Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 32 (всего у книги 34 страниц)

Трубка с запорным краном 𝑄 соединяет нижнюю часть трубок 𝐴 и 𝐵 с нижней частью трубок 𝐶 и 𝐷, а поршень 𝑃 сделан так, чтобы он мог скользить в горизонтальной трубке.

Начнём с предположения, что уровень ртути во всех четырёх трубках один и тот же, и обозначим этот уровень через 𝐴₀, 𝐵₀, 𝐶₀ и 𝐷₀ Пусть при этом поршень находится в положении 𝑃₀, а запорный кран 𝑄 закрыт.

Пусть теперь поршень перемещается из положения 𝑃₀ в положение на расстояние 𝑎. Тогда, поскольку сечения всех трубок равны, уровень ртути в 𝐴 и 𝐶 поднимется на высоту 𝑎, т. е. до отметок 𝐴₁ и 𝐶₁ а ртуть в 𝐵 и 𝐷 опустится на такое же расстояние 𝑎, т.е. до отметок 𝐵₁ и 𝐷₁.

Разность давлений по обе стороны поршня будет представлена величиной 4𝑎.

Эту установку можно использовать для того, чтобы представить диэлектрик, на который действует электродвижущая сила, равная 4𝑎.

Можно считать, что избыток воды в трубке 𝐷 представляет положительный заряд электричества на одной стороне диэлектрика, а избыток ртути в трубке 𝐴 может представлять отрицательный заряд на другой стороне. Тогда избыток давления в трубке 𝑃 с той стороны поршня, которая обращена к 𝐷 будет представлять избыток потенциала на положительной стороне диэлектрика.

Если поршень может двигаться, он будет двигаться назад к положению 𝑃₀, где он будет в равновесии. Это представляет полный разряд диэлектрика.

Во время разряда имеет место обратное движение жидкостей во всей установке, и оно представляет то изменение электрического смещения, которое, по нашему предположению, имеет место в диэлектрике.

Я предположил, что каждая часть системы трубок наполнена несжимаемыми жидкостями, с тем чтобы представить свойство полного электрического смещения, состоящее в том, что ни в каком месте не происходит действительного накопления электричества.

Теперь рассмотрим, что произойдёт, если мы откроем запорный кран 𝑄 в то время, когда поршень 𝑃 находится в положении 𝑄₁.

Уровни 𝐴₁ и 𝐷₁ останутся неизменными, но уровни в трубках 𝐵 и 𝐶 станут одинаковыми и убудут совпадать с 𝐵₀ и 𝐶₀.

Открытый запорный кран 𝑄 отвечает наличию в диэлектрике части, которая обладает некоторой проводящей способностью, но которая не простирается через весь диэлектрик так, чтобы образовать открытый канал.

Заряды на противоположных сторонах диэлектрика остаются изолированными, но отвечающая им разность потенциалов уменьшается.

Действительно, за время прохождения жидкости через 𝑄 разность давлений по обе стороны от поршня падает с 4𝑎 до 2𝑎.

Если мы теперь закроем запорный кран 𝑄 и дадим возможность поршню 𝑃 свободно двигаться, он придёт к равновесию в точке 𝑃₂, и разряд, очевидно, будет равен половине заряда.

Уровень ртути в 𝐴 и 𝐵 будет выше первоначального уровня на 𝑎/2, в то время как уровень в трубках 𝐶 и 𝐷 будет на 𝑎/2 ниже первоначального. Эти уровни изображены отметками 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂, 𝐷₂.

Если теперь закрепить поршень и открыть кран, ртуть будет перетекать из 𝐵 в 𝐶 до тех пор, пока уровень в этих двух трубках не придёт снова к отметкам 𝐵₀ и 𝐶₀. Тогда разность давлений по обе стороны от поршня 𝑃 будет равна 𝑎. Если теперь закрыть запорный кран и освободить поршень 𝑃, он опять придёт к равновесию в некоторой точке 𝑃₃ находящейся на полпути между точками 𝑃₂ и 𝑃₀. Это соответствует остаточному заряду, который наблюдается, когда заряженный диэлектрик сперва разряжается, а потом предоставляется самому себе. Он постепенно восстанавливает часть своего заряда, и если его потом опять разрядить, образуется третий заряд, причём эти последовательные заряды убывают по величине. В случае рассматриваемого иллюстративного эксперимента каждый заряд равен половине предыдущего, а разряды, которые равны 1/2, 1/4 и т. д. от первоначального заряда, образуют ряд, сумма которого равна первоначальному заряду.

Если бы вместо открывания и закрывания крана мы бы в течение всего эксперимента держали кран почти, но не совсем закрытым, мы бы получили случай, напоминающий случай электризации некоторого диэлектрика, который является совершенным изолятором и, кроме того, обнаруживает явление, называемое «электрическим поглощением».

Чтобы представить случай, в котором имеется истинное прохождение тока, мы должны либо сделать так, чтобы поршень пропускал жидкость, либо установить соединение между верхней частью трубки 𝐴 и верхней частью трубки 𝐷.

Таким способом мы можем построить механическую иллюстрацию свойств диэлектрика любого вида, причём два вида электричества представлены двумя настоящими жидкостями, а электрический потенциал представлен давлением жидкости. Заряд и разряд представлены движением поршня 𝑃, а электродвижущая сила – равнодействующей сил, действующих на поршень.

ГЛАВА XI

ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

335. При нынешнем состоянии науки об электричестве определение электрического сопротивления проводника можно рассматривать как основную операцию в электричестве в том же смысле, в каком определение веса является основной операцией в химии.

Причина этого заключается в том, что определение абсолютного значения других электрических величин, таких, как количество электричества, электродвижущие силы, токи и т. д., требует в каждом случае выполнения сложного ряда операций, в том числе, в общем случае, наблюдения времени, измерения расстояний, а также определения моментов инерции, и эти операции, по крайней мере некоторые из них, должны повторяться для каждого нового определения, потому что невозможно сохранить в неизменном состоянии единицу электричества, или электродвижущей силы, или тока так, чтобы эти количества были пригодны для прямого сравнения.

Но если один раз определено электрическое сопротивление проводника, имеющего подходящую форму и сделанного из должным образом выбранного материала, то, как установлено, эта величина всегда остаётся той же самой для той же самой температуры, так что этот проводник может быть использован как стандарт сопротивления, с которым можно сравнивать сопротивление других проводников, а сравнение двух сопротивлений – это такая операция, которая может быть проведена с исключительной точностью.

После того как установлена единица электрического сопротивления, изготовляются вещественные копии этой единицы в виде «Катушек Сопротивления» для использования их исследователями электричества и, таким образом, в любой части света электрические сопротивления могут быть выражены через одну и ту же единицу. Эти катушки с единичным сопротивлением в настоящее время представляют собой единственный пример вещественных электрических стандартов, которые могут быть сохранены, воспроизведены и использованы с целью измерения. Меры электрической ёмкости, которые также имеют большое значение, до сих пор ещё несовершенны из-за возмущающего действия электрической абсорбции.

336. Единица электрического сопротивления может быть совершенно произвольной, как в случае Эталона Якоби, который представлял собой определённый медный провод весом 22,4932 грамма, длиной 7,61975 метра и диаметром 0,667 миллиметра. Копии этого эталона изготовлялись Лейзером (Leyser) в Лейпциге, и их можно найти в разных местах.

В соответствии с другим методом единица сопротивления может быть определена как сопротивление образца, сделанного из определённого вещества и имеющего определённые размеры. Так, единица Сименса определяется как сопротивление столба ртути длиною в один метр и поперечным сечением в один квадратный миллиметр при температуре 0 °С.

337. Наконец, эта единица может быть определена в электростатической или в электромагнитной системе единиц. На практике во всех телеграфных операциях используется электромагнитная система, и потому единственные единицы, которые действительно употребляются,– это единицы этой системы.

В электромагнитной системе, как мы это покажем в своём месте, сопротивление есть величина, имеющая размерность скорости и поэтому может быть выражено как скорость (см. п. 628).

338. Первые фактические измерения в этой системе были проведены Вебером, который использовал в качестве своей единицы один миллиметр в секунду. Позднее, сэр У. Томсон использовал в качестве единицы один фут в секунду, однако большое число исследователей электричества согласились использовать единицу Британской Ассоциации (В. А.). Эта единица представляет такое сопротивление, которое, будучи выражено как скорость, равно десяти миллионам метров в секунду. Величина этой единицы более удобна, чем величина единицы Вебера, которая слишком мала. Иногда эту единицу называют единицей В. А., но, для того чтобы связать её с именем того, кто открыл законы сопротивления, эта единица называется Ом.

339. Чтобы запомнить её абсолютную величину, полезно знать, что десять миллионов метров по определению представляют собой расстояние от полюса до экватора, измеренное вдоль парижского меридиана. Таким образом, тело, проходящее за одну секунду путь вдоль меридиана от полюса до экватора, имело бы скорость, величина которой, по определению, равна величине одного Ома в электромагнитной системе.

Я говорю «по определению» потому, что если бы более точные исследования показали, что вещественный стандарт одного Ома, созданный Британской Ассоциацией, по своей величине отличается от этого значения скорости, то исследователи электричества не стали бы менять свои стандарты, а внесли бы поправку. Точно так же, метр, по определению, равен одной десятимиллионной доле определённой дуги в четверть окружности, но, хотя было найдено, что это не совсем верно, длина метра не была изменена, зато размеры Земли выражаются менее простым числом.

В соответствии с методом Британской Ассоциации абсолютное значение величины первоначально подбирается так, чтобы представлять как можно точнее величину, выведенную из электромагнитной абсолютной системы.

340. Если создана вещественная единица, представляющая эту абстрактную величину, другие стандарты создаются путём копирования этой единицы. Этот процесс может быть выполнен с крайней точностью – во много раз большей точностью, чем, например, изготовление линейки длиною в один фут путём копирования стандартного фута.

Эти копии, изготовленные из наиболее стойких материалов, распределены по всем частям мира, и если первоначальные стандарты будут утрачены, вряд ли возникнут какие-либо трудности в получении их копий.

Но такие единицы, как единица Сименса, могут быть без очень большого труда воспроизведены со значительной точностью, и, поскольку соотношение между Омом и единицей Сименса известно, Ом можно воспроизвести, даже не имея стандарта для копирования, хотя для этого придётся затратить много больше труда, а точность будет много меньше, чем в методе копирования.

Наконец, Ом можно воспроизвести электромагнитным методом, с помощью которого он и был первоначально определён. Этот метод является значительно более трудоёмким, чем определение фута с помощью секундного маятника, и, по-видимому, уступает последнему в точности. С другой стороны, определение электромагнитной единицы, выраженной через Ом, со степенью точности, отвечающей прогрессу электрической науки, представляет собой необычайно важную физическую задачу, вполне достойную повторного исследования.

Существующие катушки сопротивления, созданные для того, чтобы представлять один Ом, сделаны из сплава, состоящего из двух частей серебра и одной части платины, в виде проводов диаметром от 0,5 до 0,8 мм и длиной от одного до двух метров. Эти провода припаяны к толстым медным электродам. Сам провод покрыт двумя слоями шелка, окружён застывшим парафином и помещён в тонкостенный латунный футляр, так что катушка сопротивления легко может быть доведена до температуры, при которой её сопротивление в точности равно одному Ому. Это значение температуры указано на изолирующей подставке катушки (см. рис. 28).

Рис. 28

О форме катушек сопротивления

341. Катушка сопротивления – это проводник, который легко можно включить в вольтову цепь, с тем чтобы ввести в эту цепь известное сопротивление.

Электроды или концы катушки должны быть сделаны так, чтобы способ соединения не вносил заметной ошибки. Для сопротивлений заметной величины важно, чтобы электроды были сделаны из толстых медных проводов или стержней, чтобы концы электродов были хорошо амальгамированы ртутью и были прижаты к плоским амальгамированным медным поверхностям, помещённым в чашки со ртутью.

Для очень больших сопротивлений достаточно, чтобы электроды были сделаны из массивной латуни и чтобы можно было производить соединения, вставляя латунный или медный клин в промежуток между электродами. Этот метод оказался очень удобным.

Сама катушка сопротивления состоит из полностью покрытого шёлком провода, концы которого постоянно припаяны к электродам.

Катушка должна быть устроена так, чтобы легко было определить её температуру. Для этой цели провод наматывается на трубку и закрывается другой трубкой, с тем чтобы его можно было поместить в сосуд с водой и чтобы вода имела доступ и к внешней, и к внутренней частям катушки.

Для того чтобы избежать электромагнитного воздействия от тока в катушке, провод сначала складывается пополам, а затем наматывается на трубку, и, таким образом, в каждой части катушки имеются равные и противоположные токи в прилегающих частях провода.

В тех случаях, когда желательно держать две катушки при одной и той же температуре, провода иногда располагаются рядом и наматываются вместе. Этот метод особенно полезен в тех случаях, когда важнее обеспечить равенство сопротивлений, чем знать их точную величину, как, например, в случае равных плеч мостика Уитстона (п. 347).

Когда впервые приступали к измерениям сопротивления, широко использовалась катушка сопротивления, состоявшая из неизолированного провода, который был намотан вдоль спиральной канавки вокруг цилиндра, сделанного из изолирующего материала. Такое сопротивление было названо Реостатом. Точность, с которой оказалось возможно сравнивать сопротивления, стала вскоре несовместимой с применением любого прибора, в котором контакты не лучше, чем в реостате. Однако в тех случаях, когда точные измерения не требуются, реостат ещё используется для регулировки сопротивления.

Катушки сопротивления изготовляются, как правило, из металлов, имеющих наибольшее сопротивление и мало меняющихся с температурой. Этому требованию очень хорошо удовлетворяет нейзильбер (мельхиор), но оказалось, что некоторые образцы с годами меняют свои свойства. Поэтому для стандартных сопротивлений применяются некоторые чистые металлы, а также сплав платины и серебра; относительное сопротивление таких катушек на протяжении нескольких лет найдено постоянным в пределах современной точности.

342. Для очень больших сопротивлений, таких, как несколько миллионов Ом, провод должен быть очень длинным или очень тонким, и изготовление катушки оказывается дорогим и трудным. Поэтому в качестве материалов для стандартов большого сопротивления были предложены теллур и селен. Очень остроумный и лёгкий метод изготовления был недавно предложен Филлипсом (Phillips ¹). На куске эбонита или матового стекла наносится тонкая карандашная линия. Концы этой нити из графита присоединяются к металлическим электродам, и все вместе затем покрывается изолирующим лаком. Если окажется, что сопротивление такой карандашной линии остаётся постоянным, это будет лучший метод получения сопротивления в несколько миллионов Ом.

¹Phil. Mag.. July, 1870.

343. Существуют различные устройства, с помощью которых катушки сопротивления могут легко вводиться в цепь. Например, ряд катушек, сопротивления которых равны 1, 2, 4, 16 и т. д., расположенные по возрастающим степеням числа 2, могут быть помещены в ящик друг за другом последовательно.

Электроды состоят из толстых латунных пластин, расположенных на внешней стороне ящика таким образом, что, если между двумя из них вставить в качестве шунта латунный штеккер или клин, сопротивление соответствующей катушки может быть убрано из цепи. Это устройство было введено Сименсом.

В каждом промежутке между электродами обозначено сопротивление соответствующей катушки, так что, если, например, мы хотим, чтобы сопротивление в ящике было равно 107, мы выражаем 107 в двоичной системе как сумму 64+32+8+2+1, т. е. как число 1101011. Затем мы вынимаем штеккеры из отверстий, соответствующих числам 64, 32, 8, 2 и 1, и оставляем штеккеры в 16 и 4 [рис. 29].

Рис. 29

Этот метод, основанный на двоичной системе, требует наименьшего числа отдельных катушек, а также легче всего проверяется. Потому что, если мы имеем другую катушку, равную 1, мы можем проверить равенство катушек 1 и 1', затем равенство 1+1' и 2, затем равенство 1+1'+2 и 4 и т. д.

Единственным недостатком этого устройства является то, что требуется знакомство с двоичной системой счисления, а такое знакомство не всегда есть у тех, кто привык выражать каждое число в десятичной системе.

344. Если измеряются проводимости, а не сопротивления, ящик с катушками сопротивления можно устроить по-другому.

Катушки располагаются таким образом, что один конец каждой из них соединён с длинным толстым куском металла, который образует один электрод ящика, а другой конец, как в предыдущем случае, соединён с массивной латунной пластиной.

Другим электродом ящика является длинная латунная пластина, расположенная таким образом, что, вставляя латунные штеккеры в промежутки между этой пластиной и электродами катушек, мы можем соединить её с первым электродом через любой заданный набор катушек. Тогда проводимость ящика равняется сумме проводимостей включённых катушек.

Рис. 30

На рис. 30 сопротивления катушек равны 1, 2, 4 и т. д., а штеккеры включают катушки 2 и 8, поэтому проводимость ящика равна 1/2+1/8=5/8 и, следовательно, сопротивление ящика равно 8/5 или 1,6.

Этот метод соединения катушек сопротивления для измерения дробных сопротивлений был введён сэром У. Томсоном под названием метода многократного (параллельного) соединения (см. п. 276).

О сравнении сопротивлений

345. Если электродвижущая сила батареи равна 𝐸 а сопротивление батареи и всех соединений, включая сопротивление гальванометра, измеряющего ток, равно 𝑅 и если сила тока при включённой батарее равна 𝐼, а после введения в цепь добавочных сопротивлений 𝑟₁, 𝑟₂ сила тока принимает соответственно значения 𝐼₁, 𝐼₂ то по закону Ома

𝐸

=

𝐼𝑅

=

𝐸

₁

(𝑅+𝑟

₁

)

=

𝐸

₂

(𝑅+𝑟

₂

)

.

Исключая электродвижущую силу батареи 𝐸 и сопротивление 𝑅 батареи и её соединений, получаем формулу Ома

𝑟₁

𝑟₂

=

(𝐼-𝐼₁)𝐼₂

(𝐼-𝐼₂)𝐼₁

.

Этот метод требует измерения отношений 𝐼, 𝐼₁ и 𝐼₂, а потому гальванометр должен быть градуирован для абсолютных измерений.

Если сопротивления 𝑟₁ и 𝑟₂ равны, то равны токи 𝐼₁ и 𝐼₂ и мы можем проверить равенство токов с помощью гальванометра, не дающего возможности определить их отношения.

Но этот подход следует скорее рассматривать как пример ошибочного подхода, а не как практический метод определения сопротивления. Электродвижущая сила не может поддерживаться строго постоянной, и внутреннее сопротивление батареи также очень сильно меняется, поэтому не следует основываться на любых методах измерений, в которых эти величины даже на короткое время предполагаются неизменными.

346. Сравнение сопротивлений может быть проведено с крайней точностью при помощи любого из двух методов, в которых результат не зависит от изменений 𝑅 и 𝐸.

Первый из этих методов основан на использовании дифференциального гальванометра, прибора, в котором имеются две катушки, причём ток в каждой из них является независимым от тока в другой, поэтому, если сделать так, что эти токи текут в противоположных направлениях, они оказывают противоположное воздействие на стрелку, и если отношение этих токов равно отношению 𝑚 к 𝑛, они не оказывают суммарного воздействия на стрелку гальванометра [рис. 31].

Рис. 31

Обозначим через 𝐼₁, 𝐼₂ токи, текущие через эти две катушки гальванометра. Тогда отклонение стрелки может быть записано в виде δ=𝑚𝐼₁-𝑛𝐼₂.

Пусть теперь ток батареи 𝐼 разделяется между катушками гальванометра, и пусть в цепь первой и второй катушек введены соответственно сопротивления 𝐴 и 𝐵. Обозначим остальные сопротивления в цепях этих катушек и их соединений соответственно через α и β, сопротивление батареи и её соединений между точками 𝐶 и 𝐷 обозначим через 𝑟, а её электродвижущую силу – через 𝐸.

Тогда, по Закону Ома, для разности потенциалов между точками 𝐶 и 𝐷 находим

𝐼

₁

(𝐴+α)

=

𝐼

₂

(𝐵+β)

=

𝐸-𝐼𝑟

,

и так как 𝐼₁+𝐼₂=𝐼 то

𝐼

₁

=

𝐸

𝐵+β

𝐷

,

𝐼

₂

=

𝐸

𝐴+α

𝐷

,

𝐼

=

𝐸

𝐴+α+𝐵+β

𝐷

,

где

𝐷

=

(𝐴+α)

(𝐵+β)

+

𝑟(𝐴+α+𝐵+β)

.

Поэтому отклонение стрелки гальванометра равно

δ

=

𝐸

𝐷

{

𝑚(𝐵+β)

–

𝑛(𝐴+α)

},

и, если не наблюдается никакого отклонения, тогда мы знаем, что величина, заключенная в фигурные скобки, не может отличаться от нуля больше, чем на некоторое малое количество, зависящее от мощности батареи, от выбора подходящего устройства, от чувствительности гальванометра и от точности наблюдателя.

Предположим, что катушка 𝐵 подобрана так, что не наблюдается видимого отклонения.

Пусть теперь вместо 𝐴 вставляется другой проводник 𝐴', и пусть проводник 𝐴' подбирается так, чтобы не было видимого отклонения. Тогда, очевидно, в первом приближении, 𝐴'=𝐴.

Чтобы установить степень точности этой оценки, обозначим штрихами изменённые количества, относящиеся ко второму наблюдению. Тогда

𝑚(𝐵+β)

–

𝑛(𝐴+α)

=

𝐷

𝐸

δ

,

𝑚(𝐵+β)

–

𝑛(𝐴'+α)

=

𝐷'

𝐸'

δ'

;

отсюда

𝑛(𝐴'-𝐴)

=

𝐷

𝐸

δ

–

𝐷'

𝐸'

δ'

.

Если наблюдения дают, что δ и δ', вместо того чтобы видимым образом обратиться в нуль, только равны друг другу, то, пока мы не можем ручаться, что 𝐸=𝐸', правая часть последнего уравнения может не обратиться в нуль. В этом случае метод был бы только видоизменением метода, описанного выше.

Достоинство излагаемого метода состоит в том, что предметом наблюдения является отсутствие какого бы то ни было отклонения, или, иными словами, этот метод является Нулевым методом, в котором отсутствие силы определяется из такого наблюдения, в котором сила, если бы она отличалась от нуля больше чем на некоторую определённую малую величину, произвела бы наблюдаемый эффект.

Нулевые методы имеют большое значение там, где их можно применить, но они применимы только в тех случаях, когда мы можем сделать так, чтобы два равные и противоположные количества одного и того же вида одновременно входили в эксперимент.

В рассматриваемом нами случае обе величины δ и δ' являются слишком малыми для того, чтобы их можно было наблюдать, и поэтому любое изменение в величине 𝐸 не нарушает точности результата.

Действительную степень точности этого метода можно определить, проведя некоторое число наблюдений, в каждом из которых 𝐴' подстраивается отдельно, и сравнивая результат каждого наблюдения со средним значением, полученным по всей последовательности измерений.

Но если мы выведем 𝐴' из настройки, изменив эту величину известным образом, например, включив в цепь 𝐴 или в цепь 𝐵 добавочное сопротивление, равное одной сотой части от величины 𝐴 или 𝐵, и если мы затем определим результирующее отклонение стрелки гальванометра, мы можем узнать, сколько делений соответствует ошибке в один процент. Чтобы оценить действительную степень точности, мы должны оценить наименьшее отклонение, которое ещё поддаётся наблюдению, и сравнить его с отклонением, соответствующим ошибке в один процент.

² Если нужно сравнить величины 𝐴 и 𝐵 и если 𝐴 и 𝐵 поменять местами, то уравнение станет таким:

𝑚(𝐴+β)

–

𝑛(𝐵+α)

=

𝐷'

𝐸'

δ'

,

откуда

(𝑚+𝑛)

(𝐵-𝐴)

=

𝐷

𝐸

δ

–

𝐷'

𝐸'

δ'

.

² Это исследование взято из трактата Вебера по гальванометрам. Göttingen Transactions, X. р. 65.

Если 𝑚 и 𝑛, 𝐴 и 𝐵, α и β, 𝐸 и 𝐸' приблизительно равны, то

𝐵-𝐴

=

1

2𝑛𝐸

(𝐴+α)

(𝐴+α+2𝑟)

(δ-δ')

.

Здесь за величину δ-δ' можно принять наименьшее наблюдаемое отклонение гальванометра.

Если бы провод гальванометра был длиннее и тоньше при неизменной полной массе, тогда величина 𝑛 менялась бы как длина провода, а величина α – как квадрат длины. Поэтому величина (𝐴+α)(𝐴+α+2𝑟)/𝑛 будет иметь минимум при

α

=

1

3

(𝐴+𝑟)

⎧

⎨

⎩

2

⎛

⎜

⎝

1-

3

4

𝑟²

(𝐴+𝑟)²

⎞½

⎟

⎠

–1

⎫

⎬

⎭

.

Если мы предположим, что сопротивление батареи 𝑟 пренебрежимо мало в сравнении с 𝐴, это даст α=𝐴/3, или сопротивление каждой катушки гальванометра должно быть равно одной трети от величины измеряемого сопротивления.

Мы тогда находим

𝐵-𝐴

=

8

9

𝐴²

𝑛𝐸

(δ-δ')

.

Если мы пустим ток только через одну из катушек гальванометра и если при этом отклонение будет равно Δ (предполагаем, что отклонение строго пропорционально отклоняющей силе), то

Δ

=

𝑛𝐸

𝐴+α+𝑟

=

3

4

𝑛𝐸

𝐴

, если 𝑟

=

0 и α

=

1

3

𝐴

.

Отсюда

𝐵-𝐴

𝐴

=

2

3

δ-δ'

Δ

.

В дифференциальном гальванометре два тока должны производить равное и противоположное воздействие на подвешенную стрелку. Сила, с которой каждый из токов действует на стрелку, зависит не только от величины этого тока, но и от положения витков провода относительно стрелки. Поэтому, если катушка намотана недостаточно тщательно, отношение 𝑚 к 𝑛 может меняться при изменении положения стрелки, и, следовательно, если возникают подозрения о любом изменении положения стрелки, необходимо соответствующими методами определять это отношение 𝑚 к 𝑛 каждый раз в течение хода измерений.

В другом методе, в котором используется мостик Уитстона, требуется только обычный гальванометр, и наблюдаемое нулевое отклонение стрелки вызвано не противодействием двух токов, а отсутствием тока в проводе. Поэтому мы наблюдаем не только нулевое отклонение, но и нулевой ток, и не может возникнуть ошибок от недостаточной регулярности или от изменений любого вида в катушках гальванометра. От гальванометра только требуется, чтобы он был достаточно чувствителен, для того чтобы определять существование и направление тока, и не нужно каким-либо способом определять величину тока или сравнивать величину этого и другого тока.

347. Мостик Уитстона состоит, по существу, из шести проводников, соединяющих четыре точки. К двум из этих точек прикладывается электродвижущая сила 𝐸 с помощью вольтовой батареи, введённой между 𝐵 и 𝐶. Ток между двумя другими точками 𝑂 и 𝐴 измеряется гальванометром [рис. 32].

Рис. 32

При определённых условиях этот ток обращается в нуль. Тогда говорят, что проводники 𝐵𝐶 и 𝑂𝐴 сопряжены один другому, что накладывает определённую связь на сопротивления других четырёх проводников, и эта связь используется при измерении сопротивлений.

Если ток через 𝑂𝐴 равен нулю, потенциал в точке 𝑂 должен быть равен потенциалу в точке 𝐴. Но если мы знаем потенциалы в 𝐵 и 𝐶, мы можем определить потенциалы в 𝑂 и 𝐴 с помощью правил, данных в п. 275, с учётом того, что ток в 𝑂𝐴 отсутствует:

𝑂

=

𝐵γ+𝐶β

β+γ

,

𝐴

=

𝐵𝑏+𝐶𝑐

𝑏+𝑐

,

откуда получаем условие 𝑏β=𝑐γ, где 𝑏, 𝑐, β, γ обозначают соответственно сопротивления участков 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶.

Чтобы определить степень точности, достижимую в этом методе, мы должны определить силу тока в 𝑂𝐴 если это условие не выполнено точно.

Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, и 𝑂 – четыре точки. Пусть токи, текущие вдоль 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, и 𝐴𝐵, равны соответственно 𝑥, 𝑦 и 𝑧, а сопротивления этих проводников – 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Пусть токи, текущие вдоль 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 и 𝑂𝐶 равны ξ, η, ζ, а соответствующие сопротивления равны α, β и γ. Пусть электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль 𝐵𝐶 Требуется определить ток ξ через 𝑂𝐴.

Обозначим потенциалы в точках 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂 буквами 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂. Уравнения, определяющие прохождение тока, будут

𝑎𝑥

=

𝐵-𝐶+𝐸,

αξ

=

𝑂-𝐴,

𝑏𝑦

=

𝐶-𝐴,

βη

=

𝑂-𝐵,

𝑐𝑧

=

𝐴-𝐵,

γζ

=

𝑂-𝐶,

а уравнения непрерывности:

ξ+𝑦+𝑧

=

0,

η+𝑧-𝑥

=

0,

ζ+𝑥-𝑦

=

0.

Рассматривая систему как образованную тремя цепями 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых токи соответственно равны 𝑥, 𝑦, и 𝑧, и применяя к каждой замкнутой цепи правило Кирхгофа, мы исключаем значения потенциалов 𝑂, 𝐴, 𝐵, 𝐶 и токов ξ, η, ζ и получаем следующие уравнения для 𝑥, 𝑦, и 𝑧:

(𝑎+β+γ)

𝑥

–γ

𝑦

–β

𝑧

=

𝐸,

-γ

𝑥

+(𝑏+γ+α)

𝑦

–α

𝑧

=

0,

-β

𝑥

–α

𝑦

+(𝑐+α+β)

𝑧

=

0.

Отсюда, если мы положим

𝐷

=

⎪

⎪

⎪

⎪

𝑎+β+γ,

–γ,

–β,

⎪

⎪

⎪

⎪

,

-γ,

𝑏+γ+α,

–α,

-β,

–α,

𝑐+γ+α

найдём

ξ

=

𝐸

𝐷

(𝑏β-𝑐γ)

и

𝑥

=

𝐸

𝐷

{

(𝑏+γ)

(𝑐+β)

+

α(𝑏+𝑐+β+γ)

}.

348. Значение 𝐷 можно выразить в симметричной форме

𝐷

+

𝑎𝑏𝑐

+

𝑏𝑐(β+γ)

+

𝑐𝑎(γ+α)

+

𝑎𝑏(α+β)

+

+

(𝑎+𝑏+𝑐)

(βγ+γα+αβ)

,

или, так как мы предполагаем, что батарея составляет часть проводника 𝑎, а гальванометр – часть проводника α, можем вместо а писать сопротивление батареи 𝐵, а вместо 𝑎 – сопротивление гальванометра 𝐺. Мы тогда находим

𝐷

=

𝐵𝐺

(𝑏+𝑐+β+γ)

+

𝐵(𝑏+γ)(𝑐+β)

+

+

𝐺(𝑏+𝑐)(β+γ)

+

𝑏𝑐(β+γ)

+

+βγ(𝑏+𝑐)

.

Если бы электродвижущая сила 𝐸 действовала вдоль отрезка 𝑂𝐴, причём сопротивление отрезка 𝑂𝐴 было бы по-прежнему равно α, и если бы гальванометр был включён в 𝐵𝐶, причём сопротивление 𝐵𝐶 было бы по-прежнему равно 𝑎, то величина 𝐷 не изменилась бы и ток в 𝐵𝐶, вызванный электродвижущей силой 𝐸, действующей вдоль 𝑂𝐴, был бы равен току в 𝑂𝐴, вызванному электродвижущей силой 𝐸, действующей в 𝐵𝐶.

Но если мы просто отъединим батарею и гальванометр и, не меняя их соответствующих сопротивлений, присоединим батарею к точкам 𝑂 и 𝐴, а гальванометр – к точкам 𝐵 и 𝐶, то в выражении для 𝐷 мы должны поменять местами 𝐵 и 𝐺. Если обозначить через 𝐷' выражение, в которое переходит 𝐷 после такой перестановки, мы находим

𝐷-𝐷'

=

(𝐺-𝐵)

{

(𝑏+𝑐)

(β+γ)

–

(𝑏+γ)

(β+𝑐)

}=

=

(𝐵-𝐺)

{

(𝑏-β)

(𝑐-γ)

}.

Предположим, что сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.

Предположим также, что в своём первоначальном положении гальванометр соединяет контакт двух проводников, β и γ, обладающих наименьшими сопротивлениями, с контактом двух проводников 𝑏, 𝑐, обладающих наибольшими сопротивлениями. Другими словами, мы будем предполагать, что если величины 𝑏, 𝑐, γ, β расположены в порядке возрастания, то 𝑏 и 𝑐 стоят рядом и γ и β стоят рядом. Поэтому величины 𝑏-β и 𝑐-γ имеют один и тот же знак, вследствие чего их произведение положительно, и потому 𝐷-𝐷' имеет тот же самый знак, что 𝐵-𝐺.

Следовательно, если сделать так, чтобы гальванометр соединял контакт между двумя наибольшими сопротивлениями с контактом между двумя наименьшими сопротивлениями, и если у гальванометра сопротивление больше, чем у батареи, то величина 𝐷 будет меньше, а величина отклонения гальванометра – больше по сравнению с тем случаем, когда соединения переставлены местами.

Отсюда вытекает следующее правило для получения наибольших отклонений гальванометра в данной системе: из двух сопротивлений, батареи и гальванометра, большее нужно подключить так, чтобы оно соединяло два наибольших и два наименьших из остальных четырёх сопротивлений.

349. Предположим, что нам нужно определить отношение сопротивлений двух проводников 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 и что это нужно сделать, отыскав такую точку 𝑂 проводника 𝐵𝑂𝐶, что если точки 𝑂 и 𝐴 соединить проводом с введённым в него гальванометром, а между 𝐵 и 𝐶 включить батарею, то заметного отклонения стрелки гальванометра не произойдёт.