Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 10 (всего у книги 34 страниц)
Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.
85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:
𝑊'-𝑊
=
1
2
∑
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
.
(6)
Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде
𝑑𝑊
=
∑
(𝑉δ𝑒)
=
∑
(𝑒δ𝑉)
.
(7)
Если обозначить через 𝑊𝑒 и 𝑊𝑉 выражения для 𝑊 соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через 𝐴𝑟, 𝑒𝑟, и 𝑉𝑟 – один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то
𝑉
𝑟
=
(𝑑𝑊
𝑒
/𝑑𝑒
𝑟
)
,
(8)
𝑒
𝑟
=
(𝑑𝑊
𝑉
/𝑑𝑉
𝑟
)
.
(9)
86. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через 𝐴𝑡, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника 𝑒𝑡=0 и 𝑒'𝑡=0, так что члены, соответствующие проводнику 𝐴𝑡, отсутствуют в обеих частях равенства (5).
Если какой-либо другой проводник, скажем 𝐴𝑡, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то 𝑉𝑡=0, и 𝑉'𝑡=0, так что соответствующие проводнику 𝐴𝑡 члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).
Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем 𝐴𝑟 и 𝐴𝑠, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид
𝑒
𝑟
𝑉'
𝑟
+
𝑒
𝑠
𝑉'
𝑠
=
𝑒'
𝑟
𝑉
𝑟
+
𝑒'
𝑠
𝑉
𝑠
.
(10)
Пусть в начальном состоянии 𝑒𝑟=1 и 𝑒𝑟=0, а в конечном 𝑒'𝑟=0 и 𝑒𝑟=1, тогда уравнение (10) примет вид
𝑉'
𝑟
=
𝑉
𝑠
,
(11)
т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику 𝐴𝑟 повышает потенциал изолированного проводника 𝐴𝑠 до 𝑉, то единичный заряд, сообщённый проводнику 𝐴𝑟, повышает потенциал изолированного проводника 𝐴𝑠 до того же значения 𝑉 при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.
Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.
Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен 𝑟-1, где 𝑟 – расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии 𝑟 от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения 𝑟-1.
Предположим теперь, что в начальном состоянии 𝑉𝑟=1 и 𝑉𝑠=0 а в конечном 𝑉'𝑟=0 и 𝑉𝑠=1, тогда уравнение (10) примет вид
𝑒
𝑠
=
𝑒'
𝑟
,
(12)
т.е. если при повышении потенциала 𝐴𝑟 до 1 на заземлённом проводнике 𝐴𝑠 индуцируется заряд 𝑒, то при повышении потенциала 𝐴𝑠 до 1 на заземлённом проводнике 𝐴𝑟 индуцируется такой же заряд 𝑒.
Наконец, сделаем третье предположение, что в начальном состоянии 𝑉𝑟=1, a 𝑒𝑠=0, а в конечном 𝑉𝑟=0, а 𝑒'𝑠=1; уравнение (10) принимает на этот раз вид
𝑒'
𝑟
+
𝑉'
𝑠
=
0.
Таким образом, если при незаряженном проводнике 𝐴𝑠 повышение потенциала 𝐴𝑟 до 1 приводит к повышению потенциала 𝐴𝑠 до 𝑉, то при заземлённом проводнике 𝐴𝑟 единичный заряд, сообщённый 𝐴𝑠, индуцирует на проводнике 𝐴𝑟 отрицательный заряд, численно равный 𝑉.
Во всех этих случаях часть остальных проводников может быть изолирована и не заряжена, остальные должны быть заземлены.
Третий рассмотренный случай является элементарной формой одной из теорем Грина. В качестве примера его применения предположим, что мы установили распределение электрического заряда на различных частях проводящей системы, находящейся под нулевым потенциалом, индуцированное единичным зарядом, сообщённым определённому телу системы 𝐴𝑠.
Пусть η𝑟 – заряд тела 𝐴𝑟 при этих условиях. Тогда, если предположить, что на 𝐴𝑠 заряда нет, а остальным телам сообщены различные потенциалы, то потенциал тела 𝐴𝑠 будет
𝑉
𝑠
=-
∑
(η
𝑟
𝑉
𝑟
)
.
(14)
Таким образом, если мы установили поверхностную плотность в любой точке полого проводящего сосуда, находящегося под нулевым потенциалом, обусловленную единичным зарядом, находящимся в заданной точке внутри сосуда, то, зная значение потенциала в каждой точке поверхности этого же размера и формы, что и внутренняя поверхность проводника, мы можем найти потенциал в точке внутри этой поверхности, где находился единичный заряд.
Следовательно, если потенциал известен во всех точках замкнутой поверхности, то его можно определить и в любой точке внутри, если внутри поверхности нет заряженных тел, и во всех точках снаружи, если снаружи нет заряженных тел.
Теория системы проводников
87. Пусть 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛 – 𝑛 проводников произвольной формы, 𝑒1, 𝑒2, …, 𝑒𝑛 – их заряды, a 𝑉1, 𝑉2, …, 𝑉𝑛 – их потенциалы. Пусть диэлектрическая среда, разделяющая проводники, остаётся неизменной и не заряжается при рассматриваемых ниже операциях.
В п. 84 было показано, что потенциал каждого проводника является однородной линейной функцией от 𝑛 зарядов проводников. Следовательно, электрическая энергия системы, являющаяся полусуммой произведений потенциала каждого проводника на его заряд, должна быть однородной квадратичной функцией от 𝑛 зарядов типа
𝑊
𝑒
=
1
2
𝑝₁₁
𝑒₁²
+
𝑝₁₂
𝑒₁𝑒₂
+
1
2
𝑝₂₂
𝑒₂²
+
𝑝₁₃
𝑒₁𝑒₃
+
+
𝑝₂₃
𝑒₂𝑒₃
+
1
2
𝑝₃₃
𝑒₃²
+ …
.
(15)
Индекс 𝑒 указывает, что 𝑊 представлено как функция зарядов. 𝑊 без индекса будет означать выражение (3), в которое входят и заряды и потенциалы.
Из выражения (15) можно найти потенциал любого проводника. Потенциал определяется как работа, необходимая для переноса единичного заряда из области нулевого потенциала в точку с данным потенциалом, а поскольку эта работа идёт на увеличение 𝑊, то достаточно продифференцировать 𝑊𝑒 по заряду определённого проводника, чтобы найти его потенциал. Таким образом, получим систему 𝑛 линейных уравнений
𝑉₁
=
𝑝₁₁𝑒₁
+
…
+
𝑝
𝑟
₁𝑒
𝑟
+
…
+
𝑝
𝑛
₁𝑒
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑉
𝑠
=
𝑝
𝑠
₁𝑒₁
+
…
+
𝑝
𝑟
𝑠
𝑒
𝑟
+
…
+
𝑝
𝑛
𝑠
𝑒
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑉
𝑛
=
𝑝
𝑛
₁𝑒₁
+
…
+
𝑝
𝑟
𝑛
𝑒
𝑟
+
…
+
𝑝
𝑛
𝑛
𝑒
𝑛
,
(16)
выражающих 𝑛 потенциалов через 𝑛 зарядов.
Коэффициенты 𝑝𝑟𝑠 называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй – на потенциал.
Коэффициент 𝑝𝑟𝑟 с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника 𝐴𝑟 при единичном заряде на нём и при нулевых зарядах на всех остальных проводниках. Существует 𝑛 таких коэффициентов по числу проводников.
Коэффициент 𝑝𝑟𝑠 с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике 𝐴𝑠 при единичном заряде на проводнике 𝐴𝑟 и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме 𝐴𝑟.
Мы уже показали в п. 86, что 𝑝𝑟𝑠=𝑝𝑠𝑟. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств
𝑝
𝑟𝑠
=
𝑑𝑉𝑠
𝑑𝑒𝑟
=
𝑑
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑠
=
𝑑
𝑑𝑒𝑠
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑟
=
𝑝
𝑠𝑟
.
(17)
Число различных коэффициентов с двумя отличающимися индексами равно, следовательно, 𝑛(𝑛-1)/2, по одному для каждой пары проводников.
Решая уравнения (16) относительно 𝑒1, 𝑒2 и т. д., мы получим 𝑛 уравнений, выражающих заряды через потенциалы
𝑒₁
=
𝑞₁₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
₁𝑉
𝑟
+
…
+
𝑞
𝑛
₁𝑉
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑒
𝑠
=
𝑞
𝑠
₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
𝑠
𝑉
𝑟
+
…
+
𝑞
𝑛
𝑠
𝑉
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑒
𝑛
=
𝑞
𝑛
₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
𝑛
𝑉
𝑛
+
…
+
𝑞
𝑛
𝑛
𝑉
𝑛
,
(18)
В этом случае также 𝑞𝑟𝑠=𝑞𝑠𝑟, так как
𝑞
𝑟𝑠
=
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑉𝑠
=
𝑑
𝑑𝑉𝑠
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑟
=
𝑑
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑠
=
𝑞
𝑠𝑟
.
(19)
Подставляя значения зарядов в выражение для электрической энергии
𝑊
=
[
𝑒
1
𝑉
1
+…+
𝑒
𝑟
𝑉
𝑟
+…+
𝑒
𝑛
𝑉
𝑛
]/2
,
(20)
мы получим выражение для энергии через потенциалы
𝑊
𝑉
=
1
2
𝑞₁₁
𝑉₁²
+
𝑞₁₂
𝑉₁
𝑉₂
+
1
2
𝑞₂₂
𝑉₂²
+
𝑞₁₃
𝑉₁
𝑉₃
+
+
𝑞₂₃
𝑉₂
𝑉₃
+
1
2
𝑞₃₃
𝑉₃²
+
… .
(21)
Коэффициент с одинаковыми индексами называется Электрической Ёмкостью того проводника, к которому он относится.
Определение. Ёмкость проводника – это его заряд при единичном потенциале этого проводника и при нулевом потенциале остальных проводников.
Это подходящее определение для ёмкости проводника, если не делается никаких дополнительных уточнений. Но иногда оказывается удобным задавать другие условия на некоторых или на всех прочих проводниках, например, считать часть из них незаряженными. Мы можем тогда определить ёмкость проводника при этих условиях как его заряд при единичном потенциале.
Прочие коэффициенты называются коэффициентами индукции. Каждый из этих коэффициентов 𝑞𝑟𝑠 показывает величину заряда, появляющегося на 𝐴𝑟 при единичном потенциале проводника 𝐴𝑠 и нулевых потенциалах всех остальных проводников, кроме 𝐴𝑠.
Математический расчёт коэффициентов потенциала и коэффициентов ёмкости в общем случае весьма труден. Ниже мы покажем, что эти коэффициенты имеют всегда вполне определённое значение, а в некоторых частных случаях рассчитаем их. Мы покажем также, как их можно определить на опыте.
Если идёт речь о ёмкости проводника без указания формы и положения остальных проводников системы, то подразумевается его ёмкость при условии, что никаких других проводников или заряженных тел нет на конечном расстоянии от рассматриваемого проводника.
Если иметь дело только с ёмкостями и коэффициентами индукции, то иногда оказывается удобным записывать их в виде [𝐴.𝑃]. Этот символ означает заряд на проводнике 𝐴 при единичном потенциале проводника 𝑃 (и при нулевом потенциале остальных проводников).
Аналогично [(𝐴+𝐵).(𝑃+𝑄)] будет означать заряд на 𝐴+𝐵 при единичных потенциалах на 𝑃 и 𝑄. Легко видеть, что, поскольку
[(𝐴+𝐵).(𝑃+𝑄)]
=
[𝐴.𝑃]
+
[𝐴.𝑄]
+
[𝐵.𝑃]
+
[𝐵.𝑄]
=
=
[(𝑃+𝑄).(𝐴+𝐵)]
,
эти составные символы ведут себя по отношению к сложению и умножению как обычные числа.
Символ [𝐴.𝐴] означает заряд на проводнике 𝐴 при единичном потенциале 𝐴 т.е. ёмкость проводника 𝐴.
Аналогично [(𝐴+𝐵).(𝐴+𝑄)] означает сумму зарядов на проводниках 𝐴 и 𝐵 при единичном потенциале на 𝐴 и на 𝑄 и при нулевом потенциале остальных проводников, кроме 𝐴 и 𝑄. Эту величину можно разложить на сумму [𝐴.𝐴] + [𝐴.𝐵] + [𝐴.𝑄] + [𝐵.𝑄].
Коэффициенты потенциала не могут быть рассмотрены таким же способом. Коэффициенты индукции представляют собой заряды, и эти заряды можно складывать, а коэффициенты потенциала представляют собой потенциалы. Если потенциал проводника 𝐴 равен 𝑉1 а потенциал проводника 𝐵 равен 𝑉2, то сумма 𝑉1+𝑉2 не описывает какое-либо физическое явление, хотя разность 𝑉1-𝑉2 является электродвижущей силой от 𝐴 к 𝐵.
Коэффициенты индукции между двумя проводниками можно выразить через ёмкости этих проводников и через совместную ёмкость обоих проводников: [𝐴.𝐵] = [(𝐴+𝐵).(𝐴+𝐵)]/2 – [𝐴.𝐴]/2 – [𝐵.𝐵]/2.
Размерность коэффициентов
88. Поскольку потенциал заряда 𝑒 на расстоянии 𝑟 равен 𝑒/𝑟, то размерность электрического заряда равна произведению размерностей потенциала и длины.
Поэтому коэффициенты ёмкости и индукции имеют ту же размерность, что и длина, так что каждый из них может быть представлен отрезком прямой, длина которого не зависит от принятой системы единиц.
По тем же соображениям коэффициенты потенциала имеют размерность, обратную размерности длины.
О некоторых условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты
89 а. Прежде всего, поскольку электрическая энергия системы является существенно положительной величиной, то выражающая её квадратичная форма от зарядов или от потенциалов должна быть положительной при любых положительных или отрицательных значениях зарядов или потенциалов.
Существует 𝑛 условий того, что однородная квадратичная функция 𝑛 переменных всегда положительна; их можно записать в виде
𝑝
11
>0,
⎪
⎪
⎪
𝑝
11
,
𝑝
12
⎪
⎪
⎪
𝑝
21
,
𝑝
12
>0, …
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑝
11
…,
𝑝
1𝑛
⎪
⎪
⎪
⎪
…
…,
…
𝑝
𝑛1
…,
𝑝
𝑛𝑛
>0.
(22)
Эти 𝑛 условий необходимы и достаточны для того, чтобы квадратичная форма 𝑊𝑒 была существенно положительной 1. Но поскольку в выражении (16) проводники могут быть расположены в произвольном порядке, то положительным должен быть любой детерминант, образованный симметрично из коэффициентов, относящихся к любому сочетанию из 𝑛 проводников, причём число таких сочетаний равно 2𝑛-1 Однако из всех этих условий лишь 𝑛 оказываются независимыми.
1 См. Williamson, «Differential Calculus», 3rd edition, p. 407.
Коэффициенты ёмкости и индукции удовлетворяют таким же условиям.
89 б.Все коэффициенты потенциала положительны, причём ни один из коэффициентов 𝑝𝑟𝑠 не превосходит 𝑝𝑟𝑟 или 𝑝𝑠𝑠.
Пусть проводнику 𝐴𝑟 сообщён единичный заряд, а все остальные проводники не заряжены. При этом образуется некоторая система эквипотенциальных поверхностей. Одна из них совпадает с поверхностью проводника 𝐴𝑟; потенциал на ней равен 𝑝𝑟𝑟. Если проводник 𝐴𝑠 расположен в полости внутри проводника 𝐴𝑟, т.е. полностью окружён им, то потенциал 𝐴𝑠 тоже равен 𝑝𝑟𝑟.
Если же проводник 𝐴𝑠 находится вне 𝐴𝑟, то его потенциал 𝑝𝑟𝑠 будет заключаться между 𝑝𝑟𝑟 и нулём.
Действительно, рассмотрим силовые линии, выходящие из заряженного проводника 𝐴𝑟. Заряд проводника измеряется превышением числа выходящих из проводника линий над числом заканчивающихся на нём. Поэтому для незаряженного проводника число входящих в проводник линий должно равняться числу выходящих из него. Линии, входящие в проводник, приходят из области с большим потенциалом, а выходящие линии уходят в области с меньшим потенциалом. Поэтому потенциал незаряженного проводника должен быть промежуточным между наибольшим и наименьшим потенциалом в поле, и, следовательно наибольший и наименьший потенциал не может достигаться на незаряженное теле.
Таким образом, наибольшим потенциалом должен быть потенциал 𝑝𝑟𝑟 заряженного тела 𝐴𝑟, а наименьшим – потенциал на бесконечном расстоянии, равный нулю; потенциалы всех остальных проводников 𝑝𝑟𝑠 должны лежать между 𝑝𝑟𝑟 и нулём.
Если 𝐴𝑠 полностью охватывает 𝐴𝑡, то 𝑝𝑟𝑠 = 𝑝𝑟𝑡.
89 в. Ни один из коэффициентов индукции не может быть положительным и сумма всех коэффициентов индукции, относящихся к определённому проводнику, численно не превышает коэффициента ёмкости этого проводника, который всегда положителен.
Пусть 𝐴𝑟 находится под единичным потенциалом, тогда как на всех остальных проводниках поддерживается нулевой потенциал. Тогда заряд на 𝐴𝑟 будет равен 𝑞𝑟𝑟, а на любом прочем проводнике 𝐴𝑠 равен 𝑞𝑟𝑠.
Число силовых линий, выходящих из 𝐴𝑟, равно 𝑞𝑟𝑟. Часть из них кончается на других проводниках, часть может уходить в бесконечность, но ни одна силовая линия не может идти с одного из прочих проводников на другой или же в бесконечность, так как все они находятся под нулевым потенциалом.
Ни одна силовая линия не может выйти из такого проводника 𝐴𝑠, так как ни одна область поля не имеет потенциал ниже, чем на 𝐴𝑠. Если проводник 𝐴𝑠 полностью отрезан от проводника 𝐴𝑟 замкнутой поверхностью одного из проводников, то 𝑞𝑟𝑠 равно нулю. Если 𝐴𝑠 не отрезано полностью, то 𝑞𝑟𝑠 отрицательно.
Если один из проводников 𝐴𝑡 полностью окружает 𝐴𝑟, то все силовые линии, выходящие из 𝐴𝑟, попадают на 𝐴𝑡, и на проводники, находящиеся внутри 𝐴𝑡, и сумма коэффициентов индукции этих проводников по отношению к 𝐴𝑟, будет равна величине 𝑞𝑟𝑟 с обратным знаком. Если же 𝐴𝑟 не полностью окружено проводником, то арифметическая сумма коэффициентов индукции 𝑞𝑟𝑠 будет меньше, чем 𝑞𝑟𝑟.
Мы вывели эти две теоремы независимо, исходя из физических соображений. Предоставляем любителям математики установить, является ли одна из них следствием другой.
89 г. Если в поле имеется единственный проводник, то его собственный коэффициент потенциала равен обратной величине его ёмкости.
Центр распределения электричества в отсутствие внешних сил называется электрическим центром проводника. Если проводник симметричен относительно своего геометрического центра, то эта точка и является электрическим центром. Если размеры проводника малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, то положение электрического центра можно определить достаточно точно на глаз.
Потенциал на расстоянии 𝑐 от электрического центра имеет значение между
𝑒
𝑐
⎛
⎜
⎝
1+
𝑎²
𝑐²
⎞
⎟
⎠
и
𝑒
𝑐
⎛
⎜
⎝
1-
𝑎²
𝑐²
⎞
⎟
⎠
где 𝑒 – заряд проводника, а 𝑎 -наибольшее расстояние точек его поверхности от электрического центра.
Действительно, если предположить, что заряд сосредоточен в двух точках, находящихся на расстоянии 𝑎 по обе стороны от электрического центра, то первое из приведённых выражений даст потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, а второе – на перпендикулярной ей прямой. Для всех остальных распределений заряда внутри сферы радиуса 𝑎 потенциал будет иметь значение, промежуточное между этими двумя.
Если в поле имеется два проводника, то их взаимный коэффициент потенциала равен 1/𝑐', где 𝑐' отличается от расстояния 𝑐 между их электрическими центрами не больше чем на (𝑎²+𝑏²)/𝑐. Здесь 𝑎 и 𝑏 – наибольшие расстояния точек поверхностей обоих тел от их электрических центров.
89 д. Если в поле вносится новый проводник, то собственные коэффициенты потенциала всех остальных проводников уменьшаются.
Действительно, предположим сначала, что новое тело 𝐵 – диэлектрик (с такой же удельной индуктивной способностью, как у воздуха) и не несёт на себе никаких зарядов. Тогда если одному из проводников 𝐴1 сообщить заряд 𝑒1, то на распределение электричества на проводниках тело 𝐵 не повлияет, так как 𝐵 остаётся всюду незаряженным, и электрическая энергия системы будет просто равна (𝑒₁𝑉₁)/2 = (𝑒₁²𝑝₁₁)/2.
Пусть теперь 𝐵 становится проводником. Заряд начнёт по нему перетекать из областей с большим потенциалом в области с меньшим потенциалом, при этом электрическая энергия системы уменьшится, так что величина (𝑒₁²𝑝₁₁)/2 должна уменьшиться.
Поскольку 𝑒₁ остаётся постоянным, должно уменьшиться 𝑝₁₁.
Если к телу 𝐵 будет добавлено другое тело 𝑏, находящееся в контакте с ним, то 𝑝₁₁ ещё больше уменьшится.
В самом деле, предположим сначала, что тела 𝐵 и 𝑏 не соединены. Внесение нового тела 𝑏 уменьшит 𝑝₁₁. Пусть после этого тела 𝐵 и 𝑏 соединены. Если какой-либо заряд перейдёт с одного тела на другое, то он пойдёт от большего потенциала к меньшему, так что, как мы показали, 𝑝₁₁ опять уменьшится.
Таким образом, уменьшение 𝑝₁₁ проводящим телом 𝐵 больше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого вписывается в 𝐵, и меньше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого охватывает 𝐵.
В главе XI мы покажем (п. 146), что сфера диаметром 𝑏 на расстоянии 𝑟, большом по сравнению с 𝑏, уменьшает величину 𝑝₁₁ приблизительно на 𝑏3/(8𝑟4).
Отсюда следует, что если тело 𝐵 любой другой формы, и 𝑏 – его наибольший поперечный размер, то уменьшение 𝑝₁₁ должно быть меньше 𝑏3/(8𝑟4).
Поэтому если наибольший размер тела 𝐵 настолько мал по сравнению с расстоянием от тела 𝐴1 что величинами порядка 𝑏3/(8𝑟4) мы можем пренебречь, то в качестве достаточного приближения для 𝑝₁₁ можно рассматривать обратную величину ёмкости уединённого тела 𝐴1.
90 а. Пусть ёмкость уединённого проводника 𝐴1 равна 𝐾1, ёмкость уединённого проводника 𝐴2 равна 𝐾2, и пусть среднее расстояние между этими проводниками равно 𝑟, причём 𝑟 очень велико по сравнению с наибольшими поперечными размерами 𝐴1 и 𝐴2. Тогда 𝑝₁₁=(1/𝐾1), 𝑝₁₂=(1/𝑟), 𝑝₂₂=(1/𝐾2), 𝑉₁=𝑒₁𝐾₁-1+𝑒₂𝑟-1, 𝑉₂=𝑒₁𝑟-1+𝑒₂𝐾₂-1.
Отсюда 𝑞₁₁=𝐾₁(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1, 𝑞₁₂=𝐾₁𝐾₂𝑟-1(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1, 𝑞₂₂=𝐾₂(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1.
Здесь 𝑞₁₁ и 𝑞₂₂ -ёмкости проводников 𝐴1 и 𝐴2, когда они уже не удалены по отдельности на бесконечное расстояние от всех тел, а помещены на расстоянии 𝑟 друг от друга.
90 б. Если два проводника настолько близки друг к другу, что их коэффициент взаимной индукции велик, то такую комбинацию мы называем Конденсатором.
Пусть 𝐴 и 𝐵 – два проводника (электрода) конденсатора.
Пусть 𝐿 – ёмкость 𝐴, 𝑁 – ёмкость 𝐵, а 𝑀 – коэффициент взаимной индукции (следует помнить, что 𝑀 отрицательно, так что численные значения 𝐿+𝑀 и 𝐿+𝑁 меньше, чем 𝐿 и 𝑁).
Пусть 𝑎 и 𝑏 – электроды другого конденсатора, находящегося на расстоянии 𝑅 от первого, причём 𝑅 много больше размеров каждого конденсатора, и пусть коэффициенты ёмкости и индукции уединённого конденсатора 𝑎𝑏 равны соответственно 𝑙, 𝑛, 𝑚. Рассчитаем влияние одного из конденсаторов на коэффициенты другого.
Положим
𝐷
=
𝐿𝑁-𝑀²
,
𝑑
=
𝑙𝑛-𝑚²
.
Тогда коэффициенты потенциала для каждого из конденсаторов в отдельности будут равны
𝑝
𝐴𝐴
=
𝐷
-1
𝑁,
𝑝
𝑎𝑎
=
𝑑
-1
𝑛,
𝑝
𝐴𝐵
=
–𝐷
-1
𝑀,
𝑝
𝑎𝑏
=
–𝑑
-1
𝑚,
𝑝
𝐵𝐵
=
𝐷
-1
𝐿,
𝑝
𝑏𝑏
=
𝑑
-1
𝑙.
Значения этих коэффициентов существенно не изменятся от присутствия другого конденсатора на расстоянии 𝑅.
Коэффициент потенциала для любых двух проводников, находящихся на расстоянии 𝑅 равен 𝑅-1, так что 𝑝𝐴𝑎 = 𝑝𝐴𝑏 = 𝑝𝐵𝑎 = 𝑝𝐵𝑏 = 𝑅-1.
Таким образом, уравнения для потенциала имеют вид
𝑉
𝐴
=
𝐷
-1
𝑁𝑒
𝐴
–
𝐷
-1
𝑀𝑒
𝐵
+
𝑅
-1
𝑒
𝑎
+
𝑅
-1
𝑒
𝑏
,
𝑉
𝐵
=
–𝐷
-1
𝑀𝑒
𝐴
–
𝐷
-1
𝐿𝑒
𝐵
+
𝑅
-1
𝑒
𝑎
+
𝑅
-1
𝑒
𝑏
,
𝑉
𝑎
=
𝑅
-1
𝑒
𝐴
+
𝑅
-1
𝑒
𝐵
+
𝑑
-1
𝑛𝑒
𝑎
–
𝑑
-1
𝑚𝑒
𝑏
,
𝑉
𝑏
=
𝑅
-1
𝑒
𝐴
+
𝑅
-1
𝑒
𝐵
–
𝑑
-1
𝑚𝑒
𝑎
+
𝑑
-1
𝑙𝑒
𝑏
.
Решая эти уравнения относительно зарядов, получим
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿'
=
𝐿
+
(𝐿+𝑀)²(𝑙+2𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝐵
=
𝑀'
=
𝑀
(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅(𝐿+𝑀)(𝑙+𝑚)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝑏
=-
𝑅(𝐿+𝑀)(𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
где 𝐿', 𝑀', 𝑁' – значения 𝐿, 𝑀, 𝑁' при внесении второго конденсатора в поле.
Если в поле вносится лишь один проводник 𝑎, то 𝑚=𝑛=0 и
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿'
=
𝐿
+
(𝐿+𝑀)²𝑙
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
,
𝑞
𝐴𝐵
=
𝑀'
=
𝑀
(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)𝑙
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅𝑙(𝐿+𝑀)
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
.
Если имеется просто два проводника 𝐴 и 𝑎, то 𝑀=𝑁=𝑚=𝑛=0, и
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿
+
𝐿²𝑙
𝑅²-𝐿𝑙
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅𝐿𝑙
𝑅²-𝐿𝑙
,
что согласуется с выражениями, найденными в п. 90 а.
Величина 𝐿+2𝑀+𝑁 даёт полный заряд конденсатора при единичном потенциале на электродах. Она не может превосходить половины наибольшего размера конденсатора.
𝐿+𝑀 – заряд первого электрода, a 𝑀+𝑁 – заряд второго при единичном потенциале на обоих электродах. Обе эти величины должны быть положительны и меньше ёмкости самого электрода. Поэтому поправки в коэффициентах ёмкости конденсатора значительно меньше, чем для простого проводника той же ёмкости.
Приближения такого рода часто полезны при оценке ёмкости проводников неправильной формы, находящихся на значительном расстоянии от остальных проводников.
91. Если в поле вносится округлый проводник 𝐴3, размеры которого малы по сравнению с расстоянием между проводниками, то коэффициент потенциала 𝐴1 относительно 𝐴2 увеличивается, если 𝐴3 находится внутри сферы, построенной на прямой 𝐴1𝐴2 как на диаметре, и уменьшается, если 𝐴3 вне этой сферы.
Действительно, единичный положительный заряд на 𝐴1 создаёт распределение электричества на 𝐴3, при котором +𝑒 находится на стороне, наиболее удалённой от 𝐴1 а -𝑒 – на стороне, ближайшей к 𝐴1. Потенциал на 𝐴2, создаваемый этим распределением электричества на 𝐴3, будет положительным или отрицательным в зависимости от того, какой из зарядов, +𝑒 или -𝑒, ближе к 𝐴2, и если тело 𝐴3 не очень вытянуто, то это зависит от того, будет ли угол 𝐴1𝐴2𝐴3 тупым или острым, т. е. находится ли точка 𝐴3 внутри или вне сферы, построенной на 𝐴1𝐴2 как на диаметре.
Для продолговатого тела 𝐴3 легко видеть, что если его наибольшая ось расположена по касательной к окружности, проходящей через точки 𝐴1, 𝐴3 и 𝐴2, то оно может повысить потенциал 𝐴2, даже находясь полностью вне сферы, и, наоборот, если его наибольшая ось направлена по радиусу этой окружности, то оно может уменьшить потенциал 𝐴2, даже находясь полностью внутри сферы. Эти соображения служат лишь для грубой оценки ожидаемых явлений при заданной конфигурации прибора.
92. Если в поле вносится новый проводник 𝐴3, то ёмкости всех имевшихся ранее в поле проводников увеличиваются, а численные значения коэффициентов индукции любой пары проводников уменьшаются.
Действительно, допустим, что 𝐴1 находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники – под нулевым. Поскольку заряд вновь внесённого проводника будет отрицательным, он индуцирует на всех остальных проводниках положительный заряд, тем самым увеличивая положительный заряд 𝐴1 и уменьшая отрицательные заряды всех остальных проводников.
93 а. Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы изолированных заряженных проводников.
Поскольку проводники изолированы, то их заряды остаются при перемещении постоянными. Пусть их потенциалы равны 𝑉1, 𝑉2, …, 𝑉𝑛 до перемещения и 𝑉'1, 𝑉'2, …, 𝑉'𝑛 – после. Тогда электрическая энергия равна 𝑊=(1/2)∑(𝑒𝑉) до перемещения и 𝑊'=(1/2)∑(𝑒𝑉') – после.
Работа, совершаемая при перемещении электрическими силами, равна разности начальной энергии 𝑊 и конечной энергии 𝑊' т.е. 𝑊-𝑊'=(1/2)∑[𝑒(𝑉-𝑉')].
Это выражение даёт значение работы при любом перемещении системы изолированных проводников, большом или малом.
Чтобы найти силу, стремящуюся произвести какой-либо частный вид перемещения, обозначим через φ переменную, изменение которой соответствует этому виду перемещения, а через Φ – соответствующую силу, которую мы считаем положительной, если электрическая сила стремится увеличить φ. Тогда Φ𝑑φ=-𝑑𝑊𝑒, т.е. Φ=-(𝑑𝑊𝑒/𝑑φ), где 𝑊𝑒 – электрическая энергия, выраженная как квадратичная функция от зарядов.
93 б. Докажем, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊𝑉/𝑑φ) = 0.
У нас есть три различных выражения для энергии системы.
Во-первых, 𝑊=(1/2)∑(𝑒𝑉). Это определённая функция от 𝑑 зарядов и 𝑑 потенциалов.
Во-вторых, 𝑊𝑒=(1/2)∑∑(𝑒𝑟𝑒𝑠𝑝𝑟𝑠), где 𝑟 и 𝑠 могут быть и одинаковыми и разными, причём в сумму включается как 𝑟𝑠, так и 𝑠𝑟. Это функция от 𝑛 зарядов и от переменных, определяющих их расположение. Пусть φ одна из этих переменных.
И, в-третьих, 𝑊𝑉=(1/2)∑∑(𝑉𝑟𝑉𝑠𝑞𝑟𝑠), где суммирование производится как и выше. Это функция от 𝑛 потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является φ.
Поскольку 𝑊=𝑊𝑒=𝑊𝑉, то 𝑊𝑒+𝑊𝑉-2𝑊=0.
Представим себе, что 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ как-то меняются согласованным образом. Тогда
∑
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑟
–
𝑉
𝑟
⎞
⎟
⎠
δ𝑒
𝑟
⎤
⎥
⎦
+
∑
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑠
–
𝑒
𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑉
𝑠
⎤
⎥
⎦
+
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑒
𝑑φ
+
𝑑𝑊𝑉
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
δφ
=
0.
Однако 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ не являются независимыми, так как лишь 𝑛+1 из этих величин независимы. Но мы уже доказали, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑𝑒𝑟)=𝑉𝑟, так что первая сумма тождественно обращается в нуль. Отсюда следует, что (𝑑𝑊𝑉/𝑑𝑉𝑠) = 𝑒𝑠. (даже если бы мы это уже не доказали раньше) и, наконец, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊𝑉/𝑑φ) = 0.
Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными
93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна Φ=(𝑑𝑊𝑉/𝑑𝑉𝑠), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна
∫
Φ𝑑φ
=
∫
𝑑𝑊
𝑉
=
𝑊'
𝑉
–𝑊
𝑉
,
т.е. равна в этом случае приращению электрической энергии.
Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы. Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении.
Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении.
О сравнении подобных заряженных систем
94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как 𝐿 к 𝐿', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции и ёмкости этих систем относятся как 𝐿 к 𝐿'. Действительно, если рассмотреть соответствующие части 𝐴 и 𝐴' этих систем и предположить, что количество электричества на 𝐴 равно 𝑒, а на 𝐴' равно 𝑒', то создаваемые этими зарядами потенциалы 𝑉 и 𝑉' в соответствующих точках 𝐵 и 𝐵' будут равны 𝑉=(𝑒/𝐴𝐵), 𝑉'=(𝑒'/𝐴'𝐵'). Но 𝐴𝐵 относится к 𝐴'𝐵' как 𝐿 к 𝐿', так что 𝑒:𝑒 = 𝐿𝑉:𝐿'𝑉'.
В случае же, когда индуктивные способности диэлектриков в этих системах различны и равны 𝐾 для первой и 𝐾' для второй, если потенциалы в соответствующих точках первой и второй систем относятся как 𝑉 к 𝑉', а заряды в соответствующих частях систем – как 𝑒 к 𝑒', то 𝑒:𝑒' = 𝐿𝑉𝐾:𝐿'𝑉'𝐾'. По этой пропорции мы можем находить отношение полных зарядов соответствующих частей двух систем, которые, во-первых, геометрически подобны, во-вторых, содержат среды, удельные индуктивные способности которых относятся друг к другу в соответствующих точках как 𝐾 и 𝐾', и, в-третьих, заряжены так, что их потенциалы в соответствующих точках относятся как 𝑉 к 𝑉'.
Отсюда следует, что если 𝑞 – какой-либо коэффициент ёмкости или индукции первой системы, a 𝑞' – соответствующий коэффициент второй системы, то 𝑞:𝑞' = 𝐿𝐾:𝐿'𝐾', а если 𝑝 и 𝑝' – соответствующие коэффициенты потенциала в обеих системах, то 𝑝:𝑝' = (1/𝐿𝐾):(1/𝐿'𝐾').
Если одно из тел смещено в первой системе, а соответствующее ему тело смещено подобным образом во второй системе, то эти смещения относятся как 𝐿 к 𝐿'; если действующие на тела силы обозначить через 𝐹 к 𝐹', то работы, совершенные в обеих системах, относятся как 𝐹𝐿 к 𝐹'𝐿'.
Но полная электрическая энергия равна полусумме произведений зарядов на потенциалы заряженных тел, так что, обозначая через 𝑊 и 𝑊' полную электрическую энергию двух подобных систем, получим 𝑊:𝑊'=𝑒𝑉:𝑒'𝑉', и разности энергий, получающихся при подобных перемещениях в обеих системах, будут находиться в том же отношении. Поскольку 𝐹𝐿 пропорционально работе электрической силы на перемещении, то 𝐹𝐿:𝐹'𝐿' = 𝑒𝑉:𝑒'𝑉'.
Комбинируя эти пропорции, мы найдём, что отношение силы, действующей на какое-либо тело в одной системе к силе, действующей на соответствующее тело во второй системе, равно
𝐹:𝐹'
=
𝑉²𝐾:𝑉'²𝐾'
,
или
𝐹:𝐹'
=
𝑒²
𝐿²𝐾
:
𝑒'²
𝐿'²𝐾'
.
Первая пропорция показывает, что в подобных системах сила пропорциональна квадрату электродвижущей силы и индуктивной способности среды и не зависит от фактических размеров системы.
Следовательно, два проводника, помещённые в жидкость с индуктивной способностью больше, чем у воздуха, и заряженные до определённого потенциала, будут притягиваться сильнее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же потенциалах.
Вторая пропорция показывает, что если количество электричества на каждом теле задано, то силы пропорциональны квадратам зарядов и обратно пропорциональны квадратам расстояний, а также обратно пропорциональны индуктивным способностям сред. Следовательно, два проводника с заданными зарядами, помещённые в жидкость с индуктивной способностью большей, чем у воздуха, будут притягиваться слабее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же зарядах.
ГЛАВА IV
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
95 а. Во второй главе мы рассчитали потенциальную функцию и исследовали некоторые её свойства, исходя из предположения, что существует непосредственное действие на расстоянии между заряженными телами, являющееся равнодействующей непосредственного воздействия различных заряженных элементов этих тел друг на друга.
Если этот метод исследования назвать прямым, то обратный ему метод будет заключаться в принятии предположения, что потенциал – это функция, обладающая теми свойствами, которые мы вывели выше, и в исследовании вида этой функции.
