Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 34 страниц)

Предельные формы

1. При β=0 поверхность является частью плоскости 𝑥𝑧, заключённой между двумя ветвями гиперболы, уравнение которой (24) написано выше.

2. При β=-𝐹(𝑘') поверхность является частью плоскости 𝑥𝑦, находящейся вне фокального эллипса, уравнение которого

𝑥²

𝑎²

–

𝑦²

𝑐²-𝑏²

=

1.

(25)

Эллипсоиды

Для каждого заданного эллипсоида γ постоянно. Если два эллипсоида γ₁ и γ₂ поддерживаются при потенциалах 𝑉₁ и 𝑉₂ то для произвольной точки γ между ними

𝑉

=

γ₁𝑉₂-γ₂𝑉₁+γ(𝑉₁-𝑉₂)

γ₁-γ₂

.

(26)

Поверхностная плотность заряда в произвольной точке равна

σ

=

–

1

4π

𝑉₁-𝑉₂

γ₁-γ₂

𝑐𝑝₂

𝑃₃

,

(27)

где 𝑝₂ – перпендикуляр из центра к касательной плоскости, а 𝑃₂ – произведение полуосей.

Полный электрический заряд на каждой поверхности даётся соотношением

𝑄

₂

=

𝑐

𝑉₁-𝑉₂

γ₁-γ₂

=

–

𝑄

₁

(28)

и конечен.

При γ=𝐹(𝑘) поверхность эллипсоида уходит в бесконечность по всем направлениям.

Если положить 𝑉₂=0, a γ₂=𝐹(𝑘), мы получим для электрического заряда на эллипсоиде γ находящемся под потенциалом 𝑉 в безгранично простирающемся поле, выражение

𝑄

=

𝑐

𝑉

𝐹(𝑘)-γ

.

(29)

Предельная форма для эллипсоидов получается при γ=0 когда поверхность превращается в часть плоскости 𝑥𝑦 внутри фокального эллипса, уравнение которого (25) написано выше.

Поверхностная плотность заряда по обе стороны эллиптической пластинки с уравнением (25) и эксцентриситетом 𝑘 равна

σ

=

𝑉

⋅

1

⋅

1

,

4π√

𝑐²-𝑏²

𝐹(𝑘)

⎛

⎝

1

–

𝑥²

𝑐²

–

𝑦²

𝑐²-𝑏²

⎞

⎠

½

(30)

а заряд её равен

𝑄

=

𝑐

𝑉

𝐹(𝑘)

.

(31)

Частные случаи

151. Если 𝑐 остаётся конечным, в то время как 𝑏 а следовательно, и 𝑘 неограниченно уменьшаются, принимая в конце концов нулевое значение, система поверхностей преобразуется следующим образом:

Действительная ось и одна из мнимых осей каждого двухполостного гиперболоида неограниченно уменьшаются, а сама поверхность в конце концов переходит в две плоскости, пересекающиеся по оси 𝑧.

Величина а совпадает с θ, и уравнение системы меридиональных плоскостей, к которым свелись гиперболоиды, имеет вид

𝑥²

(sin α)²

–

𝑦²

(cos α)²

=

0.

(32)

Что касается величины β, то определение (7) в п. 147 привело бы нас к бесконечному значению интеграла на нижнем пределе. Чтобы избежать этого, определим β в этом частном случае интегралом

𝑐

∫

λ₂

𝑐𝑑λ₂

λ₂ √𝑐²-λ₂²

.

Положив теперь λ₂=𝑐 sin φ, получим для β

π/2

∫

φ

𝑑φ

sin φ

, т.е. ln ctg

φ

2

,

откуда

cos φ

=

𝑒^β-𝑒^-β

𝑒^β+𝑒^-β

,

(33)

и, следовательно,

sin φ

=

2

𝑒^β+𝑒^-β

.

(34)

Если мы назовём экспоненциальную функцию (𝑒^β+𝑒^-β)/2 гиперболическим косинусом или, короче, гипокосинусом β и обозначим через ch β, а функцию (𝑒^β-𝑒^-β)/2 назовём гипосинусом β и обозначим sh β и введём таким же образом функции, аналогичные другим простым тригонометрическим функциям, то получим, что λ₂=𝑐 sch β, а уравнение для системы однополостных гиперболоидов имеет вид

𝑥²+𝑦²

(sch β)²

–

𝑧²

(th β)²

=

𝑐².

(35)

Величина γ сводится к ψ, так что λ₃=𝑐 sec γ и уравнение для системы эллипсоидов имеет вид

𝑥²+𝑦²

(sec γ)²

–

𝑧²

(tg γ)²

=

𝑐².

(36)

Такого рода эллипсоиды представляют собою тела вращения относительно своих сопряжённых осей и называются планетарными эллипсоидами.

Количество электричества на планетарном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно

𝑄

=

𝑐

𝑉

½π-γ

,

(37)

где 𝑐 sec γ – экваториальный радиус, а 𝑐 tg γ – полярный радиус.

При γ=0 фигура становится круговым диском радиуса 𝑐 и

σ

=

𝑉

2π² √𝑐²-𝑟²

,

(38)

𝑄

=

𝑐

𝑉

½π

,

(39)

152.Второй случай. Пусть 𝑏=𝑐, тогда 𝑘=1, 𝑘'=0,

α

=

ln tg

π+2θ

4

, откуда

λ

₁

=

𝑐 th α

,

(40)

и уравнение двухполостных гиперболоидов вращения принимает вид

𝑥²

(th α)²

–

𝑦²+𝑧²

(sch α)²

=

𝑐²

.

(41)

Величина β переходит в φ, а каждый однополостный гиперболоид сводится к паре плоскостей, пересекающихся по оси 𝑥, уравнение которых

𝑦²

(sin β)²

–

𝑧²

(cos β)²

=

0.

(42)

Это система меридиональных плоскостей, для которых β служит координатой долготы.

Величина γ, определяемая формулой (7) (п. 147), становится в этом случае бесконечной на нижнем пределе. Чтоб избежать этого, определим γ интегралом

∞

∫

λ₃

𝑐𝑑λ₃

λ₃²-𝑐²

.

Положив теперь λ₃=𝑐 sec ψ, получим

γ

=

π/2

∫

ψ

𝑑ψ

sin ψ

,

откуда λ₃=𝑐 sec ψ и уравнение семейства эллипсоидов принимает вид

𝑥²

(cth α)²

–

𝑦²+𝑧²

(ssh α)²

=

𝑐²

.

(43)

Эти эллипсоиды вращения, для которых осью вращения является поперечная ось, называются яйцеобразными эллипсоидами.

Количество электричества на яйцеобразном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно в этом случае, согласно (29),

𝑐𝑉

⎛

⎜

⎝

π/2

∫

ψ₀

𝑐ψ

sin ψ

⎞-1

⎟

⎠

,

(44)

где 𝑐 sec ψ₀ – полярный радиус.

Если обозначить полярный радиус через 𝐴, а экваториальный – через 𝐵, последняя формула запишется в виде

𝑉

=

√

𝐴²-𝐵²

.

ln

𝐴+√

𝐴²-𝐵²

𝐵

(45)

Если экваториальный радиус много меньше полярного, как в случае провода с закруглёнными концами, то

𝑄

=

𝐴𝑉

ln 2𝐴-ln 𝐵

.

(46)

Если и 𝑏, и 𝑐 стремятся к нулю, а их отношение остаётся постоянным, то система поверхностей переходит в две системы конфокальных конусов и систему сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ.

Если отношение 𝑏 к 𝑐 равно нулю или единице, то система поверхностей превращается в систему меридиональных плоскостей, систему круговых конусов с общей осью и систему концентрических сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ. Это обычная система сферических полярных координат.

Цилиндрические поверхности

153. При бесконечно большом значении 𝑐 поверхности становятся цилиндрическими с образующими, параллельными оси 𝑧. Одна система цилиндров является гиперболической, а именно та, в которую вырождаются двухполостные гиперболоиды. Когда 𝑐 бесконечно велико, 𝑘=0, и, следовательно, θ=α, так что уравнение этой системы имеет вид

𝑥²

sin²α

–

𝑦²

cos²α

=

𝑏²

.

(47)

Другая система цилиндров – эллиптическая, и поскольку 𝑘=0, то β равно

λ₂

_∫

0

𝑑λ₂

√λ₂²-𝑏² 

, т.е.

λ

₂

=

𝑏 ch β

,

и уравнение этой системы имеет вид

𝑥²

(ch β)²

–

𝑦²

(sh β)²

=

𝑏²

.

(48)

Эти две системы поверхностей показаны на рис. X в конце этого тома.

Конфокальные параболоиды

154. Если в общих уравнениях перенести начало координат в точку на оси 𝑥, находящуюся на расстоянии 𝑡 от центра системы, и подставить вместо 𝑥, λ, 𝑎 и 𝑏 соответственно величины 𝑡+𝑥, 𝑡+λ, 𝑡+𝑎 и 𝑡+𝑏 а затем неограниченно увеличивать 𝑡, то мы получим в пределе уравнение системы параболоидов с фокусами в точках 𝑥=𝑏 и 𝑥=𝑐 т.е. уравнение

4(𝑥-λ)

+

𝑦²

λ-𝑏

+

𝑧²

λ-𝑐

=

0.

(49)

Если обозначить переменный параметр для первой системы эллиптических параболоидов через λ, для системы гиперболических параболоидов – через μ и для второй системы эллиптических параболоидов – через ν, то λ, 𝑏, μ, 𝑐, ν будут расположены в порядке нарастания величины и имеют место соотношения

𝑥

=

λ+μ+ν-𝑐-𝑏

,

𝑦²

=

4

(𝑏-λ)(μ-𝑏)(ν-𝑏)

𝑐-𝑏

𝑧²

=

4

(𝑐-λ)(𝑐-μ)(ν-𝑐)

𝑐-𝑏

(50)

Чтобы избежать бесконечных значений в интегралах (7) для параболической системы, соответствующие интегралы берутся в других пределах.

В этом случае полагают

α

=

𝑏

∫

λ

𝑑λ

√(𝑏-λ)(𝑐-λ) 

,

β

=

μ

∫

𝑏

𝑑μ

√(μ-𝑏)(𝑐-μ) 

,

γ

=

ν

∫

𝑐

𝑑ν

√(ν-𝑏)(ν-𝑐) 

,

откуда

λ

=

½[

(𝑐+𝑏)

–

(𝑐+𝑏)

ch α

],

μ

=

½[

(𝑐+𝑏)

–

(𝑐+𝑏)

cos β

],

ν

=

½[

(𝑐+𝑏)

+

(𝑐+𝑏)

ch γ

];

(51)

𝑥

=

½(𝑐+𝑏)

+

½(𝑐-𝑏)(ch γ-cos β-ch α)

𝑦

=

2(𝑐-𝑏)

+

sh

α

2

sin

β

2

ch

γ

2

,

𝑧

=

2(𝑐-𝑏)

+

ch

α

2

cos

β

2

sh

γ

2

,

(52)

При 𝑏=𝑐 мы имеем случай параболоидов вращения вокруг оси 𝑥 и

𝑥

=

𝑎(𝑒

^2α

–𝑒

^2γ

)

,

𝑦

=

2𝑎𝑒

^α+γ

cos β

,

𝑧

=

2𝑎𝑒

^α+γ

sin β

.

(53)

Поверхности, для которых постоянно β представляют собой плоскости, проходящие через ось, а β – угол, образуемый такой плоскостью с некоторой фиксированной плоскостью, проходящей через ось.

Поверхности, для которых постоянно α, представляют собой конфокальные параболоиды. При α=-∞ параболоид вырождается в прямую, заканчивающуюся в начале координат.

Значения α, β, γ можно выразить через 𝑟, θ, φ – сферические Полярные координаты с началом координат в фокусе и осью θ, совпадающей с осью параболоидов:

α

=

ln(𝑟

^½

cos½θ)

,

β

=

φ,

γ

=

ln(𝑟

^½

sin½θ)

.

(54)

Случай, когда потенциал равен α, можно сравнить с пространственной зональной гармоникой 𝑟^𝑖𝑃_𝑖. Оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа и являются однородными функциями от 𝑥, 𝑦, 𝑧, но в случае параболоида на оси имеется разрыв, так как α изменяется при замене θ на θ+2π.

Поверхностная плотность заряда на заряженном параболоиде в безграничном поле (в том числе на полубесконечной прямой) обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния от фокуса, или, в случае прямой, расстояния от её конца.

ГЛАВА XI

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ИНВЕРСИЯ

155. Мы уже показали, что для проводящей сферы, находящейся под действием заданного распределения заряда, можно найти распределение заряда на её поверхности методом сферических гармоник.

Для этого нужно разложить потенциал воздействующей системы в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с центром вначале координат, после чего находится соответствующий ряд пространственных гармоник отрицательной степени, описывающий потенциал, обусловленный распределением электричества на сфере.

С помощью этого весьма мощного метода анализа Пуассон нашёл распределение электричества на сфере под влиянием заданной электрической системы и решил даже более сложную задачу нахождения распределения электричества на двух проводящих сферах, влияющих друг на друга. Эти исследования были существенно продолжены Плана и другими, подтвердившими точность расчётов Пуассона.

Применяя этот метод к наиболее простому случаю сферы, находящейся под действием единичного точечного заряда, мы должны разложить потенциал точечного заряда в ряд по пространственным гармоникам и найти второй ряд пространственных гармоник, описывающий потенциал вне сферы, создаваемый электризацией сферы.

По-видимому, никто из этих математиков не обнаружил, что этот второй ряд даёт выражение для потенциала, создаваемого некоторым воображаемым точечным зарядом, который не существует физически как точечный заряд, но может быть назван электрическим изображением, потому что во внешних точках действие поверхности совпадает с действием, которое производил бы воображаемый точечный заряд, если бы эта поверхность была удалена.

Это открытие как бы приберегалось для сэра У. Томсона, развившего его в мощный метод решения электрических задач, допускающих в то же время представление в элементарной геометрической форме.

Его первоначальные исследования, содержащиеся в Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 1848, изложены в духе обычной теории действия на расстоянии и совершенно не используют метода потенциалов и общих теорем главы IV, хотя сами результаты, вероятно, были открыты этими методами. Но я, вместо того чтобы следовать методу автора, буду свободно пользоваться идеей потенциала и эквипотенциальных поверхностей всюду, где это способствует ясности изложения.

Теория электрических изображений

Рис. 7

156. Пусть 𝐴 и 𝐵 на рис. 7 изображают две точки в однородной бесконечной диэлектрической среде. Пусть заряды в точках 𝐴 и 𝐵 равны соответственно 𝑒₁ и 𝑒₂. Пусть далее 𝑃 – произвольная точка пространства, расстояния которой до 𝐴 и 𝐵 равны соответственно 𝑟₁ и 𝑟₂. Тогда потенциал в точке 𝑃 равен

𝑉

=

𝑒₁

𝑟₁

+

𝑒₂

𝑟₂

.

(1)

Эквипотенциальные поверхности для такого распределения зарядов показаны на рис. I (в конце этого тома) для 𝑒₁ и 𝑒₂ одного знака и на рис. II для зарядов противоположного знака. Рассмотрим теперь ту поверхность, на которой 𝑉=0 и которая является единственной сферической поверхностью в системе. Если 𝑒₁ и 𝑒₂ одного знака, то эта поверхность находится вся в бесконечности, если же знаки зарядов противоположны, то существует плоскость или сферическая поверхность на конечном расстоянии, на которой потенциал равен нулю.

Уравнение этой поверхности имеет вид

𝑒₁

𝑟₁

+

𝑒₂

𝑟₂

=

0.

(2)

Центр её находится в точке 𝐶 на продолжении отрезка 𝐴𝐵, для которого

𝐴𝐶

𝐵𝐶

=

𝑒₁²

𝑒₂²

,

а радиус сферы равен

𝐴𝐵

𝑒₁𝑒₂

𝑒₁²𝑒₂²

.

Точки 𝐴 и 𝐵 являются инверсными по отношению к этой сфере, т. е. они лежат на одном и том же радиусе, и радиус сферы является средним геометрическим между их расстояниями от её центра.

Поскольку сферическая поверхность находится под нулевым потенциалом, то если предположить, что она представляет собой тонкую металлическую оболочку, соединённую с землёй, не произойдёт никакого изменения потенциала ни в одной точке ни вне, ни внутри сферы, т. е. всюду электрическое действие останется таким же, как от двух точечных зарядов 𝐴 и 𝐵.

Если теперь, сохраняя заземление металлической оболочки, убрать заряд 𝐵, то потенциал внутри сферы станет всюду равным нулю, а вне сферы останется неизменным,так как поверхность сферы остаётся по-прежнему при том же потенциале и не происходит никакого изменения в распределении электричества вне сферы.

Таким образом, при помещении электрического заряда 𝐴 вне сферического проводника, находящегося под нулевым потенциалом, электрическое действие во всех точках вне сферы точно такое же, как от совместного действия заряда 𝐴 и другого заряда 𝐵 внутри сферы, который можно назвать электрическим изображением заряда 𝐴.

Таким же способом можно показать, что если 𝐵 – точечный заряд внутри сферической оболочки, то его действие внутри сферы точно такое, как действие двух зарядов – заряда 𝐵 и его изображения 𝐴.

157.Определение электрического изображения. Электрическим изображением называется точечный зарядили система зарядов, расположенные по одну сторону поверхности, которые на другой стороне этой поверхности вызвали бы такое же электрическое действие, какое в действительности вызывает истинное распределение заряда по поверхности.

В оптике точка или система точек по одну сторону от зеркала или линзы, которые испускали бы такую систему лучей, какая существует в действительности по другую сторону линзы, называется мнимым (virtual) изображением.

Электрические изображения соответствуют мнимым изображениям в оптике в дом смысле, что они находятся в пространстве по другую сторону поверхности. Но они не соответствуют им ни по своему действительному положению, ни в том отношении, что оптические фокусы имеют лишь приближённый характер.

Не существует действительных электрических изображений, т. е. таких воображаемых точечных зарядов, которые создали бы с той же стороны от заряженной поверхности действие, эквивалентное действию заряженной поверхности.

Действительно, если потенциал в какой-либо области пространства равен потенциалу, вызываемому определённым распределением заряда в той же области, то он и должен в действительности создаваться этим распределением заряда, так как заряд в любой точке может быть найден по потенциалу вблизи этой точки с помощью уравнения Пуассона.

Пусть 𝑎 – радиус сферы, ƒ – расстояние точечного заряда 𝐴 от центра сферы 𝐶, 𝑒 – заряд в точке 𝐴.

Тогда изображением является точка 𝐵, расположенная на том же радиусе сферы на расстоянии 𝑎²/ƒ от центра, и заряд изображения равен -𝑒𝑎/ƒ [см.рис. 7].

Мы показали, что это изображение вызовет по другую сторону поверхности такой же эффект, что и истинная электризация поверхности. Определим теперь поверхностную плотность этой электризации в произвольной точке 𝑃 сферической поверхности. Для этого мы используем теорему Кулона, п. 80, о том, что если 𝑅 – результирующая сила у поверхности проводника, а σ – поверхностная плотность, то 𝑅=4πσ где 𝑅 отсчитывается наружу.

Силу 𝑅 можно рассматривать как результирующую двух сил: отталкивания 𝑒/(𝐴𝑃²), действующего вдоль 𝐴𝑃, и притяжения 𝑒⋅(𝐴/ƒ)⋅[1/(𝐴𝑃²)], действующего вдоль 𝐵𝑃.

Разлагая эти силы по направлениям 𝐴𝐶 и 𝐶𝑃 получим, что отталкивание имеет составляющие 𝑒ƒ/(𝐴𝑃³) по 𝐴𝐶 и 𝑒𝑎/(𝐴𝑃³) по 𝐶𝑃, а притяжение -(𝑒𝑎/ƒ)⋅[1/(𝐵𝑃³)]⋅𝐵𝐶 по 𝐴𝐶 и -𝑒(𝑎²/ƒ)⋅[1/(𝐵𝑃³)] по 𝐶𝑃.

Но 𝐵𝑃=(𝑎/ƒ)⋅𝐴𝑃, a 𝐵𝐶=(𝑎²/ƒ), так что составляющие притяжения можно записать в виде -𝑒ƒ⋅[1/(𝐴𝑃³)] по 𝐴𝐶 и -𝑒(ƒ²/𝑎)⋅[1/(𝐴𝑃³)] по 𝐶𝑃.

Составляющие притяжения и отталкивания по 𝐴𝐶 равны и противоположны по знаку, так что результирующая сила направлена полностью по радиусу 𝐶𝑃. Это лишь подтверждает уже доказанное нами утверждение, что сфера является эквипотенциальной поверхностью, т. е. поверхностью к которой сила всегда перпендикулярна.

Составляющая результирующей силы вдоль 𝐶𝑃, т.е. нормали к поверхности в ту сторону, где расположен заряд 𝐴 равна

𝑅

=

–𝑒

ƒ²-𝑎²

𝑎

⋅

1

𝐴𝑃³

.

(3)

Если считать 𝐴 расположенным внутри сферы, то ƒ меньше 𝑎 и силу 𝑅 следует отсчитывать внутрь. В этом случае

𝑅

=

–𝑒

𝑎²-ƒ²

𝑎

⋅

1

𝐴𝑃³

.

(4)

Во всех случаях можно написать

𝑅

=

–𝑒

𝐴𝐷⋅𝐴𝑑

𝐶𝑃

⋅

1

𝐴𝑃³

,

(5)

где 𝐴𝐷 и 𝐴𝑑 – отрезки любой прямой, проходящей через точку 𝐴 и пересекающей сферу, а их произведение считается положительным во всех случаях.

158. Отсюда следует, что, согласно теореме Кулона из п. 80, поверхностная плотность в точке 𝑃 равна

σ

=

–𝑒

𝐴𝐷⋅𝐴𝑑

4π⋅𝐶𝑃

⋅

1

𝐴𝑃³

,

(6)

Плотность электричества в произвольной точке сферы меняется обратно пропорционально кубу расстояния от точки 𝐴.

Это поверхностное распределение электричества вместе с точечным зарядом 𝐴 создаёт по ту же сторону поверхности, где находится точка 𝐴, потенциал, эквивалентный потенциалу заряда 𝑒 в точке 𝐴 и его изображения -𝑒𝑎/ƒ в точке 𝐵, а по другую сторону поверхности потенциал всюду равен нулю. Поэтому само поверхностное распределение заряда создаёт со стороны заряда 𝑒 потенциал, эквивалентный потенциалу изображения -𝑒𝑎/ƒ в точке 𝐵, а с противоположной стороны – потенциал, равный, но противоположный по знаку потенциалу заряда 𝑒 находящегося в точке 𝐴.

Полный заряд на поверхности сферы равен, очевидно, -𝑒𝑎/ƒ так как он эквивалентен изображению в точке 𝐵.

Таким образом, мы получили следующие теоремы о действии распределения электричества по сферической поверхности с поверхностной плотностью, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки 𝐴 находящейся вне или внутри сферы.

Пусть плотность задаётся уравнением

σ

=

𝐶

𝐴𝑃³

(7)

где 𝐶 – некоторая постоянная, тогда, согласно (6),

𝐶

=

–𝑒

𝐴𝐷⋅𝐴𝑑

4π𝑎

.

(8)

Такое поверхностное распределение действует на каждую точку, отделённую от 𝐴 поверхностью, как точечный заряд -𝑒 т.е. 4π𝐶𝑎/(𝐴𝐷⋅𝐴𝑑), помещённый в точку 𝐴.

На каждую точку, находящуюся по ту же сторону от поверхности, что и точка 𝐴, действие эквивалентно действию заряда 4π𝐶𝑎²/(ƒ⋅𝐴𝐷⋅𝐴𝑑), помещённого в точку 𝐵, являющуюся изображением точки 𝐴.

Полное количество электричества на сфере равно первой величине, если точка 𝐴 находится внутри сферы, и второй, если точка 𝐴 вне сферы.

Эти утверждения были установлены сэром У. Томсоном в его оригинальных геометрических исследованиях, касающихся распределения электричества на сферических проводниках, к которым мы и отсылаем читателя.

159. Если систему с известным распределением электричества поместить вблизи проводящей сферы радиуса 𝑎 потенциал которой с помощью заземления поддерживается равным нулю, то будет иметь место суперпозиция электризаций, обусловленная различными частями системы.

Пусть 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д.– точки системы, несущие заряд, ƒ₁, ƒ₂, и т. д.– их расстояния от центра сферы, 𝑒₁, 𝑒₂ и т. д.– заряды в этих точках, тогда изображения этих точек 𝐵₁, 𝐵₂ и т. д. будут расположены на тех же радиусах, что и сами точки, на расстояниях 𝑎²/ƒ₁, 𝑎²/ƒ₂ и т. д. от центра сферы и заряды их будут равны -𝑒₁(𝑎/ƒ₁), -𝑒₂(𝑎/ƒ₂) и т. д.

Потенциал вне сферы, создаваемый поверхностной электризацией, будет совпадать с потенциалом, который создала бы система изображений 𝐵₁, 𝐵₂ и т. д. Поэтому эта система называется электрическим изображением системы 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д.

Если сфера находится не под нулевым потенциалом, а под потенциалом 𝑉, то следует добавить равномерное распределение электричества на её внешней поверхности с поверхностной плотностью σ=𝑉/(4π𝑎).

Влияние такого распределения во всех точках вне сферы будет такое же, как у точечного заряда 𝑉𝑎, помещённого в центре сферы, а во всех точках внутри сферы потенциал просто увеличится на 𝑉.

Полный заряд сферы под действием внешней системы точечных зарядов 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д. равен

𝐸

=

𝑉𝑎

–

𝑒

₁

𝑎

ƒ₁

–

𝑒

₂

𝑎

ƒ₂

–

…,

(9)

откуда можно найти заряд 𝐸 по потенциалу 𝑉 или наоборот.

Если система зарядов находится внутри сферической поверхности, то заряд, наводимый на поверхности, равен и противоположен по знаку наводящему заряду, как было нами раньше доказано для любой замкнутой поверхности.

160. Энергия, обусловленная взаимодействием точечного заряда 𝑒, находящегося на расстоянии ƒ от центра сферы, большем радиуса сферы 𝑎, с распределением заряда по сферической поверхности, созданным под влиянием точечного заряда, и с зарядом сферы равна

𝑀

=

𝐸𝑒

ƒ

–

1

2

𝑒𝑎

ƒ²(ƒ²-𝑎²)

,

(10)

𝑉 – потенциал, 𝐸 – заряд сферы.

Сила отталкивания точечного заряда от сферы равна, согласно п. 92,

𝐹

=

𝑒𝑎

⎛

⎜

⎝

𝑉

ƒ²

–

𝑒ƒ

(ƒ²-𝑎²)²

⎞

⎟

⎠

=

𝑒

ƒ²

⎛

⎜

⎝

𝐸

–

𝑒

𝑎³(2ƒ²-𝑎²)

ƒ(ƒ²-𝑎²)²

⎞

⎟

⎠

.

(11)

Следовательно, сила взаимодействия точечного заряда со сферой является всегда притягивающей в следующих случаях: 1) когда сфера не изолирована, 2) когда сфера не заряжена, 3) когда точечный заряд расположен очень близко к поверхности сферы.

Для того чтобы имело место отталкивание, потенциал сферы должен быть положителен и больше 𝑒ƒ³/(ƒ²-𝑎²)²; заряд сферы должен быть того же знака, что и 𝑒, и больше, чем

𝑒

𝑎³(2ƒ²-𝑎²)

ƒ(ƒ²-𝑎²)²

.

Равновесная точка является неустойчивой: при сближении тел появляется притяжение, при удалении – отталкивание.

Если точечный заряд находится внутри сферы, действующая на него сила всегда направлена от центра сферы и равна 𝑒²𝑎ƒ/(𝑎²-ƒ²)².

Для точечного заряда, расположенного вне сферы, поверхностная плотность заряда в точке сферы, ближайшей к точечному заряду, равна

σ

₁

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝑉𝑎

–

𝑒

𝑎(ƒ+𝑎)

(ƒ-𝑎)²

⎫

⎬

⎭

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝐸

–

𝑒

𝑎²(3ƒ-𝑎)

ƒ(ƒ-𝑎)²

⎫

⎬

⎭

,

(12)

а в самой удалённой точке

σ

₂

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝑉𝑎

–

𝑒

𝑎(ƒ-𝑎)

(ƒ+𝑎)²

⎫

⎬

⎭

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝐸

+

𝑒

𝑎²(3ƒ+𝑎)

ƒ(ƒ+𝑎)²

⎫

⎬

⎭

.

(13)

Если величина заряда 𝐸 сферы заключена в пределах

𝑒

𝑎²(3ƒ-𝑎)

ƒ(ƒ-𝑎)²

 и

𝑒

𝑎²(3ƒ+𝑎)

ƒ(ƒ+𝑎)²

то электризация сферы отрицательна вблизи точечного заряда и положительна с противоположной стороны. Существует некоторая окружность, разделяющая области с положительной и отрицательной электризацией. Эта окружность является линией равновесия.

При

𝐸

=

𝑒𝑎

⎛

⎜

⎝

1

√ƒ²-𝑎² 

–

1

ƒ

⎞

⎟

⎠

(14)

эквипотенциальная поверхность, пересекающая сферу по линии равновесия, является сферой с центром в месте нахождения точечного заряда и радиусом √ƒ²-𝑎².

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности для этого случая показаны на рис. IV в конце этого тома.

Изображения в бесконечной проводящей плоскости

161. Если два точечных заряда 𝐴 и 𝐵, рассматривавшихся в п. 156, равны по величине и противоположны по знаку, то поверхность нулевого потенциала является плоскостью, каждая точка которой находится на равном расстоянии от точек 𝐴 и 𝐵 [рис. 8].

Рис. 8

Следовательно, если в точке 𝐴 находится точечный заряд 𝑒, a 𝐴𝐷 – перпендикуляр к плоскости, то, продолжив 𝐴𝐷 до точки 𝐵 так, что 𝐷𝐵=𝐴𝐷, и поместив в точку 𝐵 заряд -𝑒, мы получим изображение точки 𝐴, вызывающее во всех дочках, расположенных по ту же сторону от плоскости, что и точка 𝐴, точно такое же действие, что и действительная электризация плоскости. В самом деле, потенциал обусловленный точками 𝐴 и 𝐵, удовлетворяет на стороне, где находится точка 𝐴, условию ∇²𝑉=0 во всех точках, кроме точки 𝐴, и равен нулю на плоскости, а существует лишь одна функция 𝑉, удовлетворяющая этим условиям.

Чтобы найти результирующую силу в точке 𝑃 плоскости, заметим, что она складывается из двух слагаемых, равных 𝑒/(𝐴𝑃²) причём одно действует вдоль 𝐴𝑃 а второе – вдоль 𝑃𝐵.

Таким образом, результирующая сила направлена параллельно 𝐴𝐵 и равна

𝑒

𝐴𝑃²

⋅

𝐴𝐵

𝐴𝑃

.

Итак, сила, отсчитываемая наружу от поверхности в сторону точки 𝐴, равна

𝑅

=

–

2𝑒𝐴𝐷

𝐴𝑃³

(15)

а плотность заряда в точке 𝑃 равна

σ

=

–

𝑒𝐴𝐷

2π𝐴𝑃³

(16)

Об электрической инверсии

162. Метод электрических изображений непосредственно приводит к методу преобразования, позволяющему для любой электрической задачи, решение которой мы знаем, построить сколько угодно других задач и их решений.

Мы видели, что изображение точки, находящейся на расстоянии 𝑟 от центра сферы радиуса 𝑅, находится на том же самом радиусе на расстоянии 𝑟', таком, что 𝑟𝑟'=𝑅². Таким образом, изображение системы точек, линий, поверхностей получается из исходной системы чисто геометрическим методом, известным под названием метода инверсии и описанного Шалем, (Chasles), Сальмоном (Salmon) и другими математиками.

Если 𝐴 и 𝐵 – две точки, 𝐴' и 𝐵' – их изображения [рис. 9], 𝑂 – центр инверсии, a 𝑅 – радиус сферы инверсии, то

𝑂𝐴

⋅

𝑂𝐴'

=

𝑅²

=

𝑂𝐵

⋅

𝑂𝐵'

.

Следовательно, треугольники 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴'𝐵' подобны и 𝐴𝐵:𝐴'𝐵'=𝑂𝐴:𝑂𝐵'=𝑂𝐴⋅𝑂𝐵/𝑅²

Рис. 9

Если количество электричества 𝑒 поместить в точку 𝐴, то его потенциал в точке 𝐵 будет 𝑉=𝑒/𝐴𝐵.

Если в точку 𝐴' поместить количество электричества 𝑒', то его потенциал в точке 𝐵' будет 𝑉'=𝑒'/𝐴'𝐵'.

В теории электрических изображений 𝑒:𝑒'=𝑂𝐴:𝑅=𝑅:𝑂𝐴', так что

𝑉:𝑉'

=

𝑅:𝑂𝐵

,

(17)

т.е. потенциал в точке 𝐵, создаваемый зарядом в точке 𝐴, относится к потенциалу в изображении точки 𝐵 от электрического изображения точки 𝐴, как 𝑅 к 𝑂𝐵.

Поскольку это отношение зависит лишь от 𝑂𝐵 и не зависит от 𝑂𝐴, потенциал в точке 𝐵 от произвольной системы заряженных тел относится к потенциалу в точке 𝐵' от изображения этой системы, как 𝑅 к 𝑂𝐵.

Пусть 𝑟 – расстояние произвольной точки 𝐴 от центра, 𝑟' – расстояние его изображения 𝐴' от центра, 𝑒 – электризация точки 𝐴, 𝑒' -электризация точки 𝐴'; 𝐿, 𝑆, 𝐾 – элементы длины, поверхности и объёма у точки 𝐴; 𝐿', 𝑆', 𝐾' – их изображения у точки 𝐴'; λ, σ, ρ, λ', σ', ρ', – соответствующие линейные, поверхностные и объёмные плотности электризации в этих двух точках, 𝑉 – потенциал в точке 𝐴, создаваемый исходной системой, а 𝑉' – потенциал в точке 𝐴', создаваемый инверсной системой. Тогда

𝑟'

𝑝

=

𝐿'

𝐿

=

𝑅²

𝑟²

=

𝑟'²

𝑅²

,

𝑆'

𝑆

=

𝑅⁴

𝑟⁴

=

𝑟'⁴

𝑅⁴

,

𝐾'

𝐾

=

𝑅⁶

𝑟⁶

=

𝑟'⁶

𝑅⁶

,

𝑒'

𝑒

=

𝑅

𝑟

=

𝑟'

𝑅

,

λ'

λ

=

𝑟

𝑅

=

𝑅

𝑟'

,

σ'

σ

=

𝑟³

𝑅³

=

𝑅³

𝑟'³

,

ρ'

ρ

=

𝑟⁵

𝑅⁵

=

𝑅⁵

𝑟'⁵

,

𝑉'

𝑉

=

𝑟

𝑅

=

𝑅

𝑟'

.

(18)

¹

¹ См. «Natural Philosophy» Томсона и Тэта, § 515.

Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен и равен 𝑃 то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал 𝑃𝑅/𝑟'. Но если поместить в центре инверсии 𝑂 количество электричества – 𝑃𝑅, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.

Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала 𝑃, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземлённом проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавливающееся под влиянием точечного заряда -𝑃𝑅, помещённого в центр инверсии.

163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.

Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость.

Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через 𝑎 и 𝑎', их радиусы – через α и α' и определить показатель (power) сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен 𝑎²-α², а для второй – 𝑎'²-α'². При этом

𝑎'

𝑎

=

α'

α

=

𝑅²

𝑎²-α²

=

𝑎'²-α'²

𝑅²

,

(19)

т.е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии.

Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы.

В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость и сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии.

Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии. В этом случае она инвертируется в прямую.

Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии.

Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через её изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами.

Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки.

164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземлённой сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.

Если точечный заряд находится в точке 𝐴 то примем её за центр инверсии, тогда для сферы радиуса 𝑎 центр которой находится на расстоянии ƒ от точки 𝐴, инвертированной фигурой будет сфера радиуса 𝑎' с центром на расстоянии ƒ', где

𝑎'

𝑎

=

ƒ'

ƒ

=

𝑅²

ƒ²-𝑎²

.

(20)

Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для 𝐴 относительно другой сферы, т. е. если 𝐶 – центр, а 𝐵 – инверсная точка первой сферы, то 𝐶' – инверсная точка, а 𝐵' – центр второй сферы.

Пусть теперь 𝑒 – количество электричества, сообщённое второй сфере, на которую не действуют внешние силы. Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью

σ'

=

𝑒'

4π𝑎'²

.

(21)

Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда 𝑒', помещённого в центре сферы 𝐵'.

На самой сферической поверхности и внутри неё потенциал равен постоянной величине

𝑃'

=

𝑒'

𝑎'

,

(22)

Произведём теперь инверсию этой системы. Центр 𝐵' переходит в инвертированной системе в инверсную точку 𝐵, заряд 𝑒' в точке 𝐵' переходит в 𝑒'𝑅/ƒ' в точке 𝐵 и во всех точках, отделённых от точки 𝐵 сферической поверхностью, потенциал равен потенциалу от заряда в точке 𝐵.

Потенциал в любой точке 𝑃, находящейся на сферической поверхности или по ту же сторону от неё, что и точка 𝐵, равен в инвертированной системе (𝑒'/𝑎')×(𝑅/𝐴𝑃).

Если теперь добавить к этой системе заряд 𝑒 в точке 𝐴, равный

𝑒

=

–

𝑒'

𝑎'

𝑃

,

(23)

то потенциал на сферической поверхности и во всех точках, расположенных по ту же сторону от неё, что и точка 𝐵, станет равным нулю. Во всех точках, расположенных с той стороны, где находится точка 𝐴, потенциал будет равен потенциалу от заряда 𝑒 в точке 𝐴 и заряда 𝑒'𝑃/ƒ' в точке 𝐵.

Но

𝑒'

𝑃

ƒ'

=

–𝑒

𝑎'

ƒ

=

–𝑒

𝑎

ƒ

,

(24)

как мы видели раньше для заряда изображения в точке 𝐵.

Для нахождения плотности в каждой точке первой поверхности имеем

σ

=

σ'

𝑅³

𝐴𝑃³

.

(25)

Подставляя выражение σ' через характеристики первой сферы, получим то же значение, что и в п. 158:

σ

=

–

𝑒(ƒ²-𝑎²)