Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 34 страниц)

В прямом методе потенциал вычисляется по распределению заряда с помощью интегрирования, причём оказывается, что он удовлетворяет определённым уравнениям в частных производных. В обратном методе эти уравнения в частных производных считаются заданными, а ищется потенциал и распределение электричества.

Прямой метод применим лишь в тех случаях, когда задано распределение электричества. Если распределение заряда по проводнику подлежит определению, то следует применять обратный метод.

Мы должны показать, что обратный метод приводит во всех случаях ко вполне определённому результату, и установить некоторые общие теоремы, вытекающие из уравнения в частных производных Пуассона

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

+

4πρ

=

0.

Выражаемые этим уравнением математические идеи отличны по своему характеру от идей, выражаемых интегральным соотношением

𝑉

=

+∞

∫

–∞

+∞

∫

–∞

+∞

∫

–∞

ρ

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

𝑑𝑧'

.

В дифференциальном уравнении мы выражаем тот факт, что сумма вторых производных от 𝑉 в окрестности любой точки связана определённым образом с плотностью заряда в этой точке, и никак не связываем значение 𝑉 в данной точке со значениями ρ в различных точках, находящихся на конечном расстоянии от данной.

Наоборот, в определённом интеграле обозначенное через 𝑟 расстояние между точкой (𝑥', 𝑦', 𝑧'), в которой находится заряд, и точкой (𝑥, 𝑦, 𝑧), в которой нас интересует потенциал, явно входит в подынтегральное выражение.

Таким образом, интеграл является подходящим математическим выражением для теории взаимодействия частиц на расстоянии, в то время как дифференциальное уравнение подходит для теории взаимодействия смежных элементов среды.

Мы видели, что. результат интегрирования удовлетворяет дифференциальному уравнению. Теперь нужно показать, что это единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определённым условиям.

Тем самым мы не только установим математическую эквивалентность обоих выражений, но и подготовимся к переходу от теории прямого действия на расстоянии к теории взаимодействия смежных элементов среды.

95 б. Рассматриваемые в этой главе теоремы относятся к свойствам некоторых объёмных интегралов, взятых по конечной области пространства, которую мы будем называть электрическим полем.

Элементами этих интегралов, т. е. входящими в подынтегральное выражение величинами, являются либо квадрат некоторого вектора, величина и направление которого меняются от точки к точке, либо произведение одного вектора на проекцию другого вектора на его направление.

Из различных распределений векторной величины в пространстве два распределения представляют особый интерес.

Первое распределение – это такое, при котором вектор может быть представлен как пространственная вариация (см. п. 17) скалярной функции, называемой Потенциалом.

Такое распределение можно назвать невращательным, Безвихревым. Равнодействующая сила, возникающая из-за притяжения или отталкивания любой совокупности центров сил, при любом законе зависимости силы от расстояния имеет безвихревое распределение.

Второй тип распределения – такое распределение, при котором конвергенция (сходимость) (п. 25) равна нулю в каждой точке. Такое распределение можно назвать Соленоидальным. Скорость несжимаемой жидкости имеет соленоидальное распределение.

Если центральные силы, которые, как мы уже говорили, дают безвихревое распределение равнодействующей силы, меняются обратно пропорционально квадрату расстояния и если центры сил находятся вне поля, то распределение силы в поле будет как соленоидальным, так и безвихревым.

Если движение несжимаемой жидкости, которое, как мы уже отмечали, является соленоидальным, происходит под действием центральных сил, зависящих от расстояния, или под действием поверхностного давления на первоначально покоившуюся жидкость без трения, то распределение скоростей будет как безвихревым, так и соленоидальным.

Распределение, являющееся одновременно безвихревым и соленоидальным, мы будем называть Лапласовым распределением, поскольку Лаплас указал на ряд наиболее интересных свойств этого распределения.

Рассматриваемые в этой главе объёмные интегралы представляют собой, как мы увидим, выражения для энергии электрического поля. В первой группе теорем, начинающейся с теоремы Грина, энергия выражается через напряжённость электрического поля, являющуюся безвихревым вектором во всех случаях равновесия электричества. Показывается, что при заданных потенциалах поверхностей из всех безвихревых распределений наименьшую энергию имеет распределение, являющееся также и соленоидальным. Отсюда следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с потенциалами поверхностей.

Во второй группе теорем, включающей теорему Томсона, энергия выражается через электрическое смещение, являющееся соленоидальным вектором. Показывается, что при заданных зарядах поверхностей из всех соленоидальных распределений распределение, имеющее наименьшую энергию, является также и безвихревым. Отсюда также следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с заданными зарядами поверхностей.

Доказательство всех этих теорем проводится однотипно. Во избежание повторений мы каждый раз при проведении поверхностного интегрирования в прямоугольной системе координат будем использовать теорему III из п. 21 ¹ где дан подробный вывод соотношения между объёмным интегралом и соответствующим поверхностным интегралом. Нам нужно будет лишь подставить вместо 𝑋, 𝑌, и 𝑍 в формулировке теоремы составляющие конкретного рассматриваемого вектора.

¹ Эта теорема была, по-видимому, впервые дана Остроградским в его работе, доложенной в 1828 г., но опубликованной лишь в 1831 г. в Mem. de L'Acad. de St. Pétersbourg. T. I, p. 39. Её можно рассматривать, однако, как одну из форм уравнения непрерывности.

В первом издании этой книги утверждения каждой теоремы осложнялись множеством взаимно исключающих условий, имевших целью показать степень общности теоремы и многообразие случаев её применения, однако это лишь приводило к смешению в умах читателей того, что предполагается, и того, что требуется доказать.

В настоящем издании каждая теорема сначала устанавливается в более определённой, подчас в более ограниченной, форме, а затем показывается возможность её дальнейших обобщений.

До сих пор мы обозначали потенциал буквой 𝑉. Мы будем продолжать пользоваться этим обозначением и дальше в пределах электростатики. Однако в этой главе, а также в тех разделах второго тома, где электрический потенциал встречается в электромагнитных расчётах, мы будем использовать специальное обозначение Ψ для электрического потенциала.

Теорема Грина

96 а. Следующая важная теорема дана Джорджем Грином в его «Опыте применения математики к электричеству и магнетизму».

Теорема эта относится к пространству, ограниченному замкнутой поверхностью s. Мы будем называть это конечное пространство Полем. Пусть ν – нормаль, проведённая от поверхности в сторону поля, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы этой нормали. Тогда выражение

𝑙

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑Ψ

𝑑𝑧

=

𝑑Ψ

𝑑ν

(1)

даёт скорость изменения функции Ψ при движении вдоль нормали ν. В дальнейшем будет считаться, что значение 𝑑Ψ/𝑑ν берётся на самой поверхности, где ν=0. Будем, как и в п. 26 и 77 пользоваться обозначением

𝑑²Ψ

𝑑𝑥²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧²

=

–∇²Ψ

,

(2)

а для двух функций Ψ и Φ будем писать

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

=

–𝑆.

∇Ψ

∇Φ

.

(3)

Читатель, незнакомый с методом Кватернионов, может, если угодно, считать выражения ∇²Ψ и 𝑆.∇Ψ∇Φ просто удобными сокращёнными обозначениями соответствующих величин, к которым они приравнены выше, а поскольку мы будем в дальнейшем использовать лишь обычные декартовы координаты, то Кватернионное истолкование этих выражений нам не понадобится. Мы, однако, пользуемся именно этими обозначениями, а не произвольными другими сокращениями, поскольку на языке Квартернионов они полностью представляют соответствующую величину. Оператор ∇ в применении к скалярной функции Ψ даёт пространственную вариацию этой функции, а выражение -𝑆.∇Ψ∇Φ даёт скалярную часть произведения двух пространственных вариаций, т. е. произведение одной из пространственных вариаций на составляющую другой вариации в направлении первой. Выражение 𝑑Ψ/𝑑ν записывается в терминах Кватернионов как 𝑆.𝑈ν∇Φ где 𝑈ν – единичный вектор в направлении нормали. На данном этапе не видно особой выгоды в применении этого обозначения, однако оно окажется удобным при рассмотрении анизотропных сред.

Доказательство теоремы Грина

Пусть Ψ и Φ – две функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечные и непрерывные вместе со своими первыми производными в односвязной области ς, ограниченной замкнутой поверхностью 𝑠. Тогда

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

=

∭

𝑆.∇Ψ∇Φ

𝑑ς

=

=

∬

Φ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

Φ∇²Ψ

𝑑ς

,

(4)

где двойное интегрирование производится по всей замкнутой поверхности 𝑠 а тройное – по полю ς, ограниченному этой поверхностью.

Для доказательства положим в Теореме III, п. 21,

𝑋

=

Ψ

𝑑Φ

𝑑𝑥

,

𝑌

=

Ψ

𝑑Φ

𝑑𝑦

,

𝑍

=

Ψ

𝑑Φ

𝑑𝑧

.

(5)

Тогда

𝑅 cos ε

=

–Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

=-

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

,

(6)

согласно (l), и

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

=

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑²Φ

𝑑𝑥²

+

𝑑²Φ

𝑑𝑦²

+

𝑑²Φ

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

=

=

–Ψ∇²Φ

–𝑆.

∇Ψ

∇Φ

,

(7)

согласно (2) и (3). По Теореме III

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑠

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑ς

,

так что (6) и (7) дают

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

=

∭

𝑆.

∇Ψ

∇Φ

𝑑ς

.

(8)

Поскольку в правой части равенства Ψ и Φ можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4).

96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем Ψ, многозначна, если её первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области ς.

Поскольку ∇Ψ и ∇Φ однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна. Однако из-за многозначности Ψ оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение Ψ₀ из многих значений Ψ в точке 𝐴 внутри области ς, то тем самым определяется значение функции Ψ в любой другой точке 𝑃. Действительно, поскольку выбранное значение Ψ является непрерывным внутри объёма, то значение Ψ в точке 𝑃 должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от 𝐴 к 𝑃, начиная со значения Ψ₀ в точке 𝐴. Если бы значение Ψ в точке 𝑃 получалось различным для различных путей из 𝐴 в 𝑃, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от Ψ бесконечны. Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области ς, эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области.

Таким образом, при заданном значении Ψ₀ функции в точке 𝐴 её значение в точке 𝑃 определяется однозначно.

Если в точке 𝐴 выбрано какое-либо другое значение Ψ, скажем Ψ_0+𝑛ϰ, то значение функции в точке 𝑃 будет Ψ_+𝑛ϰ. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена

𝑛ϰ

⎡

⎢

⎣

∬

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

∇²Φ

𝑑ς

⎤

⎥

⎦

,

который, согласно Теореме III из п. 21, равен нулю.

96 в. Если область ς двухсвязная или многосвязная, то её можно свести к односвязной области, замкнув каждый её контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области ς, а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы).

Пусть 𝑠₁ – одна из этих диафрагм, а ϰ₁, – соответствующая циклическая постоянная, т. е. приращение при однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область ς расположена по обе стороны от диафрагмы 𝑠₁, то каждый элемент 𝑠₁ войдёт дважды в поверхностный интеграл.

Пусть нормаль ν₁ проведена в положительную сторону 𝑑𝑠₁ a ν'₁ – в отрицательную. Тогда (𝑑Φ/𝑑ν'₁) = -(𝑑Φ/𝑑ν₁) и Ψ'₁=Ψ₁+ϰ₁, и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный 𝑑𝑠₁, будет равен

Ψ

₁

𝑑Φ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

–

Ψ'

₁

𝑑Φ

𝑑ν'₁

𝑑𝑠

₁

=

–ϰ

𝑑Φ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

,

поскольку 𝑑ν₁ – элемент внутренней нормали к положительной поверхности.

Таким образом, если область s многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

ϰ

₁

∬

𝑑Φ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

–…-

ϰ

_𝑛

∬

𝑑Φ

𝑑ν_𝑛

𝑑𝑠

_𝑛

–

-

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

,

(4a)

где 𝑑ν – элемент внутренней нормали к граничной поверхности, первый поверхностный интеграл берётся по граничной поверхности, а остальные – по различным диафрагмам, каждый элемент поверхности которых входит в интеграл один раз с нормалью, направленной в соответствии с положительным направлением контура.

Необходимость такой модификации теоремы для многосвязных областей была впервые показана Гельмгольцем ², а первое её применение к рассматриваемой теореме принадлежит Томсону ³.

² «Über Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen», Crelle, 1858. Англ, перевод проф. Тэта; Phil. Mag., 1867 (I).

³ «On Vortex Motion», Trans. R. S. Edin., XXV, part. I, p. 241 (1867).

96 г. Предположим теперь вместе с Грином, что одна из функций, скажем Φ, не удовлетворяет тому условию, что сама функция и её первые производные не обращаются в бесконечность внутри заданной области. Пусть она обращается в бесконечность в точке 𝑃 этой области, и только в ней, причём вблизи точки 𝑃 функция Φ равна Φ₀+𝑒/𝑟, где Φ₀ – конечная и непрерывная величина, а 𝑟 – расстояние от 𝑃. Такой случай имеет место, если Φ – потенциал количества электричества 𝑒, сосредоточенного в точке 𝑃, и любого распределения электричества с объёмной плотностью, нигде не обращающейся в бесконечность в рассматриваемой области.

Предположим теперь, что вокруг точки 𝑃 как центра описана сфера очень малого радиуса 𝑎. Поскольку в области вне сферы, но внутри поверхности 𝑠, функция Φ никаких особенностей не имеет, то мы можем применить к ней Теорему Грина, не забыв учесть при поверхностном интегрировании и поверхность малой сферы.

При вычислении объёмных интегралов следует из интеграла, взятого по всей области, вычесть интеграл по объёму малой сферы.

Но интеграл

∭

Φ∇²Ψ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

по объёму сферы не может по абсолютной величине превосходить

(∇²Ψ)

_𝑔

∭

Φ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

т.е.

(∇²Ψ)

_𝑔

⎛

⎜

⎝

2π𝑒𝑎²

+

4

3

π𝑎³

Φ

₀

⎞

⎟

⎠

,

где индекс 𝑔 какой-либо величины означает наибольшее численное значение этой величины внутри рассматриваемой сферы.

Таким образом, этот объёмный интеграл порядка 𝑎² и может быть опущен при стремлении 𝑎 к нулю.

Второй объёмный интеграл

∭

Ψ∇²Φ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

мы будем считать взятым по объёму между малой сферой и поверхностью 𝑠 так что область интегрирования не включает точки, где Φ обращается в бесконечность.

Поверхностный интеграл

∬

Φ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠'

для сферы не может численно превосходить

Φ

_𝑔

∬

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠'

Но по Теореме III, п. 21,

∬

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

=-

∭

∇²Ψ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

так как здесь 𝑑ν отсчитывается наружу от сферы. Этот интеграл не может численно превосходить (∇²Ψ)_𝑔⋅4/3⋅π𝑎³, а Φ_𝑔 на поверхности примерно равно 𝑒/𝑎 так что

∬

Φ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

не может численно превосходить

4

3

π𝑎²𝑒

(∇²Ψ)

_𝑔

,

т.е. он порядка 𝑎² и в пределе при 𝑎, стремящемся к нулю, может быть опущен.

Однако поверхностный интеграл по сфере, стоящий в правой части равенства (4):

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠'

,

не обращается в нуль, так как

∬

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠'

=

–4π𝑒

,

𝑑ν отсчитывается наружу от сферы).

Обозначая через Ψ₀ значение Ψ в точке 𝑃, получим

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

=

–4π𝑒

Ψ

₀

.

Таким образом, уравнение (4) принимает вид

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

–4π𝑒

Ψ

₀

=

=

∬

Φ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

Φ∇²Ψ

𝑑ς

.

(4b)

97 а. Следуя Грину, применим этот вариант Теоремы Грина для определения поверхностной плотности распределения, создающего потенциал, значения которого заданы внутри и вне заданной замкнутой поверхности. Эти значения должны совпадать на поверхности; внутри поверхности ∇²Ψ=0, а вне неё ∇²Ψ'=0, где Ψ и Ψ' означают потенциалы внутри и вне поверхности.

Грин начинает с прямой задачи, когда задано распределение поверхностной плотности σ а потенциалы во внутренней точке 𝑃 и во внешней точке 𝑃' находятся интегрированием:

Ψ

_𝑃

=

∬

σ

𝑟

𝑑𝑠

,

Ψ'

_𝑃'

=

∬

σ

𝑟'

𝑑𝑠

,

(9)

где 𝑟 и 𝑟' соответственно расстояния от точек 𝑃 и 𝑃'.

Полагая Φ=1/𝑟 и применив Теорему Грина к объёму внутри поверхности с учётом того, что ∇²Φ=0 и ∇²Ψ=0 в области интегрирования, получим

∬

Ψ

𝑑𝑟^-1

𝑑ν'

𝑑𝑠

–

4πΨ

_𝑃

=

∬

1

𝑟

𝑑Ψ

𝑑ν'

𝑑𝑠

,

(10)

где Ψ_𝑃 – значение Ψ в точке 𝑃.

Применим ещё раз эту теорему к объёму, ограниченному поверхностью 𝑠 и охватывающей её поверхностью на бесконечно большом расстоянии 𝑎. Вклад в поверхностный интеграл от бесконечно удалённой поверхности будет порядка 1/𝑎 и может быть опущен, откуда

∬

Ψ'

𝑑𝑟^-1

𝑑ν'

𝑑𝑠

=

∬

1

𝑟

𝑑Ψ'

𝑑ν

𝑑𝑠

.

(11)

Но на поверхности Ψ=Ψ, а поскольку нормали ν и ν' направлены в противоположные стороны, то

𝑑𝑟^-1

𝑑ν

𝑑𝑠

+

𝑑𝑟^-1

𝑑ν'

𝑑𝑠

=

0.

Таким образом, при сложении уравнений (10) и (11) члены в левой части сократятся, и мы получим

-4πΨ

_𝑃

=

∬

1

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑ν'

+

𝑑Ψ'

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

.

(12)

97 б. Грин показал также, что при произвольно заданном потенциале Ψ в каждой точке замкнутой поверхности 𝑠 можно найти потенциал в любой точке внутри и вне поверхности, если ∇²Ψ=0 вне и внутри поверхности.

Для этого он выбрал функцию Φ такой, что вблизи точки 𝑃 она близка к 1/𝑟, а на поверхности 𝑠 равна нулю, причём в каждой точке внутри поверхности ∇²Φ=0.

Существование такой функции Грин доказывает из физических соображений: если представить себе, что 𝑠 – проводящая заземлённая поверхность, а в точке 𝑃 находится единичный заряд, то соответствующий потенциал удовлетворял бы приведённым условиям. Действительно, если поверхность 𝑠 заземлена, то потенциал в каждой её точке должен равняться нулю, а поскольку потенциал создан зарядом в точке 𝑃 и наведёнными зарядами на 𝑠, то ∇²Φ=0 во всех точках внутри поверхности.

Применяя к этому случаю Теорему Грина, получим

4πΨ

_𝑃

=

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν'

𝑑𝑠

,

(13)

где Ψ под интегралом означает заданное значение потенциала на элементе поверхности 𝑑𝑠. Если σ_𝑃 – плотность электричества, наведённого единичным зарядом в точке 𝑃, то

4πσ

_𝑃

+

𝑑Φ

𝑑ν'

=

0

(14)

и уравнение (13) можно переписать в виде

Ψ

_𝑃

=

–

∬

𝑃σ

𝑑𝑠

,

^*

(15)

^* По изданию Dover Publication 0-486-60636-8 1954 г. Ψ_𝑃=-∬Ψσ𝑑𝑠

где σ – поверхностная плотность электричества, индуцированная на 𝑑𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.

Таким образом, если значение σ известно в каждой точке поверхности для данного положения точки 𝑃, то мы можем рассчитать простым интегрированием потенциал в точке 𝑃 при заданном потенциале в каждой точке поверхности и при условии ∇²Ψ=0 внутри поверхности.

Ниже мы покажем, что если мы нашли решение Ψ, удовлетворяющее этим условиям, то оно единственно.

Функция Грина

98. Пусть замкнутая поверхность s находится под нулевым потенциалом. Пусть 𝑃 и 𝑄 – две точки с положительной стороны от поверхности 𝑠 (мы можем принять за положительную как внутреннюю, так и внешнюю сторону) и пусть в точке 𝑃 находится небольшое тело, несущее единичный заряд. Тогда потенциал в точке 𝑄 состоит из двух частей; одна часть вызывается непосредственным действием заряда в точке 𝑃, другая – обусловлена действием заряда, индуцированного на поверхности 𝑠 зарядом в 𝑃. Эта вторая часть потенциала называется Функцией Грина и обозначается через 𝐺_𝑝𝑞.

Функция Грина зависит от положения двух точек 𝑃 и 𝑄; вид функции зависит от формы поверхности 𝑠. Она была рассчитана для сферической поверхности и ещё для нескольких других случаев. Функция Грина даёт потенциал в точке 𝑄, создаваемый электричеством, наводимым на поверхности 𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.

Фактический потенциал в точке 𝑄, создаваемый зарядом в точке 𝑃 и наводимыми им зарядами на 𝑠, равен 1/𝑟_𝑝𝑞+𝐺_𝑝𝑞, где 𝑟_𝑝𝑞 – расстояние от 𝑃 до 𝑄.

На поверхности 𝑠 и во всех точках по отрицательную сторону от 𝑠 потенциал равен нулю, так что

𝐺

_𝑝𝑎

=

–(1/𝑟

_𝑝𝑎

)

,

(1)

где индекс 𝑎 показывает, что вместо точки 𝑄 взята точка 𝐴 на поверхности 𝑠.

Если обозначить через σ_𝑝𝑎' поверхностную плотность в точке 𝐴' на поверхности 𝑠, то, поскольку 𝐺_𝑝𝑞 является потенциалом, создаваемым в точке 𝑄 поверхностным распределением,

𝐺

_𝑝𝑞

=

∬

(σ

_𝑝𝑎'

/𝑟

_𝑞𝑎'

)

𝑑𝑠'

,

(2)

где 𝑑𝑠' -элемент поверхности 𝑠 у точки 𝐴', и интегрирование производится по всей поверхности 𝑠.

Если бы единичный заряд был расположен в точке 𝑄, то, согласно (1), мы имели бы

(1/𝑟

_𝑝𝑎'

)

=-

𝐺

_𝑝𝑎'

(3)

=-

∬

(σ

_𝑞𝑎

/𝑟

_𝑎𝑎'

)

𝑑𝑠

,

(4)

где σ_𝑞𝑎 -плотность в точке 𝐴 наводимая единичным зарядом в 𝑄, 𝑑𝑠 – элемент поверхности, а 𝑟_𝑎𝑎' -расстояние между точками 𝐴 и 𝐴'. Подставляя это значение 1/𝑟_𝑎𝑎' в выражение для 𝐺_𝑝𝑞, получим

𝐺

_𝑝𝑞

=-

∬∬

σ_𝑞𝑎σ_𝑞𝑎'

𝑟_𝑎𝑎'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(5)

Поскольку это выражение не меняется от перестановки индексов 𝑞 и 𝑝, мы заключаем, что

𝐺

_𝑝𝑞

=

𝐺

_𝑞𝑝

.

(6)

К этому результату мы пришли ещё в п. 86, но теперь мы видим, что он выводится математически методом, позволяющим рассчитать функцию Грина.

Предположим, что у нас имеется произвольное распределение электричества, и поместим в поле точечный единичный заряд. Пусть поверхность нулевого потенциала полностью отделяет эту точку от имеющегося распределения заряда. Тогда, приняв эту поверхность за поверхность 𝑠, а точку – за точку 𝑃, получим, что функция Грина для любой точки с той же стороны поверхности, что и 𝑃, будет совпадать с потенциалом распределения электричества, существующего по другую сторону поверхности. Таким способом можно построить сколько угодно примеров, позволяющих найти функцию Грина для частных случаев расположения точки 𝑃. Значительно труднее найти вид функции при заданной поверхности s и при произвольном положении точки 𝑃, хотя, как мы показали, математически это возможно.

Предположим, что эта задача решена, и что точка 𝑃 находится внутри поверхности. Тогда во всех точках вне поверхности потенциал поверхностного распределения равен и противоположен по знаку потенциалу точки 𝑃. Таким образом, поверхностное распределение центробарично ⁴ и его действие во всех внешних точках эквивалентно действию единичного положительного заряда в точке 𝑃.

⁴ Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 526.

99 а. Если положить в Теореме Грина Ψ=Φ, то мы получим

∬

Ψ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

–

∭

Ψ∇²Ψ

𝑑ς

=

∭

(∇Ψ)²

𝑑ς

.

(16)

Если Ψ – потенциал распределения заряда в пространстве с объёмной плотностью ρ и на проводниках с поверхностями 𝑠₁ 𝑠₂ и т. д., имеющих потенциалы Ψ₁, Ψ₂ и т. д., с поверхностной плотностью σ₁, σ₂ и т. д., то

∇²Ψ

=

4πρ

,

(17)

𝑑Ψ

𝑑ν

=

–4πσ

(18)

(𝑑ν направлено наружу от проводника) и

∬

𝑑Ψ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

=

–4π𝑒

₁

,

(19)

где 𝑒₁ – заряд поверхности 𝑠₁.

Поделив (16) на -8π получим

½(

Ψ

₁

𝑒

₁

+

Ψ

₂

𝑒

₂

+

…)

+½

∭

Ψρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(20)

Первый член слева представляет собой электрическую энергию системы, обусловленную поверхностными распределениями, а второй – энергию, обусловленную объёмным распределением электричества в поле, если таковое распределение имеется.

Таким образом, правая часть уравнения выражает полную электрическую энергию системы при заданном потенциале как функции координат.

Поскольку мы часто будем пользоваться этим объёмным интегралом, мы введём для него специальное обозначение 𝑊_ψ так что

𝑊

_ψ

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(21)

Если заряд распределён лишь на поверхностях проводников, то ρ=0 и второй член слева в (20) отсутствует.

Первый член слева выражает, как и в п. 84, энергию заряженной системы через заряды и потенциалы проводников, мы обозначаем это выражение через 𝑊.

99 б. Пусть Ψ – функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая тому условию, что на замкнутой поверхности 𝑠 она принимает во всех точках известные значения Ψ. Значения Ψ в точках вне поверхности s совершенно произвольны.

Напишем интеграл

𝑊

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(22)

где интегрирование производится по объёму внутри поверхности 𝑠. Докажем, что если Ψ₁ – такая из функций Ψ, удовлетворяющих условию на поверхности, которая удовлетворяет также уравнению Лапласа

∇²Ψ

₁

=

0

(23)

во всех точках внутри поверхности, то значение 𝑊₁ интеграла 𝑊, вычисленное для 𝑊₁, меньше, чем для любой другой функции, отличающейся от 𝑊₁ хотя бы в одной точке внутри поверхности.

Действительно, пусть Ψ – любая функция, совпадающая с Ψ₁ на поверхности, но не совпадающая всюду внутри поверхности, и положим

Ψ

=

Ψ

₁

+

Ψ

₂

.

(24)

Тогда Ψ₂ обращается в нуль во всех точках поверхности.

Значение 𝑊 для Ψ равно, очевидно,

𝑊

=

𝑊

₁

+

𝑊

₂

+

+

1

4π

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

𝑑Ψ₂

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

𝑑Ψ₂

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

𝑑Ψ₂

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(25)

По Теореме Грина последнее выражение можно написать в виде

1

4π

∭

Ψ

₂

∇²Ψ

₁

𝑑ς

–

1

4π

∬

Ψ

₂

𝑑Ψ₁

𝑑ν

𝑑𝑠

.

(26)

Объёмный интеграл обращается в нуль, так как ∇²Ψ₁=0 внутри поверхности, а поверхностный интеграл равен нулю, потому что на поверхности Ψ₂=0. Таким образом, уравнение (25) принимает вид

𝑊

=

𝑊

₁

+

𝑊

₂

.

(27)

Но подынтегральное выражение в интеграле 𝑊₂ представляет собой сумму трёх квадратов и не может быть отрицательно, так что сам интеграл может быть либо положительным, либо нулём. Итак, если 𝑊₂ не равно нулю, то оно положительно, и, следовательно, 𝑊 больше 𝑊₁. Если 𝑊₂ равно нулю, то каждое слагаемое под интегралом должно быть равно нулю, т. е. (𝑑Ψ₂/𝑑𝑥)=0, (𝑑Ψ₂/𝑑𝑦)=0, (𝑑Ψ₂/𝑑𝑧)=0 во всех точках внутри поверхности, а Ψ₂ постоянно внутри поверхности. Но на поверхности Ψ₂=0, значит, оно равно нулю и в любой точке внутри поверхности, т. е. Ψ=Ψ₁, так что, если 𝑊 не больше 𝑊₁, то Ψ должно совпадать с Ψ₁ во всех точках внутри поверхности.

Отсюда следует, что Ψ₁ – единственная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, равная Ψ на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.

Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция Ψ₃, то 𝑊₃ должно было бы быть меньше любого другого значения 𝑊. Но мы уже показали, что 𝑊₁ меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше 𝑊₃. Следовательно, никакая функция, отличная от Ψ₁, не может удовлетворять этим условиям.

Ниже мы увидим, что наиболее часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью 𝑠 и некоторым числом внутренних поверхностей 𝑠₁, 𝑠₂ и т. д., причём принимает нулевое значение на 𝑠 и постоянные на каждой поверхности значения: Ψ₁ на 𝑠₁, Ψ₂ на 𝑠₂ и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами.

Из всех функций Ψ, удовлетворяющих этим условиям, 𝑊_ψ минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ∇²Ψ=0.