Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 28 (всего у книги 34 страниц)

О постоянных вольтовых элементах

272. В опытах с использованием вольтовой батареи, в которой имеет место поляризация, эта поляризация уменьшается в то время, когда ток не протекает, так что ток, который начинает течь снова, оказывается больше, чем ток, уже текущий некоторое время. Если, с другой стороны, уменьшить сопротивление цепи, допустив протекание тока по закорачивающему шунту, то после того как ток снова начинает течь по обычной цепи, его сила сначала будет меньше нормальной за счёт большой поляризации, возникающей из-за использования закороченной цепи.

Чтобы избавиться от этих нерегулярностей тока, которые доставляют очень много забот в экспериментах, связанных с точными измерениями, необходимо избавиться от поляризации или, по крайней мере, уменьшить её настолько, насколько это возможно.

У поверхности цинковой пластинки, помещённой в раствор сульфата цинка или в разведённую серную кислоту, не наблюдается большой поляризации. Основным местом нахождения поляризации является поверхность отрицательного металла. Если жидкость, в которую помещён отрицательный металл, является разбавленной серной кислотой, можно видеть, как металл начинает покрываться пузырьками водорода, возникающими при электролитическом разложении жидкости. Ясно, что эти пузырьки не дают жидкости соприкасаться с металлом и тем уменьшают площадь контакта и увеличивают сопротивление цепи, Но, кроме видимых пузырьков, определённо существует также тонкий слой водорода, по-видимому, не в свободном состоянии, прилегающий к металлу. Мы видели, что это покрытие может создавать электродвижущую силу, действующую в противоположном направлении. Поэтому такое покрытие обязательно должно уменьшать электродвижущую силу батареи.

Для того чтобы избавиться от этого водородного покрытия, прибегают к различным способам. Покрытие может быть до некоторой степени уменьшено при помощи механических средств, таких, как перемешивание жидкости или протирание поверхности отрицательной пластины. В батарее Сми (Smee) отрицательные пластины расположены вертикально и покрыты тонкими волокнами платины, с которых пузырьки водорода легко срываются и, всплывая вверх, создают ток жидкости, который помогает счищать другие пузырьки по мере их образования.

Однако гораздо более эффективным является применение химических средств. Существует два вида таких средств. В батареях Гроува (Grove) и Бунзена (Bunsen) отрицательная пластина помещается в жидкость, богатую кислородом, и водород, вместо того чтобы создавать покрытие на поверхности пластины, вступает в соединение с этим веществом. В батарее Гроува платиновая пластина помещается в неразведённую азотную кислоту. В первой батарее Бунзена используется угольная пластина, помещённая в ту же кислоту. Для тех же самых целей используется также хромовая кислота. Она имеет то преимущество перед азотной кислотой, что не выделяет паров при протекающих в ней реакциях.

Другой способ избавления от водорода – это использование в качестве отрицательного металла меди, поверхность которой покрыта слоем окисла. Этот слой, однако, быстро исчезает при использовании в качестве отрицательного электрода. Джоуль предложил для восстановления слоя изготовлять медные пластины в форме дисков, наполовину погружённых в жидкость, и медленно их вращать, так, чтобы воздух мог воздействовать на поочерёдно открытые части диска.

При другом способе в качества электролита используется жидкость, катионом в которой является металл, в высокой степени отрицательный по отношению к цинку.

В батарее Даниэля медная пластина помещается в насыщенный раствор медного купороса. Когда ток идёт через раствор от цинка к меди, на медной пластине осаждается медь, но водород не выделяется. Пока раствор является насыщенным, а ток не слишком большим, медь ведёт себя как настоящий катион, в то время как анион SO₄ движется по направлению к цинку.

Если эти условия не выполняются, на катоде появляется водород, который тут же действует на раствор, замещая медь, и соединяется с ионом SO₄, образуя серную кислоту. Когда это происходит, сульфат меди вблизи от медной пластины заменяется на серную кислоту, раствор становится бесцветным и снова возникает поляризация, связанная с выделением водорода. Медь, осаждённая при этих условиях, оказывается по структуре более рыхлой и более хрупкой, чем медь, осаждённая при истинном электролизе.

Для того чтобы жидкость вблизи от медного электрода постоянно была насыщена медным купоросом, нужно поместить кристаллы этого вещества в жидкость по соседству с электродом, так, чтобы при ослаблении раствора из-за осаждения меди могло растворяться больше кристаллов.

Мы уже убедились в необходимости того, чтобы жидкость вблизи от меди была насыщена сульфатом меди. Ещё более необходимо, чтобы та жидкость, в которую погружён цинк, была свободна от сульфата меди. Если сколько-нибудь этой соли доберётся до поверхности цинка, то соль восстановится и медь осядет на цинк. В этом случае цинк, медь и жидкость составляют небольшую цепь, и в этой цепи идёт быстрый электролитический процесс: цинк выедается за счёт процесса, который не вносит никакого вклада в полезное действие батареи.

Чтобы этого не случилось, цинк погружают либо в разведённую серную кислоту, либо в раствор сульфата цинка, а для того чтобы раствор сульфата меди не мог смешаться с этой жидкостью, обе жидкости отделяются друг от друга перегородкой либо из пузыря (плёнки), либо из пористой глины. Эти перегородки не препятствуют электролизу, но в то же время эффективно предотвращают видимые течения, ведущие к смешиванию жидкости.

В некоторых батареях для предотвращения течений используются опилки. Однако эксперименты Грэхэма (Graham) показали, что если две жидкости разделены перегородкой такого типа, то процесс диффузии идёт столь же быстро, как и в случае непосредственного соприкосновения жидкостей, при условии, что видимые течения отсутствуют. По-видимому, если использовать плёнку животного происхождения, которая уменьшает диффузию, то она точно в том же отношении увеличит сопротивление элемента, потому что электролитическая проводимость представляет собой процесс, математические законы которого имеют ту же форму, что и законы диффузии, и то, что мешает одному процессу, должно в равной мере мешать другому. Единственное различие заключается в том, что диффузия имеет место всегда, в то время как ток идёт только тогда, когда батарея находится в действии.

Во всех вариантах батареи Даниэля сульфат меди в конце концов находит дорогу к цинку и портит батарею. Для того чтобы отсрочить этот исход на неопределённое время, сэр У. Томсон ⁸ осуществил следующую конструкцию батареи Даниэля [рис. 22].

⁸Proc. R. S., Jan. 19, 1871.

Рис. 22

В каждом элементе медная пластина положена горизонтально на дно. Сверху наливается насыщенный раствор сульфата цинка. Цинковый электрод имеет форму решётки и расположен горизонтально вблизи от поверхности раствора. Стеклянная трубка погружена в раствор вертикально, так что её нижний конец находится чуть выше медной пластины. В эту трубку насыпаются кристаллы медного купороса. Растворяясь в жидкости, они образуют раствор большей плотности, чем раствор только сульфата цинка, так что этот раствор большей плотности может дойти до цинкового электрода лишь путём диффузии. Эта диффузия замедляется с помощью сифона, состоящего из стеклянной трубки, заполненной хлопчатобумажным фитилём. Один конец трубки находится на полпути между цинком и медью, а другой конец опущен в сосуд, находящийся вне элемента, так что жидкость очень медленно вытягивается из элемента примерно с середины его глубины. Для поддержания уровня сверху при необходимости доливается вода или слабый раствор сульфата цинка.

Таким образом, большая часть медного купороса, который в процессе диффузии движется вверх через жидкость до цинка, вытягивается сифоном, не успев дойти до цинка, и цинковый электрод окружён жидкостью, почти свободной от медного купороса и, вдобавок, очень медленно движущейся вниз, что ещё больше замедляет подъём медного купороса. Во время работы батареи медь оседает на медной пластине, а ионы медленно движутся через жидкость к цинку, с которым и вступают в соединение, образуя сульфат цинка. При этом плотность жидкости у дна падает из-за отложения меди, а плотность жидкости сверху растёт за счёт добавления цинка.

Чтобы эти процессы не изменили соотношение плотности в слоях и не вызвали тем самым появление видимых течений в сосуде, нужно следить за тем, чтобы в трубку подавалось достаточное количество кристаллов сульфата меди и пополнять элемент сверху достаточно слабым раствором сульфата цинка, чтобы этот раствор был легче любого другого слоя жидкости, заполняющей элемент.

Батарея Даниэля далеко не является самой мощной из ныне используемых. Электродвижущая сила элемента Гроува равна ⁹ 192.000.000, Даниэля – 107.900.000 и элемента Бунзена – 188.000.000.

⁹ Все ЭДС в ед. CGSM, см. п. 358.– Примеч.ред.

Сопротивление элемента Даниэля, вообще говоря, превышает сопротивление элементов Гроува или Бунзена, имеющих те же размеры.

Эти недостатки, однако, более чем перекрываются во всех случаях, когда нужны точные измерения, потому что элемент Даниэля превосходит любое другое известное устройство в стабильности электродвижущей силы. Ещё одним преимуществом является способность работать в течение долгого времени, а также то обстоятельство, что элемент Даниэля при работе не выделяет никаких газов.

ГЛАВА VI

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ

О системах линейных проводников

273. Любой проводник может рассматриваться как линейный, если он устроен так, что ток всегда должен проходить одинаковым образом между двумя участками поверхности этого проводника, которые называются электродами. Например, массивный кусок металла любой формы, поверхность которого целиком покрыта изолирующим материалом, за исключением двух мест, где обнажённая поверхность находится в металлическом контакте с электродами, сделанными из хорошо проводящего вещества, можно считать линейным проводником. Действительно, если сделать так, что ток входит через один из электродов и выходит через другой, то линии тока определены и соотношение между электродвижущей силой, током и сопротивлением будет выражаться законом Ома, поскольку ток в любой части проводника будет линейной функцией 𝐸. Но если число электродов больше, чем два, то через проводник может проходить больше одного независимого тока и эти токи могут быть и не сопряжены друг с другом (см. п. 282а и 282б),

Закон Ома

274. Пусть 𝐸 – электродвижущая сила в линейном проводнике, действующая от электрода 𝐴₁ к электроду 𝐴₂ (см. п. 69). Пусть далее 𝐶 – сила электрического тока в проводнике, иначе говоря, пусть за единицу времени через любое поперечное сечение проводника проходит 𝐶 единиц электричества в направлении 𝐴₁𝐴₂, и пусть сопротивление проводника равно 𝑅, тогда Закон Ома выражается следующим образом:

𝐸

=

𝐶𝑅

.

(1)

Линейные проводники, соединённые последовательно

275. Пусть 𝐴₁ и 𝐴₂ – электроды первого проводника, и пусть один из электродов второго проводника находится в контакте с 𝐴₂ так что второй проводник имеет в качестве электродов 𝐴₂, 𝐴₃. Электроды третьего проводника можно обозначить через 𝐴₃ и 𝐴₄.

Обозначим электродвижущие силы, действующие вдоль этих проводников, через 𝐸₁₂, 𝐸₂₃, 𝐸₃₄ и т. д. для следующих проводников.

Пусть сопротивления соответствующих проводников равны 𝑅₁₂, 𝑅₂₃, 𝑅₃₄ и т.д. Тогда, поскольку проводники соединены последовательно, так что через каждый из них протекает один и тот же ток 𝐶, мы имеем по закону Ома

𝐸

₁₂

=

𝐶𝑅

₁₂

,

𝐸

₂₃

=

𝐶𝑅

₂₃

,

𝐸

₃₄

=

𝐶𝑅

₃₄

 и т.д.

(2)

Если 𝐸 – полная электродвижущая сила, a 𝑅 – полное сопротивление всей системы, мы должны иметь по закону Ома

𝐸

=

𝐶𝑅

.

(3)

Но

𝐸

=

𝐶𝑅

₁₂

+

𝐶𝑅

₂₃

+

𝐶𝑅

₃₄

+ и т.д.

(4)

– сумма отдельных электродвижущих сил, равная 𝐶(𝑅₁₂+𝑅₂₃+𝑅₃₄+ и т. д.), согласно уравнениям (2). Сравнивая этот результат с (3), находим

𝑅

=

𝑅

₁₂

+

𝑅

₂₃

+

𝑅

₃₄

+ и т.д.

(5)

Или: сопротивление последовательно соединённых проводников равно сумме сопротивлений этих проводников, взятых в отдельности.

Потенциал в любой точке последовательного соединения

Пусть 𝐴 и 𝐶 – электроды последовательного соединения, 𝐵 – точка между ними, 𝑎, 𝑐 и 𝑏 – потенциалы этих точек соответственно. Обозначим, далее, через 𝑅₁ сопротивление той части цепи, которая заключена между точками 𝐴 и 𝐵, через 𝑅₂ – сопротивление цепи между точками 𝐵 и 𝐶, через 𝑅 – сопротивление всей цепи от 𝐴 до 𝐶 Тогда, поскольку 𝑎-𝑏=𝑅₁𝐶, 𝑏-𝑐=𝑅₂𝐶 и 𝑎-𝑐=𝑅𝐶, потенциал в точке 𝐵 равен

𝑏

=

𝑅₂𝑎+𝑅₁𝑐

𝑅

,

(6)

что и определяет потенциал в точке 𝐵, если потенциалы в точках 𝐴 и 𝐶 заданы.

Сопротивление многократного проводника

276. Пусть некоторое число проводников 𝐴𝐵𝑍, 𝐴𝐶𝑍, 𝐴𝐷𝑍 и т.д. расположены рядом друг с другом и их концы находятся в контакте в одних и тех же двух точках 𝐴 и 𝑍. Тогда говорят, что они образуют многократное (параллельное) соединение (multiple arc).

Пусть сопротивления этих проводников равны соответственно 𝑅₁, 𝑅₂, 𝑅₃, а токи – 𝐶₁ 𝐶₂, 𝐶₃ и пусть сопротивление многократного проводника равно 𝑅 а полный ток через него равен 𝐶. Поскольку потенциалы в точках 𝐴 и 𝑍 имеют одно и то же значение для всех проводников, они имеют одинаковую разность потенциалов, которую мы обозначим через 𝐸. Тогда

𝐸

=

𝐶

₁

𝑅

₁

=

𝐶

₂

𝑅

₂

=

𝐶

₃

𝑅

₃

=

𝐶𝑅

; но

𝐶

=

𝐶

₁

+

𝐶

₂

+

𝐶

₃

, откуда

1

𝑅

=

1

𝑅₁

+

1

𝑅₂

+

1

𝑅₃

.

(7)

Или: обратное сопротивление многократного проводника есть сумма обратных сопротивлений составляющих его проводников.

Если величину, обратную сопротивлению проводника, назвать проводимостью проводника, то можно сказать, что проводимость многократного проводника есть сумма проводимостей составляющих его проводников.

Ток в любой ветви многократного проводника

Из уравнений предыдущего параграфа следует, что если ток в какой-нибудь ветви многократного проводника равен 𝐶₁ а сопротивление этой ветви равно 𝑅₁, то

𝐶

₁

=

𝐶

𝑅

𝑅₁

,

(8)

где 𝐶 – полный ток, a 𝑅 – определённое выше сопротивление многократного проводника

Продольное сопротивление проводников постоянного сечения

277. Пусть ρ – сопротивление куба единичной длины, сделанного из данного материала, по отношению к току, текущему параллельно одному из рёбер. Тогда ρ называется удельным сопротивлением данного материала на единицу объёма.

Рассмотрим теперь проводник, сделанный из того же материала и имеющий форму призмы, длина которой равна 𝑙, а площадь поперечного сечения равна единице. Такой проводник эквивалентен 𝑙 кубам, расположенным последовательно. Его сопротивление поэтому равно 𝑙ρ.

Наконец, рассмотрим проводник длины 𝑙 имеющий постоянное поперечное сечение 𝑠. Он эквивалентен 𝑠 проводникам, подобным рассмотренному ранее и образующих многократное (параллельное) соединение. Поэтому сопротивление такого проводника равно 𝑅=𝑙ρ/𝑠 Если мы знаем сопротивление однородного провода, мы можем определить удельное сопротивление материала, из которого он изготовлен, если мы можем измерить его длину и сечение.

Площадь поперечного сечения тонких проволочек точнее всего определяется путём вычисления по длине, весу и удельному весу образца. Определение удельного веса иногда оказывается неудобным, и в таких случаях используется сопротивление проволоки единичной длины и единичной массы, называемое удельным сопротивлением на единицу веса.

Если 𝑟 – удельное сопротивление на единицу веса, 𝑙 – длина и 𝑚 – масса проволоки, то 𝑅=𝑙²𝑟/𝑚.

О размерностях величин, входящих в эти уравнения

278. Сопротивление проводника равно отношению действующей на проводник электродвижущей силы к производимому ею току. Проводимость проводника есть величина, обратная сопротивлению, или, другими словами, отношение тока к создающей этот ток электродвижущей силе.

Мы знаем, что в электростатической системе единиц отношение количества электричества, распределённого на некотором проводнике, к потенциалу этого проводника есть ёмкость проводника, измеряемая длиной. Если проводник представляет собой сферу, помещённую в безграничное поле, эта длина равна радиусу сферы. Поэтому отношение количества электричества к электродвижущей силе является длиной. Отношение же количества электричества к току есть время, в течение которого течёт ток, переносящий это количество электричества. Поэтому отношение тока к электродвижущей силе есть отношение длины к времени, иными словами, скорость.

В том, что проводимость в электростатической системе единиц имеет размерность скорости, можно убедиться, предположив, что сфера радиуса 𝑟, заряжена до потенциала 𝑉, а затем соединена с Землёй при помощи данного проводника. Пусть сфера сжимается, так что электричество уходит по проводнику, а потенциал сферы остаётся постоянным и равным 𝑉. Тогда заряд на сфере в любой момент времени равен 𝑟𝑉 а ток равен -𝑑/𝑑𝑟⋅(𝑟𝑉). Поскольку значение 𝑉 поддерживается постоянным, ток равен -𝑑𝑟/𝑑𝑟⋅𝑉, причём электродвижущая сила, вызывающая ток, равна 𝑉.

Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или -𝑑𝑟/𝑑𝑟 т.е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал её сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику.

Таким образом, в электростатической системе проводимость проводника есть скорость, и, следовательно, имеет размерность [𝐿^-1𝑇].

Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [𝐿^-1𝑇]. Удельное сопротивление на единицу объёма имеет размерность [𝑇], а удельная проводимость на единицу объёма имеет размерность [𝑇^-1].

Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же.

Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿^-3𝑀𝑇].

279. В дальнейшем мы увидим, что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [𝐿𝑇^-1].

Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине.

Удельное сопротивление на единицу объёма имеет в этой системе единиц размерность [𝐿²𝑇^-1], а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿^-1𝑇^-1𝑀].

Линейная система проводников в общем случае

280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой 𝑛 точек 𝐴₁, 𝐴₂, …, 𝐴_𝑛, соединённых между собой попарно с помощью 𝑛(𝑛-1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞, обозначена через 𝐾_𝑝𝑞 Ток от точки 𝐴_𝑝 к точке 𝐴_𝑞 обозначим через 𝐶_𝑝𝑞. Пусть электрические потенциалы в точках 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞 равны 𝑃_𝑝 и 𝑃_𝑞 соответственно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки 𝐴_𝑝 к точке 𝐴_𝑞, равна 𝐸_𝑝𝑞.

Ток от 𝐴_𝑝 к 𝐴_𝑞 по закону Ома равен

𝐶

_𝑝𝑞

=

𝐾

_𝑝𝑞

(𝑃

_𝑝

–𝑃

_𝑞

+𝐸

_𝑝𝑞

)

.

(1)

Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений.

Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, или

𝐾

_𝑝𝑞

=

𝐾

_𝑞𝑝

.

(2)

Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.

𝐸

_𝑝𝑞

=

–

𝐸

_𝑞𝑝

 и

𝐶

_𝑝𝑞

=

–

𝐶

_𝑞𝑝

.

(3)

Пусть 𝑃₁, 𝑃₂, …, 𝑃_𝑛 – значения потенциалов в точках 𝐴₁, 𝐴₂, …, 𝐴_𝑛 соответственно, a 𝑄₁, 𝑄₂, …, 𝑄_𝑛 – соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности»

𝑄

₁

+

𝑄

₂

+…+

𝑄

_𝑛

=

0,

(4)

поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы.

Условие «непрерывности» в любой точке 𝐴_𝑝 есть

𝑄

_𝑝

=

𝐶

_𝑝1

+

𝐶

_𝑝2

+…+ и т.д.

𝐶

_𝑝𝑛

.

(5)

Подставляя значение токов из соотношения (1), получим

𝑄

_𝑝

=

(

𝐾

_𝑝1

+

𝐾

_𝑝2

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

)

𝑃

_𝑝

–

-

(

𝐾

_𝑝1

𝑃

₁

+

𝐾

_𝑝2

𝑃

₂

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝑃

_𝑛

)

+

+

(

𝐾

_𝑝1

𝐸

_𝑝1

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝐸

_𝑝𝑛

).

(6)

Символ 𝐾_𝑝𝑝 в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять

𝐾

_𝑝𝑝

=-(

𝐾

_𝑝1

+

𝐾

_𝑝2

+

𝐾

_𝑝𝑛

),

(7)

т.е. считать, что величина 𝐾_𝑝𝑝 равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке 𝐴_𝑝 Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки 𝐴_𝑝 в виде

𝐾

_𝑝1

𝑃

₁

+

𝐾

_𝑝2

𝑃

₂

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑝

𝑃

_𝑝

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝑃

_𝑛

=

=

𝐾

_𝑝1

𝐸

₁

+ и т.д. +

𝐾

_𝑝𝑛

𝐸

_𝑛

–

𝑄

_𝑝

.

(8)

Полагая в этом уравнении индекс 𝑝 равным поочерёдно 1,2 и т. д. 𝑛, мы получим 𝑛 уравнений одного и того же вида для определения 𝑛 потенциалов 𝑃₁, 𝑃₂, … 𝑃_𝑛.

Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно 𝑛-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.

Если мы обозначим через 𝐷 определитель

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

𝐾

₁₁

,

𝐾

₁₂

,

…,

𝐾

_1(𝑛-1)

,

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

,

𝐾

₂₁

,

𝐾

₂₂

,

…,

𝐾

_2(𝑛-1)

,

…,

…,

…,

…,

𝐾

_(𝑛-1)1

,

𝐾

_(𝑛-1)2

,

…,

𝐾

_{(𝑛-1)(𝑛-1)}

,

(9)

а через 𝐷_𝑝𝑞 – минор элемента 𝐾_𝑝𝑞, мы получим для величины 𝑃_𝑝-𝑃_𝑛 выражение

(𝑃

_𝑝

–𝑃

_𝑛

)𝐷

=

(𝐾

₁₂

𝐸

₁₂

+ и т.д. -𝑄

₁

)𝐷

_𝑝1

+

+

(𝐾

₂₁

𝐸

₂₁

+ и т.д. -𝑄

₂

)𝐷

_𝑝2

+ и т.д. +

+

(𝐾

_𝑞1

𝐸

_𝑞1

+ и т.д. +𝐾

_𝑞𝑛

𝐸

_𝑞𝑛

–𝑄

_𝑞

)𝐷

_𝑝𝑞

+ и т.д.

(10)

Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем 𝐴_𝑞, над потенциалом точки 𝐴_𝑛. После этого мы можем определить ток между точками 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞 из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.

281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.

В выражении для потенциала 𝑃_𝑝 коэффициент при 𝑄_𝑞 равен -𝐷_𝑝𝑞/𝐷. В выражении для 𝑃_𝑞 коэффициент при 𝑄_𝑝 равен -𝐷_𝑞𝑝/𝐷.

Но величина 𝐷_𝑝𝑞 отличается от 𝐷_𝑞𝑝 только заменой символов, при которой все 𝐾_𝑞𝑝 переходят в 𝐾_𝑝𝑞. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому

𝐷

_𝑝𝑞

=

𝐷

_𝑞𝑝

.

(11)

Отсюда следует, что та часть потенциала в точке 𝐴_𝑝 которая обусловлена введением единичного тока в точку 𝐴_𝑞, равна той части потенциала в точке 𝐴_𝑞, которая обусловлена введением одиночного тока в точку 𝐴_𝑝.

Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.

Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 – любые четыре точки системы, и пусть ток 𝑄 входит в систему через точку 𝐴 и выходит через точку 𝐵, создавая превышение потенциала в точке 𝐶 над потенциалом в точке 𝐷 на величину 𝑃. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток 𝑄 будет входить в систему через точку 𝐶 и выходить через точку 𝐷, то потенциал в точке 𝐴 будет превышать потенциал в точке 𝐵 на ту же самую величину 𝑃.

Если ввести электродвижущую силу 𝐸, действующую на проводник от 𝐴 к 𝐵, и если эта электродвижущая сила вызывает ток 𝐶 от 𝑋 к 𝑌, то та же самая электродвижущая сила 𝐸, введённая в проводник в направлении от 𝑋 к 𝑌, вызовет точно такой же ток 𝐶 от 𝐴 к 𝐵.

Источником электродвижущей силы 𝐸 может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.

282 а. Если электродвижущая сила 𝐸_𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴_𝑝𝐴_𝑞, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы 𝐴_𝑝𝐴_𝑠:

𝐾

_𝑟𝑠

𝐾

_𝑝𝑞

𝐸

_𝑟𝑠

(

𝐷

_𝑟𝑝

+

𝐷

_𝑠𝑞

–

𝐷

_𝑟𝑝

–

𝐷

_𝑠𝑝

)/

𝐷

.

Ток равен нулю, если

𝐷

_𝑟𝑝

+

𝐷

_𝑠𝑞

–

𝐷

_𝑟𝑝

–

𝐷

_𝑠𝑝

=

0.

(12)

Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль 𝐴_𝑟𝐴_𝑠 ток в проводнике 𝐴_𝑝𝐴_𝑞 равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.

Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.

1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.

2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.

Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.

282 б¹. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, циркулирующих в этих двух ячейках, причём токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть 𝑥 – величина тока, 𝐸 – электродвижущая сила и 𝑅 – полное сопротивление в любой ячейке. Пусть, далее, 𝑦, 𝑧, … – токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течёт ток 𝑥. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через 𝑠, 𝑡, …. Тогда

𝑅𝑥

–

𝑠𝑦

–

𝑡𝑧

– и т.д. =

𝐸

.

¹ Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).

Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых циркулируют токи 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно, мы получим три уравнения, а именно

(𝑎+β+γ)

𝑥

–γ

𝑦

–β

𝑧

=𝐸,

-γ

𝑥

+(𝑏+γ+α)

𝑦

–α

𝑧

=0,

-β

𝑥

–α

𝑦

+(𝑐+α+β)

𝑧

=0.

Из этих уравнений мы можем определить величину 𝑧-𝑦, ток, текущий через гальванометр в ответвлении 𝑂𝐴. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.

Тепло, производимое в системе

283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением 𝑅 при протекании тока 𝐶 определяется в согласии с п. 242 формулой

𝐽𝐻

=

𝑅𝐶²

.

(13)

Нам, следовательно, нужно определить сумму величин 𝑅𝐶² для всех проводников системы.

Проводник, соединяющий точки 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞 имеет проводимость 𝐾_𝑝𝑞 и сопротивление 𝑅_𝑝𝑞, причём

𝐾

_𝑝𝑞

𝑅

_𝑝𝑞

=

1.

(14)

Ток в этом проводнике по закону Ома равен

𝐶

_𝑝𝑞

=

𝐾

_𝑝𝑞

(𝑃

_𝑝

–𝑃

_𝑞

)

.

(15)

Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно 𝑋_𝑝𝑞, где

𝑋

_𝑝𝑞

=

𝐶

_𝑝𝑞

𝑌

_𝑝𝑞

.

(16)

Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида 𝑅_𝑝𝑞𝑋²_𝑝𝑞 или

𝐽𝐻

=

∑

{

𝑅

_𝑝𝑞

𝐶²

_𝑝𝑞

+

2𝑅

_𝑝𝑞

𝐶

_𝑝𝑞

𝑌

_𝑝𝑞

+

𝑅

_𝑝𝑞

𝑌²

_𝑝𝑞

}

(17)

Внося значения 𝐶_𝑝𝑞 и помня соотношение между 𝐾_𝑝𝑞 и 𝑅_𝑝𝑞, получаем

∑

[

(𝑃

_𝑝

–𝑃

_𝑞

)

(𝐶

_𝑝𝑞

+2𝑌

_𝑝𝑞

)

+

𝑅

_𝑝𝑞

𝑌²

_𝑝𝑞

].

(18)

Теперь, поскольку и величины 𝐶 и величины 𝑌 должны удовлетворять условию непрерывности в точке 𝐴_𝑝, мы имеем

𝑄

_𝑝

=

𝐶

_𝑝1

+

𝐶

_𝑝2

+ и т.д. +

𝐶

_𝑝𝑛

,

(19)

𝑄

_𝑝

=

𝑋

_𝑝1

+

𝑋

_𝑝2

+ и т.д. +

𝑋

_𝑝𝑛

,

(20)

и, следовательно,

0

=

𝑌

_𝑝1

+

𝑌

_𝑝2

+ и т.д. +

𝑌

_𝑝𝑛

.

(21)

Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим

∑

(

𝑅

_𝑝𝑞

𝑋²

_𝑝𝑞

)

=

∑

𝑃

_𝑝

𝑄

_𝑝

+

∑

𝑅

_𝑝𝑞

𝑋²

_𝑝𝑞

.

(22)

Поскольку величины 𝑅 всегда положительны и величины 𝑌² существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части даёт минимальное значение всего выражения, соответствующее тому случаю, когда величина 𝑌 в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.

Отсюда вытекает следующая теорема:

284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределёнными по закону Ома, оказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.

Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине ∑𝑃_𝑝𝑄_𝑞 сумме произведений количеств электричества, подводимых к разным внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI

Изучаемые в п. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.

Пусть потенциал одной из точек, скажем точки 𝐴_𝑛 принят за нуль. Тогда, как показано в тексте, если в точку 𝐴_𝑠 притекает количество электричества 𝑄_𝑠 потенциал в точке 𝐴_𝑝 равен -(𝐷_𝑝𝑠/𝐷)𝑄_𝑠.

Величины 𝐷 и 𝐷_𝑝𝑠 могут быть определены с помощью следующих правил. Величина -𝐷 равна сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение содержит (𝑛-1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина 𝐷_𝑝𝑠 равна сумме произведений, составленных каждое из (𝑛-2) сомножителей, причём не учитываются такие произведения, которые содержат проводимости ветвей 𝐴_𝑝𝐴_𝑛 или 𝐴_𝑠𝐴_𝑛, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, образующих либо сами по себе, либо с помощью ветвей 𝐴_𝑝𝐴_𝑛 или 𝐴_𝑠𝐴_𝑛 замкнутые контуры.

Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила 𝐸_𝑞𝑟, действующая в разветвлении 𝐴_𝑞𝐴_𝑟 действует так же, как и источник тока величины 𝐾_𝑞𝑟𝐸_𝑞𝑟, расположенный в точке 𝑅, и сток той же величины, расположенный в точке 𝑄, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат приложения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила 𝐸_𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴_𝑝𝐴_𝑞, то величина тока, возникающего при этом в другом проводнике 𝐴_𝑟𝐴_𝑠, равна

𝐾

_𝑟𝑠

𝐾

_𝑝𝑞

Δ

𝐷

𝐸

_𝑝𝑞

,

где 𝐷 вычисляется по указанному выше правилу, а Δ=Δ₁-Δ₂.

Тогда Δ₁ вычисляется следующим образом: составим из проводимостей всевозможные произведения, содержащие (𝑛-2) сомножителей. Выберем из этих произведений такие, которые содержат как проводимость ветви 𝐴_𝑝𝐴_𝑟 (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с 𝐴_𝑝𝐴_𝑟 образуют замкнутый контур), так и проводимость ветви 𝐴_𝑞𝐴_𝑠 (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с 𝐴_𝑠𝐴_𝑞 образуют замкнутый контур). Из выбранных таким образом произведений отбросим те, которые содержат проводимости ветвей 𝐴_𝑟𝐴_𝑠 или 𝐴_𝑝𝐴_𝑞, или же произведения проводимостей тех ветвей, которые образуют замкнутые контуры либо сами по себе, либо с помощью 𝐴_𝑟𝐴_𝑠 или 𝐴_𝑝𝐴_𝑞. Сумма оставшихся членов даст выражение для Δ₁. Величина Δ₂ получается по тому же способу, только вместо ветвей 𝐴_𝑝𝐴_𝑟 и 𝐴_𝑠𝐴_𝑞 следует брать ветви 𝐴_𝑝𝐴_𝑠 и 𝐴_𝑞𝐴_𝑟 соответственно.

Если ток входит через точку 𝑃 и выходит через точку 𝑄, отношение этого тока к разности потенциалов между 𝐴_𝑝 и 𝐴_𝑞, равно 𝐷/Δ'.

Здесь Δ' представляет собой сумму произведений проводимостей, причём в каждое произведение входит (𝑛-2) сомножителей, и отбрасываются все те произведения, которые содержат проводимость ветви 𝐴_𝑝𝐴_𝑞 или содержат произведения проводимостей тех ветвей, которые вместе с ветвью 𝐴_𝑝𝐴_𝑞 образуют замкнутый контур.