Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 34 страниц)

Если далее принять, что эта поверхность ограничена линиями пересечения с двумя плоскостями, проходящими через ось и наклонёнными друг к другу под углом, стягиваемым дугой, равной половине радиуса, то индукция через ограниченную таким образом поверхность равна

1

2

𝑒(1-cos θ)=Φ

 и

θ=arccos(1-2Φ/𝑒)

.

Придавая Φ значения 1, 2, 3 …𝑒 мы найдём соответствующую последовательность значений θ и при целом 𝑒 число соответствующих силовых линий, считая и ось, будет равно 𝑒.

Таким образом, мы имеем метод построения силовых линий, при котором заряд любого силового центра показан числом выходящих из него линий, а индукция через любую поверхность, вырезаемую указанным способом, измеряется числом силовых линий, проходящих через неё. Пунктирные прямые в левой части рис. 5 изображают силовые линии, соответствующие каждому точечному заряду при зарядах 10 и -10 соответственно.

Если на оси рисунка расположены два силовых центра, можно построить силовые линии для каждого центра, соответствующие значениям Φ₁ и Φ₂. Проведя затем линии через последовательные точки пересечения этих линий, для которых Φ₁+Φ₂ имеют одно и то же значение, мы можем найти силовую линию, обусловленную обоими центрами. Таким же способом можно скомбинировать любые две системы силовых линий, симметрично расположенные относительно одной и той же оси. Сплошные кривые в левой части на рис. 5 изображают силовые линии, обусловленные одновременным действием двух заряженных центров.

Построив этим методом эквипотенциальные поверхности и силовые линии, можно проверить точность построения, установив, ортогональны ли всюду обе системы кривых и относятся ли расстояния между соседними эквипотенциальными поверхностями к расстоянию между соседними силовыми линиями как половина среднего расстояния от оси относится к принятой единице длины.

Для любой такой системы конечных размеров силовая линия, индекс Φ которой меньше 𝑒, имеет асимптоту, проходящую через электрический центр (п. 89 г) системы и наклонённую к оси под углом, косинус которого равен 1-2Φ/𝑒, где 𝑒, – полный заряд системы, если только Φ меньше 𝑒. Силовые линии, для которых индекс больше 𝑒, являются конечными. Если 𝑒 равно нулю, то все линии конечны.

Силовые линии, соответствующие однородному полю силы, параллельному оси, представляют собой прямые линии, параллельные этой оси, расстояние которых от оси равно квадратному корню из чисел, образующих арифметическую прогрессию.

Теория эквипотенциальных поверхностей и силовых линий для двух измерений будет дана ниже, когда мы перейдём к теории сопряжённых функций ¹.

¹ См. статью проф. У. Р. Смита «О потоке электричества в проводящих поверхностях» В Proc. R. S. Edin., 1869-70, р. 79.

ГЛАВА VIII

ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ ЭЛЕКТРИЗАЦИИ

Две параллельные плоскости

124. Рассмотрим прежде всего две параллельные проводящие бесконечно простирающиеся плоскости на расстоянии 𝑐 друг от друга, находящиеся соответственно под потенциалами 𝐴 и 𝐵.

Очевидно, что в этом случае потенциал 𝑉 будет функцией от расстояния 𝑧 до плоскости 𝐴 и будет одинаков для всех точек любой плоскости, параллельной 𝐴 и 𝐵 и расположенной между ними, за исключением точек вблизи краёв заряженных поверхностей, которые, по предположению, находятся на бесконечно большом расстоянии от рассматриваемой точки.

Таким образом, уравнение Лапласа сводится к уравнению 𝑑²𝑉/𝑑𝑧²=0, интеграл которого 𝑉=𝐶₁+𝐶₂𝑧, а поскольку 𝑉=𝐴 при 𝑧=0 и 𝑉=𝐵 при 𝑧=𝑐, то 𝑉=𝐴+(𝐵-𝐴)𝑧/𝑐.

Для всех точек между плоскостями напряжённость перпендикулярна плоскостям и величина её равна 𝑅=(𝐴-𝐵)/𝑐.

В самой толще проводников 𝑅=0. Следовательно, распределение электричества на первой плоскости имеет поверхностную плотность σ, где 4πσ=𝑅=(𝐴-𝐵)/𝑐.

На другой поверхности, на которой потенциал равен 𝐵, поверхностная плотность σ' равна и противоположна по знаку σ: 4πσ'=-𝑅=(𝐴-𝐵)/𝑐.

Рассмотрим теперь участок первой поверхности площади 𝑆 выбранный так, что никакая часть 𝑆 не находится вблизи границы поверхности.

Количество электричества на этой поверхности 𝑒₁𝑆σ и, согласно п. 79, действующая на единицу электричества сила равна 𝑅/2 так что полная сила, действующая на площадку 𝑆 и притягивающая её к другой плоскости, равна

𝐹

=

1

2

𝑅𝑆σ

=

1

8π

𝑅²𝑆

𝑆

8π

(𝐵-𝐴)²

𝑐²

.

Здесь сила притяжения выражена через площадь 𝑆, разность потенциалов обеих поверхностей 𝐴-𝐵 и расстояние между ними 𝑐. Через заряд 𝑒₁ и площадь 𝑆 сила притяжения выражается так: 𝐹=2π𝑒₁²/𝑆.

Электрическая энергия, обусловленная распределением электричества на площадке 𝑆 и на соответствующей ей площадке 𝑆' поверхности 𝐵, определяемой проектированием 𝑆 на поверхность 𝐵 системой силовых линий, которые в нашем случае перпендикулярны поверхности, равна

𝑊

=

1

2

(𝑒

₁

𝐴+𝑒

₂

𝐵)

, =

1

2

𝑆

4π

(𝐵-𝐴)²

𝑐²

, =

𝑅²

8π

𝑆𝑒

, =

=

2π

𝑆

𝑒

₁

²𝑐

, =

𝐹𝑐

.

Первое из этих выражений представляет собой общее выражение для электрической энергии (п. 84).

Второе выражение представляет энергию через площадь, расстояние и разность потенциалов.

Третье выражение представляет энергию через результирующую силу 𝑅 и объём 𝑆𝑐 заключённый между площадками 𝑆 и 𝑆', и показывает, что в единице объёма заключена энергия 𝑝 где 8π𝑝=𝑅².

Сила притяжения между плоскостями равна 𝑝𝑆 т.е., иными словами, на каждую единицу поверхности действует электрическое натяжение (или отрицательное давление), равное 𝑝.

Четвёртое выражение представляет энергию через заряд.

Пятое выражение показывает, что электрическая энергия равна работе, которую совершила бы электрическая сила, если бы обе поверхности сомкнулись, двигаясь параллельно самим себе при сохранении постоянной величины заряда на них.

Заряд выражается через разность потенциалов соотношением

𝑒

₁

=

1

4π

𝑆

𝑐

(𝐴-𝐵)

=

𝑞(𝐴-𝐵)

.

Коэффициент 𝑞 представляет заряд, обусловленный единичной разностью потенциалов. Этот коэффициент называется Ёмкостью поверхности 𝑆 обусловленной её расположением относительно противоположной поверхности.

Предположим теперь, что среда между обеими поверхностями уже не воздух, а какое-либо другое диэлектрическое вещество с удельной индуктивной способностью 𝐾. Тогда заряд, обусловленный заданной разностью потенциалов, будет в 𝐾 раз больше, чем в воздухе, т.е. 𝑒₁=𝐾𝑆(𝐴-𝐵)/4π𝑐.

Полная энергия будет равна

𝑊

=

𝐾𝑆

8π𝑐

(𝐴-𝐵)²

=

2π

𝐾𝑆

𝑒

₁

²𝑐

,

а сила между поверхностями

𝐹

=

𝑝𝑆

𝐾𝑆

8π

(𝐴-𝐵)²

𝑐²

=

2π

𝐾𝑆

𝑒

₁

²

.

Следовательно, сила между двумя поверхностями, поддерживаемыми при заданных потенциалах, меняется пропорционально удельной индуктивной способности диэлектрика 𝐾 а сила между двумя поверхностями с заданными зарядами меняется обратно пропорционально 𝐾.

Две концентрические сферические поверхности

125. Если две концентрические сферические поверхности радиусов 𝑎 и 𝑏, причём 𝑏 больше 𝑎, поддерживаются соответственно под потенциалами 𝐴 и 𝐵, то, очевидно, потенциал 𝑉 является функцией расстояния 𝑟 от их центра. В этом случае уравнение Лапласа принимает вид

𝑑²𝑉

𝑑𝑟²

+

2

𝑟

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

0.

Его решение 𝑉=𝐶₁+𝐶₂𝑟^-1, и из условия 𝑉=𝐴 при 𝑟=𝑎 и 𝑉=𝐵 при 𝑟=𝑏 следует, что в пространстве между сферическими поверхностями

𝑉

=

𝐴𝑎-𝐵𝑏

𝑎-𝑏

+

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

𝑟

^-1

,

𝑅

=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

𝑟

^-2

.

Если σ₁ и σ₂, – поверхностные плотности на противолежащих поверхностях сплошного шара радиуса 𝑎 и сферической полости радиуса 𝑏, то

σ

₁

=

1

4π𝑎

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

,

σ

₂

=

1

4π𝑏

𝐵-𝐴

𝑎^-1-𝑏^-1

.

Если 𝑒₁ и 𝑒₂ – полные электрические заряды этих поверхностей, то

𝑒

₁

=

4π𝑎²σ

₁

=

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

=

–𝑒

₂

.

Следовательно, ёмкость сферы, окружённой сферической оболочкой, равна 𝑎𝑏/(𝑏-𝑎).

Если внешняя поверхность оболочки тоже сфера радиуса 𝑐, то при отсутствии других проводников поблизости заряд на внешней поверхности равен 𝑒₃=𝐵𝑐.

Таким образом, полный заряд на внутренней сфере равен

𝑒

₁

=

𝑎𝑏

𝑏-𝑎

(𝐴-𝐵)

,

а на внешней оболочке

𝑒

₂

+

𝑒

₃

=

𝑎𝑏

𝑏-𝑎

(𝐵-𝐴)

+

𝐵𝑐

.

Положив 𝑏=∞, мы получим случай сферы в бесконечном пространстве. Электрическая ёмкость такой сферы равна 𝑎 т.е. численно равна радиусу сферы.

Электрическое натяжение на внутренней сфере, приходящееся на единицу площади, равно

𝑝

=

1

8π

𝑏²

𝑎²

(𝐴-𝐵)²

(𝑏-𝑎)²

.

Результирующая сила, обусловленная этим натяжением, для полусферы равна π𝑎²𝑝=𝐹 и перпендикулярна основанию полусферы. Если она уравновешивается поверхностным натяжением, испытываемым по круговой границе полусферы с натяжением на единицу длины равным 𝑇 то 𝐹=2π𝑎𝑇.

Отсюда

𝐹

=

𝑏²

8

(𝐴-𝐵)²

(𝑏-𝑎)²

=

𝑒₁²

8𝑎²

,

𝑇

=

𝑏²

16π𝑎

(𝐴-𝐵)²

(𝑏-𝑎)²

.

Если сферический мыльный пузырь наэлектризовать до потенциала 𝐴 то при радиусе 𝑎 его заряд будет 𝐴𝑎 а поверхностная плотность заряда будет σ=𝐴/(4π𝑎).

Результирующая напряжённость у внешней поверхности равна 4πσ а внутри пузыря равна нулю, так что, согласно п. 79, электрическая сила, действующая на единицу поверхности, равна 2πσ, причём направлена она наружу. Следовательно, электризация уменьшает давление воздуха внутри пузыря на 2πσ², т. е. на 𝐴²/(8π𝑎²).

Но можно показать, что если 𝑇₀ натяжение в жидкой плёнке, передаваемое через линию единичной длины, то внутреннее давление, необходимое для удержания пузыря от охлопывания, равно 2𝑇₀/𝑎. Если электрической силы как раз достаточно для удержания пузыря в равновесии при одинаковом давлении воздуха вне и внутри пузыря, то 𝐴²=16π𝑎𝑇₀.

Две бесконечные коаксиальные цилиндрические поверхности

126. Пусть радиус внешней поверхности проводящего цилиндра равен 𝑎 а радиус внутренней поверхности полого цилиндра, коаксиального первому, равен 𝑏. Пусть их потенциалы соответственно равны 𝐴 и 𝐵. Потенциал 𝑉 зависит в этом случае только от расстояния 𝑟 от оси, так что уравнение Лапласа принимает вид

𝑑²𝑉

𝑑𝑟²

+

1

𝑟

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

0.

откуда 𝑉=𝐶₁+𝐶₂ ln 𝑟.

Поскольку 𝑉=𝐴 при 𝑟=𝑎 и 𝑉=𝐵 при 𝑟=𝑏, то

𝑉

=[

𝐴 ln(𝑏/𝑟)

+

𝐵 ln(𝑟/𝑏)

]/

ln(𝑏/𝑎)

.

Если σ₁ и σ₂ – поверхностные плотности на внутренней и внешней поверхностях, то

4πσ

₁

=

𝐴-𝐵

 ,

𝑎 ln

𝑏

𝑎

4πσ

₂

=

𝐴-𝐵

 ,

𝑏 ln

𝑏

𝑎

Для зарядов 𝑒₁ и 𝑒₂ на участках обоих цилиндров между двумя сечениями перпендикулярными оси, и отстоящими друг от друга на расстояние 𝑙 имеем

𝑒

₁

=

2π𝑎𝑙σ

₁

=

1

⋅

𝐴-𝐵

𝑙

=

–𝑒

₂

.

2

ln

𝑏

𝑎

Следовательно, ёмкость участка внутреннего цилиндра длины 𝑙 равна 𝑙/(2 ln(𝑏/𝑎)).

Если пространство между цилиндрами занято не воздухом, а диэлектриком с удельной индуктивной способностью 𝐾 то ёмкость участка внутреннего цилиндра длины 𝑙 равна 𝑙𝐾/(2 ln (𝑏/𝑎)).

Энергия распределения электричества на рассматриваемом участке бесконечного цилиндра равна 𝑙𝐾(𝐴-𝐵)²/(4 ln (𝑏/𝑎)).

127. Пусть два полых цилиндрических проводника 𝐴 и 𝐵 произвольной длины (рис. 6), имеющие общую ось 𝑥, расположены один с отрицательной стороны от начала координат, а другой с положительной стороны и разделены небольшим промежутком вблизи начала координат.

Пусть цилиндр 𝐶 длины 2𝑙 расположен так, что его центральная точка находится на расстоянии 𝑥 от начала координат в положительную сторону, а сам цилиндр 𝐶 входит внутрь полых цилиндров.

Положим потенциал полого цилиндра на положительной стороне равным 𝐴 на отрицательной стороне равным 𝐵 и потенциал внутреннего цилиндра равным 𝐶, обозначим через α ёмкость единицы длины 𝐶 по отношению к 𝐴, а через β – ёмкость единицы длины 𝐶 по отношению к 𝐵.

Рис. 6

Поверхностная плотность на участках цилиндров в фиксированных точках вблизи начала координат и в точках, находящихся на заданном небольшом расстоянии от концов внутреннего проводника, не зависит от величины 𝑥, если только внутренний цилиндр достаточно глубоко входит внутрь обоих полых цилиндров. Вблизи концов полых цилиндров и вблизи концов внутреннего цилиндра устанавливается распределение электричества, которое мы ещё пока не можем рассчитать, однако распределение у начала координат не меняется при перемещении внутреннего цилиндра, если ни один из его концов не подходит близко к началу координат, а распределения у концов внутреннего цилиндра перемещаются вместе с цилиндром, так что эффект перемещения цилиндра сводится лишь к увеличению или уменьшению тех участков внутреннего цилиндра, на которых заряд распределён как на бесконечном цилиндре.

Следовательно, зависимость полной энергии системы от 𝑥 даётся выражением

𝑄

=

1

2

α(𝑙+𝑥)

(𝐶-𝐴)²

+

1

2

β(𝑙-𝑥)

(𝐶-𝐵)²

+

+ величины, не зависящие от

𝑥

,

а результирующая сила, параллельная оси цилиндров, равна, согласно п. 93б,

𝑋

=

𝑑𝑄

𝑑𝑥

α(𝐶-𝐴)²

–

1

2

β(𝐶-𝐵)²

,

поскольку энергия представлена через потенциалы.

Если сечения цилиндров 𝐴 и 𝐵 одинаковы, то α=β и 𝑋=α(𝐵-𝐴)[𝐶(𝐴+𝐵)/2].

Таким образом, оказывается, существует постоянная сила, действующая на внутренний цилиндр и втягивающая его в тот внешний цилиндр, потенциал которого больше отличается от потенциала внутреннего проводника.

Если 𝐶 по величине значительно больше 𝐴+𝐵, то сила приблизительно равна 𝑋=α(𝐵-𝐴)𝐶, так что можно определить разность потенциалов двух цилиндров, если измерить 𝑋, причём точность измерения увеличивается с повышением потенциала внутреннего цилиндра 𝐶. Этот принцип в несколько модифицированном виде принят в томсоновском квадрантном электрометре (п. 219).

Это же приспособление из трёх цилиндров можно использовать для измерения ёмкости, соединив 𝐵 и 𝐶. Если потенциал 𝐴 равен нулю, а потенциал 𝐵 и 𝐶 равен 𝑉, то количество электричества на 𝐴 равно 𝐸₃=(𝑞₁₃+α(𝑏+𝑥))𝑉, где 𝑞₁₃ зависит от распределения электричества на концах цилиндра, но не зависит от 𝑥. Переместив цилиндр вправо, так что 𝑥 перейдёт в 𝑥+ξ, мы увеличим ёмкость цилиндра 𝐶 на определённую величину αξ где α=1[2 ln(𝑎/𝑏)], а 𝑎 и 𝑏 – радиусы противолежащих цилиндрических поверхностей.

ГЛАВА IX

СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ

128. Математическая теория сферических гармоник исследовалась в целом ряде специальных трактатов. В 1878 г. вышло второе издание в двух томах книги Handbuch der Kugelfunctionen д-ра Э. Хайне (Е. Heine), являющейся наиболее детальным исследованием в этой области, а д-р Ф. Нейманн опубликовал свои Beiträdge zur Theorie der Kugelfunctionen (Leipzig, Teubner, 1878). Значительно улучшено рассмотрение этого вопроса во втором издании 1879 г. Natural Philosophy Томсона и Тэта, а публикация книг Тодхантера, Elementary Treatise on Laplace's Functions, Lamé's Functions and Bessel’s Functions и Феррерса Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subjects connected with them сделали излишним детальное рассмотрение чисто математических вопросов в книге по электричеству.

И всё же я оставил здесь представление сферической гармоники через её полюса.

Об особых точках, в которых потенциал становится бесконечным

129 а. Если электрический заряд 𝐴₀ равномерно распределён по поверхности, сферы, центр которой имеет координаты (𝑎, 𝑏, 𝑐), то потенциал любой точки (𝑥, 𝑦, 𝑧) вне сферы, согласно п. 125, равен

𝑉

=

𝐴

₀

/𝑟

,

(1)

где

𝑟²

=

(𝑥-𝑎)²

+

(𝑦-𝑏)²

+

(𝑧-𝑐)²

.

Поскольку выражение для 𝑉 не зависит от радиуса сферы, оно останется тем же и в предположении бесконечно малого радиуса. Физически это означало бы, что заряд помещается на поверхности бесконечно малой сферы, что по существу то же самое, что математическая точка. Мы выше показали (п. 55, 81), что для значения поверхностной плотности электричества существует предел, так что физически невозможно поместить конечный заряд электричества на сферу меньше некоторого радиуса.

Тем не менее, поскольку (1) описывает возможное распределение потенциала в пространстве, окружающем сферу, мы можем математически считать потенциал как бы создаваемым зарядом 𝐴₀, сосредоточенным в математической точке (𝑎, 𝑏, 𝑐), а эту точку можно назвать особой точкой нулевого порядка.

Существуют и другие типы особых точек, свойства которых мы рассмотрим ниже, но, прежде чем перейти к этому, следует определить некоторые выражения, которые окажутся нам полезными при рассмотрении направлений в пространстве и соответствующих им точек на сфере.

129 б.Осью называется любое фиксированное направление в пространстве. Мы будем считать, что оно определяется меткой на сфере в той точке, где радиус, проведённый из центра сферы в направлении оси, пересекает поверхность сферы. Эта точка называется Полюсом оси. Таким образом, ось имеет не два полюса, а один.

Если μ – косинус угла между осью 𝘩 и любым вектором 𝑟, а

𝑝

=

μ𝑟

,

то 𝑝 – проекция 𝑟 по направлению оси 𝘩.

Различные оси отличаются разными индексами, а косинус угла между двумя осями обозначается через λ_𝑚𝑛, где 𝑚 и 𝑛 – индексы, характеризующие оси.

Дифференцирование по оси 𝘩, имеющей направляющие косинусы 𝐿, 𝑀, 𝑁, обозначается так:

𝑑

𝑑𝘩

=

𝐿

𝑑

𝑑𝑥

+

𝑀

𝑑

𝑑𝑦

+

𝑁

𝑑

𝑑𝑧

.

(4)

Из этих определений следует, что

𝑑𝑟

𝑑𝘩_𝑚

=

𝑝_𝑚

𝑟

=

μ

_𝑚

,

(5)

𝑑𝑝_𝑛

𝑑𝘩_𝑚

=

λ

_𝑚𝑛

=

𝑑𝑝_𝑚

𝑑𝘩_𝑛

,

(6)

𝑑μ_𝑚

𝑑𝘩_𝑛

=

λ_𝑚𝑛-μ_𝑚μ_𝑛

𝑟

.

(7)

Если теперь предположить, что потенциал в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧), обусловленный особой точкой любого порядка, помещённой в начале координат, равен 𝐴ƒ(𝑥, 𝑦, 𝑧), то, если эту точку поместить на конце оси 𝘩, потенциал в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧) будет

𝐴ƒ[

(𝑥-𝐿𝘩),

(𝑦-𝑀𝘩),

(𝑧-𝑁𝘩)

].

Если теперь такую же во всех отношениях особую точку, но с противоположным знаком 𝐴 поместить в начало координат, то потенциал, создаваемый обеими точками, будет равен

𝑉

=

𝐴ƒ[

(𝑥-𝐿𝘩),

(𝑦-𝑀𝘩),

(𝑧-𝑁𝘩)

]-

𝐴ƒ(𝑥,𝑦𝑧)

=

=

–𝐴𝘩

𝑑

𝑑𝘩

ƒ(𝑥,𝑦𝑧)

+ члены, содержащие

𝘩²

.

Если теперь 𝘩, неограниченно уменьшать, а 𝐴 неограниченно увеличивать, оставляя их произведение конечным и равным 𝐴', тогда предельное значение потенциала пары точек будет равно

𝑉

=

–𝐴'

𝑑

𝑑𝘩

ƒ(𝑥,𝑦𝑧)

.

(8)

Если ƒ(𝑥,𝑦𝑧) удовлетворяет уравнению Лапласа, то, поскольку оно линейное, функция 𝑉', являющаяся разностью двух функций, каждая из которых по отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, также должна удовлетворять этому уравнению.

129 в. Потенциал особой точки нулевого порядка

𝑉

₀

=

𝐴

₀

/𝑟

(9)

удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению.

Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами -𝐴₀ и 𝐴₀ и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси 𝘩₁. Затем нужно неограниченно уменьшать 𝘩₁ и увеличивать 𝐴₀ так, чтобы их произведение 𝐴₀𝘩₁ было всё время равно 𝐴₁. Окончательным результатом такого процесса, соответствующим слиянию обеих точек, является точка первого порядка с моментом 𝐴₁ и осью 𝘩₁. Таким образом, точка первого порядка является двукратной. Её потенциал равен

𝑉

₁

=

–𝘩

₁

𝑑

𝑑𝘩₁

𝑉

₀

=

𝐴

₁

μ₁

𝑟²

.

(10)

Поместив в начало координат точку первого порядка с моментом -𝐴₁ а на конце оси 𝘩₂ другую точку первого порядка с моментом 𝐴₁ и уменьшая затем 𝘩₂ с одновременным увеличением 𝐴₁, так что

𝐴

₁

𝘩

₂

=

𝐴

₂

/2

,

(11)

мы получим точку второго порядка, потенциал которой

𝑉

₂

=

–𝘩

₂

𝑑

𝑑𝘩₂

𝑉

₁

=

𝐴

₂

3μ₁μ₂-λ₁₂

𝑥²

.

(12)

Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырёх точек нулевого порядка. Она имеет две оси 𝘩₁ и 𝘩₂ и момент 𝐴₂. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки.

Последовательно дифференцируя по 𝑛 осям мы получим потенциал, создаваемый точкой 𝑛-го порядка. Он представляет собой произведение трёх множителей-константы, некоторой комбинации косинусов и 𝑟^-(𝑛+1). По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен 𝑟^-(𝑛+1). Поэтому мы будем делить на 𝑛 при дифференцировании по 𝘩_𝑛.

Таким образом, мы получим вполне определённое численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени -(𝑛+1), а именно

𝑉

_𝑛

=

(-1)

^𝑛

1

1⋅2⋅3…𝑛

𝑑

𝑑𝘩₁

𝑑

𝑑𝘩₂

…

𝑑

𝑑𝘩_𝑛

1

𝑟

.

(13)

При умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остаётся потенциалом, создаваемым некоторой точкой 𝑛-го порядка.

129 г. Результат операции (13) имеет вид

𝑉

_𝑛

=

𝑌

_𝑛

𝑟

^-(𝑛+1)

,

(14)

где 𝑌_𝑛 -функция 𝑛 косинусов μ₁, μ₂, …, μ_𝑛 углов между 𝑟 и 𝑛 осями и 𝑛(𝑛-1)/2 косинусов λ₁₂ и т. д. углов между парами осей.

Если считать направления 𝑟 и 𝑛 осей задаваемыми точками на сферической поверхности, то можно рассматривать 𝑌_𝑛 как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией 𝑛(𝑛+1)/2 расстояний между 𝑛 полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем 𝑌_𝑛 Поверхностной Гармоникой порядка 𝑛.

130a. Теперь мы покажем, что каждой поверхностной гармонике порядка 𝑛 соответствует наряду с пространственной гармоникой порядка -(𝑛+1) и другая порядка 𝑛, т. е. что

𝐻

_𝑛

=

𝑌

_𝑛

𝑟

^𝑛

=

𝑉

_𝑛

𝑟

^2𝑛+1

(15)

удовлетворяет уравнению Лапласа.

Действительно,

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑥

=

(2𝑛+1)

𝑟

^2𝑛-1

𝑥𝑌

_𝑛

+

𝑟

^2𝑛-1

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

,

𝑑²𝐻_𝑛

𝑑𝑥²

=

(2𝑛+1)

[(2𝑛-1)𝑥²+𝑟²]

𝑟

^2𝑛-3

𝑌

_𝑛

+

+

2(2𝑛+1)

𝑟

^2𝑛-1

𝑥

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑟

^2𝑛+1

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑥²

,

поэтому

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑦

+

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑧

=

(2𝑛+1)

(2𝑛+2)

𝑟

^2𝑛-1

𝑌

_𝑛

+

+

2(2𝑛+1)

𝑟

^2𝑛-1

⎛

⎜

⎝

𝑥

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑦

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑦

+

𝑧

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑟

^2𝑛+1

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

.

(16)

Ho 𝑉_𝑛 – однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, отрицательной степени 𝑛+1, так что

𝑥

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑦

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑦

+

𝑧

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑧

=

–(𝑛+1)𝑉

_𝑛

.

(17)

Поэтому первые два слагаемых в правой части (16) взаимно сокращаются, а поскольку 𝑉_𝑛 удовлетворяет уравнению Лапласа, то и третье слагаемое равно нулю, так что и 𝐻_𝑛 удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является пространственной гармоникой степени 𝑛.

Здесь мы имеем дело с частным случаем более общей теоремы об электрической инверсии, утверждающей, что если 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) – функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, то существует другая функция

𝑎

𝑟

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

𝑎²𝑥

𝑟²

+

𝑎²𝑦

𝑟²

+

𝑎²𝑧

𝑟²

⎞

⎟

⎠

,

также удовлетворяющая уравнению Лапласа (см. п. 162).

130 б. Поверхностная гармоника 𝑌_𝑛 содержит 2𝑛 произвольных переменных, так как она определяется положением 𝑛 её полюсов на сфере, а каждый полюс определяется двумя координатами. Следовательно, пространственные гармоники 𝑉_𝑛 и 𝐻_𝑛 также родержат 2𝑛 произвольных переменных. При этом обе они после умножения на постоянную удовлетворяют уравнению Лапласа.

Чтобы показать, что 𝐴𝐻_𝑛 – наиболее общая рациональная однородная функция степени 𝑛, которая может удовлетворять уравнению Лапласа, заметим, что общая рациональная однородная функция 𝐾 степени 𝑛 содержит (𝑛+1)(𝑛+2)/2 членов. Но ∇²𝐾 является однородной функцией степени 𝑛-2 и, следовательно, содержит 𝑛(𝑛-1)/2 членов, так что условие ∇²𝐾=0 требует равенства каждого из этих членов нулю. Таким образом, мы получаем 𝑛(𝑛-1)/2 уравнений для (𝑛+1)(𝑛+2)/2 членов функции 𝐾, так что в наиболее общей форме однородной функции степени 𝑛, удовлетворяющей уравнению Лапласа, остаётся 2𝑛+1 произвольных постоянных. Но 𝐻_𝑛 после умножения на произвольную постоянную как раз удовлетворяет требуемым условиям и содержит 2𝑛+1 произвольных постоянных. Таким образом, это и есть наиболее общая форма.

131 а. Теперь мы можем построить распределение потенциала, при котором ни сам потенциал, ни его первые производные не обращаются в бесконечность ни в одной точке.

Функция 𝑉_𝑛=𝑌_𝑛𝑟^-(𝑛+1) удовлетворяет условию обращения в нуль на бесконечности, но становится бесконечной в начале координат.

Функция 𝑉_𝑛=𝑌_𝑛𝑟^𝑛 конечна и непрерывна на конечных расстояниях от начала координат, но не обращается в нуль на бесконечности.

Но если принять потенциал во всех точках вне сферы радиуса а с центром в начале координат равным 𝑎^𝑛=𝑌_𝑛𝑟^-(𝑛+1), а потенциал во всех точках внутри сферы равным 𝑎^-(𝑛+1)=𝑌_𝑛𝑟^𝑛 и предположить, что на самой сфере электричество распределено с поверхностной плотностью σ, определяемой соотношением

4πσ𝑎²

=

(2𝑛+1)

𝑌

_𝑛

,

(18)

то все условия для потенциала, создаваемого заряженной так оболочкой, будут выполнены.

Действительно, потенциал всюду конечен и непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Первые производные потенциала всюду конечны и непрерывны, за исключением заряженной поверхности, где они удовлетворяют уравнению

𝑑𝑉

𝑑ν

+

𝑑𝑉'

𝑑ν'

+

4πσ

=

0,

(19)

и уравнение Лапласа удовлетворяется во всех точках как внутри, так и вне поверхности сферы.

Таким образом, это распределение потенциала удовлетворяет всем условиям, и, согласно п. 100 в, оно является единственным распределением, удовлетворяющим этим условиям.

131 б. Потенциал, создаваемый сферой радиуса 𝑎 с поверхностной плотностью, задаваемой соотношением

4π𝑎²σ

=

𝑌

_𝑛

,

(20)

во всех точках вне сферы совпадает с потенциалом соответствующей особой точки 𝑛-го порядка.

Предположим теперь, что имеется некоторая электрическая система 𝐸 расположенная вне сферы, и что Ψ – потенциал, создаваемый этой системой. Найдём значение ∑(Ψ𝑒) для особой точки. Эта величина даёт часть электрической энергии, зависящую от воздействия внешней системы на особую точку.

Если 𝐴₀ – заряд особой точки нулевого порядка, то искомая потенциальная энергия равна

𝑊

₀

=

𝐴

₀

Ψ

.

(21)

Если имеются две такие точки, причём отрицательная находится в начале координат, а положительная точка с тем же по величине зарядом – на конце оси 𝘩₁ то потенциальная энергия равна

-𝐴

₀

Ψ

+

𝐴

₀

⎛

⎜

⎝

Ψ

+

𝘩

₁

𝑑Ψ

𝑑𝘩₁

+

1

2

𝘩

₁

²

𝑑²Ψ

𝑑𝘩₁²

+…

⎞

⎟

⎠

и при неограниченном росте 𝐴₀ и уменьшении 𝘩₁ так, что 𝐴₀𝘩₁=𝐴₁ получим значение потенциальной энергии для точки первого порядка

𝑊

₁

=

𝐴

₁

𝑑Ψ

𝑑𝘩₁

.

(22)

Аналогично для точки 𝑛-го порядка получим потенциальную энергию

𝑊

_𝑛

=

1

1⋅2⋅…𝑛

𝐴

_𝑛

𝑑^𝑛Ψ

𝑑𝘩₁𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

.

¹

(23)

¹ В дальнейшем удобнее будет обозначать произведение положительных целых чисел 1⋅2⋅3…𝑛 через 𝑛!.

131 в. Если принять заряд внешней системы состоящим из отдельных частей, каждую из которых мы обозначим через 𝑑𝐸 а заряд особой точки порядка 𝑛 считать образованным отдельными частичными зарядами 𝑑𝑒 то

Ψ

=

∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝐸

⎞

⎟

⎠

.

(24)

Но если потенциал 𝑉_𝑛, обусловленный наличием особой точки, равен

𝑉

_𝑛

=

∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝑒

⎞

⎟

⎠

,

(25)

а потенциальная энергия, обусловленная воздействием 𝐸 на 𝑒, равна

𝑊

_𝑛

=

∑

(Ψ𝑑𝑒)

=

∑∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝐸

𝑑𝑒

⎞

⎟

⎠

=

∑

(𝑉

_𝑛

𝑑𝐸)

,

(26)

то последнее выражение представляет собой потенциальную энергию, обусловленную воздействием 𝑒 на 𝐸.

Аналогично если σ𝑑𝑠 – заряд на элементе 𝑑𝑠 оболочки, то, поскольку потенциал, обусловленный оболочкой в месте нахождения внешней системы 𝐸 равен 𝑉_𝑛, имеем

𝑊

_𝑛

=

∑

(𝑉

_𝑛

𝑑𝐸)

=

∑∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝐸

σ

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

=

∑

(Ψσ𝑑𝑠)

.

(27)

Последний член содержит суммирование по поверхности сферы. Приравнивая его к первому выражению для 𝑊_𝑛, получим

∬

Ψσ𝑑𝑠

=

∑

(Ψ𝑑𝑒)

1

𝑛!

𝐴

_𝑛

𝑑^𝑛Ψ

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

.

(28)

Если вспомнить, что 4πσ𝑎=(2𝑛+1)𝑌_𝑛, а 𝐴_𝑛=𝑎^𝑛, то получим

∬

Ψ𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

^𝑛+2

𝑑^𝑛Ψ

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

.

(29)

Это уравнение сводит операцию интегрирования Ψ𝑌_𝑛𝑑𝑠 по всем элементам поверхности сферы радиуса 𝑎 к операции дифференцирования Ψ по 𝑛 осям гармоники и вычисления значения этой производной в центре сферы, если только Ψ удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках внутри сферы, а 𝑌_𝑛 – поверхностная гармоника порядка 𝑛.

132. Пусть теперь Ψ – пространственная гармоника положительной степени 𝑚 вида

Ψ

=

𝑎

^-𝑚

𝑌

_𝑚

𝑟

^𝑚

.

(30)

На поверхности сферы 𝑟=𝑎, a Ψ=𝑌_𝑚, так что уравнение (29) принимает в этом случае вид

∬

𝑌

_𝑚

𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

^𝑛-𝑚+2

𝑑^𝑛(𝑌_𝑚𝑟^𝑚)

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

(31)

где значение производной следует брать в центре сферы.

Если 𝑛 меньше 𝑚, то в результате дифференцирования получится однородная функция от 𝑥, 𝑦 и 𝑧 степени 𝑚-𝑛, значение которой в центре сферы равно нулю. Если 𝑛 равно 𝑚, то в результате дифференцирования получится постоянная, значение которой мы определим в п. 134. При дальнейшем дифференцировании получится нуль. Таким образом, интеграл ∬𝑌_𝑚𝑌_𝑛𝑑𝑠 равен нулю при неодинаковых 𝑛 и 𝑚.

Мы пришли к этому результату чисто математическим путём, потому что, хотя мы и пользовались такими физическими понятиями, как электрическая энергия, все эти понятия рассматривались не как физическое явление, подлежащее исследованию, а как определённое математическое выражение. Математик может с равным правом воспользоваться этими или какими-либо другими математическими функциями, которые он сочтёт полезными, но физик, которому приходится проводить математические преобразования, понимает их лучше всего, если каждый этап расчёта допускает физическое истолкование.

133. Определим теперь вид поверхностной гармоники 𝑌_𝑛 в зависимости от положения точки 𝑃 на сфере по отношению к 𝑚 полюсам гармоники.

Мы имеем

𝑌

₀

=

1,

𝑌

₁

=

μ

₁

,

𝑌

₂

=

3

2

μ

₁

μ

₂

–

1

2

λ

₁₂

,

𝑌

₃

=

5

2

μ

₁

μ

₂

μ

₃

–

1

2

(

μ

₁

λ

₂₃

+

μ

₂

λ

₃₁

+

μ

₃

λ

₁₂

),

(32)

и т.д.

Таким образом, каждое слагаемое в 𝑌_𝑛 состоит из произведений косинусов, причём множители типа μ – с одним индексом, это косинусы углов между 𝑃 и различными полюсами, а множители типа λ – с двумя индексами, это косинусы углов между полюсами.

Поскольку каждая ось вводится одним из 𝑛 дифференцирований, индекс этой оси может встретиться один и только один раз среди индексов косинусов в каждом слагаемом.

Значит, если в каком-либо слагаемом имеется s косинусов с двойными индексами, то должны входить ещё 𝑛-2𝑠 косинусов с единичными индексами.

Будем записывать сумму всех произведений косинусов, в которых s косинусов с двойными индексами, в сокращённом виде

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

.

В каждом таком произведении все индексы встречаются по одному разу и ни один не повторяется.

Чтобы показать, что некоторый определённый индекс 𝑚 встречается только у μ или только у λ, мы будем указывать его индексом у μ или λ. Таким образом, равенство

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

=

∑

(μ

𝑛-2𝑠

𝑚

λ

^𝑠

)

+

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

𝑠

𝑚

)

(33)

показывает, что вся совокупность произведений может быть разделена на две части, в одной из которых индекс 𝑚 встречается среди направляющих косинусов переменной точки 𝑃, а в другой – среди косинусов углов между полюсами. Предположим теперь, что для определённого значения 𝑛

𝑌

_𝑛

=

𝐴

_𝑛.0

∑

(μ

^𝑛

)

+

𝐴

_𝑛.1

(μ

^𝑛-2

λ

¹

)

+…+

𝐴

_𝑛.𝑠

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

+…,

(34)

где через 𝐴 обозначены численные коэффициенты. Мы можем записать эту сумму в сокращённой форме:

𝑌

_𝑛

=

𝑆[

𝐴

_𝑛.𝑠

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

],

где 𝑆 показывает суммирование по всем значениям 𝑠 не больше 𝑛/2, включая и нулевое.

Чтобы получить соответствующую пространственную гармонику отрицательной степени (𝑛+1) порядка 𝑛 умножим на 𝑟^-(𝑛+1) и получим

𝑉

_𝑛

=

𝑆[

𝐴

_𝑛.𝑠

𝑟

^{-(2𝑠-𝑛-1)}

∑

(𝑝

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

],

(36)

где положено 𝑟μ=𝑝, как в уравнении (3).

Если продифференцировать 𝑉_𝑛 по новой оси 𝘩_𝑚, то получится -(𝑛+1)𝑉_𝑛+1, и, следовательно,

(𝑛+1)𝑉

_𝑛+1

=

𝑆[

𝐴

_𝑛.𝑠

(2𝑛+1-2𝑠)

𝑟

^{(2𝑠-2𝑛-3)}

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠+1

𝑚

λ

^𝑠

)

–

-

𝐴

_𝑛.𝑠

𝑟

^{(2𝑠-2𝑛-1)}

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠-1

λ

𝑠+1

𝑚

)].

(37)

Чтобы получить члены, содержащие 𝑠 косинусов с двойными индексами, нужно уменьшить 𝑠 на единицу в последнем члене. В результате получим

(𝑛+1)𝑉

_𝑛+1

=

𝑆[

𝑟

^{(2𝑠-2𝑛-3)}

{

𝐴

_𝑛.𝑠

(2𝑛-2𝑠+1)

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠+1

𝑚

λ

𝑠

)-

-

𝐴

_𝑛.𝑠-1

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠+1

λ

𝑠

𝑚

)}].

(38)

Но оба эти типа произведений отличаются друг от друга лишь тем, что в одном из них индекс 𝑚 встречается лишь у 𝑝, а в другом – у λ. Таким образом, коэффициенты перед ними должны быть одинаковы, а поскольку мы могли прийти к тому же результату, положив 𝑛+1 вместо 𝑛 в выражении для 𝑉_𝑛 и умножив на 𝑛+1, мы получаем уравнения