрическом проводящем сосуде.
Пусть уравнение поверхности проводника
𝑟
=
𝑎(1+𝐹)
,
(17)
где
𝐹
=
ƒ
1
𝑌
1
+…+
ƒ
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
,
(18)
а уравнение внутренней поверхности сосуда
𝑟
=
𝑏(1+𝐺)
,
(19)
где
𝐺
=
𝑔
1
𝑌
1
+
𝑔
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
.
(20)
Здесь коэффициенты ƒ и 𝑔 малы по сравнению с единицей, а 𝑌(σ)𝑛 – поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ.
Пусть потенциал проводника равен α, а потенциал сосуда β. Представим потенциал в произвольной точке между проводником и сосудом в виде разложения по сферическим гармоникам
Ψ
=
𝘩
1
+
𝘩
1
𝑌
1
𝑟
+…+
𝘩
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
𝑟
𝑛
+…+
+
𝑘
0
1
𝑟
+
𝑘
1
𝑌
1
1
𝑟2
+…+
𝑘
(σ)
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
1
𝑟𝑛+1
+…
.
(21)
Нужно определить постоянные 𝘩 и 𝑘 из условия, что Ψ=α при 𝑟=𝑎(1+𝐹) и Ψ=β при 𝑟=𝑏(1+𝐺).
Из предыдущего рассмотрения ясно, что все коэффициенты 𝘩 и 𝑘 кроме 𝘩0 и 𝑘0, малы, так что их произведениями на 𝐹 можно пренебречь. Поэтому можно написать
α
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑎
(1-𝐹)
+…+
⎛
⎜
⎝
𝘩
(σ)
𝑛
𝑎
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑎𝑛+1
⎞
⎟
⎠
𝑌
(σ)
𝑛
+…
,
(22)
β
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑏
(1-𝐺)
+…+
⎛
⎜
⎝
𝘩
(σ)
𝑛
𝑏
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑏𝑛+1
⎞
⎟
⎠
𝑌
(σ)
𝑛
+…
.
(23)
Отсюда следует
α
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑎
,
(24)
β
=
𝘩
0
+
𝑘
0
1
𝑏
,
(25)
𝑘
0
1
𝑎
ƒ
(σ)
𝑛
=
𝘩
(σ)
𝑛
𝑎
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑎𝑛+1
,
(26)
𝑘
0
1
𝑏
𝑔
(σ)
𝑛
=
𝘩
(σ)
𝑛
𝑏
𝑛
+
𝑘
(σ)
𝑛
1
𝑏𝑛+1
,
(27)
откуда получаем заряд внутреннего проводника
𝑘
0
=
(α-β)
𝑎𝑏
𝑏-𝑎
(28)
и значения коэффициентов гармоник порядка 𝑛
𝘩
(σ)
𝑛
=
𝑘
0
𝑏
𝑛
𝑔
(σ)
𝑛 – 𝑎
𝑛
ƒ
(σ)
𝑛
𝑏2𝑛+1-𝑎2𝑛+1
,
(29)
𝑘
(σ)
𝑛
=
𝑘
0
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
𝑏
𝑛+1
ƒ
(σ)
𝑛 – 𝑎
𝑛+1
𝑔
(σ)
𝑛
𝑏2𝑛+1-𝑎2𝑛+1
,
(30)
Следует при этом помнить, что коэффициенты ƒ(σ)𝑛, 𝑔(σ)𝑛, 𝘩(σ)𝑛, 𝑘(σ)𝑛 относятся к одному и тому же порядку и к одному и тому же типу.
Поверхностная плотность заряда на внутреннем проводнике даётся соотношением
4πσ𝑎
2
=
𝑘
0
(1
+…+
𝐴
𝑛
𝑌
(σ)
𝑛
+…)
,
где
𝐴
𝑛
=
ƒ
(σ)
𝑛 { (𝑛+2) 𝑎2𝑛+1 + (𝑛-1) 𝑏2𝑛+1 } – 𝑔
(σ)
𝑛 (2𝑛+1) 𝑎𝑛+1 𝑏𝑛
𝑏2𝑛+1-𝑎2𝑛+1
(31)
146. В качестве примера применения зональных гармоник рассмотрим равновесие электричества на двух сферических проводниках.
Пусть 𝑎 и 𝑏 – радиусы сфер, а 𝑐 – расстояние между их центрами. Для кратности мы положим 𝑎=𝑐𝑥, 𝑏=𝑐𝑦 так что 𝑥 и 𝑦 – числа, меньшие единицы.
Примем прямую, соединяющую центры сфер, за ось зональных гармоник, и пусть полюсом зональных гармоник, относящихся к каждой сфере, служит точка этой сферы, наиболее близкая к другой сфере.
Обозначим через 𝑟 расстояние произвольной точки до центра первой сферы, а через 𝑠 – расстояние той же точки от центра второй сферы.
Пусть поверхностная плотность заряда σ1 для первой сферы даётся выражением
4πσ
1
𝑎
2
=
𝐴
+
𝐴
1
𝑃
1
+
3𝐴
2
𝑃
2
+…+
(2𝑚+1)
𝐴
𝑚
𝑃
𝑚
,
(1)
так что 𝐴 – полный заряд сферы, а 𝐴1 и т. д.– коэффициенты зональных гармоник 𝑃1 и т. д.
Потенциал такого распределения заряда можно представить в виде
𝑈'
=
1
𝑎
⎡
⎢
⎣
𝐴
+
𝐴
1
𝑃
1
𝑟
𝑎
+
𝐴
2
𝑃
2
𝑟²
𝑎²
+…+
𝐴
𝑚
𝑃
𝑚
𝑟𝑚
𝑎𝑚
⎤
⎥
⎦
(2)
для точек внутри сферы и
𝑈
=
1
𝑟
⎡
⎢
⎣
𝐴
+
𝐴
1
𝑃
1
𝑎
𝑟
+
𝐴
2
𝑃
2
𝑎²
𝑟²
+…+
𝐴
𝑚
𝑃
𝑚
𝑎𝑚
𝑟𝑚
⎤
⎥
⎦
(3)
для точек вне сферы.
Подобным образом, если поверхностная плотность заряда на второй сфере даётся выражением
4πσ
2
𝑏
2
=
𝐵
+
𝐵
1
𝑃
1
+…+
(2𝑛+1)
𝐵
𝑛
𝑃
𝑛
,
(4)
то обусловленный ею потенциал вне и внутри этой сферы представляется в виде
𝑉'
=
1
𝑏
⎡
⎢
⎣
𝐵
+
𝐵
1
𝑃
1
𝑠
𝑏
+…+
𝐵
𝑛
𝑃
𝑛
𝑠𝑛
𝑏𝑛
⎤
⎥
⎦
,
(5)
𝑉
=
1
𝑠
⎡
⎢
⎣
𝐵
+
𝐵
1
𝑃
1
𝑏
𝑠
+…+
𝐵
𝑛
𝑃
𝑛
𝑏𝑛
𝑠𝑛
⎤
⎥
⎦
,
(6)
где все гармоники относятся ко второй сфере.
Заряды на сферах равны соответственно 𝐴 и 𝐵.
Потенциал в каждой точке внутри первой сферы постоянен и равен потенциалу этой сферы α так что внутри сферы
𝑈'+𝑉
=
α.
(7)
Точно так же, если потенциал второй сферы равен β то для точек внутри этой сферы
𝑈+𝑉'
=
β.
(8)
Для точек вне обеих сфер потенциал равен Ψ, где
𝑈+𝑉
=
Ψ.
(9)
На оси между центрами сфер
𝑟+𝑠
=
𝑐.
(10)
Отсюда, дифференцируя по 𝑟 полагая после дифференцирования 𝑟=0 и учитывая, что в полюсе каждая зональная гармоника равна единице, получим
𝐴
1
1
𝑎2
–
𝑑𝑉
𝑑𝑠
=
0,
𝐴
2
2!
𝑎3
–
𝑑2𝑉
𝑑2𝑠
=
0,
…,
𝐴
𝑚
𝑚!
𝑎𝑚+1
+
(-1)
𝑚
𝑑𝑚𝑉
𝑑𝑚𝑠
=
0,
(11)
где после дифференцирования 𝑠 следует положить равным 𝑐.
Если выполнить дифференцирование и положить 𝑎/𝑐=𝑥 и 𝑏/𝑐=𝑥, то уравнения примут вид
0
=
𝐴
1
+
𝐵𝑥
2
+
2𝐵
1
𝑥
2
𝑦
+
3𝐵
2
𝑥
2
𝑦
2
+…+
(𝑛+1)
𝐵
𝑛
𝑥
2
𝑦
𝑛
,
0
=
𝐴
2
+
𝐵𝑥
3
+
3𝐵
1
𝑥
3
𝑦
+
6𝐵
2
𝑥
3
𝑦
2
+…+
+
1
2
(𝑛+1)
(𝑛+2)
𝐵
𝑛
𝑥
3
𝑦
𝑛
,
.................
0
=
𝐴
𝑚
+
𝐵𝑥
𝑚+1
+
(𝑚+1)
𝐵
1
𝑥
𝑚+1
𝑦
+
+
1
2
(𝑚+1)(𝑚+2)
𝐵
2
𝑥
𝑚+1
𝑦
2
+…+
(𝑚+𝑛)!
𝑚!𝑛!
𝐵
𝑛
𝑥
𝑚+1
𝑦
𝑛
.
(12)
Соответствующие выкладки для другой сферы дают
0
=
𝐵
1
+
𝐴𝑦
2
+
2𝐴
1
𝑥𝑦
2
+
3𝐴
2
𝑥
2
𝑦
2
+…+
(𝑚+1)
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
𝑦
2
,
0
=
𝐴
2
+
𝐴𝑦
3
+
3𝐴
1
𝑥𝑦
3
+
6𝐴
2
𝑥
2
𝑦
3
+…+
+
1
2
(𝑚+1)
(𝑚+2)
𝐴
𝑚
𝑥
𝑛
𝑦
3
,
.................
0
=
𝐵
𝑛
+
𝐴𝑦
𝑛+1
+
(𝑛+1)
𝐴
1
𝑥𝑦
𝑛+1
+
+
1
2
(𝑛+1)(𝑛+2)
𝐴
2
𝑥
2
𝑦
𝑛+1
+…+
(𝑚+𝑛)!
𝑚!𝑛!
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
𝑦
𝑛+1
.
(13)
Для нахождения потенциалов α и β обеих сфер у нас имеются уравнения (7) и (8), которые мы можем теперь записать в виде
𝑐α
=
𝐴
1
𝑥
+
𝐵
+
𝐵
1
𝑦
+
𝐵
2
𝑦
2
+…+
𝐵
𝑛
𝑦
𝑛
,
(14)
𝑐β
=
𝐵
1
𝑦
+
𝐴
+
𝐴
1
𝑥
+
𝐴
2
𝑥
2
+…+
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
(15)
Таким образом, если ограничиться коэффициентами от 𝐴1 до 𝐴𝑚 и от 𝐵1 до 𝐵𝑛, то у нас есть 𝑚+𝑛 уравнений для выражения этих величин через заряды обеих сфер 𝐴 и 𝐵, а подставляя значения этих коэффициентов в (14) и (15), мы можем выразить потенциалы сфер через их заряды.
Эти операции можно произвести с помощью определителей, но с вычислительной точки зрения удобнее действовать следующим образом.
Подставив в уравнение (12) значения 𝐵1, …, 𝐵𝑛 из уравнений (13), мы получим
𝐴
1
=
–
𝐵𝑥
2
+
+
𝐴𝑥
2
𝑦
3
[
2⋅1
+
3⋅1𝑦
2
+
4⋅1𝑦
4
+
5⋅1𝑦
6
+
6⋅1𝑦
8
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
3
𝑦
3
[
2⋅2
+
3⋅3𝑦
2
+
4⋅4𝑦
4
+
5⋅5𝑦
6
+…
]
+
+
𝐴
2
𝑥
4
𝑦
3
[
2⋅3
+
3⋅6𝑦
2
+
4⋅10𝑦
4
+…
]
+
+
𝐴
3
𝑥
5
𝑦
3
[
2⋅4
+
3⋅10𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
4
𝑥
6
𝑦
3
[
2⋅5
+…
]
+
…;
(16)
𝐴
2
=
–
𝐵𝑥
3
+
+
𝐴𝑥
3
𝑦
3
[
3⋅1
+
6⋅1𝑦
2
+
10⋅1𝑦
4
+
15⋅1𝑦
6
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
4
𝑦
3
[
3⋅2
+
6⋅3𝑦
2
+
10⋅4𝑦
4
+…
]
+
+
𝐴
2
𝑥
5
𝑦
3
[
3⋅3
+
6⋅6𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
3
𝑥
6
𝑦
3
[
3⋅4
+…
]
+
…;
(17)
𝐴
3
=
–
𝐵𝑥
4
+
+
𝐴𝑥
4
𝑦
3
[
4⋅1
+
10⋅1𝑦
2
+
20⋅1𝑦
4
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
5
𝑦
3
[
4⋅2
+
10⋅3𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
2
𝑥
6
𝑦
3
[
4⋅3
+…
]
+
…;
(18)
𝐴
4
=
–
𝐵𝑥
5
+
+
𝐴𝑥
5
𝑦
3
[
5⋅1
+
15⋅1𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
6
𝑦
3
[
5⋅2
+…
]
+
…;
(19)
Подставляя в правые части этих равенств приближённые значения 𝐴1 и т. д. и повторяя этот процесс для высших приближений, мы можем довести приближение для коэффициента до любой степени по восходящим степеням и произведениям 𝑥 и 𝑦. Если положить
𝐴
𝑛
=
𝑝
𝑛
𝐴
+
𝑞
𝑛
𝐵
,
𝐵
𝑛
=
–
𝑟
𝑛
𝐴
+
𝑠
𝑛
𝐵
,
то
𝑝
1
=
𝑥
3
𝑦
3
[
2
+
3𝑦
2
+
4𝑦
4
+
5𝑦
6
+
6𝑦
8
+
7𝑦
10
+
8𝑦
12
+
+
9𝑦
14
+…
]
+
+
𝑥
5
𝑦
6
[
8
+
30𝑦
2
+
75𝑦
4
+
154𝑦
6
+
280𝑦
8
+…
]
+
+
𝑥
7
𝑦
6
[
18
+
90𝑦
2
+
288𝑦
4
+
735𝑦
6
+…
]
+
+
𝑥
9
𝑦
6
[
32
+
200𝑦
2
+
780𝑦
4
+…
]
+
+
𝑥
11
𝑦
6
[
50
+
375𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
13
𝑦
6
[
72
+…
]
+
............
+
𝑥
8
𝑦
9
[
32
+
192𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
10
𝑦
9
[
144
+…
]
+
............
(20)
𝑞
1
=
𝑥
2
+
+
𝑥
5
𝑦
3
[
4
+
9𝑦
2
+
16𝑦
4
+
25𝑦
6
+
36𝑦
8
+
49𝑦
10
+
+
64𝑦
12
+…
]
+
+
𝑥
7
𝑦
3
[
6
+
18𝑦
2
+
40𝑦
4
+
75𝑦
6
+
126𝑦
8
+
196𝑦
10
+…
]
+
+
𝑥
9
𝑦
3
[
8
+
30𝑦
2
+
80𝑦
4
+
175𝑦
6
+
3366𝑦
8
+…
]
+
+
𝑥
11
𝑦
3
[
10
+
45𝑦
2
+
140𝑦
4
+
350𝑦
6
+…
]
+
+
𝑥
13
𝑦
3
[
12
+
63𝑦
2
+
224𝑦
4
+…
]
+
+
𝑥
15
𝑦
3
[
14
+
84𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
15
𝑦
3
[
16
+…
]
+
............
+
𝑥
8
𝑦
6
[
16
+
72𝑦
2
+
209𝑦
4
+
488𝑦
6
+…
]
+
+
𝑥
10
𝑦
6
[
60
+
342𝑦
2
+
1222𝑦
4
+…
]
+
+
𝑥
12
𝑦
6
[
150
+
1050𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
14
𝑦
6
[
308
+…
]
+
............
+
𝑥
11
𝑦
9
[
64
+…
]
+
............
(21)
Дальше удобнее будет выразить эти коэффициенты через 𝑎, 𝑏 и 𝑐 и расположить их по степеням 𝑐. Это облегчит дифференцирование по 𝑐. Таким образом, получим
𝑝
1
=
2𝑎
2
𝑏
3
𝑐
-5
+
3𝑎
2
𝑏
5
𝑐
-7
+
4𝑎
2
𝑏
7
𝑐
-9
+
+
(
5𝑎
2
𝑏
9
+
8𝑎
5
𝑏
6
)
𝑐
-11
+
+
(
6𝑎
2
𝑏
11
+
39𝑎
5
𝑏
8
+
18𝑎
7
𝑏
6
)
𝑐
-13
+
+
(
7𝑎
2
𝑏
13
+
75𝑎
5
𝑏
10
+
90𝑎
7
𝑏
8
+
32𝑎
9
𝑏
6
)
𝑐
-15
+
+
(
8𝑎
2
𝑏
15
+
154𝑎
5
𝑏
12
+
288𝑎
7
𝑏
10
+
32𝑎
8
𝑏
9
+
200𝑎
9
𝑏
8
+
+
50𝑎
11
𝑏
6
)
𝑐
-17
+
+
(
9𝑎
2
𝑏
17
+
280𝑎
5
𝑏
14
+
735𝑎
7
𝑏
12
+
192𝑎
8
𝑏
11
+
+
780𝑎
9
𝑏
10
+
144𝑎
10
𝑏
9
+
375𝑎
11
𝑏
8
+
72𝑎
13
𝑏
6
)
𝑐
-19
+…
(22)
𝑞
1
=
𝑎
2
𝑐
-2
+
4𝑎
5
𝑏
3
𝑐
-8
+
+
(
6𝑎
7
𝑏
3
+
9𝑎
5
𝑏
5
)
𝑐
-10
+
+
(
8𝑎
9
𝑏
3
+
18𝑎
7
𝑏
5
+
16𝑎
5
𝑏
7
)
𝑐
-12
+
+
(
10𝑎
11
𝑏
3
+
30𝑎
9
𝑏
5
+
16𝑎
8
𝑏
6
+
40𝑎
7
𝑏
7
+
25𝑎
5
𝑏
9
)
𝑐
-14
+
+
(
12𝑎
13
𝑏
3
+
45𝑎
11
𝑏
5
+
60𝑎
10
𝑏
6
+
80𝑎
9
𝑏
7
+
72𝑎
8
𝑏
8
+
+
75𝑎
7
𝑏
9
+
36𝑎
5
𝑏
11
)
𝑐
-16
+
+
(
14𝑎
15
𝑏
3
+
63𝑎
13
𝑏
5
+
150𝑎
12
𝑏
6
+
140𝑎
11
𝑏
7
+
+
342𝑎
10
𝑏
8
+
175𝑎
9
𝑏
9
+
209𝑎
8
𝑏
10
+
126𝑎
7
𝑏
11
+
+
49𝑎
5
𝑏
13
)
𝑐
-18
+
+
(
16𝑎
17
𝑏
3
+
84𝑎
15
𝑏
5
+
308𝑎
14
𝑏
6
+
224𝑎
13
𝑏
7
+
+
1050𝑎
12
𝑏
8
+
414𝑎
11
𝑏
9
+
1222𝑎
10
𝑏
10
+
336𝑎
9
𝑏
11
+
+
488𝑎
8
𝑏
12
+
196𝑎
7
𝑏
13
+
64𝑎
5
𝑏
15
)
𝑐
-20
+…
(23)
𝑝
2
=
3𝑎
3
𝑏
3
𝑐
-6
+
6𝑎
3
𝑏
5
𝑐
-8
+
10𝑎
3
𝑏
7
𝑐
-10
+
+
(
12𝑎
6
𝑏
6
+
15𝑎
3
𝑏
9
)
𝑐
-12
+
+
(
27𝑎
8
𝑏
6
+
54𝑎
6
𝑏
8
+
21𝑎
3
𝑏
11
)
𝑐
-14
+
+
(
48𝑎
10
𝑏
6
+
162𝑎
8
𝑏
8
+
158𝑎
6
𝑏
10
+
28𝑎
3
𝑏
13
)
𝑐
-16
+
+
(
75𝑎
12
𝑏
6
+
360𝑎
10
𝑏
8
+
48𝑎
9
𝑏
9
+
606𝑎
8
𝑏
10
+
+
372𝑎
6
𝑏
12
+
36𝑎
3
𝑏
15
)
𝑐
-18
+…
(24)
𝑞
2
=
𝑎
3
𝑐
-3
+
6𝑎
6
𝑏
3
𝑐
-9
+
+
(
9𝑎
8
𝑏
3
+
18𝑎
6
𝑏
5
)
𝑐
-11
+
+
(
12𝑎
10
𝑏
3
+
36𝑎
8
𝑏
5
+
40𝑎
6
𝑏
7
)
𝑐
-13
+
+
(
15𝑎
12
𝑏
3
+
60𝑎
10
𝑏
5
+
24𝑎
9
𝑏
6
+
100𝑎
8
𝑏
7
+
+
75𝑎
6
𝑏
9
)
𝑐
-15
+
+
(
18𝑎
14
𝑏
3
+
90𝑎
12
𝑏
5
+
90𝑎
11
𝑏
6
+
200𝑎
10
𝑏
7
+
+
126𝑎
9
𝑏
8
+
225𝑎
8
𝑏
9
+
126𝑎
6
𝑏
11
)
𝑐
-17
+
+
(
21𝑎
16
𝑏
3
+
126𝑎
14
𝑏
5
+
225𝑎
13
𝑏
6
+
350𝑎
12
𝑏
7
+
+
594𝑎
11
𝑏
8
+
525𝑎
10
𝑏
9
+
418𝑎
9
𝑏
10
+
441𝑎
8
𝑏
11
+
+
196𝑎
6
𝑏
13
)
𝑐
-19
+…
(25)
𝑝
3
=
4𝑎
4
𝑏
3
𝑐
-7
+
10𝑎
4
𝑏
5
𝑐
-9
+
20𝑎
4
𝑏
7
𝑐
-11
+
+
(
16𝑎
7
𝑏
6
+
35𝑎
4
𝑏
9
)
𝑐
-13
+
+
(
36𝑎
9
𝑏
6
+
84𝑎
7
𝑏
8
+
56𝑎
4
𝑏
11
)
𝑐
-15
+
+
(
64𝑎
11
𝑏
6
+
252𝑎
9
𝑏
8
+
282𝑎
7
𝑏
10
+
84𝑎
4
𝑏
13
)
𝑐
-17
+…
(26)
𝑞
3
=
𝑎
4
𝑐
-4
+
8𝑎
7
𝑏
3
𝑐
-10
+
+
(
12𝑎
9
𝑏
3
+
30𝑎
7
𝑏
5
)
𝑐
-12
+
+
(
16𝑎
11
𝑏
3
+
60𝑎
9
𝑏
5
+
80𝑎
7
𝑏
7
)
𝑐
-14
+
+
(
20𝑎
13
𝑏
3
+
100𝑎
11
𝑏
5
+
32𝑎
10
𝑏
6
+
200𝑎
9
𝑏
7
+
+
175𝑎
7
𝑏
9
)
𝑐
-16
+
+
(
24𝑎
15
𝑏
3
+
150𝑎
13
𝑏
5
+
120𝑎
12
𝑏
6
+
400𝑎
11
𝑏
7
+
+
192𝑎
10
𝑏
8
+
525𝑎
9
𝑏
9
+
336𝑎
7
𝑏
11
)
𝑐
-18
+…
(27)
𝑝
4
=
5𝑎
5
𝑏
3
𝑐
-8
+
15𝑎
5
𝑏
5
𝑐
-10
+
35𝑎
5
𝑏
7
𝑐
-12
+
+
(
20𝑎
8
𝑏
6
+
70𝑎
5
𝑏
9
)
𝑐
-14
+
+
(
45𝑎
10
𝑏
6
+
120𝑎
8
𝑏
8
+
126𝑎
5
𝑏
11
)
𝑐
-16
+…
(28)
𝑞
4
=
𝑎
5
𝑐
-5
+
10𝑎
8
𝑏
3
𝑐
-11
+
+
(
15𝑎
10
𝑏
3
+
45𝑎
8
𝑏
5
)
𝑐
-13
+
+
(
20𝑎
12
𝑏
3
+
90𝑎
10
𝑏
5
+
140𝑎
8
𝑏
7
)
𝑐
-15
+
+
(
25𝑎
14
𝑏
3
+
150𝑎
12
𝑏
5
+
40𝑎
11
𝑏
6
+
350𝑎
10
𝑏
7
+
+
350𝑎
8
𝑏
9
)
𝑐
-17
+…
(29)
𝑝
5
=
6𝑎
6
𝑏
3
𝑐
-9
+
21𝑎
6
𝑏
5
𝑐
-11
+
56𝑎
6
𝑏
7
𝑐
-13
+
+
(
24𝑎
9
𝑏
6
+
126𝑎
6
𝑏
9
)
𝑐
-15
+…
(30)
𝑞
5
=
𝑎
6
𝑐
-6
+
12𝑎
9
𝑏
3
𝑐
-12
+
+
(
18𝑎
11
𝑏
3
+
63𝑎
9
𝑏
5
)
𝑐
-14
+
+
(
24𝑎
13
𝑏
3
+
126𝑎
11
𝑏
5
+
224𝑎
9
𝑏
7
)
𝑐
-16
+…
(31)
𝑝
6
=
7𝑎
7
𝑏
3
𝑐
-10
+
28𝑎
7
𝑏
5
𝑐
-12
+
84𝑎
7
𝑏
7
𝑐
-14
+…
(32)
𝑞
6
=
𝑎
7
𝑐
-7
+
14𝑎
10
𝑏
3
𝑐
-13
+
+
(
21𝑎
12
𝑏
3
+
84𝑎
10
𝑏
5
)
𝑐
-15
+…
(33)
𝑝
7
=
8𝑎
8
𝑏
3
𝑐
-11
+
36𝑎
8
𝑏
5
𝑐
-13
+…
(34)
𝑞
7
=
𝑎
8
𝑐
-8
+
16𝑎
11
𝑏
3
𝑐
-14
+…
(35)
𝑝
8
=
9𝑎
9
𝑏
3
𝑐
-12
+…
(36)
𝑞
8
=
𝑎
9
𝑐
-9
+…
(37)
Значения 𝑟𝑛 и 𝑠𝑛 можно написать, переставив 𝑎 и 𝑏 соответственно в 𝑝𝑛 и в 𝑞𝑛.
Если теперь выразить потенциалы обеих сфер через эти коэффициенты в виде
α
=
𝑙𝐴
+
𝑚𝐵
,
(38)
β
=
𝑚𝐴
+
𝑛𝐵
,
(39)
то величины 𝑙, 𝑚, 𝑛 будут коэффициентами потенциала (п. 87), причём
𝑚
=
𝑐
-1
+
𝑝
1
𝑎𝑐
-2
+
𝑝
2
𝑎
2
𝑐
-3
+
…,
(40)
𝑛
=
𝑏
-1
–
𝑞
1
𝑎𝑐
-2
–
𝑞
2
𝑎
2
𝑐
-3
–
…,
(41)
или, выражая через 𝑎, 𝑏, 𝑐,
𝑚
=
𝑐
-1
+
2𝑎
3
𝑏
3
𝑐
-7
+
3𝑎
3
𝑏
3
(
𝑎
2
+
𝑏
2
)
𝑐
-7
+
+
𝑎
3
𝑏
3
(
4𝑎
4
+
6𝑎
2
𝑏
2
+
4𝑏
4
)
𝑐
-11
+
+
𝑎
3
𝑏
3
[
5𝑎
6
+
10𝑎
4
𝑏
2
+
8𝑎
3
𝑏
3
+
10𝑎
2
𝑏
4
+
5𝑎
6
]
𝑐
-13
+
+
𝑎
3
𝑏
3
[
6𝑎
8
+
15𝑎
6
𝑏
2
+
30𝑎
5
𝑏
3
+
20𝑎
4
𝑏
4
+
30𝑎
3
𝑏
5
+
+
15𝑎
2
𝑏
6
+
6𝑏
8
]
𝑐
-15
+
+
𝑎
3
𝑏
3
[
7𝑎
10
+
21𝑎
8
𝑏
2
+
75𝑎
7
𝑏
3
+
35𝑎
6
𝑏
4
+
144𝑎
5
𝑏
5
+
+
35𝑎
4
𝑏
6
+
75𝑎
3
𝑏
7
+
21𝑎
2
𝑏
8
+
7𝑏
10
]
𝑐
-17
+
+
𝑎
3
𝑏
3
[
8𝑎
12
+
28𝑎
10
𝑏
2
+
154𝑎
9
𝑏
3
+
56𝑎
8
𝑏
4
+
+
446𝑎
7
𝑏
5
+
102𝑎
6
𝑏
6
+
446𝑎
5
𝑏
7
+
56𝑎
4
𝑏
8
+
+
154𝑎
3
𝑏
9
+
28𝑎
2
𝑏
10
+
8𝑏
12
]
𝑐
-19
+
+
𝑎
3
𝑏
3
[
9𝑎
14
+
36𝑎
12
𝑏
2
+
280𝑎
11
𝑏
3
+
84𝑎
10
𝑏
4
+
+
1107𝑎
9
𝑏
5
+
318𝑎
8
𝑏
6
+
1668𝑎
7
𝑏
7
+
318𝑎
6
𝑏
8
+
+
1107𝑎
5
𝑏
9
+
84𝑎
4
𝑏
10
+
280𝑎
3
𝑏
11
+
36𝑎
2
𝑏
12
+
+
9𝑏
14
]
𝑐
-21
+…
(42)
𝑛
=
𝑏
-1
–
𝑎
3
𝑐
-4
–
𝑎
5
𝑐
-6
–
𝑎
7
𝑐
-8
–
(
𝑎
3
+
4𝑏
3
)
𝑎
6
𝑐
-10
–
-
(
𝑎
5
+
12𝑎
2
𝑏
3
+
9𝑏
5
)
𝑎
6
𝑐
-12
–
-
(
𝑎
7
+
25𝑎
4
𝑏
3
+
36𝑎
2
𝑏
5
+
16𝑏
7
)
𝑎
6
𝑐
-14
–
-
(
𝑎
9
+
44𝑎
6
𝑏
3
+
96𝑎
4
𝑏
5
+
16𝑎
3
𝑏
6
+
80𝑎
2
𝑏
7
+
+
25𝑏
9
)
𝑎
6
𝑐
-16
–
-
(
𝑎
11
+
70𝑎
8
𝑏
3
+
210𝑎
6
𝑏
5
+
84𝑎
5
𝑏
6
+
260𝑎
4
𝑏
7
+
+
73𝑎
3
𝑏
8
+
150𝑎
2
𝑏
9
+
36𝑏
11
)
𝑎
6
𝑐
-18
–
-
(
𝑎
13
+
104𝑎
10
𝑏
3
+
406𝑎
8
𝑏
5
+
272𝑎
7
𝑏
6
+
680𝑎
6
𝑏
7
+
+
468𝑎
5
𝑏
8
+
575𝑎
4
𝑏
9
+
209𝑎
3
𝑏
10
+
252𝑎
2
𝑏
11
+
+
49𝑏
13
)
𝑎
6
𝑐
-20
–
-
(
𝑎
15
+
174𝑎
12
𝑏
3
+
710𝑎
10
𝑏
5
+
693𝑎
9
𝑏
6
+
1548𝑎
8
𝑏
7
+
+
1836𝑎
7
𝑏
8
+
1814𝑎
6
𝑏
9
+
1640𝑎
5
𝑏
10
+
1113𝑎
4
𝑏
11
+
+
488𝑎
3
𝑏
12
+
392𝑎
2
𝑏
13
+
64𝑏
15
)
𝑎
6
𝑐
-22
+…
(43)
Выражение для 𝑙 может быть получено из выражения для 𝑛 перестановкой 𝑎 и 𝑏.
Потенциальная энергия системы, согласно п. 87, равна
𝑊
=
1
2
𝑙𝐴²
+
𝑚𝐴𝐵
+
1
2
𝑛𝐵²
,
(44)
а сила расталкивания обеих сфер, согласно п. 93а, равна
-
𝑑𝑊
𝑑𝑐
+
1
2
𝐴²
𝑑𝑙
𝑑𝑐
+
𝐴𝐵
𝑑𝑚
𝑑𝑐
+
1
2
𝐵²
𝑑𝑛
𝑑𝑐
.
(45)
Поверхностная плотность заряда в любой точке каждой сферы даётся уравнениями (1) и (4) как функция коэффициентов 𝐴𝑛 и 𝐵𝑛.
ГЛАВА X
КОНФОКАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1
1 Это исследование заимствовано главным образом из весьма интересной книги «Leçons sur les Fonctions Invérses des Transcendantes et les Surfaces Isolhermes», par G. Lamé, Paris, 1857.
147. Пусть общее уравнение конфокальной системы имеет вид
𝑥²
λ²-𝑎²
+
𝑦²
λ²-𝑏²
+
𝑧²
λ²-𝑐²
=
1,
(1)
где λ – переменный параметр, для которого индексом мы будем различать вид поверхности второго порядка, а именно будем писать λ1 для двухполостного гиперболоида, λ2 – для однополостного гиперболоида и λ3 – для эллипсоида. Величины 𝑎, λ1, 𝑏, λ2, 𝑐, λ3, возрастают в указанном здесь порядке. Величина 𝑎 введена здесь ради симметрии, в наших окончательных результатах мы будем всегда считать 𝑎=0.
Если мы рассмотрим три поверхности с параметрами λ1, λ2, λ3, то из уравнений этих поверхностей найдём, что значение 𝑥² в точке пересечения удовлетворяет уравнению
𝑥²
(𝑏²-𝑎²)
(𝑐²-𝑎²)
=
(λ
1
²-𝑎²)
(λ
2
²-𝑎²)
(λ
3
²-𝑎²)
.
(2)
Значения 𝑦² и 𝑧² могут быть найдены симметричной перестановкой 𝑎, 𝑏, 𝑐. Дифференцируя это равенство по λ1, получим
𝑑𝑥
𝑑λ1
=
λ1
λ1²-𝑎
𝑥
.
(3)
Если 𝑑𝑠1 – длина участка кривой пересечения поверхностей λ2 и λ3, отсекаемого поверхностями λ1 и λ1+𝑑λ1, то
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑠1
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑧
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
=
=
λ1²(λ2²-λ1²)(λ3²-λ1²)
(λ1²-𝑎²)(λ1²-𝑏²)(λ1²-𝑐²)
.
(4)
Знаменатель этой дроби равен произведению квадратов полуосей поверхности λ1.
Обозначим
𝐷
1
²
=
λ
3
²
–
λ
2
²
,
𝐷
2
²
=
λ
3
²
–
λ
1
²
,
𝐷
3
²
=
λ
2
²
–
λ
1
²
(5)
и положим 𝑎=0. Тогда
𝑑𝑠1
𝑑λ1
=
𝐷2𝐷3
√𝑏²-λ1²√𝑐²-λ1²
.
(6)
Легко видеть, что 𝐷2 и 𝐷3 – полуоси центрального сечения поверхности λ1, сопряжённого диаметру, проходящему через данную точку, и что полуось 𝐷3 параллельна 𝑑𝑠2, а 𝐷2 параллельна 𝑑𝑠3.
Если, кроме того, мы выразим три параметра λ1, λ2, λ3 через три функции α, β, γ, определяемые уравнениями
α
=
λ1
∫
0
𝑐𝑑λ1
√(𝑏²-λ1²)(𝑐²-λ1²)
,
β
=
λ2
∫
𝑏
𝑐𝑑λ2
√(λ2²-𝑏²)(𝑐²-λ2²)
,
γ
=
λ3
∫
𝑐
𝑐𝑑λ3
√(λ3²-𝑏²)(λ3²-𝑐²)
,
(7)
то получим
𝑑𝑠
1
=
1
𝑐
𝐷
2
𝐷
3
𝑑α
,
𝑑𝑠
2
=
1
𝑐
𝐷
3
𝐷
1
𝑑β
,
𝑑𝑠
3
=
1
𝑐
𝐷
1
𝐷
2
𝑑γ
.
(8)
148. Пусть теперь 𝑉 – потенциал произвольной точки α, β, γ, тогда составляющая результирующей силы в направлении 𝑑𝑠1 равна
𝑅
1
=
–
𝑑𝑉
𝑑𝑠1
=
–
𝑑𝑉
𝑑α
𝑑α
𝑑𝑠1
=
–
𝑑𝑉
𝑑α
𝑐
𝐷2𝐷3
.
(9)
Поскольку 𝑑𝑠1, 𝑑𝑠2, 𝑑𝑠3 взаимно перпендикулярны, поверхностный интеграл по элементу площади 𝑑𝑠2𝑑𝑠3 равен
𝑅
1
𝑑𝑠
2
𝑑𝑠
3
=
–
𝑑𝑠α
𝑑1
𝑑𝑉
𝑑α
𝐷3𝐷1
𝑐
𝐷1𝐷2
𝑐
𝑑β
𝑑γ
=
=
–
𝑑𝑉
𝑑α
𝐷1²
𝑐
𝑑β
𝑑γ
.
(10)
Рассмотрим теперь элемент объёма, заключённый между поверхностями α, β, γ и α+𝑑α, β+𝑑β, γ+𝑑γ. Таких элементов будет восемь, по одному в каждом октанте пространства.
Мы нашли поверхностный интеграл от нормальной составляющей силы (отсчитываемой внутрь) для элемента поверхности, отсекаемого на поверхности α поверхностями β и β+𝑑β, γ и γ+𝑑γ.
Поверхностный интеграл для соответствующего элемента поверхности α+𝑑α равен
+
𝑑𝑉
𝑑α
𝐷1²
𝑐
𝑑β
𝑑γ
+
𝑑²𝑉
𝑑²α
𝐷1²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
,
поскольку 𝐷1 не зависит от α Поверхностный интеграл по обеим противоположным граням элемента объёма будет равен сумме этих выражений, т. е.
𝑑²𝑉
𝑑α²
𝐷1²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
.
Точно так же поверхностные интегралы по двум другим парам граней равны
𝑑²𝑉
𝑑β²
𝐷2²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
и
𝑑²𝑉
𝑑γ²
𝐷3²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
Эти шесть граней ограничивают элемент объёмом
𝑑𝑠
1
𝑑𝑠
2
𝑑𝑠
3
=
𝐷1²𝐷2²𝐷3²
𝑐³
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
,
и если ρ – объёмная плотность заряда на этом элементе, то, согласно п. 77, мы найдём, что полный поверхностный интеграл по элементу в сумме с умноженным на 4π количеством электричества на нём равен нулю, т. е., деля на 𝑑α 𝑑β 𝑑γ,
𝑑²𝑉
𝑑α²
𝐷
1
²
+
𝑑²𝑉
𝑑β²
𝐷
2
²
+
𝑑²𝑉
𝑑γ²
𝐷
3
²
+
4πρ
𝐷1²𝐷2²𝐷3²
𝑐³
=
0.
(11)
Уравнение (11) представляет собой пуассоновское обобщение уравнения Лапласа, записанное в эллипсоидальных координатах.
При ρ=0 четвёртый член исчезает и уравнение эквивалентно уравнению Лапласа.
Общее рассмотрение этого уравнения читатель найдёт в упомянутой выше работе Ламе.
149. Чтобы определить величины α, β, γ, мы можем выразить их в виде обычных эллиптических интегралов, введя вспомогательные углы θ, φ и ψ, где
λ
1
=
𝑏 sin θ
,
(12)
λ
2
=
√
𝑐²sinφ+𝑏²sinφ
,
(13)
λ
3
=
𝑏 sec ψ
.
(14)
Если положить 𝑏=𝑘𝑐 и 𝑘²+𝑘'²=1, то 𝑘 и 𝑘' можно назвать двумя дополнительными модулями конфокальной системы. Тогда получим
α
=
θ
∫
0
𝑑θ
√1-𝑘²sin²θ
(15)
– эллиптический интеграл первого рода, для которого можно воспользоваться обычным обозначением 𝐹(𝑘,θ).
Таким же образом найдём, что
β
=
φ
∫
0
𝑑φ
√1-𝑘'²cos²φ
=
𝐹(𝑘')
–
𝐹(𝑘',φ)
,
(16)
где 𝐹(𝑘') – полная функция для модуля 𝑘', а
γ
=
ψ
∫
0
𝑑ψ
√1-𝑘²cos²ψ
=
𝐹(𝑘)
–
𝐹(𝑘,ψ)
.
(17)
Здесь α представлено как функция угла θ, который, в свою очередь, является функцией от λ1, β – функция от φ и, следовательно, от λ2, а γ – функция от ψ и, следовательно, от λ3.
Можно, наоборот, эти углы и параметры рассматривать как функции от α, β, γ. Свойства таких обратных функций, а также других функций, связанных с ними, рассмотрены в трактате Ламе по этому вопросу.
Легко видеть, что, поскольку параметры – периодические функции от вспомогательных углов, они являются также периодическими функциями от α, β, γ. Периоды λ1 и λ3 равны 4𝐹(𝑘), а период λ2 равен 2𝐹(𝑘').
Частные решения
150. Уравнение Лапласа удовлетворяется, если 𝑉 является линейной функцией от α, β, γ. Следовательно, мы можем найти из уравнения распределение электричества на любых двух конфокальных поверхностях одного семейства, находящихся под заданными потенциалами, а также определить потенциал в любой точке между ними.
Двухполостный гиперболоид
Постоянное α соответствует двух полостному гиперболоиду. Пусть на рассматриваемом листе поверхности α имеет тот же знак, что и 𝑥. Так мы сможем рассматривать по отдельности каждый лист.
Пусть α1 и α2 – значения α, соответствующие двум одиночным листам, которые могут принадлежать разным гиперболоидам или одному и тому же, и пусть 𝑉1 и 𝑉2 – значения поддерживаемых на них потенциалов. Тогда, если положить
𝑉
=
α1𝑉2-α2𝑉1+α(𝑉1-𝑉2)
α1-α2
,
(18)
то будут выполнены все условия на обеих поверхностях и в пространстве между ними. Если в объёме за поверхностью α1 положить 𝑉 постоянным и равным 𝑉1, а в объёме за поверхностью α2 положить 𝑉 постоянным и равным 𝑉2, то мы получим полное решение для этого частного случая.
Результирующая сила в любой точке обоих листов равна
±𝑅
1
=
–
𝑑𝑉
𝑑𝑠1
=
–
𝑑𝑉
𝑑α
𝑑α
𝑑𝑠1
,
(19)
или
𝑅
1
=
𝑉1-𝑉2
α1-α2
𝑐
𝐷2𝐷3
.
(20)
Если 𝑝1 – перпендикуляр из центра к касательной плоскости в произвольной точке, а 𝑃1 – произведение полуосей поверхности, то 𝑝1𝐷2𝐷3=𝑃1 Отсюда следует, что
𝑅
1
=
𝑉1-𝑉2
α1-α2
𝑐𝑝1
𝑃1
,
(21)
т.е. сила в любой точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости.
Поверхностная плотность σ может быть найдена из уравнения
4πσ
=
𝑅
1
(22)
Полное количество электричества на сегменте, отсекаемом на листе гиперболоида плоскостью 𝑥=𝑑, равно
𝑄
=
𝑐
2
𝑉1-𝑉2
α1-α2
⎛
⎜
⎝
𝑑
λ1
–1
⎞
⎟
⎠
.
(23)
Следовательно, полный заряд на всем бесконечном листе бесконечен.
Предельные формы этой поверхности:
1. При α=𝐹(𝑘) поверхность является частью плоскости 𝑥𝑦 расположенной с положительной стороны от положительной ветви гиперболы, уравнение которой
𝑥²
𝑎²
–
𝑧²
𝑐²-𝑏²
=
1.
(24)
2. При α=0 поверхность переходит в плоскость 𝑦𝑧.
3. При α=-𝐹(𝑘) поверхность является частью плоскости 𝑥𝑧, расположенной с отрицательной стороны от отрицательной ветви той же гиперболы.
Однополостный гиперболоид
Положив постоянным β, мы получаем уравнение однополостного гиперболоида. Поэтому две поверхности, образующие границы электрического поля, должны принадлежать двум различным гиперболоидам. В остальном исследование проводится так же, как и для двухполостного гиперболоида. Точно так же при заданной разности потенциалов плотность заряда в произвольной точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости, а полный заряд на бесконечной поверхности бесконечен.
