Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 30 (всего у книги 34 страниц)

О приближённом вычислении сопротивления проводника заданной формы

306. У рассматриваемого здесь проводника поверхность разделена на три части. На одной из этих частей потенциал имеет некоторое постоянное значение. На второй части потенциал имеет постоянное значение, отличное от первого. Вся остальная поверхность непроницаема для электричества. Мы можем предположить, что условия, налагаемые на первую и вторую части поверхности, будут выполнены, если приложить к проводнику два электрода из совершенно проводящего материала, а условие, налагаемое на остальную часть поверхности, можно выполнить, покрыв её совершенно непроводящим материалом.

При этих условиях ток в каждой части проводника просто пропорционален разности между потенциалами электродов. Если назвать эту разность электродвижущей силой, то полный ток от одного электрода к другому равен произведению электродвижущей силы на проводимость проводника как целого, а сопротивление проводника есть величина, обратная проводимости.

Только когда проводник находится примерно в таких условиях, которые определены выше, можно говорить, что он, как целое, обладает сопротивлением или проводимостью. Катушка сопротивления, состоящая из тонкой проволоки, концы которой выведены на большие медные массы, приблизительно удовлетворяет этим условиям, потому что потенциал внутри массивного электрода является почти постоянным, и любые разности потенциалов в разных точках одного и того же электрода могут считаться пренебрежимо малыми в сравнении с разностью потенциалов двух электродов.

Очень полезный метод для вычисления сопротивления таких проводников был предложен, насколько я знаю, впервые лордом Рэлеем в работе «О теории резонанса» ³.

³Phil. Trans., 1871, p. 77. См. п. 102a.

Он основан на следующих соображениях.

Если изменить удельное сопротивление любой части проводника, не меняя удельное сопротивление остальных частей, то сопротивление всего проводника увеличится, если сопротивление этой части возросло, и уменьшится, если сопротивление этой части уменьшилось.

Этот принцип может рассматриваться как само собой разумеющийся, но легко можно показать, что величина выражения для сопротивления системы проводников между двумя точками, выбранными за электроды, возрастает, по мере того как возрастает сопротивление каждого члена системы.

Отсюда следует, что если в веществе проводника проведена поверхность любой формы и если мы затем предположим, что эта поверхность представляет собой бесконечно тонкий слой идеально проводящего вещества, то сопротивление проводника как целого уменьшится, если только эта поверхность не является одной из эквипотенциальных поверхностей в естественном состоянии проводника, а в этом случае ничего не изменится от превращения этой поверхности в идеальный проводник, потому что эта поверхность и так уже находится в электрическом равновесии.

Следовательно, если мы проведём внутри проводника ряд поверхностей, из которых первая совпадает с первым электродом, а последняя – со вторым, а промежуточные поверхности ограничены непроводящей поверхностью и не пересекают одна другую, и если мы предположим, что каждая из этих поверхностей представляет собой бесконечно тонкий слой идеально проводящего вещества, мы получим систему, сопротивление которой во всяком случае не превышает сопротивление первоначального проводника, причём равенство имеет место только тогда, когда выбранные нами поверхности являются естественными эквипотенциальными поверхностями.

Вычисление сопротивления такой искусственной системы представляет собой дело гораздо менее сложное, чем первоначальная задача. Действительно, сопротивление целого есть сумма сопротивлений всех слоёв, заключённых между последовательными поверхностями, и сопротивление каждого слоя может быть найдено так:

Пусть 𝑑𝑆 – элемент поверхности слоя, ν – толщина слоя в направлении, перпендикулярном к этому элементу, ρ – удельное сопротивление, 𝐸 – разность потенциалов между двумя идеально проводящими поверхностями, 𝑑𝐶 – ток через 𝑑𝑆, тогда

𝑑𝐶

=

𝐸

1

ρν

𝑑𝑆

,

(1)

а полный ток через слой равен

𝐶

=

𝐷

∭

1

ρν

𝑑𝑆

;

(2)

интегрирование распространяется на весь слой, ограниченный непроводящей поверхностью проводника.

Отсюда проводимость слоя равна

𝐶

𝐸

=

∭

1

ρν

𝑑𝑆

,

(3)

а сопротивление слоя есть величина, обратная этой.

Если слой ограничен двумя поверхностями, на которых значения функции 𝐹 равны соответственно 𝐹 и 𝐹+𝑑𝐹, то

𝑑𝐹

ν

=

∇𝐹

=

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤½

⎥

⎦

,

(4)

и сопротивление слоя равно

𝑑𝐹

.

∭

1

∇𝐹𝑑𝑆

ρ

(5)

Для того чтобы найти сопротивление всего искусственного проводника, нам нужно только проинтегрировать по 𝐹, и мы найдём

Сопротивление 𝑅 проводника в его естественном состоянии будет больше, чем полученное таким способом значение, если только все поверхности, которые мы выбрали, не являются естественными эквипотенциальными поверхностями. Кроме того, поскольку истинное значение 𝑅 есть абсолютный максимум значений 𝑅₁, который может быть таким способом получен, небольшие отклонения выбранных поверхностей от истинных эквипотенциальных поверхностей приведут к ошибке в значении 𝑅, которая является относительно малой.

Очевидно, что этот метод, определяющий нижнюю границу величины сопротивления, является совершенно общим и может быть применён к проводникам любой формы даже в том случае, если удельное сопротивление ρ произвольным образом меняется внутри проводника.

Наиболее знакомый пример – обычный метод определения сопротивления прямого провода переменного сечения. В этом случае выбранные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными к оси проволоки, торцы слоёв параллельны и сопротивление слоя, имеющего сечение 𝑆 и толщину 𝑑𝑠, равно

𝑑𝑅

₁

=

ρ𝑑𝑠

𝑆

,

(7)

а сопротивление всего провода длиной 𝑠 равно

𝑅

₁

=

∫

ρ𝑑𝑠

𝑆

,

(8)

где 𝑆 есть поперечное сечение, зависящее от 𝑠.

Этот метод даёт результаты, очень близкие к истине, для проводов с медленно меняющимся по длине сечением. Но в действительности он даёт только нижнюю границу, потому что истинное сопротивление всегда больше, за исключением случаев, когда сечение совершенно однородно.

307. Чтобы найти верхнюю границу сопротивления, предположим, что в проводнике проведена некоторая поверхность, которая сделана непроницаемой для электричества. Это должно увеличить сопротивление проводника, если только эта поверхность не является одной из естественных поверхностей тока. С помощью двух систем поверхностей мы можем создать набор трубок, которые будут полностью регулировать ток, и это приведёт к тому (если это вообще к чему-нибудь приведёт), что эта система непроницаемых поверхностей должна будет сделать сопротивление больше его естественного значения.

Сопротивление каждой из трубок может быть вычислено с помощью метода, уже приведённого для тонких проводов, и сопротивление всего проводника равно обратной величине от суммы обратных сопротивлений всех трубок. Найденное таким образом сопротивление больше, чем естественное сопротивление, за исключением того случая, когда трубки следуют естественным линиям тока.

В уже рассмотренном случае, когда проводник представляет собой вытянутое тело вращения, будем измерять 𝑥 вдоль оси и обозначим через 𝑏 радиус сечения в каждой точке. Пусть один набор непроницаемых поверхностей состоит из плоскостей, проходящих через ось, для каждой из которых значение φ постоянно, и пусть другой набор состоит из поверхностей вращения, для которых

𝑦²

=

ψ𝑏²

,

(9)

где ψ есть число в промежутке между 0 и 1.

Рассмотрим часть одной из трубок, ограниченную поверхностями φ и φ+𝑑φ, ψ и ψ+𝑑ψ, 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥.

Сечение трубки, выбранное перпендикулярно оси, равно

𝑦

𝑑𝑦

𝑑ψ

=

½𝑏²

𝑑ψ

𝑑φ

.

(10)

Если обозначить через θ угол, который трубка составляет с осью, то

tg θ

=

ψ

^½

𝑑𝑏

𝑑𝑥

.

(11)

Истинная длина элемента трубки равна 𝑑𝑥 sec θ а истинное сечение равно ½𝑏𝑑ψ𝑑φ cos θ, так что сопротивление этого элемента равно

2ρ

𝑑𝑥

𝑏²𝑑ψ𝑑φ

sec²θ

=

2ρ

𝑑𝑥

𝑏²𝑑ψ𝑑φ

⎡

⎢

⎣

1+ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑏

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(12)

Пусть

𝐴

=

∫

ρ

𝑏²

𝑑𝑥

,

𝐵

=

∫

ρ

𝑏²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑏

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

𝑑𝑥

,

(13)

где интегрирование распространяется на всю длину 𝑥 проводника. Тогда сопротивление трубки 𝑑ψ𝑑φ равно

2

𝑑ψ𝑑φ

(𝐴+ψ𝐵)

,

а её проводимость есть

𝑑ψ𝑑φ

2(𝐴+ψ𝐵)

.

Чтобы найти проводимость всего проводника, которая равна сумме проводимостей отдельных трубок, мы должны проинтегрировать это выражение в пределах от φ=0 до φ=2π и от ψ=0 до ψ=2π. В результате

1

𝑅'

=

π

𝐵

ln

⎛

⎜

⎝

1+

𝐵

𝐴

⎞

⎟

⎠

.

(14)

Эта величина может быть меньше, но не может быть больше, чем истинная проводимость проводника.

В случае, когда 𝑑𝑏/𝑑𝑥 всегда является малой величиной, отношение 𝐵/𝐴 также будет малым, и мы можем разложить выражение для проводимости таким образом:

1

𝑅'

=

π

𝐴

⎛

⎜

⎝

1-

1

2

𝐵

𝐴

+

1

3

𝐵²

𝐴²

–

1

4

𝐵³

𝐴³

+ и т.д.

⎞

⎟

⎠

.

(15)

Первый член этого разложения π/𝐴 есть та величина, которую мы получили бы предыдущим методом как верхнюю границу проводимости. Таким образом, истинная проводимость оказывается меньше первого члена, но больше всего ряда. Верхнее значение сопротивления есть величина, обратная этой, т. е.

𝑅'

=

𝐴

π

⎛

⎜

⎝

1+

1

2

𝐵

𝐴

–

1

12

𝐵

𝐴

+

1

24

𝐵

𝐴

– и т.д.

⎞

⎟

⎠

.

(16)

Если, кроме предположения о том, что ток направляется поверхностями φ и ψ, мы бы предположили, что ток через каждую трубку пропорционален 𝑑ψ𝑑φ, мы бы получили следующее выражение для величины сопротивления при этом добавочном ограничении:

𝑅''

=

1

π

⎛

⎜

⎝

𝐴

+

1

2

𝐶

⎞

⎟

⎠

,

(17)

что очевидно превышает предыдущее значение, как это и должно быть ввиду наложенного добавочного предположения. В работе лорда Рэлея ⁴ сделано именно такое предположение, и приведённая там верхняя граница для сопротивления имеет значение (17), что несколько превышает величину, полученную нами в (16).

⁴ Lord Rayleigh, Theory of Sound, vol. II, p. 171.

308. Мы теперь применим тот же метод, для того чтобы найти поправку, которую следует внести на длину цилиндрического проводника радиуса 𝑎, когда его конец находится в металлическом контакте с массивным электродом, который можно предполагать сделанным из другого металла.

Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещён бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода велики в сравнении с диаметром цилиндра, то распределение потенциала будет таким, как у проводника, имеющего форму диска и помещённого в бесконечную среду (см. п. 151, 177).

Если 𝐸 – разность между потенциалом диска и потенциалом удалённых частей электрода, 𝐶 – ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и ρ' – удельное сопротивление электрода и если 𝑄 – количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределённым как в п. 151, то легко видеть, что интеграл от электродвижущей напряжённости по диску равен

ρ'𝐶

=

1

4

4π𝑄

=

2π

𝑎𝐸

(π/2)

, в силу п. 151,

=

4𝑎𝐸.

(18)

Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна 𝐿 и его удельное сопротивление равно ρ, то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой

𝑅

=

ρ

𝐿

π𝑎²

+

ρ

4𝑎

,

и это можно записать так:

𝑅

=

ρ

π𝑎²

⎛

⎜

⎝

𝐿

+

ρ'

ρ

⋅

π𝑎

4

⎞

⎟

⎠

,

(19)

где второй член в скобках даёт величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка.

Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведённой через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и не будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае. Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям.

309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.

Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно 𝐶/(π𝑎²), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда σ, где

2πσ

=

𝐶ρ'

π𝑎²

,

(20)

а ρ' – удельное сопротивление.

Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью σ.

Потенциал ⁵ на краю диска с однородной плотностью σ легко определяется и равен 4𝑎σ. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной 𝑑𝑎 вдоль окружности диска, равна 2π𝑎σ𝑑𝑎⋅4𝑎σ, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины,

или 𝑃

=

8π

3

𝑎³

σ²

.

(21)

⁵ См. работу профессора Кэйли (Cayley), London, Math. Soc. Proc., VI, p. 38.

При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением 𝑅' равна 𝐶𝑅'. Но, согласно общему уравнению, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде -(1/ρ')(𝑑𝑉/𝑑ν) или (2π/ρ')σ.

-

1

ρ'

𝑑𝑉

𝑑ν

 или

2π

ρ'

σ

.

Если 𝑉 – потенциал на диске, а 𝑑𝑠 – элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна

=

𝐶

π𝑎²

∫

𝑉

𝑑𝑠

=

2𝐶

π𝑎²

𝑃

σ

, поскольку 𝑃

=

1

2

∫

𝑉σ

𝑑𝑠

,

=

4π

ρ'

𝑃 (по формуле(20))

.

Таким образом, мы получаем

𝐶²

𝑅'

=

4π

ρ'

𝑃

,

(22)

откуда с учётом (20) и (21)

𝑅'

=

8ρ'

3π²𝑎

,

и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна

ρ'

ρ

8

3π

𝑎

,

причём это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна (ρ'/ρ)𝑎𝑛, где 𝑛 – число, лежащее между π/4 и 8/3π или между 0,785 и 0,849.

Лорд Рэлей ⁶ во втором приближении уменьшил верхний предел для 𝑛 до 0,8282.

⁶Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.– Примеч. пёр.).

ГЛАВА IX

ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ

Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами

310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов.

На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны. Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведённым в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если потенциалы измеряются по методу, описанному в п. 222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путём потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов.

Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред.

Таким образом, если 𝑉₁ и 𝑉₂ обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела

𝑉

₁

=

𝑉

₂

,

(1)

и если 𝑢₁, 𝑣₁, 𝑤₁ и 𝑢₂, 𝑣₂, 𝑤₂ – составляющие токов в этих двух средах, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали к поверхности раздела, то

𝑢

₁

𝑙

+

𝑣

₁

𝑚

+

𝑤

₁

𝑛

=

𝑢

₂

𝑙

+

𝑣

₂

𝑚

+

𝑤

₂

𝑛

.

(2)

В самом общем случае составляющие 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются линейными функциями производных потенциала 𝑉; вид этих линейных функций определяется уравнениями

𝑢

=

𝑟

₁

𝑋

+

𝑝

₃

𝑌

+

𝑞

₂

𝑍

,

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

𝑣

=

𝑞

₃

𝑋

+

𝑟

₂

𝑌

+

𝑝

₁

𝑍

,

𝑤

=

𝑝

₂

𝑋

+

𝑞

₁

𝑌

+

𝑟

₃

𝑍

,

(3)

где 𝑋, 𝑌, 𝑍 – производные функции 𝑉 соответственно по 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Возьмём случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициентами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный 𝑟.

Обозначим значения 𝑋, 𝑌, 𝑍 в изотропной среде через 𝑋', 𝑌', 𝑍' тогда на поверхности имеем

𝑉

=

𝑉'

,

(4)

или

𝑋𝑑𝑥

+

𝑌𝑑𝑦

+

𝑍𝑑𝑧

=

𝑋'𝑑𝑥

+

𝑌'𝑑𝑦

+

𝑍'𝑑𝑧

,

(5)

если

𝑙𝑑𝑥

+

𝑚𝑑𝑦

+

𝑛𝑑𝑧

=

0.

(6)

Это условие приводит к

𝑋'

=

𝑋

+

4πσ𝑙

,

𝑌'

=

𝑌

+

4πσ𝑚

,

𝑍'

=

𝑍

+

4πσ𝑛

,

(7)

где σ – поверхностная плотность.

В изотропной среде имеем также

𝑢'

=

𝑟𝑋'

,

𝑣'

=

𝑟𝑌'

,

𝑤'

=

𝑟𝑍'

,

(8)

и условие на границе для тока таково:

𝑢'𝑙

+

𝑣'𝑚

+

𝑤'𝑛

=

𝑢𝑙

+

𝑣𝑚

+

𝑤𝑛

,

(9)

или

𝑟

(

𝑙𝑋

+

𝑚𝑌

+

𝑛𝑍

+

4πσ

)

=

𝑙

(

𝑟

₁

𝑋

+

𝑝

₃

𝑌

+

𝑞

₂

𝑍

)

+

+

𝑚

(

𝑞

₃

𝑋

+

𝑟

₂

𝑌

+

𝑝

₁

𝑍

)

+

𝑛

(

𝑝

₂

𝑋

+

𝑞

₁

𝑌

+

𝑟

₃

𝑍

)

,

(10)

откуда

4πσ𝑟

=

{

𝑙(𝑟

₁

–𝑟)

+

𝑚𝑞

₃

+

𝑛𝑝

₂

}

𝑋

+

{

𝑙𝑝

₃

+

𝑚(𝑟

₂

–𝑟)

+

𝑛𝑞

₁

}

𝑌

+

+

{

𝑙𝑞

₂

+

𝑚𝑝

₁

+

𝑛(𝑟

₃

–𝑟)

}

𝑍

.

(11)

Величина а представляет собой поверхностную плотность заряда на поверхности раздела. В кристаллизованных и упорядоченных веществах эта величина зависит от направления поверхности, а так же и от перпендикулярной к ней силы. В изотропных веществах коэффициенты 𝑝 и 𝑞 равны нулю, а все коэффициенты 𝑟 равны между собой, и, таким образом,

4πσ

=

⎛

⎜

⎝

𝑟₁

𝑟

–1

⎞

⎟

⎠

(

𝑙𝑋

+

𝑚𝑌

+

𝑛𝑍

).

(12)

где 𝑟₁ – проводимость рассматриваемого вещества, 𝑟 – проводимость внешней среды, а 𝑙, 𝑚, 𝑛, – направляющие косинусы нормали, проведённой в ту среду, проводимость которой равна 𝑟.

В случае, когда обе среды изотропны, эти условия можно значительно упростить, ибо если 𝑘 есть удельное сопротивление единицы объёма, то

𝑢

=-

1

𝑘

𝑑𝑉

𝑑𝑥

,

𝑣

=-

1

𝑘

𝑑𝑉

𝑑𝑦

,

𝑤

=-

1

𝑘

𝑑𝑉

𝑑𝑧

,

(13)

и если v есть нормаль, проведённая из первой среды во вторую в любой точке поверхности раздела, то условие непрерывности есть

1

𝑑𝑉

₁

=

1

𝑑𝑉

₁

.

𝑘

₁

𝑑ν

𝑘

₂

𝑑ν

(14)

Если углы, которые линии тока в первой и во второй средах составляют с нормалью к поверхности раздела, равны соответственно θ₁ и θ₂, то касательные к этим линиям тока лежат по обе стороны от границы раздела в одной плоскости с нормалью и

𝑘

₁

tg θ

₁

=

𝑘

₂

tg θ

₂

.

(15)

Это соотношение можно назвать законом преломления линий тока.

311. В качестве примера условий, которые должны быть выполнены, когда электричество пересекает границу раздела двух сред, рассмотрим сферическую поверхность радиуса 𝑎, при этом внутри сферы удельное сопротивление равно 𝑘₁ а снаружи 𝑘₂.

Разложим потенциал как внутри, так и вне поверхности по пространственным гармоникам и пусть слагаемые, которые зависят от поверхностной гармоники 𝑆_𝑖 равны

𝑉

₁

=

(

𝐴

₁

𝑟

^𝑖

+

𝐵

₁

𝑟

^-(𝑖+1)

)

𝑆

_𝑖

,

(1)

𝑉

₂

=

(

𝐴

₂

𝑟

^𝑖

+

𝐵

₂

𝑟

^-(𝑖+1)

)

𝑆

_𝑖

,

(2)

соответственно внутри и вне сферы.

На поверхности раздела, где 𝑟=𝑎, мы должны иметь

𝑉

₁

=

𝑉

₂

 и

1

𝑑𝑉

₁

=

1

𝑑𝑉

₁

.

𝑘

₁

𝑑𝑟

𝑘

₂

𝑑𝑟

(3)

Из этих условий мы получаем уравнения

(𝐴

₁

–𝐴

₂

)

𝑎

^2𝑖+1

+

𝐵

₁

–𝐵

₂

=

0,

⎛

⎜

⎝

1

𝑘₁

𝐴

₁

–

1

𝑘₂

𝐴

₂

⎞

⎟

⎠

𝑖𝑎

^2𝑖+1

–

⎛

⎜

⎝

1

𝑘₁

𝐵

₁

–

1

𝑘₂

𝐵

₂

⎞

⎟

⎠

(𝑖+1)

=

0.

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(4)

Эти уравнения, если мы знаем две из четырёх величин 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐵₁, 𝐵₂, достаточны для определения двух других величин.

Предположим, что 𝐴₁ и 𝐵₁ известны, тогда для 𝐴₂ и 𝐵₂ мы получим следующие выражения:

𝐴

₂

=

{𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

}𝐴

₁

+

(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

(𝑖+1)

𝐵

₁

𝑎

^-(2𝑘+1)

,

𝑘

₁

(2𝑖+1)

𝐵

₂

=

(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

𝑖𝐴

₁

𝑎

^2𝑘+1

+

{𝑘

₁

𝑖+𝑘

₂

(𝑖+1)}𝐵

₁

.

𝑘

₁

(2𝑖+1)

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

(5)

Таким путём мы можем найти условия, которым должен удовлетворять каждый член разложения потенциала по гармоникам для случая любого числа слоёв, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.

312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен 𝑎₁ и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса 𝑎₂, вне которой удельное сопротивление равно 𝑘₃. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал 𝑉 не принимает бесконечных значений, и мы имеем 𝐵₁=0.

Тогда для 𝐴₃ и 𝐵₃, коэффициентов во внешней среде, мы находим

𝐴

₃

𝑘

₁

𝑘

₂

(2𝑖+1)²

=

⎡

⎢

⎣

{𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖}

{𝑘

₂

(𝑖+1)+𝑘

₃

𝑖}

+

+

𝑖(𝑖+1)

(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

(𝑘

₂

–𝑘

₃

)

⎛

⎜

⎝

𝑎₁

𝑎₂

⎞2𝑖+1

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝐴

₁

,

𝐵

₃

𝑘

₁

𝑘

₂

(2𝑖+1)²

=

⎡

⎣

𝑖(𝑘

₂

–𝑘

₃

)

{𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖}

𝑎

₂

^2𝑖+1

+

+

𝑖(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

{𝑘

₂

𝑖+𝑘

₃

(𝑖+1)}

𝑎

₁

^2𝑖+1

⎤

⎦

𝐴

₁

.

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

(6)

Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.

Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри сферы. Вторая часть должна зависеть от гармоник отрицательных степеней, потому что она должна исчезать на бесконечном расстоянии от центра сферы.

Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени. Пусть 𝐴₃ – коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид 𝐴₃𝑆_𝑖𝑟^𝑖. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент 𝐴₁ для внутренней сферы и отсюда вывести 𝐴₂, 𝐵₂ и 𝐶₃. При этом 𝐶₃ представляет влияние на потенциал во внешней среде, вызванное введением неоднородной сферы.

Предположим теперь, что 𝑘₃=𝑘₁, т.е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой 𝑘=𝑘₂, разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для которой 𝑘=𝑘₁.

Если мы положим

𝐶

=

1

,

(2𝑖+1)²𝑘

₁

𝑘

₂

+

𝑖(𝑖+1)(𝑘

₂

–𝑘

₁

)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎛

⎜

⎝

𝑎

₁

⎞

⎟

⎠

2𝑖+1

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

то

𝐴

₁

=

𝑘

₁

𝑘

₂

(2𝑖+1)²

𝐶𝐴

₃

,

𝐴

₂

=

𝑘

₂

(2𝑖+1)

(𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖)

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₂

=

𝑘

₂

𝑖

(2𝑖+1)

(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

𝑎

₁

^2𝑖+1

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₃

=

𝑖(𝑘

₂

–𝑘

₁

)

(𝑘

₁

(𝑖+1)+𝑘

₂

𝑖)

(𝑎

₂

^2𝑖+1

–𝑎

₁

^2𝑖+1

)

𝐶𝐴

₃

.

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

(7)

Разность между невозмущённым коэффициентом 𝐴₃ и его значением 𝐴₁ в полости внутри сферической оболочки равна

𝐴

₃

–𝐴

₁

=

(𝑘

₂

–𝑘

₁

)²

𝑖(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

1-

⎛

⎜

⎝

𝑎₁

𝑎₂

⎞2𝑖+1

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

𝐶𝐴

₃

.

(8)

Поскольку эта величина всегда имеет тот же самый знак, что и 𝐴₃, каковы бы ни были значения 𝑘₁ и 𝑘₂, отсюда следует, что независимо от того, лучше или хуже остальной среды проводит сферическая оболочка, электрическое действие в пространстве, окружённом оболочкой, оказывается меньше, чем оно было бы без неё. Если оболочка оказывается лучшим проводником, чем остальная среда, она стремится выровнять потенциал вокруг внутренней сферы. Если она является худшим проводником, она вообще препятствует электрическим токам достичь внутренней сферы.

Случай сплошной сферы может быть получен из рассмотренного выше, если положить 𝑎₁=0, или же этот случай может быть рассмотрен независимо.

313. Наиболее важным членом в разложении по гармоникам является член с 𝑖=1, для которого

𝐶

=

1

,

9𝑘

₁

𝑘

₂

+

2(𝑘

₂

–𝑘

₁

)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎛

⎜

⎝

𝑎

₁

⎞

⎟

⎠

3

⎞

⎟

⎠

𝑎

₁

𝐴

₁

=

9𝑘

₁

𝑘

₂

𝐶𝐴

₃

,

𝐴

₂

=

3𝑘

₂

(2𝑘

₁

+𝑘

₂

)

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₂

=

3𝑘

₂

(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

𝑎

₁

³

𝐶𝐴

₃

,

𝐵

₃

=

(𝑘

₁

–𝑘

₂

)

(2𝑘

₁

+𝑘

₂

)

(𝑎

₂

³-𝑎

₁

³)

𝐶𝐴

₃

.

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

(9)

Случай сплошной сферы с сопротивлением 𝑘₂ может быть получен отсюда, если положить 𝑎₁=0. Мы тогда получаем

𝐴

₂

=

3𝑘₂

𝑘₁+2𝑘₂

𝐴

₃

,

𝐵

₂

=

0,

𝐵

₃

=

𝑘₂-𝑘₁

𝑘₁+2𝑘₂

𝑎

₂

³

𝐴

₃

.

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(10)

С помощью общих формул легко показать, что коэффициент 𝐵₃ в случае полой сферы, имеющей ядро с сопротивлением 𝑘₁ и окружённой оболочкой с сопротивлением 𝑘₂, записывается точно так же, как и в случае однородной сплошной сферы с радиусом внешней поверхности и с сопротивлением 𝐾 где

𝐾

=

(2𝑘₁+𝑘₂)𝑎₂³+(𝑘₁-𝑘₂)𝑎₁³

(2𝑘₁+𝑘₂)𝑎₂³-2(𝑘₁-𝑘₂)𝑎₁³

𝑘

₂

.

(11)

314. Если имеется 𝑛 сфер радиуса 𝑎₁ и сопротивления 𝑘₁ помещённые в среду, сопротивление которой равно 𝑘₂, на таких расстояниях друг от друга, что вызываемое каждой из сфер возмущение протекающего тока можно рассматривать независимо, если все эти сферы заключены внутри сферы радиуса 𝑎₂, потенциал на больших расстояниях 𝑟 от центра этой сферы будет иметь вид

𝑉

=

⎛

⎜

⎝

𝐴𝑟

+

𝑛𝐵

1

𝑟²

⎞

⎟

⎠

cos θ

,

(12)

где значение 𝐵 равно

𝐵

=

𝑘₁-𝑘₂

2𝑘₁+𝑘₂

𝑎

₁

³

𝐴

.

(13)

Отношение объёма 𝑛 малых сфер к объёму содержащей их большой сферы равно

𝑝

=

𝑛𝑎₁³

𝑎₂³

.

(14)

Поэтому значение потенциала на большом расстоянии от сферы может быть записано в виде

𝑉

=

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟

+

𝑝

𝑎

₂

³

𝑘₁-𝑘₂

2𝑘₁+𝑘₂

1

𝑟²

⎞

⎟

⎠

cos θ

.

(15)

Если бы вся сфера радиуса 𝑎₂ была сделана из вещества с удельным сопротивлением 𝐾, мы бы имели

𝑉

=

𝐴

⎧

⎨

⎩

𝑟

+

𝑎

₂

³

𝐾-𝑘₂

2𝐾+𝑘₂

1

𝑟²

⎫

⎬

⎭

cos θ

.

(16)

Одно выражение эквивалентно другому, если

𝐾

=

2𝑘₁+𝑘₂+𝑝(𝑘₁-𝑘₂)

2𝑘₁+𝑘₂-𝑝(𝑘₁-𝑘₂)

𝑘

₂

.

(17)

Это, таким образом, и есть удельное сопротивление составной среды, образованной из вещества с удельным сопротивлением 𝑘₂, в которое вкраплены малые сферы с удельным сопротивлением 𝑘₁ причём отношение суммарного объёма всех малых сфер ко всему объёму равно 𝑝. Для того чтобы действие этих сфер не вызывало явлений, зависящих от их взаимодействия, их радиусы должны быть малы в сравнении с расстояниями между ними, и поэтому величина 𝑝 должна быть малой дробью.

Этот результат может быть получен и другими способами, но тот, который приведён здесь, содержит только повторение результата, уже полученного для случая одной сферы.

Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (𝑘₁-𝑘₂)/(2𝑘₁+𝑘₂) существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определённых системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях.

Приложение принципа изображений

315. Возьмём в качестве примера случай двух сред, разделённых плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии 𝑎 от этой плоской поверхности расположен источник электричества 𝑆, причём количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно 𝑆.

Если бы первая среда была бесконечно протяжённой, ток в любой точке 𝑃 был бы направлен по 𝑆𝑃, а потенциал в 𝑃 равнялся бы 𝐸/𝑟₁ где 𝐸=(𝑆𝑎)/4π, а 𝑟₁=𝑆𝑃.

В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку 𝐼, изображение источника 𝑆, такую, что отрезок 𝑆𝐼 перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от 𝐼 равно 𝑟₂ тогда на поверхности раздела

𝑟

₁

=

𝑟

₂

,

(1)

𝑑𝑟₁

𝑑ν

=

–

𝑑𝑟₂

𝑑ν

.

(2)

Пусть потенциал 𝑉₁ в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества 𝐸, помещённым в 𝑆, и воображаемым количеством 𝐸₂ в точке 𝐼, и пусть потенциал 𝑉₂ в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества 𝐸₁, помещённого в точке 𝑆. Тогда, если

𝑉

₁

=

𝐸

𝑟₁

+

𝐸₂

𝑟₂

 и

𝑉

₁

=

𝐸₁

𝑟₁

,

(3)

условие на поверхности 𝑉₁=𝑉₂ даёт

𝐸+𝐸

₂

=

𝐸

₁

,

(4)

а условие

1

𝑘₁

𝑑𝑉₁

𝑑ν

=

1

𝑘₂

𝑑𝑉₂

𝑑ν

(5)

даёт

1

𝑘₁

(𝐸-𝐸

₂

)

=

1

𝑘₂

𝐸

₁

,

(6)

откуда

𝐸

₁

=

2𝑘₂

𝑘₁+𝑘₂

𝐸

,

𝐸

₂

=

𝑘₂-𝑘₁

𝑘₁+𝑘₂

𝐸

.

(7)

Таким образом, потенциал в первой среде оказывается таким же, какой был бы создан в воздухе, согласно электростатической теории, зарядом 𝐸, помещённым в 𝑆, и зарядом 𝐸₂, помещённым в 𝐼, а потенциал во второй среде совпадает с тем, который был бы создан в воздухе зарядом 𝐸₁ помещённым в точке 𝐼.

Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником 𝑆 и источником (𝑘₂-𝑘₁)𝑆/(𝑘₂+𝑘₁), расположенным в 𝐼, если бы первая среда была бесконечной, а ток в любой точке второй среды оказывается таким же, как если бы он был вызван источником 2𝑘₂𝑆/(𝑘₁+𝑘₂), расположенным в 𝑆, если бы вторая среда была бесконечной.

Таким образом, в случае двух сред, разделённых плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений. Какова бы ни была природа электродвижущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определён сочетанием их прямого действия с действием их изображения.

Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то 𝑘₂=0 и изображение, расположенное в точке 𝐼, равно по величине и противоположно по знаку источнику в 𝑆. Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике.

Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то 𝑘₂=∞, и изображение в точке 𝐼 равно источнику в 𝑆 и имеет тот же знак. То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жёсткой плоской поверхностью.

316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального проводника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два проводника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 ¹.

¹ См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.

Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды

317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной 𝐴𝐵 из среды с сопротивлением 𝑘₂, разделяющей две среды с сопротивлениями 𝑘₁ и 𝑘₃, на изменение потенциала источника 𝑆, расположенного в первой среде.

Рис. 24

Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определённых точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через 𝑆.

Положим

𝐴𝑆

=

𝑆𝐴

,

𝐵𝐼

₁

=

𝑆𝐵

,

𝐵𝐽

₁

=

𝐼

₁

𝐵

,

𝐵𝐼

₂

=

𝐽

₁

𝐵

,

𝐵𝐽

₂

=

𝐼

₂

𝐴

, и т.д.

тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].

318. Потенциал в первой среде в любой точке 𝑃 равен

𝐸

𝑃𝑆

+

𝐼

𝑃𝐼

+

𝐼₁

𝑃𝐼₁

+

𝐼₂

𝑃𝐼₂

+ и т.д.

(8)

Потенциал в точке 𝑃' во второй среде равен

𝐸'

𝑃'𝑆

+

𝐼'

𝑃'𝐼

+

𝐼'₁

𝑃'𝐼₁

+

𝐼'₂

𝑃'𝐼₂

+ и т.д. +

𝐽'₁

𝑃'𝐽₁

+

𝐽'₂

𝑃'𝐽₂

+ и т.д.

(9)

и потенциал в точке 𝑃'' в третьей среде равен

𝐸''

𝑃''𝑆

+

𝐽₁

𝑃''𝐽₁

+

𝐽₂

𝑃''𝐽₂

+ и т.д.,

(10)

где 𝐼, 𝐼' и т. д.– воображаемые заряды, расположенные в точках 𝐼 и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.

Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через 𝐴, мы имеем

𝐼

=

𝑘₂-𝑘₁

𝑘₂+𝑘₁

𝐸

,

𝐸'

=

2𝑘₂

𝑘₁+𝑘₂

.

(11)

Для поверхности, проходящей через 𝐵, находим

𝐼'

₁

=

𝑘₃-𝑘₂

𝑘₃+𝑘₂

𝐸'

,

𝐸''

=

2𝑘₃

𝑘₂+𝑘₃

𝐸'

.

(12)

Подобным же образом снова для поверхности, проходящей через 𝐴,

𝐽'

₁

=

𝑘₁-𝑘₂

𝑘₁+𝑘₂

𝐼'

₁

,

𝐼

₁

=

2𝑘₁

𝑘₁+𝑘₂

𝐼'

₁

,

(13)

и для поверхности, проходящей через 𝐵,

𝐼'

₂

=

𝑘₃-𝑘₂

𝑘₃+𝑘₂

𝐽'

₁

,

𝐽

₁

=

2𝑘₃

𝑘₃+𝑘₂

𝐽'