Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 22 (всего у книги 34 страниц)

Пример VIII. Теория решётки из параллельных проволок. Рис.XIII

203. Во многих электрических приборах применяется проволочная решётка для предохранения некоторых частей прибора от электризации через индукцию. Мы знаем, что если проводник полностью окружён металлическим сосудом, находящимся под тем же потенциалом, что и проводник, то никакое заряженное тело вне сосуда не может навести на поверхности проводника никакого заряда. Однако проводник, полностью окружённый металлом, становится невидимым, и поэтому в некоторых случаях оставляют отверстие, закрываемое решёткой из тонких проволочек. Рассмотрим, как сказывается такая решётка на уменьшении эффекта электрической индукции. Мы примем, что такая решётка состоит из ряда параллельных проволок, расположенных в одной плоскости через равные интервалы. Диаметр проволок будем считать много меньше расстояния между ними, а расстояние от плоскости экрана до ближайших заряженных тел с одной стороны решётки и до защищаемого проводника с другой стороны будем считать существенно больше расстояния между соседними проволочками.

204. Потенциал на расстоянии 𝑟' от оси прямой проволоки бесконечной длины с зарядом λ на единицу длины равен

𝑉

=

–2λ ln 𝑟'+𝐶

.

(1)

Мы можем записать это выражение в полярных координатах относительно оси, находящейся на единичном расстоянии от проволочки. При этом мы должны положить

𝑟'²

=

1-2𝑟 cos θ+𝑟²

.

(2)

Если принять, что ось отсчёта также заряжена с линейной плотностью λ', то

𝑉

=

–λ ln(1-2𝑟 cos θ+𝑟²)

–2λ' ln 𝑟+𝐶

.

(3)

Если положить, что

𝑟

=

𝑒

^{(2π𝑦)/𝑎}

,

θ

=

2π𝑥

𝑎

,

(4)

то, согласно теории сопряжённых функций, величина

𝑉

=

–λ ln(1-2𝑒

^{(2π𝑦)/𝑎}

cos(2π𝑥)/𝑎+𝑒

^{(4π𝑦)/𝑎}

)

–

-

2λ'ln 𝑒

^{(2π𝑦)/𝑎}

+𝐶

(5)

(𝑥, 𝑦 – прямоугольные координаты) будет значением потенциала, обусловленного бесконечным рядом тонких проволочек, параллельных 𝑧, расположенных в плоскости 𝑥𝑧 и проходящих через точки оси 𝑥, для которых 𝑥 кратно 𝑎, и плоскостями, перпендикулярными оси 𝑦.

Каждая из этих проволочек заряжена с линейной плотностью λ.

Член с λ' указывает на электризацию, вызывающую постоянную силу 4πλ'/𝑎 в направлении 𝑦.

Форма эквипотенциальных поверхностей и силовых линий при λ'=0 дана на рис. XIII. Вблизи проволочек эквипотенциальные поверхности имеют почти цилиндрическую форму, так что мы можем считать решение приблизительно верным и в том случае, когда проволочки представляют собой цилиндры, диаметр которых конечен, но мал по сравнению, с расстоянием между ними.

Вдали от проволочек эквипотенциальные поверхности становятся всё ближе и ближе к плоскостям, параллельным плоскости решётки.

Если положить в уравнении 𝑦=𝑏₁ где 𝑏₁ много больше 𝑎, то приближённо

𝑉

₁

=

–

4π𝑏₁

𝑎

(λ+λ')

+

𝐶

.

(6)

Если далее положить 𝑦=-𝑏₂, где 𝑏₂ положительно и много больше 𝑎, то приближённо

𝑉

₂

=

4π𝑏₂

𝑎

λ'

+

𝐶

.

(7)

Если 𝑐 – радиус проволочек решётки, причём 𝑐 много меньше 𝑎, то потенциал самой решётки можно найти, приняв, что поверхность проволочки совпадает с эквипотенциальной поверхностью, пересекающей плоскость 𝑥𝑧 на расстоянии 𝑐 от оси 𝑧. Поэтому для нахождения потенциала решётки положим 𝑥=𝑐 и 𝑦=0, откуда

𝑉

=

–2 ln 2sin

π𝑐

𝑎

+

𝐶

.

(8)

205. Мы получили теперь выражения, описывающие электрическое состояние системы, состоящей из проволочной решётки с диаметром проволок, много меньшим расстояния между ними, и двух проводящих поверхностей по обе стороны от решётки, находящихся на расстояниях, много больших расстояния между проволочками.

Поверхностная плотность σ₁ на первой плоскости находится из уравнения (6):

4πσ

₁

=

𝑑𝑉₁

𝑑𝑏₁

=

–

4π

𝑎

(λ+λ')

,

(9)

а на второй плоскости – из уравнения (7):

4πσ

₂

=

𝑑𝑉₂

𝑑𝑏₂

=

4π

𝑎

λ'

.

(9)

Если положить

α

=

–

𝑎

2π

ln

⎛

⎜

⎝

2 sin

π𝑐

𝑎

⎞

⎟

⎠

(11)

и исключить 𝑐, λ и λ' из уравнений (6), (7), (8), (9), (10), то получим

4πσ

₁

⎛

⎜

⎝

𝑏

₁

+

𝑏

₂

+

𝑏₁𝑏₂

α

⎞

⎟

⎠

=

𝑉

₁

⎛

⎜

⎝

1

+

𝑏₂

α

⎞

⎟

⎠

–

𝑉

₂

–

𝑉

𝑏₂

α

,

(12)

4πσ

₂

⎛

⎜

⎝

𝑏

₁

+

𝑏

₂

+

𝑏₁𝑏₂

α

⎞

⎟

⎠

=

–

𝑉

₁

+

𝑉

₂

⎛

⎜

⎝

1

+

𝑏₁

α

⎞

⎟

⎠

–

𝑉

𝑏₁

α

.

(13)

Для бесконечно тонких проволочек α становится бесконечным, члены, где α входит в знаменатель, исчезают, так что мы приходим к случаю двух параллельных пластин без всякой решётки.

Если решётка находится в металлическом контакте с одной из плоскостей, скажем с первой, то 𝑉=𝑉₁ и правая часть уравнения для σ₁ становится равной 𝑉₁-𝑉₂. Следовательно, плотность σ₁, наводимая на первой плоскости при наличии решётки, относится к значению плотности, которая наводилась бы при отсутствии решётки, и при второй плоскости, поддерживаемой при том же потенциале, как 1 к 1+[𝑏₁𝑏₂/{α(𝑏₁+𝑏₂)}].

Мы пришли бы к той же величине уменьшения электрического влияния первой поверхности на вторую при наличии решётки, если бы считали, что решётка связана со второй поверхностью. Это ясно из того, что 𝑏₁ и 𝑏₂ входят в это выражение одинаково. Это непосредственно следует также из теоремы п. 88.

Индукция одной заряженной плоскости на другую через решётку получается такая же, что и при удалённой решётке, но на расстоянии между плоскостями, увеличенном с 𝑏₁+𝑏₂ до 𝑏₁+𝑏₂+(𝑏₁𝑏₂/α).

Если обе плоскости находятся под нулевым потенциалом, а решётка заряжена до заданного потенциала, то количество электричества на ней относится к количеству электричества, которое индуцировалось бы на плоскости равной площади, помещённой в то же положение, как 𝑏₁𝑏₂/[𝑏₁𝑏₂+α(𝑏₁+𝑏₂)].

Эти результаты справедливы в предположении, что 𝑏₁ и 𝑏₂ много больше α, а α много больше 𝑐. Величина α имеет размерность длины и может принимать любое значение. Она становится бесконечно большой при неограниченном уменьшении 𝑐.

Если положить 𝑐=𝑎/2, то между проволочками решётки не будет никакого зазора, так что не будет никакой индукции через решётку. Поэтому α должно было бы быть равным 0. Но формула (11) даёт в этом случае α=-(𝑎/2π) ln 2=-0,11𝑎, что, очевидно, неверно, так как решётка никогда не может привести к изменению знака индукции. Нетрудно, однако, в случае решётки и цилиндрических проволочек перейти к более высокому приближению. Я здесь только намечу основные этапы такого перехода.

Метод приближения

206. Поскольку проволоки имеют цилиндрическую форму и распределение электричества на каждой проволоке симметрично относительно диаметра параллельного оси 𝑦, то подходящее разложение для потенциала имеет вид

𝑉

=

𝐶

₀

ln 𝑟

∑

𝐶

_𝑖

𝑟

^𝑖

cos 𝑖θ

,

(14)

где 𝑟 – расстояние от оси проволочек, а θ – угол между 𝑟 и 𝑦. Поскольку проволока является проводником, то при 𝑟 равном радиусу проволоки 𝑉 должно быть постоянно, и, следовательно, коэффициенты при всех косинусах дуг, кратных θ, должны обращаться в 0.

Перейдём для краткости к новым координатам ξ, η и т. д., так что

𝑎ξ

=

2π𝑥

,

𝑎η

=

2π𝑦

,

𝑎ρ

=

2π𝑟

,

𝑎β

=

2π𝑏

  и т.д.,

(15)

и пусть

𝐹

_β

=

ln(

𝑒

^η+β

+

𝑒

^-(η+β)

–

2cos ξ

).

(16)

Тогда, положив

𝑉

=

𝐴

₀

𝐹

_β

+

𝐴

₁

𝑑𝐹_β

𝑑η

+

𝐴

₂

𝑑²𝐹_β

𝑑η²

+…,

(17)

мы можем, выбрав соответствующие значения коэффициентов 𝐴, представить любой потенциал, являющийся функцией от η и cos ξ и не обращающийся в бесконечность нигде, кроме η+β=0 и cos ξ=1.

При β=0 разложение 𝐹 по ρ и θ имеет вид

𝐹

₀

=

2 ln ρ

+

1

12

ρ²cos 2θ

–

1

1440

ρ

⁴

cos 4θ

+…

.

(18)

Для конечных значений β разложение 𝐹 имеет вид

𝐹

_β

=

β

+

2 ln(1-𝑒

^-β

)

+

1+𝑒^-β

1-𝑒^-β

ρ cos θ

–

-

𝑒^-β

(1-𝑒^-β)²

ρ² cos 2θ

+…

.

(19)

В случае решётки с двумя проводящими плоскостями, уравнения которых η=β₁ и η=-β₂, а уравнение плоскости решётки η=0, получатся два бесконечных ряда изображений решётки. Первый ряд будет состоять из самой решётки и бесконечной последовательности изображений с обеих сторон с зарядом той же величины и знака. Оси этих воображаемых цилиндров лежат в плоскостях, уравнения которых имеют вид

η

=

±2𝑛

(β

₁

+β

₂

)

.

(20)

Второй ряд будет состоять из бесконечной последовательности изображений, для которых коэффициенты 𝐴₀, 𝐴₂, 𝐴₄ и т.д. равны и противоположны по знаку соответствующим величинам для самой решётки, а коэффициенты 𝐴₁, 𝐴₃ и т.д. совпадают по величине и по знаку с соответствующими коэффициентами для решётки. Оси этих изображений расположены в плоскостях, уравнения которых имеют вид

η

=

2β

₂

±2𝑚

(β

₁

+β

₂

)

,

(21)

где 𝑚 – целое.

Потенциал, создаваемый любой бесконечной последовательностью таких изображений, будет зависеть от того, чётно или нечётно число изображений. Таким образом, потенциал бесконечной последовательности остаётся неопределённым, но если добавить к нему функцию 𝐵η+𝐶, то условия задачи достаточны, чтобы найти распределение электричества.

Сначала нужно выразить потенциалы двух проводящих плоскостей 𝑉₁ и 𝑉₂ через 𝐵, 𝐶 и коэффициенты 𝐴₁, 𝐴₂, …. Затем нужно определить поверхностные плотности σ₁, σ₂ в произвольной точке этих плоскостей. Средние значения σ₁ и σ₂ даются уравнениями

4πσ

₁

=

2π

𝑎

(𝐴

₀

–𝐵)

,

4πσ

₂

=

2π

𝑎

(𝐴

₀

+𝐵)

.

(22)

Затем потенциалы самой решётки и всех изображений следует разложить по ρ и по косинусам дуг, кратных θ, и добавить к ним 𝐵ρ cos θ+𝐶.

Члены, не зависящие от θ, дают при этом потенциал решётки 𝑉, а приравнивание к нулю коэффициентов при косинусах даёт уравнения для неопределённых коэффициентов.

Полученных таким образом уравнений достаточно для того, чтобы исключить все эти коэффициенты и свести к двум уравнениям, выражающим σ₁ и σ₂ через 𝑉₁ 𝑉₂ и 𝑉.

Эти уравнения имеют вид

𝑉

₁

–

𝑉

=

4πσ

₁

(𝑏

₁

+α-γ)

+

4πσ

₂

(α+γ)

,

𝑉

₂

–

𝑉

=

4πσ

₁

(α+γ)

+

4πσ

₂

(𝑏

₂

+α-γ)

.

(23)

Количество электричества, наводимое на одной из плоскостей, защищённой решёткой, другой плоскостью при заданной разности потенциалов, будет таким, как если бы плоскости находились не на расстоянии 𝑏₁+𝑏₂, а на расстоянии

(α-γ)(𝑏₁+𝑏₂+𝑏₁𝑏₂-4αγ)

α+γ

.

Значения α и γ приближённо равны

α

=

𝑎

2π

⎧

⎨

⎩

ln

𝑎

2π𝑐

–

5

3

⋅

π⁴𝑐⁴

15𝑎⁴+π⁴𝑐⁴

+

+

2𝑒

^{-4π(𝑏₁+𝑏₂)/𝑎}

(1+

𝑒

^{-4π(𝑏₁/𝑎)}

+

𝑒

^{-4π(𝑏₂/𝑎)}

+…)

+…

⎫

⎬

⎭

,

γ

=

3π𝑎𝑐²

3𝑎²+π²𝑐²

⎛

⎜

⎝

𝑒^{-4π(𝑏₁/𝑎)}

1-𝑒^{-4π(𝑏₁/𝑎)}

–

𝑒^{-4π(𝑏₂/𝑎)}

1-𝑒^{-4π(𝑏₂/𝑎)}

⎞

⎟

⎠

+…

.

ГЛАВА XIII

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ

Об электростатических приборах

Приборы, которые нам теперь нужно рассмотреть, можно разделить на следующие классы:

1) Приборы для получения и увеличения электризации.

2) Умножители – для увеличения электризации в известное число раз.

3) Электрометры – для измерения электрических потенциалов и зарядов.

4) Накопители – для удержания больших электрических зарядов.

Электрические машины

207. В обычной электрической машине стеклянная пластинка или стеклянный цилиндр приводятся во вращение так, чтобы при этом происходило трение о кожу, на поверхность которой наносится амальгама цинка и ртути. Поверхность стекла электризуется положительно, а натирающая поверхность (щётка) – отрицательно. Когда электризованная поверхность стекла отходит от отрицательно электризованной щётки, стекло приобретает высокий положительный потенциал. Затем поверхность проходит мимо набора заострённых металлических стержней, соединённых кондуктором машины. Положительная электризация стекла вызывает отрицательную электризацию иголок, которая тем больше, чем острее иголки и чем они ближе к стеклу.

Когда машина работает должным образом, между стеклом и остриями происходит разряд через воздух, стекло теряет часть своего положительного заряда, заряд переходит на острия и, таким образом, попадает на изолированный главный кондуктор машины, т. е. на любое другое тело, которое находится с ним в электрическом соединении.

Те участки стекла, которые приближаются к щётке, имеют меньший положительный заряд, чем те, которые в то же самое время удаляются от щётки, так что щётка и связанные с ней проводники становятся отрицательно электризованными.

Поверхность стекла с высоким положительным потенциалом, удаляющаяся от щётки, сильнее притягивается отрицательным зарядом щётки, чем частично разряженная поверхность, которая приближается к щётке. Поэтому электрические силы действуют как сопротивление той силе, которая приводит машину во вращение. Таким образом, работа, затраченная на вращение машины, оказывается больше, чем работа, затраченная на преодоление обычного трения и других сил сопротивления, а избыток идёт на создание состояния электризации, энергия которого эквивалентна этому избытку.

Работа, затраченная на преодоление трения, сразу переходит в тепло в трущихся друг о друга телах. Электрическая энергия также может быть обращена либо в механическую энергию, либо в тепло.

Если машина не запасает механической энергии, то вся энергия будет обращена в тепло, и единственная разница между теплом от трения и теплом от электрического действия заключается в том, что первое порождается на трущихся поверхностях, в то время как второе может порождаться в проводниках на расстоянии ¹.

¹ Представляется вероятным, что во многих случаях, когда динамическая энергия превращается в тепло из-за трения, часть энергии может сначала перейти в электрическую энергию, а затем преобразовываться в тепло по мере того, как электрическая энергия затрачивается на поддержание замкнутых токов вблизи от трущихся поверхностей. См. сэр Уильям Томсон «Об электродинамических свойствах металлов». Phil. Trans., 1856. р. 649.

Мы видели, что электрический заряд на поверхности стекла притягивается щёткой. Если бы это притяжение было достаточно велико, то вместо разряда между стеклом и собирающими остриями мог бы возникнуть разряд между стеклом и щёткой. Чтобы этого не произошло, к щётке прикрепляются кусочки шелка. Они отрицательно электризуются и прижимаются к стеклу и, таким образом, уменьшают потенциал вблизи от щётки.

Поэтому по мере того как стекло отходит от щётки, потенциал возрастает не так быстро и, таким образом, в каждой точке притяжение заряда на стекле к щётке оказывается меньше, а следовательно, уменьшается и опасность прямого разряда на щётку.

В некоторых электрических машинах движущаяся часть сделана из эбонита, а не из стекла, а щётка – из шерсти или меха. В этом случае щётка заряжается положительно, а главный кондуктор – отрицательно.

Электрофор Вольта

208. Электрофор состоит из смоляной или эбонитовой пластины, которая имеет сзади металлическое покрытие, и из металлической пластины того же размера. К задней стороне каждой из этих пластин может быть привёрнута изолированная рукоятка. Эбонитовая пластина имеет металлическую иглу, и, когда металлическая и эбонитовая пластины соприкасаются, эта игла соединяет металлическую пластину с металлическим покрытием на задней стороне эбонитовой пластины.

Эбонитовая пластина электризуется отрицательно трением о шерсть или кошачью шкурку. Затем при помощи изолирующей ручки к эбониту подносится металлическая пластина. Между эбонитом и металлической пластиной не происходит прямого разряда, но вследствие индукции потенциал металлической пластины становится отрицательным, так что, когда она подходит на определённое расстояние к металлической игле, проскакивает искра. Если теперь металлическую пластину отвести на некоторое расстояние, то окажется, что она заряжена положительно, и её заряд может быть передан проводнику. При этом металлическое покрытие на обратной стороне эбонитовой пластины получает отрицательный заряд, равный по величине и противоположный по знаку заряду на металлической пластине.

При использовании этого прибора для зарядки конденсатора или накопителя одна из пластин помещается на проводнике, соединённом с землёй, а другая сначала кладётся на первую, затем снимается и приводится в соприкосновение с электродом конденсатора, затем кладётся на закреплённую пластину, и процесс повторяется. Если закреплена эбонитовая пластина, конденсатор будет заряжен положительно. Если закреплена металлическая пластина, конденсатор будет заряжен отрицательно.

Работа, совершаемая рукой при разделении пластин, всегда превышает работу сил электрического притяжения, совершаемую при сближении пластин, так что процесс зарядки конденсатора связан с затратой работы. За счёт части этой работы создаётся энергия заряженного конденсатора, часть работы идёт на шум и тепло при возникновении искр, а остальная часть – на преодоление других сил, препятствующих движению.

О машинах, создающих электризацию посредством механической работы

209. В обыкновенной фрикционной электрической машине работа, затрачиваемая на преодоление трения, оказывается намного больше, чем та, которая идёт на увеличение электризации. Поэтому любая установка, с помощью которой электризация может производиться целиком за счёт механической работы против электрических сил, представляется важной с научной точки зрения, даже если она и не имеет практического значения. Первой машиной такого рода, по-видимому, был вращающийся удвоитель Никольсона, описанный в Philosophical Transactions за 1788 г. как «прибор, который при вращении рукоятки создаёт два состояния электричества без трения или соединения с Землёй».

210. Именно с помощью вращающегося удвоителя Вольта Смог увеличить электризацию, получаемую от столба, до величины, способной воздействовать на его электрометр. Приборы, действующие на том же самом принципе, были независимо изобретены г-ном Варлеем ² (Varley) и сэром У. Томсоном.

² Specification of Patent, Jan. 27, 1860, N 206.

Эти приборы в своей основе состоят из изолированных проводников различной формы, из которых одни закреплены, а другие подвижны. Движущиеся проводники называются носителями, а неподвижные могут быть названы индукторами, приёмниками и регенераторами. Индукторы и приёмники имеют такую форму, что, когда носители при своём обращении достигают определённых точек, они оказываются почти полностью внутри некоторого проводящего тела. Однако индукторы и приёмники не могут полностью окружать носитель и в то же время позволять ему свободно входить и выходить наружу. Этого нельзя добиться без сложного устройства подвижных частей. Поэтому прибор с теоретической точки зрения не является совершенным без пары регенераторов, накапливающих небольшие количества электричества, которые носители удерживают на себе при выходе из приёмников.

Однако мы пока можем предположить, что индукторы и приёмники полностью окружают носитель, когда он находится внутри них, поскольку в этом случае теория очень упрощается.

Мы предположим, что машина состоит из двух индукторов 𝐴 и 𝐶, из двух приёмников 𝐵 и 𝐷 и из двух носителей 𝐹 и 𝐺.

Предположим, что индуктор 𝐴 наэлектризован положительно, так что его потенциал равен 𝐴, и пусть носитель 𝐹 находится внутри индуктора 𝐴 и имеет потенциал 𝐹. Тогда, если коэффициент индукции между 𝐴 и 𝐹 равен 𝑄 (величину 𝑄 считаем положительной), количество электричества на носителе будет равно 𝑄(𝐹-𝐴).

Если носитель, находясь внутри индуктора, соединён с землёй, то 𝐹=0, и заряд на носителе будет равен -𝑄𝐴, отрицательной величине. Пусть теперь носитель движется по кругу, пока он не попадёт в приёмник 𝐵. Находясь внутри 𝐵, носитель касается пружины и, таким образом, приходит в электрическое соединение с 𝐵. Тогда, как показано в п. 32, носитель полностью разряжается и передаёт весь свой отрицательный заряд приёмнику 𝐵.

Затем носитель войдёт в индуктор 𝐶, о котором мы будем предполагать, что он заряжен отрицательно. Находясь внутри 𝐶, носитель приходит в соединение с землёй и, таким образом, приобретает положительный заряд, который он уносит и передаёт приёмнику 𝐷 и т. д.

Таким путём, если потенциалы индукторов остаются всё время постоянными, то приёмники 𝐵 и 𝐷 получают последовательно заряды одной и той же величины для каждого оборота носителя, и, таким образом, каждый оборот даёт одно и то же приращение электричества в приёмниках.

Но если индуктор 𝐴 соединить с приёмником 𝐷, а индуктор 𝐶 с приёмником 𝐵, потенциалы индукторов будут непрерывно возрастать, и количество электричества, доставляемое в приёмники при каждом обороте, также будет непрерывно возрастать.

Пусть, например, потенциалы 𝐴 и 𝐷 равны 𝑈, а потенциалы 𝐵 и 𝐶 равны 𝑉, тогда, поскольку потенциал носителя внутри 𝐴 равен нулю (носитель, находясь в 𝐴, соединён с землёй), его заряд равен -𝑄𝑈. Носитель входит в 𝐵 с этим зарядом и передаёт его 𝐵. Если ёмкость 𝐵 и 𝐶 равна 𝐵, их потенциал изменится от 𝑉 до 𝑉-(𝑄/𝐵)/𝑈.

Если другой носитель в то же самое время перенёс заряд -𝑄𝑉 от 𝐶 к 𝐷, это изменит потенциалы 𝐴 и 𝐷 от 𝑈 до 𝑈-(𝑄'/𝐵)/𝑉, где 𝑄' – коэффициент индукции между носителем и 𝐶, а через 𝐴 обозначена ёмкость 𝐴 и 𝐷. Таким образом, если обозначить через 𝑈_𝑛 и 𝑉_𝑛 потенциалы двух индукторов после 𝑛 полуоборотов, a 𝑈_𝑛+1 и 𝑉_𝑛+1– потенциалы после 𝑛+1 полуоборотов, то

𝑈

_𝑛+1

=

𝑈

_𝑛

–

𝑄'

𝐴

𝑉

_𝑛

,

𝑉

_𝑛+1

=

𝑉

_𝑛

–

𝑄

𝐵

𝑈

_𝑛

.

Если мы обозначим 𝑝²=𝑄/𝐵 и 𝑞²=𝑄'/𝐴, то найдём

𝑝𝑈

_𝑛+1

+

𝑞𝑉

_𝑛+1

=

(𝑝𝑈

_𝑛

+𝑞𝑉

_𝑛

)

(1-𝑝𝑞)

=

(𝑝𝑈

₀

+𝑞𝑉

₀

)

(1-𝑝𝑞)

^𝑛+1

,

𝑝𝑈

_𝑛+1

–

𝑞𝑉

_𝑛+1

=

(𝑝𝑈

_𝑛

–𝑞𝑉

_𝑛

)

(1+𝑝𝑞)

=

(𝑝𝑈

₀

–𝑞𝑉

₀

)

(1+𝑝𝑞)

^𝑛+1

.

Таким образом,

2𝑈

_𝑛

=

𝑈

₀

[(1-𝑝𝑞)

^𝑛

+(1+𝑝𝑞)

^𝑛

]

+

𝑝

𝑞

𝑉

₀

[(1-𝑝𝑞)

^𝑛

–(1+𝑝𝑞)

^𝑛

]

,

2𝑉

_𝑛

=

𝑝

𝑞

𝑈

₀

[(1-𝑝𝑞)

^𝑛

–(1+𝑝𝑞)

^𝑛

]

+

𝑉

₀

[(1-𝑝𝑞)

^𝑛

+(1+𝑝𝑞)

^𝑛

]

.

Из этих уравнений следует, что величина 𝑝𝑈+𝑞𝑉 непрерывно уменьшается, так что, каковы бы ни были начальные значения электризации, приёмники в конце концов приобретают электризацию противоположного знака, причём отношение потенциалов 𝐴 и 𝐵 равно отношению 𝑞 к -𝑝.

С другой стороны, величина 𝑝𝑈-𝑞𝑉 непрерывно увеличивается, так что, сколь бы мало величина 𝑝𝑈 ни отличалась вначале от 𝑞𝑉 в ту или иную сторону, эта разность будет расти по закону геометрической прогрессии с каждым оборотом, пока электродвижущие силы не станут столь большими, что изоляция прибора не выдержит.

Приборы такого типа могут быть использованы для различных целей:

Для достаточной подачи электричества при высоком потенциале, как это делается с помощью большой машины г-на Варлея.

Для регулирования заряда в конденсаторе, как, например, в случае Томсоновского электрометра, заряд которого может быть увеличен или уменьшён с помощью нескольких оборотов очень маленькой машины такого рода, называемой Пополнителем (Replenisher).

Для умножения малых разностей потенциала. Сначала индукторы могут быть заряжены до крайне малого потенциала, например, от термоэлектрической пары. Затем путём вращения машины эта разность потенциалов может непрерывно умножаться, пока она не станет достаточной для измерения обычным электрометром. Определяя на опыте коэффициент увеличения разности потенциалов при каждом обороте машины и зная число оборотов и конечную электризацию, можно определить первоначальную электродвижущую силу, с помощью которой были заряжены индукторы.

Большинство этих приборов сделано так, что носители обращаются вокруг оси и при вращении приходят в должное положение относительно индукторов. Соединения осуществляются с помощью пружин, расположенных таким образом, что носители приходят с ними в контакт в нужные моменты времени.

211. Сэр У. Томсон ³ построил, однако, машину для умножения электрических зарядов, в которой носителями служат капли воды, падающие в изолированный приёмник из неизолированного сосуда, помещённого внутри индуктора, но не соприкасающегося с ним. Таким образом, приёмник непрерывно получает электричество противоположного знака по отношению к индуктору. Если индуктор электризован положительно, приёмник будет получать непрерывно возрастающее количество отрицательного электричества.

³Proc. R. S., June 20, 1867.

Вода выходит из приёмника через воронку, носик которой почти окружён металлом приёмника. Поэтому капли, падающие из этого носика, почти свободны от электризации. Другие индуктор и приёмник той же самой конструкции расположены так, что индуктор одной системы находится в соединении с приёмником другой системы. Поэтому возрастание заряда на приёмнике уже не является постоянным, а растёт со временем по закону геометрической прогрессии, причём заряды двух приёмников имеют противоположные знаки. Это возрастание происходит до тех пор, пока падающие капли не начинают под действием электрических сил отклоняться от своего пути настолько, что они падают мимо приёмника или даже ударяются об индуктор.

В этом приборе энергия электризации образуется за счёт энергии падающих капель.

212. Построено несколько других электрических машин, в которых используется принцип электрической индукции. Наиболее замечательной из них является машина Гольтца (Holtz), в которой носитель представляет собой стеклянную пластину, покрытую шеллачным лаком, а индукторами являются куски картона. Для того чтобы между частями прибора не проскакивали искры, имеются две стеклянные пластины, по одной с каждой стороны от вращающейся пластины носителя. Эта машина оказалась очень эффективной и мало подверженной влиянию атмосферных условий. Принцип действия является тем же самым, что и у вращающегося удвоителя и других приборов, основанных на той же самой идее, но, поскольку носитель представляет собой пластину изолятора, а индукторами служат несовершенные проводники, полное объяснение её действия оказывается более трудным делом, чем в том случае, когда носители являются хорошими проводниками известной формы и они заряжаются или разряжаются в определённых точках.

213. В уже описанных электрических машинах возникают искры каждый раз, как носитель и индуктор приходят в контакт, находясь при различных потенциалах.

Но мы показали, что каждый раз при этом происходит потеря энергии, и поэтому полная работа, затраченная на вращение машины, не переходит в полезную электризацию, но часть теряется на тепло и на шум от электрической искры.

Поэтому я считал желательным показать, как можно построить такую электрическую машину, которая не имела бы таких потерь производительности. Я не предлагаю пригодную форму машины, а рассматриваю пример такого метода, с помощью которого можно применить устройство, которое в тепловых машинах называют регенератором, и тем предотвратить потерю работы.

Рис. 18

Пусть на рис. 18 буквы 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐴', 𝐵', 𝐴' обозначают пустотелые закреплённые проводники, расположенные таким образом, что носитель движется последовательно внутри каждого из них. Из этих проводников пусть 𝐴, 𝐴' и 𝐵, 𝐵' почти полностью окружают носитель, когда тот находится в середине своего прохождения, а проводники 𝐶 и 𝐶' окружают носитель не столь полно.

Предположим, что 𝐴, 𝐵, 𝐶 соединены с лейденской банкой большой ёмкости, имеющей потенциал 𝑉, а 𝐴', 𝐵', 𝐴' соединены с другой банкой, имеющей потенциал -𝑉.

Пусть 𝑃 – один из носителей, движущийся по кругу от 𝐴 к 𝐶 и т. д. и приходящий на своём пути в соприкосновение с определёнными пружинами, из которых 𝑎 и 𝑎' соединены соответственно с 𝐴 и 𝐴', а 𝑐 и 𝑐' соединены с Землёй.

Предположим, что, когда носитель 𝑃 находится в середине 𝐴, коэффициент индукции между 𝑃 и 𝐴 равен -𝐴. Ёмкость носителя 𝑃 в этом положении оказывается больше, чем 𝐴, потому что он не полностью окружён приёмником 𝐴. Пусть ёмкость 𝑃 равна 𝐴+𝑎.

Тогда, если потенциал 𝑃 равен 𝑈, а потенциал 𝐴 равен 𝑉 заряд на 𝑃 будет равен (𝐴+𝑎)𝑈-𝐴𝑉.

Пусть теперь 𝑃, находясь в середине приёмника 𝐴, касается пружины 𝑎. Тогда потенциал 𝑃 равен 𝑉 такой же, как и потенциал 𝐴, поэтому заряд 𝑃 равен 𝑎𝑉.

Если теперь носитель 𝑃 покидает пружину 𝑎, он уносит с собой заряд 𝑎𝑉. Когда носитель 𝑃 покидает 𝐴, его потенциал уменьшается, и потенциал ещё больше уменьшается, когда 𝑃 попадает под воздействие проводника 𝐶', который электризован отрицательно.

Если в то время, когда носитель 𝑃 входит в 𝐶', его коэффициент индукции по отношению к 𝐶' равен -𝐶', а его ёмкость равна 𝐶'+𝑐' тогда, если потенциал 𝑃 равен 𝑈, заряд на 𝑃 равен (𝐶'+𝑐')𝑈+𝐶'𝑉'=𝑎𝑉. Если 𝐶'𝑉'=𝑎𝑉 то в этой точке потенциал 𝑃 обращается в нуль.

Пусть 𝑃 в этой точке приходит в контакт с пружиной 𝑒', которая соединена с Землёй. Поскольку потенциал 𝑃 равен потенциалу пружины, при замыкании контакта искра не возникает.

Этот проводник 𝐶', с помощью которого носитель 𝑃 имеет возможность соединяться с Землёй без искры, соответствует устройству, которое в тепловых машинах называется регенератором. Поэтому мы будем называть его Регенератором.

Пусть теперь 𝑃 движется дальше, находясь ещё в контакте с заземляющей пружиной 𝑒', пока он не входит в середину индуктора 𝐵, потенциал которого равен 𝑉. Если -𝐵 есть коэффициент индукции между 𝑃 и 𝐵 для этой точки, то, поскольку 𝑈=0, заряд на 𝑃 будет равен -𝐵𝑉.

Когда носитель 𝑃 отходит от заземлённой пружины, он уносит с собой этот заряд. По мере того как он движется из положительного индуктора 𝐵 по направлению к отрицательному приёмнику 𝐴' его потенциал становится отрицательным и возрастает по величине. В середине 𝐴', если бы он сохранил свой заряд, его потенциал был бы равен (-𝐴'𝑉'+𝐵𝑈)/(𝐴'+𝑎), и если 𝐵𝑉 больше, чем 𝑎'𝑉', численное значение потенциала будет больше, чем значение 𝑉'. Таким образом, перед тем, как 𝑃 дойдёт до середины 𝐴', существует некоторая точка, в которой его потенциал равен -𝑉'. Пусть в этой точке носитель вступает в контакт с отрицательной приёмной пружиной 𝑎'. Искры не возникает, поскольку оба тела находятся при одном и том же потенциале. Пусть 𝑃 движется дальше до середины 𝐴', всё ещё находясь в контакте с пружиной и поэтому имея тот же самый потенциал, что и 𝐴'. Во время этого движения 𝑃 передаёт 𝐴' отрицательный заряд. В середине 𝐴' носитель 𝑃 отходит от пружины и уносит заряд -𝑎'𝑉' по направлению к положительному регенератору 𝐶, где его потенциал уменьшается до нуля, и он вступает в контакт с заземлённой пружиной 𝑒. Затем он скользит вдоль заземлённой пружины и переходит в отрицательный индуктор 𝐵', причём за время этого движения он приобретает положительный заряд 𝐵'𝑉' который, наконец, передаёт в положительный приёмник 𝐴, и после этого цикл операций повторяется.

За время этого цикла положительный приёмник потерял заряд 𝑎𝑉 и получил заряд 𝐵'𝑉'. Таким образом, полный прирост положительного электричества равен 𝐵'𝑉'-𝑎𝑉.

Таким же путём находим, что полный прирост отрицательного электричества равен 𝐵𝑉-𝑎'𝑉'.

Если сделать индукторы так, что они будут настолько близки к поверхности носителя, насколько это совместимо с изоляцией, значения 𝐵 и 𝐵' можно сделать большими. В то же время можно так сделать приёмники, что они будут почти полностью окружать находящийся внутри них носитель. Тем самым значения 𝑎 и 𝑎' могут быть сделаны очень малыми, и тогда заряды обоих лейденских банок будут возрастать при каждом обороте.

Условия, которым должны удовлетворять регенераторы, записываются в виде 𝐶'𝑉'=𝑎𝑉 и 𝐶𝑉=𝑎'𝑉'.

Так как значения 𝑎 и 𝑎' малы, регенераторы не должны быть ни велики, ни очень близки к носителям.

Об электрометрах и электроскопах

214. Электрометр – это прибор, с помощью которого могут быть измерены электрические заряды или электрические потенциалы. Приборы, с помощью которых можно обнаружить наличие электрических зарядов или разностей потенциалов, но которые не могут дать численную меру этих величин, называются Электроскопами.