355 500 произведений, 25 200 авторов.

Электронная библиотека книг » Джеймс Максвелл » Трактат об электричестве и магнетизме » Текст книги (страница 16)
Трактат об электричестве и магнетизме
  • Текст добавлен: 20 января 2018, 13:30

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"


Автор книги: Джеймс Максвелл



сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 34 страниц)

(𝑛+1)𝐴

𝑛+1.𝑠

=

(2𝑛-2𝑠+1)

𝐴

𝑛.𝑠

=

–𝐴

𝑛.𝑠-1

.

(39)

Если положить здесь 𝑠=0, то

(𝑛+1)𝐴

𝑛+1.0

=

(2𝑛+1)𝐴

𝑛.0

(40)

и, следовательно, поскольку 𝐴1.0=1,

𝐴

𝑛.0

=

2𝑛!

2𝑛⋅(𝑛!)²

.

(41)

Отсюда находится общее выражение для коэффициента

𝐴

𝑛.𝑠

=

(-1)

𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!

(42)

и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники

𝑌

𝑛

=

𝑆

(-1)

𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!

𝑛-2𝑠

λ

𝑠

)

.

(43)

Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке 𝑃 сферической поверхности через косинусы расстояний 𝑃 от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга.

Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз.

Если два или любое чётное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.

Профессор Сильвестер показал (Phil. Mag., Oct. 1876), что при заданной гармонике задача определения 𝑛 прямых, совпадающих с её осями, имеет одно и только одно решение, хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные.

134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла ∬𝑌𝑚𝑌𝑛𝑑𝑠 в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными.

Для этого нужно построить пространственную гармонику 𝑌𝑚𝑟𝑚 и продифференцировать её по каждой из 𝑛 осей 𝑌𝑛.

Любой член 𝑌𝑚𝑟𝑚 типа 𝑟𝑚μ𝑚-2𝑠λ𝑠 может быть представлен в виде

𝑟

2𝑠

𝑝

𝑚-2𝑠

𝑚

λ

𝑠

𝑛𝑚

.

Дифференцируя его 𝑛 раз последовательно по 𝑛 осям 𝑌𝑛, мы увидим, что при дифференцировании 𝑟2𝑠 по 𝑠 из этих осей у нас появятся 𝑠 раз величины 𝑝𝑛 и численный множитель 2𝑠(2𝑠-2) т. е. 2𝑠𝑠! Продолжение дифференцирования на следующие 𝑠 осей превращает эти 𝑝𝑛 в λ𝑛𝑛, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным 𝑛-2𝑠 осям множители 𝑝𝑚 переходят в λ𝑚𝑛, так что в результате получается

2

𝑠

𝑠!

λ

𝑠

𝑛𝑛

λ

𝑠

𝑚𝑚

λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

.

Таким образом, согласно (31),

𝑌

𝑚

𝑌

𝑛

𝑑𝑠

=

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

𝑛-𝑚+2

𝑑𝑛(𝑌𝑚𝑟𝑚)

𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛

,

(44)

а по (43)

𝑌

𝑚

𝑟

𝑚

=

𝑆

(-1)

𝑠

(2𝑚-2𝑠)!

2𝑚-𝑠𝑚!(𝑚-𝑠)!

(

𝑟

2𝑠

𝑝

𝑚-2𝑠

𝑚

λ

𝑠

𝑚𝑚

)

.

(45)

Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что 𝑚=𝑛, получим

𝑌

𝑚

𝑌

𝑛

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

(2𝑛+1)(𝑛!)²

×

×

𝑆

(-1)

𝑠

(2𝑛-2𝑠)!𝑠!

2𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!

(

λ

𝑠

𝑚𝑚

λ

𝑠

𝑛𝑛

λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

)

.

(46)

135 а. Выражение (46) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем 𝑌𝑚, совпадают друг с другом, так что 𝑌𝑚 становится так называемой «зональной гармоникой порядка 𝑚», определяемой нами ниже и обозначаемой символом 𝑃𝑚.

В этом случае все косинусы вида λ𝑛𝑚 можно записать как μ𝑛 где μ𝑛 – косинусы угла между общей осью 𝑃𝑚 и одной из осей 𝑌𝑚. Косинусы типа λ𝑚𝑚 все равны единице, так что вместо

λ

𝑠

𝑚𝑚

нужно подставить число сочетаний без повторения индексов по 𝑠 символов из 𝑛, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что

λ

𝑠

𝑚𝑚

=

𝑛!

2𝑠𝑠!(𝑛-2𝑠)!

.

(47)

Число перестановок оставшихся (𝑛-2𝑠) индексов осей 𝑃𝑚 равно (𝑛-2𝑠)! Следовательно,

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

)

=

(𝑛-2𝑠)!

μ

𝑛-2𝑠

.

(48)

Таким образом, в случае, когда все оси 𝑌𝑚 совпадают друг с другом, уравнение (46) принимает вид

𝑌

𝑛

𝑃

𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

(2𝑛+1)(𝑛!)²

𝑆

(-1)

𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!

(

μ

𝑛-2𝑠

λ

𝑛

)

(49)

=

4π𝑎²

2𝑛+1

𝑌

𝑛(𝑚)

, согласно (43),

(50)

где 𝑌𝑛(𝑚) – значение 𝑌𝑛 в полюсе 𝑃𝑚.

К этому результату можно прийти и следующим более коротким путём:

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось 𝑧 совпала с осью 𝑚 и пусть 𝑌𝑛𝑟𝑛 представлено как однородная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 степени 𝑛.

В полюсе 𝑃𝑚 𝑥=𝑦=0, a 𝑧=𝑟 так что если 𝐶𝑧𝑛 слагаемое, не содержащее 𝑥 и 𝑦, то 𝐶 есть значение 𝑌𝑛 в полюсе 𝑃𝑚.

Уравнение (31) принимает в этом случае вид

𝑌

𝑛

𝑃

𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

1

𝑛!

𝑑𝑚

𝑑𝑧𝑚

(𝑌

𝑛

𝑟

𝑛

)

.

Поскольку 𝑚 равно 𝑛, то дифференцирование 𝐶𝑧𝑛 даёт 𝑛!𝐶, а остальные члены дают нуль. Следовательно,

𝑌

𝑛

𝑃

𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

𝐶

,

где 𝐶 – значение 𝑌𝑛 в полюсе 𝑃𝑚.

135 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.

Действительно, пусть 𝐹 – значение этой величины в точке 𝑄 сферы, a 𝑑𝑠 – элемент её поверхности. Умножим 𝐹𝑑𝑠 на 𝑃𝑛, зональную гармонику с полюсом в точке 𝑃 на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки 𝑃, можно рассматривать как функцию положения точки 𝑃.

Но так как значение в точке 𝑃 зональной гармоники с полюсом 𝑄 равно значению в 𝑄 зональной гармоники того же порядка с полюсом в 𝑃, то можно считать, что для каждого элемента 𝑑𝑠 поверхности построена зональная гармоника с полюсом в 𝑄 и с коэффициентом 𝐹𝑑𝑠.

Таким образом, мы получим систему налагающихся друг на друга зональных гармоник с полюсами в каждой точке сферы, в которой 𝐹 имеет ненулевое значение. Поскольку все они отличаются лишь множителем от поверхностной гармоники порядка 𝑛, их сумма также отличается лишь множителем от поверхностной гармоники (не обязательно зональной) порядка 𝑛.

Таким образом, поверхностный интеграл ∬𝐹𝑃𝑛𝑑𝑠 рассматриваемый как функция точки 𝑃 отличается лишь множителем от поверхностной гармоники 𝑌𝑛, а значит, и

2𝑛+1

4π𝑎²

𝐹𝑃

𝑛

𝑑𝑠

является именно той поверхностной гармоникой 𝑛-го порядка, которая входит в представление 𝐹 рядом по гармоникам, если только 𝐹 может быть так представлено.

Действительно, если 𝐹 может быть представлено в виде

𝐹

=

𝐴

0

𝑌

0

+

𝐴

1

𝑌

1

+…+

𝐴

𝑛

𝑌

𝑛

+…

,

то, умножая на 𝑃𝑛𝑑𝑠 и беря поверхностный интеграл по всей сфере, мы получим

𝐹𝑃

𝑛

𝑑𝑠

4π𝑎²

2𝑛+1

𝐴

𝑛

𝑌

𝑛

,

поскольку все члены, содержащие произведение гармоник различного порядка, обратятся в нуль.

Таким образом, единственное возможное разложение по сферическим гармоникам имеет вид

𝐹

=

1

4π𝑎²

𝐹𝑃

𝑛

𝑑𝑠

+…+

(2𝑛+1)

𝐹𝑃

𝑛

𝑑𝑠

+…

.

(51)

Сопряжённые гармоники

136. Мы видели, что поверхностный интеграл от произведения двух гармоник различного порядка всегда равен нулю. Но даже и для двух гармоник одного и того же порядка поверхностный интеграл от их произведения может равняться нулю. В этом случае говорят, что гармоники сопряжены друг другу. Условие взаимной сопряжённости двух гармоник выражается в приравнивании нулю правой части уравнения (46).

Если одна из гармоник зональная, то условие сопряжённости сводится к тому, что другая гармоника обращается в нуль в полюсе зональной гармоники.

Если начать с определённой гармоники 𝑛-го порядка, то условие сопряжённости ей другой гармоники накладывает на 2𝑛 её переменных одно условие.

Чтобы третья гармоника была сопряжена обеим предыдущим, нужно на её 2𝑛 переменных наложить два условия. Продолжая таким образом построение гармоник, сопряжённых всем предыдущим, мы будем иметь число условий, равное числу ранее имевшихся гармоник, так что на (2𝑛+1)-ю гармонику будет налагаться 2𝑛 условий для 2𝑛 её переменных, т.е. эта гармоника будет полностью определена.

Любая функция 𝐴𝑌𝑛 кратная поверхностной гармонике 𝑛-го порядка, может быть выражеиа суммой кратных любой совокупности 2𝑛+1 сопряжённых гармоник того же порядка, так как коэффициенты 2𝑛+1 сопряжённых гармоник дают в наше распоряжение как раз столько свободных величин, сколько содержится параметров в 𝐴𝑌𝑛 (2𝑛 переменных в 𝑌𝑛 и коэффициент 𝐴).

Чтобы найти коэффициент перед какой-либо сопряжённой гармоникой, скажем перед

𝑌

σ

𝑛

,

предположим, что

𝐴𝑌

𝑛

=

𝐴

0

𝑌

0

𝑛

+…+

𝐴

σ

𝑌

σ

𝑛

+…

.

Умножим это равенство на

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

и найдём поверхностный интеграл по сфере. Все слагаемые, содержащие произведение сопряжённых друг другу гармоник, обратятся в нуль и останется уравнение

𝐴

𝑌

𝑛

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

=

𝐴

σ

(

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

,

(52)

из которого и определяется 𝐴σ.

Следовательно, при заданной системе 2𝑛+1 сопряжённых гармоник всякая другая гармоника 𝑛-го порядка может быть выражена через эти гармоники, причём – единственным образом. Отсюда следует, что никакая другая гармоника не может быть сопряжена всем им.

137. Мы видели, что если полная система взаимно сопряжённых гармоник 𝑛-го порядка задана, то любая другая гармоника того же порядка выражается через них. В такой системе из 2𝑛+1 гармоник имеется 2𝑛(2𝑛+1) переменных, связанных 𝑛(2𝑛+1) уравнениями, так что 𝑛(2𝑛+1) переменных можно считать произвольными.

Мы могли бы, следуя Томсону и Тэту, выбрать в качестве системы сопряжённых гармоник такую, в которой 𝑛 полюсов каждой гармоники распределены так, что 𝑗 полюсов совпадают с полюсом оси 𝑥, 𝑘 – с полюсом оси 𝑦 и 𝑙 (𝑛-𝑖-𝑘) – с полюсом оси 𝑧. Если задать 𝑛+1 распределений, для которых 𝑙=0 и 𝑛 распределений, для которых 𝑙=1, то все остальные можно через них выразить.

Фактически всеми математиками (включая Томсона и Тэта) принята система, в которой 𝑛-σ полюсов совпадают с точкой, которую мы можем назвать Положительным Полюсом сферы, а остальные σ полюсов помещены через равные расстояния по экватору при нечётном их числе или через равные расстояния по половине экватора при чётном числе.

В этом случае все μ1, μ2, …, μ𝑛-σ, равны cos θ; мы обозначим cos θ через μ. Если вместо sin θ ввести ν, то μ𝑛-σ+1, …, μ𝑛 примут вид νcos(φ-β), где β – азимут одного из полюсов на экваторе.

Величины λ𝑝𝑞 равны единице, если и 𝑝 и 𝑞 меньше 𝑛-σ равны нулю, если один из индексов больше 𝑛-σ, а другой меньше, и равны cos 𝑠π/σ, если оба индекса больше 𝑛-σ. Здесь 𝑠 – целое число, меньшее σ.

138. Если все полюса совпадают с полюсом сферы, т. е. σ=0, то соответствующая гармоника называется Зональной гармоникой. Поскольку зональная гармоника имеет важное значение, мы выделим ей специальное обозначение 𝑃𝑛.

Значение зональной гармоники можно найти либо из тригонометрического представления (43), либо непосредственно дифференцированием:

𝑃

𝑛

=

(-1)

𝑛

𝑟𝑛+1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝑧𝑑

1

𝑟

,

(53)

𝑃

𝑛

=

1⋅3⋅5…(2𝑛-1)

1⋅2⋅3…𝑛

μ

𝑛

𝑛(𝑛-1)

2(2𝑛-1)

μ

𝑛-2

+

+

𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)

2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)

μ

𝑛-4

–…

=

=

(-1)

𝑝

(2𝑛-2𝑝)!

2𝑛𝑝!(𝑛-𝑝)!(𝑛-2𝑝)!

μ

𝑛-2𝑝

,

(54)

где 𝑝 принимает все целые значения от нуля до наибольшего целого, не превышающего 𝑛/2.

Иногда удобно представить 𝑃𝑛 как однородную функцию от cos θ и sin θ, или, в наших обозначениях, от μ и ν:

𝑃

𝑛

=

μ

𝑛

𝑛(𝑛-1)

2⋅2

μ

𝑛-2

ν

2

+

𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)

2⋅2⋅4⋅4

μ

𝑛-4

ν

4

–…

=

=

(-1)

𝑝

𝑛!

22𝑝(𝑝!)2(𝑛-2𝑝)!

μ

𝑛-2𝑝

ν

2𝑝

.

(55)

В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что 𝑃𝑛(μ) является коэффициентом при 𝘩𝑛 в разложении (1-2μ𝘩+𝘩2)-1/2 и что 𝑃𝑛(μ) равно также

1

2𝑛𝑛!

𝑑𝑛

𝑑μ𝑛

(μ²-1)

𝑛

.

Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен

(𝑃

𝑛

𝑑𝑠

=

2π𝑎²

+1

–1

(𝑃

𝑛

(μ))²

𝑑μ

4π𝑎²

2𝑛+1

,

(56)

так что

+1

–1

(𝑃

𝑛

(μ))²

𝑑μ

=

2

2𝑛+1

(57)

139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от μ без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра.

Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами θ и φ, и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (θ',φ'), то значение зональной гармоники в точке (θ,φ) будет функцией четырёх углов θ', φ', θ, φ, но поскольку оно зависит лишь от μ, т. е. от косинуса дуги, соединяющей точки (θ,φ) и (θ',φ') оно не меняется при замене θ на θ' и φ на φ' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон и Тэт называют её Биаксиальной Гармоникой.

Любая однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через её 𝑛 полюсов, так что в ней только 2𝑛 переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2𝑛+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную. Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через θ и φ, называется Функцией Лапласа.

140 а. Чтобы получить другие гармоники симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости 𝑥𝑦 и образующим друг с другом угол π/σ. Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведённой в Natural Philosophy Томсона и Тэта (т. I, с. 148 первого издания, с. 185 – второго).

Если положить ξ=𝑥+𝑖𝑦, η=𝑥-𝑖𝑦, где 𝑖 означает √-1, то операция дифференцирования по осям σ, одна из которых образует угол α с осью 𝑥 может быть записана для нечётных σ следующим образом:

𝑒

𝑖α

𝑑

𝑑ξ

+

𝑒

𝑖α

𝑑

𝑑η

×

×

exp 𝑖

α+

σ

𝑑

𝑑ξ

+

exp -𝑖

α+

σ

𝑑

𝑑η

×

×

exp 𝑖

α+

σ

𝑑

𝑑ξ

+

exp -𝑖

α+

σ

𝑑

𝑑η

… .

Это эквивалентно

cos σα

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

+

sin σα⋅𝑖

𝑑σ

𝑑ξσ

𝑑σ

𝑑ησ

.

(58)

Для чётных σ можно доказать, что операция дифференцирования может быть записана в виде

(-1)

(σ+2)/2

cos σα⋅𝑖

𝑑σ

𝑑ξσ

𝑑σ

𝑑ησ

sin σα

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

.

(59)

Таким образом, если положить

𝑖

𝑑σ

𝑑ξσ

𝑑σ

𝑑ησ

=

𝐷

(σ)

𝑆

,

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

=

𝐷

(σ)

𝐶

,

то операции дифференцирования по осям σ можно выразить через

𝐷

(σ)

𝑆

,

𝐷

(σ)

𝐶

.

В действительности это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так,

2

σ-1

𝐷

(σ)

𝑆

=

σ

𝑑σ-1

𝑑𝑥σ-1

𝑑

𝑑𝑦

σ(σ-1)(σ-2)

1⋅2⋅3

𝑑σ-3

𝑑𝑥σ-3

𝑑³

𝑑𝑦³

+…

,

(60)

2

σ-1

𝐷

(σ)

𝐶

=

𝑑σ

𝑑𝑥σ

σ(σ-1)

1⋅2

𝑑σ-2

𝑑𝑥σ-2

𝑑²

𝑑𝑦²

+…

.

(61)

Мы будем также писать

𝑑𝑛-σ

𝑑𝑧𝑛-σ

𝐷

(σ)

𝑆

=

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

 и

𝑑𝑛-σ

𝑑𝑧𝑛-σ

𝐷

(σ)

𝐶

=

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

,

(62)

так что

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

 и

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

обозначают операции дифференцирования по 𝑛 осям, из которых 𝑛-σ совпадают с осью 𝑧, а остальные σ расположены под равными углами друг к другу в плоскости 𝑥𝑦, причём обозначение

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

применяется, если ось 𝑦 совпадает с одной из этих осей, а

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

– когда ось 𝑦 делит пополам угол между осями.

Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ можно теперь представить в виде

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(-1)

𝑛

1

𝑛!

𝑟

𝑛+1

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

,

(63)

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

(-1)

𝑛

1

𝑛!

𝑟

𝑛+1

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

,

(64)

Положив μ=cos θ, ν=sin θ, ρ²=𝑥²+𝑦², 𝑟=ξη+𝑧², так что 𝑧=μ𝑟, ρ=ν𝑟, 𝑥=ρ cosφ, 𝑦=ρ sinφ, получим

𝐷

(σ)

𝑆

1

𝑟

=

(-1)

σ

(2σ)!

2σ!

𝑖(η

σ

–ξ

σ

)

1

𝑟2σ+1

,

(65)

𝐷

(σ)

𝐶

1

𝑟

=

(-1)

σ

(2σ)!

2σ!

σ

σ

)

1

𝑟2σ+1

,

(66)

где можно положить

𝑖

2

σ

–ξ

σ

)

=

ρ

σ

sin σψ

,

1

2

σ

σ

)

=

ρ

σ

cos σψ

.

(67)

Остаётся лишь продифференцировать по 𝑧 что мы и проделаем, выразив результат либо через 𝑟 и 𝑧, либо как однородную функцию от 𝑧 и ρ, делённую на некоторую степень 𝑟:

𝑑𝑛-σ

𝑑𝑧𝑛-σ

1

𝑟2σ+1

=

(-1)

𝑛-σ

(2𝑛)!

2𝑛𝑛!

2σσ!

(2σ)!

1

𝑟2𝑛+1

×

×

𝑧

𝑛-σ

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

𝑧

𝑛-σ-2

𝑟

2

(68)

или

𝑑𝑛-σ

𝑑𝑧𝑛-σ

1

𝑟2σ+1

=

(-1)

𝑛-σ

(𝑛+σ)

(2σ)!

1

𝑟2𝑛+1

×

×

𝑧

𝑛-σ

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

𝑧

𝑛-σ-2

ρ

2

.

(69)

Если ввести

Θ

(σ)

𝑛

=

ν

σ

μ

𝑛-σ

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

μ

𝑛-σ-2

+

+

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)

2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)

μ

𝑛-σ-4

–…

(70)

и

Θ

(σ)

𝑛

=

ν

σ

μ

𝑛-σ

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

4(σ+1)

μ

𝑛-σ-2

ν

2

+

+

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)

4⋅8⋅(σ+1)(σ+2)

μ

𝑛-σ-4

ν

4

–…

,

(71)

то

Θ

(σ)

𝑛

=

2𝑛-σ𝑛!(𝑛+σ)!

(2𝑛)!σ!

Θ

(σ)

𝑛

,

(72)

так что обе эти функции отличаются лишь постоянным множителем.

Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка 𝑛 типа σ через Θ или Θ:

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(2𝑛)!

2𝑛+σ𝑛!𝑛!

Θ

(σ)

𝑛

2sin σφ

=

(𝑛+σ)!

2𝑛!σ!

Θ

(σ)

𝑛

2sin σφ

,

(73)

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

(2𝑛)!

2𝑛+σ𝑛!𝑛!

Θ

(σ)

𝑛

2cos σφ

=

(𝑛+σ)!

2𝑛!σ!

Θ

(σ)

𝑛

2cos σφ

.

(74)

Следует учесть, что если σ=0 то sin σφ=0, а cos σφ=1.

Для каждого значения σ от 1 до 𝑛 включительно имеются две гармоники, но при σ=0

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

0, а

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

𝑃

𝑛

– зональная гармоника. Таким образом, полное число гармоник порядка 𝑛 равно 2𝑛+1, как и должно быть.

140 б. Численное значение 𝑌 принятое в этой книге, получается дифференцированием 𝑟-1 по 𝑛 осям и делением на 𝑛!. Оно представляет собой произведение четырёх множителей – синуса или косинуса от σφ, νσ, функции от μ, (или от μ и ν) и численного коэффициента.

Произведение второго и третьего множителя, т. е. зависящая от θ часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если её представить как произведение νσ на ряд по убывающим степеням μ, первый член которого равен μ𝑛-σ, то получится функция, которую, следуя Томсону и Тэту, мы обозначаем через Θ.

Функция, которую Хайне (Heine) (Handbuch der Kugelfunctionen, § 47) обозначает 𝑃(𝑛)σ и называет zugeordnete Function erster Art, или, как переводит Тодхантер, «присоединённая функция первого рода» (associated function of the first kind) связана Θ(𝑛)σ соотношением

Θ

(𝑛)

σ

=

–1

σ/2

𝑃

(𝑛)

σ

.

(75)

Ряд по убывающим степеням μ, начинающийся с μ𝑛-σ, обозначен Хайне символом 𝔓(𝑛)σ а Тодхантером – символом ω̃(σ,𝑛).

Этот ряд можно представить в двух других видах:

𝔓

(𝑛)

σ

=

ω̃(σ,𝑛)

=

(𝑛-σ)!

(2𝑛)!

𝑑𝑛+σ

𝑑μ𝑛+σ

(μ²-1)

𝑛

=

2𝑛(𝑛-σ)!𝑛!

(2𝑛)!

𝑑σ

𝑑μσ

𝑃

𝑛

.

(76)

Последнее представление, в котором этот ряд получается дифференцированием зональной гармоники по μ, по-видимому, подсказало мысль о введении обозначения 𝑇(𝑛)σ принятого Феррерсом, который определяет его так:

𝑇

(𝑛)

σ

=

𝑑σ

𝑑μσ

𝑃

𝑛

=

(2𝑛)!

2𝑛(𝑛-σ)!𝑛!

Θ

(𝑛)

σ

.

(77)

Если эту же величину представить как однородную функцию от μ и ν и поделить на коэффициент перед μ𝑛-σν𝑛, получится функция, обозначенная нами через Θ(𝑛)σ.

140 в. Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль.

Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса. Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение 𝑛-й степени, все корни которого лежат в промежутке от -1 до +1, и, следовательно, соответствуют 𝑛 широтным параллелям на сфере.

Ограниченные этими параллелями зоны поочерёдно положительны и отрицательны, причём круг, окружающий полюс, всегда положителен.

Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определённой параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.

Другие гармоники симметричной системы встречаются парами, причём одна функция в паре содержит косинус, а другая – синус от σφ. Поэтому они обращаются в нуль на σ меридианных кругах на сфере, а также на 𝑛-σ параллелях, так что сферическая поверхность разделена на 2σ(𝑛-σ-1) четырехугольников или «тессер», считая в том числе 4σ треугольников у полюсов. Поэтому они полезны при исследованиях, касающихся четырехугольников (тессер) на сфере, ограниченных меридианами и параллелями.

Все эти гармоники называются Тессеральными, за исключением последней пары, обращающейся в нуль лишь на 2𝑛 меридианных кругах и делящих сферическую поверхность на 2𝑛 секторов. Эти две гармоники называются Секторными.

141. Найдём теперь значение поверхностного интеграла от квадрата произвольной тессеральной гармоники по сфере. Для этого можно применить метод п. 134. Перейдём от поверхностной гармоники 𝑌(σ)𝑛 к пространственной гармонике положительной степени, умножив её на 𝑟𝑛 продифференцируем эту пространственную гармонику по 𝑛 осям самой этой гармоники, а затем положим 𝑥=𝑦=𝑧=0 и умножим результат на

4π𝑎²

𝑛!(2𝑛+1)

.

Эта последовательность операций запишется в наших обозначениях так:

(𝑌

(σ)

𝑛

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

𝑛!(2𝑛+1)

𝐷

(σ)

𝑛

(

𝑟

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

).

(78)

Записав пространственную гармонику в виде однородной функции от 𝑠, ξ и η:

𝑟

𝑛

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(𝑛+σ)!

2𝑛!σ!

𝑖(

η

σ

ξ

σ

)

×

×

𝑧

𝑛-σ

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

4(σ+1)

𝑧

𝑛-σ-2

ξη

+…

,

(79)

мы видим, что после выполнения дифференцирований по 𝑧 все слагаемые в сумме, кроме первого, исчезают и появляется множитель (𝑛-σ)!.

Продолжая дифференцирование по ξ и η, мы избавимся и от этих переменных, введя при этом множитель -2𝑖σ!, так что окончательный результат имеет вид

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

⎞²

𝑑𝑠

=

8π𝑎²

2𝑛+1

(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!

2𝑛!𝑛!

.

(80)

Правую часть этого уравнения мы сокращённо обозначим через [𝑛,σ].

Это соотношение справедливо для всех значений σ от 1 до 𝑛 включительно, но при σ=0 нет гармоники с sin σφ.

Таким же способом можно показать, что

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

⎞²

𝑑𝑠

=

8π𝑎²

2𝑛+1

(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!

2𝑛!𝑛!

(81)

для всех значений σ от 1 до 𝑛 включительно.

При σ=0 гармоника становится зональной гармоникой и

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

⎞²

𝑑𝑠

=

(𝑃

𝑛

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

,

(82)

что можно получить прямо из уравнения (50), положив 𝑌𝑛=𝑃𝑚 и учтя, что значение зональной гармоники в её полюсе равно единице.

142 а. Теперь мы можем применить метод п. 136 для определения коэффициента перед любой тессеральной поверхностной гармоникой в разложении произвольной функции от положения точки на сфере. Действительно, пусть 𝐹 – произвольная функция и 𝐴σ𝑛 – коэффициент перед 𝑌(σ)𝑛 в разложении этой функции по поверхностным гармоникам симметричной системы. Тогда

𝐹𝑌

(σ)

𝑛

𝑑𝑠

=

𝐴

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

⎞²

𝑑𝑠

=

𝐴

(σ)

𝑛

[𝑛,σ]

,

(83)

где [𝑛,σ] – сокращённое обозначение значения поверхностного интеграла, даваемого равенством (80).

142 б. Пусть Ψ – произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и не имеющая особых точек в пределах радиуса 𝑎 от точки 𝑂, которую мы примем за начало координат. Такую функцию всегда можно разложить в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в точке 𝑂.

Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке 𝑂 радиусом, меньшим 𝑎, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на 𝑟/𝑎 в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция.

Но более удобным способом, не требующим интегрирования, является дифференцирование по осям гармоник симметричной системы.

Предположим, например, что в разложении Ψ есть член вида

𝐴

(σ)

𝐶

𝑛

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

𝑟

𝑛

.

Если к функции Ψ и её разложению применить операцию

𝑑𝑛-σ

𝑑𝑧𝑛-σ

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

и положить после дифференцирования 𝑥, 𝑦, 𝑧 равными нулю, то в разложении исчезнут все члены, кроме члена, содержащего

𝐴

(σ)

𝐶

𝑛

Перейдя в операторе, применяемом к функции Ψ к дифференцированию по действительным осям, мы получим равенство

𝑑𝑛-σ

𝑑𝑧𝑛-σ

𝑑σ

𝑑𝑥σ

σ(σ-1)

1⋅2

𝑑σ-2

𝑑𝑥σ-2

𝑑²

𝑑𝑦²

+…

Ψ

=

=

𝐴

(σ)

𝐶

𝑛

(𝑛+σ)!(𝑛-σ)!

2σ𝑛!

,

(84)

позволяющее определить коэффициент перед любой гармоникой ряда через производные от Ψ по 𝑥, 𝑦, 𝑧 в начале координат.

143. Из уравнения (50) видно, что любая гармоника всегда может быть представлена как сумма системы зональных гармоник того же порядка, полюса которых распределены по поверхности сферы. Упрощение этой системы не представляется, однако, лёгким. Но с целью сделать наглядными некоторые свойства сферических гармоник, я рассчитал зональные гармоники третьего и четвёртого порядка и описанным выше методом сложения функций построил эквипотенциальные линии на сфере для гармоник, являющихся суммой двух зональных гармоник (см. рис. VI-IX в конце этого тома).

На рис. VI показана разность двух зональных гармоник третьего порядка, оси которых наклонены под углом 120° в плоскости рисунка. Эта разность представляет собой гармонику второго типа с σ=1 и осью, перпендикулярной рисунку.

На рис. VII также показана гармоника третьего порядка, но оси зональных гармоник, сумма которых построена, наклонены под углом 90°, и результат не относится к какому-либо типу симметричной системы. Одна из узловых линий – большой круг, но две другие, пересекаемые ею, не являются кругами.

На рис. VIII показана разность двух зональных гармоник четвёртого порядка, оси которых перпендикулярны. В результате получается тессеральная гармоника с 𝑛=4, σ=2.

На рис. IX показана сумма этих же гармоник. Результат даёт представление об одном из типов гармоник четвёртого порядка общего вида. Для этого типа узловая линия состоит из шести непересекающихся овалов. Внутри этих овалов гармоника положительна, а в шестисвязной области сферической поверхности, лежащей вне овалов, гармоника отрицательна.

На всех этих графиках показаны ортогональные проекции сферической поверхности.

Я построил также на рис. V плоское сечение через ось сферы, чтобы показать эквипотенциальные поверхности и силовые линии, создаваемые сферической поверхностью, на которой распределение поверхностного заряда определяется сферической гармоникой первого порядка.

Внутри сферы эквипотенциальные поверхности являются эквидистантными плоскостями, а силовые линии – прямые, параллельные оси, причём их расстояния от оси пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел. Линии вне сферы могут служить примером того, как выглядели бы характеристики магнитного поля Земли, если бы земной магнетизм был распределён наиболее простым образом.

144 а. Теперь мы в состоянии найти распределение электричества на сферическом проводнике под действием электрических сил с заданным потенциалом.

Указанными выше методами разложим заданный потенциал Ψ в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в центре сферы.

Пусть 𝐴𝑛𝑟𝑛𝑌𝑛 – одна из этих гармоник. Поскольку на проводящей сфере потенциал постоянен, то должен существовать член -𝐴𝑛𝑟𝑛𝑌𝑛, обусловленный распределением заряда по поверхности сферы, а значит, в разложение 4πσ должно входить слагаемое 4πσ𝑛=(2𝑛+1)𝑎𝑛𝐴𝑛𝑌𝑛.

Таким образом, мы можем определить коэффициенты всех гармоник в выражении для поверхностной плотности, за исключением нулевой. Коэффициент перед гармоникой нулевого порядка зависит от заряда 𝑒 сферы и даётся соотношением 4πσ0=𝑎-2𝑒.

Потенциал сферы равен 𝑉=Ψ0+(𝑒/𝑎).

144 б. Пусть теперь сфера помещена вблизи заземлённых проводников и известна Функция Грина 𝐺 от координат любых двух точек 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑥', 𝑦', 𝑧' в области, куда помещена сфера.

Если поверхностная плотность на сфере представлена как ряд по сферическим гармоникам, то проявления электричества вне сферы в точности такие же, какие были бы при помещении ряда воображаемых особых точек в центре сферы, первая из которых представляет собой простой точечный заряд, равный заряду сферы, а остальные – кратные точки различного порядка, соответствующие гармоникам плотности заряда на поверхности сферы.

Обозначим функцию Грина через 𝐺𝑝𝑝', где индекс 𝑝 указывает точку с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, а индекс 𝑝' – точку с координатами 𝑥', 𝑦', 𝑧'.

Если заряд 𝐴0 помещён в точку 𝑝', то, считая 𝑥', 𝑦', 𝑧' постоянными, мы можем рассматривать 𝐺𝑝𝑝' как функцию от 𝑥, 𝑦, 𝑧. Потенциал, создаваемый электричеством, наведённым на окружающих телах зарядом 𝐴0, равен

Ψ

=

𝐴

0

𝐺

𝑝𝑝'

.

(1)

Если бы заряд 𝐴0 находился не в точке 𝑝', а был равномерно распределён по сфере радиуса 𝑎 с центром в точке 𝑝', то значение Ψ в точках вне сферы осталось бы таким же.

При неравномерном распределении заряда по сфере представим поверхностную плотность заряда в виде ряда по сферическим гармоникам

4π𝑎²σ

=

𝐴

0

+

3𝐴

1

𝑖

1

+…+

(2𝑛-1)

3𝐴

𝑛

𝑌

𝑛

+…

,

(2)

что всегда можно сделать.

Потенциал, создаваемый каждым членом этого разложения, например членом

4π𝑎²σ

=

(2𝑛+1)

𝐴

𝑛

𝑌

𝑛

,

(3)

равен

𝑟𝑛

𝑎𝑛+1

𝐴

𝑛

𝑌

𝑛

в точках внутри сферы и

𝑎𝑛

𝑟𝑛+1

𝐴

𝑛

𝑌

𝑛

в точках вне сферы.

Последнее выражение, согласно (13), (14) из п. 129 в и 129 г, равно

(-1)

𝑛

𝐴

𝑛

𝑎𝑛

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝘩1…𝑑𝘩𝑛

1

𝑟

,

т.е. потенциал вне сферы, создаваемый распределением заряда на поверхности сферы, такой же, как от определённой кратной точки с осями 𝘩1,…,𝘩𝑛, и моментом 𝐴𝑛𝑎𝑛. Следовательно, распределение электричества на окружающих проводниках и потенциал, создаваемый этим распределением, будут такими же, как и для такой кратной точки.

Таким образом, потенциал в точке 𝑝 с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, обусловленный наведённым электричеством на окружающих телах, равен

Ψ

𝑛

=

(-1)

𝑛

𝐴

𝑛

𝑑𝑛

𝑑'𝘩1𝑑'𝘩2…𝑑'𝘩𝑛

𝐺

,

(4)

где штрихи при 𝑑 показывают, что дифференцирование производится по 𝑥', 𝑦', 𝑧'. После дифференцирования эти координаты приравниваются к координатам центра сферы.

Удобно считать 𝑌𝑛 разбитым на 2𝑛+1 составляющих симметричной системы. Пусть 𝐴𝑛𝑌(σ)𝑛 – одна из этих составляющих. Тогда

𝑑𝑛

𝑑'𝘩1…𝑑'𝘩𝑛

=

𝐷'

(σ)

𝑛

.

(5)

Здесь не нужно ставить индекс 𝑠 или 𝑐, указывающий, какая из функций, sin σφ или cos σφ, входит в гармонику.

Мы можем теперь написать полное выражение для потенциала Ψ, возникающего из-за наведённого заряда:

Ψ

=

𝐴

0

𝐺

+

∑∑

(-1)

𝑛

𝐴

(σ)

𝑛

𝑎𝑛

𝑛!

𝐷'

(σ)

𝑛

𝐺

.

(6)

Но на сфере потенциал постоянен, т. е.

Ψ

+

1

𝑎

𝐴

0

+

∑∑

𝑟𝑛1

𝑎𝑛1+1

𝐴

1)

𝑛1

𝑌

1)

𝑛1

=

const.

(7)

Применим теперь к этому выражению операцию 𝐷(σ₁)𝑛₁, где дифференцирование производится по 𝑥, 𝑦, 𝑧, а значения 𝑛₁ и σ₁ независимы от 𝑛 и σ. В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с 𝑉(σ₁)𝑛₁ и мы получаем

-2

(𝑛11)!(𝑛11)!

2𝑛1!

1

𝑎𝑛1+1

𝐴

1)

𝑛1

=

=

𝐴

0

𝐷

1)

𝑛1

𝐺

+

∑∑

(-1)

𝑛

𝐴

(σ)

𝑛

𝑎𝑛

𝑛!

𝐷

1)

𝑛1

𝐷'

(σ)

𝑛

𝐺

.

(8)

Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит 𝐴0 заряд сферы, его можно считать главным слагаемым.

Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приближении

𝐴

1)

𝑛1

=

1

2

2𝑛1!

(𝑛11)!(𝑛11)!

𝐴

0

𝑎

𝑛1+1

𝐷

(σ)

𝑛

𝐺

.

(9)

Если наименьшее расстояние от центра сферы до ближайшего из окружающих проводников обозначить через 𝑏, то

𝑎

𝑛1+1

𝐷

(σ)

𝑛

𝐺

<

𝑛

1

!

𝑎

𝑏

⎞𝑛1+1

.

Следовательно, при 𝑏 много большем радиуса сферы 𝑎, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше 𝐴0. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (𝑎/𝑏)2𝑛+𝑛1+1. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении можно в эти члены подставить значения коэффициентов из первого приближения и так далее до тех пор, пока не будет достигнута нужная степень приближения.


    Ваша оценка произведения:

Популярные книги за неделю

  • wait_for_cache