Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 8 (всего у книги 34 страниц)
ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТАТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Определение электричества как математической величины
63. Мы видели, что свойства заряженных тел таковы, что заряд одного тела может быть равен заряду другого или сумме зарядов двух тел и что два тела, заряженных одинаково, но противоположно, не оказывают никакого действия на внешние тела, если их поместить вместе внутрь замкнутого изолированного проводящего сосуда. Мы можем выразить все эти свойства в краткой и согласованной форме, считая наэлектризованное тело заряженным определённым количеством электричества, которое мы обозначим через е. Если заряд положителен, т. е., согласно обычному соглашению, стеклообразный, то 𝑒 будет положительной величиной. Если заряд отрицателен, т. е. смолообразный, то 𝑒 будет отрицательной величиной, а величину -𝑒 можно истолковать либо как отрицательное количество стеклянного электричества, либо как положительное количество смоляного электричества.
Сложение двух равных, но противоположных электрических зарядов +𝑒 и -𝑒 приводит к незаряженному состоянию, описываемому нулём. Поэтому незаряженное тело мы можем рассматривать как виртуально заряженное равными, но противоположными зарядами неопределённой величины, а заряженное тело можем считать виртуально заряженным неравными количествами положительного и отрицательного электричества, причём алгебраическая сумма этих зарядов даёт наблюдаемую электризацию. Очевидно, однако, что такой способ рассмотрения заряженных тел совершенно искусственный. Его можно сравнить с пониманием скорости тела как состоящей из двух или нескольких различных скоростей, ни одна из которых не является настоящей скоростью тела.
ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ
Трёхмерное распределение
64.Определение. Объёмной плотностью электричества в данной точке пространства является предел отношения количества электричества внутри сферы с центром в данной точке к объёму этой сферы при неограниченном уменьшении радиуса сферы.
Мы будем обозначать это отношение через ρ; оно может быть как положительным, так и отрицательным.
Поверхностное распределение
Как теория, так и эксперимент показывают, что в некоторых случаях заряд тела находится целиком на поверхности. Плотность в точке поверхности, определённая как указано выше, была бы бесконечно большой. Поэтому мы примем другой способ измерения поверхностной плотности.
Определение. Плотностью электричества в данной точке на поверхности является предел отношения количества электричества внутри сферы с центром в данной точке к площади поверхности, вырезаемой этой сферой при неограниченном уменьшении радиуса сферы.
Мы будем обозначать поверхностную плотность буквой σ.
Те читатели, которые представляют себе электричество материальной жидкостью или совокупностью частиц, должны в этом случае считать электричество распределённым по поверхности в виде слоя определённой толщины θ с плотностью равной ρ0 или тому значению ρ, которое получится при максимально тесном расположении частиц на поверхности. Очевидно, в этой теории ρ0θ=σ. При отрицательном значении σ согласно этой теории, определённый слой толщины θ остаётся полностью лишённым положительного электричества и заполненным целиком отрицательным электричеством или – в одножидкостной теории – веществом.
Нет, однако, никаких экспериментальных указаний ни на наличие электрического поверхностного слоя конечной толщины, ни на то, что электричество представляет собой жидкость или совокупность частиц. Поэтому мы предпочитаем не вводить обозначения для толщины слоя, а пользоваться специальным обозначением для поверхностной плотности.
Линейное распределение
Иногда удобно считать электричество распределённым на линии, т. е. на длинном узком теле, толщиной которого мы пренебрегаем. В этом случае мы можем определить линейную плотность в каждой точке как предел отношения заряда на элементе линии к длине этого элемента при неограниченном уменьшении этой длины.
Если линейную плотность обозначить через λ, то полное количество электричества на кривой будет равно 𝑒=∫λ𝑑𝑠, где 𝑑𝑠 -элемент длины кривой. Аналогично, если σ – поверхностная плотность, то полное количество электричества на поверхности равно 𝑒=∬σ𝑑𝑆 где 𝑑𝑆 – элемент поверхности.
Наконец, если ρ – объёмная плотность в каждой точке пространства, то полный заряд в некотором объёме равен 𝑒=∭ρ𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 где 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 – элемент объёма. Пределами интегрирования во всех случаях являются границы кривой, поверхности или рассматриваемой части пространства.
Очевидно, 𝑒, λ, σ и ρ – величины различного рода, причём размерность каждой последующей величины меньше размерности предыдущей на множитель размерности длины, так что если 𝑙 означает длину, то величины 𝑒, 𝑙λ, 𝑙²σ и 𝑙³ρ будут одного и того же рода, и если [𝐿] -единица длины, а [λ], [σ], [ρ] – единицы плотностей различного рода, то [𝑒], [𝐿λ], [𝐿²σ], [𝐿³ρ], означают все единицу электричества.
Определение единицы электричества
65. Пусть A и B – две точки, находящиеся на расстоянии в единицу длины. Пусть два тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием AB, заряжены равными количествами положительного электричества и помещены соответственно в точки A и B и пусть заряды их таковы, что сила их взаимного расталкивания равна единичной силе (способ её измерения указан в п. 6). Тогда заряд каждого тела считается равным единице количества электричества.
Если бы тело B было заряжено единицей отрицательного электричества, то, поскольку взаимодействие тел носило бы противоположный характер, тела бы притягивались с единичной силой. Если бы заряд A тоже был отрицательным и равным единице, мы вновь имели бы отталкивание с единичной силой.
Поскольку взаимодействие любых двух порций электричества не зависит от наличия остальных, сила расталкивания 𝑒 единиц электричества в точке A и 𝑒' единиц электричества в точке B будет равна 𝑒𝑒', если расстояние AB равно единице (см. п. 39).
Закон действия силы, между заряженными телами
66. Кулон показал на опыте, что сила, действующая между заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, сила расталкивания двух таких тел, несущих заряды 𝑒 и 𝑒' и находящихся на расстоянии 𝑟, равна 𝑒𝑒'/𝑟².
В п. 74в, 74г и 74д мы покажем, что этот закон – единственный, согласующийся с наблюдённым фактом, состоящим в том, что проводник, помещённый внутрь другого полого замкнутого проводника и находящийся с ним в контакте, полностью теряет свой электрический заряд. Наше убеждение в точности закона обратных квадратов следует считать основанным скорее на опытах такого рода, нежели на непосредственных измерениях Кулона.
Результирующая сила между двумя телами
67. Чтобы рассчитать результирующую силу между двумя телами, мы можем разделить каждое тело на элементы объёма и рассмотреть силу отталкивания электричества, расположенного на каждом элементе одного объёма, от электричества на каждом элементе второго объёма. Таким образом, мы получим систему сил, число которых равно произведению чисел элементов, на которые разделено каждое тело. Затем следует сложить действие всех этих сил по правилам Статики. Таким образом, чтобы найти составляющую в направлении оси 𝑥 нужно найти значение шестикратного интеграла
∭∭
ρρ'(𝑥-𝑥')𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥'𝑑𝑦'𝑑𝑧'
{(𝑥-𝑥')2+(𝑦-𝑦')2+(𝑧-𝑧')2}3/2
где 𝑥, 𝑦, 𝑧 – координаты точки первого тела, плотность заряда в которой равна ρ; 𝑥', 𝑦', 𝑧' ρ' – соответствующие величины для второго тела, и интегрирование производится сначала по одному телу, а затем по другому.
Результирующая напряжённость в точке
68. Для упрощения математических выкладок удобно рассматривать действие заряженного тела не на другое тело произвольной формы, а на достаточно малое тело, заряженное достаточно малым количеством электричества, помещённое в произвольную точку пространства, куда простирается электрическое действие. Принимая заряд этого тела достаточно малым, мы делаем неощутимым его искажающее действие на заряд первого тела.
Пусть 𝑒 – заряд малого тела, и пусть при помещении в точку (𝑥, 𝑦, 𝑧) на него действует сила 𝑅𝑒, направляющие косинусы которой 𝑙, 𝑚, 𝑛. Тогда мы можем назвать 𝑅 результирующей электрической напряжённостью в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 – составляющие 𝑅, то 𝑋=𝑅𝑙, 𝑌=𝑅𝑚, 𝑍=𝑅𝑛. Говоря о результирующей электрической напряжённости в точке, мы не обязательно имеем в виду, что здесь фактически действует какая-то сила; мы только хотим сказать, что если бы в эту точку было помещено заряженное тело, то на него действовала бы сила 𝑅𝑒 где 𝑒 – заряд этого тела 1.
1 Электрическая и магнитная напряжённости в электричестве и магнетизме соответствуют напряжённости тяготения, обозначаемой обычно через 𝑔 в теории тяготения.
Определение. Результирующая электрическая напряжённость в точке – это сила, которая действовала бы на малое тело, заряженное единичным положительным зарядом, если бы его поместили в эту точку, не исказив имеющегося распределения электричества.
Эта сила стремится не только переместить заряженное тело, но также переместить электричество на этом теле, так что положительное электричество стремится сместиться в направлении 𝑅 а отрицательное – в противоположном направлении. Поэтому величина 𝑅 называется также Электродвижущей Напряжённостью в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Если мы захотим выразить явно тот факт, что результирующая напряжённость является вектором, мы будем обозначать её готической буквой 𝔈. Если тело является диэлектриком, то, согласно принятой в этом трактате теории, электричество смещается в нём, причём количество электричества, смещаемое в направлении вектора 𝔈 через единичную площадку, перпендикулярную 𝔈, равно 𝔇=𝐾𝔈/4π, где 𝔇 – смещение, 𝔈 – напряжённость поля, а 𝐾 – индуктивная способность диэлектрика.
Если тело является проводником, то состояние напряжения непрерывно снимается, так что возникает ток проводимости, поддерживаемый до тех пор, пока в среде действует 𝔈.
Линейный интеграл от электрической напряжённости или электродвижущая сила вдоль дуги кривой
69. Электродвижущая сила вдоль заданной дуги АР некоторой кривой измеряется численно работой, которая была бы совершена электрической напряжённостью над единичным положительным зарядом, перемещаемым вдоль кривой, начиная с точки А и кончая точкой Р дуги.
Если 𝑠 – длина дуги, отмеряемая от точки А, а результирующая напряжённость 𝑅 в каждой точке кривой образует угол ε с касательной к кривой, проведённой в положительном направлении, то работа,– совершенная над единичным электрическим зарядом при его перемещении вдоль элемента кривой 𝑑𝑠 равна 𝑅 cos ε𝑑𝑠 а полная электродвижущая сила 𝐸 равна
𝐸
=
𝑠
∫
0
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
,
где интегрирование производится от начала до конца дуги.
Если использовать составляющие напряжённости, то это выражение примет вид
𝐸
=
𝑠
∫
0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑍
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 таковы, что 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 образует полный дифференциал функции – 𝑉 от 𝑥, 𝑦, 𝑧, то
𝐸
=
𝑃
∫
𝐴
⎛
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑌
𝑑𝑦
𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎠
=-
𝑃
∫
𝐴
𝑑𝑉
=
𝑉
𝐴
–
𝑉
𝑃
,
где интегрирование производится по любому пути от точки А к точке Р, будь то заданная кривая или любая другая линия, соединяющая А и Р.
Здесь 𝑉 – скалярная функция положения точки в пространстве, т. е. значение координат точки определяет значение 𝑉, причём это значение не зависит от положения и направления осей координат (см. п. 16).
О функциях положения точки
В последующем, описывая какую-либо величину как функцию положения точки, мы имеем в виду, что для каждого положения точки функция имеет определённое значение. Мы не подразумеваем при этом, что это значение всегда выражается одной и той же формулой для всех точек пространства; оно может выражаться одной формулой по одну сторону от некоторой поверхности и другой – по другую сторону.
О потенциальных функциях
70. Величина 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 является полным дифференциалом во всех случаях, когда сила обусловлена притяжением или отталкиванием, напряжённость которых зависит от расстояний до некоторого числа точек. Если 𝑟 – расстояние одной из этих точек от точки (𝑥, 𝑦, 𝑧) a 𝑅 – напряжённость отталкивания, то
𝑋
1
=
𝑅
1
𝑥-𝑥1
𝑟1
=
𝑅
1
𝑑𝑥1
𝑑𝑥
и аналогично для 𝑌1 и 𝑍1 так что
𝑋
1
𝑑𝑥
+
𝑌
1
𝑑𝑦
+
𝑍
1
𝑑𝑧
=
𝑅
1
𝑑𝑟
1
,
а поскольку 𝑅1 зависит только от 𝑟1 то 𝑅1𝑑𝑟1 является полным дифференциалом некоторой функции от 𝑟1 скажем, -𝑉1.
Аналогично для любой другой силы 𝑅2, действующей из центра, находящегося на расстоянии 𝑟2,
𝑋
2
𝑑𝑥
+
𝑌
2
𝑑𝑦
+
𝑍
2
𝑑𝑧
=
𝑅
2
𝑑𝑟
2
=-
𝑉
2
.
Ho 𝑋=𝑋1+𝑋2+ и т. д., и аналогично 𝑌 и 𝑍, так что
𝑋
𝑑𝑥
+
𝑌
𝑑𝑦
+
𝑍
𝑑𝑧
=
–𝑑𝑉
1
–𝑑𝑉
2
– и т.д.=
–𝑑𝑉
.
Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.
В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.
Определение потенциала. Потенциал в Точке – это работа, которая была бы совершена электрическими силами над единичным положительным зарядом, внесённым в эту точку без искажения распределения заряда, при переносе его из этой точки на бесконечное расстояние, или, что то же самое-работа внешнего источника при переносе единичного положительного заряда из бесконечности (или из любого места, где потенциал равен нулю) в данную точку.
Выражение напряжённости и её составляющих через потенциал
71. Поскольку полная электродвижущая сила вдоль любой дуги АВ равна 𝐸𝐴𝐵=𝑉𝐴-𝑉𝐵, то, положив дугу АВ равной 𝑑𝑠 получим для составляющей напряжённости в направлении 𝑑𝑠: 𝑅 cos ε=-(𝑑𝑉/𝑑𝑠), откуда, приняв последовательно 𝑑𝑠 параллельными каждой из осей, получим
𝑋
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑥
,
𝑌
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑦
,
𝑍
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑧
,
𝑅
=
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎫½
⎬
⎭
.
Саму напряжённость, величина которой равна 𝑅 а составляющие равны 𝑋, 𝑌, 𝑍 мы будем обозначать готической буквой 𝔈 как в п. 68.
Потенциал во всех точках внутри проводника одинаков
72. Проводник – это тело, которое позволяет электричеству перемещаться от одной части тела к другой под действием электродвижущей силы. Если электричество находится в равновесии, то внутри проводника не может быть электродвижущей напряжённости. Таким образом, 𝑅=0 во всем объёме, занятом проводником. Отсюда следует, что (𝑑𝑉/𝑑𝑥)=0, (𝑑𝑉/𝑑𝑦)=0, (𝑑𝑉/𝑑𝑧)=0, так что для всех точек проводника 𝑉=𝐶 где 𝐶 – постоянная величина.
Поскольку потенциал во всех точках внутри проводника равен 𝐶, величину 𝐶 называют Потенциалом проводника. 𝐶 можно определить как работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности на проводник в предположении, что распределение электричества не искажается в присутствии этого единичного заряда.
В п. 246 будет показано, что в общем случае контакта двух тел различного рода через поверхность контакта действует электродвижущая сила от одного тела к другому, так что, когда они находятся в равновесии, потенциал одного тела выше потенциала другого. Поэтому мы пока будем считать, что все наши проводники сделаны из одного и того же металла и находятся при одинаковой температуре.
Если потенциалы проводников A и B равны соответственно 𝑉𝐴 и 𝑉𝐵, то электродвижущая сила вдоль проволоки, соединяющей A и В, равна 𝑉𝐴-𝑉𝐵 в направлении от A к B, т.е. положительное электричество будет стремиться перейти с проводника с большим потенциалом на другой проводник.
В науке об электричестве Потенциал находится в таком же соотношении с Электричеством, как Давление – с Жидкостью в Гидростатике или Температура – с Теплотой в Термодинамике. И Электричество, и Жидкость, и Теплота стремятся перейти из одного места в другое, если соответственно потенциал, давление или температура в первом месте больше, чем во втором. Жидкость, безусловно, является веществом, теплота, конечно, не является веществом, так что, хотя аналогии такого рода и могут оказать помощь в формировании представлений о формальных соотношениях между электрическими величинами, нужно быть внимательным, чтобы та или иная аналогия не была истолкована как указание на то, что электричество – это вещество, подобное воде, или состояние возбуждения, подобное теплоте.
Потенциал произвольной электрической системы
73. Если имеется единственный точечный заряд величины 𝑒 и 𝑟 – расстояние точки 𝑥', 𝑦', 𝑧' от этого заряда, то
𝑉
=
∞
∫
𝑟
𝑅
𝑑𝑟
=
∞
∫
𝑟
𝑒
𝑟²
𝑑𝑟
=
𝑒
𝑟
.
Если же имеется произвольное число точечных зарядов 𝑒1, 𝑒2 и т. д. в точках с координатами (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), и т. д. и их расстояния до точки (𝑥', 𝑦', 𝑧') равны 𝑟1, 𝑟2 и т. д., то потенциал системы в точке (𝑥', 𝑦', 𝑧') равен 𝑉=∑(𝑒/𝑟).
Если плотность заряда в произвольной точке (𝑥, 𝑦, 𝑧) заряженного тела равна ρ, то потенциал, создаваемый телом, равен
𝑉
=
∭
ρ
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑟={(𝑥-𝑥)²+(𝑦-𝑦)²+(𝑧-𝑧)²}½ а интегрирование производится по всему телу.
О доказательстве закона обратных квадратов
74 а. Факт обратной пропорциональности силы, действующей между заряженными телами, квадрату расстояния между ними можно считать установленным прямыми опытами Кулона с крутильными весами. Однако выводимый из этих опытов результат с необходимостью содержит погрешность, обусловленную случайными ошибками каждого эксперимента, а как раз в опыте с крутильными весами такие ошибки у не слишком искусного экспериментатора весьма ощутимы.
Значительно более точное подтверждение закона действия силы может быть получено из опыта, аналогичного описанному в п. 32 (опыт VII).
В до сих пор ещё не опубликованной работе по электричеству Кавендиш показал, что справедливость закона обратных квадратов определяется результатами такого опыта.
Он закрепил шар на изолирующей подставке и присоединил две полусферы с помощью стеклянных стержней к двум деревянным рамам, вращающимся на петлях вокруг оси, так что при сближении рам эти полусферы образовывали изолированную сферическую оболочку, концентрическую шару.
Шар можно было соединять с полусферами с помощью короткой проволочки, подвешенной на шёлковой нити, так что проволочку можно было удалять, не разряжая прибора.
С помощью лейденских банок, потенциал которых был предварительно измерен электрометром, он заряжал полусферы, соединённые с шаром, и тотчас же вытаскивал соединяющую проволочку с помощью шёлковой нити, разводил и разряжал полусферы и проверял электрическое состояние шара с помощью шарового электрометра.
Этот электрометр, считавшийся в то время (1773 г.) самым чувствительным, не обнаружил никаких следов заряда.
Затем Кавендиш сообщал шару заряд, составляющий известную долю заряда, ранее сообщённого полусферам, и вновь исследовал шар электрометром.
Таким образом он установил, что заряд шара в первоначальном опыте должен: быть менее 1/60 заряда всей установки, так как больший заряд был бы обнаружен электрометром.
Затем он рассчитал отношение заряда на шаре к заряду на полусферах в предположении, что сила расталкивания обратно пропорциональна расстоянию в степени, слегка отличающейся от двойки, и нашёл, что если бы это отличие составляло 1/50, то на шаре был бы заряд равный 1/57 от заряда всей установки, т. е. его мог бы обнаружить электрометр.
74 б. Недавно этот опыт был повторён в Кавендишской Лаборатории в несколько ином виде.
Полусферы были закреплены на изолированной подставке, а шар закреплён внутри в надлежащем положении с помощью эбонитового кольца. В таком приспособлении изолирующая подставка шара никогда не находится под действием заметной электрической силы и, следовательно, никогда не заряжается, так что полностью исключается искажающее действие переползания электричества вдоль поверхности изолятора.
Полусферы не отводились перед проверкой потенциала шара. Они оставались на своём месте, но разряжались на землю. Влияние заданного заряда шара на электрометр в этом случае было меньше, чем при отведённых полусферах, но этот недостаток с лихвой искупался полнейшей защитой от всех внешних электрических воздействий благодаря проводящим оболочкам.
Короткая проволочка, обеспечивавшая соединение оболочки с шаром, была прикреплена к небольшому металлическому диску, прикрывавшему небольшое отверстие в оболочке, так что, когда проволочка вместе с диском приподнималась с помощью шёлковой нити, в отверстие можно было погрузить электрод электрометра до контакта с находящимся внутри шаром.
Электрометром служил Томсоновский Квадрантный Электрометр, описанный в п. 219. Корпус электрометра и один из его электродов были всё время соединены с землёй, а измерительный электрод соединялся с землёй до разрядки оболочки.
Для определения первоначального заряда оболочки на значительном расстоянии от неё располагался на подставке небольшой латунный шарик.
Опыт проводился следующим образом.
Оболочка заряжалась контактом с лейденской банкой. Небольшой шарик соединялся с землёй и приобретал отрицательный заряд через индукцию, после чего он изолировался. Проволочка, соединявшая шар и оболочки, удалялась с помощью шёлковой нити. Затем оболочка разряжалась и оставалась заземлённой. Измерительный электрод отключался от земли, и через отверстие в оболочке приводился в контакт с шаром.
Электрометр не регистрировал ни малейшего эффекта.
Для проверки чувствительности прибора оболочка отсоединялась от земли, а небольшой шарик разряжался на землю. При этом электрометр показывал положительное отклонение D.
Отрицательный заряд на шарике составлял около 1/54 от первоначального заряда оболочки, положительный заряд, индуцированный этим шариком при заземлении оболочки, составлял около 1/9 заряда шарика. Таким образом, после заземления шарика потенциал оболочки, регистрируемый электрометром, составлял 1/486 её первоначального потенциала.
Если бы отталкивание было пропорционально 𝑟𝑞-2, то потенциал шара составлял бы долю -0,1478𝑞 от потенциала оболочки согласно уравнению (22) п. 74 г.
Поэтому, если ±𝑑 – наибольшее отклонение электрометра, могущее оказаться не замеченным, a 𝐷 – отклонение, зарегистрированное во второй части опыта, то 𝑞 не может превосходить ±(1/72)⋅(𝑑/𝐷) (поскольку 0,1478𝑞𝑉/(1/486⋅𝑉) должна быть меньше, чем 𝑑/𝐷).
Даже в грубых опытах 𝐷 превосходило 300𝑑 так что 𝑞 не может превосходить ±1/21600.
Теория этого опыта
74 в. Найдём потенциал в произвольной точке, создаваемый однородной сферической оболочкой при силе расталкивания двух единичных зарядов, описываемой заданной функцией расстояния.
Пусть φ(𝑟) – расталкивание двух единичных зарядов на расстоянии 𝑟, а ƒ(𝑟) – такая функция, что
𝑑ƒ(𝑟)
𝑑𝑟
(=ƒ'(𝑟))=𝑟
∞
∫
𝑟
ƒ(𝑟)
𝑑𝑟
.
(1)
Пусть радиус оболочки равен 𝑎 а поверхностная плотность заряда на ней σ. Тогда если через α обозначить полный заряд на оболочке, то
α=4π𝑎²σ
(2)
Пусть 𝑏 – расстояние заданной точки от центра оболочки, а 𝑟 – расстояние этой точки от любой данной точки оболочки.
Если мы введём сферические координаты точки на оболочке, выбрав полюс в центре оболочки, а ось проходящей через заданную точку, то получим
𝑟²
=
𝑎²
+
𝑏²
–
2𝑎𝑏 cos θ
.
(3)
Заряд элемента оболочки равен
σ𝑎² sin θ
𝑑φ
𝑏θ
,
(4)
а потенциал, создаваемый этим элементом в заданной точке, равен
σ𝑎² sin θ
ƒ'(𝑟)
𝑟
𝑏θ
𝑑φ
.
(5)
Это выражение нужно проинтегрировать по φ от φ=0 до φ=2π, что даёт
2π
σ𝑎² sin θ
ƒ'(𝑟)
𝑟
𝑏θ
.
(6)
Остаётся провести интегрирование по θ от θ=0 до θ=π.
Дифференцируя (3), найдём
𝑟
𝑑𝑟
=
𝑎𝑏
sin θ
𝑑θ
.
(7)
Подставляя значение 𝑑θ в (6), получим
2πσ
𝑎
𝑏
ƒ'(𝑟)
𝑑𝑟
.
(8)
Интегрирование даёт
𝑉
=
2πσ
𝑎
𝑏
{
ƒ(𝑟
1
)
–
ƒ(𝑟
2
)
},
(9)
где 𝑟1 – наибольшее значение 𝑟 равное всегда 𝑎+𝑏 а 𝑟1 – наименьшее значение 𝑟, равное 𝑏-𝑎 в случае, когда заданная точка находится вне оболочки, и 𝑎-𝑏 когда эта точка внутри оболочки.
Если α – полный заряд оболочки, a 𝑉 – создаваемый им потенциал в данной точке, то для точек вне оболочки
𝑉
=
α
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑏+𝑎)
–
ƒ(𝑏-𝑎)
},
(10)
на самой оболочке
𝑉
=
α
2𝑎²
ƒ(2𝑎),
(11)
а для точек внутри её
𝑉
=
α
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑎+𝑏)
–
ƒ(𝑎-𝑏)
},
(12)
Найдём теперь потенциалы двух концентрических сферических оболочек с радиусами внешней и внутренней оболочек равными 𝑎 и 𝑏 и зарядами α и β.
Обозначая потенциал внешней оболочки через А, а внутренней через В, мы найдём из вышесказанного, что
𝐴
=
α
2𝑎²
ƒ(2𝑎)
+
β
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑎+𝑏)
–
ƒ(𝑎-𝑏)
},
(13)
𝐵
=
β
2𝑏²
ƒ(2𝑏)
+
α
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑎+𝑏)
–
ƒ(𝑎-𝑏)
},
(14)
В первой части опыта оболочки соединены короткой проволочкой и приобретают обе одинаковый потенциал 𝑉.
Полагая 𝐴=𝐵=𝑉 и решая уравнения (13) и (14) относительно β, мы найдём заряд на внутреннем проводнике:
β
=
𝑏ƒ(2𝑎)-𝑎[ƒ(𝑎+𝑏)-ƒ(𝑎-𝑏)]
ƒ(2𝑎)ƒ(2𝑏)-[ƒ(𝑎+𝑏)-ƒ(𝑎-𝑏)]²
(15)
В опыте Кавендиша полусферы, образующие оболочку, отводились на расстояние, которое мы можем считать бесконечным, и разряжались. Потенциал внутренней оболочки (т. е. шара) становился при этом равным
𝐵
1
=
β
2𝑏²
ƒ(2𝑏)
.
При повторении опыта в Кавендишской Лаборатории наружная оболочка оставалась на месте, но заземлялась, так что 𝐴=0. В этом случае для потенциала внутреннего шара, выраженного через 𝑉, получим
𝐵
2
=
𝑉
⎧
⎨
⎩
1-
𝑎
𝑏
ƒ(𝑎+𝑏)-ƒ(𝑎-𝑏)
ƒ(2𝑎)
⎫
⎬
⎭
.
(17)
74 г. Примем теперь вместе с Кавендишем, что сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния, не сильно отличающейся от двойки.
Положим
φ(𝑟)=𝑟
𝑞-2
,
(18)
тогда
ƒ(𝑟)
=
1
1-𝑞²
𝑟
𝑞+1
.
(19)
Если считать 𝑞 малым, то это выражение можно представить по теореме об экспоненте в виде разложения
ƒ(𝑟)
=
1
1-𝑞²
𝑟
⎧
⎨
⎩
1+
𝑞 ln 𝑟+
1
1⋅2
(𝑞 ln 𝑟)²
+…
⎫
⎬
⎭
.
(20)
Если пренебречь членами, содержащими 𝑞² то выражения (16) и (17) примут вид
𝐵
1
=
1
2
𝑎
𝑎-𝑏
𝑉𝑞
⎡
⎢
⎣
ln
4𝑎²
𝑎²-𝑏²
–
𝑎
𝑏
ln
𝑎+𝑏
𝑎-𝑏
⎤
⎥
⎦
,
(21)
𝐵
2
=
1
2
𝑉𝑞
⎡
⎢
⎣
ln
4𝑎²
𝑎²-𝑏²
–
𝑎
𝑏
ln
𝑎+𝑏
𝑎-𝑏
⎤
⎥
⎦
.
(22)
Отсюда можно найти 𝑞 по данным опыта.
74 д. Лаплас первым показал, что никакая функция расстояния, кроме обратно пропорциональной квадрату расстояния, не удовлетворяет условию, что однородная сферическая оболочка не действует на частицу, находящуюся внутри неё 2.
2 Méc. Cél., I, 2.
Если мы примем, что β в выражении (15) всегда равно нулю, мы сможем применить метод Лапласа для нахождения вида ƒ(𝑟) Из (15) следует, что
𝑏ƒ
(2𝑎)
–
𝑎ƒ
(𝑎+𝑏)
+
𝑎ƒ
(𝑎-𝑏)
=0.
Дифференцируя дважды по 𝑏 и деля на 𝑎, получим ƒ''(𝑎+𝑏)=ƒ''(𝑎-𝑏).
Если это равенство выполняется тождественно, то ƒ''(𝑟)=𝐶0=const. Отсюда ƒ'(𝑟)=𝐶0𝑟+𝐶1 и, согласно (1),
∞
∫
𝑟
φ(𝑟)
𝑑𝑟
=
ƒ(𝑟)
𝑟
=
𝐶
0
+
𝐶1
𝑟
,
φ(𝑟)
=
𝐶1
𝑟²
.
Заметим здесь, что хотя предположение Кавендиша о том, что сила меняется как некоторая степень расстояния, представляется менее общим, чем предположение Лапласа, что сила является произвольной функцией расстояния, оно является единственным совместимым с тем фактом, что подобные поверхности могут быть заряжены так, чтобы иметь подобные электрические свойства.
Ибо, если бы сила была функцией расстояния, отличной от степенной, то отношение сил на двух различных расстояниях не было бы функцией отношения расстояний, а зависело бы от абсолютного значения этих расстояний и поэтому содержало бы отношения этих расстояний к абсолютно фиксированной длине.
Фактически Кавендиш сам отмечает, что, согласно его собственной гипотезе о строении электрической жидкости, распределение электричества на двух геометрически подобных проводниках не может быть в точности подобным, если только заряды проводников не пропорциональны объёмам. Действительно, он предполагает, что частицы электрической жидкости плотно спрессованы вблизи поверхности тела, а это эквивалентно предположению о том, что закон взаимодействия не является законом обратных квадратов, и для сильно сблизившихся частиц расталкивание начинает расти значительно быстрее с дальнейшим уменьшением расстояния между ними.
Поверхностный интеграл от электрической индукции и электрическое смещение через поверхность
75. Пусть 𝑅 – результирующая напряжённость в произвольной точке поверхности, а ε – угол, который она образует с нормалью, проведённой к положительной стороне поверхности. Тогда 𝑅 cos ε – составляющая напряжённости по нормали к поверхности, и если 𝑑𝑆 – элемент поверхности, то электрическое смещение через 𝑑𝑆 будет, согласно п. 68, равно (1/4π)𝐾𝑅 cos ε𝑑𝑆. Поскольку мы сейчас не рассматриваем никаких диэлектриков, кроме воздуха, то 𝐾=1.
Мы можем, однако, избежать на этой стадии применения теории электрического смещения, назвав величину 𝑅 cos ε𝑑𝑆. Индукцией через элемент 𝑑𝑆. Эта величина хорошо известна в математической физике, но название её мы заимствовали у Фарадея. Поверхностный интеграл от индукции равен ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆. Из п. 21 следует, что если 𝑋, 𝑌, 𝑍 – составляющие 𝑅 и если они непрерывны в области, ограниченной замкнутой поверхностью 𝑆 то индукция, отсчитываемая изнутри наружу, равна
∬
𝑅 cos ε
𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где интегрирование проводится по всему объёму, охватываемому поверхностью.
Индукция через замкнутую поверхность, обусловленная отдельным силовым центром
76. Пусть в точке O находится количество электричества 𝑒 и пусть 𝑟 – расстояние произвольной точки Р от точки О. Тогда напряжённость в этой точке равна 𝑅=𝑒𝑟-2 и направлена по ОР.
Пусть из точки О проведена в произвольном направлении прямая в бесконечность. Если точка О находится вне заданной замкнутой поверхности, то эта прямая либо не пересечёт этой поверхности, либо выйдет из неё столько же раз, сколько войдёт. Если О находится внутри поверхности, то прямая должна сначала выйти из поверхности, а потом она может попеременно входить и выходить любое число раз, но в конце концов она должна выйти из поверхности.
Пусть ε – угол между ОР и наружной нормалью к поверхности в точке, где её пересекает ОР. Там, где прямая выходит из поверхности, cos ε положителен, а там, где входит, – отрицателен.
Опишем теперь вокруг точки О сферу единичного радиуса, и пусть прямая ОР описывает коническую поверхность с малым углом раскрыва и с вершиной в точке О.
Этот конус вырежет малый элемент 𝑑ω на поверхности сферы и малые элементы 𝑑𝑆1, 𝑑𝑆2, и т. д. на замкнутой поверхности в различных местах пересечения прямой ОР с нею.
Поскольку каждый из этих элементов 𝑑𝑆 пересекает конус на расстоянии 𝑟 от вершины и наклонён под углом ε, то 𝑑𝑆=±𝑟² sec ε𝑑ω, а так как 𝑅=𝑒𝑟-2, то 𝑅 cos ε𝑑𝑆=±𝑑ω. При этом положительный знак берётся, когда 𝑟 выходит из поверхности, а отрицательный – когда входит.
