Трактат об электричестве и магнетизме

Текст добавлен: 20 января 2018, 13:30

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 29 (всего у книги 34 страниц)

В этих выражениях опускаются все члены, которые содержат произведение проводимостей, если соответствующие ветви образуют замкнутый контур.

Мы можем пояснить эти правила, применив их к очень важному случаю 4 точек, соединённых 6 проводниками. Обозначим точки номерами 1, 2, 3, 4.

Тогда 𝐷 равно сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение состоит из трёх сомножителей, однако в сумму не включаются следующие 4 произведения: 𝐾₁₂𝐾₂₃𝐾₃₁, 𝐾₁₂𝐾₂₄𝐾₄₁, 𝐾₁₃𝐾₃₄𝐾₄₁ и 𝐾₂₃𝐾₃₄𝐾₄₂ поскольку они соответствуют четырём замкнутым контурам (123), (124), (134) и (234).

Таким образом,

𝐷

(𝐾

₁₄

+𝐾

₂₄

+𝐾

₃₄

)

(𝐾

₁₂

𝐾

₁₃

+𝐾

₁₂

𝐾

₂₃

+𝐾

₁₃

𝐾

₂₄

)

𝐾

₁₄

𝐾

₂₄

(𝐾

₁₃

+𝐾

₂₃

)

𝐾

₁₄

𝐾

₃₄

(𝐾

₁₂

+𝐾

₂₃

)

𝐾

₃₄

𝐾

₂₄

(𝐾

₁₂

+𝐾

₁₃

)

𝐾

₁₄

𝐾

₂₄

𝐾

₃₄

Предположим, что электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль проводника (23), тогда ток в ветви (14) определяется соотношением

Δ₁-Δ₂

𝐷

𝐸

𝐾

₁₄

𝐾

₂₃

где Δ₁=𝐾₁₃𝐾₂₄ (по определению), Δ₂=𝐾₁₂𝐾₄₃.

Таким образом, если по проводнику (14) не идёт ток, 𝐾₁₃𝐾₂₄-𝐾₁₂𝐾₄₃=0; это равенство есть условие того, что проводники (23) и (14) являются сопряжёнными.

Ток через проводник (13) равен

𝐾₁₂(𝐾₁₄+𝐾₂₄+𝐾₃₄)+𝐾₁₄+𝐾₂₄

𝐷

𝐸

𝐾

₁₄

𝐾

₂₃

Проводимость всего соединения для случая, когда ток входит через точку (2) и выходит через точку (3), равна

𝐷

(𝐾₁₄+𝐾₂₄+𝐾₃₄) (𝐾₁₂+𝐾₁₃) + 𝐾₁₄(𝐾₂₄+𝐾₃₄)

Если соединение содержит 5 точек, то условие сопряжённости проводников (23) и (14) имеет вид

𝐾

₁₂

𝐾

₃₄

(𝐾

₁₅

+𝐾

₂₅

+𝐾

₃₅

+𝐾

₄₅

)

𝐾

₁₂

𝐾

₃₅

𝐾

₄₅

𝐾

₃₄

𝐾

₅₁

𝐾

₅₂

𝐾

₁₃

𝐾

₂₄

(𝐾

₁₅

+𝐾

₂₅

+𝐾

₃₅

+𝐾

₄₅

)

𝐾

₁₃

𝐾

₅₂

𝐾

₅₄

𝐾

₂₄

𝐾

₅₁

𝐾

₅₃

ГЛАВА VII

ПРОХОЖДЕНИЕ ТОКА В ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Запись электрических токов

285. Выберем в некоторой точке элемент площади 𝑑𝑆, ориентированный перпендикулярно к оси 𝑥. Пусть через эту площадку от отрицательной её стороны к положительной проходит 𝑄 единиц электричества за единицу времени. Тогда, если отношение 𝑄/𝑑𝑆 при безграничном уменьшении 𝑑𝑄 принимает предельное значение 𝑢, то эту величину 𝑢 называют Составляющей электрического тока в направлении оси 𝑥 в данной точке.

Точно так же мы можем определить 𝑣 и 𝑤 – составляющие электрического тока в направлениях соответственно 𝑦 и 𝑧.

286. Для того чтобы определить составляющую тока, проходящего через точку 𝑂, в любом другом направлении 𝑂𝑅, введём направляющие косинусы 𝑙, 𝑚, 𝑛 отрезка 𝑂𝑅. Тогда, если мы отсечём по осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 от начала координат, помещённого в точку 𝑂, отрезки, равные 𝑟/𝑙, 𝑟/𝑚, и 𝑟/𝑛 а концы отрезков обозначим соответственно 𝐴, 𝐵 и 𝐶, то треугольник 𝐴𝐵𝐶 будет перпендикулярен направлению 𝑂𝑅 [рис. 23].

Рис. 23

Площадь этого треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна

𝑑𝑆

𝑟²

𝑙𝑚𝑛

и при уменьшении 𝑟 эта площадь безгранично уменьшается.

Количество электричества, которое выходит из тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝑂 через треугольную грань 𝐴𝐵𝐶, должно быть равно тому количеству электричества, которое втекает через остальные грани 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵.

Площадь треугольника 𝑂𝐵𝐶 равна 𝑟²/(2𝑚𝑛), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника, равна 𝑢, следовательно, количество электричества, входящее через этот треугольник в единицу времени, равно 𝑟²𝑢/(2𝑚𝑛).

Количества электричества, которые входят через грани 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 за единицу времени, равны соответственно (𝑟²𝑣)/(2𝑛𝑙) и (𝑟²𝑤)/(2𝑙𝑚).

Если составляющую тока в направлении 𝑂𝑅 обозначить через γ, то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань 𝐴𝐵𝐶, равно (𝑟²γ)/(2𝑙𝑚𝑛). Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение

𝑟²γ

𝑙𝑚𝑛

𝑟²

⎧

⎨

⎩

𝑢

𝑚𝑛

𝑣

𝑛𝑙

𝑤

𝑙𝑚

⎫

⎬

⎭

Умножив его (2𝑙𝑚𝑛)/𝑟², получаем

𝑙𝑢

𝑚𝑣

𝑛𝑤

(1)

Если мы положим

𝑢²

𝑣²

𝑤²

Γ²

и введём три величины 𝑙', 𝑚' и 𝑛', такие, что

𝑢

𝑙'Γ

𝑣

𝑚'Γ

𝑤

𝑛'Γ

, то

Γ(𝑙𝑙'+𝑚𝑚'+𝑛𝑛')

(2)

Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна Γ, а направляющие косинусы равны 𝑙', 𝑚', 𝑛', и если γ обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол θ, то

Γ cos θ

(3)

Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов.

287. Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение

𝐹

(

𝑥

𝑦

𝑧

)

(4)

определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определённого значения постоянной λ Тогда, если положить

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

𝑁²

(5)

то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста λ, равны

𝑙

𝑁

𝑑λ

𝑑𝑥

𝑚

𝑁

𝑑λ

𝑑𝑦

𝑛

𝑁

𝑑λ

𝑑𝑧

(6)

Следовательно, если γ есть компонента тока, нормальная к поверхности, то

𝑁

⎧

⎨

⎩

𝑢

𝑑λ

𝑑𝑥

𝑣

𝑑λ

𝑑𝑦

𝑤

𝑑λ

𝑑𝑧

⎫

⎬

⎭

(7)

При γ=0 ток через поверхность отсутствует. В этом случае поверхность можно назвать Поверхностью Потока, потому что линии потока лежат на этой поверхности.

288. Поэтому уравнение поверхности потока имеет вид

𝑢

𝑑λ

𝑑𝑥

𝑣

𝑑λ

𝑑𝑦

𝑤

𝑑λ

𝑑𝑧

(8)

Если это уравнение соблюдается для всех значений λ, то все поверхности семейства являются поверхностями потока.

289. Предположим, что имеется другое семейство поверхностей с параметром λ'. Тогда, если поверхности этого семейства также являются поверхностями потока, мы получим

𝑢

𝑑λ'

𝑑𝑥

𝑣

𝑑λ'

𝑑𝑦

𝑤

𝑑λ'

𝑑𝑧

(9)

Если имеется ещё и третье семейство поверхностей потока, отвечающее параметру λ'', то

𝑢

𝑑λ''

𝑑𝑥

𝑣

𝑑λ''

𝑑𝑦

𝑤

𝑑λ''

𝑑𝑧

(10)

Исключая из этих трёх уравнений 𝑢, 𝑣 и 𝑢, мы получим

⎪

𝑑λ

𝑑𝑥

𝑑λ

𝑑𝑦

𝑑λ

𝑑𝑧

⎪

𝑑λ'

𝑑𝑥

𝑑λ'

𝑑𝑦

𝑑λ'

𝑑𝑧

𝑑λ''

𝑑𝑥

𝑑λ''

𝑑𝑦

𝑑λ''

𝑑𝑧

(11)

λ''

φ(λ,λ')

(12)

т.е. λ'' есть некоторая функция от λ и λ'.

290. Рассмотрим теперь четыре поверхности, параметры которых равны λ, λ+δλ и λ' λ'+δλ'. Эти четыре поверхности ограничивают некоторую четырехстороннюю трубку, которую мы можем назвать трубкой δλ⋅δλ' Поскольку эта трубка ограничена поверхностями, через которые нет потока, мы можем назвать её Трубкой Тока. Если мы возьмём любые два поперечных сечения этой трубки, то количество потока, входящее в трубку через одно сечение, должно равняться количеству потока, которое выходит из трубки через другое сечение, и, поскольку это количество будет, таким образом, одно и то же для любого сечения трубки, обозначим его через 𝐿δλ⋅δλ', где 𝐿 является функцией параметров λ и λ', определяющих рассматриваемую трубку.

291. Если δ𝑆 обозначает площадь сечения трубки потока плоскостью, нормальной к оси 𝑥, то теория замены независимых переменных даёт

δλ⋅δλ'

δ𝑆

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑦

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑧

–

𝑑λ

𝑑𝑧

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

(13)

и, по определению составляющих тока, имеем

𝑢𝑑𝑆

𝐿δλδλ'

(14)

Отсюда

𝑢

𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑦

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑧

–

𝑑λ

𝑑𝑧

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

Аналогично

𝑣

𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑧

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑥

–

𝑑λ

𝑑𝑥

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑤

𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑑λ

𝑑𝑥

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑦

–

𝑑λ

𝑑𝑦

⋅

𝑑λ'

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(15)

292. Если известна одна из функций λ или λ', то всегда возможно определить другую таким образом, чтобы величина 𝐿 равнялась единице. Например, возьмём плоскость 𝑦𝑧 и проведём на ней ряд равноотстоящих линий, параллельных оси 𝑦 Пусть эти линии представляют собой линии пересечения плоскости 𝑦𝑧 с семейством поверхностей λ'. Другими словами, пусть функция λ' определяется условием, что λ'=𝑧 при 𝑦=0. Если положить теперь 𝐿=1 и, следовательно (при 𝑥=0), λ=∫𝑢𝑑𝑦, то количество электричества, проходящее через любую часть плоскости 𝑥=0, будет равно

∬

𝑢𝑑𝑦

𝑑𝑧

∬

𝑑λ

𝑑λ'

(16)

Коль скоро задан характер пересечения поверхностей тока с плоскостью 𝑦𝑧, форма этих поверхностей в пространстве всюду определяется условиями (8) и (9). Определённые так две функции λ и λ' достаточны для определения тока в любой точке с помощью соотношений (15), где величину 𝐿 следует положить равной единице.

О линиях потока

293. Выберем последовательности значений λ и λ' так, что в обеих этих последовательностях соседние значения отстоят друг от друга на единицу. Две системы поверхностей, отвечающие этим наборам значений λ и λ', разделят пространство на систему трубок с четырехсторонним сечением, по каждой из которых будет протекать единичный ток. Считая эту единицу достаточно малой, можно определить все детали распределения тока с любой желаемой степенью точности. Тогда, если провести любую поверхность, пересекающую систему трубок, величина тока, проходящего через эту поверхность, будет выражаться числом трубок, пересекающих поверхность, поскольку по каждой трубке идёт единичный ток.

Пересечения поверхностей тока могут быть названы линиями потока. Если единица выбрана достаточно малой, число линий потока, пересекающих некоторую поверхность, примерно равно числу пересекающих её потоковых трубок, и мы, таким образом, можем рассматривать линии потока как определяющие не только направление тока, но также и его силу, поскольку каждая линия потока, пересекающая данную поверхность, соответствует единичному току.

О токовых листах и токовых функциях

294. Слой проводника, заключённого между двумя соседними поверхностями тока некоторой системы, скажем системы λ', называется токовым листом. Трубки тока внутри этого слоя определяются функцией λ. Если значения λ в точках 𝐴 и 𝑃 обозначить соответственно через λ_𝐴 и λ_𝑃, тогда ток, текущий справа налево через любую линию, проведённую на листе от 𝐴 к 𝑃, равен λ_𝑃-λ_𝐴. Если 𝐴𝑃 есть некоторый элемент 𝑑𝑠 кривой, проведённой на листе, ток, пересекающий этот элемент справа налево, равен (𝑑λ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 Эта функция λ, которая позволяет полностью определить распределение тока в слое, называется Токовой функцией.

Любой тонкий лист металла или проводящего вещества, ограниченный с двух сторон воздухом или некоторой другой непроводящей средой, может рассматриваться как токовый лист, в котором распределение тока может быть выражено с помощью токовой функции (см. п. 647).

Уравнение непрерывности

295. Если продифференцировать каждое из трёх уравнений (15) соответственно по 𝑥, 𝑦, 𝑧 имея при этом в виду, что 𝐿 является функцией от λ, и λ', найдём

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

(17)

Соответствующее уравнение в гидродинамике называется Уравнением «Непрерывности». Та непрерывность, которую оно выражает, есть непрерывность существования, т. е. это означает, что материальное вещество не может покинуть одну часть пространства и появиться в другой, не проходя через пространство между ними. Оно не может просто исчезнуть в одном месте и появиться в другом, а должно пройти по некоторому непрерывному пути, так что, если провести замкнутую поверхность, включающую одно местоположение и исключающую другое, материальное вещество, переходя из этого одного положения в другое, должно пройти через эту замкнутую поверхность. Наиболее общей формой этого уравнения в гидродинамике является уравнение

𝑑(ρ𝑢)

𝑑𝑥

𝑑(ρ𝑣)

𝑑𝑦

𝑑(ρ𝑤)

𝑑𝑧

𝑑ρ

𝑑𝑡

(18)

где ρ обозначает отношение количества вещества к занимаемому объёму (в данном случае рассматривается дифференциальный элемент объёма), а величины (ρ𝑢), (ρ𝑣), (ρ𝑤) – отношения количества вещества, пересекающего в единицу времени элемент поверхности, к площади этого элемента, при этом элемент площади выбирается перпендикулярно к осям 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно. Имея это в виду, уравнение можно применять к любой материальной среде, твёрдой или жидкой, для непрерывного или разрывного движения при условии, что существование отдельных частей этой среды является непрерывным. Если что бы то ни было, пускай и не вещество, подчиняется условию непрерывного существования во времени и пространстве, указанное уравнение будет выражать это условие.

Уравнения подобного вида возникают в других разделах Физического Учения, например в теории электрических и магнитных величин. Мы будем называть такие уравнения «уравнениями непрерывности», указывая на их форму, хотя мы можем и не придавать входящим в эти уравнения величинам свойства вещества, или даже непрерывное существование во времени и пространстве.

Уравнение (17), к которому мы пришли в случае электрических токов, тождественно с (18), если мы положим ρ=1, т. е. если мы предположим, что соответствующее вещество является однородным и несжимаемым. Для случая жидкости это уравнение также может быть установлено любым из способов, приводимых в трактатах по гидродинамике. В одном случае мы следим за движением и деформацией некоторого выбранного элемента жидкости по мере его перемещения. В другом случае мы фиксируем наше внимание на некотором элементе пространства и учитываем всё, что втекает в этот элемент и вытекает из него.

Первый из этих двух методов не может быть применён к электрическим токам, потому что мы не знаем, с какой скоростью электричество проходит через тело, и даже не знаем, движется оно в положительном или отрицательном направлении тока. Всё, что мы знаем – это алгебраическое значение величины количества электричества, которое пересекает единицу площади за единицу времени,– величины, соответствующей (ρ𝑢) в уравнении (18). Мы не можем приписать определённого значения какому-либо из множителей ρ или 𝑢, и поэтому мы не можем следовать за какой-либо отдельной порцией электричества на её пути через тело. Другой метод исследования, где мы рассматриваем то, что проходит через стенки некоторого элемента объёма, применим к электрическим токам и, по-видимому, является формально предпочтительным по сравнению с тем, который приведён нами, но нам нет нужды его здесь повторять, поскольку он излагается в любом трактате по гидродинамике.

Количество электричества, которое проходит через данную поверхность

296. Пусть результирующий ток в любой точке данной поверхности равен Γ. Элемент поверхности обозначим через 𝑑𝑆 а угол между током Γ и внешней нормалью к поверхности обозначим через ε. Тогда полный ток через поверхность будет равен

∬

Γ cos ε 𝑑𝑆

где интегрирование проводится по поверхности.

В случае произвольной замкнутой поверхности мы можем, как и в п. 21, преобразовать этот интеграл к виду

∬

Γ cos ε 𝑑𝑆

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

причём тройное интегрирование проводится по объёму, ограниченному этой поверхностью. Эта формула даёт выражение для полного потока, вытекающего из замкнутой поверхности. Поскольку во всех случаях стационарных токов эта величина должна быть равна нулю при любых пределах интегрирования, величина под знаком интеграла должна обратиться в нуль, и мы получаем таким путём уравнение непрерывности (17).

ГЛАВА VIII

СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ В ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ

О наиболее общих соотношениях между током и электродвижущей силой

297. Обозначим составляющие тока в любой точке через 𝑢, 𝑣, 𝑤. Составляющие электродвижущей напряжённости обозначим через 𝑋, 𝑌, 𝑍.

Электродвижущая напряжённость в любой точке есть результирующая сила, действующая на единицу положительного электричества, помещённую в этой точке. Электродвижущая напряжённость может возникать: (1) от действия электростатических сил. В этом случае, если 𝑉 – потенциал, то

𝑋

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑌

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑍

𝑑𝑉

𝑑𝑧

;

(1)

или (2) из-за электромагнитной индукции, законы которой мы рассмотрим позднее; или (3) из-за термоэлектрического или электрохимического действия в рассматриваемой точке, вызывающих ток в данном направлении.

Мы будем, как правило, предполагать, что величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 являются составляющими электродвижущей напряжённости, действующей в данной точке, каково бы ни было происхождение этой силы, однако иногда мы будем рассматривать следствия из предположения, по которому электродвижущая напряжённость целиком обусловлена изменением потенциала.

По Закону Ома ток пропорционален электродвижущей напряжённости. Следовательно, 𝑋, 𝑌, 𝑍 должны быть линейными функциями от 𝑢, 𝑣, 𝑤 Мы, таким образом, можем принять в качестве Уравнений Сопротивления

𝑋

𝑅

₁

𝑢

𝑄

₃

𝑣

𝑃

₂

𝑤

𝑌

𝑃

₃

𝑢

𝑅

₂

𝑣

𝑄

₁

𝑤

𝑍

𝑄

₂

𝑢

𝑃

₁

𝑣

𝑅

₃

𝑤

(2)

Мы можем назвать коэффициенты 𝑅 коэффициентами продольного сопротивления в направлениях координатных осей.

Коэффициенты 𝑃 и 𝑄 могут быть названы коэффициентами поперечного сопротивления. Они определяют электродвижущую напряжённость, действующую в одном каком-нибудь направлении, необходимую для того, чтобы создать ток, текущий в другом направлении.

Если бы мы были свободны предположить, что твёрдое тело может рассматриваться как совокупность линейных проводников, то, используя свойство взаимности двух любых проводников в линейной системе (п. 281), мы могли бы показать, что электродвижущая сила, направленная вдоль оси 𝑧 и создающая единичный ток, направленный вдоль оси 𝑦, должна равняться электродвижущей силе, действующей вдоль оси 𝑦 и создающей единичный ток вдоль оси 𝑧 Это означало бы, что 𝑃₁=𝑄₁. Подобным же образом мы получили бы 𝑃₂=𝑄₂ и 𝑃₃=𝑄₃. Если эти условия выполняются, то говорят, что система коэффициентов является Симметричной. Если они не выполняются, система называется Косой (Skew).

Имеется серьёзная причина полагать, что в любом реальном случае система коэффициентов является симметричной, но мы в дальнейшем рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из предположения о возможной несимметричности коэффициентов.

298. Величины 𝑢, 𝑣, 𝑤 могут быть выражены как линейные функции составляющих 𝑋, 𝑌, 𝑍 с помощью системы уравнений, которую мы можем назвать Уравнениями Проводимости:

𝑢

𝑟

₁

𝑋

𝑝

₃

𝑌

𝑞

₂

𝑍

𝑣

𝑞

₃

𝑋

𝑟

₂

𝑌

𝑝

₁

𝑍

𝑤

𝑝

₂

𝑋

𝑞

₁

𝑌

𝑟

₃

𝑍

(3)

Коэффициенты 𝑟 можно назвать коэффициентами Продольной проводимости, а коэффициенты 𝑝 и 𝑞 – коэффициентами Поперечной проводимости.

Коэффициенты сопротивления обратны коэффициентам проводимости. Эту связь можно определить следующим образом.

Обозначим определитель, составленный из коэффициентов сопротивления, через [𝑃𝑄𝑅], а определитель, составленный из коэффициентов проводимости, – через [𝑝𝑞𝑟]. Тогда

[𝑃𝑄𝑅]

𝑃

₁

𝑃

₂

𝑃

₃

𝑄

₁

𝑄

₂

𝑄

₃

𝑅

₁

𝑅

₂

𝑅

₃

–

𝑅

₁

𝑄

₁

𝑅

₁

–

𝑃

₂

𝑄

₂

𝑅

₂

–

𝑃

₃

𝑄

₃

𝑅

₃

(4)

[𝑝𝑞𝑟]

𝑝

₁

𝑝

₂

𝑝

₃

𝑞

₁

𝑞

₂

𝑞

₃

𝑟

₁

𝑟

₂

𝑟

₃

–

𝑝

₁

𝑞

₁

𝑟

₁

–

𝑝

₂

𝑞

₂

𝑟

₂

–

𝑝

₃

𝑞

₃

𝑟

₃

(5)

[𝑃𝑄𝑅]

[𝑝𝑞𝑟]

(6)

[𝑃𝑄𝑅]

𝑝

₁

(𝑃

₂

𝑃

₃

–𝑄

₁

𝑅

₁

)

[𝑝𝑞𝑟]

𝑃

₁

(𝑝

₂

𝑝

₃

–𝑞

₁

𝑟

₁

)

и т.д.

(7)

Другие уравнения могут быть получены циклической перестановкой символов 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑝, 𝑞, 𝑟 и индексов 1, 2, 3.

Скорость образования тепла

299. Для того чтобы найти работу, совершаемую током в единицу времени на преодоление сопротивления и тем самым на образование тепла, умножим составляющие тока на соответствующие составляющие электродвижущей напряжённости. Мы получим следующее выражение для работы 𝑊 совершаемой за единицу времени:

𝑊

𝑋𝑢

𝑌𝑣

𝑍𝑤

;

(8)

𝑅

₁

𝑢²

𝑅

₂

𝑣²

𝑅

₃

𝑤²

(𝑃

₁

+𝑄

₁

)𝑣𝑤

(𝑃

₂

+𝑄

₂

)𝑤𝑣

(𝑃

₃

+𝑄

₃

)𝑢𝑣

;

(9)

𝑟

₁

𝑋²

𝑟

₂

𝑌²

𝑟

₃

𝑍²

(𝑝

₁

+𝑞

₁

)𝑌𝑍

(𝑝

₂

+𝑞

₂

)𝑍𝑋

(𝑝

₃

+𝑞

₃

)𝑋𝑌

(10)

С помощью подходящего выбора осей из выражения (9) можно убрать произведения составляющих 𝑢, 𝑣, 𝑤 или же произведения компонент 𝑋, 𝑌, 𝑍, Однако система осей, в которой выражение для 𝑊 приводится к виду 𝑅₁𝑢²+𝑅₂𝑣²+𝑅₃𝑤², вообще говоря, не совпадает с системой осей, в которой оно приводится к виду 𝑟₁𝑋²+𝑟₂𝑌²+𝑟₃𝑍².

Эти две системы осей совпадают только в том случае, когда коэффициенты 𝑃₁, 𝑃₂, 𝑃₃ равны соответственно коэффициентам 𝑄₁, 𝑄₂, 𝑄₃.

Если, следуя Томсону ¹, мы положим

𝑃

𝑆+𝑇

𝑄

𝑆-𝑇

𝑝

𝑠+𝑟

𝑝

𝑠-𝑟

(11)

¹Trans. R. S. Edin., 1853-4, р. 165.

тогда мы получим

[𝑃𝑄𝑅]

𝑅

₁

𝑅

₂

𝑅

₃

2𝑆

₁

𝑆

₂

𝑆

₃

–

𝑆

₁

²𝑅

₁

–

𝑆

₂

²𝑅

₂

–

𝑆

₃

²𝑅

₃

+2(

𝑆

₁

𝑇

₂

𝑇

₃

𝑆

₂

𝑇

₃

𝑇

₁

𝑆

₃

𝑇

₁

𝑇

₂

𝑅

₁

𝑇

₁

𝑅

₂

𝑇

₂

𝑅

₃

𝑇

₃

(12)

[𝑃𝑄𝑅]

𝑟

₁

𝑅

₂

𝑅

₃

–

𝑆

₁

𝑇

₁

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

[𝑃𝑄𝑅]

𝑠

₁

𝑇

₂

𝑇

₃

𝑆

₂

𝑆

₃

–

𝑅

₁

𝑆

₁

[𝑃𝑄𝑅]

𝑡

₁

𝑅

₁

𝑇

₁

𝑆

₂

𝑇

₃

–

𝑆

₃

𝑇

₂

(13)

Поэтому, если мы обратим 𝑆₁, 𝑆₂, 𝑆₃ в нуль, коэффициенты s не исчезают, если коэффициенты 𝑇 не равны нулю.

Условие устойчивости

300. Поскольку равновесие электричества является устойчивым, работа, затраченная на поддержание тока, должна всегда быть положительной. Условия, при выполнении которых величина 𝑊 всегда является положительной, заключаются в том, что три коэффициента 𝑅₁, 𝑅₂, 𝑅₃, а также три выражения

4𝑅

₂

𝑅

₃

–

(𝑃

₁

–𝑄

₁

)²

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

4𝑅

₃

𝑅

₁

–

(𝑃

₂

–𝑄

₂

)²

4𝑅

₁

𝑅

₂

–

(𝑃

₃

–𝑄

₃

)²

(14)

должны все быть положительны.

Сходные соотношения имеют место и для коэффициентов проводимости.

Уравнения непрерывности в однородной среде

301. Если мы запишем составляющие электродвижущей силы в виде производных от потенциала 𝑉, уравнение непрерывности

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

(15)

в однородной среде примет форму

𝑟

₁

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑟

₂

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑟

₃

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

2𝑠

₁

𝑑²𝑉

𝑑𝑦𝑑𝑧

2𝑠

₂

𝑑²𝑉

𝑑𝑧𝑑𝑥

2𝑠

₃

𝑑²𝑉

𝑑𝑥𝑑𝑦

(16)

Если среда не является однородной, в уравнение войдут члены, обусловленные изменением коэффициентов проводимости при переходе от одной точки к другой.

Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде.

302. Если положить

[𝑟𝑠]

𝑟

₁

𝑟

₂

𝑟

₃

2𝑠

₁

𝑠

₂

𝑠

₃

–

𝑟

₁

𝑠

₁

–

𝑟

₂

𝑠

₂

–

𝑟

₃

𝑠

₃

(17)

[𝐴𝐵]

𝐴

₁

𝐴

₂

𝐴

₃

2𝐵

₁

𝐵

₂

𝐵

₃

–

𝐴

₁

𝐵

₁

–

𝐴

₂

𝐵

₂

–

𝐴

₃

𝐵

₃

(18)

где

[𝑟𝑠]

𝐴

₁

𝑟

₂

𝑟

₃

–𝑠

₁

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

[𝑟𝑠]

𝐵

₁

𝑠

₂

𝑠

₃

–𝑟

₁

𝑠

₁

…

(19)

и т.д., то система 𝐴,𝐵 будет обратна системе 𝑟,𝑠, и, если обозначим

𝐴

₁

𝑥²

𝐴

₂

𝑦²

𝐴

₃

𝑧²

2𝐵

₁

𝑦𝑧

2𝐵

₂

𝑧𝑥

2𝐵

₃

𝑥𝑦

[𝐴𝐵]

ρ²

(20)

мы найдём, что выражение

𝑉

𝐶

4π

⋅

(21)

является решением этого уравнения.

В случае, когда коэффициенты 𝑇 равны нулю, коэффициенты 𝐴 и 𝐵 совпадают с коэффициентами 𝑅 и 𝑆 из п. 299. При наличии 𝑇 этого не происходит.

Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых ρ имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.

Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм 𝑠 и 𝐵 обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы 𝐴 будет обратен соответствующему коэффициенту формы 𝑟. Выражение для ρ будет

𝑥²

𝑟₁

𝑦²

𝑟₂

𝑧²

𝑟₃

ρ²

𝑟₁𝑟₂𝑟₃

(22)

303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трёх переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики ². Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот, с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную-функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения.

² Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.

Коэффициенты 𝑇₁, 𝑇₂, 𝑇₃ могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора 𝑇, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, которые являются составляющими другого вектора 𝑡.

Векторы 𝑇 и 𝑡 вообще говоря, не совпадают по направлению.

Выберем теперь ось 𝑧 так, чтобы она совпадала с вектором 𝑇, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму

𝑋

𝑅

₁

𝑢

𝑆

₃

𝑣

𝑆

₂

𝑤

–

𝑇𝑣

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑌

𝑆

₃

𝑢

𝑅

₂

𝑣

𝑆

₁

𝑤

𝑇𝑣

𝑍

𝑆

₂

𝑢

𝑆

₁

𝑣

𝑅

₃

𝑤

(23)

Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов 𝑅 и 𝑆, а вторая – только от 𝑇. Часть, зависящая от 𝑅 и 𝑆, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от 𝑇, равна по величине произведению 𝑇 на слагающую тока, перпендикулярную к оси 𝑇, и направлена перпендикулярно к 𝑇 и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси 𝑇.

Если мы рассматриваем ток и 𝑇 как векторы, то часть электродвижущей напряжённости, обусловленная 𝑇, есть векторная часть произведения 𝑇×ток.

Коэффициент 𝑇 может быть назван Вращательным коэффициентом. У нас есть основания полагать, что этот коэффициент не существует ни в одном из известных веществ. Если где-либо этот коэффициент и мог бы быть обнаружен, то в магнитах, имеющих поляризацию в одном направлении, вероятно, вызванную явлением вращения в этом веществе.

304. Предполагая теперь, что вращательный коэффициент отсутствует, мы покажем, как можно распространить теорему Томсона, изложенную в п. 100а-100д, чтобы доказать, что тепло, производимое токами в рассматриваемой системе за данное время, есть единственный минимум.

Для упрощения алгебраических расчётов выберем оси координат так, чтобы свести выражение (9), а следовательно, и выражение (10) к трём слагаемым. Рассмотрим теперь общее характеристическое уравнение (16), которое тогда сводится к виду

𝑟

₁

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑟

₂

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

𝑟

₃

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

(24)

Обозначим также через 𝑎, 𝑏, 𝑐 три функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющих условию

𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑐

𝑑𝑧

(25)

и положим

𝑎

𝑟

₁

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑢

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑏

𝑟

₂

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑣

𝑐

𝑟

₃

𝑑𝑉

𝑑𝑧

𝑤

(26)

Наконец, пусть тройной интеграл

𝑊

∭

(

𝑅

₁

𝑎²

𝑅

₂

𝑏²

𝑅

₃

𝑐²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(27)

распространён по объёму, ограниченному, как это было сделано в п. 100 а, а именно на некоторых участках границы величина 𝑉 является постоянной или же задана нормальная составляющая вектора 𝑎, 𝑏, 𝑐, причём предыдущее условие сопровождается дополнительным ограничением, что интеграл от этой составляющей по граничной поверхности должен обращаться в нуль. Тогда интеграл 𝑊 принимает минимальное значение, если 𝑢=0, 𝑣=0, 𝑤=0.

Действительно, в этом случае 𝑟₁𝑅₁=1, 𝑟₂𝑅₂=1, 𝑟₃𝑅₃=1, и поэтому с учётом (26)

𝑊

∭

⎡

⎢

⎣

𝑟

₁

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

𝑟

₂

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

𝑟

₃

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

∭

(

𝑅

₁

𝑢²

𝑅

₂

𝑣²

𝑅

₃

𝑤²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

–

-2

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑣

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑤

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(28)

Но, поскольку

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

(29)

третье слагаемое исчезает в силу условий на границах.

Таким образом, первое слагаемое в сумме (28) представляет собой единственное минимальное значение величины 𝑊.

305. Поскольку это предположение очень важно для теории электричества, может оказаться полезным следующее доказательство самого общего случая в форме, свободной от аналитических операций.

Рассмотрим распространение электричества через проводник любой формы, однородный или неоднородный.

Тогда мы знаем, что:

(1) Если мы проведём линию вдоль пути и в направлении электрического тока, эта линия должна проходить от мест с высоким потенциалом к местам с низким потенциалом.

(2) Если потенциал в каждой точке системы изменится в заданном постоянном отношении, ток изменится в том же самом отношении в соответствии с Законом Ома.

(3) Если определённое распределение потенциала вызывает определённое распределение токов, а другое распределение потенциала вызывает другое распределение токов, то третье распределение, в котором потенциал есть сумма или разность потенциалов, отвечающих первому и второму распределениям, вызовет третье распределение токов, такое, что полный ток, проходящий через данную конечную поверхность, в третьем случае равен сумме или разности токов, проходящих через неё в первом и втором случаях. Ибо по Закону Ома добавочный ток, вызванный изменением потенциалов, не зависит от начального тока, вызванного начальным распределением потенциалов.

(4) Если потенциал имеет одно и то же значение на всей замкнутой поверхности и если внутри неё нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри замкнутой поверхности не будет токов и потенциал в любой точке внутри неё будет равен потенциалу на поверхности.

Если внутри замкнутой поверхности имеются токи, они либо должны образовывать замкнутые кривые, либо должны начинаться и оканчиваться внутри замкнутой поверхности или на самой поверхности.

Но поскольку ток должен проходить от мест с высоким к местам с низким потенциалом, он не может течь по замкнутой кривой.

Поскольку внутри поверхности нет электродов, ток не может начинаться или заканчиваться внутри замкнутой поверхности, а поскольку потенциал во всех точках поверхности один и тот же, не может существовать ток вдоль линий, проходящих от одной точки поверхности к другой.

Таким образом, внутри поверхности нет токов и поэтому не может быть разности потенциалов, потому что такая разность вызвала бы ток, и, следовательно, потенциал внутри замкнутой поверхности всюду такой же, как на поверхности.

(5) Если через любую часть замкнутой поверхности не проходит электрического тока и если внутри поверхности нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри поверхности не будет токов и потенциал будет однороден.

Мы убедились в том, что токи не могут образовывать замкнутых кривых, а также начинаться или заканчиваться внутри поверхности, и поскольку, по предположению, токи не проходят через поверхность, они не могут существовать и потенциал есть постоянная величина.

(6) Если потенциал не меняется на некоторой части замкнутой поверхности, а через остальную часть этой поверхности не текут токи, то потенциал внутри поверхности будет постоянным по тем же причинам.

(7) Если на одной части поверхности тела известен потенциал в каждой точке, а на остальной части поверхности известен ток, протекающий через поверхность в каждой точке, то для точек внутри тела может существовать только одно распределение потенциала.

Действительно, если бы в каждой точке внутри тела существовали два различных значения потенциала, пускай они равнялись бы 𝑉₁ в первом случае и 𝑉₂ во втором случае, и представим себе третий случай, в котором потенциал каждой точки тела равен превышению потенциала в первом случае над потенциалом во втором случае.

Тогда на той части поверхности, для которой потенциал известен, в третьем случае он будет равен нулю, и для той части поверхности, где известны токи, в третьем случае они также будут равны нулю, так что, по (6), потенциал всюду внутри поверхности будет равен нулю, т. е. нет превышения ни 𝑉₁ над 𝑉₂, ни наоборот. Таким образом, имеется только одно возможное распределение потенциалов. Это предложение верно в случаях, когда тело ограничено как одной, так и несколькими замкнутыми поверхностями.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме"