Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 14 (всего у книги 34 страниц)

ГЛАВА VI

О ТОЧКАХ И ЛИНИЯХ РАВНОВЕСИЯ

112. Если в какой-либо точке электрического поля равнодействующая сила равна нулю, то такая точка называется Точкой равновесия.

Если каждая точка какой-либо линии является точкой равновесия, то такая линия называется Линией равновесия.

Условия того, что точка является точкой равновесия, имеют вид.

𝑑𝑉

𝑑𝑥

=

0,

𝑑𝑉

𝑑𝑦

=

0,

𝑑𝑉

𝑑𝑧

=

0.

Таким образом, в такой точке величина 𝑉 максимальна, минимальна или стационарна по отношению к вариациям координат. Но потенциал может иметь максимум или минимум только в точке, несущей положительный или отрицательный заряд или же в конечной области, ограниченной положительным или отрицательным поверхностным зарядом. Поэтому, если в части поля, не несущей: заряда, существует точка равновесия, то это точка стационарности потенциала, а не точка максимума или минимума.

Действительно, условие максимума или минимума заключается в том, что

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

,

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

 и

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

должны быть все отрицательны или положительны, если они имеют конечные значения.

Но согласно уравнению Лапласа, в точке, где нет заряда, сумма этих трёх величин равна нулю, так что это условие невыполнимо.

Вместо того чтобы исследовать аналитические условия для случаев, когда все составляющие силы одновременно обращаются в нуль, мы дадим общее доказательство с помощью эквипотенциальных поверхностей.

Если в какой-либо точке 𝑃 достигается истинный максимум 𝑉, то во всех других точках в непосредственной окрестности 𝑃 значения 𝑉 меньше, чем в 𝑃. Следовательно, 𝑃 окружено системой замкнутых эквипотенциальных поверхностей, каждая из которых охватывает предыдущую, и во всех точках какой-либо из этих поверхностей электрическая сила направлена наружу. Но мы доказали в п. 76, что поверхностный интеграл от электродвижущей напряжённости по любой замкнутой поверхности даёт полный заряд внутри этой поверхности, умноженный на 4π. В этом случае сила направлена всюду наружу, так что этот поверхностный интеграл обязательно положительный, и, значит, внутри поверхности имеется положительный заряд, а так как мы можем взять эту поверхность сколько угодно близкой к 𝑃, то положительный заряд имеется в точке 𝑃.

Точно так же можно показать, что если 𝑉 имеет в 𝑃 минимум, точка 𝑃 заряжена отрицательно.

Пусть теперь 𝑃 – точка равновесия в области, лишённой зарядов. Опишем, вокруг 𝑃 сферу очень малого радиуса. Как мы видели, потенциал не может быть на этой поверхности всюду больше, чем в 𝑃, или всюду меньше, чем в 𝑃. Следовательно, в некоторых местах поверхности он больше, чем в 𝑃, а в некоторых меньше. Эти участки поверхности разделяются линиями, на которых потенциал равен потенциалу в точке 𝑃. Вдоль линий, проведённых из 𝑃 в точки, где потенциал меньше, чем в 𝑃, электрическая сила направлена от 𝑃, а вдоль линий, проведённых в точки с большим потенциалом, сила направлена к 𝑃. Следовательно, точка 𝑃 является для одних направлений точкой устойчивого равновесия, а для других – точкой неустойчивого равновесия.

113. Чтобы определить количество точек или линий равновесия, рассмотрим поверхность (или поверхности), на которых потенциал равен заданному значению 𝐶 Назовём области, в которых потенциал меньше 𝐶, отрицательными, а области, в которых он больше 𝐶, положительными. Пусть 𝑉₀ – наименьшее, a 𝑉₁ – наибольшее значение потенциала в электрическом поле. Если положить 𝐶=𝑉₀, то отрицательная область будет включать лишь точку или проводник с наименьшим потенциалом, который обязательно заряжен отрицательно. Положительную область образует остальное пространство, и, поскольку она окружает отрицательную область, она является перифрактической областью (см. п. 18).

Если теперь увеличить значение 𝐶, то отрицательная область увеличится и образуются новые отрицательные области вокруг отрицательно заряженных тел. Для каждой образуемой таким образом отрицательной области требуется одна степень перифрактичности окружающей положительной области.

По мере расширения различных отрицательных областей две или несколько областей могут сомкнуться в какой-либо точке или по линии. Если смыкаются 𝑛 поверхностей, то положительная область теряет 𝑛+1 степеней перифрактичности, а точка или линия смыкания является точкой или линией равновесия 𝑛-й степени.

Когда 𝐶 становится равным 𝑉₁ то положительная область сводится к точке или к проводнику с наибольшим потенциалом и, следовательно, имеет нулевую степень перифрактичности. Следовательно, если каждую точку или линию равновесия считать один, два или 𝑛 раз в соответствии с её степенью, то полное число подсчитываемых так точек или линий равновесия будет на единицу меньше числа отрицательно заряженных тел.

Есть ещё другие точки или линии равновесия, получающиеся при образовании разделённых положительных областей и повышении перифрактичности отрицательной области. Число таких точек или линий равновесия, подсчитываемое с учётом их степени, на единицу меньше числа положительно заряженных тел.

Назовём точку или линию равновесия положительной, если она находится на стыке двух или нескольких положительных областей, и отрицательной, если она находится в месте соединения отрицательных областей. Тогда при 𝑝 положительно заряженных телах и 𝑛 отрицательно заряженных телах сумма степеней положительных точек или линий равновесия равна 𝑝-1, а отрицательных – 𝑛-1. При этом бесконечно удалённую поверхность, окружающую электрическую систему, считают телом с зарядом, равным по величине и противоположным по знаку сумме зарядов системы.

Однако кроме этого определённого числа точек или линий равновесия, получающихся при соединении различных областей, могут быть и другие, о которых мы можем лишь сказать, что их должно быть чётное число. Потому что если при расширении какой-либо отрицательной области она смыкается сама с собой, то она становится циклической. При повторном смыкании с самой собой она может приобрести любую степень цикличности, причём каждая степень соответствует точке или линии равновесия, в которых возникла цикличность.

По мере расширения отрицательной области и заполнения ею всего пространства она теряет все степени цикличности, которые она приобрела ранее, и становится в конце концов ациклической. Таким образом, имеется также совокупность точек или линий равновесия, в которых теряется цикличность, причём число степеней равно числу степеней для точек или линий, в которых она увеличивается.

При произвольной форме заряженных тел или проводников мы можем лишь утверждать, что число этих дополнительных точек или линий чётно, но для точечных зарядов и сферических проводников их число не может превышать (𝑛-1)(𝑛-2), где 𝑛 – количество тел.

114. Потенциал вблизи любой точки 𝑃 может быть разложен в ряд 𝑉=𝑉₀+𝐻₁+𝐻₂+…, где 𝐻₁+𝐻₂+… – однородные функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, соответственно степени 1, 2 и т. д.

Поскольку в точке равновесия первые производные от 𝑉 обращаются в нуль, то 𝐻₁=0, если 𝑃 – точка равновесия.

Пусть 𝐻_𝑛 – первая отличная от нуля функция, тогда вблизи точки 𝑃 можно пренебречь всеми функциями более высокой степени, чем 𝐻_𝑛.

Но 𝐻₁=0 является уравнением конуса степени 𝑛 и этот конус является соприкасающимся конусом к эквипотенциальной поверхности в точке 𝑃.

Таким образом, получается, что проходящая через точку 𝑃 эквипотенциальная поверхность имеет в этой точке коническую точку с соприкасающимся конусом степени два или выше. Пересечение этого конуса со сферой с центром в вершине называется Нодальной линией.

Если точка 𝑃 не находится на линии равновесия, то нодальная линия не имеет самопересечений и состоит из 𝑛 или меньшего числа замкнутых кривых.

Если нодальная линия имеет самопересечение, то точка 𝑃 находится на линии равновесия и эквипотенциальная поверхность, проходящая через 𝑃, имеет самопересечение по этой линии.

Если самопересечения на нодальной линии расположены не в противоположных точках сферы, то точка 𝑃 лежит на пересечении трёх или большего числа линий равновесия, так как эквипотенциальная поверхность, проходящая через 𝑃, должна самопересекаться по каждой линии равновесия.

115. Если пересекаются 𝑛 листов одной и той же эквипотенциальной поверхности, то углы их взаимного пересечения обязательно равны π/𝑛.

Действительно, примем касательную к линии пересечения за ось 𝑧. Тогда 𝑑²𝑉/𝑑𝑧²=0. Пусть далее ось 𝑥 направлена по касательной и одному из листов, тогда 𝑑²𝑉/𝑑𝑥²=0. Отсюда согласно уравнению Лапласа следует, что и 𝑑²𝑉/𝑑𝑦²=0, т.е. что ось 𝑦 касательна к другому листу.

При этом предполагается, что 𝐻₂ конечно. Если же 𝐻₂ равно нулю, то, принимая по-прежнему касательную к линии пересечения за ось 𝑧 и полагая 𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ, получим, что поскольку 𝑑²𝑉/𝑑𝑧²=0, то

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

0,

или

𝑑²𝑉

𝑑𝑟²

+

1

𝑟

𝑑𝑉

𝑑𝑟

+

1

𝑟²

𝑑²𝑉

𝑑θ²

=

0.

Решение этого уравнения в виде суммы по возрастающим степеням 𝑟 представляется так:

𝑉

=

𝑉

₀

+

𝐴

₁

𝑟 cos(θ+α

₁

)

+

𝐴

₂

𝑟

²

cos(2θ+α

₂

)

+

+…+

𝐴

_𝑛

𝑟

^𝑛

cos(𝑛θ+α

_𝑛

)

.

В точке равновесия 𝐴₁=0. Если первый отличный от нуля член имеет степень 𝑟^𝑛, то

𝑉-𝑉

₀

=

𝐴

_𝑛

𝑟

^𝑛

cos(𝑛θ+α

_𝑛

)

+

+чл.высш. порядка по

𝑟

.

Это уравнение показывает, что 𝑛 листов эквипотенциальной поверхности пересекают друг друга под углом π/𝑛. Эта теорема была сформулирована Рэнкином ¹.

¹ «Сводка свойств некоторых линий потока», Phil. Mag., Oct., 1864. См. также Thomson and Tait, «Natural Philosophy», § 780; Rankine and Stokes, Proc. R. S., 1867, p. 468, a также W. R. Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.

В свободном пространстве линия равновесия может существовать лишь в особых условиях, но на поверхности проводника она существует обязательно, если на одной части поверхности проводника плотность заряда положительна, а на другой – отрицательна.

Для того чтобы различные части поверхности проводника могли быть заряжены противоположными зарядами, необходимо, чтоб в поле были области, где потенциал выше потенциала тела, и другие области, где потенциал ниже потенциала тела.

Рассмотрим сначала два проводника, заряженных положительно до одинакового потенциала. Где-то между этими двумя телами будет располагаться точка равновесия. Будем постепенно уменьшать потенциал первого тела. Тогда точка равновесия будет постепенно приближаться к нему и в некоторый момент окажется на его поверхности. При дальнейшем изменении потенциала эквипотенциальная поверхность вокруг второго тела, имеющая потенциал, равный потенциалу первого тела, начнёт пересекать под прямым углом поверхность первого тела по некоторой замкнутой кривой, являющейся линией равновесия. Эта линия равновесия, обметя всю поверхность проводника, стягивается затем вновь в точку. После этого точка равновесия удаляется от тела по другую его сторону и уходит в бесконечность, когда заряды обоих тел становятся равными по величине и противоположными по знаку.

Теорема Ирншоу

116. Заряженное тело, помещённое в поле электрической силы, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия.

Сначала предположим, что электричество на подвижном теле 𝐴 а также в системе окружающих тел 𝐵 фиксировано относительно этих тел.

Пусть 𝑉 – потенциал в произвольной точке подвижного тела, обусловленный действием окружающих тел 𝐵, а 𝑒 – заряд в некотором малом участке тела 𝐴, примыкающем к этой точке. Тогда потенциальная энергия тела 𝐴 по отношению к системе 𝐵 равна 𝑀=∑(𝑉𝑒) где суммирование производится по всем заряженным участкам тела 𝐴.

Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐 – координаты произвольного заряженного участка тела 𝐴 относительно осей, фиксированных в теле 𝐴 и параллельных осям 𝑥, 𝑦, 𝑧, Пусть абсолютные координаты начала отсчёта этих осей равны ξ, η, ζ.

Предположим пока, что тело 𝐴 может совершать лишь поступательное движение. Тогда абсолютные координаты точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 равны 𝑥=ξ+𝑎, 𝑦=η+𝑏, 𝑧=ζ+𝑐.

Потенциал тела 𝐴 по отношению к системе 𝐵 может быть выражен как сумма членов, в каждом из которых 𝑉 выражено через 𝑎, 𝑏, 𝑐 и ξ, η, ζ. Сумма этих членов является функцией от 𝑎, 𝑏, 𝑐 постоянных для любой точки тела, и от ξ, η, ζ, изменяющихся при перемещении тела.

Поскольку каждый член суммы удовлетворяет уравнению Лапласа, то и вся сумма удовлетворяет этому уравнению:

𝑑²𝑀

𝑑ξ²

+

𝑑²𝑀

𝑑η²

+

𝑑²𝑀

𝑑ζ²

=

0.

Дадим телу 𝐴 малое перемещение, так что 𝑑ξ=𝑙𝑑𝑟, 𝑑η=𝑚𝑐𝑟, 𝑑ζ=𝑛𝑑𝑟, и пусть 𝑑𝑀 – приращение потенциала тела 𝐴 по отношению к окружающей системе 𝐵.

Если бы оно было положительно, то для увеличения 𝑟 надо было бы совершить работу и существовала бы сила 𝑅=𝑑𝑀/𝑑𝑟, стремящаяся уменьшить 𝑟 и вернуть тело 𝐴 в прежнее положение, так что для этого перемещения равновесие было бы устойчивым. Если же, наоборот, оно отрицательно, то сила стремится увеличить 𝑟, и равновесие неустойчиво.

Рассмотрим теперь сферу с центром в начале координат и радиусом 𝑟 столь малым, что при нахождении фиксированной точки тела 𝐴 внутри этой сферы ни одна точка подвижного тела 𝐴 не может совпасть с какой-либо частью внешней системы 𝐵. Тогда, поскольку внутри сферы ∇²𝑀=0, интеграл ∬(𝑑𝑀/𝑑𝑟)𝑑𝑆 по поверхности сферы равен нулю.

Следовательно, если в какой-либо части поверхности сферы 𝑑𝑀/𝑑𝑟 положительно, то должна существовать другая часть поверхности, на которой оно отрицательно, и если тело 𝐴 сместить по направлению, вдоль которого 𝑑𝑀/𝑑𝑟 отрицательно, то оно будет стремиться отклоняться от первоначального положения, так что равновесие тела обязательно неустойчиво.

Таким образом, равновесие тела неустойчиво, даже если тело может двигаться только поступательно; оно тем более неустойчиво для совершенно свободного тела.

Предположим теперь, что тело 𝐴 является проводником. Мы могли бы рассматривать этот случай как равновесие системы тел, считая подвижное электричество частью этой системы. Тогда мы могли бы заключить, что поскольку система является неустойчивой, будучи лишённой многих степеней свободы при фиксировании распределения электричества, то она тем более неустойчива при восстановлении этих степеней свободы.

Но этот случай можно рассмотреть и специально следующим образом.

Пусть сначала распределение электричества на теле 𝐴 фиксировано и тело 𝐴 перемещается поступательно на небольшое расстояние 𝑑𝑟. Обусловленное этим увеличение потенциала тела 𝐴 было уже рассмотрено.

Пусть теперь электрическим зарядам предоставлена возможность переместиться по телу 𝐴 в своё положение равновесия, которое всегда устойчиво. При этом перемещении потенциал обязательно уменьшится на величину, которую мы обозначим через 𝐶𝑑𝑟.

Таким образом, полное увеличение потенциала при нефиксированных электрических зарядах равно [(𝑑𝑀/𝑑𝑟)-𝐶]𝑑𝑟, сила, стремящаяся возвратить тело 𝐴 назад в первоначальное положение, равна (𝑑𝑀/𝑑𝑟)-𝐶 где 𝐶 всегда положительно.

Но мы показали, что для некоторых направлений 𝑑𝑀/𝑑𝑟 отрицательно, следовательно, при нефиксированном электричестве неустойчивость этих направлениях возрастает.

ГЛАВА VII

ФОРМЫ ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ ИНДУКЦИИ В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ

117. Мы видели, что нахождение распределения электричества на поверхности проводников можно связать с решением уравнения Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

=

0,

где 𝑉 – функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, всюду конечная и непрерывная, обращающаяся в нуль на бесконечности и имеющая заданное постоянное значение на поверхности каждого проводника.

В общем случае не представляется возможным решить существующими математическими методами это уравнение, удовлетворив произвольно заданным условиям, но можно легко привести сколько угодно выражений для функции 𝑉, удовлетворяющей этому уравнению, и найти для каждого выражения форму поверхностей проводников, для которой эта функция является истинным решением.

Таким образом, задача определения формы проводников, соответствующей заданному потенциалу, которую естественно назвать обратной задачей, оказывается более легко решаемой, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников.

Фактически все известные нам решения задач электричества получены именно таким обратным процессом. Поэтому специалисту в области электричества чрезвычайно важно знать, какие задачи были решены таким способом, так как единственный метод, которым можно надеяться решить новую задачу, это сведение её к какому-либо случаю, когда подобная задача была решена обратным методом.

Знание результатов обратных задач можно использовать двумя способами. Если требуется построить инструмент для производства электрических измерений с максимальной точностью, то мы можем выбирать такие формы поверхностей заряженных тел, которые соответствуют случаям, для которых мы знаем точное решение. Если же, наоборот, требуется определить электризацию тел заданной формы, то следует начать с какого-нибудь случая, когда одна из эквипотенциальных поверхностей имеет форму, более или менее близкую к заданной, а затем методом проб изменять решение, пока оно не приблизится к искомому.

Конечно, этот метод с математической точки зрения весьма несовершенен, но это единственный метод, имеющийся в нашем распоряжении, и если у нас нет возможности выбирать наши условия, то мы можем произвести лишь приближённый расчёт электризации. Таким образом, нам нужно знать форму эквипотенциальных поверхностей и линий индукции для возможно большего числа различных случаев, какие только удастся собрать и запомнить. Для некоторых случаев, как, например для сферических проводников, известны математические методы, которыми можно воспользоваться. В других случаях не следует гнушаться и более скромным методом прямого построения пробных графиков полей и потенциалов на бумаге и выбора наименее отклоняющегося от требуемого.

Мне представляется, что этот последний метод может быть полезен даже в случае, когда имеется точное решение. Как я убедился, наглядное представление форм эквипотенциальных поверхностей часто приводит к правильному выбору математического метода решения.

Поэтому я построил несколько графиков систем эквипотенциальных поверхностей и линий индукции, чтобы читатель мог привыкнуть к форме этих поверхностей и линий. Способы построения таких графиков будут пояснены в п. 123.

118. На первом графике, приведённом в конце этого тома, дано сечение эквипотенциальных поверхностей, окружающих два точечных одноимённых заряда, количества электричества в которых относятся как 20 к 5.

Обе точки окружены здесь системой эквипотенциальных поверхностей, которые по мере уменьшения всё более приближаются к сферам, хотя строго сферической ни одна из поверхностей не является. Если две такие поверхности, окружающие соответственно первую и вторую точку, принять за поверхности двух проводящих тел, почти, но не совсем точно сферических, и если эти тела зарядить соответственно одноимёнными зарядами в отношении 4 к 1, то этот график будет представлять их эквипотенциальные поверхности, если только убрать все поверхности, проходящие внутри обоих тел. Из графика видно, что взаимодействие между этими телами такое же, что и между двумя точками с теми же зарядами, находящимися не точно на середине оси каждого тела, а несколько более удалённых от другого тела, чем середина оси.

Из того же графика можно увидеть, каково будет распределение электричества на любой из окружающих оба центра овалообразных фигур, один конец которых толще другого. Такое тело, будучи заряжено 25 единицами электричества и свободное от внешнего влияния, будет иметь наибольшую плотность электричества на тонком конце, меньшую – на толстом и самую малую плотность – на окружности, которая несколько ближе к тонкому концу, чем к толстому.

Существует одна эквипотенциальная поверхность, показанная на чертеже пунктиром, состоящая из двух лепестков, встречающихся в конической точке 𝑃. Эта точка является точкой равновесия, а поверхностная плотность на теле, ограниченном этой поверхностью, была бы равна нулю в этой точке.

Силовые линии образуют в этом случае две раздельные системы, отделяемые друг от друга поверхностью шестого порядка, показанной пунктирной линией, проходящей через точку равновесия и несколько напоминающей лист двухполостного гиперболоида.

Этот график можно считать также представляющим силовые линии и эквипотенциальные поверхности для двух сфер гравитирующей материи с отношением масс 4 к 1.

119. На втором графике мы вновь имеем два точечных заряда, относящихся как 20 к 5, но один из них положительный, а другой отрицательный. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, а именно та, что соответствует нулевому потенциалу, является сферой. На графике она изображена пунктирной окружностью 𝑄. Важная роль этой сферической поверхности станет ясна далее, когда мы дойдём до теории электрических изображений.

Из этого графика можно видеть, что если два округлых тела заряжены электричеством противоположного рода, то они притягиваются друг к другу как два точечных заряда с теми же зарядами, но расположенные несколько ближе друг к другу, чем срединные точки этих округлых тел.

И здесь одна из эквипотенциальных поверхностей, показанная пунктиром, состоит из двух лепестков, причём внутренний лепесток охватывает точку с зарядом 5, а внешний охватывает оба тела. Оба лепестка смыкаются в конической точке 𝑃, являющейся точкой равновесия.

Если поверхность проводника имеет форму внешнего лепестка, т. е. округлую форму с конической впадиной на одном конце оси, как у яблока, то можно определить значение поверхностной плотности в любой точке при электризации этого проводника. В частности, на дне впадины она равна нулю.

Эта поверхность охватывается другими, у которых впадина уже закруглена, и постепенно уплощается и, наконец, исчезает для эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку 𝑀.

Силовые линии на этом графике образуют две системы, разделённые поверхностью, проходящей через точку равновесия.

Если рассматривать точки на оси за точкой 𝐵 то видно, что результирующая сила уменьшается до кратной точки 𝑃 где она обращается в нуль. Затем она меняет знак и достигает максимума в точке 𝑀, после чего монотонно убывает.

Однако этот максимум является максимумом лишь по отношению к другим точкам на этой оси: ибо если рассмотреть поверхность, проходящую через 𝑀 перпендикулярно этой оси, то в точке 𝑀 сила будет минимальна по сравнению с соседними точками этой поверхности.

120. На графике III представлены эквипотенциальные поверхности и линии индукции, обусловленные точечным зарядом в 10 единиц, помещённым в точке 𝐴 и окружённым силовым полем, которое до введения точечного заряда было однородным по величине и направлению во всем пространстве.

Каждая эквипотенциальная поверхность имеет свою асимптотическую плоскость. Одна из эквипотенциальных поверхностей, показанная пунктиром, имеет коническую точку и лепесток, охватывающий точку 𝐴. Расположенные ниже эквипотенциальные поверхности однолистные и имеют углубление вблизи оси. Выше расположены эквипотенциальные поверхности, состоящие из замкнутой части, охватывающей точку 𝐴, и отдельного листа с небольшим углублением вблизи оси.

Если одну из поверхностей ниже точки 𝐴 принять за поверхность проводника, а за поверхность второго проводника, находящегося под другим потенциалом, принять другую эквипотенциальную поверхность, расположенную далеко внизу под точкой 𝐴, то система линий и поверхностей между этими двумя проводниками будет указывать распределение электрического поля. Если нижний проводник расположен очень далеко от точки 𝐴, то его поверхность очень близка к плоскости, так что мы имеем здесь решение для распределения электричества на двух поверхностях, которые обе почти плоские и параллельные друг другу, не считая выступа на верхней поверхности вблизи оси, величина которого зависит от того, какую эквипотенциальную поверхность мы выбираем.

121. На графике IV представлены эквипотенциальные поверхности и линии индукции для трёх точечных зарядов 𝐴, 𝐵 и 𝐶, причём заряд 𝐴 равен 15 единицам положительного электричества, заряд 𝐵 – 12 единицам отрицательного электричества и заряд 𝐶 – 20 единицам положительного электричества. Точечные заряды расположены на одной прямой, причём 𝐴𝐵=9, 𝐵𝐶=16, 𝐴𝐷=25.

В этом случае поверхность, на которой потенциал равен нулю, состоит из двух сфер с центрами в точках 𝐴 и 𝐶 и с радиусами, равными 15 и 20. Сферы эти пересекаются по окружности, которая проходит через плоскость рисунка в точках 𝐷 и 𝐷'; центром этой окружности является точка 𝐵, а радиус её равен 12. Эта окружность – пример линии равновесия, так как в каждой её точке равнодействующая сила равна нулю.

Если мы предположим, что сфера с центром в точке 𝐴 является проводником с зарядом в 3 единицы положительного электричества, находящимся под индуктивным воздействием 20 единиц положительного электричества в точке 𝐶, то этот случай будет представлен тем же графиком, если только убрать все линии внутри сферы 𝐴. Часть этой сферической поверхности, находящаяся под малой окружностью 𝐷𝐷', будет заряжена отрицательно из-за влияния заряда 𝐶. Вся остальная поверхность сферы будет заряжена положительно, а самая малая окружность 𝐷𝐷' будет линией нулевого заряда.

Этот же график можно считать представляющим сферу с центром в 𝐶, заряженную 8 единицами положительного электричества и находящуюся под воздействием 15 единиц положительного электричества, помещённого в точку 𝐴.

Можно также считать, что на графике представлен проводник, образуемый большими сегментами обеих сфер, смыкающимися в 𝐷𝐷', заряженными 23 единицами положительного электричества.

Мы ещё вернёмся к рассмотрению этого графика как иллюстрации к томсоновской Теории Электрических Изображений, см. п. 168.

122. Эти графики следует изучать как иллюстрации языка Фарадея, таких его выражений, как «силовые линии», «силы наэлектризованного тела» и т. д.

Слово Сила означает ограниченное выражение того действия между двумя материальными телами, благодаря которому их движение становится отличным от движения, которое было бы в отсутствие этого действия. Явление в целом при одновременном рассмотрении обоих тел называется Напряжением и может быть описано как передача количества движения от одного тела к другому. Если мы сосредоточиваем внимание на первом из двух тел, то напряжение, действующее на него, мы называем Движущей Силой или просто Силой, действующей на это тело. Она измеряется количеством движения, получаемым телом в единицу времени.

Механическое взаимодействие двух заряженных тел – это напряжение, а воздействие на одно из этих тел – сила. Сила, действующая на малое заряженное тело, пропорциональна его собственному заряду, а сила, приходящаяся на единицу заряда, называется Напряжённостью силы.

Слово Индукция употребляется Фарадеем для обозначения способа взаимосвязи зарядов наэлектризованных тел: каждая единица положительного заряда связана с единицей отрицательного заряда линией, направление которой в жидких диэлектриках совпадает в каждой точке с направлением электрической напряжённости. Такая линия часто называется Силовой лнией, но правильнее было бы называть её линией Индукции.

Далее, количество электричества в теле измеряется, согласно идеям Фарадея, числом силовых линий, или, лучше сказать, линий индукции, исходящих из тела. Все эти силовые линии должны где-то кончаться, либо на окружающих телах, либо на стенках и крыше помещения, либо на земле, либо на небесных телах, и, где бы они ни кончались, там присутствует количество электричества, в точности равное и противоположное по знаку тому количеству электричества, которое расположено на участке тела, из которого вышли силовые линии. Из приведённых графиков видно, что это действительно имеет место. Поэтому нет никакого противоречия между взглядами Фарадея и математическими результатами старой теории. Наоборот, идея силовых линий делает ясными эти результаты и даёт, по-видимому, средство перехода непрерывным образом от довольно косных понятий старой теории к представлениям, допускающим дальнейшее обобщение и создающим, таким образом, возможность расширения наших знаний в последующих исследованиях.

123. Графики на рис. 5 построены следующим образом. Возьмём сначала случай единственного силового центра – малого наэлектризованного тела с зарядом 𝑒. Потенциал на расстоянии 𝑟 равен 𝑉=𝑒/𝑟. Следовательно, положив 𝑟=𝑒/𝑉 мы найдём радиус 𝑟 сферы, на которой потенциал равен 𝑉. Придавая 𝑉 значения 1, 2, 3 и т. д. и построив соответствующие сферы, мы получим ряд эквипотенциальных поверхностей, на которых потенциалы измеряются натуральными числами. Сечение этих сфер плоскостью, проходящей через их общий центр, образует окружности, каждую из которых мы можем пометить числом, показывающим значение потенциала. Они показаны на рис. 5 справа в виде пунктирных полуокружностей.

Если имеется ещё другой силовой центр, мы можем тем же способом построить эквипотенциальные поверхности, относящиеся к нему, и если теперь задаться целью найти форму эквипотенциальных поверхностей, обусловленных обоими центрами, то следует лишь вспомнить, что если 𝑉₁ – потенциал, создаваемый одним центром, а 𝑉₂ – потенциал, создаваемый другим центром, то обусловленный обоими центрами потенциал равен 𝑉₁+𝑉₂=𝑉. Поскольку во всех точках пересечения эквипотенциальных поверхностей, относящихся к обоим семействам, мы знаем и 𝑉₁ и 𝑉₂ мы знаем также и значение 𝑉 в них. Поэтому, если построить поверхность, проходящую через все те точки пересечения, для которых 𝑉 имеет одно и то же значение, то эта поверхность совпадёт с истинной эквипотенциальной поверхностью во всех этих точках пересечения, и при достаточной густоте Построения исходной системы поверхностей можно построить новую поверхность с любой требуемой точностью. Эквипотенциальные поверхности, соответствующие Двум точечным зарядам, равным по величине, но противоположным по знаку, Показаны сплошными линиями справа на рис. 5.

Рис. 5. Метод построения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей

Этот метод может быть применён для построения произвольной системы эквипотенциальных поверхностей, если только потенциал является суммой двух потенциалов, для которых эквипотенциальные поверхности уже построены.

Силовые линии для одиночного силового центра представляют собой прямые, выходящие из этого центра. Если мы хотим указать этими линиями и интенсивность, и направление силы в любой точке, мы должны строить их так, чтобы они выделяли на эквипотенциальных поверхностях участки, по которым интеграл от индукции имеет определённое значение. Для этого лучше всего принять, что наша плоская фигура представляет собой сечение пространственной фигуры, образуемой вращением плоской фигуры вокруг оси, проходящей через центр сил. Любая прямая, выходящая из этого центра и образующая угол θ с осью, будет при этом описывать конус, и поверхностный интеграл от индукции по той части любой поверхности, которая вырезается этим конусом со стороны, прилегающей к положительному направлению оси, равен 2π𝑒(1-cos θ).