Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 34 страниц)

Теорема Томсона

Лемма

100 а. Пусть Ψ – произвольная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности 𝑠 и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях 𝑠₁, 𝑠₂, …, 𝑠_𝑝, … значения Ψ₁, Ψ₂, …, Ψ_𝑝, …, постоянные на каждой поверхности.

Пусть 𝑢, 𝑣, 𝑤 – функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора ℭ, удовлетворяющего условию соленоидальности

-𝑆.∇ℭ

=

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

0.

(28)

Положим в Теореме III

𝑋

=

Ψ𝑢

,

𝑌

=

Ψ𝑣

,

𝑍

=

Ψ𝑤

.

(29)

В результате этих подстановок получим

∑

_𝑝

∬

Ψ

_𝑝

(

𝑙

_𝑝

𝑢

+

𝑚

_𝑝

𝑣

+

𝑛

_𝑝

𝑤

)

𝑑𝑠

_𝑝

+

+

∭

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

+

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0;

(30)

где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы – по всему полю, а 𝑙_𝑝, 𝑚_𝑝, 𝑛_𝑝 – направляющие косинусы нормали к поверхности 𝑠_𝑝 в сторону поля. Первый объёмный интеграл равен нулю вследствие соленоидальности 𝑢, 𝑣, 𝑤, а поверхностные интегралы равны нулю в следующих случаях:

1) если для любой точки поверхности Ψ=0,

2) если для любой точки поверхности 𝑙𝑢 + 𝑚𝑣 + 𝑛𝑤 =0,

3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2),

4) если Ψ постоянно на каждой замкнутой поверхности и ∬(𝑙𝑢+𝑚𝑣+𝑛𝑤)𝑑𝑠=0.

В этих четырёх случаях объёмный интеграл

𝑀

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0.

(31)

100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью 𝑠 и внутренними замкнутыми поверхностями 𝑠₁, 𝑠₂, ….

Пусть Ψ – функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа

∇²Ψ

=

0.

(32)

имеющая постоянные, но не заданные значения Ψ₁, Ψ₂, … соответственно на поверхностях 𝑠₁, 𝑠₂, … и нулевое значение на внешней поверхности 𝑠.

Заряд любой из заряженных поверхностей, скажем 𝑠₁, даётся поверхностным интегралом

𝑒

₁

=-

1

4π

∬

𝑑Ψ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

,

(33)

где нормаль ν₁ направлена от поверхности 𝑠₁ в сторону электрического поля.

100 в. Пусть теперь ƒ, 𝑔, 𝘩 – функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора 𝔇, удовлетворяющие только тому условию, что в каждой точке поля должно выполняться условие соленоидальности

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

=

0,

(34)

и что на каждой из внутренних замкнутых поверхностей, скажем 𝑠₁ интеграл типа

∬

(

𝑙

₁

ƒ

+

𝑚

₁

𝑔

+

𝑛

₁

𝘩

)

𝑑𝑠

=

𝑒

₁

,

(35)

где 𝑙₁, 𝑚₁, 𝑛₁, – направляющие косинусы нормали ν₁ к поверхности 𝑠₁, в сторону электрического поля, а 𝑒₁ – та же величина, что и в (33), т. е. фактически электрический заряд проводника, ограниченного поверхностью 𝑠₁.

Рассмотрим объёмный интеграл

𝑊

_𝔇

=

2π

∭

(

ƒ²

+

𝑔²

+

𝘩²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(36)

по всему полю внутри 𝑠 и вне 𝑠₁, 𝑠₂, … и сравним его с интегралом

𝑊

_Ψ

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(37)

по тому же объёму.

Положим

𝑢

=

ƒ

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑣

=

𝑔

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝑤

=

𝘩

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

(38)

и введём

𝑊

_ℭ

=

2π

∭

(

𝑢²

+

𝑣²

+

𝑤²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(39)

Тогда, поскольку

ƒ²

+

𝑔²

+

𝘩²

=

1

16π²

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

+

𝑢²

+

𝑣²

+

𝑤²

–

1

2π

⎡

⎢

⎣

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

(40)

то

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

+

𝑊

_ℭ

–

-

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Но, во-первых, 𝑢, 𝑣, 𝑤, удовлетворяют условию соленоидальности в любой точке поля, поскольку, согласно (38),

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

–

1

4π

∇²Ψ

,

(41)

a no (34) и (32) оба слагаемых правой части (41) равны нулю.

Во-вторых, имеет место равенство

∬

(

𝑙

₁

𝑢

+

𝑚

₁

𝑣

+

𝑛

₁

𝑤

)

𝑑𝑠

₁

=

=

∬

(

𝑙

₁

ƒ

+

𝑚

₁

𝑔

+

𝑛

₁

𝘩

)

𝑑𝑠

₁

+

1

4π

∬

𝑑Ψ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

.

(42)

Но согласно (35) первое слагаемое справа равно 𝑒₁, а согласно (33) второе слагаемое справа равно -𝑒₁, так что

∬

(

𝑙

₁

𝑢

+

𝑚

₁

𝑣

+

𝑛

₁

𝑤

)

𝑑𝑠

₁

=

0.

(43)

Таким образом, так как Ψ₁ постоянно, выполняется четвёртое условие п. 100 а, так что последнее слагаемое в правой части (40) равно нулю и уравнение сводится к

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

+

𝑊

_ℭ

.

(44)

Далее, подынтегральное выражение в 𝑊_ℭ является суммой трёх квадратов 𝑢²+𝑣²+𝑤² и, следовательно, либо положительно, либо равно нулю. Если хоть в одной точке в поле 𝑢, 𝑣, и 𝑤 не равны одновременно нулю, то интеграл 𝑊_ℭ положителен, так что 𝑊_𝔇 больше 𝑊_Ψ. Но и значения 𝑢=𝑣=𝑤=0 во всех точках этим условиям удовлетворяют.

Таким образом, если в каждой точке

ƒ

=

–

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑔

=

–

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝘩

=

–

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

,

(45)

то

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

(46)

и величина для этих значений ƒ, 𝑔, 𝘩 меньше, чем для любых других значений ƒ, 𝑔, 𝘩.

Итак, задача определения смещения и потенциала в каждой точке поля при заданных зарядах на каждом проводнике имеет одно и только одно решение.

Эта теорема в одном из более общих вариантов была впервые установлена сэром У. Томсоном ⁵. Ниже мы укажем возможные обобщения теоремы.

⁵Cambridge and Dublin Mathematical Journal, February, 1848.

100 г. Можно видоизменить эту теорему, предположив, что вектор 𝔇 не соленоидальный в каждой точке, а удовлетворяет условию

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

=

ρ,

(47)

где ρ – конечная функция, значение которой задано в каждой точке поля; она может быть положительной и отрицательной, непрерывной и разрывной, но интеграл от неё по конечному объёму должен быть конечен.

Можно также предположить, что на некоторых поверхностях, расположенных в поле, имеет место соотношение

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

+

𝑙'ƒ'

+

𝑚'𝑔'

+

𝑛'𝘩'

=

σ,

(48)

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛' – направляющие косинусы нормалей из точки поверхности в области, где составляющие смещения равны соответственно ƒ, 𝑔, 𝘩 и ƒ', 𝑔', 𝘩' а σ – величина, заданная во всех точках поверхности, интеграл от которой по конечной поверхности конечен.

100 д. Можно также изменить условие на граничных поверхностях, приняв, что в каждой точке этих поверхностей

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

=

σ,

(49)

где σ задано во всех точках.

(В первоначальной формулировке теоремы мы считали заданным лишь интеграл от σ по каждой из поверхностей. Здесь мы считаем заданным значение σ на каждом элементе. Это всё равно, что рассматривать в первоначальной формулировке теоремы каждый элемент как отдельную поверхность.)

Во всех этих модификациях теорема остаётся справедливой, если только помнить, что Ψ должно удовлетворять соответствующим условиям, т.е. общему условию

𝑑²Ψ

𝑑𝑥

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧

+

4πρ

=

0

(50)

и условию на поверхности

𝑑Ψ

𝑑ν

+

𝑑Ψ'

𝑑ν'

+

4πσ

=

0

(51)

Действительно, положив, как ранее,

ƒ

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

=

𝑢,

𝑔

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

=

𝑣,

𝘩

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

=

𝑤,

получим, что 𝑢, 𝑣, 𝑤 удовлетворяют общему условию соленоидальности

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

0,

условию на поверхности

𝑙𝑢

+

𝑚𝑣

+

𝑛𝑤

+

𝑙'𝑢'

+

𝑚'𝑣'

+

𝑛'𝑤'

=

0

и условию на граничной поверхности

𝑙𝑢

+

𝑚𝑣

+

𝑛𝑤

=

0

откуда опять следует, что

𝑀

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0.

и

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

+

𝑊

_ℭ

.

Как и прежде, показывается, что 𝑊_𝔇 имеет единственный минимум при 𝑊_ℭ, что означает равенство нулю 𝑢² + 𝑣² + 𝑤² во всех точках, так что

ƒ

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑔

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝘩

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

101 а. В нашем доказательстве этих теорем мы до сих пор ограничивались той теорией электричества, которая считает свойства электрических систем зависящими от формы и относительного расположения проводников и их зарядов, но никак не учитывает природы диэлектрической среды, находящейся между проводниками.

Согласно этой теории, существует, например, неизменное соотношение между поверхностной плотностью на проводнике и электродвижущей напряжённостью вне проводника у самой поверхности, даваемое законом Кулона: 𝑅=4πσ.

Но это верно только для эталонной среды, за которую можно принять воздух. В других средах соотношение будет иным, как показал экспериментально, хотя и не опубликовал, Кавендиш, а затем независимо вновь открыл Фарадей.

Для полного описания этого явления мы нашли необходимым рассмотреть две векторные величины, соотношение между которыми в разных средах различно. Одна – это электродвижущая напряжённость, другая – электрическое смещение. Электродвижущая напряжённость связана соотношением неизменного вида с потенциалом, электрическое смещение связано соотношением неизменного вида с распределением заряда, но соотношение между электродвижущей напряжённостью и электрическим смещением зависит от природы диэлектрической среды и должно выражаться уравнениями, наиболее общая форма которых до сих пор ещё полностью не установлена и может быть установлена лишь в результате опытов с диэлектриками.

101 б. Электродвижущая напряжённость – вектор, определённый в п. 68 как отношение механической силы, действующей на малый заряд, к величине этого заряда 𝑒. Её составляющие мы обозначим через 𝑃, 𝑄, 𝑅, а сам вектор – через 𝔈.

В электростатике криволинейный интеграл от 𝔈 всегда не зависит от пути интегрирования, т. е., иными словами, 𝔈 является пространственной вариацией потенциала. Таким образом, 𝑃=-𝑑Ψ/𝑑𝑥, 𝑄=-𝑑Ψ/𝑑𝑦, 𝑅=-𝑑Ψ/𝑑𝑧, или, короче, пользуясь Кватернионными обозначениями, 𝔈=-∇Ψ.

101 в. Составляющая электрического смещения в каком-либо направлении определена в п. 60 как отношение количества электричества, прошедшего через небольшую площадку 𝐴 плоскость которой перпендикулярна рассматриваемому направлению, к величине площадки 𝐴. Мы обозначим прямоугольные составляющие электрического смещения буквами ƒ, 𝑔, 𝘩, а сам вектор – буквой 𝔇.

Объёмная плотность в каждой точке определяется уравнением

ρ

=

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

,

или в Кватернионных обозначениях ρ=-𝑆.∇𝔇.

Поверхностная плотность в любой точке заряженной поверхности определяется соотношением

σ

=

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

+

𝑙'ƒ'

+

𝑚'𝑔'

+

𝑛'𝘩'

,

где ƒ, 𝑔, 𝘩, – составляющие смещения на одной стороне поверхности, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали к поверхности в эту сторону; соответственно ƒ', 𝑔', 𝘩' и 𝑙', 𝑚', 𝑛' – составляющие смещения и направляющие косинусы нормали для другой стороны.

В Кватернионных обозначениях это уравнение примет вид

σ

=

–[

𝑆.𝑈ν𝔇

+

𝑆.𝑈ν'𝔇'

],

где 𝑈ν, 𝑈ν', -единичные нормали с обеих сторон поверхности, a 𝑆 указывает на то, что берётся скалярная часть произведения.

Для поверхности проводника, обозначая через v внешнюю нормаль и учитывая, что ƒ', 𝑔', 𝘩' и 𝔇' равны нулю, это уравнение сводится к виду

σ

=

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

=

–𝑆.𝑈ν𝔇

.

Таким образом, полный заряд проводника равен

σ

=

∬

(

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

)

𝑑𝑠

=

–

∬

𝑆.𝑈ν𝔇

𝑑𝑠

.

101 г. Как показано в п. 84, электрическая энергия системы равна полусумме произведений зарядов на соответствующие потенциалы. Обозначая её через 𝑉 получим

𝑊

=

1

2

∑

(𝑒Ψ)

=

1

2

∭

ρΨ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

1

2

∬

σΨ

𝑑𝑠

=

=

1

2

∭

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

+

1

2

∬

Ψ

(

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

)

𝑑𝑠

,

где объёмный интеграл берётся по всему электрическому полю, а поверхностный – по поверхностям проводников.

Полагая в Теореме III, п. 21, 𝑋=Ψƒ, 𝑌=Ψ𝑔, 𝑍=Ψ𝘩, получим

∬

Ψ

(

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

)

𝑑𝑠

=-

∭

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

–

-

∭

⎛

⎜

⎝

ƒ

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑔

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝘩

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали к поверхности в сторону поля.

Подставляя это значение поверхностного интеграла в 𝑊 получим

𝑊

=-

1

2

∭

⎛

⎜

⎝

ƒ

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑔

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝘩

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

или

𝑊

=

1

2

∭

(

ƒ𝑃

+

𝑔𝑄

+

𝘩𝑅

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

101 д. Теперь перейдём к соотношению между 𝔇 и 𝔈. Единица заряда обычно определяется из опытов в воздухе. Из опытов Больцмана мы знаем теперь, что диэлектрическая постоянная для воздуха несколько больше, чем для вакуума, и что она зависит от плотности воздуха. Поэтому, строго говоря, подобно тому как значения коэффициентов преломления в воздухе нуждаются в поправке, так и все измерения электрических величин следует скорректировать, сведя их либо к воздуху при нормальной температуре и нормальном давлении, либо, что с научной точки зрения более предпочтительно, к вакууму. Но в обоих случаях поправки столь малы, что обнаруживаются лишь при чрезвычайно точных измерениях.

В эталонной среде 4π𝔇=𝔈, т.е. 4πƒ=𝑃, 4π𝑔=𝑄, 4π𝘩=𝑅.

В изотропной среде с диэлектрической постоянной 𝐾

4π𝔇

=

𝐾𝔈

,

4πƒ

=

𝐾𝑃

,

4π𝑔

=

𝐾𝑄

,

4π𝘩

=

𝐾𝑄

.

Однако есть некоторые среды, из которых наиболее исследовано стекло, в которых соотношение между 𝔇 и 𝔈 более сложное и содержит производные по времени от одной или от обеих этих величин, так что оно имеет вид

𝐹(

𝔇

,

𝔈

,

𝔇̇

,

𝔈̇

,

𝔇̈

,

𝔈̈

,…)

=

0.

Мы сейчас не будем рассматривать соотношений такого более общего вида и ограничимся случаем, когда 𝔇 является линейной векторной функцией от 𝔈.

Самый общий вид такого соотношения может быть записан в виде 4π𝔇=φ(𝔈), где через φ мы будем всюду в нашем исследовании обозначать линейную векторную функцию. Таким образом, составляющие являются линейными однородными функциями от составляющих 𝔇 и могут быть записаны в виде

4π

ƒ

=

𝐾

_𝑥𝑥

𝑃

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑄

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑅

,

4π

𝑔

=

𝐾

_𝑦𝑥

𝑃

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑄

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑅

,

4π

𝘩

=

𝐾

_𝑧𝑥

𝑃

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑄

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑅

,

где первый индекс в каждом коэффициенте 𝐾 указывает направление составляющей смещения, а второй – направление составляющей электродвижущей напряжённости.

В самом общем виде в линейную векторную функцию входят девять независимых коэффициентов. Если коэффициенты с одинаковой парой индексов равны между собой, то такая функция называется самосопряжённой.

Если выразить 𝔈 через 𝔇, то получится соотношение типа 𝔈=4πφ^-1(𝔇), т. е.

𝑃

=

4π(

𝑘

_𝑥𝑥

ƒ

+

𝑘

_𝑦𝑥

𝑔

+

𝑘

_𝑧𝑥

𝘩

),

𝑄

=

4π(

𝑘

_𝑥𝑦

ƒ

+

𝑘

_𝑦𝑦

𝑔

+

𝑘

_𝑧𝑦

𝘩

),

𝑅

=

4π(

𝑘

_𝑥𝑧

ƒ

+

𝑘

_𝑦𝑧

𝑔

+

𝑘

_𝑧𝑧

𝘩

).

101 e. Работа, совершаемая в единице объёма среды электродвижущей напряжённостью с составляющими 𝑃, 𝑄, 𝑅 при создании смещения с составляющими 𝑑ƒ, 𝑑𝑔, 𝑑𝘩 равна

𝑑𝑊

=

𝑃𝑑ƒ

+

𝑄𝑑𝑔

+

𝑅𝑑𝘩

.

Поскольку диэлектрик, в котором имеет место электрическое смещение, является консервативной системой, то 𝑊 должно быть функцией ƒ, 𝑔, 𝘩, а поскольку ƒ, 𝑔, 𝘩 могут меняться независимо, то

𝑃

𝑑𝑊

𝑑ƒ

,

𝑄

𝑑𝑊

𝑑𝑔

,

𝑅

𝑑𝑊

𝑑𝘩

.

Отсюда следует, что

𝑑𝑃

𝑑𝑔

=

𝑑²𝑊

𝑑𝑔𝑑ƒ

=

𝑑²𝑊

𝑑ƒ𝑑𝑔

=

𝑑𝑄

𝑑ƒ

.

Ho 𝑑𝑃/𝑑𝑔=4π𝑘_𝑦𝑥 – коэффициент передав выражении для 𝑃, a 𝑑𝑄/𝑑ƒ=4π𝑘_𝑦𝑥 – коэффициент перед ƒ в выражении для 𝑄.

Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а мы знаем, что это так, потому что её энергия может сохраняться неограниченно долго), то 𝑘_𝑥𝑦=𝑘_𝑦𝑥 т.е. φ_-1 – самосопряжённая функция.

Отсюда следует, что и φ – самосопряжённая функция, т. е. 𝐾_𝑥𝑦=𝐾_𝑦𝑥.

101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм:

𝑊

_𝔈

1

8π

=

∭

[

𝐾

_𝑥𝑥

𝑃²

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑄²

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑅²

+

2𝐾

_𝑦𝑧

𝑄𝑅

+

+

2𝐾

_𝑧𝑥

𝑅𝑃

+

2𝐾

_𝑥𝑦

𝑃𝑄

]

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

или

𝑊

_𝔇

=

2π

∭

[

𝑘

_𝑥𝑥

ƒ²

+

𝑘

_𝑦𝑦

𝑔²

+

𝑘

_𝑧𝑧

𝘩²

+

2𝑘

_𝑦𝑧

𝑔𝘩

+

+

2𝑘

_𝑧𝑥

𝘩ƒ

+

2𝑘

_𝑥𝑦

ƒ𝘩

]

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где индекс указывает на вектор, через который выражается 𝑊. Если индекс не указан, то подразумевается, что энергия выражена через оба вектора.

Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87. Три других выражения являются объёмными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электродвижущей напряжённости, или электрического смещения, или и те и другие.

Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на расстоянии, а три последних – к теории воздействия через посредство промежуточной среды. Их можно представить в виде

𝑊

=-

1

2

∭

𝑆.𝔇𝔈

𝑑ς

,

𝑊

_𝔈

=-

2π

∭

𝑆.𝔈φ(𝔈)

𝑑ς

,

𝑊

_𝔇

=-

1

8π

∭

𝑆.𝔇φ

^-1

(𝔇)

𝑑ς

.

101 з. Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме III, п. 21,

𝑋

=

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

𝑌

=

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑦𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

𝑍

=

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑧𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

и мы получим

∬

Ψ

⎡

⎢

⎣

(

𝐾

_𝑥𝑥

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑥

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑥

𝑛

)

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

(

𝐾

_𝑥𝑦

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑛

)

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

+

(

𝐾

_𝑥𝑧

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑛

)

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

–

-

∭

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑦𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑧𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

∭

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

+

+

𝐾

_𝑦𝑧

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑧

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

+

𝐾

_𝑧𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝐾

_𝑥𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

∬

Φ

⎡

⎢

⎣

(

𝐾

_𝑥𝑥

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑥

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑥

𝑛

)

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

(

𝐾

_𝑥𝑦

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑛

)

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

(

𝐾

_𝑥𝑧

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑛

)

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

–

-

∬

Φ

⎡

⎢

⎣

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑦𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑧𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности (следует помнить, что порядок индексов в коэффициентах безразличен).

В кватернионных обозначениях эти соотношения записываются короче:

∬

Ψ𝑆.𝑈νφ(∇Φ)

𝑑𝑠

–

∭

Ψ𝑆.{∇φ(∇Φ)}

𝑑ς

=

=

∭

𝑆.∇Ψφ(∇Φ)

𝑑ς

=-

∭

𝑆.∇Φφ(∇Ψ)

𝑑ς

=

=

∬

Φ𝑆.𝑈νφ(∇Ψ)

𝑑𝑠

=-

∭

Φ𝑆.{∇φ(∇Ψ)}

𝑑ς

.

Границы возможных значений электрической ёмкости проводника

102 а. Мы уже определили ёмкость проводника или системы проводников как заряд этого проводника или системы проводников при сообщении им единичного потенциала и при нулевом потенциале всех остальных проводников, находящихся в поле.

Излагаемый ниже метод определения предельных значений, между которыми должно находиться значение ёмкости проводника, был предложен Дж. У. Стреттом в его работе «О теории резонанса», Phil. Trans., 1871, Art. 306.

Пусть 𝑠₁ – поверхность проводника или системы проводников, ёмкость которых следует определить, a 𝑠₀ – поверхность всех остальных проводников. Пусть потенциал 𝑠₁ равен Ψ₁ потенциал 𝑠₀ равен Ψ₀. Если заряд на 𝑠₁ равен 𝑒₁ то заряд на 𝑠₀ равен -𝑒₁.

Ёмкость 𝑝 проводника 𝑠₁ равна

𝑞

=

𝑒

₁

/(Ψ

₁

–Ψ

₀

)

.

(1)

Если 𝑊 – энергия системы при фактическом распределении заряда, то

𝑊

=

𝑒

₁

(Ψ

₁

–Ψ

₀

)/2

,

(2)

так что

𝑞

=

2𝑊

(Ψ₁-Ψ₀)²

=

𝑒₁²

2𝑊

.

(3)

Чтобы найти верхнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую функцию Ψ равную 1 на 𝑠₁ и нулю на 𝑠₀, и вычислим значение объёмного интеграла

𝑊

_Ψ

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(4)

по всему полю.

Поскольку мы показали (в п. 996), что 𝑊 не может превышать 𝑊_Ψ, ёмкость 𝑞 не может быть больше 2𝑊_Ψ.

Чтобы найти нижнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую систему значений ƒ, 𝑔, 𝘩, удовлетворяющую уравнению

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

=

0,

(5)

и пусть

∬

(

𝑙

₁

ƒ

+

𝑚

₁

𝑔

+

𝑛

₁

𝘩

)

𝑑

₁

𝑠

=

𝑒

₁

.

(6)

Вычислим теперь значение объёмного интеграла

𝑊

_𝔇

=

2π

∭

(

ƒ²

+

𝑔²

+

𝘩²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(7)

по всему полю.

Поскольку мы показали в п. 100 в, что 𝑊 не может превышать 𝑊_𝔇, то ёмкость 𝑞 не может быть меньше

𝑒

₁

²

/

(2𝑊

_𝔇

)

.

(8)

Проще всего найти совокупность функций ƒ, 𝑔, 𝘩 удовлетворяющую условик соленоидальности, приняв какое-то распределение заряда на 𝑠₁ и на 𝑠₀ так, чтобы суммарный заряд равнялся нулю, и рассчитав потенциал Ψ, соответствующий: этому распределению, и электрическую энергию такой системы.

Если теперь положить

ƒ

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑔

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝘩

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

,

то эти значения ƒ, 𝑔, 𝘩 будут удовлетворять условию соленоидальности.

Однако в этом случае можно найти 𝑊_𝔇 и не производя объёмного интегрирования. Поскольку для этого решения ∇²Ψ=0 во всех точках поля, то 𝑊_𝔇 можно выразить в виде поверхностного интеграла

𝑊

_𝔇

=

1

2

∬

Ψσ

₁

𝑑𝑠

₁

+

1

2

∬

Ψσ

₀

𝑑𝑠

₀

,

где первый интеграл берётся по поверхности 𝑠₁, а второй – по 𝑠₀.

Если поверхность 𝑠₀ находится на бесконечно большом расстоянии от 𝑠₁ то потенциал на ней равен нулю и второй член исчезает.

102 б. Приближённое решение любой задачи о распределении заряда на проводниках с заданными потенциалами может быть получено следующим образом.

Пусть 𝑠₁ – поверхность проводника или системы проводников, находящихся под потенциалом 1, а 𝑠₀ – поверхность всех остальных проводников, в том числе и полого проводника, охватывающего все остальные. Впрочем, этот последний проводник может в некоторых случаях находиться на бесконечно большом расстоянии от остальных.

Начнём с построения совокупности линий, прямых или кривых, идущих от 𝑠₁ к 𝑠₀.

Вдоль каждой из этих линий будем считать Ψ меняющимся от 1 на 𝑠₁ до 0 на 𝑠₀. Если 𝑃 – точка на одной из таких линий (а 𝑠₁ и 𝑠₀ – точки пересечения линии с поверхностями), то в качестве первого приближения можно положить Ψ₁=(𝑃𝑠₀/𝑠₁𝑠₀).

Таким образом, мы получаем первое приближение для функции Ψ₁ равной: единице на 𝑠₁ и нулю на 𝑠₀.

Рассчитанное по Ψ₁ значение 𝑊_φ больше, чем 𝑊.

Теперь примем в качестве второго приближения для силовых линий

ƒ

=

–𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

,

𝑔

=

–𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

,

𝘩

=

–𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

.

(10)

Вектор с составляющими ƒ, 𝑔, 𝘩 нормален поверхностям постоянного Ψ₁. Определим значение 𝑝, потребовав, чтобы вектор ƒ, 𝑔, 𝘩 был соленоидальным. Мы придём к соотношению

𝑝

⎛

⎜

⎝

𝑑²Ψ₁

𝑑𝑥²

+

𝑑²Ψ₁

𝑑𝑦²

+

𝑑²Ψ₁

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

+

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

+

𝑑𝑝

𝑑𝑧

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

=

0.

(11)

Если провести от 𝑠₁ к 𝑠₀ линию, всюду нормальную к поверхностям постоянного Ψ₁, и обозначить через 𝑠 длину, отсчитываемую от 𝑠₀ по этой линии, то

𝑅

𝑑𝑥

𝑑𝑠

=-

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

,

𝑅

𝑑𝑦

𝑑𝑠

=-

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

,

𝑅

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=-

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

,

(12)

где 𝑅 – величина напряжённости, равная -𝑑Ψ₁/𝑑𝑠 так что

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

+

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

+

𝑑𝑝

𝑑𝑧

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

=

-𝑅

𝑑𝑝

𝑑𝑠

,

=

𝑅²

𝑑𝑝

𝑑Ψ₁

,

(13)

и уравнение (11) принимает вид

𝑝∇²Ψ

=

𝑅²

𝑑𝑝

𝑑Ψ₁

,

(14)

откуда

𝑝

=

𝐶 exp

Ψ₁

∫

0

∇²Ψ₁

𝑅²

𝑑Ψ

₁

,

(15)

где интеграл понимается как криволинейный интеграл вдоль линии 𝑠

Предположим теперь, что вдоль линии 𝑠

-

𝑑Ψ₂

𝑑𝑠

=

ƒ

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑔

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝘩

𝑑𝑧

𝑑𝑠

,

=

-𝑝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑠

.

(16)

Тогда

Ψ

₂

=

𝐶

Ψ

∫

0

⎛

⎜

⎝

exp

∫

∇²Ψ₁

𝑅²

𝑑Ψ

₁

⎞

⎟

⎠

𝑑Ψ

₁

,

(17)

где всегда подразумевается, что интегрирование производится вдоль линии 𝑠.

Остаётся определить постоянную 𝐶 из условия, что Ψ₂=1 на 𝑠₁ когда и Ψ₁=1 т.е.

𝐶

1

∫

0

⎛

⎜

⎝

exp

Ψ

∫

0

∇²Ψ

𝑅²

𝑑Ψ

⎞

⎟

⎠

𝑑Ψ

=

1.

Таким образом, получается второе приближение для Ψ Этот процесс может быть повторён снова.

В результате, рассчитав 𝑉_Ψ1, 𝑉_𝔇2, 𝑉_Ψ2 и т. д., мы получим значения ёмкости, которые последовательно то больше, то меньше истинной ёмкости и непрерывно приближаются к ней.

Описанный выше метод требует расчёта формы линии 𝑠 и проведения интегрирования вдоль неё. В общем случае это операции, слишком сложные для практических целей. Однако в некоторых частных случаях можно применить более простой метод получения приближения.

102 в. В качестве иллюстрации метода рассмотрим его применение к нахождению последовательных приближений для эквипотенциальных поверхностей и линий индукции в электрическом поле между двумя почти (но не совсем) плоскими и почти параллельными поверхностями, причём одна из них имеет нулевой потенциал, а другая – единичный.

Пусть уравнения этих поверхностей имеют вид

𝑧

₁

=

ƒ

₁

(𝑥,𝑦)

=

𝑎

(19)

для поверхности с нулевым потенциалом и

𝑧

₂

=

ƒ

₂

(𝑥,𝑦)

=

𝑏

(20)

для поверхности с единичным потенциалом. Здесь 𝑎 и 𝑏 – заданные функции от 𝑥 и 𝑦, причём 𝑏 всегда больше 𝑎. Первые производные 𝑎 и 𝑏 по 𝑥 и 𝑦 считаются малыми величинами, вторыми и более высокими степенями и произведениями которых можно пренебречь.

Предположим сначала, что линии индукции параллельны оси 𝑧. Тогда

ƒ=0,

𝑔=0,

𝑑𝘩/𝑑𝑧=0

.

(21)

Таким образом, 𝘩 постоянно вдоль каждой отдельной линии индукции и

Ψ

=

–4π

𝑧

∫

𝑎

𝘩

𝑑𝑧

=

–4π𝘩

(𝑧-𝑎)

.

(22)

При 𝑧=𝑏 Ψ=1, так что

𝘩

=-

1

4π(𝑏-𝑎)

(23)

и

Ψ=(𝑧-𝑎)/(𝑏-𝑎)

.

(24)

Таким образом, мы получили первое приближение для потенциала, дающее систему эквипотенциальных поверхностей, равноотстоящих друг от друга в направлении, параллельном 𝑧.

Для получения второго приближения для линий индукции примем, что они всюду нормальны к эквипотенциальным поверхностям, определяемым уравнением (24).

Это условие эквивалентно соотношениям

4πƒ

=

λ

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

4π𝑔

=

λ

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

4π𝘩

=

λ

𝑑Ψ

𝑑𝑧

,

(25)

где λ определяется требованием, чтобы в каждой точке поля выполнялось условие

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

(26)

и чтобы криволинейный интеграл

4π

∫

⎛

⎜

⎝

ƒ

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑔

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝘩

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

(27)

взятый вдоль любой линии индукции от поверхности 𝑎 до поверхности 𝑏, был равен -1.

Положим

λ

=

1+𝐴

+

𝐵(𝑧-𝑎)

+

𝐶(𝑧-𝑎)²

(28)

и будем пренебрегать степенями и произведениями 𝐴, 𝐵, 𝐶, пренебрежём также на данном этапе степенями и произведениями первых производных от 𝑎 и 𝑏.

Условие соленоидальности даёт при этом

𝐴

=

–∇²𝑎

,

𝐵

=-

1

2

∇²(𝑏-𝑎)

𝑏-𝑎

,

(29)

где

∇²

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑²

𝑑𝑥²

+

𝑑²

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

(30)

Вместо того чтобы брать криволинейный интеграл по новой линии индукции, мы возьмём его по старой линии индукции, параллельной 𝑧. Тогда второе условие соленоидальности даёт

1=1

+𝐴

+

1

2

𝐵(𝑏-𝑎)

+

1

3

𝐶(𝑎-𝑏)²

откуда

𝐴

=

1

6

(𝑏-𝑎)

∇²

(2𝑎+𝑏)

(31)

и

λ

=

1+

1

6

(𝑏-𝑎)

∇²

(2𝑎+𝑏)

–

(𝑧-𝑎)

∇²𝑎

–

1

2

(𝑧-𝑎)²

𝑏-𝑎

∇²

(𝑏-𝑎)

.

(32)

Таким образом, мы находим второе приближение для составляющих смещения

-4πƒ

=

λ

𝑏-𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑑𝑎

𝑑𝑥

+

𝑑(𝑏-𝑎)

𝑑𝑥

𝑧-𝑎

𝑏-𝑎

⎤

⎥

⎦

,

-4π𝑔

=

λ

𝑏-𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑑𝑎

𝑑𝑦

+

𝑑(𝑏-𝑎)

𝑑𝑦

𝑧-𝑎

𝑏-𝑎

⎤

⎥

⎦

,

-4π𝘩

=

λ

𝑏-𝑎

(33)

второе приближение для потенциала

Ψ

=

𝑧-𝑎

𝑏-𝑎

+

1

6

∇²

(2𝑎+𝑏)

(𝑧-𝑎)

–

1

2

∇²𝑎

(𝑧-𝑎)²

𝑏-𝑎

–

-

1

6

∇²

(𝑏-𝑎)

(𝑧-𝑎)³

(𝑏-𝑎)²

.

(34)

Если обозначить через σ_𝑎 и σ_𝑏 поверхностные плотности на поверхностях 𝑎 и 𝑏, а через Ψ_𝑎 и Ψ_𝑏 – соответствующие потенциалы, то

σ

_𝑎

=

1

4π

(Ψ

_𝑎

–Ψ

_𝑏

)

⎡

⎢

⎣

1

𝑏-𝑎

+

1

3

∇²𝑎

+

1

6

∇²𝑏

⎤

⎥

⎦

,

σ

_𝑏

=

1

4π

(Ψ

_𝑏

–Ψ

_𝑎

)

⎡

⎢

⎣

1

𝑏-𝑎

–

1

6

∇²𝑎

–

1

3

∇²𝑏

⎤

⎥

⎦

.