Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 23 (всего у книги 34 страниц)
Электроскоп, если он достаточно чувствителен, может быть использован в электрических измерениях при условии, что мы можем привести измерения к случаю нулевой электризации. Например, если у нас есть два заряженных тела 𝐴 и 𝐵, мы можем использовать метод, описанный в главе I, для того чтобы определить, которое из тел имеет больший заряд. Внесём тело 𝐴 на изолирующей опоре внутрь изолированного замкнутого сосуда 𝐶. Соединим 𝐶 с землёй и снова изолируем. Тогда на 𝐶 не будет никакой внешней электризации. Теперь удалим 𝐴, внутрь 𝐶 введём 𝐵 и затем проверим электризацию 𝐶 с помощью электроскопа. Если заряд 𝐵 равен заряду 𝐴, электризации не будет, но если он больше или меньше, то электризация будет соответственно того же знака, что у 𝐵, или противоположного.
Методы такого рода, в которых предметом наблюдения является отсутствие некоторого явления, называются нулевыми методами. Для этих методов нужен прибор, способный определить наличие данного явления.
В другом классе приборов для регистрации явлений приборы работают так, что дают всегда одно и то же показание для одного и того же значения измеряемой величины, но отсчёты на шкале прибора не пропорциональны значениям измеряемой величины, и связь между этими отсчётами и соответствующими значениями не известна, известно только, что одно является непрерывной функцией другого. К этому классу принадлежат некоторые электрометры, действие которых основано на взаимном отталкивании частей прибора, обладающих сходной электризацией. Такие приборы используются для регистрации явлений, а не для их измерения. Вместо истинных значений измеряемой величины получается ряд чисел, которые впоследствии могут быть использованы для определения этих величин, после того как шкала прибора должным образом исследована и протабулирована.
В приборах ещё более высокого класса отсчёты по шкале пропорциональны измеряемой величине, и, таким образом, для полного измерения этой величины требуется знать только коэффициент, на который следует умножить отсчёты по шкале, чтобы получить истинное значение величины.
Приборы, построенные так, что они содержат внутри себя средства для независимого измерения истинных значений величин, называются абсолютными приборами.
Крутильные весы Кулона
215. Многочисленные опыты, в которых Кулон установил основные законы электричества, сводились к измерению сил, действующих между двумя малыми сферами, заряженными электричеством. Одна из этих сфер закреплялась, в то время как другая поддерживалась в равновесии действием двух сил: электрическим действием между сферами и крутильной упругостью стеклянной нити или металлической проволоки. См. п. 38.
Крутильные весы представляют собой горизонтальное коромысло, сделанное из шеллака, подвешенное на тонкой проволоке или на стеклянной нити и несущее на одном конце небольшой шарик, вырезанный из сердцевины бузины и равномерно позолочённый. Проволока подвеса закреплена сверху на вращающейся вокруг вертикальной оси головке, ручка которой может перемещаться по горизонтальному градуированному кругу, так что при этом верхний конец проволоки закручивается вокруг собственной оси на любое число градусов.
Весь этот прибор заключён в камеру. Другой небольшой шарик закреплён на изолирующем стержне. Он может быть заряжен, введён через отверстие в камеру и установлен так, что его центр совпадает с определённой точкой на горизонтальной окружности, которую описывает подвешенный шарик. Положение подвешенного шарика определяется с помощью градуированной окружности, выгравированной на цилиндрической стеклянной камере прибора.
Предположим теперь, что обе сферы заряжены и что подвешенный шарик находится в равновесии в известном положении, при котором коромысло составляет угол θ с радиусом, проходящим через центр закреплённого шарика. Тогда расстояние между центрами равно 2𝑎 sin (θ/2), где 𝑎 – радиус коромысла. Если 𝐹 есть сила между шариками, момент этой силы относительно оси кручения равен 𝐹𝑎 cos (θ/2).
Пусть теперь обе сферы полностью разряжены и коромысло находится в равновесии в положении, составляющем угол φ с радиусом, проходящим через закреплённый шарик.
Тогда угол, на который коромысло было закручено электрической силой, должен быть равен θ-φ, и, если 𝑀 есть момент упругости кручения нити, мы получаем уравнение
𝐹𝑎 cos (θ/2)
=
𝑀(θ-φ)
.
Таким образом, если известна величина 𝑀, мы можем определить 𝐹 – силу, действующую между двумя шариками, находящимися на расстоянии 2𝑎 sin (θ/2) один от другого.
Чтобы найти момент кручения 𝑀, обозначим через 𝐼 момент инерции коромысла, а через 𝑇 – время его двойного колебания 4 под действием упругости кручения нити. Тогда 𝑀=4π²𝐼/𝑇².
4 Под временем двойного колебания Максвелл понимает период.– Примеч. ред.
Во всех электрометрах знание того, какую силу мы измеряем, является вопросом величайшей важности. Сила, действующая на подвешенный шарик, вызывается отчасти прямым действием закреплённого шарика, но отчасти также и электризацией (если она есть) стенок камеры.
Если камера сделана из стекла, то определить электризацию его поверхности невозможно иначе, чем посредством очень трудных измерений в каждой точке. Однако в тех случаях, когда камера либо сделана из металла, либо металлическая камера, почти полностью охватывающая прибор, помещена как экран между шариками и стеклянной камерой, электризация на внутренней поверхности металлического экрана будет полностью зависеть от электризации шариков, а электризация стеклянной камеры не будет влиять на шарики. Таким путём мы можем избежать любой неопределённости, вызванной действием камеры.
Чтобы пояснить это на таком примере, в котором мы можем вычислить все эффекты, предположим, что камера представляет собой сферу радиуса 𝑏; что радиус коромысла равен 𝑎 и центр вращения коромысла совпадает с центром сферы; что заряды на двух шариках равны 𝐸1 и 𝐸, а угол между их положениями равен θ; что закреплённый шарик находится на расстоянии 𝑎1 от центра и расстояние между двумя этими небольшими шариками равно 𝑟.
Если пренебречь пока влиянием индукции на распределение заряда на небольших шариках, то сила между ними будет отталкивающей: 𝐸1𝐸/𝑟² а момент этой силы относительно вертикальной оси, проходящей через центр, равен (𝐸𝐸1𝑎𝑎1 sin θ)/𝑟³.
Изображение заряда 𝐸1, возникающее из-за наличия сферической поверхности камеры, представляет собой точку, расположенную на том же радиусе на расстоянии от центра 𝑏²/𝑎1 с зарядом – 𝐸1𝑏/𝑎1 Момент силы притяжения между зарядом 𝐸 и этим изображением относительно оси подвеса равен
𝐸𝐸
1
𝑏
𝑎1
𝑎
𝑏²
𝑎1 sin θ
⎧
⎨
⎩ 𝑎² – 2
𝑎𝑏²
𝑎1 cos θ +
𝑏4
𝑎
2
1
⎫
⎬
⎭
3/2
=
=
𝐸𝐸
1
𝑎𝑎
1
sin θ
.
𝑏³
⎧
⎨
⎩
1-2
𝑎𝑎²
cos θ
+
𝑎²
𝑎
2
1
⎫
⎬
⎭
3/2
𝑏²
Если радиус сферической камеры 𝑏 велик по сравнению с расстояниями шариков от центра 𝑎 и 𝑎1 мы можем пренебречь вторым и третьим слагаемыми множителя в знаменателе. Приравнивая моменты, стремящиеся повернуть коромысло, получаем
𝐸𝐸
1
𝑎𝑎
1
sin θ
⎧
⎨
⎩
1
𝑟³
–
1
𝑏³
⎫
⎬
⎭
=
𝑀(θ-φ)
.
Электрометры для измерения потенциалов
216. Во всех электрометрах подвижная часть представляет собой заряженное электричеством тело, потенциал которого отличается от потенциала некоторых закреплённых частей, расположенных вокруг него. Если, как в методе Кулона, используется изолированное тело, обладающее некоторым зарядом, то именно этот заряд и является прямым объектом измерения. Мы можем, однако, с помощью тонких проволочек соединить шарики Кулонова электрометра с другими проводниками. Тогда заряды на шариках будут зависеть от величины потенциала этих проводников и от потенциала камеры прибора. Заряд на каждом шарике будет приблизительно равен произведению его радиуса на превышение потенциала шарика над потенциалом камеры прибора при условии, что радиусы шариков малы в сравнении с их расстоянием друг от друга и в сравнении с их расстояниями до стенок и отверстий камеры.
Однако кулоновский вариант прибора не очень хорошо приспособлен для такого рода измерений из-за малости силы между шариками,отстоящими друг от друга на подходящее расстояние, когда разность потенциалов мала. Более удобный вариант представляет собой Электрометр с Притягивающимся Диском. Первые электрометры на этом принципе были созданы сэром У. Сноу Харрисом (W. Snow Harris) 5. Они были затем доведены до высокого совершенства и в теории и в конструкции сэром У. Томсоном 6.
5Phil.Trans., 1834.
6 Смотри прекрасную работу об электрометрах сэра У. Томсона, Report of the British Association, Dundee, 1867.
Если два диска при различных потенциалах приблизить друг к другу поверхность к поверхности до малого расстояния между ними, то на противостоящих поверхностях будет почти однородная электризация, а на задних сторонах дисков электризация будет очень малой, при условии, что поблизости нет других проводников или электризованных тел. Заряд на положительном диске будет приблизительно пропорционален его площади и разности потенциалов дисков и обратно пропорционален расстоянию между ними. Таким образом, если площади дисков сделать большими, а расстояние между ними малым, то малая разность потенциалов может дать измеримую силу притяжения.
Математическая теория распределения электричества на двух дисках, расположенных таким образом, дана в п. 202. Однако невозможно сделать камеру прибора настолько большой, чтобы мы могли считать диски изолированными в бесконечном пространстве. Поэтому показания прибора в такой форме нелегко численно интерпретировать.
217. Одним из главных усовершенствований, которое сэр У. Томсон внёс в конструкцию этого прибора, является защитное кольцо.
Вместо подвешивания целиком одного из дисков и определения действующей на него силы центральная часть диска отделяется от остальной части и образует притягивающийся диск, а внешнее кольцо, составляющее остальную часть диска, закрепляется. Таким образом, измеряется сила, действующая на ту часть диска, на которой сила является наиболее регулярной, а недостаточная однородность электризации вблизи от края становится несущественной, поскольку край находится на защитном кольце, а не на подвешенной части диска [рис. 19].
Рис. 19
Кроме того, соединяя защитное кольцо с металлической камерой, окружающей заднюю сторону притягивающегося диска и все детали, с помощью которых осуществляется подвешивание, мы тем самым делаем невозможной электризацию задней стороны диска, поскольку это есть часть внутренней поверхности замкнутого пустотелого проводника, все части которого имеют одно и то же значение потенциала.
Таким образом, абсолютный электрометр Томсона состоит по существу из двух параллельных пластин с разными потенциалами, причём одна из них сделана так, что определённая площадь, ни одна из частей которой не находится вблизи края пластины, может быть приведена в движение под действием электрических сил. Для определённости мы можем предположить, что притягивающийся диск и защитное кольцо находятся сверху. Неподвижный диск расположен горизонтально и укреплён на изолирующем стержне, который с помощью микрометрического винта может получать измеримые перемещения по вертикали. Защитное кольцо по меньшей мере столь же велико, как и закреплённый диск; его нижняя поверхность является действительно плоской и параллельной закреплённому диску. Над защитным кольцом помещаются чувствительные весы, к которым подвешен лёгкий подвижный диск, который почти заполняет круговую апертуру защитного кольца, но не трётся о края апертуры. Нижняя поверхность подвижного диска должна быть строго плоской, и мы должны иметь возможность знать, когда эта плоскость совпадает с плоскостью нижней поверхности защитного кольца, так что при этом образуется одна плоскость, прерываемая только узким промежутком между диском и его защитным кольцом.
Для этой цели нижний диск поднимается с помощью винта вверх до тех пор, пока он не коснётся защитного кольца, и подвешенному диску дают опуститься на нижний диск, так что его нижняя поверхность оказывается в той же самой плоскости, что и нижняя поверхность защитного кольца. Затем положение подвешенного диска по отношению к защитному кольцу устанавливается с помощью системы контрольных отметок. Сэр У. Томсон обычно использует для этой цели прикреплённый к подвижной части чёрный волосок. Этот волосок перемещается вверх или вниз прямо перед двумя чёрными отметками, сделанными на белом эмалированном фоне, и наблюдается вместе с этими двумя отметками через плоско-выпуклую линзу, обращённую плоской стороной к глазу. Если волосок при наблюдении через линзу выглядит прямым и делит пополам расстояние между чёрными отметками, то говорят, что он находится в установленном положении. Это означает, что подвешенный диск, вместе с которым движется волосок, находится в должном положении по высоте. Горизонтальность подвешенного диска можно проверить, сравнивая отражённое изображение части любого объекта от верхней поверхности диска с отражением остальной части того же самого объекта от верхней поверхности защитного кольца.
Затем весы регулируются так, чтобы они находились в равновесии в установленном положении, если на центр подвешенного диска помещён известный вес. При этом весь прибор освобождается от электризации тем, что все его части приводятся в металлическое соединение. Защитное кольцо накрывается металлической камерой так, чтобы закрыть также весы и подвижный диск, для наблюдения контрольных отметок оставляются достаточные отверстия.
Защитное кольцо, камера и подвешенный диск – все находятся в металлическом соединении друг с другом, но изолированы от остальных частей прибора.
Пусть теперь требуется измерить разность потенциалов двух проводников. С помощью проводов проводники соединяются соответственно с верхним и нижним дисками, с подвешенного диска убирается вес, и нижний диск перемещается вверх с помощью микрометрического винта до тех пор, пока электрическое притяжение не сместит подвешенный диск вниз в установленное положение. Тогда мы знаем, что притяжение между дисками равно весу, который приводил диск в его установленное положение.
Если 𝑊 есть численное значение веса, a 𝑔 – сила тяжести, то сила равна 𝑊𝑔 и если 𝐴 – площадь подвешенного диска, 𝐷 – расстояние между дисками и 𝑉 – разность потенциалов дисков, то
𝑊𝑔
=
𝑉²𝐴
8π𝐷²
, или
𝑉
=
𝐷
⎛
⎜
⎝
8π𝑔𝑊
𝐴
⎞½
⎟
⎠
.
Если подвешенный диск имеет круговую форму и радиус его равен 𝑅, а радиус апертуры защитного кольца равен 𝑅', то 7
𝐴
=
1
2
π(𝑅²+𝑅'²)
и
𝑉
=
4𝐷
⎛
⎜
⎝
𝑔𝑊
𝑅²+𝑅'²
⎞½
⎟
⎠
.
7 Обозначим радиус подвешенного диска через 𝑅 а радиус апертуры защитного кольца через 𝑅', тогда ширина кольцевого промежутка между диском и кольцом будет равна 𝐵=𝑅-𝑅'.
Если расстояние между подвешенным диском и большим закреплённым диском равно 𝐷, а разность потенциалов между этими дисками равна 𝑉. то, в согласии с рассмотрением п. 201, количество электричества на подвешенном диске будет 𝑄 =
⎧
⎨
⎩
𝑅²+𝑅'²
8𝐷 -
𝑅'²-𝑅²
8𝐷 ⋅
α
𝐷+α
⎫
⎬
⎭ ,
где α=(1/π)𝐵 ln 2, или α=0,220635(𝑅'-𝑅).
Если поверхность защитного кольца не совпадает точно с плоскостью поверхности подвешенного диска, предположим, что расстояние между закреплённым диском и защитным кольцом равно не 𝐷, a 𝐷+𝑧=𝐷'. Тогда из рассмотрения в п. 225 следует, что вблизи от края диска появится добавочный электрический заряд, вызванный тем, что диск возвышается на величину 𝑧 над общей плоскостью защитного кольца. Таким образом, полный заряд в этом случае приблизительно равен 𝑄 = 𝑉
⎧
⎨
⎩
𝑅²+𝑅'²
8𝐷 -
𝑅'²-𝑅²
8𝐷 ⋅
α
𝐷+α +
𝑅+𝑅'
𝐷 (𝐷-𝐷') ln
4π(𝑅+𝑅')
𝐷'-𝐷
⎫
⎬
⎭ ,
и в выражение для притяжения мы должны вместо площади 𝐴 диска подставить исправленную величину 𝐴 =
π
2
⎧
⎨
⎩ 𝑅² + 𝑅'² – (𝑅'²-𝑅²)
α
𝐷+α +
𝑅+𝑅'
𝐷 (𝐷'-𝐷) ln
4π(𝑅+𝑅')
𝐷'-𝐷
⎫
⎬
⎭ ,
где 𝑅= радиусу подвешенного диска, 𝑅'= радиусу апертуры в защитном кольце, 𝐷= расстоянию между закреплённым и подвешенным дисками, 𝐷'= расстоянию между закреплённым диском и защитным кольцом, α=0,220635(𝑅'-𝑅).
Если величина α мала по сравнению с 𝐷, мы можем пренебречь вторым слагаемым, а если величина 𝐷'-𝐷 мала, мы можем пренебречь последним слагаемым.
218. Поскольку всегда имеется некоторая неточность в определении микрометрического отсчёта, отвечающего 𝐷=0, и поскольку любая ошибка в положении подвешенного диска наиболее существенна при малых значениях 𝐷, сэр У. Томсон предпочитает такие измерения, которые зависят от разностей электродвижущей силы 𝑉. Таким образом, если 𝑉 и 𝑉' – два потенциала, a 𝐷 и 𝐷' – соответствующие расстояния, то
𝑉-𝑉
1
=
(𝐷-𝐷')
⎛
⎜
⎝
8π𝑔𝑊
𝐴
⎞½
⎟
⎠
Например, для того чтобы измерить электродвижущую силу гальванической батареи, используются два электрометра.
С помощью конденсатора, который при необходимости заряжается исполнителем, нижний диск главного электрометра поддерживается при постоянном потенциале. Для контроля нижний диск главного электрометра соединяется с нижним диском вторичного электрометра, у которого подвешенный диск соединён с Землёй. Расстояние между дисками вторичного электрометра и сила, требующаяся для приведения подвешенного диска в установленное положение, не меняются. Поэтому, если мы повышаем потенциал конденсатора до тех пор, пока вторичный электрометр не окажется в установленном положении, мы знаем, что потенциал нижнего диска главного электрометра превышает потенциал Земли на постоянную величину, которую мы можем обозначить через 𝑉.
Если мы теперь соединим положительный электрод батареи с Землёй, а её отрицательный электрод – с подвешенным диском главного электрометра, разность потенциалов между дисками станет равна 𝑉+𝑣 если 𝑣 -электродвижущая сила батареи. Пусть в этом случае отсчёт микрометра равен 𝐷 и пусть 𝐷' – отсчёт для случая, когда подвешенный диск связан с Землёй, тогда
𝑣
=
(𝐷-𝐷')
⎛
⎜
⎝
8π𝑔𝑊
𝐴
⎞½
⎟
⎠
Таким путём с помощью электрометра, диски которого находятся на удобно измеряемом расстоянии, может быть измерена малая электродвижущая сила 𝑉. Если расстояние слишком мало, малое изменение абсолютного расстояния приводит к большим изменениям в величине силы, потому что сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, так что любая ошибка в абсолютном расстоянии ведёт к большой ошибке в результате, если расстояние не является большим в сравнении с пределами ошибки микрометрического винта.
Влияние малых нерегулярностей в форме поверхностей дисков и в расстоянии между ними уменьшается обратно пропорционально кубу или более высоким степеням расстояния. Какова бы ни была форма волнистой поверхности, возвышения которой поднимаются до некоторой плоской поверхности, электрическое действие на расстоянии, значительно превышающем ширину складок, оказывается таким же, как и у плоскости, находящейся на некотором малом расстоянии позади плоскости, на которой расположены вершины возвышений (см. п. 197, 198).
С помощью добавочной электризации, контролируемой вспомогательным электрометром, обеспечивается подходящий интервал между дисками.
Конструкция вспомогательного электрометра может быть более простой, не предусматривающей возможность определить абсолютную величину силы притяжения, поскольку всё, что нужно,– это обеспечить постоянную электризацию. Такой электрометр может быть назван калибровочным.
Этот метод использования дополнительной электризации, кроме той, которая подлежит измерению, называется Гетеростатическим методом электризации, в противоположность Идиостатическому методу, в котором всё действие производится только подлежащей измерению электризацией.
В некоторых конструкциях электрометра с притягивающимся диском этот диск помещается на конце коромысла, которое укрепляется на платиновой проволоке, проходящей через центр тяжести коромысла и натянутой с помощью пружины. На другом конце коромысла имеется волосок, который изменением расстояния между дисками приводится в установленное положение и таким образом обеспечивает поддержание силы электрического притяжения на постоянном уровне. В этих электрометрах эта сила в общем случае не измеряется по абсолютной величине, но с уверенностью считается постоянной, если у платиновой проволоки не меняется упругость кручения.
Весь прибор помещается в лейденскую банку, внутренняя поверхность которой заряжена и соединена с притягивающимся диском и защитным кольцом. Другой диск управляется микрометрическим винтом и соединяется сначала с Землёй, а затем с проводником, потенциал которого подлежит измерению. Искомый потенциал равен разности отсчётов, умноженной на константу, которая должна быть определена для каждого электрометра.
219. Описанные выше приборы не являются самодействующими, они требуют при каждом наблюдении либо регулировки с помощью микрометрического винта, либо некоторых других действий, производимых наблюдателем. Поэтому они не рассчитаны на то, чтобы действовать как саморегистрирующие приборы, которые должны сами по себе двигаться в должное положение. Этим свойством обладает томсоновский квадрантный электрометр.
Электрический принцип, на котором основан этот инструмент, может быть объяснён следующим образом:
𝐴 и 𝐵 представляют собой два закреплённых проводника, которые могут иметь одно и то же или разные значения потенциала. 𝐶 – подвижный проводник с высоким потенциалом, расположенный так, что часть его расположена напротив поверхности проводника 𝐴, а часть – напротив поверхности 𝐵. При движении проводника 𝐶 соотношение между этими частями меняется.
Для этой цели удобнее всего сделать проводник 𝐶 подвижным относительно некоторой оси, а противолежащие участки поверхностей у проводников 𝐴, 𝐵 и 𝐶 выполнить как участки поверхностей вращения, имеющих одну и ту же ось.
При этом расстояние между поверхностью 𝐶 и противолежащими поверхностями 𝐴 или 𝐵 остаётся всегда одним и тем же, и движение проводника 𝐶 в положительном направлении просто увеличивает площадь, противолежащую проводнику 𝐵, и уменьшает площадь, противолежащую проводнику 𝐴.
Если потенциалы проводников 𝐴 и 𝐵 равны, то не возникает силы, действующей на 𝐶 в направлении от 𝐴 к 𝐵, но если Потенциал 𝐶 отличается от потенциала 𝐵 больше, чем от потенциала 𝐴, то проводник 𝐶 будет стремиться повернуться так, чтобы площадь его поверхности, противолежащая проводнику 𝐵, увеличилась.
Можно так устроить прибор, что эта сила будет приблизительно постоянной для различных положений 𝐶 в некоторых определённых пределах, так что, если тело 𝐶 подвешено на упруго закручивающейся нити, его отклонения будут приблизительно пропорциональны разности потенциалов 𝐴 и 𝐵, умноженной на разность между потенциалом 𝐶 и средним значением потенциала тел 𝐴 и 𝐵.
Проводник 𝐶 поддерживается при высоком потенциале с помощью конденсатора, питаемого пополнителем и контролируемого калибровочным электрометром. 𝐴 и 𝐵 присоединяются к двум проводникам, разность потенциалов которых нужно измерить. Чем выше потенциал 𝐶 тем прибор более чувствителен. Поскольку электризация 𝐶 не зависит от измеряемой электризации, этот электрометр относится к классу гетеростатических.
Мы можем применить к этому электрометру общую теорию систем проводников, данную в п. 93, 127.
Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 обозначают соответственно потенциалы этих трёх проводников. Обозначим через 𝑎, 𝑏, 𝑐 их соответственные ёмкости, через 𝑝 – коэффициент индукции между 𝐵 и 𝐶, через 𝑞 – коэффициент индукции между 𝐶 и 𝐴, а через 𝑟 – коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐵. Все эти коэффициенты, вообще говоря, меняются с изменением положения 𝐶. Если проводник 𝐶 расположен так, что при его движении в определённых пределах края проводников 𝐴 и 𝐵 не близки к краям 𝐶, мы можем установить вид этих коэффициентов. Если θ есть угол отклонения 𝐶 от 𝐴 к 𝐵, то часть поверхности 𝐴, противолежащая 𝐶, будет уменьшаться с ростом θ. Поэтому, если 𝐴 поддерживается при потенциале 1, а 𝐵 и 𝐶 – при потенциале θ, заряд на 𝐴 будет равен 𝑎=𝑎0-αθ, где 𝑎0 и α – некоторые постоянные, и 𝑎 есть ёмкость 𝐴.
Если 𝐴 и 𝐵 симметричны, то ёмкость 𝐵 равна 𝑏=𝑏0-αθ.
Ёмкость 𝐶 при движении не меняется, потому что движение приводит только к тому, что различные части 𝐶 оказываются противолежащими промежутку между 𝐴 и 𝐵. Поэтому 𝑐=𝑐0.
Количество электричества, индуцированное на 𝐶, когда потенциал 𝐵 повышен до единицы, равно 𝑝=𝑝0-αθ.
Коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐶 равен 𝑞=𝑞0+αθ.
Коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐵 не меняется при движении 𝐶 и остаётся постоянным, 𝑟=𝑟0.
Таким образом, электрическая энергия системы равна
𝑊
=
1
2
𝐴²𝑎
+
1
2
𝐵²𝑏
+
1
2
𝐶²𝑐
+
𝐵𝐶𝑝
+
𝐶𝐴𝑞
+
𝐴𝐵𝑟
,
и если Θ – момент силы, действующей в сторону увеличения угла θ, то Θ=𝑑𝑊/𝑑θ, причём величины 𝐴, 𝐵, 𝐶 предполагаются постоянными,
=
1
2
𝐴²
𝑑𝑎
𝑑θ
+
1
2
𝐵²
𝑑𝑏
𝑑θ
+
1
2
𝐶²
𝑑𝑐
𝑑θ
+
1
2
𝐵𝐶
𝑑𝑝
𝑑θ
+
1
2
𝐶𝐴
𝑑𝑞
𝑑θ
+
1
2
𝐴𝐵
𝑑𝑟
𝑑θ
=
=-
1
2
𝐴²α
+
1
2
𝐵²α
–
1
2
𝐵𝐶α
+
1
2
𝐶𝐴α
,
или
Θ
=
α(𝐴-𝐵)
{
𝐶-(𝐴+𝐵)/2
}.
В современной конструкции Томсоновского Квадрантного Электрометра проводники 𝐴 и 𝐵 имеют вид цилиндрической коробки, полностью разделённой на четыре квадранта, каждый из которых изолирован. Квадранты соединены проводами так, что два противоположных квадранта 𝐴 и 𝐴 соединены между собой, как и остальные два квадранта 𝐵 и 𝐵' [рис. 20].
Рис. 20
Проводник 𝐶 подвешен так, чтобы он мог поворачиваться вокруг вертикальной оси, и может состоять из двух расположенных напротив друг друга плоских дуг в четверть окружности, поддерживаемых по краям радиусами. В положении равновесия эти квадранты должны находиться частично в пределах 𝐴, частично в пределах 𝐵, а поддерживающие радиусы должны находиться вблизи от середины квадрантов, составляющих пустотелое основание, так что перегородки коробки и края дуг с радиусами на электроде 𝐶 могут быть настолько далеко друг от друга, насколько это возможно.
Проводник 𝐶 постоянно поддерживается при высоком значении потенциала будучи соединён с внутренней обкладкой лейденской банки, которая образует камеру прибора. Электроды 𝐵 и 𝐴 соединяются первый с Землёй, а второй с телом, потенциал, которого нужно измерить.
Если потенциал этого тела равен нулю, и если прибор налажен, то не должно быть никакой силы, приводящей 𝐶 в движение, но если потенциал 𝐴 имеет тот же знак, что и потенциал 𝐶, тогда 𝐶 будет стремиться повернуться от 𝐴 к 𝐵 с примерно постоянной силой, и подвеска будет закручиваться до тех пор, пока в игру не вступит равная сила и не приведёт к равновесию. В определённых пределах отклонение электрода 𝐶 будет пропорционально произведению
(𝐴-𝐵)
{𝐶-(𝐴+𝐵)/2}
.
Увеличивая потенциал 𝐶, можно увеличить чувствительность прибора, и для малых значений (𝐴+𝐵)/2 отклонение будет приблизительно пропорционально (𝐴-𝐵)𝐶
Об измерениях электрического потенциала
220. Для того чтобы определить большие разности потенциалов в абсолютной мере, мы можем использовать электрометр с притягивающимся диском и сравнить притяжение с действием веса. Если мы в то же самое время измеряем разность потенциалов тех же самых проводников с помощью квадрантного электрометра, мы можем установить абсолютное значение определённых отсчётов по шкале квадрантного электрометра, и таким путём мы можем выразить цену делений квадрантного электрометра через потенциал подвешенной части и через момент кручения подвеса.
Чтобы определить потенциал заряженного проводника, имеющего конечные размеры, мы можем присоединить этот проводник к одному из электродов электрометра, в то время как другой электрод соединён с Землёй или с телом, имеющим известный потенциал. Отсчёт электрометра даст значение потенциала, которое будет иметь проводник, после того как заряд проводника разделится между проводником и той частью электрометра, с которой проводник находится в контакте. Если 𝐾 обозначает ёмкость проводника, а 𝐾', – ёмкость этой части электрометра и если 𝑉 и 𝑉' обозначают потенциалы этих тел перед соединением, то их общий потенциал после соединения будет равен
𝑉
=
𝐾𝑉+𝐾'𝑉'
𝐾+𝐾'
.
Таким образом, первоначальный потенциал проводника был равен
𝑉
=
𝑉
+
𝐾
𝐾
(
𝑉
–𝑉')
.
Если размеры проводника невелики в сравнении с размерами электрометра, величина 𝐾' будет сравнима с 𝐾, и до тех пор, пока мы не сможем определить значения 𝐾 и 𝐾', величина второго члена этой формулы будет внушать подозрения. Но если мы можем сделать так, что потенциал электрода в электрометре будет почти точно равен потенциалу тела перед присоединением, неопределённость значений 𝐾 и 𝐾' будет мало существенна.
Если мы приблизительно знаем величину потенциала тела, мы можем зарядить электрод с помощью «пополнителя» или иным путём до этого приблизительного значения потенциала, и последующий эксперимент даст более верное приближение. Таким путём мы можем измерить потенциал проводника, ёмкость которого мала в сравнении с ёмкостью электрометра.
Измерение потенциала в данной точке в воздухе
221.Первый метод. Возьмём сферу, радиус которой мал по сравнению с расстоянием от электризованных проводников, и поместим её центр в данной точке. Соединим её тонкой проволокой с Землёй, затем изолируем её, поднесём к электрометру и определим полный заряд на сфере.
Тогда, если потенциал в данной точке равен 𝑉 а радиус сферы равен 𝑎, заряд на сфере будет -𝑉𝑎=𝑄, и если потенциал сферы при измерении электрометром, помещённым в комнату с заземлёнными стенками, равен 𝑉', то 𝑄'=𝑉'𝑎 причём 𝑉+𝑉'=0, или потенциал воздуха в точке, где был расположен центр сферы, равен по величине, но противоположен по знаку потенциала сферы, после того как она была заземлена, затем изолирована и внесена в комнату.
Этот метод применялся г-ном Дельманом из Кройцнаха при измерении потенциала на определённой высоте над поверхностью Земли.
Второй метод. Мы предположили, что сфера помещается в данной точке и вначале заземляется, а затем изолируется и переносится в пространство, окружённое проводящим веществом при нулевом потенциале.
Теперь рассмотрим тонкий изолированный провод, идущий от электрода электрометра к тому месту, где нужно измерить потенциал. Пусть сфера вначале будет полностью разряжена. Этого можно достигнуть, поместив её внутрь сосуда, сделанного из того же металла и почти полностью охватывающего сферу, и приведя её в соприкосновение с сосудом. Пусть теперь разряженная таким образом сфера переносится к концу провода и прикасается к нему. Поскольку сфера не электризована, она будет иметь потенциал воздуха в данной точке. Если провод, ведущий к электроду, имеет тот же самый потенциал, последний не изменится при контакте, но если потенциал электрода имеет другое значение, то после контакта со сферой он будет ближе к потенциалу воздуха, чем был до этого. Путём повторения таких операций, в которых сфера поочерёдно разряжается и приводится в контакт с электродом, потенциал этого электрода электрометра будет постепенно приближаться к потенциалу воздуха в данной точке.
