Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 34 страниц)

4π𝑎⋅𝐴𝑃²

.

(26)

О конечных системах последовательных изображений

165. Если две проводящие плоскости пересекаются под углом, являющимся целым делителем двух прямых углов, то получается конечная система изображений, полностью определяющая электризацию.

Действительно, пусть 𝐴𝑂𝐵 – сечение двух проводящих плоскостей, перпендикулярное линии их пересечения, пусть угол пересечения 𝐴𝑂𝐵=π/𝑛, а 𝑃 – точечный заряд. Тогда, построив окружность с центром в точке 𝑂 радиусом 𝑂𝑃 и найдя точки, являющиеся последовательными изображениями точки 𝑃 в обеих плоскостях, начиная с изображения в 𝑂𝐵, мы найдём изображение 𝑄₁ точки 𝑃 в 𝑂𝐵, изображение 𝑃₂ точки 𝑄₁ в 𝑂𝐴, изображение 𝑄₃ точки 𝑃₂ в 𝑂𝐵, изображение 𝑃₃ точки 𝑄₃ в 𝑂𝐴, изображение 𝑄₂ точки 𝑃₃ в 𝑂𝐵 и так далее. Если бы мы начали с изображения 𝑃 в 𝐴𝑂, то получили бы те же точки в обратной последовательности – 𝑄₂, 𝑅₃, 𝑄₃, 𝑅₂, 𝑄₁, если только 𝐴𝑂𝐵 является целым делителем двух прямых углов [рис. 10].

Рис. 10

Заданный точечный заряд и получающиеся через раз изображения 𝑃₂, 𝑃₃ расположены по окружности на угловом расстонии 2𝐴𝑂𝐵 друг от друга, промежуточные изображения 𝑄₁, 𝑄₂, 𝑄₃ находятся на таких же расстояниях друг от друга. Таким образом, если 2𝐴𝑂𝐵 является целым делителем 2π, то получится конечная система изображений, причём ни одно из них не попадёт внутрь угла 𝐴𝑂𝐵. Если же 𝐴𝑂𝐵 не является целым делителем π, то истинное распределение электричества не может быть представлено конечным набором точечных зарядов.

Если 𝐴𝑂𝐵=π/𝑛, то будет 𝑛 отрицательных изображений 𝑄₁, 𝑄₂ и т. д., равных по величине и противоположных по знаку заряду 𝑄, и 𝑛-1 положительных изображений 𝑃₂, 𝑃₃ и т. д., равных 𝑃 по величине и по знаку.

Угол между последовательными изображениями одинакового знака равен 2π/𝑛. Если каждую из проводящих плоскостей рассмотреть как плоскость симметрии, то видно, что точечный заряд и его положительные и отрицательные изображения расположены симметрично относительно этой плоскости, причём каждому положительному изображению соответствует отрицательное изображение, расположенное на той же нормали и на таком же расстоянии по другую сторону от плоскости.

Если теперь инвертировать систему относительно произвольной точки, то обе плоскости перейдут в две сферы или же в сферу и плоскость, пересекающиеся под углом π/𝑛 причём точка 𝐏, инверсная к точке 𝑃, расположена внутри этого угла.

Последовательные изображения расположены на окружности, проходящей через точку 𝐏 и пересекающей обе сферы под прямыми углами.

Чтобы найти положение этих изображений, можно использовать тот факт, что точка и её изображение в сфере расположены на одном и том же радиусе сферы, И построить последовательно хорды окружности, на которой лежат изображения, начиная с точки 𝐏 и проводя их попеременно через центры обеих сфер.

Для определения заряда, который следует приписать каждому изображению, выберем произвольную точку на окружности пересечения, тогда заряд каждого Изображения будет пропорционален его расстоянию до этой точки, а знак будет положительным или отрицательным в зависимости от того, принадлежит ли точка изображения к первой последовательности или ко второй.

166. Итак, мы нашли расположение изображений для любого объёма, ограниченного проводником, состоящим из двух сферических поверхностей, встречающихся под углом π/𝑛, поддерживаемого под нулевым потенциалом и находящегося под действием точечного заряда.

Методом инверсии мы можем рассмотреть случай расположенного в свободном пространстве проводника, состоящего из двух сферических сегментов, пересекающихся под входящим углом π/𝑛, и находящегося под единичным потенциалом.

Для этого произведём инверсию системы плоскостей по отношению к точке 𝑃 и изменим знаки зарядов. Окружность, на которой раньше располагались заряды, переходит в прямую, проходящую через центры сфер.

Рис. 11

Пусть рис. 11 представляет собой сечение, проходящее через линию центров 𝐴𝐵, a 𝐷 и 𝐷' – точки пересечения общей окружности обеих сфер с плоскостью чертежа. Тогда для нахождения последовательных изображений построим радиус 𝐷𝐴 первой сферы и прямые 𝐷𝐶, 𝐷𝐸 и т. д., образующие углы π/𝑛, 2π/𝑛 и т. д. с 𝐷𝐴. В точках 𝐴, 𝐶, 𝐸 и т. д., в которых эти прямые пересекают линию центров, расположены положительные изображения, а заряд в каждой точке даётся её расстоянием от точки 𝐷. Последнее из этих изображений находится в центре второй окружности.

Для нахождения отрицательных изображений проведём прямые 𝐷𝑄, 𝐷𝑅 и т. д., образующие углы π/𝑛, 2π/𝑛 и т. д. с линией центров. Пересечения этих прямых с линией центров дают положения отрицательных изображений, а величина заряда в них даётся их расстоянием до точки 𝐷 так как, если 𝐸 и 𝑄 – инверсные точки для сферы 𝐴, то углы 𝐴𝐷𝐸, 𝐴𝑄𝐷 равны между собой.

Поверхностная плотность в произвольной точке любой из сфер равна сумме поверхностных плотностей, обусловленных системой изображений. Так, например, поверхностная плотность в произвольной точке 𝑆 сферы с центром в 𝐴 равна

σ

=

1

4π⋅𝐷𝐴

⎧

⎨

⎩

1

+

(𝐴𝐷²-𝐴𝐵²)

𝐷𝐵

𝐵𝑆²

+

(𝐴𝐷²-𝐴𝐶²)

𝐷𝐶

𝐶𝑆²

+…

⎫

⎬

⎭

,

где 𝐴, 𝐵, 𝐶 и т.д.– последовательность положительных изображений.

Если точка 𝑆 расположена на окружности пересечения, то плотность в ней равна нулю.

Для нахождения полного заряда одного из сферических сегментов нужно найти поверхностный интеграл по этому сегменту от величины индукции, создаваемой каждым изображением.

Полный заряд на сегменте с центром в точке 𝐴, обусловленный изображением в точке 𝐴 с зарядом 𝐷𝐴, равен

𝐷𝐴

𝐷𝐴+𝑂𝐴

2(𝐷𝐴)

=

1

2

(𝐷𝐴+𝑂𝐴)

,

где 𝑂 – центр окружности пересечения.

Аналогично заряд на этом же сегменте, обусловленный изображением 𝐵, равен (𝐷𝐵+𝑂𝐵)/2 и т. д., причём отрезки 𝑂𝐵 и т. п., отсчитываемые влево от 𝑂, считаются отрицательными.

Таким образом, полный заряд на сегменте с центром в точке 𝐴 равен

½(𝐷𝐴+𝐷𝐵+𝐷𝐶+…)

+

½(𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶+…)

–

-

½(𝐷𝑃+𝐷𝑄+…)

–

½(𝑂𝑃+𝑂𝑄+…)

.

167. Метод электрических изображений может быть применён к любому объёму, ограниченному плоскими или сферическими поверхностями, если все эти поверхности пересекаются под углами, являющимися целыми делителями двух прямых углов.

Для того чтобы существовала такая система сферических поверхностей, каждый пространственный угол должен быть трехгранным, причём два образующих его угла должны быть прямыми, а третий – либо прямой, либо целый делитель двух прямых углов.

Таким образом, имеются следующие случаи конечного числа изображений: 1) одиночная сферическая поверхность или плоскость; 2) две плоскости, сфера и. плоскость или две сферы, пересекающиеся под углом π/𝑛; 3) две таких поверхности вместе с третьей поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две под прямым углом; 4) три таких поверхности вместе с четвёртой поверхностью, плоской или сферической, пересекающей первые две поверхности ортогонально, а третью – под углом π/𝑛; из этих четырёх поверхностей по крайней мере одна должна быть сферической.

Первый и второй случай мы уже рассмотрели. В первом случае имеется единственное изображение. Во втором – (2𝑛-1)-изображений расположены двумя последовательностями на окружности, проходящей через действующий заряд и ортогональной обеим поверхностям. В третьем случае мы имеем наряду с этими изображениями и действующим зарядом ещё их изображения в третьей поверхности, т. е. всего (4𝑛-1)-изображений, не считая действующего заряда.

В четвёртом случае проведём сначала через действующий заряд окружность, ортогональную первым двум поверхностям, и найдём на ней положения и величины 𝑛 отрицательных изображений и (𝑛-1) положительных изображений. Затем через каждую из этих 2𝑛 точек, включая и точку нахождения действующего заряда, проведём окружность, ортогональную третьей и четвёртой поверхностям, и найдём на ней две последовательности изображений по 𝑛' изображений в каждой. Таким образом, мы получим, не считая действующего заряда, (2𝑛𝑛'-1) положительных и 2𝑛𝑛' отрицательных изображений. Эти 4𝑛𝑛' точек являются точками пересечения окружностей, принадлежащих двум системам линий кривизны циклиды.

Если в каждой из упомянутых точек поместить заряд надлежащей величины, то поверхность нулевого потенциала будет состоять из 𝑛+𝑛' сфер, принадлежащих к двум семействам, причём последовательные сферы одного семейства пересекаются под углом π/𝑛 сферы другого семейства пересекаются под углом π/𝑛 и любая сфера первого семейства ортогональна любой сфере второго семейства.

Случай двух взаимно ортогональных сфер

(см. рис. IV в конце этого тома)

168. Пусть 𝐴 и 𝐵 – центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямым углом по окружности, проходящей через точки 𝐷 и 𝐷 (см. рис. 12), и пусть прямая 𝐷𝐷' пересекает линию центров в точке 𝐶. Тогда точка 𝐶 является изображением 𝐴 в сфере 𝐵, а также изображением 𝐵 в сфере 𝐴. Если 𝐴𝐷=α a 𝐵𝐷=α, то 𝐴𝐵=√α²+β² и если в точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 поместить соответственно количества электричества α, β и -αβ/√α²+β², то обе сферы будут эквипотенциальными поверхностями с единичным потенциалом.

Рис. 12

С помощью такой системы мы можем, следовательно, определить распределение электричества для следующих случаев:

1) На проводнике 𝑃𝐷𝑄𝐷', образуемом большими сегментами обеих сфер. Потенциал проводника равен единице, а заряд равен

α+β

–

αβ

√α²+β² 

=

𝐴𝐷

+

𝐵𝐷

–

𝐶𝐷

.

Это же выражение является, следовательно, и мерой ёмкости такого проводника, когда он свободен от индуктивного действия других тел.

Плотность в произвольной точке 𝑃 сферы с центром в 𝐴 и в произвольной точке 𝑂 сферы с центром в 𝐵 равны соответственно

1

4πα

⎛

⎜

⎝

1

–

⎛

⎜

⎝

β

𝐵𝑃

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

 и

1

4πβ

⎛

⎜

⎝

1

–

⎛

⎜

⎝

α

𝐴𝑄

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

.

На окружности пересечения плотность равна нулю.

Если одна из сфер намного больше другой, то плотность в вершине меньшей сферы в пределе втрое больше плотности в вершине большей сферы.

2) На линзе 𝑃'𝐷𝑄'𝐷', образуемой обоими меньшими сегментами сфер, заряженной количеством электричества =-αβ/√α²+β², находящейся под воздействием точек 𝐴 и 𝐵, несущих заряды α и β, и имеющей единичный потенциал. Плотность в произвольной точке выражается той же формулой.

3) На мениске 𝑃𝐷𝐷'𝑄' с зарядом 𝐵, подверженном воздействию точек 𝐵 и 𝐶, несущих соответственно заряды β и -αβ/√α²+β² и тоже находящемся в равновесии при единичном потенциале.

4) На другом мениске 𝑄𝐷𝑃'𝑄' с зарядом β, находящемся под воздействием точечных зарядов в 𝐴 и 𝐶.

Мы можем также найти распределение электричества на следующих внутренних поверхностях:

– полая линза 𝑃'𝐷𝑄'𝐷' под действием расположенного внутри точечного заряда 𝐶 в центре окружности 𝐷𝐷';

– полый мениск под действием точечного заряда в центре вогнутой поверхности;

– полость, образуемая двумя большими сегментами обеих сфер под действием трёх точечных зарядов 𝐴, 𝐵, 𝐶.

Однако вместо того, чтобы расписывать решения для этих случаев, мы применим принцип электрических изображений для определения плотности электричества, наводимой в точке 𝑃 внешней поверхности проводника 𝑃𝐷𝑄𝐷' под действием единичного точечного заряда, находящегося в точке 𝑂.

Пусть

𝑂𝐴

=

𝑎

,

𝑂𝐵

=

𝑏

,

𝑂𝑃

=

𝑟

,

𝐵𝑃

=

𝑝

,

𝐴𝐷

=

α

,

𝐵𝐷

=

β

,

𝐴𝐵

=

√

α²+β²

.

Произведём инверсию системы по отношению к сфере единичного радиуса с центром в точке 𝑂.

Обе сферы останутся сферами, пересекающимися под прямым углом, с центрами, расположенными на тех же радиусах, что 𝐴 и 𝐵.

Если обозначить величины, относящиеся к инвертированной системе, штрихом, то

𝐴'

=

𝐴

𝐴²-α²

,

𝐵'

=

𝐵

𝐵²-β²

,

α'

=

α

𝐴²-α²

,

β'

=

β

𝐵²-α²

,

𝑟'

=

1

𝑟

,

𝑝'²

=

β²𝑟²+(𝑏²-β²)(𝑝²-β²)

𝑟²(𝑏²-β²)²

.

Если в инвертированной системе потенциал поверхности равен единице, то плотность заряда в точке 𝑃' равна

σ'

=

1

4πα'

⎛

⎜

⎝

1

–

⎛

⎜

⎝

β'

𝑝'

⎞³

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

.

Если в первоначальной системе плотность в точке 𝑃 равна σ, то (σ/σ')=(1/𝑟³), а потенциал равен 1/𝑟. При помещении в точку 𝑂 отрицательного единичного электрического заряда потенциал обращается в нуль на первоначальной поверхности, а плотность в точке 𝑃 становится равной

σ

=

1

4π

𝑎²-α²

α𝑟³

⎛

⎜

⎝

1

–

β³𝑟³

(β²𝑟²+(𝑏²-β²)(𝑝²-β²))^3/2

⎞

⎟

⎠

Это выражение даёт распределение электричества на одном из сферических сегментов под воздействием заряда в точке 𝑂. Распределение электричества на другом сферическом сегменте может быть найдено перестановкой 𝑎 и 𝑏, α и β и заменой 𝑝 на 𝑞 или 𝐴𝑄

Для нахождения полного заряда, наводимого на проводнике точечным зарядом 𝑂, рассмотрим инвертированную систему.

В инвертированной системе мы имеем заряд α' в 𝐴', β' в 𝐵' и отрицательный заряд α'β'/√α²+β² в точке 𝐶', расположенной на прямой 𝐴'𝐵' так, что

𝐴'𝐶'

:

𝐶'𝐵'

=

α'²

:

β'²

.

Если 𝑂𝐴'=𝑎', 𝑂𝐵'=𝑏', 𝑂𝐶'=𝑐', то

𝑐'²

=

𝑎'²β'²+𝑏'²α'²-α'²β'²

α'²+β'²

.

Инвертируя эту систему, получим

α'

𝑎'

=

α

𝑎

,

β'

𝑏'

=

β

𝑏

,

и

–

α'β'

√α'²+β'² 

1

𝑐'

=

–

αβ

√α²β²+𝑏²α²-α²β² 

.

Следовательно, полный заряд на проводнике, обусловленный единичным отрицательным зарядом в 𝑂 равен

α'

𝑎'

+

β

𝑏

–

αβ

√α²β²+𝑏²α²-α²β² 

.

Распределение электричества на трёх сферических поверхностях, пересекающихся под прямыми углами

169. Пусть радиусы этих сфер равны α, β и γ Тогда

𝐵𝐶

=

√

β²+γ²

,

𝐶𝐴

=

√

γ²+α²

,

𝐴𝐵

=

√

α²+β²

.

Рис. 13

Пусть 𝑃, 𝑄, 𝑅 на рис. 13 – основания перпендикуляров, опущенных из 𝐴, 𝐵, 𝐶, на противоположные стороны треугольника, а 𝑂 – пересечение этих перпендикуляров. Тогда 𝑃 является изображением 𝐵 в сфере γ, а также изображением 𝐶 в сфере β. Точка 𝑂 также является изображением 𝑃 в сфере α.

Пусть в точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 помещены заряды α, β и γ.

Тогда заряд, который необходимо поместить в точку 𝑃 будет равен

-

βγ

√β²+γ² 

=

–

1

.

⎛

⎝

1

+

1

⎞

⎠

½

β²

γ²

Но

𝐴𝑃

=

√β²γ²+γ²α²+α²β² 

√β²+γ² 

,

так что заряд в точке 𝑂 рассматриваемой как изображение точки 𝑃, равен

αβγ

√β²γ²+γ²α²+α²β² 

=

1

,

⎛

⎝

1

+

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

γ²

Таким же путём можно найти систему изображений, электрически эквивалентных четырём сферическим поверхностям, находящимся под единичным потенциалом и пересекающимся под прямыми углами.

Если радиус четвёртой сферы равен δ, то, поместив в центр этой сферы заряд δ, получим заряд на пересечении линии центров любых двух сфер, скажем α и β, с их плоскостью пересечения, равный

-

1

.

⎛

⎝

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

Заряд на пересечении плоскости любых трёх центров 𝐴𝐵𝐶 с перпендикуляром из центра 𝐷 равен

+

1

,

⎛

⎝

1

+

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

γ²

а заряд на пересечении четырёх перпендикуляров равен

-

1

.

⎛

⎝

1

+

1

+

1

+

1

⎞

⎠

½

α²

β²

γ²

δ²

Система четырёх пересекающихся под прямыми углами сфер под нулевым потенциалом, находящихся под воздействием единичного точечного заряда

170. Обозначим эти сферы через 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, а точку нахождения заряда – через 𝑂. Построим четыре сферы 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁, 𝐷₁, каждая из которых, скажем сфера 𝐴₁, проходит через точку 𝑂 и пересекает три заданных сферы, в нашем случае 𝐵, 𝐶, 𝐷, под прямыми углами. Построим далее шесть сфер (𝑎𝑏), (𝑎𝑐), (𝑎𝑑), (𝑏𝑐), (𝑏𝑑), (𝑐𝑑), каждая из которых проходит через точку 𝑂 и через окружность пересечения двух из первоначальных сфер.

Три сферы 𝐵₁, 𝐶₁, 𝐷₁ пересекутся и в другой точке, отличной, от 𝑂. Обозначим эту точку через 𝐴', и пусть 𝐵', 𝐶', 𝐷', – соответственно пересечения сфер (𝐶₁,𝐷₁,𝐴₁), (𝐷₁,𝐴₁,𝐵₁), (𝐴₁,𝐵₁,𝐶₁). Любые две из этих сфер (скажем, 𝐴₁, 𝐵₁) пересекаются с одной из шести сфер (𝑐𝑑) в точке (𝑎'𝑏'). Всего существует шесть таких точек.

Любая из сфер типа 𝐴₁ пересекается с тремя сферами из шестёрки (𝑎𝑏), (𝑎𝑐), (𝑎𝑑), в точке 𝑎. Таких точек всего четыре. Наконец, шесть сфер (𝑎𝑏), (𝑎𝑐), (𝑎𝑑), (𝑏𝑐), (𝑏𝑑), (𝑐𝑑) пересекаются, помимо точки 𝑂, в одной точке 𝑆.

Если теперь эту систему инвертировать по отношению к сфере единичного радиуса с центром в 𝑂, то четыре сферы 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 инвертируются в сферы, а остальные десять сфер перейдут в плоскости. Первые четыре точки пересечения 𝐴', 𝐵', 𝐶', 𝐷' переходят в центры сфер, а остальные соответствуют остальным описанным выше одиннадцати точкам. Эти пятнадцать точек образуют изображение точки 𝑂 в системе четырёх сфер.

В точке 𝐴', которая является изображением 𝑂 в сфере 𝐴, мы должны поместить заряд, равный изображению 𝑂, т. е. -α/𝑎, где α – радиус сферы 𝐴, а 𝑎 – расстояние её центра от 𝑂. Аналогично мы должны поместить надлежащие заряды в точки 𝐵', 𝐶', 𝐷'.

Заряд в любой из остальных одиннадцати точек может быть найден из выражений, приведённых в предыдущем пункте, с заменой α, β, γ, δ, на α', β', γ', δ', и умножением результата для каждой точки на её расстояние от точки 𝑂. Здесь

α'

=

–

α

𝑎²-α²

,

β'

=

–

β

𝑏²-β²

,

γ'

=

–

γ

𝑐²-γ²

,

δ'

=

–

δ

𝑑²-δ²

.

[Приведённые в пп. 169, 170 случаи можно рассмотреть следующим образом: взяв три координатные плоскости, перпендикулярные друг другу, поместим в систему восьми точек (±½α, ±½β, ±½γ) заряды ±𝑒, причём отрицательные заряды помещаются в точки, имеющие одну или три отрицательные координаты. Очевидно, что координатные плоскости находятся под нулевым потенциалом. Теперь, произведя инверсию по отношению к любой точке, мы получим случай трёх сфер, пересекающихся под прямыми углами и находящихся под воздействием точечного заряда. Если произвести инверсию по отношению к одному из точечных зарядов, мы получим решение для случая свободно заряженного проводника в форме трёх сфер радиусов α, β, γ, пересекающихся под прямыми углами.

Если к полученной выше системе электрических точечных зарядов добавить их изображения в сфере с центром в начале координат, то, как легко видеть, помимо трёх координатных плоскостей, поверхность сферы также становится частью поверхности нулевого потенциала.]

Две непересекающиеся сферы

171. Если область пространства ограничена двумя непересекающимися сферами, то последовательные изображения точечного заряда, расположенного внутри этой области, образуют две бесконечные последовательности точек, ни одна из которых не расположена между сферическими поверхностями, так что они удовлетворяют условию применимости метода электрических изображений.

Любые две непересекающиеся сферы можна инвертировать в две концентрические сферы, взяв за точку инверсии любую из двух общих точек инверсии этой пары сфер.

Поэтому мы начнём со случая двух заземлённых концентрических сферических поверхностей, находящихся под воздействием точечного заряда 𝑃, помещённого между ними.

Пусть радиус первой сферы равен 𝑏, второй сферы – 𝑏𝑒^ϖ, а расстояние действующего заряда от центра 𝑏𝑒^𝑢

Все последующие изображения будут находиться на том же радиусе, что и действующий заряд.

Рис. 14

Пусть 𝑄₀ – изображение точки 𝑃 в первой сфере (рис. 14), 𝑃₁-изображение 𝑄₀ во второй сфере, 𝑄₁ – изображение 𝑃₁ в первой сфере и т. д. Тогда 𝑂𝑃_𝑠⋅𝑂𝑄_𝑠=𝑏² и 𝑂𝑃_𝑠⋅𝑂𝑄_𝑠-1=𝑏²𝑒^2ϖ, кроме того, 𝑂𝑄₀=𝑏𝑒^-𝑢, 𝑂𝑃₁=𝑏𝑒^𝑢+2ϖ, 𝑂𝑄₁=𝑏𝑒^-(𝑢+2ϖ) и т. д.

Отсюда 𝑂𝑃_𝑠=𝑏𝑒^{(𝑢+2𝑠ϖ)}, 𝑂𝑄_𝑠=𝑏𝑒^{-(𝑢+2𝑠ϖ)}.

Если заряд в точке 𝑃 обозначить через 𝑃, а заряд в точке 𝑃_𝑠 – через 𝑃_𝑠, то

𝑃

_𝑠

=

𝑃𝑒

^ϖ

,

𝑄

_𝑠

=

–𝑃𝑒

^{-(𝑢+2𝑠ϖ)}

.

Пусть далее 𝑄'₁ – изображение 𝑃 во второй сфере, 𝑃'₁ – изображение 𝑄'₁ в первой сфере и т. д. Тогда

𝑂

𝑄'

₁

=

𝑏𝑒

^2ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

₁

=

𝑏𝑒

^𝑢-2ϖ

,

𝑂

𝑄'

₂

=

𝑏𝑒

^4ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

₂

=

𝑏𝑒

^𝑢-4ϖ

,

𝑂

𝑄'

_𝑠

=

𝑏𝑒

^2𝑠ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

_𝑠

=

𝑏𝑒

^𝑢-2𝑠ϖ

,

𝑄'

_𝑠

=

–𝑃𝑒

^𝑠ϖ-𝑢

,

𝑃'

_𝑠

=

𝑃𝑒

^-𝑠ϖ

.

Из этой серии изображений все 𝑃 – положительны, все 𝑄 – отрицательны, все 𝑃' и 𝑄 принадлежат первой сфере, а все 𝑃 и 𝑄' – второй.

Изображения внутри первой сферы образуют два сходящихся ряда, сумма которых равна

-𝑃

𝑒^ϖ-𝑢-1

𝑒^ϖ-1

.

Таково, следовательно, количество электричества на первой, внутренней сфере. Изображения вне второй сферы образуют два расходящихся ряда, но каждое из этих изображений даёт нулевой вклад в поверхностный интеграл по поверхности сферы. Поэтому электрический заряд на внешней сферической поверхности равен

𝑃

⎛

⎜

⎝

𝑒^ϖ-𝑢-1

𝑒^ϖ-1

–1

⎞

⎟

⎠

=

–𝑃

𝑒^ϖ-𝑒^ϖ-𝑢

𝑒^ϖ-1

.

Если подставить значения входящих сюда величин, выраженные через 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 и 𝑂𝑃, получим

заряд на

𝐴

=

–𝑃

⋅

𝑂𝐴

𝑂𝑃

⋅

𝑃𝐵

𝐴𝐵

,

заряд на

𝐵

=

–𝑃

⋅

𝑂𝐵

𝑂𝑃

⋅

𝐴𝑃

𝐴𝐵

.

Если радиусы сфер устремить в бесконечность, мы придём к случаю точки, расположенной между двумя параллельными плоскостями 𝐴 и 𝐵. В этом случае выражения для зарядов принимают вид

заряд на

𝐴

=

–𝑃

⋅

𝑃𝐵

𝐴𝐵

,

заряд на

𝐵

=

–𝑃

⋅

𝐴𝑃

𝐴𝐵

.

172. Чтобы перейти от рассмотренного случая к случаю двух произвольных непересекающихся сфер, начнём с нахождения двух общих точек инверсии 𝐎 и 𝐎', через которые проходят все окружности, ортогональные обеим сферам. Произведя затем инверсию системы по отношению к одной из этих точек, мы переведём наши сферы в две концентрические сферы, рассмотренные выше.

Рис. 15

Если точку 𝐎 на рис. 15 принять за центр инверсии, то на рис. 14 она будет расположена где-то между двумя сферическими поверхностями.

Но в п. 171 мы решили задачу о точечном заряде, расположенном между двумя концентрическими проводниками, находящимися под нулевым потенциалом. Инвертируя эту систему по отношению к точке 𝐎, мы найдём, таким образом, распределения зарядов на двух сферических проводниках, находящихся под нулевым потенциалом и расположенных один вне другого, наводимые находящимся вблизи них точечным зарядом. В п. 173 будет показано, как использовать полученный результат для нахождения распределения на двух сферических заряженных проводниках, находящихся лишь под взаимным влиянием.

Радиус 𝑂𝐴𝑃𝐵 на рис. 14, на котором расположены последовательные изображения, переходит на рис. 15 в дугу окружности, проходящей через 𝐎 и 𝐎', причём отношение 𝐎'𝐏 к 𝐎𝐏 равно 𝐶𝑒^𝑢 где 𝐶 – численный множитель.

Если положить

θ

=

ln

𝐎'𝐏

𝐎𝐏

,

α

=

ln

𝐎'𝐀

𝐎𝐀

,

β

=

ln

𝐎'𝐁

𝐎𝐁

,

то β-α=ϖ, 𝑢+α=θ. Все последующие изображения точки 𝐏 будут лежать на дуге 𝑂'𝐴𝑃𝐵𝑂.

Для отображения 𝐐₀ точки 𝐏 в 𝐀

θ(𝐐

₁

)

=

ln

𝐎'𝐐₀

𝐎𝐐₀

=

2α-θ

.

Для отображения 𝐏₁ точки 𝐐₀ в 𝐁

θ(𝐏

₁

)

=

ln

𝐎'𝐏₁

𝐎𝐏₁

=

θ+2ϖ

.

Аналогично

θ(𝐏

_𝑠

)

=

θ+2𝑠ϖ

,

θ(𝐐

_𝑠

)

=

2α-θ-2𝑠ϖ

.

Точно так же, обозначая через 𝐐'₀, 𝐏'₁, 𝐐'₁ и т. д. последовательные изображения 𝐏 в 𝐁, 𝐀, 𝐁 и т.д., получим

θ(𝐐'

₀

)

=

2β-θ

,

θ(𝐏'

₁

)

=

θ-2ϖ

,

θ(𝐏'

_𝑠

)

=

θ-2𝑠ϖ

,

θ(𝐐'

_𝑠

)

=

2β-θ+2𝑠ϖ

.

Для нахождения заряда каждого изображения 𝐏_𝑠 учтём, что в инвертированной системе (рис. 14) его заряд равен

𝑃

⎛

⎜

⎝

𝑂𝑃_𝑠

𝑂𝑃

⎞½

⎟

⎠

.

В исходной системе (рис. 15) эту величину следует дополнительно умножить на 𝐎𝐏_𝑠. Следовательно, заряд в 𝐏_𝑠 на биполярной фигуре (поскольку 𝑃=𝐏/𝐎𝐏), равен

𝐏

⎛

⎜

⎝

𝐎𝐏_𝑠⋅𝐎'𝐏_𝑠

𝐎𝐏⋅𝐎'𝐏

⎞½

⎟

⎠

Положим ξ=√𝐎𝐏⋅𝐎'𝐏 и будем называть ξ параметром точки 𝐏 Тогда 𝐏_𝑠=(ξ_𝑠/ξ)𝐏, т. е. заряд каждого изображения пропорционален его параметру.

Если воспользоваться криволинейными координатами θ и φ так, что

𝑒

^θ+√1φ

=

𝑥++√1𝑦-𝑘

𝑥++√1𝑦+𝑘 

,

где 2𝑘-расстояние 𝑂𝑂' то ²

𝑥

=

–

𝑘 sh θ

ch θ-cos φ

,

𝑦

=

𝑘 sin θ

ch θ-cos φ

,

𝑥²

+

(𝑦-𝑘 ctg φ)²

=

𝑘²csc²φ

,

(𝑥+𝑘 cth θ)²

+

𝑦²

=

𝑘²csh²θ

,

ctg φ

=

𝑥²+𝑦²-𝑘²

2𝑘𝑦

,

cth θ

=

𝑥²+𝑦²+𝑘²

2𝑘𝑥

,

ξ

=

√2𝑘

√ch θ-cos φ 

.

² В этих выражениях следует помнить, что 2ch θ=𝑒^θ+𝑒^-θ, 2sh θ=𝑒^θ-𝑒^-θ, а другие функции от θ определены через эти так же, как и соответственные тригонометрические функции.

Метод использования биполярных координат в этом случае дан Томсоном в Liouville's Journal. 1847 г. См. работу Томсона в Electrical Papers, § 211, 212. В своём изложении я использовал исследования проф. Бетти (Nuovo Cimento, vol. XX) при изложении аналитического метода, однако я сохранил идею электрических изображений, применённую Томсоном В его оригинальных исследованиях (Phil. Mag., 1853).

Поскольку заряд каждого изображения пропорционален его параметру ξ а знак его зависит от того, относится ли изображение к типу 𝐏 или к типу 𝐐, то

𝐏

_𝑠

=

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(θ+2𝑠ϖ)-cos φ

,

𝐐

_𝑠

=

–

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(2α-θ-2𝑠ϖ)-cos φ

,

𝐏'

_𝑠

=

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(θ-2𝑠ϖ)-cos φ

,

𝐐'

_𝑠

=

–

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(2β-θ+2𝑠ϖ)-cos φ

.

Таким образом, мы нашли положения и величины зарядов для обеих бесконечных последовательностей изображений. Теперь нам остаётся определить полный заряд на сфере 𝐀, просуммировав все изображения типа 𝐐 и 𝐏' расположенные внутри сферы. Эти суммы можно записать в виде

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(θ-2𝑠ϖ)-cos φ

,

-

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(2α-θ-2𝑠ϖ)-cos φ

.

Аналогично полный заряд, индуцированный на 𝐵, равен

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(θ+2𝑠ϖ)-cos φ

,

-

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(2β-θ+2𝑠ϖ)-cos φ

.

173. Применим эти результаты для нахождения коэффициентов ёмкости и индукции для двух сфер радиусов 𝑎 и 𝑏 с расстоянием между центрами 𝑐.

Пусть сфера 𝐴 находится под единичным потенциалом, а сфера 𝐵 – под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда 𝑎, помещённого в центре сферы 𝐴 дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причём, как легко видеть, из четырёх систем изображений, определённых в п. 172, в этом случае существует только третья и четвёртая.

Полагая

𝑘

=

√𝑎⁴+𝑏⁴+𝑐⁴-2𝑏²𝑐²-2𝑐²𝑎²-2𝑎²𝑏²

2𝑐

,

получим

sh α=-

𝑘

𝑎

, sh β=

𝑘

𝑏

.

Значения θ и φ для центра сферы 𝐴 равны θ=2α, φ=0.

Таким образом, мы должны в уравнениях заменить 𝐏 на 𝑎 или -𝑘/sh α, θ – на 2α, φ – на 0, имея в виду, что само 𝐏 является частью заряда сферы 𝐴. Таким образом, для коэффициента ёмкости сферы 𝐴 получаем

𝑞

_𝑎𝑎

=

𝑘

𝑠=∞

∑

𝑠=0

1

sh(𝑠ϖ-α)

,

а для коэффициента индукции 𝐴 на 𝐵 или 𝐵 на 𝐴

𝑞

_𝑎𝑏

=

–𝑘

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

sh 𝑠ϖ

.

Таким же способом можно было бы, считая потенциал 𝐵 единичным, а потенциал 𝐴 – нулевым, найти значение 𝑞_𝑏𝑏. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение:

𝑞

_𝑏𝑏

=

𝑘

𝑠=∞

∑

𝑠=0

1

sh(β+𝑠ϖ)

.

Чтобы выразить эти величины через радиусы сфер 𝑎 и 𝑏 и через расстояние между их центрами 𝑐, заметим, что если ввести обозначение

𝐾

=

√

𝑎

⁴

+𝑏

⁴

+𝑐

⁴

–2𝑏

²

𝑐

²

–2𝑐

²

𝑎

²

–2𝑎

²

𝑏

²

,

то можно написать

sh α

=-

𝐾

2𝑎𝑐

,

sh β

=

𝐾

2𝑏𝑐

,

sh ϖ

=

𝐾

2𝑎𝑏

,

ch α

=

𝑐²+𝑎²-𝑏²

2𝑐𝑎

,

ch β

=

𝑐²+𝑏²-𝑎²

2𝑐𝑏

,

ch ϖ

=

𝑐²-𝑎²-𝑏²

2𝑎𝑏

и использовать соотношения

sh(α+β)

=

sh α ch β

+

ch α sh β

,

ch(α+β)

=

ch α ch β

+

sh α sh β

.

С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим

𝑞

_𝑎𝑎

=

𝑎

+

𝑎²𝑏

𝑐²-𝑏²

+

𝑎³𝑏²

(𝑐²-𝑏²+𝑎𝑐)(𝑐²-𝑏²-𝑎𝑐)

+…

𝑞

_𝑎𝑏

=

–

𝑎𝑏

𝑐

–

𝑎²𝑏²

𝑐(𝑐²-𝑎²-𝑏²)

–

𝑎³𝑏³

𝑐(𝑐²-𝑎²-𝑏²+𝑎𝑏)(𝑐²-𝑎²-𝑏²-𝑎𝑏)

–…

𝑞

_𝑏𝑏

=

𝑏

+

𝑎𝑏²

𝑐²-𝑎²

+

𝑎²𝑏³

(𝑐²-𝑎²+𝑏𝑐)(𝑐²-𝑎²-𝑏𝑐)

+…

174. Для определения зарядов 𝐸_𝑎 и 𝐸_𝑏 двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов 𝑉_𝑎 и 𝑉_𝑏, мы имеем следующие уравнения:

𝐸

_𝑎

=

𝑉

_𝑎

𝑞

_𝑎𝑎

+

𝑉

_𝑏

𝑞

_𝑏𝑏

,

𝐸

_𝑏

=

𝑉

_𝑎

𝑞

_𝑎𝑏

+

𝑉

_𝑏

𝑞

_𝑏𝑏

Если положить

𝑞

_𝑎𝑎

𝑞

_𝑏𝑏

–

𝑞

_𝑎𝑏

²

=

𝐷

=

1

𝐷'

,

и

𝑝

_𝑎𝑎

=

𝑞

_𝑏𝑏

𝐷'

,

𝑝

_𝑎𝑏

=

–

𝑞

_𝑎𝑏

𝐷'

,

𝑝

_𝑏𝑏

=

𝑞

_𝑎𝑎

𝐷'

,

так что

𝑝

_𝑎𝑎

𝑝

_𝑏𝑏

–

𝑝

_𝑎𝑏

²

=

𝐷'

,

то уравнения для определения потенциалов через заряды будут иметь вид

𝑉

_𝑎

=

𝑝

_𝑎𝑎

𝐸

_𝑎

+

𝑝

_𝑎𝑏

𝐸

_𝑏

,

𝑉

_𝑏

=

𝑝

_𝑎𝑏

𝐸

_𝑎

+

𝑝

_𝑏𝑏

𝐸

_𝑏

.

где 𝑝_𝑎𝑎, 𝑝_𝑎𝑏 и 𝑝_𝑏𝑏 – коэффициенты потенциала.

Полная энергия системы равна, согласно п. 85,

𝑄

=

½(

𝐸

_𝑎

𝑉

_𝑎

+

𝐸

_𝑏

𝑉

_𝑏

)

=

½(

𝑉

_𝑎

²

𝑞

_𝑎𝑎

+2

𝑉

_𝑎

𝑉

_𝑏

𝑞

_𝑎𝑏

+

𝑉

_𝑏

²

𝑞

_𝑏𝑏

)

=

½(

𝐸

_𝑎

²

𝑝

_𝑎𝑎

+2

𝐸

_𝑎

𝐸

_𝑏

𝑝

_𝑎𝑏

+

𝐸

_𝑏

²

𝑝

_𝑏𝑏

)

Сила расталкивания между сферами равна, таким образом, согласно пп. 92, 93,

𝐹

=

½

⎧

⎨

⎩

𝑉

_𝑎

²

𝑑𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑐

+2

𝑉

_𝑎

𝑉

_𝑏

𝑑𝑞_𝑎𝑏

𝑑𝑐

+

𝑉

_𝑏

²

𝑑𝑞_𝑏𝑏

𝑑𝑐

⎫

⎬

⎭

=

–

½

⎧

⎨

⎩

𝐸

_𝑎

²

𝑑𝑝_𝑎𝑎

𝑑𝑐

+2

𝐸

_𝑎

𝐸

_𝑏

𝑑𝑝_𝑎𝑏

𝑑𝑐

+

𝐸

_𝑏

²

𝑑𝑝_𝑏𝑏

𝑑𝑐

⎫

⎬

⎭

,

где 𝑐 – расстояние между центрами сфер.

Из приведённых двух выражений силы расталкивания более удобно для расчётов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты ёмкости и индукции.

Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты 𝑞 по 𝑐. Эти коэффициенты выражены как функции от 𝑘 α, β, ϖ, причём при дифференцировании следует считать 𝑎 и 𝑏 постоянными. Из уравнений

𝑘

=

–𝑎 sh α

=

𝑏 sh β

=

–𝑐

sh α⋅sh β

sh ϖ

находим

𝑑𝑘

𝑑𝑐

=-

ch α⋅ch β

sh ϖ

,

𝑑α

𝑑𝑐

=

sh α⋅sh β

𝑘 sh ϖ

,

𝑑β

𝑑𝑐

=

ch α⋅sh β

𝑘 sh ϖ

,

𝑑ϖ

𝑑𝑐

=

1

𝑘

,

откуда

𝑑𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑐

=

ch α⋅ch β

sh ϖ

⋅

𝑞_𝑎𝑎

𝑘

–

𝑠=∞

∑

𝑠=0

(𝑠𝑐+𝑏 ch β) ch(𝑠ϖ-α)

𝑐(sh (𝑠ϖ-α))²

,

𝑑𝑞_𝑎𝑏

𝑑𝑐

=

ch α⋅ch β

sh ϖ

⋅

𝑞_𝑎𝑏

𝑘

+

𝑠=∞

∑

𝑠=1

𝑠 ch 𝑠ϖ

(sh 𝑠ϖ)²

,

𝑑𝑞_𝑏𝑏

𝑑𝑐

=

ch α⋅ch β

sh ϖ

⋅

𝑞_𝑏𝑏

𝑘

–

𝑠=∞

∑

𝑠=0

(𝑠𝑐+𝑎 ch α) ch(𝑠ϖ+β)

𝑐(sh (𝑠ϖ+β))²

.

Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двухтрех последовательных изображений.

Ряды для производных 𝑞 по 𝑐 могут быть легко получены прямым дифференцированием

𝑑𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑐

=

–

2𝑎²𝑏𝑐

(𝑐²-𝑏²)²

–

2𝑎³𝑏²𝑐(2𝑐²-2𝑏²-𝑎²)

(𝑐²-𝑏²+𝑎𝑐)²(𝑐²-𝑏²-𝑎𝑐)²

–…

𝑑𝑞_𝑎𝑏

𝑑𝑐

=

𝑎𝑏

𝑐²

+

𝑎²𝑏²(3𝑐²-𝑎²-𝑏²)

𝑐²(𝑐²-𝑎²-𝑏²)²

+

+

𝑎³𝑏³{(5𝑐²-𝑎²-𝑏²)(𝑐²-𝑎²-𝑏²)-𝑎²𝑏²}

𝑐²(𝑐²-𝑎²-𝑏²+𝑎𝑏)²(𝑐²-𝑎²-𝑏²-𝑎𝑏)²

+…

𝑑𝑞_𝑏𝑏

𝑑𝑐

=

–

2𝑎𝑏²𝑐

(𝑐²-𝑎²)²

–

2𝑎²𝑏³𝑐(2𝑐²-2𝑎²-𝑏²)

(𝑐²-𝑎²+𝑏𝑐)²(𝑐²-𝑎²-𝑏𝑐)²

–…

Распределение электричества на двух соприкасающихся сферах

175. Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале, на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на расстоянии 1/(2𝑎) и 1/(2𝑏) от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке.

Возникнет последовательность положительных изображений с единичным зарядом на расстояниях 𝑠(1/𝑎+1/𝑏) от начала координат, где 𝑠 может принимать все целые значения от -∞ до +∞.

Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом -1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении 𝑎 равно

1

𝑎

+

𝑠

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

+

1

𝑏

⎞

⎟

⎠

.

При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения даётся выражением

1

,

𝑠

⎛

⎜

⎝

1

+

1

⎞

⎟

⎠

𝑎

𝑏

где 𝑠 – положительно для сферы 𝐴 и отрицательно для сферы 𝐵. при единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен.

Кроме того, будет существовать последовательность положительных изображений, соответствующая отрицательным изображениям для двух плоскостей; расстояния этих положительных изображений от точки соприкосновения, отсчитываемые в направлении центра сферы 𝐴, равны

1

.

1

+

𝑠

⎛

⎜

⎝

1

+

1

⎞

⎟

⎠

𝑎

𝑎

𝑏

При 𝑠 равном нулю или целому положительному числу изображение находится внутри сферы 𝐴, при 𝑠 целом отрицательном изображение находится внутри сферы 𝐵. Заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от начала координат и всегда положителен.

Таким образом, полный заряд сферы 𝐴 равен

𝐸

_𝑎

=

𝑠=∞

∑

𝑠=0

1

–

𝑎𝑏

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

.

1

+

𝑠

⎛

⎝

1

+

1

⎞

⎠

𝑎+𝑏

𝑠

𝑎

𝑎

𝑏

Оба эти ряда расходятся, но если их скомбинировать в виде

𝐸

_𝑎

=

𝑠=∞

∑

𝑠=1

𝑎²𝑏

𝑠(𝑎+𝑏){𝑠(𝑎+𝑏)-𝑎}

,

то ряд становится сходящимся.

Аналогично для заряда на сфере 𝐵 получим

𝐸

_𝑏

=

𝑠=∞

∑

𝑠=1

𝑎𝑏

𝑠(𝑎+𝑏)-𝑏

–

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

𝑠=-∞

∑

𝑠=-1

1

𝑠

=

=

𝑎𝑏²

𝑠(𝑎+𝑏){𝑠(𝑎+𝑏)-𝑎}

.

Очевидно, выражение для 𝐸_𝑎 равно

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

1

∫

0

θ^{(𝑏/(𝑎+𝑏))-1}-1

1-θ

𝑑θ

.

Последний результат для этого случая был получен Пуассоном.

Можно также показать (Legendre, Traité des Fonctions Elliptiques, II, 438), что приведённый выше ряд для 𝐸_𝑎 равен

𝑎

–

⎧

⎨

⎩

γ+Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑏

𝑎+𝑏