Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме"

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 34 страниц)

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

,

где γ=0,57712..., а Ψ(𝑥)=𝑑/𝑑𝑥⋅ln Γ(1+𝑥).

Таблицы значений Ψ приведены Гауссом (Werke, Band III, р. 161-162).

Если временно обозначить 𝑏/(𝑎+𝑏) через 𝑥 то разность зарядов 𝐸_𝑎 и 𝐸_𝑏 запишется в виде

-

𝑑

𝑑𝑥

ln[Γ(𝑥)Γ(1-𝑥)]

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

=

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

𝑑

𝑑𝑥

ln sin π𝑥

=

=

π𝑎𝑏

𝑎+𝑏

ctg

π𝑏

𝑎+𝑏

.

Для одинаковых сфер заряд каждой равен при единичном потенциале

𝐸

_𝑎

=

𝑎

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

2𝑠(2𝑠-1)

=

𝑎

⎛

⎜

⎝

1-

1

2

+

1

3

–

1

4

+…

⎞

⎟

⎠

=

=

𝑎 ln 2

=

0,69314718 𝑎

.

Если сфера 𝐴 много меньше сферы 𝐵, то заряд на 𝐴 приблизительно равен

𝐸

_𝑎

=

𝑎²

𝑏

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

𝑠²

=

π²

6

𝑎²

𝑏

,

а заряд на 𝐵 приблизительно тот же, что и при удалении сферы 𝐴, т.е. 𝐸_𝑏=𝑏.

Средняя плотность на каждой сфере находится делением заряда на величину поверхности. Таким образом,

σ

_𝑎

=

𝐸_𝑎

4π𝑎²

=

π

24𝑏

,

σ

_𝑏

=

𝐸_𝑏

4π𝑏²

=

π

4𝑏

,

σ

_𝑎

=

π²

6

σ

_𝑏

.

Следовательно, при прикосновении малой сферы к очень большой средняя плотность на малой сфере отличается от средней плотности на большой сфере множителем π²/6 т.е. 1,644936.

Применение метода электрической инверсии к случаю сферической чаши

176. Одной из наиболее замечательных иллюстраций метода электрических изображений сэра У. Томсона является его исследование распределения электричества на части сферической поверхности, ограниченной малым кругом. Результаты этих исследований были без доказательства сообщены г-ну Лиувилю и опубликованы в его Journal в 1847 г. Полное исследование опубликовано у Томсона в Electrical Papers, статья XV.

Насколько мне известно, ни одним другим математиком не было дано какого-либо решения задачи о распределении электричества на конечной части какой-либо искривлённой поверхности.

Поскольку моей целью является разъяснение метода, а не проверка вычислений, я не будут подробно излагать ни геометрии задачи, ни вычислений, отсылая читателей к работе Томсона.

Распределение электричества на эллипсоиде

177. Известным методом было доказано ³, что притяжение оболочки, ограниченной двумя подобными, подобно расположенными и концентрическими эллипсоидами, таково, что на точку, находящуюся внутри оболочки, не действует никакая результирующая сила притяжения. Если предположить, что толщина оболочки неограниченно уменьшается, а плотность на ней неограниченно возрастает, мы в пределе придём к понятию поверхностной плотности, меняющейся пропорционально величине перпендикуляра, опущенного из центра на касательную плоскость. Поскольку результирующая сила притяжения такого поверхностного распределения, действующая на любую точку внутри эллипсоида, равна нулю, то при таком распределении электричества на поверхности имеет место равновесие.

³ См. Thomson and Tait, «Natural Philosophy», § 520 или п. 150 настоящего трактата.

Таким образом, поверхностная плотность в любой точке эллипсоида, не возмущённого внешним воздействием, меняется как расстояние касательной плоскости от центра.

Распределение электричества на диске

Взяв две оси эллипсоида равными, а третью устремив к нулю, мы придём к случаю кругового диска и к выражению для поверхностной плотности в произвольной точке 𝑃 такого диска, заряженного до потенциала 𝑉 и невозмущённого внешним влиянием. Если σ – поверхностная плотность на одной стороне диска, a 𝐾𝑃𝐿 – хорда проходящая через точку 𝑃, то σ=𝑉/(2π²√𝐾𝑃⋅𝑃𝐿).

Применение принципа электрической инверсии

178. Примем произвольную точку 𝑄 за центр инверсии и пусть 𝑅 – радиус сферы инверсии. Тогда плоскость диска переходит в сферическую поверхность, проходящую через точку 𝑄, а сам диск становится частью этой сферической поверхности, ограниченной окружностью. Назовём эту часть поверхности чашей.

Пусть 𝑆' – диск, заряженный до потенциала 𝑉 и не находящийся под внешним воздействием. Его электрическое изображение 𝑆 будет сферическим сегментом под нулевым потенциалом, электризация которого вызвана действием количества электричества 𝑉𝑅 помещённого в точку 𝑄.

Таким образом, с помощью процесса инверсии мы получили решение задачи о распределении электричества на чаше или на плоском диске, находящихся под нулевым потенциалом, под воздействием точечного заряда, лежащего на поверхности сферы или плоскости, являющихся продолжением чаши или диска.

Влияние точечного заряда, расположенного на незанятой части сферической поверхности

Применение описанных выше методов и геометрических свойств инверсии приводит к следующей форме решения.

Пусть 𝐶 – центральная точка, или полюс, сферической чаши 𝑆, а 𝑎 – расстояние от 𝐶 до произвольной точки на границе сегмента. Пусть далее в точку 𝑄 на поверхности сферы, являющейся продолжением чаши, помещено количество электричества 𝑞, а чаша 𝑆 поддерживается под нулевым потенциалом. Тогда плотность 𝑎 в любой точке 𝑃 чаши будет равна

σ

=

1

2π²

𝑞

𝑄𝑃²

⎛

⎜

⎝

𝐶𝑄²-𝑎²

𝑎²-𝐶𝑃²

⎞½

⎟

⎠

,

где 𝐶𝑄, 𝐶𝑃 и 𝑄𝑃 – прямые, соединяющие точки 𝐶, 𝑄, 𝑃. Замечательно, что это выражение не зависит от радиуса сферической поверхности, частью которой является чаша. Следовательно, оно применимо без изменения и в случае плоского диска.

Влияние произвольного числа точечных зарядов

Рассмотрим теперь сферу, разделённую на две части. Одна из них представляет собой сферический сегмент, на котором мы определили распределение электричества (будем называть её чашей), а на другой (оставшейся, или незанятой) – части сферы располагается точечный заряд 𝑄.

Если на оставшейся части сферы расположено несколько точечных зарядов, то наводимое ими распределение электричества в любой точке чаши может быть получено суммированием плотностей, наводимых в отдельности каждым зарядом.

179. Пусть вся оставшаяся поверхность сферы заряжена равномерно с поверхностной плотностью ρ, тогда плотность в каждой точке чаши может быть получена простым интегрированием по заряженной таким образом поверхности.

Таким образом, мы получим решение для случая чаши, находящейся под нулевым потенциалом и заряженной под воздействием оставшейся части сферической поверхности, на которой фиксирована однородная плотность ρ.

Изолируем теперь всю систему, внесём её внутрь сферы диаметра ƒ и зададим на этой сфере равномерное жёсткое распределение заряда с поверхностной плотностью ρ'.

Внутри этой сферы не будет никакой результирующей силы, так что распределение электричества на чаше останется неизменным, но потенциал во всех точках внутри сферы возрастёт на величину 𝑉 равную 𝑉=2πρ'ƒ.

Таким образом, потенциал во всех точках чаши станет равным 𝑉.

Пусть теперь эта сфера концентрична сфере, частью которой является чаша, и путь её радиус лишь на бесконечно малую величину больше радиуса этой последней сферы. Мы приходим при этом к случаю чаши, поддерживаемой под потенциалом 𝑉 и находящейся под воздействием оставшейся части сферы, на которой задано жёсткое распределение электричества с поверхностной плотностью ρ+ρ=0.

180. Остаётся предположить, что ρ+ρ=0, и мы получим случай чаши, поддерживаемой под потенциалом 𝑉 и свободной от внешнего воздействия.

Пусть σ – плотность на любой из поверхностей чаши в заданной точке в случае, когда потенциал чаши равен нулю, а оставшаяся часть сферы заряжена с плотностью ρ Тогда для чаши, находящейся под потенциалом 𝑉, следует увеличить плотность на наружной стороне на ρ', где ρ' – плотность на охватывающей сфере.

В результате таких расчётов получим, что поверхностная плотность σ на поверхности внутри чаши равна

σ

=

𝑉

2π²ƒ

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

ƒ²-𝑎²

𝑎²-𝑟²

⎞½

⎟

⎠

– arctg

⎛

⎜

⎝

ƒ²-𝑎²

𝑎²-𝑟²

⎞½

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

,

а поверхностная плотность снаружи в той же точке равна σ+(𝑉/2πƒ) Здесь ƒ – диаметр сферы, 𝑎 – хорда радиуса чаши, 𝑟 – хорда расстояния 𝑃 от полюса чаши.

Эти формулы получаются простым интегрированием по части сферической поверхности. Для построения полной теории электризации сферической чаши нам понадобилось лишь знание геометрии инверсии сферических поверхностей.

181. Пусть требуется определить поверхностную плотность, наводимую в произвольной точке заземлённой чаши количеством электричества 𝑞, помещённым в точку 𝑄, не расположенную теперь, на сферической поверхности, являющейся продолжением чаши.

Произведём инверсию чаши по отношению к 𝑄, приняв радиус сферы инверсии равным 𝑅. Чаша 𝑆 перейдёт в своё изображение 𝑆', а точка 𝑃 -в своё изображение 𝑃'. Нам нужно определить плотность σ' в 𝑃' для чаши 𝑆', поддерживаемой под потенциалом 𝑉', таким, что 𝑞=𝑉'𝑅, и не подверженной внешним влияниям.

Плотность σ в точке 𝑃 первоначальной чаши будет равна σ=-(σ'𝑅³/𝑄𝑃³). причём эта чаша будет находиться под нулевым потенциалом и под воздействием количества электричества 𝑞, помещённого в точку 𝑄.

Такая процедура приводит к следующему результату.

Рис. 16

Пусть рис. 16 представляет собой сечение сферы через центр 𝑂 полюс чаши 𝐶 и индуцирующий точечный заряд 𝑄. Точка 𝐷 соответствует в инвертируемой фигуре незанятому полюсу ободка чаши и может быть найдена следующим построением.

Проведём через 𝑄 хорды 𝐸𝑄𝐸' и 𝐹𝑄𝐹' Если принять радиус инверсии сферы равным среднему геометрическому между отрезками, на которые делится хорда в точке 𝑄, то 𝐸'𝐹' будет изображением 𝐸𝐹. Пусть точка 𝐷' делит дугу 𝐹'𝐶𝐸' пополам, так что 𝐹'𝐷' равно 𝐷'𝐸'. Проведём прямую 𝐷'𝑄𝐷 до пересечения со сферой в точке 𝐷. Эта точка 𝐷 и является искомой. Проведём также через центр сферы 𝑂 и точку 𝑄 прямую 𝐻𝑂𝑄𝐻, пересекающуюся со сферой в точках 𝐻 и 𝐻'. Тогда для любой точки 𝑃 на чаше наводимая количеством электричества 𝑞 в точке 𝑄 поверхностная плотность на той стороне, которая отделена от 𝑄 дополняющей чашу сферической поверхностью, будет равна

σ

=

𝑞

2π²

𝑄𝐻⋅𝑄𝐻'

𝐻𝐻'⋅𝑃𝑄³

⎧

⎨

⎩

𝑃𝑄

𝐷𝑄

⎛

⎜

⎝

𝐶𝐷²-𝑎²

𝑎²-𝐶𝑃²

⎞½

⎟

⎠

–

-

arctg

⎡

⎢

⎣

𝑃𝑄

𝐷𝑄

⎛

⎜

⎝

𝐶𝐷²-𝑎²

𝑎²-𝐶𝑃²

⎞½

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

,

где 𝑎 означает хорду, проведённую из полюса чаши 𝐷 до ободка чаши. На ближайшей к 𝑄 стороне поверхностная плотность равна

σ

+

𝑞

2π²

𝑄𝐻⋅𝑄𝐻'

𝐻𝐻'⋅𝑃𝑄³

.

ГЛАВА XII

ТЕОРИЯ СОПРЯЖЁННЫХ ФУНКЦИЙ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ

182. Число независимых случаев, в которых решена задача электрического равновесия, весьма невелико. Для сферических проводников развит метод сферических гармоник. Ещё более мощными являются методы электрических изображений и инверсии в тех случаях, когда они применимы. Случай поверхностей второго порядка, насколько я знаю, – единственный, для которого известны и эквипотенциальные поверхности, и силовые линии, причём силовые линии не являются плоскими кривыми.

Но существует важный класс задач в теории электрического равновесия и в теории прохождения тока, в которых рассматривается лишь двумерное пространство.

Так, например, если всюду в рассматриваемой части электрического поля и на значительном расстоянии вне её поверхности всех проводников образованы движением прямых линий, параллельных оси 𝑧, а та часть поля, где это не имеет места, настолько удалена от рассматриваемой части, что её электрическим действием можно пренебречь, то электричество будет равномерно распределено вдоль всех образующих, и если рассмотреть участок поля, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными оси 𝑧 и находящимися на единичном расстоянии, то потенциал и распределение электричества будут функцией лишь от 𝑥 и 𝑦.

Пусть ρ𝑑𝑥𝑑𝑦 – количество электричества в элементе объёма с площадью основания 𝑑𝑥𝑑𝑦 и единичной высотой, a σ𝑑𝑠 – количество электричества на элементе площади с основанием 𝑑𝑠 и единичной высотой. Тогда уравнение Пуассона можно написать в виде

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

4πρ

=

0.

При отсутствии свободных зарядов оно сводится к уравнению Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

0.

Общая задача электрического равновесия может быть сформулирована следующим образом.

Задана непрерывная двумерная область, ограниченная замкнутыми кривыми 𝐶₁, 𝐶₂ и т. д. Найти вид такой функции 𝑉, которая на этих границах принимает соответственно значения 𝑉₁, 𝑉₂ и т. д., постоянные на каждой границе, а внутри области всюду конечна, непрерывна, однозначна и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Мне неизвестно, было ли дано какое-либо совершенно общее решение даже для этой задачи, но в этом случае применим приводимый в п. 190 метод преобразования, значительно более мощный, чем любой известный нам метод решения для трёх измерений.

Этот метод основан на свойствах сопряжённых функций двух переменных.

Определение сопряжённых функций

183. Величины α и β называются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦, если α+√-1β является функцией от 𝑥+√-1𝑦.

Из этого определения следует, что

𝑑α

𝑑𝑥

=

𝑑β

𝑑𝑦

и

𝑑α

𝑑𝑦

+

𝑑β

𝑑𝑥

=

0,

(1)

𝑑²α

𝑑𝑥²

+

𝑑²α

𝑑𝑦²

=

0,

𝑑²β

𝑑𝑥²

+

𝑑²β

𝑑𝑦²

=

0.

(2)

Таким образом, обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Кроме того,

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

–

𝑑α

𝑑𝑦

𝑑β

𝑑𝑥

=

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

𝑅².

(3)

Если 𝑥 и 𝑦 -прямоугольные координаты, 𝑑𝑠₁ -отрезок кривой (β=const) между кривыми (α) и (α+𝑑α) , a 𝑑𝑠₂ – отрезок кривой α между кривыми (β) и (β+𝑑β), то

-

𝑑𝑠₁

𝑑α

=

𝑑𝑠₂

𝑑β

=

1

𝑅

,

(4)

и кривые пересекаются под прямым углом.

Если положить потенциал равным 𝑉=𝑉₀+𝑘α, где 𝑘 – некоторая постоянная, то 𝑉 будет удовлетворять уравнению Лапласа, и кривые (α) будут эквипотенциальными кривыми. Кривые (β) будут при этом силовыми линиями, а поверхностный интеграл от 𝑅 по цилиндрической поверхности единичной высоты, проекцией которой на плоскость 𝑥𝑦 является кривая 𝐴𝐵, равен 𝑘(β_𝐵-β_𝐴), где β_𝐴 и β_𝐵 – значения β на концах кривой.

Если построить на плоскости одну совокупность кривых, соответствующую значениям α, взятым в арифметической прогрессии, и другую совокупность кривых, соответствующих последовательности значений β с той же разностью прогрессии, то обе эти совокупности кривых будут пересекаться всюду под прямыми углами, и при достаточно малой общей разности обеих прогрессий элементы, на которые разделится плоскость, будут в пределе малыми квадратами, стороны которых в разных участках поля имеют разное направление и величину, будучи обратно пропорциональными 𝑅

Если две или несколько эквипотенциальных линий (α) являются замкнутыми кривыми, ограничивающими непрерывную область, то эти кривые можно принять за поверхности проводников с потенциалами соответственно 𝑉=𝑉₀+𝑘α₁, 𝑉=𝑉₀+𝑘α₂ и т.д. Количество электричества на любом из этих проводников, расположенное между силовыми линиями (β₁) и (β₁), равно 𝑘(β₂-β₁)/4π.

Таким образом, число эквипотенциальных кривых между двумя проводниками будет показывать разность потенциалов между ними, а число силовых линий, выходящих из проводника, будет показывать количество электричества на нём.

Ниже мы сформулируем некоторые из наиболее важных теорем, касающихся сопряжённых функций, причём при их доказательстве мы будем исходить либо из уравнений (1), содержащих производные, либо из первоначального определения, использующего мнимые обозначения.

184.Теорема I.Если 𝑥' и 𝑦' – сопряжённые функции по отношению к 𝑥 и 𝑦, а 𝑥'' и 𝑦'' – тоже сопряжённые функции по отношению к 𝑥 и 𝑦, то функции 𝑥'+𝑥'' и 𝑦'+𝑦'' будут сопряжёнными функциями по отношению к 𝑥 и 𝑦.

Действительно,

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

=

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

 и

𝑑𝑥''

𝑑𝑥

=

𝑑𝑦''

𝑑𝑦

,

так что

𝑑(𝑥'+𝑥'')

𝑑𝑥

=

𝑑(𝑦'+𝑦'')

𝑑𝑦

.

Далее,

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

=

–

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

 и

𝑑𝑥''

𝑑𝑦

=

–

𝑑𝑦''

𝑑𝑥

,

откуда

𝑑(𝑥'+𝑥'')

𝑑𝑦

=

–

𝑑(𝑦'+𝑦'')

𝑑𝑥

.

т.e. 𝑥'+𝑥'' и 𝑦'+𝑦'' являются сопряжёнными по отношению к 𝑥 и 𝑦.

Графическое представление функции, являющейся суммой двух заданных функций

Пусть функция (α) от 𝑥 и 𝑦 графически представлена семейством кривых в плоскости 𝑥𝑦 каждая из которых соответствует некоторому значению α из последовательности значений, нарастающих с постоянной разностью δ.

Пусть другая функция (β) от 𝑥 и 𝑦 аналогично представлена семейством кривых, соответствующих значениям β с той же разностью, что и в последовательности α.

Тогда для аналогичного представления функции (α+β) нужно провести кривые через точки пересечения предыдущих семейств кривых, соединив точку пересечения кривых (α) и (β) с точкой пересечения кривых (α+δ) и (β-δ), далее с точкой пересечения (α+2δ) и (β-2δ) и т.д. Во всех этих точках функция имеет одно и то же значение (α+β). Следующая кривая может быть проведена через точки пересечения (α) и (β+δ), (α+δ) и (β), (α+2δ) и (β-δ) и т. д. Этой кривой соответствует значение функции (α+β+δ).

Таким образом, можно по имеющемуся семейству кривых (α) и семейству (β) построить семейство кривых (α+β). Эти три семейства кривых могут быть построены на отдельных листах прозрачной бумаги. Совместив соответственно первый и второй листы, можно произвести построение на третьем листе.

Комбинируя таким образом сопряжённые функции с помощью сложения, можно легко получить графики для многих интересных случаев, если только мы можем построить их для более простых случаев, входящих в качестве слагаемых. Однако в нашем распоряжении имеется и значительно более мощный метод преобразования решений, даваемый следующей теоремой.

185.Теорема II.Пусть 𝑥'' и 𝑦'' – сопряжённые функции по отношению к переменным 𝑥' и 𝑦', а 𝑥' и 𝑦' – сопряжённые функции по отношению к 𝑥 и 𝑦, тогда 𝑥'' и 𝑦'' будут сопряжёнными функциями по отношению к 𝑥 и 𝑦.

Действительно,

𝑑𝑥''

𝑑𝑥

=

𝑑𝑥''

𝑑𝑥'

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

+

𝑑𝑥''

𝑑𝑦'

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

=

𝑑𝑦''

𝑑𝑦'

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

+

𝑑𝑦''

𝑑𝑥'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

=

𝑑𝑦''

𝑑𝑦

и

𝑑𝑥''

𝑑𝑦

–

𝑑𝑥''

𝑑𝑥'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

+

𝑑𝑥''

𝑑𝑦'

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

=-

𝑑𝑦''

𝑑𝑦'

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

–

𝑑𝑦''

𝑑𝑥'

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

=

–

𝑑𝑦''

𝑑𝑥

,

а это как раз условия того, что 𝑥'' и 𝑦'' – сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦

Это можно показать также, исходя из первоначального определения сопряжённых функций. Поскольку 𝑥''+√-1𝑦'' является функцией от 𝑥'+√-1𝑦' а 𝑥'+√-1𝑦' является функцией от 𝑥+√-1𝑦, то 𝑥''+√-1𝑦'' является функцией от 𝑥+√-1𝑦.

Точно так же можно показать, что если 𝑥' и 𝑦' – сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, то 𝑥 и 𝑦 – сопряжённые функции от 𝑥' и 𝑦.

Эту теорему можно графически интерпретировать следующим образом.

Пусть 𝑥' и 𝑦' приняты за прямоугольные координаты и на чертеже построены кривые, соответствующие значениям 𝑥'' и 𝑦'', взятым в арифметической прогрессии. Мы получим, таким образом, два семейства кривых, разбивающих чертёж на квадратики. Построим также на чертеже горизонтальные и вертикальные прямые на равных расстояниях друг от друга, пометив их соответствующими значениями 𝑥' и 𝑦'.

Пусть теперь на другом чертеже 𝑥 и 𝑦 приняты за прямоугольные координаты и построено два семейства кривых 𝑥', 𝑦', помеченных соответствующими значениями 𝑥' и 𝑦'. Эта система криволинейных координат будет однозначно соответствовать прямоугольной системе координат 𝑥', 𝑦' на первом чертеже.

Таким образом, если взять произвольное число точек на кривой 𝑥'' первого чертежа, заметить значения 𝑥' и 𝑦' в этих точках и отметить соответствующие точки на втором чертеже, то мы получим ряд точек преобразованной кривой 𝑥''. Если проделать такое построение для всех кривых 𝑥'' и 𝑦'' первого чертежа, то на втором чертеже получится два семейства кривых 𝑥'', 𝑦'' отличающихся от прежних, но обладающих тем же свойством разбиения чертежа на квадратики.

186.Теорема III.Если 𝑉 – произвольная функция от 𝑥' и 𝑦, а 𝑥' и 𝑦' – сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, то

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

=

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

,

где интегрирование справа и слева производится в соответствующих пределах.

Действительно,

𝑑𝑉

𝑑𝑥

=

𝑑𝑉

𝑑𝑥'

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

+

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

,

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

=

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+2

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

+

𝑑𝑉

𝑑𝑥'

𝑑²𝑥'

𝑑𝑥²

+

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

𝑑²𝑦'

𝑑𝑥²

,

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+2

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

+

𝑑𝑉

𝑑𝑥'

𝑑²𝑥'

𝑑𝑦²

+

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

𝑑²𝑦'

𝑑𝑦²

.

Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряжённых функций, получим

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

=

=

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

–

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

,

откуда

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

=

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

×

×

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

–

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

=

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

.

Если 𝑉 – потенциал, то, согласно уравнению Пуассона

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

4πρ

=

0,

так что ∬ρ𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.

Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях

187.Теорема IV.Если 𝑥₁ и 𝑦₁ а также 𝑥₂ и 𝑦₂ являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦, а 𝑋=𝑥₁𝑥₂-𝑦₁𝑦₂ и 𝑌=𝑥₁𝑦₂-𝑥₂𝑦₁, то 𝑋 и 𝑌 – сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦.

Действительно,

𝑋

+

√

–1

𝑌

=

(𝑥

₁

+√

–1

+𝑦

₁

)

(𝑥

₂

+√

–1

+𝑦

₂

)

.

Теорема V.Если φ – решение уравнения

𝑑²φ

𝑑𝑥²

+

𝑑²φ

𝑑𝑦²

=

0, а

2𝑅

=

ln

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

и Θ

=-

arctg

𝑑φ/𝑑𝑥

𝑑φ/𝑑𝑦

,

то 𝑅 и Θ – сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦.

Действительно, 𝑅 и Θ – сопряжённые функции от 𝑑φ/𝑑𝑦 и 𝑑φ/𝑑𝑥 а последние являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦.

Пример I. Инверсия.

188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.

Пусть 𝑂 – фиксированная точка в плоскости, 𝑂𝐴 – фиксированное направление, 𝑟=𝑂𝑃=𝑎𝑒^ρ 𝐴𝑂𝑃, 𝑥 и 𝑦 – прямоугольные координаты точки 𝑃 относительно 𝑂. Тогда

ρ

=

ln

√𝑥²+𝑦²

𝑎

,

θ

=

arctg

𝑦

𝑥

,

𝑥

=

𝑎𝑒

^ρ

cos θ

,

𝑦

=

𝑎𝑒

^ρ

sin θ

,

(5)

так что ρ и θ являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦.

Если ρ'=𝑛ρ и θ'=𝑛θ, то ρ' и θ' будут сопряжёнными функциями от ρ и θ. При 𝑛=-1

𝑟'

=

𝑎²

𝑟

 и

θ

=

–θ

,

(6)

т.е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом на 180° от направления 𝑂𝐴.

Инверсия в двух измерениях

Пусть в этом случае 𝑟 и 𝑟' представляют собой расстояния соответствующих точек от 𝑂, 𝑒 и 𝑒' – полную электризацию тела, 𝑆 и 𝑆' -элементы поверхности, 𝑉 и 𝑉' – элементы объёма, σ и σ' – поверхностные плотности, ρ и ρ' – объёмные плотности, φ и φ' – соответствующие потенциалы. Тогда

𝑟'

𝑟

=

𝑆'

𝑆

=

𝑎²

𝑟²

=

𝑟'²

𝑎²

,

𝑉'

𝑉

=

𝑎⁴

𝑟⁴

=

𝑟'⁴

𝑎⁴

,

𝑒'

𝑒

=

1,

σ'

σ

=

𝑟²

𝑎²

=

𝑎²

𝑟'²

,

ρ'

ρ

=

𝑟⁴

𝑎⁴

=

𝑎⁴

𝑟'⁴

,

(7)

и, поскольку, по предположению, φ' получается из φ выражением старых переменных через новые,

φ'

φ

=

1.

(7')

Пример II. Электрические изображения в двух измерениях

Рис. 17

189. Пусть 𝐴 – центр окружности радиуса 𝐴𝑄=𝑏 [рис. 17], находящейся при нулевом потенциале, а 𝐸 – заряд в точке 𝐴. Тогда потенциал в точке 𝑃 равен

φ

=

2𝐸

ln

𝑏

𝐴𝑃

;

(8)

и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке 𝑄 равна -𝐸/(2π𝑏).

Произведём инверсию этой системы относительно точки 𝑂, приняв 𝐴𝑂=𝑚𝑏, 𝑎²=(𝑚²-1)𝑏². Тогда окружность инвертируется сама в себя и мы получаем заряд в 𝐴', равный заряду 𝐴, причём 𝐴𝐴'=(𝑏/𝑚).

Плотность в точке 𝑄' равна

𝐸

2π𝑏

𝑏²-𝐴𝐴'²

𝐴'𝑄'²

,

а потенциал в произвольной точке 𝑃' внутри окружности равен

φ'

=

φ

=

2𝐸(ln 𝑏-ln 𝐴𝑃)

=

=

2𝐸(ln 𝑂𝑃'-ln 𝐴'𝑃'-ln 𝑚)

.

(9)

Этот потенциал эквивалентен потенциалу, возникающему от комбинации заряда 𝐸 в точке 𝐴' и заряда -𝐸 в точке 𝑂, являющейся изображением точки 𝐴' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке 𝑂 равен и противоположен заряду в точке 𝐴'.

Если точка 𝑃' определена своими полярными координатами, отнесёнными к центру окружности, то, положив ρ=ln 𝑟-ln 𝑏, ρ₀=ln 𝐴𝐴'-ln 𝑏, получим

𝐴𝑃'

=

𝑏𝑒

^ρ

,

𝐴𝐴'

=

𝑏𝑒

^ρ₀

,

𝐴𝑂

=

𝑏𝑒

^-ρ₀

,

(10)

и потенциал в точке (ρ,θ) равен

φ

=

𝐸 ln

(

𝑒

^-2ρ₀

–2

𝑒

^-ρ₀

𝑒

^ρ

cos θ

+

𝑒

^2ρ

)

–

-

𝐸 ln

(

𝑒

^2ρ₀

–2

𝑒

^ρ₀

𝑒

^ρ

cos θ

+

𝑒

^2ρ

)

+

2𝐸

ρ

₀

.

(11)

Этоc потенциал в точке (ρ,θ), обязанный заряду 𝐸, помещённому в точку (ρ,0), причём φ=0, когда ρ=0.

В этом случае ρ и θ – сопряжённые функции в уравнении (5): ρ – логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а θ – угол.

Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл ∫(𝑑θ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 по замкнутой кривой равен 2π или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает.

Пример III. Преобразование Нейманна для этого случая ¹

¹ См. Crelle's Journal, LIX, p.335, 1861, а также Schwarz Crelle, LXXIV, p. 218 1872.

190. Пусть теперь α и β – любые сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, такие, что кривые (α) являются эквипотенциальными кривыми, а кривые (β) – силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.

Предположим, что кривая, для которой потенциал равен α₀, является замкнутой, причём ни одна часть заряженной системы не расположена внутри неё, за исключением половины единичного заряда в начале координат.

Тогда все кривые (α), расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые (β) встречаются в начале координат и перпендикулярны кривым (α).

Координаты произвольной точки внутри кривой (α₀) определяются значениями α и β в этой точке, причём при перемещении точки вдоль одной из кривых (α) в положительном направлении значение β увеличивается на 2π при полном обходе кривой.

Предположим теперь, что кривая (α₀) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью 𝐸, расположенного на прямой, представляемой началом координат. При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке (α) внутри кривой равен

φ

=

2𝐸

(α-α

₀

),

(12)

а количество электричества на любом отрезке кривой (α₀) ограниченной точками соответствующими β₁ и β₂, равно

𝑄

=

1

2π

𝐸

(β

₁

–β

₂

).

(13)

Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.

Пусть значения α и β для точки, в которой помещён заряд, равны α₁ и β₁. Подставляя в уравнение (11) α-α₀ вместо ρ, α₁-α₀ вместо ρ₀ (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности α=α₀) и β-β₁ вместо θ, получим для потенциала в произвольной точке с координатами α и β

φ

=

𝐸 ln

(

1

–

2𝑒

^{α+α₁-2α₀}

cos(β-β

₁

)

+

𝑒

^{2(α+α₁-2α₀)}

)-

-𝐸 ln

(

1

–

2𝑒

^α-α₁

cos(β-β

₁

)

+

𝑒

^2(α-α₁)

)

–2𝐸

(α

₁

–α

₀

)

.

(14)

Это выражение для потенциала обращается в нуль при α=α₀ конечно и непрерывно внутри кривой α₀, за исключением точки (α₁,β₁), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причём в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно 2𝐸 ln 𝑟' где 𝑟' – расстояние от этой точки.

Таким образом, мы нашли способ нахождения решения задачи Грина для заряда, находящегося в любой точке внутри замкнутой кривой, если известно решение для какой-либо другой точки.

Заряд на элементе кривой α₀ между точками β и β+𝑑β наводимый зарядом 𝐸, помещённым в точку (α₁,β₁) равен в обозначениях п. 183

-

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑠₁

𝑑𝑠

₂

,

где 𝑑𝑠₁ отсчитывается внутрь, а α после дифференцирования полагается равным α₀.

Согласно (4) из п. 183, это равно

1

4π

𝑑φ

𝑑α

𝑑β

,

(α=α

₀

); т.е.

-

𝐸

2π

1-𝑒^{2(α₁-α₀)}

1-2𝑒^{(α₁-α₀)}cos(β-β₁)+𝑒^{2(α₁-α₀)}

𝑑β.

(15)

Это выражение позволяет найти потенциал в произвольной точке (α₁,β₁) внутри замкнутой кривой, если в каждой точке этой кривой потенциал задан как функция β при условии, что внутри замкнутой кривой нет зарядов.

Действительно, согласно п. 86, часть потенциала в точке (α₁,β₁), обусловленная наличием потенциала 𝑉 на участке 𝑑β замкнутой кривой, равна 𝑛𝑉, где 𝑛 – заряд, наводимый на 𝑑β единичным зарядом в (α₁,β₁). Таким образом, если 𝑉 – потенциал в точке замкнутой кривой, заданный как функция β, а φ – потенциал в точке (α₁,β₁) внутри замкнутой кривой, не содержащей внутри зарядов, то

φ

=

1

2π

2π

∫

0

(1-𝑒^{2(α₁-α₀)})𝑉𝑑β

1-2𝑒^{(α₁-α₀)}cos(β-β₁)+𝑒^{2(α₁-α₀)}

.

(16)

Примep IV. Распределение электричества у ребра проводника, образуемого двумя плоскими гранями

191. В случае, когда границей проводника является бесконечная плоскость 𝑦=0, проводник расположен со стороны отрицательных 𝑦 и поверхностная плотность заряда равна σ₀, потенциал на расстоянии 𝑦 от плоскости равен 𝑉=𝐶-4πσ₀𝑦, где 𝐶 – значение потенциала на самом проводнике.

Примем некоторую прямую, лежащую в плоскости, за полярную ось и преобразуем это выражение к полярным координатам. Тогда потенциал представится в виде 𝑉=𝐶-4πσ₀𝑒^ρsin θ, а количество электричества на параллелограмме единичной ширины и длины 𝑎𝑒^ρ измеряемой вдоль оси, будет равно 𝐸=σ₀𝑎𝑒^ρ.

Положим теперь ρ=𝑛ρ' и θ=𝑛θ'. Поскольку ρ' и θ' сопряжены ρ и θ, уравнения

𝑉

=

𝐶

–

4πσ

₀

𝑒

^𝑛ρ'

sin 𝑛θ'

 и

𝐸

=

σ

₀

𝑎𝑒

^𝑛ρ'

.

дают возможное распределение потенциала и заряда.

Заменим 𝑎𝑒^ρ' на 𝑟, где 𝑟 – расстояние от оси, и переобозначим угол θ' через θ. Тогда получим

𝑉

=

𝐶

–

4πσ

₀

𝑟^𝑛

𝑎^𝑛-1

sin 𝑛θ

,

𝐸

=

σ

₀

𝑟^𝑛

𝑎^𝑛-1

.

𝑉 равно 𝐶 при 𝑛θ равном π или кратном π.

Пусть ребро представляет собой выступающий угол проводника с раствором α между гранями, тогда угол области диэлектрика равен 2π-α, так что при θ=2π-α точка находится на второй грани проводника.

Поэтому мы должны положить 𝑛(2π-α)=π или 𝑛=π/(2π-α). Тогда

𝑉

=

𝐶

–

4πσ

₀

𝑎

⎛

⎝

𝑟

𝑎

⎞

⎠

π

2π-α

 sin

π

2π-α

,

𝐸

=

σ

₀

𝑎

⎛

⎝

𝑟

𝑎

⎞

⎠

π

2π-α

.

Поверхностная плотность σ на произвольном расстоянии 𝑟 от ребра равна

σ

=

𝑑𝐸

𝑑𝑟

=

π

2π-α

σ

₀

⎛

⎝

𝑟

𝑎

⎞

⎠

α-π

2π-α

.

Если угол выступающий, то α меньше π и плотность заряда меняется обратно пропорционально некоторой степени расстояния от ребра, так что на самом ребре плотность становится бесконечной, хотя полный заряд на любом конечном расстоянии от ребра всегда конечен.

Так, при α=0 ребро бесконечно острое, как край математической плоскости. В этом случае плотность меняется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от края.

При α=π/3 ребро такое, как у равносторонней призмы, а плотность меняется обратно расстоянию в степени 2/5.

При α=π/2 угол у ребра прямой, а плотность обратно пропорциональна корню кубическому из расстояния.

При α=2π/3 ребро подобно ребру правильной шестигранной призмы, а плотность обратно пропорциональна корню четвёртой степени из расстояния.

При α=π ребро исчезает и плотность постоянна.

При α=4π/3 угол у ребра равен внешнему углу шестигранной призмы, а плотность прямо пропорциональна корню четвёртой степени из расстояния от ребра.

При α=3π/2 ребро представляет собой входящий прямой угол, а плотность прямо пропорциональна расстоянию от ребра.

При α=5π/3 у ребра входящий угол 60°, а плотность пропорциональна квадрату, расстояния от ребра.

В действительности, во всех случаях, когда плотность становится бесконечной в какой-либо точке, имеет место электрический разряд в диэлектрик в этой точке, как было пояснено в п. 55.

Пример V. Эллипсы и гиперболы. Рис. X

192. Мы знаем, что, если положить

𝑥

₁

=

𝑒

^φ

cos ψ

,

𝑦

₁

=

𝑒

^φ

sin ψ

,

(1)

то 𝑥₁ и 𝑦₁ будут сопряжёнными функциями от φ и ψ. Точно так же, если