Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 33 (всего у книги 34 страниц)

Можно предположить, что проводник 𝐵𝑂𝐶 представляет собой провод с однородным сопротивлением, разделённый на равные части, и поэтому отношение сопротивлений 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶 можно отсчитывать сразу.

Можно не делать весь проводник однородным, а сделать из однородного провода только часть проводника, прилегающую к точке 𝑂, а те части, которые находятся по обе стороны, могут быть катушками любой формы, сопротивление которых точно известно.

Теперь мы будем использовать обозначения, отличающиеся от симметричных обозначений, с которых мы начали.

Пусть сопротивление 𝐵𝐴𝐶 равно 𝑅, 𝑐=𝑚𝑅 и 𝑏=(1-𝑚)𝑅, полное сопротивление 𝐵𝑂𝐶 равно 𝑆, β=𝑛𝑆 и γ=(1-𝑛)𝑆.

Величина 𝑛 отсчитывается непосредственно, а величина 𝑚 определяется по 𝑛 в положении, когда нет заметного отклонения гальванометра.

Обозначим сопротивление батареи и её соединений через 𝐵, а сопротивление гальванометра и его соединений – через 𝐺.

Находим, как раньше,

𝐷

=

𝐺

{

𝐵𝑅

+

𝐵𝑆

+

𝑅𝑆

}

+

𝑚(1-𝑚)𝑅²(𝐵+𝑆)

+

+

𝑛(1-𝑛)𝑆(𝐵+𝑅)

+

(𝑚+𝑛-2𝑚𝑛)𝐵𝑅𝑆

,

и если ξ – ток в проводе гальванометра, то

ξ

=

𝐸𝑅𝑆

𝐷

(𝑚-𝑛)

.

Чтобы получить наиболее точные результаты, мы должны сделать отклонение стрелки настолько большим, насколько это возможно в сравнении с (𝑚-𝑛) Этого можно добиться, подбирая надлежащим образом размеры гальванометра и провод стандартного сопротивления.

Когда мы дойдём до Гальванометрии, п. 716, будет показано, что если у проволоки в гальванометре менять форму, оставляя неизменной массу, то отклонение стрелки на единицу тока пропорционально длине, но сопротивление возрастает как квадрат длины. Отсюда следует, что максимальное отклонение имеет место в том случае, когда сопротивление проволоки в гальванометре равно постоянному сопротивлению остальной цепи.

Для настоящего случая, если отклонение обозначить через δ, имеем δ=𝐶√𝐺ξ, где 𝐶 – некоторая постоянная, a 𝐺 – сопротивление гальванометра, которое меняется как квадрат длины проволоки. Отсюда мы находим, что, когда величина δ достигает максимума, та часть выражения для 𝐷, которая содержит 𝐺, должна быть равна остальной части выражения.

Если мы также положим 𝑚=𝑛 как это имеет место в случае, если мы произвели правильное измерение, мы находим, что наилучшее значение 𝐺 равно 𝐺=𝑛(1-𝑛)(𝑅+𝑆).

Этот результат легко получить, рассматривая сопротивление системы между точками 𝐴 и 𝑂 с учётом того, что отрезок 𝐵𝑀 сопряжён отрезку 𝐴𝑂 и не влияет на это сопротивление.

Таким же путём мы могли бы найти, что если задана полная площадь активных поверхностей батареи, то, поскольку в этом случае величина 𝐸 пропорциональна √𝐵, наиболее выгодное устройство батареи достигается при условии

𝐵

=

𝑅𝑆

𝑅+𝑆

.

Наконец, мы определим такое значение 𝑆, при котором данное изменение величины 𝑛 вызывает наибольшее отклонение гальванометра. Дифференцируя по 𝑆 выражения для ξ мы находим, что оно максимально при

𝑆²

=

𝐵𝑅

𝐵+𝑅

⎛

⎜

⎝

𝑅

+

𝐺

𝑛(1-𝑛)

⎞

⎟

⎠

.

Если нам нужно проделать очень много измерений сопротивления, в которых величина имеющихся сопротивлений примерно одна и та же, имеет смысл специально подготовить для этой цели батарею и гальванометр. В этом случае мы находим, что наилучшее устройство достигается при 𝑆=𝑅, 𝐵=½𝑅, 𝐺=2𝑛(1-𝑛)𝑅, и если 𝑛=½, то 𝐺=½𝑅.

Об использовании Мостика Уитстона

350. Мы уже объяснили общую теорию Мостика Уитстона, теперь рассмотрим некоторые из его применений.

С наибольшей точностью может быть проведено сравнение двух равных сопротивлений.

Предположим, что β – стандартная катушка сопротивления и мы хотим отрегулировать катушку γ так, чтобы по своему сопротивлению она была равна β [рис. 33].

Рис. 33

Приготовляются ещё две катушки 𝑏 и 𝑐, которые равны или почти равны друг другу, и электроды всех четырёх катушек помещаются в ртутные чашки таким образом, что ток батареи разделяется между двумя ветвями, из которых одна состоит из β и γ, а другая – из 𝑏 и 𝑐. Катушки 𝑏 и 𝑐 соединены проводом 𝑃𝑅, сопротивление которого настолько однородно, насколько это возможно. Вдоль провода 𝑃𝑅 расположена шкала с равными делениями.

Провод гальванометра подведён одним концом к точке соединения β и γ, другим – к точке 𝑄 на проводе 𝑃𝑅, и точка контакта 𝑄 перемещается до такого положения, при котором после замыкания сначала цепи батареи, а затем цепи гальванометра не наблюдается отклонения стрелки гальванометра.

После этого катушки β и γ меняют местами и отыскивается новое положение 𝑄. Если это новое положение оказывается тем же, что и старое, то мы знаем, что перемена местами сопротивлений β и γ не привела к изменению в соотношении сопротивлений, и, следовательно, катушка у отрегулирована правильно. Если контакт 𝑄 нужно перемещать, то направление и величина перемещения указывают на характер и величину изменений в длине провода γ, после которых сопротивление катушки у станет таким же, как у катушки β.

Если сопротивления катушек 𝑏 и 𝑐, каждое из которых включает в себя сопротивление части провода 𝑃𝑅 до его нулевого отсчёта, равны соответственно сопротивлениям бис делений провода и если 𝑥 – показание шкалы для точки 𝑄 в первом случае, а 𝑦 – во втором, то

𝑐+𝑥

𝑏-𝑥

=

β

γ

,

𝑐+𝑦

𝑏-𝑦

=

γ

β

,

откуда

γ²

β²

=

1-

(𝑏+𝑐)(𝑦-𝑥)

(𝑐+𝑥)(𝑏-𝑦)

Поскольку величина 𝑏-𝑦 примерно равна величине 𝑐+𝑥 и обе эти величины велики в сравнении с 𝑥 или 𝑦 мы можем записать последнее равенство в виде

γ²

β²

=

1+4

𝑦-𝑥

𝑏+𝑐

и

γ

=

β

⎛

⎜

⎝

1+2

𝑦-𝑥

𝑏+𝑐

⎞

⎟

⎠

После того как величина γ подобрана настолько хорошо, насколько это возможно, мы заменяем катушки 𝑏 и 𝑐 на другие, сопротивление которых, скажем, в десять раз больше.

Остающееся различие между β и γ вызовет теперь в десять раз большее различие в положении 𝑄 чем при первоначальных катушках 𝑏 и 𝑐, и таким путём мы можем постепенно увеличивать точность сравнения.

Регулировка с помощью провода со скользящим контактом проводится быстрее, чем при использовании ящика сопротивлений, и позволяет плавное изменение.

Ни в коем случае нельзя вместо гальванометра вводить в провод со скользящим контактом батарею, потому что прохождение сильного тока в точке контакта может повредить поверхность провода. Поэтому такое устройство рассчитано для случая, в котором сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.

³ Если γ – измеряемое сопротивление, 𝑎 – сопротивление батареи и α – сопротивление гальванометра, то наилучшие значения других сопротивлений, как показал м-р Оливер Хэвисайд (Phil. Mag., Feb., 1873), равны

𝑐

=

√

𝑎α

,

𝑏

=

⎛

⎜

⎝

𝑎γ

α+γ

𝑎+γ

⎞

⎟

⎠

,

β

=

⎛

⎜

⎝

αγ

𝑎+γ

α+γ

⎞

⎟

⎠

.

³ Последний абзац п. 350 отсутствует в первом издании.– Примеч. ред.

Об измерении малых сопротивлений

351. Если в цепь вводится короткий и толстый проводник, его сопротивление оказывается настолько малым по сравнению с сопротивлением, возникающим из-за неизбежных дефектов в соединениях, таких, как плохие контакты или несовершенная пайка, что с помощью описанных выше способов нельзя получить правильную величину сопротивления.

Цель подобных экспериментов, как правило, состоит в том, чтобы определить удельное сопротивление вещества, и к ним прибегают в тех случаях, когда вещество не может быть получено в виде длинной тонкой проволоки или когда нужно определить как продольную, так и поперечную проводимость.

Сэр У. Томсон ⁴ описал применимый к подобным случаям метод, который мы можем рассматривать как пример системы, состоящей из девяти проводников.[рис. 34].

⁴Proc. R. S., June 6, 1881.

Рис. 34

Самая главная часть метода состоит в измерении сопротивления не проводника полной длины, а части проводника, заключённой между двумя отметками на некотором малом расстоянии от его концов.

Сопротивление, которое мы хотим измерить,– это сопротивление, испытываемое током, величина которого однородна в любом сечении проводника и который течёт в направлении, параллельном оси проводника. Но непосредственно вблизи концов, когда ток подводится с помощью электродов, припаянных, амальгамированных или просто прижатых к концам проводника, однородность в распределении тока по проводнику, как правило, отсутствует. На малых расстояниях от краёв ток становится заметно однородным. Читатель может убедиться в этом, обратившись к исследованию и графикам в п. 193, где ток входит в металлическую пластину с параллельными границами через одну из границ, но быстро становится параллелен границам.

Требуется сравнить сопротивление проводников между определёнными отметками 𝑆, 𝑆' и 𝑇, 𝑇'.

Проводники включаются последовательно в цепь батареи, обладающей малым сопротивлением, причём соединения должны быть настолько идеально проводящими, насколько это возможно. Провод подводится к проводникам в точках 𝑆 и 𝑇, другой провод 𝑆'𝑉'𝑇' касается проводников в точках 𝑆' и 𝑇'.

Рис. 35

Провода гальванометра соединены с точками 𝑉 и 𝑉' этих проводов [рис. 35].

Сопротивления проводов 𝑆𝑉𝑇 и 𝑆'𝑉'𝑇' настолько велики, что сопротивлением, происходящим от несовершенства соединений в точках 𝑆, 𝑇, 𝑆' или 𝑇', можно пренебречь в сравнении с сопротивлением провода. Точки 𝑉 и 𝑉' подбираются так, чтобы сопротивления ветвей каждого провода, ведущих к двум проводникам, относились друг к другу приблизительно так же, как сопротивления этих двух проводников.

Обозначим через 𝐻 и 𝐹 сопротивления проводников 𝑆𝑆' и 𝑇𝑇'.

« » 𝐴 и 𝐶 сопротивления ветвей 𝑆𝑉 и 𝑉𝑇.

« » 𝑃 и 𝑅 сопротивления ветвей 𝑆'𝑉' и 𝑉'𝑇'.

« » 𝑄 сопротивление соединительной части 𝑆'𝑇'.

« » 𝐵 сопротивление батареи и её соединений.

« » 𝐺 сопротивление гальванометра и его соединений.

Симметрия системы может быть уяснена с помощью скелетной схемы, изображённой на рис. 34.

Условие, при выполнении которого батарея 𝐵 и гальванометр 𝐺 могут быть сопряжёнными проводниками, в этом случае таково:

𝐹

𝐵

–

𝐻

𝐴

+

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝐵

–

𝑃

𝐴

⎞

⎟

⎠

𝑄

𝑃+𝑄+𝑅

=

0.

Но сопротивление 𝑄 соединительного провода является настолько малым, насколько это возможно. Если бы оно равнялось нулю, это уравнение свелось бы к следующему: (𝐹/𝐶)=(𝐻/𝐴), и отношение сравниваемых между собой сопротивлений равнялось бы отношению 𝐶 к 𝐴, как в обычном Мостике Уитстона.

Рис. 36

В нашем случае величина 𝑄 мала в сравнении с 𝑃 или 𝑅, и, если мы выберем точки 𝑉 и 𝑉' таким образом, чтобы отношение 𝑅 к 𝐶 приблизительно равнялось отношению 𝑃 к 𝐴, последний член в уравнении исчезнет, и мы будем иметь

𝐹

𝐻

=

𝐶

𝐴

.

Успех этого метода в некоторой степени зависит от совершенства контактов между проводами и сравниваемыми проводниками в точках 𝑆, 𝑆', 𝑇 и 𝑇'. Следующий метод, который применяют г-да Матиссен и Хоккин ⁵, позволяет обойтись без этого ограничения.

⁵Laboratory. Matthiessen and Hockin on Alloys.

352. Испытуемые проводники располагаются уже описанным образом, причём соединения выполняются как можно лучше. Требуется сравнить сопротивление между отметками 𝑆𝑆' на первом проводнике с сопротивлением между отметками 𝑇𝑇' на втором проводнике.

Два проводящих острия или острых лезвия закреплены в куске изолирующего материала таким образом, что расстояние между ними может быть точно измерено. Это устройство накладывается на испытуемый проводник, и тогда точки контакта с проводником находятся на известном расстоянии 𝑇𝑇' друг от друга. Каждый из этих двух контактов соединён со ртутной чашкой, в которую может быть погружён один из электродов гальванометра [рис. 36].

В остальном прибор устроен так же, как Мостик Уитстона, с катушками или ящиками сопротивлений 𝐴 и 𝐶 провод 𝑃𝑅 снабжён скользящим контактом 𝑄, к которому присоединён другой электрод гальванометра.

Пусть гальванометр соединён с точками 𝑆 и 𝑄 и пусть мы так подобрали со противления 𝐴₁ и 𝐶₁ и так определили положение 𝑄 (обозначим это положение 𝑄₁), что в проводе гальванометра нет тока.

Тогда мы знаем, что

𝑋𝑆

𝑆𝑌

=

𝐴₁+𝑃𝑄₁

𝐶₁+𝑄₁𝑅

,

где 𝑋𝑆, 𝑃𝑄₁ и т. д. обозначают сопротивления соответствующих проводников.

Отсюда мы получаем

𝑋𝑆

𝑋𝑌

=

𝐴₁+𝑃𝑄₁

𝐴₁+𝐶₁+𝑃𝑅

.

Пусть теперь электрод гальванометра присоединён к 𝑆' и пусть сопротивление передаётся от 𝐶 к 𝐴 (путём переноса катушек сопротивления с одной стороны на другую) до тех пор, пока не возникнет возможность установить электрическое равновесие гальванометра, поместив 𝑄 в некоторой точке провода, скажем в точке 𝑄₂. Пусть в этом случае значения 𝐶 и 𝐴 равны 𝐶₂ и 𝐴₂. Положим

𝐴

₂

+

𝐶

₂

+

𝑄𝑅

=

𝐴

₁

+

𝐶

₁

+

𝑄𝑅

=

𝑅

.

Тогда получаем, как раньше,

𝑋𝑆'

𝑋𝑌

=

𝐴₂+𝑃𝑄₂

𝑅

,

откуда

𝑆𝑆'

𝑋𝑌

=

𝐴₂-𝐴₁+𝑄₁𝑄₂

𝑅

.

Точно так же, помещая это устройство на второй проводник в точках 𝑇, 𝑇' и снова перенося сопротивление, мы получаем при положении электрода в 𝑇'

𝑋𝑇'

𝑋𝑌

=

𝐴₃+𝑃𝑄₃

𝑅

,

а при положении электрода в 𝐼 имеем

𝑋𝑇

𝑋𝑌

=

𝐴₄+𝑃𝑄₄

𝑅

.

Отсюда

𝑇'𝑇

𝑋𝑌

=

𝐴₄-𝐴₃+𝑄₃𝑄₄

𝑅

.

Теперь мы можем вывести отношение сопротивлений 𝑆𝑆' и 𝑇'𝑇:

𝑆𝑆'

𝑇'𝑇

=

𝐴₂-𝐴₁+𝑄₁𝑄₂

𝐴₄-𝐴₃+𝑄₃𝑄₄

.

Если не требуется большой точности, мы можем не учитывать катушек сопротивления 𝐴 и 𝐶 и тогда находим

𝑆𝑆'

𝑇'𝑇

=

𝑄₁𝑄₂

𝑄₃𝑄₄

.

Отсчёты положения 𝑄 на проводе длиною в метр не могут превышать точность в одну десятую миллиметра, а сопротивление на разных участках может существенно различаться из-за неравенства температуры, трения и т. д. Поэтому в тех случаях, когда требуется большая точность, в 𝐴 и 𝐶 вводятся катушки со значительным сопротивлением, и отношение сопротивлений этих катушек может быть определено более точно, чем отношение сопротивлений тех частей, на которые разделяется провод точкой 𝑄.

В дальнейшем будет видно, что в этом методе точность определения ни в какой степени не зависит от совершенства контактов в 𝑆, 𝑆' или 𝑇', 𝑇.

Этот метод можно назвать дифференциальным методом использования Мостика Уитстона, поскольку он основан на сравнении независимо сделанных наблюдений.

Существенным условием точности в этом методе является условие, чтобы сопротивление соединений оставалось тем же самым в продолжение цикла из четырёх измерений, необходимых для полного определения. Поэтому серию измерений следует всегда повторять, чтобы отметить любое изменение в сопротивлениях.

О сравнении больших сопротивлений

353. Когда сопротивления, которые нужно измерить, очень велики, сравнение потенциалов в различных точках системы может быть проведено с помощью чувствительного электрометра, такого, как Квадрантный Электрометр, описанный в п. 219.

Если проводники, сопротивление которых требуется измерить, соединены последовательно и через них проходит один и тот же ток от батареи с большой электродвижущей силой, разность потенциалов на концах каждого проводника будет пропорциональна сопротивлению этого проводника. Поэтому, соединяя электроды электрометра с концами сначала одного, а затем другого проводника, можно определить отношение их сопротивлений.

Этот метод определения сопротивлений является самым прямым. Он связан с использованием электрометра, на показания которого можно полагаться, и мы также должны иметь некоторую гарантию того, что во время эксперимента ток остаётся постоянным.

Четыре проводника с большим сопротивлением можно также расположить по схеме Мостика Уитстона, при этом сам Мостик может быть образован электродами электрометра, а не электродами гальванометра. Преимущество этого метода заключается в том, что для отклонения стрелки электрометра не требуется постоянного тока, в то время как стрелка гальванометра не может отклоняться, если по проводу не идёт постоянный ток.

354. Если сопротивление проводника настолько велико, что ток, который может создать в нём любая достижимая электродвижущая сила, является слишком малым для прямого измерения с помощью гальванометра, можно использовать конденсатор, для того чтобы в течение определённого времени накапливать электричество, а затем оценить накопленное количество, разряжая конденсатор через гальванометр. Этот метод предложили г-да Брайт (Bright) и Кларк (Clark) для испытания соединений в подводных кабелях.

355. Но самый простой метод, позволяющий измерить сопротивление такого проводника,– это зарядить конденсатор большой ёмкости, а затем соединить две его поверхности с электродами электрометра, а также с концами этого проводника. Если 𝐸 – разность потенциалов, которую показывает электрометр, 𝑆 – ёмкость конденсатора, 𝑄 – заряд на каждой из двух поверхностей, 𝑅 – сопротивление проводника и 𝑥 – ток в нём, то по теории конденсаторов 𝑄=𝑆𝐸.

По Закону Ома 𝐸=𝑅𝑥, и по определению тока 𝑥=-(𝑑𝑄/𝑑𝑡).

Отсюда -𝑄=𝑅𝑆/(𝑑𝑄/𝑑𝑡) и 𝑄=𝑄₀𝑒^{-𝑡/(𝑅𝑆)}, где 𝑄₀ – заряд вначале, при 𝑡=0.

Аналогичным образом 𝐸=𝐸₀𝑒^{-𝑡/(𝑅𝑆)}, где 𝐸₀ – начальный отсчёт по шкале электрометра, а 𝐸 – отсчёт, сделанный после того, как пройдёт время 𝑡.

Отсюда мы находим

𝑅

=

𝑡

𝑆{ln 𝐸₀-ln 𝐸}

,

что даёт значение 𝑅 в абсолютных единицах. Для пользования этим выражением не требуется знать цену деления по шкале электрометра.

Если ёмкость конденсатора 𝑆 задана в электростатических единицах и равна определённому числу метров, то величина 𝑅 также задана в электростатических единицах, как величина, обратная скорости.

Если ёмкость 𝑆 задана в электромагнитных единицах, её размерность есть 𝑇²𝐿 размерность 𝑅 – скорость.

Поскольку сам конденсатор не является идеальным изолятором, необходимо провести два опыта. В первом мы определяем сопротивление 𝑅₀ самого конденсатора, а во втором-сопротивление конденсатора, когда к его поверхностям присоединён исследуемый проводник. Обозначим это сопротивление 𝑅'. Тогда сопротивление 𝑅 проводника определяется соотношением

1

=

1

–

1

.

𝑅

𝑅'

𝑅

₀

Этот метод был разработан г-дами Сименс.

Метод Томсона ⁶ для определения сопротивления гальванометра

⁶Proc. R. S., Jan. 19, 1871.

356. Сэр У. Томсон с успехом применил устройство, подобное Мостику Уитстона, для того чтобы определить сопротивление гальванометра во время его действия. Наводящей идеей для сэра У. Томсона послужил метод Манса (Mance). См. п. 357.

Рис. 37

Пусть на чертеже в п. 347 батарея, как и раньше, помещена между 𝐵 и 𝐶, но гальванометр помещён не в 𝑂𝐴 а в 𝐶𝐴 [рис. 37]. Если величина 𝑏β-𝑐γ равна нулю, то проводник 𝑂𝐴 сопряжён проводнику 𝐵𝐶 и, поскольку батарея в 𝐵𝐶 не производит никакого тока в 𝑂𝐴, сила тока в любом другом проводнике не зависит от сопротивления 𝑂𝐴. Следовательно, если гальванометр помещён в 𝐶𝐴, его отклонение будет оставаться тем же самым как при малом, так и при большом сопротивлении 𝑂𝐴. Мы поэтому устанавливаем, являются ли показания гальванометра одинаковыми в случаях, когда 𝑂 и 𝐴 соединены проводником с малым сопротивлением и когда это соединение разорвано. Если мы получаем такой результат, подобрав нужным образом сопротивления проводников, мы знаем, что сопротивление гальванометра равно 𝑏=(𝑐γ)/β, где 𝑐, γ и β – катушки сопротивления с известными величинами сопротивлений.

Следует заметить, что хотя этот метод не является нулевым в смысле отсутствия тока в гальванометре, однако он является нулевым методом в том смысле, что наблюдаемый факт является негативным – отклонение гальванометра не меняется при замыкании определённого контакта. Наблюдение такого рода является более ценным, чем наблюдение равенства двух различных отклонений одного и того же гальванометра, потому что в последнем случае имеется время для изменения в силе батареи или в чувствительности гальванометра, если же отклонение остаётся неизменным, несмотря на то, что происходят определённые изменения, которые мы можем повторять по желанию, тогда мы уверены, что ток совершенно не зависит от этих изменений.

Определение сопротивления в катушке гальванометра легко можно выполнить обычным путём с помощью Мостика Уитстона, поместив другой гальванометр в 𝑂𝐴. С помощью описанного здесь метода сам гальванометр используется для того, чтобы измерить своё собственное сопротивление.

Метод Манса ⁷ определения сопротивления батареи

⁷Proc. R. S., Jan. 19, 1871.

357. Измерение сопротивления батареи во время её работы представляет собой задачу намного более высокого порядка трудности, потому что сопротивление батареи, как оказалось, значительно меняется через некоторое время после того, как изменился текущий через неё ток. Во многих методах, обычно применяемых с целью измерить сопротивление батареи, указанные изменения силы тока через батарею происходят в процессе измерений, и поэтому полученные результаты сомнительны.

В методе Манса, свободном от этого возражения, батарея помещается в 𝐵𝐶, а гальванометр – в 𝐶𝐴. После этого соединение между 𝑂 и 𝐵 попеременно замыкается и размыкается [рис. 38].

Рис. 38

При этом отклонение стрелки гальванометра не будет изменяться, как бы ни менялось сопротивление 𝑂𝐵, если только 𝑂𝐵 и 𝐴𝐶 сопряжены. Это можно рассматривать как частный случай результата, полученного в п. 347, или в этом можно убедиться непосредственно, исключив 𝑧 и β из уравнений указанного раздела. Именно, мы тогда получаем

(𝑎α-𝑐γ)𝑥

+

(𝑐γ+𝑐α+𝑐β+𝑏α)𝑦

=

𝐸α

.

Если 𝑧 не зависит от 𝑥, а потому и от β, мы должны иметь 𝑎α=𝑐γ. Таким образом, сопротивление батареи выражается через 𝑐, γ и 𝑎.

Если выполнено условие 𝑎α=𝑐γ, ток 𝑦 через гальванометр определяется соотношением

𝑦

=

𝐸α

𝑐𝑏+α(𝑎+𝑏+𝑐)

=

𝐸γ

𝑎𝑏+γ(𝑎+𝑏+𝑐)

.

Для того чтобы испытать чувствительность этого метода, предположим, что соотношение 𝑐γ=𝑎α выполнено не точно, а приближённо. Пусть ток через гальванометр в случае, когда 𝑂 и 𝐵 соединены проводником без заметного сопротивления, равен 𝑦₀, а в случае, когда 𝑂 и 𝐵 полностью разъединены, ток через гальванометр равен 𝑦₁.

Чтобы найти эти значения, мы должны в общей формуле для 𝑦 положить β=0 и β=∞, а затем сравнить результаты.

Общее значение для 𝑦 таково:

𝑐γ+βγ+γα+αβ

𝐷

𝐸

,

гдe 𝐷 обозначает то же самое выражение, что и в п. 348. Полагая β=0, получаем

𝑦

₀

=

γ𝐸

,

𝑎𝑏+γ(𝑎+𝑏+𝑐)

+

𝑐(𝑎α-𝑐γ)

α+𝑐

=

𝑦+

𝑐(𝑎α-𝑐γ)

γ(𝑐+α)

𝑦²

𝐸

(приближённо).

Полагая β=∞, получаем

𝑦

₁

=

𝐸

,

𝑎+𝑏+𝑐+

𝑎𝑏

–

(𝑎α-𝑐γ)𝑏

γ

(γ+α)γ

=

𝑦-

𝑏(𝑐γ-𝑎α)

γ(γ+α)

𝑦²

𝐸

.

Из этих значений находим

𝑦₀-𝑦₁

𝑦

=

α

γ

𝑐γ-𝑎α

(𝑐+α)(α+γ)

.

Сопротивление 𝑐 проводника 𝐴𝐵 должно быть равно сопротивлению батареи 𝑎; сопротивления α и γ должны быть равны и настолько малы, насколько возможно; наконец, сопротивление 𝑏 должно быть равно 𝑎+γ.

Поскольку гальванометр наиболее чувствителен при малых отклонениях, перед замыканием контакта между 𝑂 и 𝐵 мы должны с помощью закреплённых магнитов довести его стрелку почти до нуля.

В этом методе измерения сопротивления батареи ток в гальванометре никак не влияет на процесс измерения, и мы, таким образом, можем определить сопротивление батареи при любой заданной силе тока в гальванометре и тем самым определить, как сила тока влияет на сопротивление.

Если ток через гальванометр равен 𝑦, а ток, текущий через батарею, равен 𝑥₀ при замкнутом ключе и 𝑥₁ при разомкнутом, где

𝑥

₀

=

𝑦

⎛

⎜

⎝

1+

𝑏

γ

+

α𝑐

γ(α+𝑐)

⎞

⎟

⎠

,

𝑥

₀

=

𝑦

⎛

⎜

⎝

1+

𝑏

α+γ

⎞

⎟

⎠

,

то сопротивление батареи равно

𝑎

=

𝑐γ

α

,

а электродвижущая сила, батареи равна

𝐸

=

𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑏+𝑐

+

𝑐

α

(𝑏+γ)

⎞

⎟

⎠

.

Метод, по которому в п. 356 определялось сопротивление гальванометра, отличается от этого только тем, что контакт замыкается и размыкается между 𝑂 и 𝐴, а не между 𝑂 и 𝐵, и мы можем, поменяв местами α и β, 𝑎 и 𝑏, получить для этого случая

𝑦₀-𝑦₁

𝑦

=

β

γ

𝑐γ-𝑏β

(𝑐+β)(β+γ)

.

О сравнении электродвижущих сил

358. Нижеследующий метод сравнения электродвижущих сил вольтовых и термоэлектрических устройств, при котором через них не проходит токов, нуждается только в наборе катушек сопротивления и в батарее постоянного тока.

Рис. 39

Пусть электродвижущая сила 𝐸 батареи больше, чем электродвижущая сила любого из сравниваемых источников электричества, тогда, если между точками 𝐴₁ и 𝐵₁ первичной цепи 𝐸𝐵₁𝐴₁𝐸 вставлено достаточное сопротивление 𝑅₁, электродвижущая сила от 𝐵₁ до 𝐴₁ может быть сделана равной электродвижущей силе источника электричества 𝐸₁ [рис. 39]. Если теперь электроды этого источника электричества соединить с точками 𝐴₁ и 𝐵₁, то через этот источник не будет течь никакого тока.

Поместив гальванометр 𝐺₁ в цепь источника тока 𝐸₁ и подбирая сопротивление между 𝐴₁ и 𝐵₁ до тех пор, пока не прекратится ток через гальванометр 𝐺₁, мы получаем уравнение 𝐸₁=𝑅₁𝐶, где 𝑅₁ – сопротивление между 𝐴₁ и 𝐵₁, а 𝐶 – сила тока в первичной цепи.

Тем же путём, взяв второй источник тока и поместив его электроды в точках 𝐴₂ и 𝐵₂ таким образом, что гальванометр 𝐺₂ не отмечает тока, мы получим 𝐸₂=𝑅₂𝐶, где 𝑅₂ -сопротивление между 𝐴₂ и 𝐵₂. Если показания гальванометров 𝐺₁ и 𝐺₂ наблюдаются одновременно, значение 𝐶 тока в первичном контуре является одним и тем же в обоих уравнениях, и мы находим 𝐸₁:𝐸₂=𝑅₁:𝑅₂.

Таким путём можно сравнить электродвижущие силы двух источников. Абсолютная электродвижущая сила источника может быть измерена или электростатически, с помощью электрометра, или электромагнитно, с помощью абсолютного гальванометра.

Этот метод, в котором во время сравнения не идёт ток ни через один из источников, представляет собой содификацию метода Поггендорфа и предложен г-ном Латимером Кларком, который вывел следующие значения электродвижущих сил:

Концен

трирован

ный

раствор

Вольты

Даниэль

I.

Амальга

мирован

ный цинк

H

₂

SO

₄

+4 a.q.

CuSO

₄

Медь

1,079

»

II.

»

H

₂

SO

₄

+12 a.q.

CuSO

₄

Медь

0,978

»

III.

»

H

₂

SO

₄

+12 a.q.

Cu(NO

₃

)

₂

Медь

1,000

Бунзен

I.

»

»

HNO

₃

Углерод

1,964

Бунзен

I.

»

»

Уд. вес 1,38

Углерод

1,888

Гроув

»

H

₂

SO

₄

+4 a.q.

HNO

₃

Платина

1,956

Один вольт есть электродвижущая сила, равная 100 000 000 единиц в системе сантиметр-грамм-секунда.

ГЛАВА XII

ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ВЕЩЕСТВ

359. Различные вещества по отношению к прохождению через них электричества мы можем разбить на три класса.

Первый класс содержит все металлы и их сплавы, некоторые соединения серы и другие соединения, содержащие металлы, к которым мы должны добавить углерод в виде кокса и селен в кристаллической форме.

Во всех этих веществах прохождение тока происходит без какого бы то ни было разложения или изменения химической природы вещества как внутри, так и там, где ток входит и выходит из тела. Во всех этих веществах сопротивление растёт по мере того, как температура повышается.

Второй класс состоит из веществ, которые называются электролитами, потому что ток связан с разложением этих веществ на две компоненты, которые появляются у электродов. Как правило, вещество является электролитом только в жидкой фазе, хотя некоторые коллоидные вещества, как, например, стекло при 100°С, которые кажутся твёрдыми, представляют собой электролиты. Из экспериментов сэра Б. Броди (В. С. Brodie) вытекает, что в некоторых газах можно вызвать электролиз с помощью мощной электродвижущей силы.

Во всех веществах, которые проводят электролитически, сопротивление уменьшается с ростом температуры.

Третий класс состоит из веществ, сопротивление которых настолько велико, что только с помощью наиболее тонких методов можно определить прохождение электричества через эти вещества. Они называются Диэлектриками. К этому классу принадлежит значительное количество твёрдых тел, многие из которых в расплавленном состоянии являются электролитами, как, например, скипидар, нефть, расплавленный парафин и т. д., а также все газы и пары. К этому классу относятся углерод в виде алмаза и селен в аморфной форме.

Сопротивление этого класса тел огромно в сравнении с сопротивлением металлов. Оно уменьшается с ростом температуры. Из-за огромного сопротивления этих веществ трудно определить, связан или нет с электролизом тот ничтожный ток, который мы можем вызвать в этих телах.

Об электрическом сопротивлении металлов

360. Нет такого раздела электрических исследований, в котором были бы проведены более многочисленные и более точные эксперименты, чем при определении сопротивления металлов. Для электрической телеграфии необычайно важно, чтобы металл, из которого сделаны провода, имел наименьшее возможное сопротивление. Поэтому перед выбором материала должны быть проведены измерения сопротивления. Если в линии возникнет какая-либо неисправность, её местоположение сразу устанавливается с помощью измерений сопротивления, а эти измерения, в которых ныне занято так много лиц, требуют использования катушек сопротивления, сделанных из металла, электрические свойства которого тщательно исследованы.

Электрические свойства металлов и их сплавов были с большой тщательностью исследованы г-дами Матиссеном (Matthiessen), Фогтом (Vogt) и Хоккином (Hockin), а также г-дами Сименс, которые так много сделали для того, чтобы внедрить точные электрические измерения в практику.

Из исследований д-ра Матиссена вытекает, что влияние температуры на сопротивление оказывается примерно одинаковым для большого числа чистых металлов, причём сопротивление при 100°С относится к сопротивлению при 0°С, как 1,414 относится к 1,000, или 100 к 70,7. Для чистого железа это отношение равно 1,6197, а для чистого таллия 1,458.

Д-р К. В. Сименс ¹ наблюдал сопротивление металлов в гораздо более широком интервале температур, простирающемся от точки замерзания до 350°С, а в некоторых случаях до 1000°С. Он находит, что сопротивление возрастает с ростом температуры, но скорость возрастания уменьшается по мере роста температуры. Формула, которая, по его мнению, очень тесно согласуется и с результатами д-ра Матиссена, измерявшего сопротивления при низких температурах, и сего собственными измерениями в интервале 1000°С, такова: 𝑟=α𝑇^½+β𝑇+γ, где 𝑇 – абсолютная температура, отсчитываемая от -273°С, α, β и γ – постоянные. Таким образом,

для платины

𝑟

=

0,039 369

𝑇

^½

+

0,002 164 07

𝑇

–

0,241 3

;

для меди

𝑟

=

0,026 577

𝑇

^½

+

0,003 144 3

𝑇

–

0,227 51

;

для железа

𝑟

=

0,072 545

𝑇

^½

+

0,00З 813 3

𝑇

–

1,239 71

.

¹Proc. R. S., April. 27, 1871.

Из этих данных можно определить температуру в печи, наблюдая сопротивление платиновой проволоки, помещённой в печь.

Д-р Матиссен обнаружил, что если два металла образуют сплав, сопротивление этого сплава в большинстве случаев оказывается больше, чем то, которое вычисляется по сопротивлению и относительному содержанию составляющих металлов. В случае сплавов золота и серебра сопротивление сплава оказывается больше, чем сопротивление и чистого золота, и чистого серебра, и при изменении в определённых пределах относительного содержания составляющих, оно очень мало меняется при незначительном изменении пропорции. В связи с этим д-р Матиссен предложил для воспроизведения единицы сопротивления сплав из двух частей золота и одной части серебра.

Как правило, влияние изменений температуры на сопротивление оказывается меньше в сплавах, чем в чистых металлах.

Поэтому обычные катушки сопротивления изготовляются из нейзильбера (мельхиора) из-за большой величины его сопротивления и малых изменений с температурой.

Сплав серебра и платины также используется для стандартных катушек.

361. Электрическое сопротивление некоторых металлов меняется после отжига. Поэтому, пока провод не испытан повторным нагреванием до высокой температуры и не установлено, что это не приводит к стойким изменениям сопротивления, на этот провод нельзя полагаться как на меру сопротивления. Некоторые провода изменяют сопротивление с течением времени, не подвергаясь изменениям температуры. Поэтому важно установить удельное сопротивление ртути – металла, который, будучи жидким, имеет всегда одно и то же молекулярное строение и который легко может быть очищен дистилляцией и воздействием азотной кислоты. Большая тщательность была проявлена в определении сопротивления этого металла В. и К. Ф. Сименсами, которые ввели эту величину как стандарт. Их исследования были дополнены исследованиям Матиссена и Хоккина.