Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 34 страниц)

(𝑛+1)𝐴

_𝑛+1.𝑠

=

(2𝑛-2𝑠+1)

𝐴

_𝑛.𝑠

=

–𝐴

_𝑛.𝑠-1

.

(39)

Если положить здесь 𝑠=0, то

(𝑛+1)𝐴

_𝑛+1.0

=

(2𝑛+1)𝐴

_𝑛.0

(40)

и, следовательно, поскольку 𝐴_1.0=1,

𝐴

_𝑛.0

=

2𝑛!

2^𝑛⋅(𝑛!)²

.

(41)

Отсюда находится общее выражение для коэффициента

𝐴

_𝑛.𝑠

=

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2^𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!

(42)

и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники

𝑌

_𝑛

=

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2^𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

⎤

⎥

⎦

.

(43)

Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке 𝑃 сферической поверхности через косинусы расстояний 𝑃 от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга.

Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз.

Если два или любое чётное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.

Профессор Сильвестер показал (Phil. Mag., Oct. 1876), что при заданной гармонике задача определения 𝑛 прямых, совпадающих с её осями, имеет одно и только одно решение, хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные.

134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла ∬𝑌_𝑚𝑌_𝑛𝑑𝑠 в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными.

Для этого нужно построить пространственную гармонику 𝑌^𝑚𝑟_𝑚 и продифференцировать её по каждой из 𝑛 осей 𝑌_𝑛.

Любой член 𝑌^𝑚𝑟_𝑚 типа 𝑟^𝑚μ^𝑚-2𝑠λ^𝑠 может быть представлен в виде

𝑟

^2𝑠

𝑝

𝑚-2𝑠

𝑚

λ

𝑠

𝑛𝑚

.

Дифференцируя его 𝑛 раз последовательно по 𝑛 осям 𝑌_𝑛, мы увидим, что при дифференцировании 𝑟^2𝑠 по 𝑠 из этих осей у нас появятся 𝑠 раз величины 𝑝_𝑛 и численный множитель 2𝑠(2𝑠-2) т. е. 2^𝑠𝑠! Продолжение дифференцирования на следующие 𝑠 осей превращает эти 𝑝_𝑛 в λ_𝑛𝑛, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным 𝑛-2𝑠 осям множители 𝑝_𝑚 переходят в λ_𝑚𝑛, так что в результате получается

2

^𝑠

𝑠!

λ

𝑠

𝑛𝑛

λ

𝑠

𝑚𝑚

λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

.

Таким образом, согласно (31),

∬

𝑌

_𝑚

𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

^𝑛-𝑚+2

𝑑^𝑛(𝑌_𝑚𝑟^𝑚)

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

,

(44)

а по (43)

𝑌

_𝑚

𝑟

^𝑚

=

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑚-2𝑠)!

2^𝑚-𝑠𝑚!(𝑚-𝑠)!

∑

(

𝑟

^2𝑠

𝑝

𝑚-2𝑠

𝑚

λ

𝑠

𝑚𝑚

)

⎤

⎥

⎦

.

(45)

Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что 𝑚=𝑛, получим

∬

𝑌

_𝑚

𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

(2𝑛+1)(𝑛!)²

×

×

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!𝑠!

2^𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!

∑

(

λ

𝑠

𝑚𝑚

λ

𝑠

𝑛𝑛

λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

)

⎤

⎥

⎦

.

(46)

135 а. Выражение (46) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем 𝑌_𝑚, совпадают друг с другом, так что 𝑌_𝑚 становится так называемой «зональной гармоникой порядка 𝑚», определяемой нами ниже и обозначаемой символом 𝑃_𝑚.

В этом случае все косинусы вида λ_𝑛𝑚 можно записать как μ_𝑛 где μ_𝑛 – косинусы угла между общей осью 𝑃_𝑚 и одной из осей 𝑌_𝑚. Косинусы типа λ_𝑚𝑚 все равны единице, так что вместо

∑

λ

𝑠

𝑚𝑚

нужно подставить число сочетаний без повторения индексов по 𝑠 символов из 𝑛, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что

∑

λ

𝑠

𝑚𝑚

=

𝑛!

2^𝑠𝑠!(𝑛-2𝑠)!

.

(47)

Число перестановок оставшихся (𝑛-2𝑠) индексов осей 𝑃_𝑚 равно (𝑛-2𝑠)! Следовательно,

∑

(λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

)

=

(𝑛-2𝑠)!

μ

^𝑛-2𝑠

.

(48)

Таким образом, в случае, когда все оси 𝑌_𝑚 совпадают друг с другом, уравнение (46) принимает вид

∬

𝑌

_𝑛

𝑃

_𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

(2𝑛+1)(𝑛!)²

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2^𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!

∑

(

μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑛

)

⎤

⎥

⎦

(49)

=

4π𝑎²

2𝑛+1

𝑌

_𝑛(𝑚)

, согласно (43),

(50)

где 𝑌_𝑛(𝑚) – значение 𝑌_𝑛 в полюсе 𝑃_𝑚.

К этому результату можно прийти и следующим более коротким путём:

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось 𝑧 совпала с осью 𝑚 и пусть 𝑌_𝑛𝑟^𝑛 представлено как однородная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 степени 𝑛.

В полюсе 𝑃_𝑚 𝑥=𝑦=0, a 𝑧=𝑟 так что если 𝐶𝑧^𝑛 слагаемое, не содержащее 𝑥 и 𝑦, то 𝐶 есть значение 𝑌_𝑛 в полюсе 𝑃_𝑚.

Уравнение (31) принимает в этом случае вид

∬

𝑌

_𝑛

𝑃

_𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

1

𝑛!

𝑑^𝑚

𝑑𝑧^𝑚

(𝑌

_𝑛

𝑟

^𝑛

)

.

Поскольку 𝑚 равно 𝑛, то дифференцирование 𝐶𝑧^𝑛 даёт 𝑛!𝐶, а остальные члены дают нуль. Следовательно,

∬

𝑌

_𝑛

𝑃

_𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

𝐶

,

где 𝐶 – значение 𝑌_𝑛 в полюсе 𝑃_𝑚.

135 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.

Действительно, пусть 𝐹 – значение этой величины в точке 𝑄 сферы, a 𝑑𝑠 – элемент её поверхности. Умножим 𝐹𝑑𝑠 на 𝑃_𝑛, зональную гармонику с полюсом в точке 𝑃 на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки 𝑃, можно рассматривать как функцию положения точки 𝑃.

Но так как значение в точке 𝑃 зональной гармоники с полюсом 𝑄 равно значению в 𝑄 зональной гармоники того же порядка с полюсом в 𝑃, то можно считать, что для каждого элемента 𝑑𝑠 поверхности построена зональная гармоника с полюсом в 𝑄 и с коэффициентом 𝐹𝑑𝑠.

Таким образом, мы получим систему налагающихся друг на друга зональных гармоник с полюсами в каждой точке сферы, в которой 𝐹 имеет ненулевое значение. Поскольку все они отличаются лишь множителем от поверхностной гармоники порядка 𝑛, их сумма также отличается лишь множителем от поверхностной гармоники (не обязательно зональной) порядка 𝑛.

Таким образом, поверхностный интеграл ∬𝐹𝑃_𝑛𝑑𝑠 рассматриваемый как функция точки 𝑃 отличается лишь множителем от поверхностной гармоники 𝑌_𝑛, а значит, и

2𝑛+1

4π𝑎²

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

является именно той поверхностной гармоникой 𝑛-го порядка, которая входит в представление 𝐹 рядом по гармоникам, если только 𝐹 может быть так представлено.

Действительно, если 𝐹 может быть представлено в виде

𝐹

=

𝐴

₀

𝑌

₀

+

𝐴

₁

𝑌

₁

+…+

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

+…

,

то, умножая на 𝑃_𝑛𝑑𝑠 и беря поверхностный интеграл по всей сфере, мы получим

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

4π𝑎²

2𝑛+1

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

,

поскольку все члены, содержащие произведение гармоник различного порядка, обратятся в нуль.

Таким образом, единственное возможное разложение по сферическим гармоникам имеет вид

𝐹

=

1

4π𝑎²

⎡

⎢

⎣

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

+…+

(2𝑛+1)

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

+…

⎤

⎥

⎦

.

(51)

Сопряжённые гармоники

136. Мы видели, что поверхностный интеграл от произведения двух гармоник различного порядка всегда равен нулю. Но даже и для двух гармоник одного и того же порядка поверхностный интеграл от их произведения может равняться нулю. В этом случае говорят, что гармоники сопряжены друг другу. Условие взаимной сопряжённости двух гармоник выражается в приравнивании нулю правой части уравнения (46).

Если одна из гармоник зональная, то условие сопряжённости сводится к тому, что другая гармоника обращается в нуль в полюсе зональной гармоники.

Если начать с определённой гармоники 𝑛-го порядка, то условие сопряжённости ей другой гармоники накладывает на 2𝑛 её переменных одно условие.

Чтобы третья гармоника была сопряжена обеим предыдущим, нужно на её 2𝑛 переменных наложить два условия. Продолжая таким образом построение гармоник, сопряжённых всем предыдущим, мы будем иметь число условий, равное числу ранее имевшихся гармоник, так что на (2𝑛+1)-ю гармонику будет налагаться 2𝑛 условий для 2𝑛 её переменных, т.е. эта гармоника будет полностью определена.

Любая функция 𝐴𝑌_𝑛 кратная поверхностной гармонике 𝑛-го порядка, может быть выражеиа суммой кратных любой совокупности 2𝑛+1 сопряжённых гармоник того же порядка, так как коэффициенты 2𝑛+1 сопряжённых гармоник дают в наше распоряжение как раз столько свободных величин, сколько содержится параметров в 𝐴𝑌_𝑛 (2𝑛 переменных в 𝑌_𝑛 и коэффициент 𝐴).

Чтобы найти коэффициент перед какой-либо сопряжённой гармоникой, скажем перед

𝑌

σ

𝑛

,

предположим, что

𝐴𝑌

_𝑛

=

𝐴

₀

𝑌

0

𝑛

+…+

𝐴

_σ

𝑌

σ

𝑛

+…

.

Умножим это равенство на

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

и найдём поверхностный интеграл по сфере. Все слагаемые, содержащие произведение сопряжённых друг другу гармоник, обратятся в нуль и останется уравнение

𝐴

∬

𝑌

𝑛

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

=

𝐴

_σ

∬

(

𝑌

σ

𝑛

)²

𝑑𝑠

,

(52)

из которого и определяется 𝐴_σ.

Следовательно, при заданной системе 2𝑛+1 сопряжённых гармоник всякая другая гармоника 𝑛-го порядка может быть выражена через эти гармоники, причём – единственным образом. Отсюда следует, что никакая другая гармоника не может быть сопряжена всем им.

137. Мы видели, что если полная система взаимно сопряжённых гармоник 𝑛-го порядка задана, то любая другая гармоника того же порядка выражается через них. В такой системе из 2𝑛+1 гармоник имеется 2𝑛(2𝑛+1) переменных, связанных 𝑛(2𝑛+1) уравнениями, так что 𝑛(2𝑛+1) переменных можно считать произвольными.

Мы могли бы, следуя Томсону и Тэту, выбрать в качестве системы сопряжённых гармоник такую, в которой 𝑛 полюсов каждой гармоники распределены так, что 𝑗 полюсов совпадают с полюсом оси 𝑥, 𝑘 – с полюсом оси 𝑦 и 𝑙 (𝑛-𝑖-𝑘) – с полюсом оси 𝑧. Если задать 𝑛+1 распределений, для которых 𝑙=0 и 𝑛 распределений, для которых 𝑙=1, то все остальные можно через них выразить.

Фактически всеми математиками (включая Томсона и Тэта) принята система, в которой 𝑛-σ полюсов совпадают с точкой, которую мы можем назвать Положительным Полюсом сферы, а остальные σ полюсов помещены через равные расстояния по экватору при нечётном их числе или через равные расстояния по половине экватора при чётном числе.

В этом случае все μ₁, μ₂, …, μ_𝑛-σ, равны cos θ; мы обозначим cos θ через μ. Если вместо sin θ ввести ν, то μ_𝑛-σ+1, …, μ_𝑛 примут вид νcos(φ-β), где β – азимут одного из полюсов на экваторе.

Величины λ_𝑝𝑞 равны единице, если и 𝑝 и 𝑞 меньше 𝑛-σ равны нулю, если один из индексов больше 𝑛-σ, а другой меньше, и равны cos 𝑠π/σ, если оба индекса больше 𝑛-σ. Здесь 𝑠 – целое число, меньшее σ.

138. Если все полюса совпадают с полюсом сферы, т. е. σ=0, то соответствующая гармоника называется Зональной гармоникой. Поскольку зональная гармоника имеет важное значение, мы выделим ей специальное обозначение 𝑃_𝑛.

Значение зональной гармоники можно найти либо из тригонометрического представления (43), либо непосредственно дифференцированием:

𝑃

_𝑛

=

(-1)

^𝑛

𝑟^𝑛+1

𝑛!

𝑑^𝑛

𝑑𝑧^𝑑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

,

(53)

𝑃

_𝑛

=

1⋅3⋅5…(2𝑛-1)

1⋅2⋅3…𝑛

⎡

⎢

⎣

μ

^𝑛

–

𝑛(𝑛-1)

2(2𝑛-1)

μ

^𝑛-2

+

+

𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)

2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)

μ

^𝑛-4

–…

⎤

⎥

⎦

=

=

∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑝

(2𝑛-2𝑝)!

2^𝑛𝑝!(𝑛-𝑝)!(𝑛-2𝑝)!

μ

^𝑛-2𝑝

⎤

⎥

⎦

,

(54)

где 𝑝 принимает все целые значения от нуля до наибольшего целого, не превышающего 𝑛/2.

Иногда удобно представить 𝑃_𝑛 как однородную функцию от cos θ и sin θ, или, в наших обозначениях, от μ и ν:

𝑃

_𝑛

=

μ

^𝑛

–

𝑛(𝑛-1)

2⋅2

μ

^𝑛-2

ν

²

+

𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)

2⋅2⋅4⋅4

μ

^𝑛-4

ν

⁴

–…

=

=

∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑝

𝑛!

2^2𝑝(𝑝!)²(𝑛-2𝑝)!

μ

^𝑛-2𝑝

ν

^2𝑝

⎤

⎥

⎦

.

(55)

В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что 𝑃_𝑛(μ) является коэффициентом при 𝘩^𝑛 в разложении (1-2μ𝘩+𝘩²)^-1/2 и что 𝑃_𝑛(μ) равно также

1

2^𝑛𝑛!

𝑑^𝑛

𝑑μ^𝑛

(μ²-1)

^𝑛

.

Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен

∬

(𝑃

_𝑛

)²

𝑑𝑠

=

2π𝑎²

+1

∫

–1

(𝑃

_𝑛

(μ))²

𝑑μ

4π𝑎²

2𝑛+1

,

(56)

так что

+1

∫

–1

(𝑃

_𝑛

(μ))²

𝑑μ

=

2

2𝑛+1

(57)

139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от μ без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра.

Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами θ и φ, и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (θ',φ'), то значение зональной гармоники в точке (θ,φ) будет функцией четырёх углов θ', φ', θ, φ, но поскольку оно зависит лишь от μ, т. е. от косинуса дуги, соединяющей точки (θ,φ) и (θ',φ') оно не меняется при замене θ на θ' и φ на φ' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон и Тэт называют её Биаксиальной Гармоникой.

Любая однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через её 𝑛 полюсов, так что в ней только 2𝑛 переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2𝑛+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную. Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через θ и φ, называется Функцией Лапласа.

140 а. Чтобы получить другие гармоники симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости 𝑥𝑦 и образующим друг с другом угол π/σ. Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведённой в Natural Philosophy Томсона и Тэта (т. I, с. 148 первого издания, с. 185 – второго).

Если положить ξ=𝑥+𝑖𝑦, η=𝑥-𝑖𝑦, где 𝑖 означает √-1, то операция дифференцирования по осям σ, одна из которых образует угол α с осью 𝑥 может быть записана для нечётных σ следующим образом:

⎛

⎜

⎝

𝑒

^𝑖α

𝑑

𝑑ξ

+

𝑒

^𝑖α

𝑑

𝑑η

⎞

⎟

⎠

×

×

⎛

⎜

⎝

exp 𝑖

⎧

⎪

⎩

α+

2π

σ

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑑

𝑑ξ

+

exp -𝑖

⎧

⎪

⎩

α+

2π

σ

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑑

𝑑η

⎞

⎟

⎠

×

×

⎛

⎜

⎝

exp 𝑖

⎧

⎪

⎩

α+

4π

σ

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑑

𝑑ξ

+

exp -𝑖

⎧

⎪

⎩

α+

4π

σ

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑑

𝑑η

⎞

⎟

⎠

… .

Это эквивалентно

cos σα

⎧

⎨

⎩

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

⎫

⎬

⎭

+

sin σα⋅𝑖

⎧

⎨

⎩

𝑑σ

𝑑ξσ

–

𝑑σ

𝑑ησ

⎫

⎬

⎭

.

(58)

Для чётных σ можно доказать, что операция дифференцирования может быть записана в виде

(-1)

^(σ+2)/2

⎧

⎨

⎩

cos σα⋅𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑σ

𝑑ξσ

–

𝑑σ

𝑑ησ

⎞

⎟

⎠

–

sin σα

⎛

⎜

⎝

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

(59)

Таким образом, если положить

𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑σ

𝑑ξσ

–

𝑑σ

𝑑ησ

⎞

⎟

⎠

=

𝐷

(σ)

𝑆

,

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

=

𝐷

(σ)

𝐶

,

то операции дифференцирования по осям σ можно выразить через

𝐷

(σ)

𝑆

,

𝐷

(σ)

𝐶

.

В действительности это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так,

2

^σ-1

𝐷

(σ)

𝑆

=

σ

𝑑^σ-1

𝑑𝑥^σ-1

𝑑

𝑑𝑦

–

σ(σ-1)(σ-2)

1⋅2⋅3

𝑑^σ-3

𝑑𝑥^σ-3

𝑑³

𝑑𝑦³

+…

,

(60)

2

^σ-1

𝐷

(σ)

𝐶

=

𝑑^σ

𝑑𝑥^σ

–

σ(σ-1)

1⋅2

𝑑^σ-2

𝑑𝑥^σ-2

𝑑²

𝑑𝑦²

+…

.

(61)

Мы будем также писать

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

𝐷

(σ)

𝑆

=

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

 и

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

𝐷

(σ)

𝐶

=

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

,

(62)

так что

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

 и

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

обозначают операции дифференцирования по 𝑛 осям, из которых 𝑛-σ совпадают с осью 𝑧, а остальные σ расположены под равными углами друг к другу в плоскости 𝑥𝑦, причём обозначение

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

применяется, если ось 𝑦 совпадает с одной из этих осей, а

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

– когда ось 𝑦 делит пополам угол между осями.

Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ можно теперь представить в виде

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(-1)

^𝑛

1

𝑛!

𝑟

^𝑛+1

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

,

(63)

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

(-1)

^𝑛

1

𝑛!

𝑟

^𝑛+1

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

,

(64)

Положив μ=cos θ, ν=sin θ, ρ²=𝑥²+𝑦², 𝑟=ξη+𝑧², так что 𝑧=μ𝑟, ρ=ν𝑟, 𝑥=ρ cosφ, 𝑦=ρ sinφ, получим

𝐷

(σ)

𝑆

1

𝑟

=

(-1)

^σ

(2σ)!

2^2σσ!

𝑖(η

^σ

–ξ

^σ

)

1

𝑟^2σ+1

,

(65)

𝐷

(σ)

𝐶

1

𝑟

=

(-1)

^σ

(2σ)!

2^2σσ!

(ξ

^σ

+η

^σ

)

1

𝑟^2σ+1

,

(66)

где можно положить

𝑖

2

(η

^σ

–ξ

^σ

)

=

ρ

^σ

sin σψ

,

1

2

(ξ

^σ

+η

^σ

)

=

ρ

^σ

cos σψ

.

(67)

Остаётся лишь продифференцировать по 𝑧 что мы и проделаем, выразив результат либо через 𝑟 и 𝑧, либо как однородную функцию от 𝑧 и ρ, делённую на некоторую степень 𝑟:

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

1

𝑟^2σ+1

=

(-1)

^𝑛-σ

(2𝑛)!

2^𝑛𝑛!

2^σσ!

(2σ)!

1

𝑟^2𝑛+1

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑧

^𝑛-σ

–

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

𝑧

^𝑛-σ-2

𝑟

²

⎤

⎥

⎦

(68)

или

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

1

𝑟^2σ+1

=

(-1)

^𝑛-σ

(𝑛+σ)

(2σ)!

1

𝑟^2𝑛+1

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑧

^𝑛-σ

–

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

𝑧

^𝑛-σ-2

ρ

²

⎤

⎥

⎦

.

(69)

Если ввести

Θ

(σ)

𝑛

=

ν

^σ

⎡

⎢

⎣

μ

^𝑛-σ

–

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

μ

^𝑛-σ-2

+

+

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)

2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)

μ

^𝑛-σ-4

–…

⎤

⎥

⎦

(70)

и

Θ

(σ)

𝑛

=

ν

^σ

⎡

⎢

⎣

μ

^𝑛-σ

–

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

4(σ+1)

μ

^𝑛-σ-2

ν

²

+

+

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)

4⋅8⋅(σ+1)(σ+2)

μ

^𝑛-σ-4

ν

⁴

–…

⎤

⎥

⎦

,

(71)

то

Θ

(σ)

𝑛

=

2^𝑛-σ𝑛!(𝑛+σ)!

(2𝑛)!σ!

Θ

(σ)

𝑛

,

(72)

так что обе эти функции отличаются лишь постоянным множителем.

Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка 𝑛 типа σ через Θ или Θ:

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(2𝑛)!

2^𝑛+σ𝑛!𝑛!

Θ

(σ)

𝑛

2sin σφ

=

(𝑛+σ)!

2^2σ𝑛!σ!

Θ

(σ)

𝑛

2sin σφ

,

(73)

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

(2𝑛)!

2^𝑛+σ𝑛!𝑛!

Θ

(σ)

𝑛

2cos σφ

=

(𝑛+σ)!

2^2σ𝑛!σ!

Θ

(σ)

𝑛

2cos σφ

.

(74)

Следует учесть, что если σ=0 то sin σφ=0, а cos σφ=1.

Для каждого значения σ от 1 до 𝑛 включительно имеются две гармоники, но при σ=0

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

0, а

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

𝑃

_𝑛

– зональная гармоника. Таким образом, полное число гармоник порядка 𝑛 равно 2𝑛+1, как и должно быть.

140 б. Численное значение 𝑌 принятое в этой книге, получается дифференцированием 𝑟^-1 по 𝑛 осям и делением на 𝑛!. Оно представляет собой произведение четырёх множителей – синуса или косинуса от σφ, ν^σ, функции от μ, (или от μ и ν) и численного коэффициента.

Произведение второго и третьего множителя, т. е. зависящая от θ часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если её представить как произведение ν^σ на ряд по убывающим степеням μ, первый член которого равен μ^𝑛-σ, то получится функция, которую, следуя Томсону и Тэту, мы обозначаем через Θ.

Функция, которую Хайне (Heine) (Handbuch der Kugelfunctionen, § 47) обозначает 𝑃^(𝑛)_σ и называет zugeordnete Function erster Art, или, как переводит Тодхантер, «присоединённая функция первого рода» (associated function of the first kind) связана Θ^(𝑛)_σ соотношением

Θ

(𝑛)

σ

=

–1

^σ/2

𝑃

(𝑛)

σ

.

(75)

Ряд по убывающим степеням μ, начинающийся с μ^𝑛-σ, обозначен Хайне символом 𝔓^(𝑛)_σ а Тодхантером – символом ω̃(σ,𝑛).

Этот ряд можно представить в двух других видах:

𝔓

(𝑛)

σ

=

ω̃(σ,𝑛)

=

(𝑛-σ)!

(2𝑛)!

𝑑^𝑛+σ

𝑑μ^𝑛+σ

(μ²-1)

^𝑛

=

2^𝑛(𝑛-σ)!𝑛!

(2𝑛)!

𝑑^σ

𝑑μ^σ

𝑃

_𝑛

.

(76)

Последнее представление, в котором этот ряд получается дифференцированием зональной гармоники по μ, по-видимому, подсказало мысль о введении обозначения 𝑇^(𝑛)_σ принятого Феррерсом, который определяет его так:

𝑇

(𝑛)

σ

=

𝑑^σ

𝑑μ^σ

𝑃

_𝑛

=

(2𝑛)!

2^𝑛(𝑛-σ)!𝑛!

Θ

(𝑛)

σ

.

(77)

Если эту же величину представить как однородную функцию от μ и ν и поделить на коэффициент перед μ^𝑛-σν^𝑛, получится функция, обозначенная нами через Θ^(𝑛)_σ.

140 в. Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль.

Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса. Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение 𝑛-й степени, все корни которого лежат в промежутке от -1 до +1, и, следовательно, соответствуют 𝑛 широтным параллелям на сфере.

Ограниченные этими параллелями зоны поочерёдно положительны и отрицательны, причём круг, окружающий полюс, всегда положителен.

Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определённой параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.

Другие гармоники симметричной системы встречаются парами, причём одна функция в паре содержит косинус, а другая – синус от σφ. Поэтому они обращаются в нуль на σ меридианных кругах на сфере, а также на 𝑛-σ параллелях, так что сферическая поверхность разделена на 2σ(𝑛-σ-1) четырехугольников или «тессер», считая в том числе 4σ треугольников у полюсов. Поэтому они полезны при исследованиях, касающихся четырехугольников (тессер) на сфере, ограниченных меридианами и параллелями.

Все эти гармоники называются Тессеральными, за исключением последней пары, обращающейся в нуль лишь на 2𝑛 меридианных кругах и делящих сферическую поверхность на 2𝑛 секторов. Эти две гармоники называются Секторными.

141. Найдём теперь значение поверхностного интеграла от квадрата произвольной тессеральной гармоники по сфере. Для этого можно применить метод п. 134. Перейдём от поверхностной гармоники 𝑌^(σ)_𝑛 к пространственной гармонике положительной степени, умножив её на 𝑟^𝑛 продифференцируем эту пространственную гармонику по 𝑛 осям самой этой гармоники, а затем положим 𝑥=𝑦=𝑧=0 и умножим результат на

4π𝑎²

𝑛!(2𝑛+1)

.

Эта последовательность операций запишется в наших обозначениях так:

∬

(𝑌

(σ)

𝑛

)²

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

𝑛!(2𝑛+1)

𝐷

(σ)

𝑛

(

𝑟

^𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

).

(78)

Записав пространственную гармонику в виде однородной функции от 𝑠, ξ и η:

𝑟

^𝑛

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(𝑛+σ)!

2^2σ𝑛!σ!

𝑖(

η

^σ

–

ξ

^σ

)

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑧

^𝑛-σ

–

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

4(σ+1)

𝑧

^𝑛-σ-2

ξη

+…

⎤

⎥

⎦

,

(79)

мы видим, что после выполнения дифференцирований по 𝑧 все слагаемые в сумме, кроме первого, исчезают и появляется множитель (𝑛-σ)!.

Продолжая дифференцирование по ξ и η, мы избавимся и от этих переменных, введя при этом множитель -2𝑖σ!, так что окончательный результат имеет вид

∬

⎛

⎝

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

⎞²

⎠

𝑑𝑠

=

8π𝑎²

2𝑛+1

(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!

2^2σ𝑛!𝑛!

.

(80)

Правую часть этого уравнения мы сокращённо обозначим через [𝑛,σ].

Это соотношение справедливо для всех значений σ от 1 до 𝑛 включительно, но при σ=0 нет гармоники с sin σφ.

Таким же способом можно показать, что

∬

⎛

⎝

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

⎞²

⎠

𝑑𝑠

=

8π𝑎²

2𝑛+1

(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!

2^2σ𝑛!𝑛!

(81)

для всех значений σ от 1 до 𝑛 включительно.

При σ=0 гармоника становится зональной гармоникой и

∬

⎛

⎝

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

⎞²

⎠

𝑑𝑠

=

∬

(𝑃

_𝑛

)²

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

,

(82)

что можно получить прямо из уравнения (50), положив 𝑌_𝑛=𝑃_𝑚 и учтя, что значение зональной гармоники в её полюсе равно единице.

142 а. Теперь мы можем применить метод п. 136 для определения коэффициента перед любой тессеральной поверхностной гармоникой в разложении произвольной функции от положения точки на сфере. Действительно, пусть 𝐹 – произвольная функция и 𝐴^σ_𝑛 – коэффициент перед 𝑌^(σ)_𝑛 в разложении этой функции по поверхностным гармоникам симметричной системы. Тогда

∬

𝐹𝑌

(σ)

𝑛

𝑑𝑠

=

𝐴

_𝑛

∬

⎛

⎝

𝑌

(σ)

𝑛

⎞²

⎠

𝑑𝑠

=

𝐴

(σ)

𝑛

[𝑛,σ]

,

(83)

где [𝑛,σ] – сокращённое обозначение значения поверхностного интеграла, даваемого равенством (80).

142 б. Пусть Ψ – произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и не имеющая особых точек в пределах радиуса 𝑎 от точки 𝑂, которую мы примем за начало координат. Такую функцию всегда можно разложить в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в точке 𝑂.

Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке 𝑂 радиусом, меньшим 𝑎, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на 𝑟/𝑎 в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция.

Но более удобным способом, не требующим интегрирования, является дифференцирование по осям гармоник симметричной системы.

Предположим, например, что в разложении Ψ есть член вида

𝐴

(σ)

𝐶

𝑛

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

𝑟

^𝑛

.

Если к функции Ψ и её разложению применить операцию

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

⎛

⎜

⎝

𝑑^σ

𝑑ξ^σ

+

𝑑^σ

𝑑η^σ

⎞

⎟

⎠

и положить после дифференцирования 𝑥, 𝑦, 𝑧 равными нулю, то в разложении исчезнут все члены, кроме члена, содержащего

𝐴

(σ)

𝐶

𝑛

Перейдя в операторе, применяемом к функции Ψ к дифференцированию по действительным осям, мы получим равенство

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

⎡

⎢

⎣

𝑑^σ

𝑑𝑥^σ

–

σ(σ-1)

1⋅2

𝑑^σ-2

𝑑𝑥^σ-2

𝑑²

𝑑𝑦²

+…

⎤

⎥

⎦

Ψ

=

=

𝐴

(σ)

𝐶

𝑛

(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!

2^σ𝑛!

,

(84)

позволяющее определить коэффициент перед любой гармоникой ряда через производные от Ψ по 𝑥, 𝑦, 𝑧 в начале координат.

143. Из уравнения (50) видно, что любая гармоника всегда может быть представлена как сумма системы зональных гармоник того же порядка, полюса которых распределены по поверхности сферы. Упрощение этой системы не представляется, однако, лёгким. Но с целью сделать наглядными некоторые свойства сферических гармоник, я рассчитал зональные гармоники третьего и четвёртого порядка и описанным выше методом сложения функций построил эквипотенциальные линии на сфере для гармоник, являющихся суммой двух зональных гармоник (см. рис. VI-IX в конце этого тома).

На рис. VI показана разность двух зональных гармоник третьего порядка, оси которых наклонены под углом 120° в плоскости рисунка. Эта разность представляет собой гармонику второго типа с σ=1 и осью, перпендикулярной рисунку.

На рис. VII также показана гармоника третьего порядка, но оси зональных гармоник, сумма которых построена, наклонены под углом 90°, и результат не относится к какому-либо типу симметричной системы. Одна из узловых линий – большой круг, но две другие, пересекаемые ею, не являются кругами.

На рис. VIII показана разность двух зональных гармоник четвёртого порядка, оси которых перпендикулярны. В результате получается тессеральная гармоника с 𝑛=4, σ=2.

На рис. IX показана сумма этих же гармоник. Результат даёт представление об одном из типов гармоник четвёртого порядка общего вида. Для этого типа узловая линия состоит из шести непересекающихся овалов. Внутри этих овалов гармоника положительна, а в шестисвязной области сферической поверхности, лежащей вне овалов, гармоника отрицательна.

На всех этих графиках показаны ортогональные проекции сферической поверхности.

Я построил также на рис. V плоское сечение через ось сферы, чтобы показать эквипотенциальные поверхности и силовые линии, создаваемые сферической поверхностью, на которой распределение поверхностного заряда определяется сферической гармоникой первого порядка.

Внутри сферы эквипотенциальные поверхности являются эквидистантными плоскостями, а силовые линии – прямые, параллельные оси, причём их расстояния от оси пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел. Линии вне сферы могут служить примером того, как выглядели бы характеристики магнитного поля Земли, если бы земной магнетизм был распределён наиболее простым образом.

144 а. Теперь мы в состоянии найти распределение электричества на сферическом проводнике под действием электрических сил с заданным потенциалом.

Указанными выше методами разложим заданный потенциал Ψ в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в центре сферы.

Пусть 𝐴_𝑛𝑟^𝑛𝑌_𝑛 – одна из этих гармоник. Поскольку на проводящей сфере потенциал постоянен, то должен существовать член -𝐴_𝑛𝑟^𝑛𝑌_𝑛, обусловленный распределением заряда по поверхности сферы, а значит, в разложение 4πσ должно входить слагаемое 4πσ_𝑛=(2𝑛+1)𝑎^𝑛𝐴_𝑛𝑌_𝑛.

Таким образом, мы можем определить коэффициенты всех гармоник в выражении для поверхностной плотности, за исключением нулевой. Коэффициент перед гармоникой нулевого порядка зависит от заряда 𝑒 сферы и даётся соотношением 4πσ₀=𝑎^-2𝑒.

Потенциал сферы равен 𝑉=Ψ₀+(𝑒/𝑎).

144 б. Пусть теперь сфера помещена вблизи заземлённых проводников и известна Функция Грина 𝐺 от координат любых двух точек 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑥', 𝑦', 𝑧' в области, куда помещена сфера.

Если поверхностная плотность на сфере представлена как ряд по сферическим гармоникам, то проявления электричества вне сферы в точности такие же, какие были бы при помещении ряда воображаемых особых точек в центре сферы, первая из которых представляет собой простой точечный заряд, равный заряду сферы, а остальные – кратные точки различного порядка, соответствующие гармоникам плотности заряда на поверхности сферы.

Обозначим функцию Грина через 𝐺_𝑝𝑝', где индекс 𝑝 указывает точку с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, а индекс 𝑝' – точку с координатами 𝑥', 𝑦', 𝑧'.

Если заряд 𝐴₀ помещён в точку 𝑝', то, считая 𝑥', 𝑦', 𝑧' постоянными, мы можем рассматривать 𝐺_𝑝𝑝' как функцию от 𝑥, 𝑦, 𝑧. Потенциал, создаваемый электричеством, наведённым на окружающих телах зарядом 𝐴₀, равен

Ψ

=

𝐴

₀

𝐺

_𝑝𝑝'

.

(1)

Если бы заряд 𝐴₀ находился не в точке 𝑝', а был равномерно распределён по сфере радиуса 𝑎 с центром в точке 𝑝', то значение Ψ в точках вне сферы осталось бы таким же.

При неравномерном распределении заряда по сфере представим поверхностную плотность заряда в виде ряда по сферическим гармоникам

4π𝑎²σ

=

𝐴

₀

+

3𝐴

₁

𝑖

₁

+…+

(2𝑛-1)

3𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

+…

,

(2)

что всегда можно сделать.

Потенциал, создаваемый каждым членом этого разложения, например членом

4π𝑎²σ

=

(2𝑛+1)

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

,

(3)

равен

𝑟^𝑛

𝑎^𝑛+1

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

в точках внутри сферы и

𝑎^𝑛

𝑟^𝑛+1

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

в точках вне сферы.

Последнее выражение, согласно (13), (14) из п. 129 в и 129 г, равно

(-1)

^𝑛

𝐴

_𝑛

𝑎^𝑛

𝑛!

𝑑^𝑛

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

1

𝑟

,

т.е. потенциал вне сферы, создаваемый распределением заряда на поверхности сферы, такой же, как от определённой кратной точки с осями 𝘩₁,…,𝘩_𝑛, и моментом 𝐴_𝑛𝑎^𝑛. Следовательно, распределение электричества на окружающих проводниках и потенциал, создаваемый этим распределением, будут такими же, как и для такой кратной точки.

Таким образом, потенциал в точке 𝑝 с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, обусловленный наведённым электричеством на окружающих телах, равен

Ψ

_𝑛

=

(-1)

^𝑛

𝐴

_𝑛

𝑑^𝑛

𝑑'𝘩₁𝑑'𝘩₂…𝑑'𝘩_𝑛

𝐺

,

(4)

где штрихи при 𝑑 показывают, что дифференцирование производится по 𝑥', 𝑦', 𝑧'. После дифференцирования эти координаты приравниваются к координатам центра сферы.

Удобно считать 𝑌_𝑛 разбитым на 2𝑛+1 составляющих симметричной системы. Пусть 𝐴_𝑛𝑌^(σ)_𝑛 – одна из этих составляющих. Тогда

𝑑^𝑛

𝑑'𝘩₁…𝑑'𝘩_𝑛

=

𝐷'

(σ)

𝑛

.

(5)

Здесь не нужно ставить индекс 𝑠 или 𝑐, указывающий, какая из функций, sin σφ или cos σφ, входит в гармонику.

Мы можем теперь написать полное выражение для потенциала Ψ, возникающего из-за наведённого заряда:

Ψ

=

𝐴

₀

𝐺

+

∑∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑛

𝐴

(σ)

𝑛

𝑎^𝑛

𝑛!

𝐷'

(σ)

𝑛

𝐺

⎤

⎥

⎦

.

(6)

Но на сфере потенциал постоянен, т. е.

Ψ

+

1

𝑎

𝐴

₀

+

∑∑

⎡

⎢

⎣

𝑟^𝑛₁

𝑎^𝑛₁+1

𝐴

(σ₁)

𝑛₁

𝑌

(σ₁)

𝑛₁

⎤

⎥

⎦

=

const.

(7)

Применим теперь к этому выражению операцию 𝐷^(σ₁)_𝑛₁, где дифференцирование производится по 𝑥, 𝑦, 𝑧, а значения 𝑛₁ и σ₁ независимы от 𝑛 и σ. В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с 𝑉^(σ₁)_𝑛₁ и мы получаем

-2

(𝑛₁+σ₁)!(𝑛₁-σ₁)!

2^2σ𝑛₁!

1

𝑎^𝑛₁+1

𝐴

(σ₁)

𝑛₁

=

=

𝐴

₀

𝐷

(σ₁)

𝑛₁

𝐺

+

∑∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑛

𝐴

(σ)

𝑛

𝑎^𝑛

𝑛!

𝐷

(σ₁)

𝑛₁

𝐷'

(σ)

𝑛

𝐺

⎤

⎥

⎦

.

(8)

Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит 𝐴₀ заряд сферы, его можно считать главным слагаемым.

Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приближении

𝐴

(σ₁)

𝑛₁

=

–

1

2

2^2σ𝑛₁!

(𝑛₁+σ₁)!(𝑛₁-σ₁)!

𝐴

₀

𝑎

^𝑛₁+1

𝐷

(σ)

𝑛

𝐺

.

(9)

Если наименьшее расстояние от центра сферы до ближайшего из окружающих проводников обозначить через 𝑏, то

𝑎

^𝑛₁+1

𝐷

(σ)

𝑛

𝐺

<

𝑛

₁

!

⎛

⎜

⎝

𝑎

𝑏

⎞𝑛₁+1

⎟

⎠

.

Следовательно, при 𝑏 много большем радиуса сферы 𝑎, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше 𝐴₀. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (𝑎/𝑏)^{2𝑛+𝑛₁+1}. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении можно в эти члены подставить значения коэффициентов из первого приближения и так далее до тех пор, пока не будет достигнута нужная степень приближения.