Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 34 страниц)
О потенциалах
Величина Ψ есть скалярная функция положения точки, и поэтому она не зависит от направлений отсчёта. Её называют Потенциальной Функцией; а про векторную величину с компонентами 𝑋, 𝑌, 𝑍 говорят, что она имеет потенциал Ψ, если
𝑋
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
,
𝑌
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
,
𝑍
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
.
Если потенциальная функция существует, то поверхности, на которых потенциал постоянен, называются Эквипотенциальными. В любой точке такой поверхности направление 𝑅 совпадает с нормалью к ней; если обозначить через 𝑛 нормаль в точке 𝑃 то 𝑅=-(𝑑Ψ/𝑑𝑛).
Метод представления составляющих вектора через первые производные по координатам от некоторой функции этих координат был предложен Лапласом 4 при разработке теории притяжений. Само название «Потенциал» впервые было дано этой функции Грином 5, который положил её в основу своего подхода к изучению электричества. Эта работа Грина осталась незамеченной математиками вплоть до 1846 года, а к тому времени большая часть содержащихся в ней важных теорем была уже переоткрыта Гауссом, Шалем (Chasles), Штурмом и Томсоном 6.
4Méc. Céleste, liv. III.
5 Essay on the Application of Mathematical Analisys to the Theories of Electricity and Magnetism, 1828. Reprinted in Crelle’s Journal and in Mr. Ferrers’ edition of Green’s Works.
6 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 483.
В теории тяготения потенциал берётся со знаком, противоположным тому, который используется здесь, и результирующая сила в каком-либо направлении тогда измеряется скоростью возрастания потенциальной функции в этом направлении. При изучении электричества и магнетизма потенциал определяется так, что результирующая сила в каком-либо направлении измеряется скоростью убывания потенциала в этом направлении. Такой способ использования выражения для потенциала приводит его в соответствие (по знаку) с потенциальной энергией, которая всегда убывает при перемещении тел в направлении действующих на них сил.
17. Геометрическая природа связи потенциала с вектором, вычисляемым через потенциал указанным способом, значительно проясняется благодаря открытию Гамильтоном выражения для оператора, при помощи которого вектор вычисляется из потенциала.
Как мы видели, составляющая вектора в каком-либо направлении равна взятой с обратным знаком первой производной от потенциала по координате в этом направлении.
Пусть 𝑖, 𝑗, 𝑘 – три единичных вектора, образующих между собой прямые углы, а 𝑋, 𝑌, 𝑍 – параллельные им составляющие вектора 𝔉 тогда
𝔉
=
𝑖𝑋
+
𝑗𝑌
+
𝑘𝑍
.
(1)
Согласно сказанному выше, если Ψ является потенциалом, то
𝔉
=-
⎛
⎜
⎝
𝑖
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑗
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑘
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
.
(2)
Используем теперь запись ∇ для оператора
𝑖
𝑑
𝑑𝑥
+
𝑗
𝑑
𝑑𝑦
+
𝑘
𝑑
𝑑𝑧
(3)
тогда
𝔉
=-
∇Ψ
.
(4)
Значок ∇ можно понимать как указание измерить скорость увеличения Ψ в каждом из трёх направлений прямоугольной системы координат и затем, считая найденные величины векторами, объединить их в единый вектор. Это и есть как раз то, что предписывается делать в соответствии с выражением (3). Но мы можем считать также, что это заставляет нас отыскать сначала направление наибыстрейшего увеличения а затем построить в этом направлении некоторый вектор, представляющий скорость такого возрастания.
Ламе в своём «Трактате об обратных функциях» (М. Lame, Traité des Fonctions Inverses) для выражения величины этой наибольшей скорости роста пользовался термином «дифференциальный параметр», однако ни сам этот термин, ни принятый Ламе способ употребления его не свидетельствуют о том, что данная величина характеризуется как направлением, так и модулем. В тех редких случаях, когда я должен буду обращаться к этому соотношению как к чисто геометрическому, я буду называть вектор 𝔉 пространственной вариацией скалярной функции Ψ, используя эти слова для того, чтобы отметить и направление, и величину наиболее быстрого убывания Ψ.
18. Есть, однако, такие случаи, когда условия
𝑑𝑍
𝑑𝑦
–
𝑑𝑌
𝑑𝑧
=0,
𝑑𝑋
𝑑𝑧
–
𝑑𝑍
𝑑𝑥
=0,
𝑑𝑌
𝑑𝑥
–
𝑑𝑋
𝑑𝑦
=0,
Являющиеся условиями того, что выражение 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 образует полный дифференциал, выполняются внутри некоторой области пространства, и, несмотря на это, линейный интеграл от 𝐴 до 𝑃 может быть различен для двух кривых, каждая из которых целиком лежит внутри данной области. Это может произойти в том случае, когда область имеет форму кольца, а две линии, соединяющие 𝐴 с 𝑃, проходят по противоположным сегментам этого кольца. В этом случае нельзя преобразовать непрерывным изменением один путь в другой без выхода за пределы этой области.
Здесь мы пришли к представлениям, относящимся к Геометрии Положения, топологии, предмет которой изучен ещё мало, хотя важность его была отмечена Лейбницем и наглядно пояснена Гауссом. Наиболее полное его рассмотрение дано Дж. Б. Листингом 7.
7Der Census Raümlicher Complexe, Gott. Abh., Bd. X, S. 97 (1861).
Пусть в пространстве имеется 𝑝 точек и проведено 𝑙 линий произвольной формы, соединяющих эти точки, причём никакие две линии не пересекаются друг с другом и ни одна точка не остаётся изолированной. Фигуру, составленную из линий таким способом, мы будем называть Диаграммой (графом). Для того чтобы образовать связанную систему, достаточно для соединения 𝑝 точек взять 𝑝-1 таких линий. Каждая новая линия завершит петлю или замкнутый путь, или, как мы будем называть его, Цикл. Таким образом, число независимых циклов в диаграмме равно ϰ=𝑙-𝑝+1.
Любой замкнутый путь, проведённый по линиям диаграммы, оказывается составленным из этих независимых циклов, каждый из которых берётся любое число раз в любом направлении.
Сам факт существования циклов называется Цикличностью (циклозисом – cyclosis), а число циклов в диаграмме – Индексом Цикличности (или цикломатическим числом – cyclomatic number).
Цикличность на поверхностях и в пространственных областях
Поверхности бывают либо полными, либо ограниченными. Полные поверхности либо бесконечны, либо замкнуты. Ограниченные поверхности ограничены одной или несколькими замкнутыми линиями, которые в предельных случаях вырождаются в сдвоенные конечные линии или в точки.
Конечная область пространства ограничена одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Одна из них является внешней поверхностью, остальные же, содержащиеся внутри неё, но не включающие в себя друг друга, называются внутренними поверхностями.
Если область имеет только одну ограничивающую поверхность, то можно считать, что она допускает сжатие вовнутрь без нарушения непрерывности или самопересечений. Если область обладает простой непрерывностью, как, например, сфера, то процесс сжатия может продолжаться до тех пор, пока область не стянется в точку; если область подобна кольцу, то в результате получится замкнутая кривая; если же область является многосвязной, то результатом её сжатия будет диаграмма линий, индекс цикличности которой равен индексу цикличности рассматриваемой области. Пространство вне рассматриваемой области характеризуется тем же индексом цикличности, что и сама эта область. Следовательно, если область ограничена наряду с внешней и внутренними поверхностями, её индекс цикличности равен сумме индексов, характеризующих все эти поверхности.
Когда некоторая область содержит внутри себя другие области, она называется многограничной, или Перифрактической (Periphractic region).
Число внутренних ограничивающих поверхностей у области называется порядком её перифрактичности. Замкнутая поверхность тоже является многограничной, её порядок перифрактичности равен единице.
Индекс цикличности замкнутой поверхности равен удвоенному индексу цикличности любой из областей, ограничиваемых ею. Для того чтобы найти индекс цикличности ограниченной поверхности, допустим, что все границы сжимаются вовнутрь без нарушения непрерывности до тех пор, пока не встретятся друг с другом. Тогда поверхность стянется либо в точку в случае ациклической поверхности, либо в линейный граф в случае циклических поверхностей. Индекс цикличности графа совпадает с индексом цикличности поверхности.
19.Теорема I. Если в некоторой ациклической области справедливо соотношение
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
–𝐷Ψ
то значение линейного интеграла, взятого от точки 𝐴 до точки 𝑃, будет одинаковым для любого пути внутри этой области.
Покажем сначала, что линейный интеграл, взятый по любому замкнутому пути в пределах области, равен нулю.
Пусть нанесены эквипотенциальные поверхности. Они либо замкнуты, либо полностью ограничены поверхностью области, так что замкнутая линия внутри этой области, если она пересекает какую-то из этих поверхностей на одном из участков своего пути, должна пересечь ту же самую поверхность в противоположном направлении на каком-то другом участке своего пути; поскольку соответствующие вклады в линейный интеграл окажутся одинаковыми по величине и противоположными по знаку, то полное его значение будет равно нулю.
Следовательно, если считать, что 𝐴𝑄𝑃 и 𝐴𝑄'𝑃 – два пути из 𝐴 в 𝑃 то линейный интеграл вдоль 𝐴𝑄'𝑃 равен сумме интеграла вдоль 𝐴𝑄𝑃 и интеграла по замкнутому пути 𝐴𝑄'𝑃𝑄𝐴. Но интеграл по замкнутому пути равен нулю, и поэтому интегралы по двум путям 𝐴𝑄𝑃 и 𝐴𝑄'𝑃 равны между собой.
Таким образом, если задать потенциал в какой-либо одной точке, принадлежащей этой области, то тем самым он будет определён и для любой другой точки.
20.Теорема II. Если всюду внутри циклической области справедливо уравнение
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
–𝐷Ψ
то линейный интеграл из точки 𝐴 в точку 𝑃, взятый вдоль линии, проведённой в пределах этой области, вообще говоря, не определён до тех пор, пока не установлен канал, по которому происходит связь между 𝐴 и 𝑃.
Пусть 𝑁 есть индекс цикличности области, тогда при помощи поверхностей (которые мы будем называть Диафрагмами) можно осуществить 𝑁 сечений области, запирающих 𝑁 каналов связи и сводящих тем самым данную область, не разрушая её непрерывности, к области, удовлетворяющей условию ацикличности.
Согласно последней теореме, линейный интеграл от 𝐴 до произвольной точки 𝑃, взятый вдоль линии, не пересекающей ни одну из этих диафрагм, будет иметь вполне определённое значение.
Возьмём теперь точки 𝐴 и 𝑃, сколь угодно близко расположенные друг к другу, но находящиеся на противоположных сторонах диафрагмы, и обозначим через 𝐾 линейный интеграл от 𝐴 до 𝑃.
Пусть 𝐴' и 𝑃' будут двумя другими точками, сколь угодно близкими друг к другу, расположенными на противоположных сторонах той же самой диафрагмы, а 𝐾' – линейный интеграл от 𝐴' до 𝑃'. Тогда 𝐾'=𝐾.
Действительно, если мы проведём две почти совпадающие линии 𝐴𝐴' и 𝑃𝑃', расположенные по разные стороны от диафрагмы, то линейные интегралы вдоль них будут равны между собой. Пусть каждый из этих интегралов есть 𝐿 тогда линейный интеграл 𝐾 взятый вдоль 𝐴'𝑃', окажется равным линейному интегралу, взятому вдоль 𝐴'𝐴+𝐴𝑃+𝑃𝑃' = -𝐿+𝐾+𝐿 = 𝐾, т.е. линейному интегралу вдоль 𝐴𝑃.
Следовательно, линейный интеграл по замкнутой кривой, проходящей сквозь одну диафрагму в определённом заданном направлении, равен некоторой постоянной величине 𝐾 называемой Циклической константой данного цикла.
Пусть внутри этой области проведена произвольная замкнутая кривая, пересекающая диафрагму первого цикла 𝑝 раз в положительном направлении и 𝑝' раз в отрицательном направлении, причём 𝑝-𝑝'=𝑛1. Тогда линейный интеграл вдоль этой замкнутой кривой будет равен 𝑛1𝐾1.
Аналогично линейный интеграл, взятый вдоль произвольной замкнутой кривой, будет равен
𝑛
1
𝐾
1
+
𝑛
2
𝐾
2
+…+
𝑛
𝑠
𝐾
𝑠
,
где 𝑛𝑠 представляет собой превышение числа положительных прохождений кривой через диафрагму 𝑆-го цикла над числом отрицательных.
Если две кривые таковы, что одна из них может быть преобразована в другую путём её непрерывного изменения без прохождения в какой бы то ни было момент времени любой части пространства, в котором условия существования потенциала не выполнены, то эти две кривые называются совместимыми. Те кривые, для которых это преобразование не может быть произведено, называются несовместимыми 8.
8 См. сэр У. Томсон «О вихревом движении», Trans.R. S. Edin., 1867-8. (Sir W. Thom-on «On Vortex Motion»).
Условие, состоящее в том, что выражение 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 является полным дифференциалом некоторой функции Ψ во всех точках внутри определённой области, возникает в целом ряде физических задач, где направленная величина и потенциал имеют различные физические истолкования.
В чисто кинематических задачах мы можем положить величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 составляющими смещения точки сплошного тела, начальные координаты которой равны 𝑥, 𝑦, 𝑧 тогда данное условие выражает тот факт, что эти смещения составляют невращательные деформации 9.
9 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 190(I).
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют собой составляющие скорости жидкости в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧, то данное условие означает, что движение жидкости невращательное.
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют собой составляющие силы в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧, то это условие означает, что работа, совершаемая над частицей при прохождении её из одной точки в другую, равна разности потенциалов в этих точках и что значение этой разности одинаково для всех совместимых путей между этими двумя точками.
О поверхностных интегралах
21. Пусть 𝑑𝑆 есть элемент поверхности, а ε – угол между нормалью к поверхности, проведённой в направлении положительной стороны поверхности, и направлением векторной величины 𝑅 тогда величина ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 называется поверхностным интегралом от 𝑅 по поверхности 𝑆.
Теорема III. Поверхностный интеграл от потока (плотности потока), втекающего внутрь замкнутой поверхности, может быть выражен через объёмный интеграл от его конвергенции, взятый по области, расположенной внутри этой поверхности (см. п. 25).
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 будут составляющие 𝑅, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали к поверхности, отсчитываемой наружу. Тогда поверхностный интеграл от 𝑅 по 𝑆 равен
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∬
𝑋𝑙𝑑𝑆
+
∬
𝑌𝑚𝑑𝑆
+
∬
𝑍𝑛𝑑𝑆
,
(1)
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 – это значения, взятые в точке на поверхности, а интегрирования распространены на всю поверхность.
Если поверхность замкнутая, то при заданных 𝑦 и 𝑧 координата 𝑥 должна иметь чётное количество значений, так как линия, параллельная 𝑥, должна входить в замкнутое пространство и выходить из него одинаковое число раз при условии, что она вообще пересекает поверхность.
При каждом входе 𝑙𝑑𝑆=-𝑑𝑦𝑑𝑧, а при каждом выходе 𝑙𝑑𝑆=𝑑𝑦𝑑𝑧.
Пусть некоторая точка, движущаяся из 𝑥=-∞ в 𝑥=+∞, первый раз входит в это пространство при 𝑥=𝑥1 а затем покидает его при 𝑥=𝑥2 и так далее; при этом значения 𝑋 в этих точках соответственно равны 𝑋1, 𝑋2, …; тогда
∬
𝑋𝑙𝑑𝑆
=-
∬
{
(𝑋
1
–𝑋
2
)
+
(𝑋
3
–𝑋
4
)
+…+
(𝑋
2𝑛-1
–𝑋
2𝑛
)
}
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(2)
Если 𝑋 является величиной непрерывной и не принимающей в интервале между 𝑥1 и 𝑥2 бесконечных значений, то
𝑋
2
–𝑋
1
=
𝑥2
∫
𝑥1
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
,
(3)
где интегрирование производится от первого до второго пересечения, а именно в пределах первого отрезка 𝑥 находящегося внутри замкнутой поверхности. Учитывая все отрезки, лежащие в пределах замкнутой поверхности, находим
∬
𝑋𝑙𝑑𝑆
=
∭
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(4)
Где двойное интегрирование ограничивается замкнутой поверхностью, а тройное интегрирование распространяется на всё охватываемое ею пространство. Следовательно, если 𝑋, 𝑌, 𝑍 непрерывны и конечны внутри замкнутой поверхности 𝑆, то полный поверхностный интеграл от 𝑅, взятый по этой поверхности, будет равен
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(5)
где тройное интегрирование распространено на всё пространство внутри 𝑆.
Предположим теперь, что величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 не являются непрерывными в пространстве, охватываемом замкнутой поверхностью, а на некоторой поверхности 𝐹{𝑥,𝑦,𝑧}=0 изменяются скачком от значений 𝑋, 𝑌, 𝑍 на отрицательной стороне этой поверхности до значений 𝑋', 𝑌', 𝑍' на её положительной стороне.
Если этот разрыв происходит, скажем, между 𝑥1 и 𝑥2 то значение 𝑋2-𝑋1 окажется равным
𝑥2
∫
𝑥1
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
(𝑋'-𝑋)
,
(6)
здесь в подынтегральном выражении следует рассматривать только конечные значения производной от 𝑋
Таким образом, в этом случае полный поверхностный интеграл от 𝑅 по замкнутой поверхности будет представляться выражением
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
∬
(𝑋'-𝑋)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
∬
(𝑌'-𝑌)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
∬
(𝑍'-𝑍)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
,
(7)
или, если через 𝑙', 𝑚', 𝑛' обозначить направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва, а через 𝑑𝑆' – элемент этой поверхности,
∬
𝑅 cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
∬
{
𝑙'(𝑋'-𝑋)
+
𝑚'(𝑌'-𝑌)
+
𝑛'(𝑍'-𝑍)
}
𝑑𝑆'
,
(8)
где интегрирование в последнем члене производится по поверхности разрыва.
Если в каждой точке, где 𝑋, 𝑌, 𝑍 непрерывны, справедливо уравнение
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
(9)
а на каждой поверхности, где они разрывны,-
𝑙'𝑋'
+
𝑚'𝑌'
+
𝑛'𝑍'
=
𝑙'𝑋
+
𝑚'𝑌
+
𝑛'𝑍
,
(10)
то поверхностный интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю и про распределение векторной величины говорят, что оно является Соленоидальным.
Мы будем ссылаться на уравнение (9) как на Общее условие соленоидальности, а на уравнение (10) – как на условие соленоидальности на поверхности.
22. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
(11)
выполнено в каждой точке внутри поверхности 𝑆. Отсюда следует, что поверхностный интеграл по замкнутой поверхности равен нулю.
Пусть теперь замкнутая поверхность 𝑆 состоит из трёх частей 𝑆1, 𝑆0, и 𝑆2, причём 𝑆1 – это поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутой кривой 𝐿1 a 𝑆0 – поверхность, образованная линиями, проведёнными из каждой точки кривой 𝐿1 всегда совпадающими по направлению с 𝑅. Если 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали в произвольной точке поверхности 𝑆0, то мы имеем
𝑅 cos ε
=
𝑋𝑙
+
𝑌𝑚
+
𝑍𝑛
=
0.
(12)
Следовательно, эта часть поверхности не даёт никакого вклада в значение поверхностного интеграла.
Пусть 𝑆2 будет другой поверхностью произвольной формы, ограниченной замкнутой кривой 𝐿2, по которой она пересекается с поверхностью 𝑆0
Обозначим через 𝑄1, 𝑄1, 𝑄2 поверхностные интегралы, взятые по поверхностям 𝑆1, 𝑆0 и 𝑆2, а через 𝑄 – поверхностный интеграл по замкнутой поверхности 𝑆; тогда
𝑄
=
𝑄
1
+
𝑄
0
+
𝑄
2
=
0,
(13)
но мы знаем, что
𝑄
0
=
0,
(14)
поэтому
𝑄
2
=
–𝑄
1
,
(15)
иными словами, поверхностный интеграл по поверхности 𝑆2 равен по величине и противоположен по знаку поверхностному интегралу по 𝑆1 независимо от формы и расположения 𝑆2 при условии, что промежуточная поверхность 𝑆0 является поверхностью, к которой направленная величина 𝑅 всегда тангенциальна.
Если предположить, что 𝐿1 есть замкнутая кривая, ограничивающая небольшую площадь, то 𝑆0 окажется трубчатой поверхностью, обладающей тем свойством, что поверхностный интеграл по любому полному сечению этой трубки одинаков.
Так как всё пространство может быть разделено на такого рода трубки, то при выполнении условия
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
(16)
распределение векторной величины, удовлетворяющей этому уравнению, называется Соленоидальным Распределением.
О трубках и линиях тока
Если пространство разделено на трубки таким образом, что поверхностный интеграл для каждой из них равен единице, то такие трубки называются единичными, а поверхностный интеграл по любой конечной поверхности 𝑆, ограниченной некоторой замкнутой кривой 𝐿, равен числу единичных трубок, проходящих сквозь 𝑆 в положительном направлении, или, что то же самое, числу единичных трубок, проходящих внутри замкнутой кривой 𝐿.
Следовательно, поверхностный интеграл по поверхности 𝑆 зависит только от формы её границы 𝐿, но не от формы самой поверхности в пределах той же её границы.
О многограничных областях
Если во всей области, ограниченной одной замкнутой поверхностью 𝑆, выполнено условие соленоидальности
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
то поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, проведённой внутри этой области, будет равен нулю, а поверхностный интеграл, взятый по ограниченной поверхности внутри этой области, будет зависеть только от формы той замкнутой кривой, которая образует границу этой поверхности.
В общем случае, однако, неправильно утверждать, что те же результаты сохраняются, если область, внутри которой удовлетворяется условие соленоидальности, ограничена иначе, нежели одной поверхностью.
Действительно, если она ограничена более чем одной непрерывной поверхностью, то одна из них является внешней, а остальные – внутренними, и область внутри поверхности 𝑆 оказывается многограничной, содержащей внутри себя другие области, полностью охватываемые 𝑆.
Предположим, что условие соленоидальности не удовлетворяется внутри одной из этих охватываемых областей, скажем, внутри области, ограниченной поверхностью 𝑆1, и поверхностный интеграл по поверхности, охватывающей эту область, равен 𝑄1=∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆1 пусть 𝑄2, 𝑄3, … являются соответствующими величинами для других областей, охватываемых поверхностями 𝑆2, 𝑆3, ….
Тогда, если внутри области 𝑆 провести некоторую замкнутую поверхность 𝑆', то значение поверхностного интеграла на ней будет равно нулю только в том случае, когда эта поверхность не содержит внутри себя ни одну из областей, охватываемых поверхностями 𝑆2, 𝑆3, …. Если же она включает какие-то из них, то соответствующий поверхностный интеграл равен сумме поверхностных интегралов по поверхностям различных охватываемых областей, лежащих внутри 𝑆'.
По этой же самой причине поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной замкнутой кривой, будет иметь одинаковое значение только для таких поверхностей (ограниченных той же замкнутой кривой), которые допускают совмещение с данной поверхностью путём непрерывного изменения поверхности в пределах области, охватываемой 𝑆.
Если нам предстоит работать с многограничной областью, то первым делом следует свести её к однограничной путём проведения линий 𝐿1, 𝐿2, …, соединяющих внутренние поверхности 𝑆1, 𝑆2, …, с внешней поверхностью 𝑆. Каждая из этих линий при условии, что она соединяет поверхности, ранее не связанные непрерывным соединением, сокращает порядок перифрактичности на единицу, так что полное число линий, которые необходимо нанести для устранения многограничности, равно порядку перифрактичности, или числу внутренних поверхностей. При нанесении этих линий мы обязаны помнить, что любая линия, соединяющая ранее уже соединённые поверхности, не уменьшает перифрактичности, а вводит цикличность. Когда эти линии проведены, можно утверждать, что при удовлетворении условия соленоидальности внутри 𝑆 поверхностный интеграл, взятый по любой замкнутой поверхности, лежащей внутри 𝑆, но не пересекающей ни одной из этих линий, равен нулю. Если же она пересекает какую-то линию, скажем, 𝐿1, один или нечётное число раз, то она охватывает поверхность 𝑆1, и соответствующий поверхностный интеграл равен 𝑄1.
Наиболее знакомым примером многограничной области, где удовлетворяются условия соленоидальности, является область, окружающая массу, которая притягивает или отталкивает с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.
В этом случае мы имеем
𝑋
=
𝑚
𝑥
𝑟³
,
𝑌
=
𝑚
𝑦
𝑟³
,
𝑍
=
𝑚
𝑧
𝑟³
,
где масса 𝑚 предполагается расположенной в начале координат.
В любой точке, где расстояние 𝑟 конечно,
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
0,
но в начале координат эти величины становятся бесконечными. Для любой замкнутой поверхности, не содержащей внутри себя начала координат, поверхностный интеграл равен нулю. Если же она содержит внутри начало координат, то поверхностный интеграл по ней равен 4π𝑚
Если по какой-то причине мы захотим рассматривать область вокруг 𝑚 не как многограничную, то тогда должны провести линию из 𝑚 до бесконечности и при взятии поверхностного интеграла помнить, что нужно прибавлять 4π𝑚 всякий раз, когда эта линия пересекает поверхность от её отрицательной стороны к положительной.
О правовинтовых и левовинтовых соотношениях в пространстве
23. В настоящем трактате поступательное движение вдоль какой-либо оси и вращательное движение вокруг этой же оси будут считаться движениями одного и того же знака при условии, что их направления соответствуют направлениям поступательного перемещения и вращения обычного, т. е. правого винта 10.
10 Совместное действие мышц руки, когда мы, поворачивая тыльной стороной правую ладонь наружу, одновременно проталкиваем руку вперёд, оставляет в памяти более прочный отпечаток характера правовинтового движения, чем какое-либо словесное определение. Обычно употребляемый пробочный штопор тоже может служить материальным образом этих же самых соотношений.
Профессор У. X. Миллер (W. Н. Miller) подсказал мне, что усики у виноградной лозы закручиваются по правому винту, а у хмеля – по левому; таким образом, системы соотношений в пространстве могли бы быть названы соответственно системой виноградных соотношений и хмелёвых соотношений.
Принимаемая нами виноградная система – это система Линнея (Linnaeus); ею пользуются изготовители винтов во всех цивилизованных странах, кроме Японии. Де Кандолле был первым, назвавшим хмелевую лозу правосторонней, в этом ему последовали Листинг и большинство авторов, писавших о круговой поляризации света. Винты, подобные усикам хмелёвой лозы, применяются для сцепления железнодорожных вагонов, а также для прикрепления колёс с левой стороны обычных экипажей, и они всегда называются левыми винтами всеми, кто ими пользуется.
Так, например, если принять действительное вращение Земли с запада на восток за положительное, то и направление земной оси с юга на север также будет взято за положительное; и если человек идёт вперёд в положительном направлении, то положительное вращение происходит в таком порядке: голова, правая рука, ноги, левая рука.
Если мы поместим себя на положительную сторону некоторой поверхности, то положительное направление вдоль ограничивающей эту поверхность кривой окажется противоположным движению стрелок часов, циферблат которых обращён к нам.
Это и есть та самая правая (правосторонняя) система отсчёта, которая принята Томсоном и Тэтом в их книге «Натуральная философия» (Natural Philosophy), а также в книге Тэта «Кватернионы» (Quaternions). Противоположная ей левая (левосторонняя) система отсчёта принята в гамильтоновых «Кватернионах» (Lectures, р. 76, and Elements, р. 108, and р. 117 note). Операция перехода от одной системы к другой названа Листингом Перверсией – обращением, зеркальным отражением.
Отражение какого-либо предмета в зеркале является его обращённым изображением.
Используя Декартовы оси координат 𝑥, 𝑦, 𝑧, мы будем изображать их так, чтобы общепринятая договорённость о циклическом порядке расположения символов приводила к правой системе отсчёта направлений в пространстве. Так, если ось 𝑥 проведена смотрящей на восток, а ось 𝑦 – на север, то ось 𝑧 должна быть проведена вертикально вверх.
Площади поверхностей будут браться с положительным знаком в том случае, когда порядок интегрирования совпадает с циклическим порядком расстановки символов. Так, площадь на плоскости 𝑥𝑦 расположенная внутри некоторой замкнутой кривой, может быть записана либо ∫𝑥𝑑𝑦 либо – ∫𝑦𝑑𝑥; в первом выражении порядок интегрирования есть 𝑥, 𝑦 во втором – 𝑦, 𝑥.
Это соотношение между двумя произведениями 𝑑𝑥 𝑑𝑦 и 𝑑𝑦 𝑑𝑥 можно сравнить с правилом умножения двух перпендикулярных векторов в теории кватернионов, где знак произведения определяется порядком умножения; его можно сравнить также с изменением знака детерминанта, происходящим при перестановке местами соседних строчек или столбцов.
По таким же причинам объёмный интеграл должен считаться положительным, когда порядок интегрирования совпадает с циклической расстановкой переменных 𝑥, 𝑦, 𝑧 и отрицательным при обращённом порядке цикличности.
Перейдём теперь к доказательству теоремы, полезной для установления связи между поверхностным интегралом, взятым по некоторой конечной поверхности, и линейным интегралом, взятым вдоль её границы.
24.Теорема IV.Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, может быть выражен через поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной этой кривой.
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 будут составляющие той векторной величины 𝔄, линейный интеграл от которой должен быть взят по замкнутой кривой 𝑠.
Пусть произвольная непрерывная поверхность 𝑆 целиком ограничена замкнутой кривой 𝑠, а составляющие ξ, η, ζ другой векторной величины 𝔅 связаны с составляющими 𝑋, 𝑌, 𝑍 уравнениями
ξ
=
𝑑𝑍
𝑑𝑦
–
𝑑𝑌
𝑑𝑧
,
η
=
𝑑𝑋
𝑑𝑧
–
𝑑𝑍
𝑑𝑥
,
ζ
=
𝑑𝑌
𝑑𝑥
–
𝑑𝑋
𝑑𝑦
.
(1)
Тогда поверхностный интеграл от 𝔅, взятый по поверхности 𝑆, равен линейному интегралу от 𝔄, взятому вдоль кривой 𝑠. Очевидно, что сами составляющие 𝑋, 𝑌, 𝑍 удовлетворяют условию соленоидальности.
Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 будут направляющими косинусами нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда величина поверхностного интеграла от 𝔅 может быть записана так:
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
.
(2)
Для того чтобы придать элементу 𝑑𝑆 определённый смысл, предположим, что в каждой точке поверхности значения координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 заданы как функции двух независимых переменных α и β. Если β постоянна, а α изменяется, точка (𝑥, 𝑦, 𝑧) будет описывать некоторую кривую на поверхности, и если перебрать целый ряд значений β, то будет прочерчена серия таких кривых, полностью лежащих на поверхности 𝑆. Подобным же образом, перебирая последовательность постоянных α, можно нанести вторую серию кривых, пересекающихся с кривыми первой серии и разделяющих всю поверхность на элементарные участки, любой из которых может быть взят за элемент 𝑑𝑆.
Проекция этого элемента на плоскость 𝑦𝑧 согласно обычным формулам, равна
𝑙𝑑𝑆
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦
𝑑α
𝑑𝑧
𝑑β
–
𝑑𝑦
𝑑β
𝑑𝑧
𝑑α
⎞
⎟
⎠
𝑑β
𝑑α
.
(3)
Выражения для 𝑚𝑑𝑆 и 𝑛𝑑𝑆 получаются отсюда путём перестановки 𝑥, 𝑦, 𝑧 в циклическом порядке.
Поверхностный интеграл, который мы должны найти, есть
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
,
(4)
или, выражая ξ, η, ζ через 𝑋, 𝑌, 𝑍
∬
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑑𝑋
𝑑𝑧
–𝑛
𝑑𝑋
𝑑𝑦
+𝑛
𝑑𝑌
𝑑𝑥
–𝑙
𝑑𝑌
𝑑𝑧
+𝑙
𝑑𝑍
𝑑𝑦
–𝑚
𝑑𝑍
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
.
(5)
Часть этого интеграла, зависящая от 𝑋, может быть записана так:
∬
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑋
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑧
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
–
𝑑𝑧
𝑑β
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠
–
𝑑𝑋
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑α
𝑑𝑦
𝑑β
–
𝑑𝑥
𝑑β
𝑑𝑦
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑β
𝑑α
.
(6)
После добавления и вычитания величины
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
это выражение становится таким:
∬
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑥
𝑑β
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑α
+
𝑑𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑α
+
𝑑𝑋
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑α
⎞
⎟
⎠
–
-
𝑑𝑥
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑β
+
𝑑𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑β
+
𝑑𝑋
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑β
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑β
𝑑α
;
(7)
=
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
–
𝑑𝑋
𝑑β
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠
𝑑β
𝑑α
.
(8)
Предположим теперь, что кривые постоянных α образуют семейство замкнутых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой α принимает своё минимальное значение, равное α0; пусть последняя кривая этого семейства, для которой α=α1 совпадает с замкнутой кривой 𝑠.
