Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 21 (всего у книги 34 страниц)

𝑥

₂

=

𝑒

^-φ

cos ψ

,

𝑦

₂

=

𝑒

^-φ

sin ψ

,

(2)

то 𝑥₂ и 𝑦₂ будут также сопряжёнными функциями от φ и ψ. Следовательно, если положить

2𝑥

=

𝑥

₁

+𝑥

₂

=

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)cos ψ

,

2𝑦

=

𝑦

₁

+𝑦

₂

=

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)sin ψ

,

(3)

то 𝑥 и 𝑦 также будут сопряжёнными функциями от ψ и φ. В этом случае точки с постоянным φ лежат на эллипсе с осями 𝑒^φ+𝑒^-φ и 𝑒^φ-𝑒^-φ. Точки, для которых постоянно ψ, лежат на гиперболе с осями 2 cosψ и 2 sinψ. На оси 𝑥 между 𝑥-1 и 𝑥+1 имеем

φ=0, ψ=arccos 𝑥

.

(4)

Вне этих пределов с обеих сторон на оси

𝑥>1

,

ψ

=

2𝑛π

,

φ

=

ln(𝑥+√

𝑥²-1

)

,

𝑥<-1

,

ψ

=

(2𝑛+1)π

,

φ

=

ln(√

𝑥²-1

–𝑥)

.

(5)

Таким образом, считая φ потенциальной функцией, а ψ – функцией потока, мы приходим к случаю потока электричества с положительной стороны оси 𝑥 на отрицательную через промежуток между точками -1 и +1, причём участки оси вне этих пределов непроницаемы для электричества.

Поскольку ось 𝑦 в этом случае является линией потока, мы можем её также считать непроницаемой для электричества.

Мы можем рассматривать также эллипсы как сечения эквипотенциальных поверхностей для бесконечно длинного плоского проводника ширины 2, заряженного половиной единицы электричества на единицу длины. (Учитывается заряд с обеих сторон плоского проводника.)

Если считать ψ потенциальной функцией, а φ – функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечной плоскости, в которой вырезана полоса шириной 2 и у которой одна сторона заряжена до потенциала π, а вторая остаётся под нулевым потенциалом.

Эти задачи можно считать частными случаями поверхностей второго порядка, рассмотренных в главе X. Форма кривых показана на рис. X [в конце книги].

Пример VI. Рис. XI

193. Пусть теперь 𝑥' и 𝑦' – функции от 𝑥 и 𝑦, причём

𝑥'

=

𝑏 ln√

𝑥²+𝑦²

,

𝑦'

=

𝑏 arctg

𝑦

𝑥

,

Тогда 𝑥' и 𝑦' будут также сопряжёнными функциями от φ и ψ, определённых в п. 192. Кривые, получающиеся при преобразовании рис. X к новым координатам, приведены на рис. XI.

Если 𝑥' и 𝑦' – прямоугольные координаты, то свойства оси 𝑥 на первой фигуре переносятся на последовательность кривых, параллельных 𝑥', на второй фигуре, для которых 𝑦'=𝑏𝑛'π, где 𝑛' – произвольное целое число. Положительные значения 𝑥' на этих кривых будут соответствовать значениям 𝑥, большим единицы, для которых, как мы уже видели,

ψ

=

𝑛π

,

φ

=

ln(𝑥+√

𝑥²-1

)

=

ln(𝑒

^𝑥'/𝑏

+√

𝑒

^{(2𝑥'/𝑏)}

–1

)

.

(7)

Отрицательные значения 𝑥' на тех же кривых будут соответствовать значениям 𝑥, меньшим единицы, для которых, как мы видели,

φ

=

0,

ψ

=

arccos 𝑥

=

arccos 𝑒

^(𝑥'/𝑏)

.

(8)

Свойства оси 𝑦 на первой фигуре переносятся на последовательность кривых на второй фигуре, параллельных 𝑥', для которых

𝑦'

=

𝑏π(𝑛'+½)

.

(9)

На этих кривых ψ=π(𝑛+½) для всех точек, как положительных, так и отрицательных, а

φ

=

ln(𝑦+√

𝑦²+1

)

=

ln(𝑒

^(𝑥'/𝑏)

+√

𝑒

^{(2𝑥'/𝑏)}

+1

)

.

(10)

Кривые, для которых φ и ψ – постоянны, можно усмотреть непосредственно из уравнений

𝑥'

=

1

2

𝑏 ln

1

4

(

𝑒

^2φ

+

𝑒

^-2φ

2cos 2ψ

,

𝑦'

=

𝑏 arctg

⎛

⎜

⎝

𝑒^φ-𝑒^-φ

𝑒^φ+𝑒^-φ

tg ψ

⎞

⎟

⎠

.

Поскольку фигура повторяется через интервалы π𝑏 по 𝑦', достаточно рассмотреть кривые для одного такого интервала.

Следует различать два случая, в зависимости от того, какая из двух функций, φ или ψ, меняет знак вместе с 𝑦'. Предположим, что знак меняет функция φ. Тогда любая кривая, для которой ψ постоянно, будет симметрична относительно оси 𝑥' и ортогонально пересекать эту ось в некоторой точке отрицательной полуоси 𝑥'. Если начать с этой точки, для которой φ=0, и постепенно увеличивать φ, то кривая будет постепенно изгибаться от первоначально ортогонального к оси до почти параллельного (при больших φ) направления. Положительная полуось 𝑥' принадлежит к системе ψ=const, а именно ψ на ней равно нулю, а при 𝑦'=±π𝑏/2 ψ=π/2. Таким образом, кривые, для которых ψ имеет постоянное значение между 0 и π/2, образуют систему кривых, охватывающих положительную полуось 𝑥'.

Кривые, для которых φ постоянно, пересекают ортогонально систему кривых ψ, причём значения φ лежат в пределах от -∞ до +∞. Для любой кривой φ, построенной выше оси 𝑥', значение φ положительно, вдоль отрицательной полуоси 𝑥' значение φ равно нулю, а для любой кривой ниже оси 𝑥' значение φ отрицательно.

Мы видели, что система ψ симметрична относительно оси 𝑥'. Пусть 𝑃𝑄𝑅 – любая кривая, ортогонально пересекающая эту систему и оканчивающаяся в точках 𝑃 и 𝑅 на линиях 𝑦'=±π𝑏/2, причём точка 𝑄 лежит на оси 𝑥'. Тогда кривая 𝑃𝑄𝑅 симметрична относительно оси 𝑥', но если 𝑐 -значение φ вдоль 𝑃𝑄, то значение φ вдоль 𝑄𝑅 равно -𝑐. В случае, рассматриваемом в п. 195, эта разрывность в значениях φ объясняется распределением электрического заряда.

Если же считать, что не φ, а ψ меняет свой знак вместе с 𝑦' то значение φ будет меняться от 0 до ∞. При φ=0 мы имеем отрицательную полуось 𝑥' при φ=∞ – бесконечно удалённую прямую, перпендикулярную к оси 𝑥'. Вдоль любой кривой 𝑃𝑄𝑅, расположенной между этими двумя кривыми, пересекающей ортогонально ψ-систему, значение φ постоянно по всей длине и положительно.

Значения ψ испытывают теперь скачок в точке, где кривая постоянного значения ψ пересекает отрицательную полуось 𝑥', знак ψ при этом меняется. Значение этой разрывности ψ станет ясно в п. 197.

Кривые, построение которых здесь описано, приведены на рис. XI. При этом следует ограничиться двумя третями графика, отбросив верхнюю треть.

194. Если считать φ потенциальной функцией, а ψ – функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечно длинной металлической полосы шириной π𝑏 с непроводящей прокладкой, неограниченно простирающейся от начала координат в положительном направлении и, таким образом, разделяющей положительную часть полосы на две отдельных части. Мы можем представлять себе эту прокладку как узкую щель в металлическом листе.

Если электрический ток течёт вдоль одной стороны этой прокладки и обратно-вдоль другой, причём вход и выход тока находятся на бесконечном расстоянии на положительной полуоси, то распределение потенциала и тока даётся соответственно функциями φ и ψ.

Если, наоборот, считать ψ потенциалом, а φ – функцией потока, то мы придём к случаю тока, протекающего в общем направлении вдоль 𝑦' по листу, в котором помещён ряд непроводящих прокладок, параллельных 𝑥' и простирающихся от оси 𝑦' до бесконечности в отрицательном направлении.

195. Полученные результаты можно также применить к двум важным случаям статического электричества.

(1) Пусть проводник в виде плоского листа, ограниченного прямолинейным, краем с одной стороны и неограниченного с другой стороны, помещён в плоскости 𝑥𝑧 с положительной стороны от начала координат и пусть параллельно ему по обе стороны на расстоянии π𝑏/2 помещены две бесконечные проводящие плоскости. Тогда потенциальная функция ψ равна 0 на среднем проводнике и равна π/2 на обеих плоскостях.

Рассмотрим количество электричества на части среднего проводника, простирающейся вдоль 𝑧 на расстояние 1, а вдоль 𝑥' – от начала координат до 𝑥'=𝑎

Количество электричества на части этой полосы, простирающейся от 𝑥₁' до 𝑥₂' равно (φ₂-φ₁)/4π, следовательно, количество электричества от начала коор динат до 𝑥'=𝑎 на одной стороне средней пластины равно

𝐸

=

1

4π

ln

(

𝑒

^𝑎/𝑏

+

√

𝑒

^(2𝑎/𝑏)

–1

).

(11)

Если 𝑎 много больше 𝑏, то

𝐸

=

1

4π

ln

(

2𝑒

^(𝑎/𝑏)

)

=

𝑎+𝑏 ln 2

4π𝑏

.

(12)

Таким образом, количество электричества на пластине, ограниченной прямолинейным краем, больше, чем оно было бы при равномерном распределении с плотностью, равной плотности вдали от границы, и равно количеству электричества, равномерно распределённому с той же плотностью по пластине, ширина которой, увеличена на 𝑏 ln 2 за пределы её фактической границы.

Это воображаемое однородное распределение указано пунктирными прямыми на рис. XI. Вертикальные прямые изображают силовые линии, а горизонтальные – эквипотенциальные поверхности в предположении однородной плотности в обеих плоскостях, продолженных до бесконечности во всех направлениях.

196. Иногда конденсаторы представляют собой пластину, помещённую посредине между двумя параллельными пластинами, простирающимися значительно дальше, чем промежуточная пластина. Если радиус кривизны границы промежуточной пластины много больше расстояния между пластинами, эту границу можно считать прямолинейной и при расчёте ёмкости конденсатора принять, что площадь промежуточной пластины увеличена на полосу постоянной ширины вдоль всей границы, а поверхностная плотность на этой увеличенной пластине та же, что на участках первоначальной пластины, удалённых от границы.

Таким образом, если 𝑆 – истинная площадь пластины, 𝐿 – её периметр, а 𝐵 – расстояние между большими пластинами, то

𝑏

=

𝐵/π

(13)

и ширина дополнительной полоски равна

α

=

𝐵 ln 2

π

,

(14)

так что площадь увеличенной пластины равна

𝑆'

=

𝑆

+

𝐵𝐿 ln 2

π

,

(15)

а ёмкость одной стороны средней пластины равна

1

2π

𝑆'

𝐵

=

1

2π

⎧

⎨

⎩

𝑆

𝐵

+

𝐿

1

π

ln 2

⎫

⎬

⎭

.

(16)

Поправки на толщину пластины

Поскольку толщиной средней пластины в общем случае нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между пластинами, можно получить лучшее описание этого случая, приняв сечение промежуточной пластины соответствующим кривой ψ=ψ'.

При этом пластина будет иметь почти постоянную толщину β=2𝑏ψ' вдали от границы и закругление у края.

Истинное положение края пластины можно найти, положив 𝑦'=0 откуда

𝑥'

=

𝑏 ln cos ψ'

.

(17)

Значение φ на этом краю равно 0, а в точке, для которой 𝑥'=𝑎 (𝑎/𝑏 велико), оно приблизительно равно (𝑎+𝑏 ln 2)/𝑏.

Таким образом, общее количество электричества на пластине таково, как если бы к ней добавлялась полоса шириной

𝐵

π

⎛

⎜

⎝

ln 2

+

ln cos

πβ

2𝐵

⎞

⎟

⎠

, т.е.

𝐵

π

⎛

⎜

⎝

2 cos

πβ

2𝐵

⎞

⎟

⎠

,

(18)

а плотность была бы всюду постоянной и равной плотности вдали от границы.

Плотность у края

Поверхностная плотность в любой точке пластины равна

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑥'

=

1

4π𝑏

𝑒^𝑥'/𝑏

√𝑒^2𝑥'/𝑏-1

=

1

4π𝑏

⎛

⎜

⎝

1

+

1

2

𝑒

^-2𝑥'/𝑏

+

3

8

𝑒

^-4𝑥'/𝑏

+…

⎞

⎟

⎠

.

(19)

Величина в скобках быстро приближается к единице с ростом 𝑥', так что на расстоянии от границы, превышающем в 𝑛 раз ширину полосы α, истинная плотность превышает нормальную примерно на 1/(2^2𝑛+1) от нормальной плотности.

Аналогично можно найти плотность на бесконечных пластинах

=

1

4π𝑏

𝑒^𝑥'/𝑏

√𝑒^2𝑥'/𝑏+1

(20)

При 𝑥'=0 плотность составляет 2^-½ от нормальной плотности.

В сторону положительных 𝑥' на расстоянии от границы, превышающем в 𝑛 раз ширину граничной полосы, плотность меньше нормальной примерно на 1/(2^2𝑛+1) от нормальной плотности. На таком же расстоянии в сторону отрицательных 𝑥' плотность составляет примерно 2^-𝑛 от нормальной плотности.

Эти результаты позволяют судить о степени точности, на которую можно рассчитывать при применении этих методов к пластинам ограниченных размеров или при наличии нерегулярностей недалёко от границы. Такое же распределение имело бы место и в случае бесконечной последовательности одинаковых пластин на равных расстояниях друг от друга, потенциалы которых попеременно равны +𝑉 и -𝑉. В этом случае расстояние между пластинами следует принять равным 𝐵.

197. (2) Второй случай, который мы рассмотрим,– это случай бесконечной совокупности плоскостей параллельных 𝑥'𝑧, отстоящих друг от друга на расстояние 𝐵=π𝑏 и ограничиваемых плоскостью 𝑦'𝑧, так что они расположены лишь с отрицательной стороны от этой плоскости. Если считать φ потенциальной функцией, то эти плоскости можно рассматривать как проводники под нулевым потенциалом.

Рассмотрим кривые постоянного φ.

При 𝑦'=𝑛π𝑏, т.е. на продолжении каждой плоскости,

𝑥'

=

𝑏 ln ½

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)

.

(21)

При 𝑦'=(𝑛+½)π𝑏, т.е. в промежуточных положениях,

𝑥'

=

𝑏 ln ½

(𝑒

^φ

–𝑒

^-φ

)

.

(22)

Таким образом, при больших φ кривая постоянного φ имеет волнообразный характер.

Среднее её расстояние от оси 𝑦' приблизительно равно

𝑎

=

𝑏

(φ-ln 2)

,

(23)

а амплитуда колебаний по обе стороны от этой прямой равна

½𝑏 ln

𝑒^φ+𝑒^-φ

𝑒^φ-𝑒^-φ

.

(24)

При больших φ эта величина стремится к 𝑏𝑒^-2φ, так что кривая приближается к прямой линии, параллельной оси 𝑦' и находящейся на расстоянии 𝑎 от этой оси с положительной стороны.

Если принять, что плоскость 𝑥'=𝑎 поддерживается под постоянным потенциалом, а система параллельных плоскостей – под другим потенциалом, то, поскольку 𝑏φ=𝑎+𝑏 ln 2, поверхностная плотность электричества, наведённого на плоскости, такая же, как при помещении плоскости, параллельной данной, при потенциале, равном потенциалу последовательности плоскостей, на расстоянии, превышающем расстояние до краёв плоскостей на 𝑏 ln 2.

Если 𝐵 – расстояние между двумя плоскостями бесконечной последовательности, 𝐵=π𝑏, то дополнительное расстояние равно

α

=

𝐵

ln 2

π

(25)

198. Рассмотрим теперь объём, заключённый между двумя эквипотенциальными поверхностями, одна из которых состоит из последовательности параллельных волн, а вторая соответствует большим значениям φ и может приближённо считаться плоской.

Если 𝐷 – глубина этих колебаний, измеряемая от вершины до впадины каждой волны, то для соответствующего значения φ получим

φ

=

1

2

𝑒^𝐷/𝑏+1

𝑒^𝐷/𝑏+1

.

(26)

Значение 𝑥' в вершине волны равно

𝑏 ln

1

2

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)

.

(27)

Таким образом ², если 𝐴 – расстояние от вершин волн до противолежащей плоскости, то ёмкость системы, состоящей из плоской поверхности, и волнообразной поверхности такая же, как для двух плоскостей, находящихся на расстоянии 𝐴+α', где

α'

=

𝐵

π

ln

2

1+𝑒^-π𝐷/𝐵

(28)

² Пусть Φ – потенциал плоскости, а φ – потенциал волнообразной поверхности. Количество электричества на плоскости, приходящееся на единицу площади, равно 1/4 π𝑏. Следовательно, ёмкость =1/4 π𝑏(Φ-φ), 1/4 π(𝐴+α) (по предположению). Таким образом, 𝐴+α=𝑏(Φ-φ) Но 𝐴+𝑏 ln

𝑒^φ+𝑒^-φ

2 = 𝑏(Φ-ln 2) . Следовательно, α = -𝑏φ + 𝑏 ( ln 2 + ln

1

2 (𝑒^φ+𝑒^-φ) ) = 𝑏 ln (1+𝑒^-2φ) = 𝑏 ln

2

1+𝑒^𝐷/𝑏 , согласно (26).

199. Если в проводнике с плоской поверхностью проделана отдельная канавка такой формы, а другой проводник представляет собой плоскую поверхность на расстоянии 𝐴 то ёмкость одного проводника по отношении к другому при этом уменьшается. Уменьшение ёмкости не превышает (1/𝑛)-й части уменьшения, вызываемого 𝑛 такими рядом расположенными канавками, потому что в последнем случае средняя электрическая сила между проводниками будет меньше, чем в. первом, так что индукция на поверхности каждой канавки будет уменьшена за счёт соседних канавок.

Пусть 𝐿 – длина, 𝐵 – ширина, 𝐷 – глубина канавки. Ёмкость участка противостоящей плоскости площади 𝑆 будет равна

𝑆-𝐿𝐵

4π𝐴

+

𝐿𝐵

4π(𝐴+α')

=

𝑆

4π𝐴

–

𝐿𝐵

4π𝐴

α'

𝐴+α'

.

(29)

При 𝐴 много больше 𝐵 или α поправка, согласно (28), принимает вид

𝐿

4π²

𝐵²

𝐴²

ln

2

1+𝑒^-π𝐷/𝐵

(30)

а для щели бесконечной глубины, полагая 𝐷=∞, получим

𝐿

4π²

𝐵²

𝐴²

ln 2

.

(31)

Чтобы найти поверхностную плотность на семействе параллельных пластин, нужно определить

σ

=

1

4π

𝑑ψ

𝑑𝑥'

при φ=0. Расчёт даёт

σ

=

1

√𝑒^-2𝑥'/𝑏-1

.

(32)

Средняя плотность на плоской пластине, находящейся на расстоянии 𝐴 от краёв семейства пластин, равна σ=1/(4π𝑏) Следовательно, на расстоянии 𝑛α от края каждой пластины поверхностная плотность равна (2^2𝑛-1)^-1/2 от этой средней плотности.

200. Попытаемся теперь вывести из наших результатов распределение электричества в конфигурации в виде семейства коаксиальных цилиндров перед плоскостью, образуемой вращением двумерной системы из п. 197 вокруг оси 𝑦'=𝑅. В этом случае уравнение Пуассона примет вид

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

+

1

𝑅+𝑦'

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

+

4πρ

=

0.

(33)

Примем, что 𝑉 равно функции φ из п. 193, и определим значение ρ из этого уравнения. Мы знаем, что первые два члена сократятся, так что

ρ

=-

1

4π

1

𝑅+𝑦'

𝑑φ

𝑑𝑦'

.

(34)

Если предположить, что, кроме уже рассмотренной ранее поверхностной плотности, имеет место объёмное распределение электричества по установленному выше закону, то распределение потенциала будет даваться кривыми на рис. XI.

Но из рис. XI видно, что 𝑑φ/𝑑𝑦' очень мало́, за исключением областей вблизи границ пластин, так что это новое распределение можно приблизительно представить некоторым поверхностным распределением электричества у краёв пластин.

Если, следовательно, вычислить интеграл ∫ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦' от 𝑦'=0 до 𝑦'=π𝑏/2 и от 𝑥'=-∞ до 𝑥'=+∞, то можно найти полный дополнительный заряд на одной стороне пластин, обусловленный кривизной.

Поскольку

𝑑φ

𝑑𝑦'

=

–

𝑑ψ

𝑑𝑥'

,

то

∞

∫

–∞

ρ𝑑𝑥'

=

∞

∫

–∞

1

4π

1

𝑅+𝑦'

𝑑ψ

𝑑𝑥'

=

1

4π

1

𝑅+𝑦'

(ψ

_∞

–ψ

_-∞

)

=

=

1

8

1

𝑅+𝑦'

⎛

⎜

⎝

2

𝑦'

𝐵

–1

⎞

⎟

⎠

.

(35)

Интегрируя по 𝑦', получим

𝐵/2

∫

0

∞

∫

–∞

ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦'

=

1

8

–

1

8

2𝑅+𝐵

𝐵

ln

2𝑅+𝐵

2𝑅

,

(36)

=-

1

32

𝐵

𝑅

+

1

192

𝐵²

𝑅²

+

….

(37)

Это выражение даёт половину полного количества электричества, приходящегося на единицу длины, которое мы должны считать распределённым в пространстве вблизи края одного из цилиндров. Поскольку эта объёмная плотность заметна лишь вблизи края пластины, мы можем считать всё электричество сосредоточенным на поверхности пластины, не изменив при этом заметным образом его воздействие на противолежащую плоскую поверхность. При расчёте притяжения этой поверхности к цилиндрической поверхности мы можем считать это электричество расположенным на цилиндрической поверхности.

Если бы никакой кривизны не было, то избыточный заряд на положительной стороне пластины, приходящийся на единицу длины, был бы равен

-

0

∫

–∞

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

=

1

4π

(ψ

₀

–ψ

_-∞

)

=-

1

8

.

Следовательно, при добавлении сюда полного найденного выше распределения этот заряд следует умножить на множитель 1+(𝐵/2𝑅), чтобы получить полный заряд на положительной стороне.

Для диска радиуса 𝑅, помещённого между двумя параллельными плоскостями на расстоянии 𝐵, мы получим следующее выражение для ёмкости диска:

𝐵²

𝑅

+2

ln 2

π

𝑅

+

1

2

𝐵.

(38)

Теория томсоновского защитного кольца

201. В некоторых электрометрах Сэра У. Томсона большая плоская поверхность (большой диск) поддерживается под некоторым потенциалом, а на расстоянии 𝐴 от этой поверхности помещён плоский диск радиуса 𝑅, окружённый большой плоской пластиной, называемой Защитным кольцом, в которой имеется круглое отверстие радиуса 𝑅', концентрическое диску. Этот диск и пластина поддерживаются под нулевым потенциалом.

Промежуток между диском и защитной пластиной можно рассматривать как круглую канавку бесконечной глубины и ширины 𝑅'-𝑅, которую мы обозначим через 𝐵.

Заряд на диске, обусловленный единичным потенциалом большого диска, будет в предположении однородной плотности равен 𝑅²/4𝐴

Заряд с одной стороны прямолинейной канавки ширины 𝐵, длины 𝐿=2π𝑅 и бесконечной глубины может быть оценён по числу силовых линий, исходящих из большого диска и попадающих на эту сторону канавки. Таким образом, согласно п. 198 и примечанию, заряд равен

1

2

𝐿𝐵

×

1

4π𝑏

, т.е.

1

4

𝑅𝐵

𝐴+α'

,

поскольку в этом случае Φ=1, φ=0 и, следовательно, 𝑏=𝐴+α'.

Но так как канавка не прямолинейна, а имеет радиус кривизны 𝑅, то полученный результат следует умножить на 1+(𝐴/2𝑅).

Следовательно, полный заряд на диске равен

𝑅²

4𝐴

+

1

4

𝑅𝐵

𝐴+α

⎛

⎜

⎝

1

+

𝐵

2𝑅

⎞

⎟

⎠

(39)

=

𝑅²+𝑅'²

8𝐴

–

𝑅'²-𝑅²

8𝐴

α'

𝐴+α'

.

(40)

Величина α' не может быть больше, чем (𝐵 ln 2)/π≈0,22𝐵.

Если 𝐵 мало по сравнению с 𝐴 или 𝑅, то это выражение даёт достаточно хорошее приближение для заряда на диске, обусловленного единичной разницей потенциалов. Отношение 𝐴 к 𝑅 может быть при этом произвольным, но разность между радиусом большого диска или защитного кольца и радиусом 𝑅 должна быть в несколько раз больше 𝐴.

Пример VII. Рис. XII

202. Гельмгольц в своём мемуаре о разрывном течении жидкости ³ указал на применение некоторых формул, в которых координаты выражены как функции потенциала и сопряжённой ему функции.

³Monatsberichte der Konigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin, April 23, 1868, p. 215

Одна из его формул может быть применена к случаю заряженной пластины конечных размеров, расположенной параллельно заземлённой бесконечной плоской поверхности.

Поскольку 𝑥₁=𝐴φ и 𝑦₁=𝐴ψ, а также 𝑥₂=𝐴𝑒^φ cosψ и 𝑦₂=𝐴𝑒^φ sinψ являются сопряжёнными функциями от φ и ψ, то функции, получающиеся сложением 𝑥₁ и 𝑥₂, 𝑦₁ и 𝑦₂, тоже будут сопряжёнными. Поэтому, если 𝑥=𝐴φ+𝐴𝑒^φ cosψ, 𝑦=𝐴ψ+𝐴𝑒^φ cosψ, то 𝑥 и 𝑦 сопряжены по отношению φ и ψ, а φ и ψ сопряжены по отношению к 𝑥 и 𝑦.

Пусть теперь 𝑥 и 𝑦 – прямолинейные координаты, а 𝑘ψ – потенциал. Тогда 𝑘φ сопряжено 𝑘ψ (𝑘 – постоянная).

Положим ψ=π тогда 𝑦=𝐴π, 𝑥=𝐴(φ-𝑒^φ). При изменении φ от -∞ до 0 и затем от 0 до +∞ 𝑥 меняется от -∞ до -𝐴 и от -𝐴 до -∞. Таким образом, эквипотенциальная поверхность, для которой ψ=π, представляет собой плоскость, параллельную 𝑥𝑧, находящуюся на расстоянии 𝑏=π𝐴 от начала координат и простирающуюся от 𝑥=-∞ до 𝑥=-𝐴.

Рассмотрим часть этой плоскости, простирающуюся от 𝑥=-(𝐴+𝑎) до 𝑥=-𝐴 и от 𝑧=0 до 𝑧=𝑐, расположенную на расстоянии 𝑦=𝑏=𝐴π от плоскости 𝑥𝑧 и находящуюся под потенциалом 𝑉=𝑘ψ=𝑘π.

Электрический заряд на рассмотренной части плоскости может быть найден по значениям φ в крайних её точках.

Таким образом, нам нужно определить φ из уравнения 𝑥=-(𝐴+𝑎)=𝐴(φ-𝑒^φ). Для φ получается отрицательное значение φ₁ и положительное значение φ₂. На краю плоскости при 𝑥=-𝐴. φ=0. Таким образом, заряд на одной стороне плоскости равен -𝑐𝑘φ₁/4π, а на другой, 𝑐𝑘φ₂/4π. Оба эти заряда положительны, и их сумма равна 𝑐𝑘(φ₂-φ₁)/4π.

Если считать, что 𝑎 много больше 𝐴, то

φ

₁

=

–

𝑎

𝐴

–1

+exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑎

𝐴

–1

+exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑎

𝐴

–1

+exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑎

𝐴

–1…

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

,

φ

₂

=

ln

⎧

⎨

⎩

𝑎

𝐴

+1+ln

⎛

⎜

⎝

𝑎

𝐴

+1+…

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

Если пренебречь экспоненциальным членом в φ₁, то легко видеть, что заряд на отрицательной поверхности превышает заряд, который был бы при однородной поверхностной плотности, равной её значению вдали от границы, на величину заряда полосы шириной 𝐴=𝑏/π с той же однородной поверхностной плотностью.

Полная ёмкость рассмотренной части плоскости равна

𝐶

=

𝑐

4π²

(φ

₂

–φ

₁

)

.

Полный заряд равен 𝐶𝑉 а притяжение к бесконечной плоскости 𝑦=0 под потенциалом ψ=0 равно

-

1

2

𝑉²

𝑑𝐶

𝑑𝑏

=

𝑉²

𝑎𝑐

8π³𝐴²

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

1+

𝐴

𝑎

1+

𝐴

ln

𝑎

𝑎

𝐴

+

𝑒

^-𝑎/𝐴

+…

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

=

=

𝑉²𝑐

8π𝑏²

⎧

⎨

⎩

𝑎+

𝑏

π

–

𝑏²

π²𝑎

ln

𝑎π

𝑏

+…

⎫

⎬

⎭

.

Эквипотенциальные и силовые линии приведены на рис. XII.