Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 31 (всего у книги 34 страниц)
1
.
(14)
Если мы обозначим
ρ
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
и
ρ'
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
,
то найдём для потенциала в первой среде
𝑉
=
𝐸
𝑃𝑆
–
ρ
𝐸
𝑃𝐼
+
(1-ρ²)ρ'
𝐸
𝑃𝐼1
+
ρ'(1-ρ²)ρρ'
𝐸
𝑃𝐼2
+ и т.д +
+
ρ'(1-ρ²)(ρρ')
𝑛-1
𝐸
𝑃𝐼𝑛
+
.
(15)
Для потенциала в третьей среде мы найдём
𝑉
=
(1+ρ')(1-ρ)
𝐸
⎧
⎨
⎩
1
𝑃𝑆
+
ρρ'
𝑃𝐽1
+ и т.д. +
(ρρ')𝑛
𝑃𝐽𝑛
+…
⎫
⎬
⎭
.
(16)
Если первая среда такая же, как третья, то 𝑘1=𝑘3, ρ=ρ', и потенциал по другую сторону пластины будет равен
𝑉
=
(1-ρ²)
𝐸
⎧
⎨
⎩
1
𝑃𝑆
+
ρ²
𝑃𝐽1
+ и т.д. +
ρ2𝑛
𝑃𝐽𝑛
+…
⎫
⎬
⎭
.
(17)
Если пластина является намного более хорошим проводником, чем остальная среда, величина ρ очень близка к 1. Если среда является почти идеальным изолятором, величина ρ очень близка к -1, а если проводимость пластины мало отличается от проводимости среды, ρ есть малая величина, положительная или отрицательная.
Эта задача была впервые поставлена Грином в его работе «Теория магнитной индукции» (Essay, р. 65). Его результат, однако, верен только в случае, когда величина ρ почти равна единице 2. Величина 𝑔, которую использует Грин, связана с ρ уравнениями
𝑔
=
2ρ
3-ρ
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+2𝑘2
,
ρ
=
3𝑔
2+𝑔
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
.
2 См. сэр У. Томсон «О наведённом магнетизме в пластине», Camb. and Dub. Math. Journal, Nov., 1845 или Reprint, art. IX, § 156.
Если мы положим ρ=2π𝑘/(1+2π𝑘), то получим решение задачи о магнитной индукции, наведённой магнитным полюсом в бесконечной пластине с коэффициентом намагничения k.
О слоистых проводниках
319. Пусть проводник составлен из чередующихся слоёв с толщинами 𝑐 и 𝑐' из двух веществ с различными коэффициентами проводимости. Требуется определить коэффициенты сопротивления и проводимости у составного проводника.
Будем считать, что плоскости слоёв нормальны к оси 𝑧. Будем помечать штрихом каждую величину, относящуюся к слою второго вещества, а величины, относящиеся к составному проводнику, будем помечать чертой сверху, например, 𝑋. Тогда
𝑋
=
𝑋
=
𝑋',
(𝑐+𝑐')
𝑢
=
𝑐𝑢+𝑐'𝑢',
𝑌
=
𝑌
=
𝑌',
(𝑐+𝑐')
𝑣
=
𝑐𝑣+𝑐'𝑣',
(𝑐+𝑐')
𝑍
=
𝑐𝑍+𝑐'𝑍',
𝑤
=𝑤
=
𝑤',
Сначала мы должны определить 𝑢, 𝑢', 𝑣, 𝑣', 𝑍 и 𝑍' через 𝑋, 𝑌, и 𝑤 из уравнений сопротивления, п. 297, или уравнений проводимости, п. 298. Если мы обозначим через 𝐷 детерминант, составленный из коэффициентов сопротивления, мы найдём
𝑢𝑟
3
𝐷
=
𝑅
2
𝑋
–
𝑄
3
𝑌
+
𝑤
𝑞
2
𝐷,
𝑣𝑟
3
𝐷
=
𝑅
1
𝑌
–
𝑃
3
𝑋
+
𝑤
𝑝
1
𝐷,
𝑍𝑟
3
=
–𝑝
2
𝑋
–
𝑞
1
𝑌
+
𝑤
.
Аналогичные соотношения для штрихованных величин дают значения 𝑢', 𝑣', и 𝑍'. Выразив 𝑢, 𝑣 и 𝑤 через 𝑋, 𝑌 и 𝑍, мы можем написать уравнения проводимости для слоистого проводника. Полагая ℎ=𝑐/𝑟3 и ℎ'=𝑐'/𝑟'3, мы найдём
𝑝
₁
=
ℎ𝑝1+ℎ'𝑝'1
ℎ+ℎ'
,
𝑞
₁
=
ℎ𝑞1+ℎ'𝑞'1
ℎ+ℎ'
,
𝑝
2
=
ℎ𝑝1+ℎ'𝑝'1
ℎ+ℎ'
,
𝑞
2
=
ℎ𝑞2+ℎ'𝑞'2
ℎ+ℎ'
,
𝑝
3
=
𝑐𝑝3+𝑐'𝑝'3
𝑐+𝑐'
–
ℎℎ'(𝑞1-𝑞'1)(𝑞2-𝑞'2)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑞
3
=
𝑐𝑞3+𝑐'𝑞'3
𝑐+𝑐'
–
ℎℎ'(𝑝1-𝑝'1)(𝑝2-𝑝'2)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
1
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'1
𝑐+𝑐'
–
ℎℎ'(𝑝2-𝑝'2)(𝑞2-𝑞'2)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
2
=
𝑐𝑟2+𝑐'𝑟'2
𝑐+𝑐'
–
ℎℎ'(𝑝1-𝑝'1)(𝑞1-𝑞'1)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
3
=
𝑐+𝑐'
ℎ+ℎ'
.
320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в п. 303, значение любой из величин 𝑃 или 𝑝 будет равно значению соответствующей величины 𝑄 или 𝑞. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также 𝑝1=𝑞1, 𝑝2=𝑞2, 𝑝3=𝑞3.
Другими словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои.
321. Если мы теперь предположим, что свойство вращения отсутствует и что оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются главными осями, тогда коэффициенты 𝑝 и 𝑞 исчезают и
𝑟
1
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'1
𝑐+𝑐'
,
𝑟
2
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'2
𝑐+𝑐'
,
𝑟
3
=
𝑐+𝑐'
(𝑐/𝑟1)+(𝑐'/𝑟'1)
.
Если мы начнём со случая, когда обе среды изотропны, но имеют различные проводимости 𝑟 и 𝑟', то, поскольку
𝑟
1
–
𝑟
3
=
𝑐𝑐'
𝑐+𝑐'
⋅
(𝑟-𝑟')²
(𝑐𝑟'+𝑐'𝑟)
,
разбиение на слои приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоёв одинаковы.
322. Возьмём изотропную среду проводимости 𝑟, разобьём её на исключительно тонкие слои толщиной 𝑎 и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна 𝑠, а толщина 𝑘1𝑎.
Пусть эти слои будут нормальны к оси 𝑥. Затем разобьём этот составной проводник на гораздо более толстые слои толщины 𝑏, перпендикулярные оси 𝑦, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘2𝑏.
Наконец, разобьём этот новый проводник на ещё более толстые слои толщины 𝑐, перпендикулярные к оси 𝑧, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘3𝑐.
В результате этих трёх операций вещество проводимости 𝑟 разобьётся на прямоугольные параллелепипеды с размерами 𝑎, 𝑏, 𝑐, причём размер 𝑏 крайне мал по сравнению с 𝑐 и размер 𝑎 крайне мал по сравнению с 𝑏. Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью 𝑠, так что они отдалены друг от друга на расстояния 𝑘1𝑎 вдоль оси 𝑥, 𝑘2𝑏 – в направлении оси 𝑦 и 𝑘3𝑐 – в направлении оси 𝑧. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321.
При этом мы получим
𝑟
1
=
{1+𝑘
1
(1+𝑘
2
)(1+𝑘
3
)}𝑟
+
(𝑘
2
+𝑘
3
+𝑘
2
𝑘
3
)𝑠
(1+𝑘2)(1+𝑘3)(𝑘1𝑟+𝑠)
𝑠
,
𝑟
2
=
(1+𝑘
2
+𝑘
2
𝑘
3
)𝑟
+
(𝑘
1
+𝑘
3
+𝑘
1
𝑘
2
+𝑘
1
𝑘
3
+𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
)
𝑠
,
(1+𝑘3){𝑘2𝑟+(1+𝑘1+𝑘1𝑘2)𝑠}
𝑠
,
𝑟
3
=
(1+𝑘3)(𝑟+(𝑘1+𝑘2+𝑘1𝑘2)𝑠)
𝑘
1
𝑟
+
(1+𝑘
1
+𝑘
2
+𝑘
2
𝑘
3
+𝑘
3
𝑘
1
+𝑘
1
𝑘
2
+𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
)𝑠
𝑠
.
Точность этого рассмотрения определяется тем, что три размера параллелепипедов имеют разные порядки величины, так что мы можем пренебречь условиями, которые должны быть выполнены на рёбрах и в вершинах. Если мы положим каждую из величин 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 равной единице, то получим
𝑟
1
=
5𝑟+3𝑠
4𝑟+4𝑠
𝑠
,
𝑟
2
=
3𝑟+5𝑠
2𝑟+6𝑠
𝑠
,
𝑟
3
=
2𝑟+6𝑠
𝑟+7𝑠
.
Если 𝑟=0, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то
𝑟
1
=
3
4
𝑠
,
𝑟
2
=
5
6
𝑠
,
𝑟
3
=
6
7
𝑠
.
Если 𝑟=∞, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками,
𝑟
1
=
5
4
𝑠
,
𝑟
2
=
3
2
𝑠
,
𝑟
3
=
2𝑠
.
В любом случае, если 𝑘1=𝑘2=𝑘3, можно показать, что 𝑟1, 𝑟2 и 𝑟3, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление – в направлении наименьших размеров.
323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твёрдого тела, имеется проводящий канал между противоположными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.
Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны 𝑎, 𝑏 и 𝑐, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (𝑎𝑏𝑐), равна 𝑎𝑏𝑐𝐾.
Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна 𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍, и если ток вдоль канала равен 𝐶' то 𝐶'=𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍).
Ток, идущий через грань параллелепипеда 𝑏𝑐 равен 𝑏𝑐𝑢, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или
𝑏𝑐𝑢
=
𝑏𝑐
(𝑟
1
𝑋+𝑝
1
𝑌+𝑞
1
𝑍)
+
𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍)
,
или
𝑢
=
(𝑟
1
+𝐾𝑎²)𝑋
+
(𝑝
3
+𝐾𝑎𝑏)𝑌
+
(𝑞
2
+𝐾𝑏𝑎)𝑍
.
Таким же путём мы можем найти значения 𝑣 и 𝑤. Коэффициенты проводимости с учётом изменения, которое вызвано влиянием канала, имеют вид
𝑟
1
+𝐾𝑎²,
𝑟
2
+𝐾𝑏²,
𝑟
3
+𝐾𝑐²,
𝑝
1
+𝐾𝑏𝑐,
𝑝
1
+𝐾𝑐𝑎,
𝑝
3
+𝐾𝑎𝑏,
𝑞
1
+𝐾𝑏𝑐,
𝑞
2
+𝐾𝑐𝑎,
𝑞
3
+𝐾𝑎𝑏.
В этих выражениях добавки к значениям 𝑝1 и т.д., вызванные действием канала, равны добавкам к значениям 𝑞1 и т. д. Следовательно, значения 𝑝1 и 𝑞1 не могут стать неравными из-за введения линейного канала в каждый элемент объёма тела, и поэтому свойство вращения, рассмотренное в п. 303, если оно первоначально отсутствовало у тела, не может быть создано таким способом.
324. Как построить решётку из проводников, которая будет иметь любые заданные коэффициенты проводимости, образующие симметричную систему.
Рис. 25
Пусть пространство разбито на одинаковые малые кубы, один из которых представлен на рис. 25. Обозначим координаты точек 𝑂, 𝐿, 𝑀, 𝑁 и потенциалы этих точек следующим образом:
𝑥
𝑦
𝑧
Потенциал
0
0
0
0
𝑋+𝑌+𝑍
𝐿
0
1
1
𝑋
𝑀
1
0
1
𝑌
𝑁
1
1
0
𝑍
Пусть эти четыре точки соединены шестью проводниками
𝑂𝐿
,
𝑂𝑀
,
𝑂𝑁
,
𝑀𝑁
,
𝑁𝐿
,
𝐿𝑀
,
у которых значения проводимости соответственно равны
𝐴
,
𝐵
,
𝐶
,
𝑃
,
𝑄
,
𝑅
.
Электродвижущие силы вдоль этих проводников будут равны
𝑌+𝑍
,
𝑍+𝑋
,
𝑋+𝑌
,
𝑌-𝑍
,
𝑍-𝑋
,
𝑋-𝑌
,
а токи -
𝐴(𝑌+𝑍)
,
𝐵(𝑍+𝑋)
,
𝐶(𝑋+𝑌)
,
𝑃(𝑌-𝑍)
,
𝑄(𝑍-𝑋)
,
𝑅(𝑋-𝑌)
.
Те из этих токов, которые переносят электричество в положительном направлении оси 𝑥, протекают вдоль проводников 𝐿𝑀, 𝐿𝑁, 𝑂𝑀, и 𝑂𝑁, а переносимое количество равно
𝑢
=
(𝐵+𝐶+𝑂+𝑅)
𝑋
+(𝐶-𝑅)
𝑌
+(𝐵-𝑄)
𝑍.
Подобным же образом,
𝑣
=
(𝐶-𝑅)
𝑋
+(𝐶+𝐴+𝑅+𝑃)
𝑌
+(𝐴-𝑃)
𝑍,
𝑤
=
(𝐵-𝑄)
𝑋
+(𝐴-𝑃)
𝑌
+(𝐴+𝐵+𝑃+𝑄)
𝑍.
Откуда путём сравнения с уравнениями проводимости, п. 298, находим
4𝐴
=
𝑟
2
+𝑟
3
–𝑟
1
+2𝑝
1
,
4𝑃
=
𝑟
2
+𝑟
3
–𝑟
1
–2𝑝
1
4𝐵
=
𝑟
3
+𝑟
1
–𝑟
2
+2𝑝
2
,
4𝑄
=
𝑟
3
+𝑟
1
–𝑟
2
–2𝑝
2
4𝐶
=
𝑟
1
+𝑟
2
–𝑟
3
+2𝑝
3
,
4𝑅
=
𝑟
1
+𝑟
2
–𝑟
3
–2𝑝
3
ГЛАВА X
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА В ДИЭЛЕКТРИКАХ
325. Мы видели, что, когда электродвижущая сила действует на диэлектрическую среду, она производит в среде состояние, которое мы назвали электрической поляризацией и которое мы описали как электрическое смещение внутри среды в направлении, в изотропной среде совпадающем с направлением электродвижущей силы, сопровождаемое появлением поверхностного заряда на каждом из элементов объёма, на которые, как мы можем предположить, разбит диэлектрик. Поверхностный заряд положителен на той стороне, по направлению к которой действует электродвижущая сила, и отрицателен на той стороне, от которой она действует.
Если электродвижущая сила действует на проводящую среду, она также производит то, что называется электрическим током.
Но диэлектрические среды, за очень немногими исключениями, если такие исключения вообще имеются, являются также более или менее несовершенными проводниками, и многие среды, которые не представляют собой хороших изоляторов, обнаруживают явления диэлектрической индукции. Таким образом, мы приходим к необходимости изучать такое состояние среды, в котором одновременно имеют место индукция и прохождение электричества.
Для простоты мы будем предполагать, что среда изотропна в каждой точке, но не обязательно однородна в различных точках. В этом случае уравнение Пуассона, согласно п. 83, становится таким:
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+4πρ
=
0,
(1)
где 𝐾 – «удельная индуктивная способность».
«Уравнение непрерывности» для электрического тока будет
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
–
𝑑ρ
𝑑𝑡
=
0,
(2)
где 𝑟 – удельное сопротивление на единицу объёма.
Если функции 𝐾 или 𝑟 имеют разрывы, эти уравнения нужно преобразовать в такие, которые будут удобны для рассмотрения поверхностей разрыва.
В строго однородной среде обе величины 𝑟 и 𝐾 являются постоянными, так что мы находим
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
=
–4π
ρ
𝐾
=
𝑟
𝑑ρ
𝑑𝑡
,
(3)
откуда
ρ
=
𝐶 exp
⎛
⎜
⎝
–
4π
𝐾𝑟
𝑡
⎞
⎟
⎠
,
(4)
или, если положим
𝑇
=
𝐾𝑟
4π
,
ρ
=
𝐶 exp
⎛
⎜
⎝
–
𝑟
𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Этот результат показывает, что если на однородную среду действуют любые внешние электрические силы и если в объёме среды первоначально был любым способом создан электрический заряд, этот внутренний заряд будет вымирать со скоростью, которая не зависит от внешних сил, так что в конце концов внутри среды не будет электрического заряда, после чего никакие внешние силы не смогут ни создать, ни удержать заряд в любой внутренней части среды, если только соотношение между электродвижущей силой, электрической поляризацией и током остаётся неизменным. Если возникает пробой, эти соотношения теряют свою справедливость, и внутренний заряд может быть создан.
О прохождении тока через конденсатор
326. Пусть 𝐶 – ёмкость конденсатора, 𝑅 – его сопротивление, а 𝐸 – электродвижущая сила, действующая на конденсатор, т. е. разность потенциалов на поверхностях металлических электродов.
Тогда количество электричества на той стороне, от которой действует электродвижущая сила, будет равно 𝐶𝐸, а ток через вещество конденсатора в направлении электродвижущей силы будет равен 𝐸/𝑅.
Если предполагается, что электризация производится электродвижущей силой 𝐸 действующей на контур, частью которого является рассматриваемый конденсатор, и если 𝑑𝑄/𝑑𝑡 есть ток в этом контуре, то
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
𝐸
𝑅
+
𝐶
𝑑𝐸
𝑑𝑡
.
(6)
Введём в эту цепь батарею с электродвижущей силой 𝐸0, сопротивление которой вместе с сопротивлением подводящих проводов равно 𝑟1, тогда
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
𝐸0-𝐸
𝑟1
=
𝐸
𝑅
+
𝐶
𝑑𝐸
𝑑𝑡
.
(7)
Таким образом, в любое время 𝑡1
𝐸
(=𝐸
1
)
=
𝐸
0
𝑅
𝑅+𝑟1
(1-𝑒
-𝑡1/𝑇1
)
, где
𝑇
1
=
𝐶𝑅𝑟1
𝑅+𝑟1
.
(8)
Пусть, далее, цепь с сопротивлением 𝑟1 разрывается на время 𝑡2. Полагая 𝑟1 бесконечной величиной, мы получим из (7)
𝐸
(=𝐸
2
)
=
𝐸
1
𝑒
-𝑡1/𝑇1
, где
𝑇
1
=
𝐶𝑅
.
(9)
Наконец, соединим поверхности конденсатора проводом, сопротивление которого равно 𝑟3, и пусть длительность этого соединения равна 𝑡3, тогда, полагая в (7) 𝐸0, 𝑟1=𝑟3, мы получим
𝐸
(=𝐸
3
)
=
𝐸
2
𝑒
-𝑡3/𝑇3
, где
𝑇
3
=
𝐶𝑅𝑟3
𝑅+𝑟3
.
(10)
Если 𝑄3 есть полный разряд через этот провод за время 𝑡3, то
𝑄
3
=
𝐸
0
𝐶𝑅²
(𝑅+𝑟1)(𝑅+𝑟3)
(1-𝑒
-𝑡1/𝑇1
)
𝑒
-𝑡2/𝑇2
(1-𝑒
-𝑡3/𝑇3
)
.
(11)
Таким путём мы можем найти разряд через провод, с помощью которого соединяются поверхности конденсатора после того, как конденсатор в течение времени 𝑡1 заряжается, а потом в течение времени 𝑡2 изолируется. Если, как это обычно бывает, время зарядки достаточно для того, чтобы образовался полный заряд, и если время разрядки достаточно для полной разрядки, то разряд равен
𝑄
3
=
𝐸
0
𝐶𝑅²
(𝑅+𝑟1)(𝑅+𝑟3)
𝑒
-𝑡2/𝐶𝑅
.
(12)
327. Если такого рода конденсатор сначала любым способом заряжается, затем разряжается через провод с малым сопротивлением, а потом изолируется, то не возникает никакой новой электризации. Однако обнаружено, что в большинстве реальных конденсаторов после разрядки и изоляции постепенно нарастает новый заряд того же знака, что и первоначальный, но меньший по величине. Он называется остаточным зарядом. Для того чтобы его объяснить, мы должны признать, что строение диэлектрической среды отличается от того, какое мы только что описывали. Однако мы увидим, что среда, составленная из смеси малых частиц различных простых сред, обладала бы таким свойством.
Теория составного диэлектрика
328. Для простоты мы будем предполагать, что диэлектрик состоит из некоторого числа плоских слоёв различных веществ, что слои имеют единичную площадь и что электрические силы действуют в направлении нормали к слоям.
Обозначим:
𝑎1, 𝑎2 и т. д.– толщины различных слоёв;
𝑋1, 𝑋2 и т. д.– результирующие электрические силы внутри слоёв;
𝑝1, 𝑝2 и т. д,– токи, вызванные прохождением электричества через слои;
ƒ1, ƒ2 и т. д.– электрические смещения;
𝑢1, 𝑢2 и т. д.– полные токи, которые частично обусловлены прохождением электричества, а частично – изменением смещения;
𝑟1, 𝑟2 и т. д.– удельные сопротивления, отнесённые к единице объёма;
𝐾1, 𝐾2 и т. д.– удельные индуктивные способности;
𝑘1, 𝑘2 и т. д.– величины, обратные удельным индуктивным способностям;
𝐸 – электродвижущая сила вольтовой батареи, помещённой в ту часть цепи, которая ведёт от последнего слоя к первому. Эти слои мы будем считать хорошими проводниками;
𝑄 – полное количество электричества, которое прошло через эту часть цепи к моменту времени;
𝑅0 – сопротивление батареи вместе с подводящими проводами;
σ12 – поверхностная плотность электричества на поверхности, которая разделяет первый и второй слои.
Тогда в первом слое мы имеем по закону Ома
𝑋
1
=
𝑟
1
𝑝
1
,
(1)
по теории электрического смещения
𝑋
1
=
4π𝑘
1
ƒ
1
,
(2)
по определению полного тока
𝑢
1
=
𝑝
1
+
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
(3)
и аналогичные уравнения для других слоёв, в каждом из которых соответствующие величины имеют индекс, принадлежащий данному слою.
Для определения поверхностной плотности на каждом слое мы имеем уравнение вида
σ
12
=
ƒ
2
–ƒ
1
,
(4)
а для определения её изменения имеем
𝑑σ12
𝑑𝑡
=
𝑝
1
–𝑝
2
.
(5)
Дифференцируя (4) по 𝑡 и приравнивая результат к (5), мы получим
𝑝
1
+
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
=
𝑝
2
+
𝑑ƒ2
𝑑𝑡
=
𝑢
,
(6)
или, учитывая (3),
𝑢
1
=
𝑢
2
= и т.д. =
𝑢
.
(7)
Это означает, что полный ток 𝑢 имеет одно и то же значение для всех слоёв и равен току, идущему через провод и батарею.
В силу уравнений (1) и (2) имеем также
𝑢
=
1
𝑟1
𝑋
1
+
1
4π𝑘1
𝑑𝑋1
𝑑𝑡
,
(8)
откуда, произведя над 𝑢 обратную операцию, получим 𝑋1:
𝑋
1
=
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
+
1
4π𝑘1
𝑑
𝑑𝑡
⎞-1
⎟
⎠
𝑢
.
(9)
Полная электродвижущая сила 𝐸 равна
𝐸
=
𝑎
1
𝑋
1
+
𝑎
2
𝑋
2
+ и т.д.,
(10)
или
𝐸
=
⎧
⎨
⎩
𝑎
1
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
+
1
4π𝑘1
𝑑
𝑑𝑡
⎞-1
⎟
⎠
+
𝑎
2
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
+
1
4π𝑘2
𝑑
𝑑𝑡
⎞-1
⎟
⎠
+ и т.д.
⎫
⎬
⎭
𝑢
.
(11)
Уравнение (11) даёт соотношение между внешней электродвижущей силой 𝐸 и внешним током 𝑢.
Если отношение 𝑟 к 𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, уравнение сводится к
𝐸
+
𝑟
4π𝑘
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
(𝑎
1
𝑟
1
+𝑎
2
𝑟
2
+ и т.д.)
𝑢
.
(12)
Это – тот случай, уже рассмотренный в п. 326, в котором, как мы нашли, явление остаточного заряда не может иметь места.
Если имеется 𝑛 веществ с различными значениями отношения 𝑟/𝑘, общее уравнение (11) после избавления от обратных операций будет линейным дифференциальным уравнением n-го порядка по отношению 𝐸 и (𝑛-1)-го порядка по отношению к 𝑢, причём независимой переменной является 𝑡.
Из вида уравнения ясно, что порядок, в котором различные слои следуют друг за другом, безразличен, так что, если имеется несколько слоёв, сделанных из одного и того же вещества, мы можем считать, что они объединены в один и явления при этом не меняются.
329. Теперь предположим, что сначала ƒ1, ƒ2 и т. д. все равны нулю и что электродвижущая сила 𝐸0 внезапно начинает действовать, и найдём её мгновенный эффект.
Интегрируя (8) по времени, мы находим
𝑄
=
∫
𝑢
𝑑𝑡
=
1
𝑟1
∫
𝑋
1
𝑑𝑡
+
1
4π𝑘1
𝑋
1
+ const,
(13)
Но, поскольку величина 𝑋1 в этом случае всегда конечна, ∫𝑋1𝑑𝑡 представляет собой неощутимо малую величину, если 𝑡 есть неощутимо малая величина. Поэтому, так как величина 𝑋1 первоначально равнялась нулю, мгновенный результат будет
𝑋
1
=
4π𝑘
1
𝑄
1
.
(14)
Отсюда, согласно уравнению (10),
𝐸
0
=
4π
(𝑘
1
𝑎
1
+𝑘
2
𝑎
2
+ и т.д.)
𝑄
,
(15)
и если 𝐶 – электрическая ёмкость системы, измеренная таким мгновенным способом, то
𝐶
=
𝑄
𝐸0
=
1
4π(𝑘1𝑎1+𝑘2𝑎2+ и т.д.)
.
(16)
Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоёв.
Предположим далее, что электродвижущая сила 𝐸0 остаётся неизменной в течение неопределённо долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный 𝑝.
Мы тогда имеем 𝑋1=𝑟1𝑝 и т. д., и поэтому, с учётом (10),
𝐸
0
=
(𝑟
1
𝑎
1
+𝑟
2
𝑎
2
+ и т.д.)
𝑝
.
(17)
Если 𝑅 – полное сопротивление системы, то
𝑅
=
𝐸0
𝑝
=
𝑟
1
𝑎
1
+𝑟
2
𝑎
2
+ и т.д.
(18)
В этом состоянии из (2) имеем
ƒ
1
=
𝑟1
4π𝑘1
𝑝
,
так что
σ
12
=
⎛
⎜
⎝
𝑟2
4π𝑘2
–
𝑟1
4π𝑘1
⎞
⎟
⎠
𝑝
.
(19)
Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение 𝐸 быстро изменится от начального значения 𝐸0 до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества 𝑄.
Для того чтобы определить величину 𝑄, заметим, что если 𝑋'1 есть новое значение величины 𝑋1 то, с учётом (13),
𝑋'
1
=
𝑋
1
+
4π𝑘
1
𝑄
.
(20)
Отсюда, с учётом (10), полагая 𝐸0, получаем
0
=
𝑎
1
𝑋
1
+ и т.д.+
4π
(𝑎
1
𝑘
1
+𝑎
2
𝑘
2
+ и т.д.)
𝑄
,
(21)
или
0
=
𝐸
0
+
1
𝐶
𝑄
.
(22)
Отсюда 𝑄=-𝐶𝐸0, где 𝐶 – ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.
Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь 𝑢=0, так что, согласно уравнению (8),
𝑋
1
=
𝑋'
1
exp
⎛
⎜
⎝
–
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
,
(23)
где 𝑋'1 есть начальное значение после разряда.
Отсюда для любого момента 𝑡 получаем, с учётом (23) и (20):
𝑋
1
=
𝐸
0
⎧
⎨
⎩
𝑟1
𝑅
–
4π𝑘
1
𝐶
⎫
⎬
⎭
exp
⎛
⎜
⎝
–
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
.
Поэтому значение 𝐸 в любой момент равно
𝐸
0
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑎1𝑟1
𝑅
–
4π𝑎
1
𝑘
1
𝐶
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
–
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
+
+
⎛
⎜
⎝
𝑎2𝑟2
𝑅
–
4π𝑎
2
𝑘
2
𝐶
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
–
4π𝑘2
𝑟2
⎞
⎟
⎠
𝑡
+ и т.д.
⎫
⎬
⎭
,
(24)
и мгновенный заряд по истечении любого времени 𝑡 равен 𝐸𝐶. Эта величина и называется остаточным разрядом.
Если отношение 𝑟/𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина 𝐸 сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.
Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при 𝑡=0 имеем 𝐸=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях 𝑡. Таким образом, при положительных 𝑡 величина 𝐸 также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.
Если время 𝑡 бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоёв не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина 𝑟1 бесконечна, значение 𝑅 для всей системы также становится бесконечным и значение 𝐸 в конце равно не нулю, а
𝐸
=
𝐸
0
(1-4π𝑎
1
𝑘
1
𝐶)
.
(25)
Таким образом, если некоторые, но не все из слоёв оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе.
330. Мы теперь определим полный разряд через провод с сопротивлением 𝑅0, соединённый всё время с крайними слоями системы, предполагая, что эта система сперва была заряжена с помощью приложенной на долгое время электродвижущей силы 𝐸0.
Для любого момента времени мы имеем
𝐸
=
𝑎
1
𝑟
1
𝑝
1
+
𝑎
2
𝑟
2
𝑝
2
+ и т.д.+
𝑅
0
𝑢
=
0,
(26)
кроме того, с учётом (3),
𝑢
=
𝑝
1
+
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
.
(27)
Отсюда
(𝑅+𝑅
0
)
𝑢
=
𝑎
1
𝑟
1
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
+
𝑎
2
𝑟
2
𝑑ƒ2
𝑑𝑡
+ и т.д.
(28)
Интегрируя по 𝑡, для того чтобы найти 𝑄, получаем
(𝑅+𝑅
0
)
𝑄
=
𝑎
1
𝑟
1
(ƒ'
1
–ƒ
1
)
+
𝑎
2
𝑟
2
(ƒ'
2
–ƒ
2
)
+ и т.д.,
(29)
где ƒ1 – начальное, а ƒ'1 – конечное значения величины ƒ1.
В нашем случае ƒ'1=0, и с учётом (2) и (20) имеем
ƒ
1
=
𝐸
0
⎛
⎜
⎝
𝑟1
4π𝑘1𝑅
–
𝐶
⎞
⎟
⎠
.
Отсюда
(𝑅+𝑅
0
)
𝑄
=
–
𝐸
4π𝑅
⎛
⎜
⎝
𝑎1𝑟1²
𝑘1
+
𝑎2𝑟2²
𝑘2
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
+
𝐸
0
𝐶𝑅
,
(30)
=
–
𝐶𝐸0
𝑅
∑∑
⎡
⎢
⎣
𝑎
1
𝑎
2
𝑘
1
𝑘
2
⎛
⎜
⎝
𝑟1
𝑘1
–
𝑟2
𝑘2
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(31)
где суммирование проводится по всем выражениям этого вида, относящимся к каждой паре слоёв.
Отсюда следует, что величина 𝑄 всегда отрицательна, т. е. имеет, так сказать, противоположное направление по отношению к направлению того тока, который использовался при зарядке системы.
Это исследование показывает, что диэлектрик, составленный из различного рода слоёв, проявляет свойства, известные как электрическое поглощение и остаточный разряд, хотя ни одно из веществ, составляющих этот диэлектрик, взятое само по себе, не проявляет этих свойств. Рассмотрение таких случаев, в которых вещества расположены иначе, чем слоями, привело бы к сходным результатам, хотя соответствующие вычисления были бы более сложными. Поэтому мы можем заключить, что явления электрического поглощения возможны для таких веществ, которые составлены из частей различной природы, даже несмотря на то, что эти части могут быть микроскопически малы.
Отсюда никак не следует, что каждое вещество, обнаруживающее это явление, построено именно таким образом, потому что это может указывать на некоторый новый вид электрической поляризации, возможный для однородного вещества, который в некоторых случаях, вероятно, больше напоминает электрохимическую поляризацию, чем диэлектрическую поляризацию.
Цель этого рассмотрения состоит только в том, чтобы указать на чисто математические особенности так называемого электрического поглощения и показать, насколько фундаментально оно отличается от тепловых явлений, которые на первый взгляд кажутся аналогичными.
331. Если мы возьмём толстую пластину любого вещества и нагреем её с одной стороны так, чтобы создать ток тепла через неё, и если мы затем быстро охладим нагретую сторону до той температуры, при которой находится другая сторона, и предоставим пластину самой себе, то нагревавшаяся сторона пластины опять станет теплее другой в результате прихода тепла изнутри.
Можно осуществить электрическое явление, в точности аналогичное этому, и оно действительно имеет место в телеграфных кабелях, но его математические законы, хотя и полностью согласуются с законами теории тепла, совершенно отличны от законов слоистого конденсатора.
В случае тепла имеет место настоящее поглощение тепла веществом, в результате вещество нагревается. В электричестве невозможно получить полностью аналогичное явление, но мы можем имитировать его следующим образом в форме лекционной демонстрации.
Пусть 𝐴1, 𝐴2 и т.д.– внутренние проводящие поверхности последовательности конденсаторов, у которых внешними поверхностями являются 𝐵0, 𝐵1, 𝐵2 и т. д.
Пусть 𝐴1, 𝐴2 и т. д. соединены последовательно проводниками с сопротивлениями 𝑅, и пусть ток идёт по этой цепи слева направо [рис. 26].
Рис. 26
Предположим сначала, что каждая из пластин 𝐵0, 𝐵1, 𝐵2 изолирована и свободна от заряда. Тогда полное количество электричества на каждой из пластин 𝐵 будет оставаться равным нулю, и, поскольку электричество на пластинах 𝐴 в каждом случае равно и противоположно электричеству на противолежащей поверхности, пластины 𝐴 не будут электризованы и не будет наблюдаться никакого изменения тока.
Но соединим между собой все пластины 𝐵 или заземлим каждую из них. Тогда, поскольку потенциал пластины 𝐴1 положителен, а потенциал пластин 𝐵 равен нулю, пластина 𝐴1 будет электризована положительно, а 𝐵1 – отрицательно.
Если потенциалы пластин 𝐴1, 𝐴2 и т. д. равны 𝑃1 𝑃2 и т. д., а ёмкость каждой пластины равна 𝐵, и если мы предполагаем, что через левый подводящий провод прошло количество электричества 𝑄0, через сопротивление 𝑅1 прошло количество электричества 𝑄1 и т. д., тогда то количество, которое имеется на пластине 𝐴1, равно 𝑄0-𝑄1 и мы имеем 𝑄0-𝑄1=𝐶𝑃1. Подобным же образом 𝑄1-𝑄2=𝐶𝑃2 и т. д.
Но по закону Ома
𝑃
1
–
𝑃
2
=
𝑅
1
𝑑𝑄1
𝑑𝑡
,
𝑃
2
–
𝑃
3
=
𝑅
2
𝑑𝑄2
𝑑𝑡
Мы предположили, что все пластины имеют одно и то же значение 𝐶. Если мы предположим, что значения 𝑅 также одинаковы для каждого из проводов, мы получим систему уравнений вида
𝑄
0
–
2𝑄
1
+
𝑄
2
=
𝑅𝐶
𝑑𝑄1
𝑑𝑡
,
𝑄
1
–
2𝑄
2
+
𝑄
3
=
𝑅𝐶
𝑑𝑄2
𝑑𝑡
.
Если требуется определить 𝑛 количеств электричества и если задана полная электродвижущая сила или какое-нибудь другое эквивалентное условие, то дифференциальное уравнение для определения любого из этих количеств электричества будет линейным и 𝑛-го порядка.
С помощью такой установки г-н Варлей (Varley) успешно воспроизвёл электрическое действие кабеля длиною 12 000 миль.
Если сделать так, что вдоль провода, расположенного слева, начнёт действовать электродвижущая сила, то электричество, втекающее в систему, будет главным образом идти на зарядку различных конденсаторов, начиная с 𝐶1 и до тех пор, пока не пройдёт значительное время, справа будет выходить только очень малая часть тока. Если включить в цепь гальванометры в 𝑅1, 𝑅2 и т. д., то они будут испытывать воздействие тока один за другим, причём интервал во времени между равными показаниями будет возрастать по мере нашего продвижения вправо.
332. В случае телеграфного кабеля проводящая жила отделена от внешних проводников цилиндрическим слоем гуттаперчи или другого изолирующего материала. Таким образом, каждая часть кабеля становится конденсатором, внешняя поверхность которого всегда находится при нулевом потенциале. Следовательно, в данной части кабеля количество свободного электричества на поверхности проводящей жилы равно произведению потенциала на ёмкость этой части кабеля, рассматриваемого как конденсатор.
Если внешний и внутренний радиусы изолирующего слоя равны 𝑎1 и 𝑎2 и если удельная диэлектрическая способность слоя равна 𝐾, то ёмкость единицы длины кабеля, по п. 126, равна
𝑐
=
𝐾
2 ln
𝑎
1
𝑎
2
(1)
Пусть потенциал в любой точке жилы равен 𝑣. Мы будем считать, что потенциал имеет одно и то же значение для каждой части одного и того же сечения.
Пусть 𝑄 будет полное количество электричества, которое прошло через это сечение от начала прохождения тока. Тогда количество, которое в момент времени 𝑡 заключено между сечениями 𝑥 и 𝑥+δ𝑥, равно
𝑄
–
⎛
⎜
⎝
𝑄
+
𝑑𝑄
𝑑𝑥
δ𝑥
⎞
⎟
⎠
или
–
𝑑𝑄
𝑑𝑥
δ𝑥
,
и, по сказанному выше, эта величина равна 𝑐𝑣δ𝑥.
Следовательно,
𝑐𝑣
=
–
𝑑𝑄
𝑑𝑥
.
(2)
Но электродвижущая сила в любом сечении равна -𝑑𝑣/𝑑𝑥, и по закону Ома
-
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑘
𝑑𝑄
𝑑𝑡
,
(3)
где 𝑘 – сопротивление единицы длины проводника, a 𝑑𝑄/𝑑𝑥 – сила тока. Исключая 𝑄 из уравнений (2) и (3), находим
𝑐𝑘
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
.
(4)
Это уравнение в частных производных, которое нужно решить для того, чтобы получить потенциал в любой момент времени в любой точке кабеля. Оно совпадает с тем уравнением, которое Фурье даёт для определения температуры в любой точке слоя, через который течёт тепло в направлении, перпендикулярном к слою. В случае тепла 𝑐 означает ёмкость единицы объёма (эту величину Фурье обозначает через 𝐶𝐷), a 𝑘 означает величину, обратную проводимости.
Если прослойка не является совершенным изолятором и если её сопротивление на единицу длины равно 𝑘1 при прохождении тока через слой в радиальном направлении, тогда, если удельное сопротивление изолирующего материала равно ρ1, легко показать, что
𝑘
1
=
1
2π
ρ
1
ln
𝑎1
𝑎2
.
(5)
Уравнение (2) уже не будет справедливым, поскольку электричество расходуется не только на зарядку жилы до величины, определяемой выражением 𝑐𝑣 но и на утечку, скорость которой определяется выражением 𝑣𝑘1. Поэтому скорость расхода электричества будет
-
𝑑²𝑄
𝑑𝑥𝑑𝑡
=
𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
1
𝑘1
𝑣
,
(6)
откуда, сравнивая с (3), получаем
𝑐𝑘
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
–
𝑘
𝑘1
𝑣
.
(7)
Такой вид, согласно Фурье, имеет уравнение теплопроводности для стержня или кольца 1
1Theory de la Chaleur, Art. 105.
333. Если бы мы приняли, что при повышении потенциала тело электризуется во всем своём объёме так, как если бы электричество нагнеталось внутрь тела, мы бы пришли к уравнению точно такого же вида. Примечательно, что сам Ом, будучи введён в заблуждение этой аналогией между электричеством и теплотой, поддержал мнение такого рода и потому из-за этой ошибочной точки зрения использовал уравнение Фурье для того, чтобы описать истинные законы прохождения электричества по длинному проводу, задолго до того, как были усмотрены действительные причины применимости этих уравнений.
Механическое истолкование свойств диэлектриков
334. Пять трубок 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝑃 равного поперечного сечения расположены так, как показано на рисунке. 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷 расположены вертикально, а 𝑃 – горизонтально [рис. 27].
Рис. 27
У трубок 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 нижняя половина наполнена ртутью, а их верхняя половина и горизонтальная трубка 𝑃 наполнены водой.
