Текст книги "Личность и Абсолют"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 46 (всего у книги 54 страниц)

Примеры этих комплексов мы находили в теории мнимостей, где величина а+Ы была такова, что невозможно было не считаться с индивидуальными особенностями тех единиц, из которых состоит а и состоит bi, – откуда и соответствующая запись. В теории гиперкомплексных чисел мы нашли т. н. кватернионы (§ 113), которые, являясь комплексом четырех разных единиц, так и действовали у нас со всей этой несводимостью одной единицы на другую.

Вот таким же точно «числом», вернее, системой чисел является и матрица. Она, конечно, не есть безразличное собрание каких угодно чисел. Она все же есть нечто целое, которое во всех своих элементах управляется определенным законом. Однако это не то целое, каким является, напр., арифметическая или геометрическая прогрессия и где целое не дано конкретно во всех своих элементах, а только в известном законе его построения. Матрица—это есть система чисел, которая хотя и является чем–то закономерно–целым, но в которой каждое отдельное число положено не просто принципиально, но во всей своей фактической индивидуальности.

3. а) Отсюда и основные свойства матрицы. Все они связаны именно с индивидуальным значением каждого ее элемента.

Матрица нулевая тогда, когда все ее элементы равны нулю. Две матрицы считаются равными не тогда, когда равны числа, составленные тем или другим способом из их элементов (как в детерминантах), но когда одинаковы все их соответствующие элементы при равном числе горизонталей у каждой и равном числе вертикалей у каждой. Сложить одну матрицу с другой—это значит сложить их соответствующие элементы. Можно даже сказать, что матрица есть в некотором роде векторное число, поскольку арифметика способна отличать вектор от скаляра.

Умножить матрицу на обыкновенное скалярное число—значит умножить на него каждый ее отдельный элемент. Здесь же и все обыкновенные законы счета. Оригинально (как и вообще в комплексных числах) умножение матрицы на матрицу. Умножить в этом смысле– значит составить новую матрицу так, что каждый ее элемент на пересечении ί–й горизонтали и j–й вертикали получится, если каждый элемент 1–й горизонтали первой матрицы умножили на соответствующий элемент j–й. вертикали второй и сложили все полученные этим способом отдельные произведения (имеются в виду сомножители и произведения одного и того же порядка). В умножении матриц, вообще говоря, не соблюдается коммутативный закон; и это наиболее характерное для матрицы свойство мы уже имели случай воочию видеть при рассмотрении умножения кватернионов (§ 113). В то же время здесь действительны ассоциативный и дистрибутивный законы (как и вообще в комплексах).

В этом же ряду особенностей матричного исчисления необходимо отметить то, что произведение матриц может обращаться в нуль (матрица равна нулю, когда все ее элементы равны нулю) даже в том случае, когда матрицы–сомножители и не суть нули. Напр., при любых а и b

Это обстоятельство вполне аналогично комплексной области, относительно которой Вейерштрасс доказал даже следующую теорему: при обычных законах сложения и умножения, когда, кроме того, нуль есть единственный делитель нуля, комплексных чисел с тремя единицами не существует (так как они сводятся или к вещественным числам, или к комплексным типа a+bi). По этой теореме, стало быть, выходит, что если вообще существует комплексное число больше, чем с двумя единицами, то тут при коммутативности умножения существуют делители нуля, отличные от нуля, т. е. деление тут неоднозначно, Фробениус и Пирс расширили теорему Вейерштрасса в том смысле, что доказали единственность гиперкомплексной системы при некоммутативности умножения, но с однозначностью деления; эта система—кватернионы с вещественными коэффициентами. Стало быть, только числа типа a+bi, строго говоря, могут считаться допустимыми в арифметике, если не придавать ей матричного расширения. Однако матрицы при всей йх важности для разных отделов математики и естествознания и связанности с ними и по своей структуре (таковы, напр., функциональные матрицы) все же коренятся в арифметике как в сфере, вообще говоря, непосредственной значимости чисел.

b) Матрицу можно понимать как совокупность детерминантов. Имея квадратную матрицу с n ²элементами, можно получить один детерминант и–го порядка и известное количество детерминантов низшего порядка, которое легко вычисляется, если принять во внимание, что число детерминантов 1–го порядка равно п ²(или т–п, если матрица прямоугольная), число детерминантов 2–го порядка равняется квадрату числа сочетаний из т по 2 (или · С ², если m

4. Но особенно важно для понимания матрицы и детерминанта еще одно обстоятельство, играющее большую роль в математической практике.

a) Именно, общая категориальная основа изучаемой области арифметики определяет собою одну особенность, на которую мы не указывали и которая получит свое настоящее значение в алгебре. Дело в том, что ставшее, полагая твердые границы для становления, впервые реально осуществляет диалектику постоянства, неизменности. Когда мы имеем дело с числом как таковым (натуральные числа, разные типы числа), мы хотя и имеем перед собой нечто устойчивое, но эта устойчивость тут еще не положена диалектически; она существует в числе вместе со всеми другими категориями. Также и в отношении арифметических действий нужно сказать, что хотя они и существуют благодаря становлению, т. е. благодаря некоторого рода движению, действию, изменяемости, но сама изменяемость тут не утверждена специфически. Только когда неизменное–в–себе и изменчивое–в–себе, т. е. бытие и становление, числа и действия, объединятся в одно общее диалектическое обстояние, мы тогда сможем говорить в собственном смысле об изменяемости и неизменности. Другими словами, здесь мы наталкиваемся на бытие, в котором то и другое положено, утверждено. Выражаясь математически, ставшее впервые делает возможным суждение об инвариантности.

Пусть дан тот или иной геометрический образ. Сам по себе он, конечно, неподвижен. Однако, чтобы эта неподвижность была действительно диалектически положена, необходимо, чтобы существовала такая сфера, где эта неподвижность четко противополагалась подвижности. Только тогда из взаимоопределения этих явлений мы получаем источник фиксации того и другого. Именно, пусть наш геометрический образ как–нибудь меняется, испытывает преобразования. Если при этом нечто остается в нем неизменным и мы видим, что именно, то тогда, ясно, неизменное у нас окажется зафиксированным, диалектически утвержденным. И если раньше этот момент был неподвижен в себе, то теперь он уже неподвижен в себе и для себя, что стало возможным только потому, что он предварительно оказался неподвижным для иного. Пусть, например, мы заметили, что при любых увеличениях и уменьшениях радиуса окружности отношение самой окружности к диаметру остается неизменным. Стало быть, это есть некоторый инвариант. Пусть мы имеем два полинома с двумя переменными, и пусть эти последние потерпели некоторое преобразование. Как бы мы ни меняли в этом смысле наши полиномы, оказывается, что, произведя соответствующие вычисления, мы найдем, что некоторая функция коэффициентов наших полиномов остается совершенно неизменной. Она, стало быть, инвариант. И т. д.

И вот спрашивается: если категория ставшего приводит нас к понятию инвариантности, то не имеет ли ближайшее отношение к этому последнему и теория детерминантов и матриц, которая тоже ведь возникла на диалектической категории ставшего?

b) Пожалуй, несколько удивляет то обстоятельство, что теория инвариантов сравнительно слабо связана с детерминантами и матрицами или что по крайней мере эта связь не выдвигается на подобающее место. Нужно прямо сказать, что с диалектической точки зрения связь вариантов с детерминантами и матрицами самая непосредственная, как бы математики ни сводили эту связь на удобство вычислительных схем. Если не входить в подробности, изложенные выше, а взять самый общий признак детерминанта, то ведь это есть совмещение двух слоев—количественно–смыслового и фактически полагающего. Но как раз это совмещение и обусловливает собою указанную выше категорию инвариантности. Самое суждение об инвариантности делается возможным только в то мгновение, когда смысл, перешедший в становление и фактическое осуществление, вдруг остановился и, перейдя в ставшее, в факт, превратился в ту устойчивость, на фоне которой стало доступно судить об изменяющихся моментах. Детерминант и матрица суть именно такие диалектические формы с двойным накладыванием; в них определенное число или система чисел даны как осуществленные при помощи системы чисел, т. е. уже в самом их понятии заложена некоторая инвариантность: неизменное число, являющееся детерминантом, осуществлено в результате некоей процедуры комбинирования чисел, являясь неизменным среди изменчивого. Но тут, в детерминанте и матрице, это отношение неизменного и изменяемого дано только в категориальном виде, т. е. в фиксированном, в застывшем виде, так что изменяемые элементы даны здесь не в процессе своего изменения, но в устойчивом результате этого изменения.

Отсюда само собой делается понятным то, что инвариантная значимость детерминанта и матрицы выяснится только тогда, когда мы заставим их функционировать в какой–нибудь иноприродной среде и посмотрим, как меняется структура и числовое значение этих математических образований в зависимости от воздействия этой среды. 5. Два–три примера из этой области будут нелишними, а) Популярнее всего здесь учение о т. н. линейной зависимости и линейном преобразовании. Линейная зависимость есть не что иное, как обобщение понятия о пропорциональности. Линейным же преобразованием с η переменными называется преобразование такого типа:

Эти (х ₁… х _n) мы можем понимать, во–первых, как разные измерения «-мерного пространства, так что указанное преобразование будет говорить о переходе одного вектора данного пространства в другой вектор того же пространства. Эти же переменные, далее, можно понимать как координаты точки того же пространства η измерений, так что наше Преобразование есть переход от одной точки к другой. Можно, в–третьих, считать, что переменные являются компонентами одного и того же вектора при разной системе координат. Тогда наше преобразование есть преобразование самих координат.

Спросим себя: каково то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы т систем с η постоянными находились между собою в линейной зависимости. Оказывается, что в случае когда m≤n, то m систем с η постоянными только тогда линейно зависимы, когда все определители m–го порядка матрицы

равны нулю. Мы не будем отвлекаться доказательством этой теоремы, как оно ни просто, но отметим этот удивительный факт, который, к сожалению, всегда понимается слишком количественно и, так сказать, вычислительно: матрица со своими детерминантами явилась здесь некоторым инвариантом, потому что эти (х ₁… х _n) могли ведь иметь какое угодно значение, но раз составленные из них системы линейно зависимы, то определенная комбинация их всегда равна нулю. Опуская случай m>n (так как здесь системы будут всегда линейно зависимы), укажем на то, что линейная зависимость имеет и вполне реальный количественный смысл, так что указанное матричное условие определяет собою и некоторые геометрические инварианты. Напр., две точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они совпадают; три точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они лежат на одной прямой; четыре точки —если они лежат на одной плоскости; пять и более точек всегда линейно зависимы. Везде тут будут иметь значение указанная матрица и ее детерминанты.

Если теперь обратиться к линейному преобразованию и обычным порядком составить квадратную таблицу коэффициентов той системы уравнений, которой определяется преобразование (называя ее матрицей преобразования), то окажется, что сумма квадратов элементов каждой строки и столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк или разных столбцов равна нулю. Пусть у нас матрица третьего порядка, и пусть ее элементы суть косинусы углов, образованных новыми осями со старыми. Тогда соответственно мы получаем некоторый инвариант при координатных преобразованиях. Допустим, что координаты неподвижны, а движется само пространство как целое. Тогда это преобразование будет определяться все теми же тремя уравнениями и соответствующим определителем (+1). Определитель (—1) будет указывать не только на движение, но и на симметрию относительно начала. Очень важна тут еще и такая теорема: если от переменных χ к переменным х' переходим [с] помощью линейного преобразования с матрицей а и далее к х' с матрицей b, то х' можно и прямо получить из χ при помощи линейного преобразования с матрицей Ъа. Как видим, параллелизм между линейными преобразованиями и матрицами идет очень далеко.

Можно показать что если под инвариантом понимать только рациональные функции координат и коэффициентов (при однородности тех и других), то в этих функциях всегда будет общий множитель, зависящий только от коэффициентов подстановки и всегда являющийся той или другой степенью определителя подстановки. Такие инварианты, как известно, называются относительными, а показатель упомянутой степени носит название веса инварианта. Задаваясь вопросом о нахождении всех таких инвариантов, мы опять сталкиваемся с детерминантами. Пусть, напр., на плоскости имеется несколько точек. Оказывается, что простейшие инварианты в этом.случае можно получить при помощи детерминантов второго порядка, составленных из заданных координат этих точек. Эти детерминанты дают и полную систему инвариантов.

Обладая двумя точками на плоскости: 1, 2, мы получаем основной инвариант в виде двойной площади треугольника с точками 0, 1, 2. А площадь треугольника и есть половина детерминанта, составленного соответствующим образом из кооординат этих точек. Беря большее число точек и разыскивая полную систему аффинных инвариантов, мы найдем, что она состоит из всех их детерминантов. Если остановиться на проективном преобразовании (дробно–линейные подстановки) и ограничиться, напр., опять двумя переменными, т. е. плоскостью, то при абсциссе на прямой х= парах этих переменных детерминант

явится тоже полной системой основных инвариантов. Но так как числовое значение ∆ _ikтут отпадает, то проективное значение остается за ∆ _ik=0. А это значит, что i и к совпадают, каковое совпадение точек мы уже выше отметили как вытекающее из их линейной зависимости.

Даже различие трех основных геометрий (ср. выше, § 71) совсем не обходится без детерминантов. Имея в виду квадратичную форму

α ²+β ²+γ ²–εδ ²,

которая при ε=0 характеризует Эвклидову геометрию, при ε>0– геометрию Лобачевского, а при ε<0—Риманову, мы находим, что детерминант этой формы для неэвклидовой геометрии

детерминантов вообще есть основа для теории инвариантов. Эта интимная связь обеих ветвей математики объяснена у нас диалектически как результат одинакового категориального происхождения того и другого. И детерминант–матрица, и инвариант возникли на почве одной и той же категории ставшей сущности члена,, поскольку и то и другое предполагает совокупное полагание неизменно количественных и изменяющихся фактических сторон числа в один внутренно измененный факт количества, в комбинированное ставшее, или в числовую систему как в такую.

6. Матрица заканчивает собою развитие общеарифметической категории ставшего. Это ставшее, или наличное, бытие всегда является дробимым единством, координированной раздробленностью, так как оно всегда только фиксирует и делает устойчивыми этапы, пройденные становлением при всей прихотливости направлений этого последнего. Поэтому система чисел есть самая первая и необходимая характеристика арифметически ставшей сущности числа. Речь может идти тут, стало быть, только о разных принципах этой системы, но сама системность, сама скомбинированность чисел всегда остается в арифметике для категории ставшего безусловно необходимой. Но матрица есть не просто система чисел. Это такая система, которая дана именно как система (а не как, напр., одно число, или какое–нибудь отношение чисел, или закон системы). Но как раз это обстоятельство и свидетельствует о том, что мы здесь уже у границы всей той арифметической области, которая определена категорией ставшего. Когда подобный принцип выявляет себя не частично и раздельно, но себя как именно себя, т. е. целиком и полностью, это значит, что уже исчерпана та область, которая была определена этим принципом. И следовательно, продолжая нагнетать тот же принцип в прежнем направлении, мы наталкиваемся на «критическую точку», на диалектический «узел», который изменит наше диалектическое движение на обратное и заставит покинуть категорию матрицы и вместе с тем вообще категорию ставшей сущности числа.

В самом деле, пусть мы захотим, чтобы понятие системы чисел, к которому мы пришли вместе с категорией ставшего, возымело еще большее значение. Она и без того проявила себя как именно себя. Но пусть мы захотели, чтобы она проявила себя еще больше. Что это могло бы значить? Это может значить только то, что она будет проявлять себя не просто как себя, но уже проявлять иное как себя, или себя как иное, ибо кроме источника проявления есть только то, что именно не есть самый источник, т. е. иное, чем источник. Итак, мы хотим теперь, чтобы система чисел проявляла себя как систему чисел в ином, чтобы она определяла не себя как систему, а иное как систему чисел. Но тогда получится, что мы получим несколько разных систем чисел, управляемых одним законом, получим целый ряд рядов, целый ряд классов чисел, управляемый единым законом. Закон этот мы уже не будем называть «отношением чисел», как мы поступали в пределах категории ставшей сущности. Закон этот есть то, что со времен Гаусса носит название композиции, охватывая собою несколько тонких и достаточно глубоко разработанных математических дисциплин.

V. УЧЕНИЕ О КОМПОЗИЦИЯХ (ВЫВОЖЕННАЯ СУЩНОСТb ЧИСЛА)

§ 123. Общая ориентация.

1. Поскольку учение о композициях есть заключительный отдел арифметики, выявляющий наиболее зрелые в диалектическом смысле формы числа, а именно выразительные формы, постольку надо особенно тщательно усвоить себе понятие композиции, связывая его по возможности в единое целое со всей арифметикой вообще.

a) Арифметика вся вырастает на перво–принципе, который у нас носит название единицы. В чистом виде единица вполне аналогична точке, не имеющей ни одного измерения, т. е. она в себе нерасчленима, хотя и является принципом различимости. Ее многосложная диалектическая судьба сводится к ряду погружений в инобытие и ряду новых возникновений из него—в обновленном виде. Погрузившись впервые в такое инобытие и натолкнувшись там на абсолютное препятствие (а таковым является для нее она же сама, поскольку она хочет в этом инобытии осуществиться, т. е. найти себя же саму), она отскакивает от инобытия к себе самой и превращается в новый тип числа, который поэтому в сравнении с натуральным рядом уже содержит в себе два смысловых слоя. А этот тип числа, устремившись в свое собственное инобытие и тем самым развернувши себя в арифметическое действие, снова наскакивает в этом инобытии на самого себя (по той же причине) и, отскакивая от него, т. е. от себя в инобытии, вновь возвращается к себе, содержа отныне в себе уже не два, а три смысловых слоя.

Первые два смысловых слоя были само число натурального ряда и многообразная скомбинированность его из единиц этого ряда. Три смысловых слоя, образовавшиеся в ставшей сущности, суть указанные два плюс их осуществленность в новом инобытии, в результате чего первые два становятся в определенное отношение к третьему слою, т. е. в результате чего образуется некое отношение, которое является законом построения целой комбинации чисел (напр., ряда). Разные диалектические ступени внутри этой ставшей сущности постепенно и все более и более конкретно осуществляют это отношение чисел на этой комбинации чисел.

Та ступень, которая дает отношение, пропорцию и ряд, еще оставляет указанные три слоя в том их сыром виде, в каком доставила их нам ставшая сущность. Но уже вторая ступень (делимость, комбинаторика, детерминанты) растворяет первые два слоя один в другом, так что остается только одно непосредственное число, воплощаемое на комбинации чисел. Третья ступень, матрица, сливает и два оставшихся слоя в один, так что ставшая сущность получает ровное и гладкое многомернее строение, когда перед нами целая система разных, но вполне равноправных чисел, данная в виде неподвижной таблицы. Та единица, с которой началась арифметика, расцвела здесь в целую систему разноприродных и разноскомбинированных единиц.

b) Но сущность единицы заключается в единичности, в объединении всего иного, чему она сообщается. И эта разноприродная разноскомбинированная единица переходит еще в дальнейшее инобытие, с тем что [бы ] и его превратить в себя, т. е. в эту разноприродную и разноскомбинированную коллективную единичность. Однако везде было так, что бытие, сообщаясь инобытию, отчуждалось от себя самого и снимало с себя план, снимало свой смысл, чтобы передать его инобытию и, таким образом, иметь этот смысл уже общим и для себя, и для евоего инобытия. Точно так же и здесь система чисел, передавая свой смысл инобытию, тем самым создает некую общую закономерность, одинаково присутствующую и на ней, и на ее инобытии, т. е. тем самым создается уже несколько систем, объединенных одной общей закономерностью.

c) С одной стороны, общая теория числа (§ 31) и многочисленные ее повторения в отдельных моментах диалектического процесса уже хорошо научили нас переходить от ставшего, наличного, бытия к выражению. Выразительная форма бытия возникает в тот момент, когда все внутреннее в бытии становится внешним и когда по внешнему необходимым образом узнается внутреннее, хотя это и две совершенно различные и несводимые одна на другую сферы. В ставшей сущности мы находим много «внутреннего». Весь тот смысл, который несла с собою чистая единица и который в дальнейшем дал разные типы числа и разные действия над ними, он тут зафиксирован в ставшей сущности как царящие внутри нее числовые отношения. Виднее всего это на ранней ступени наличного бытия (отношение, пропорция, ряд), гдз отношение пробегает по всему числовому ряду, само оставаясь неизменным. Здесь внутренний смысл ставшего в полном смысле оказывается внутренним, он не переступает границ ставшей сущности и потому не делается внешним. На второй ступени ставшей сущности этот внутренний тип уже менее внутренний. До него легче добраться. Сам он уже только односоставен, он только некое определенное число, данное в своем непосредственном количестве. Еще более внешним этот внутренний смысл ставшего делается на третьей ступени, на стадии матрицы. Здесь он, в сущности, вполне тождествен с внешней структурой; он весь перевоплотился во внешнюю структуру, поскольку матрица и есть система чисел как именно система чисел. Однако этого еще мало для выражения. Это только еще перво–принцип выражения, но не само выражение. Необходимо, чтобы это внутренно–внешнее бытие устремилось вовне, излилось смысловой энергией на иное и из бытия–всебе (хотя и выразительного) стало бытием–для–иного, и притом для всего иного (хотя и не растворилось в ином, а только смысловым образом открылось ему). Тогда, и только тогда, может идти речь о подлинном выразительном лике арифметической сущности числа.

d) Что же мы имеем в той системе систем, в том ряде рядов, который мы дедуцировали выше? Поскольку каждая система и ряд построены определенным образом, постольку они хранят в себе закономерность, которая для них вполне внутренняя. Но поскольку таких рядов несколько, постольку указанная закономерность, внутренняя для каждого из них, поневоле выходит за пределы каждого ряда, чтобы сообщиться другому ряду, и потому она уже перестает быть внутренней, а становится еще и внешней для всех этих рядов, внешней—ибо общей. Для каждого ряда эта закономерность внутренняя, так что, казалось бы, раз она внешняя для одного и другого, то внешняя она и для всех рядов, входящих в эту общую систему. Но с другой стороны, именно потому, что эта закономерность для всех рядов системы вполне общая, именно поэтому она для всех них и внешняя, так как она действительно осуществлена в каждом ряде, и для каждого ряда, взятого в отдельности, она, как осуществленная в другом ряде, внешняя, а стало быть, и для всех внешняя. Следовательно, закономерность эта есть бытие внутренновнешнее. Но поскольку указанных рядов несколько и они друг в отношении друга есть инобытие (хотя и тоже связанное определенной закономерностью), постольку наша общая внутренно–внешняя закономерность не покоится на месте, но пребывает в живом становлении, закономерно переходя не только в каждом ряде от одного элемента к другому, но и во всей системе рядов—от одного ряда к другому.

Таким образом, имея несколько числовых рядов, объединенных в одну общую систему так, что одна–единственная закономерность определяет собою как структуру каждого ряда, так и взаимоотношение всех рядов, имея такую систему рядов чисел, мы имеем подлинную выразительную форму арифметической сущности числа.

Эта закономерность системы систем и есть композиция.

2. а) Но для изучения диалектической природы композиции будет очень полезно дедуцировать ее из фактического содержания предыдущих категорий арифметики. Если мы знаем, что выражение есть смысловым образом становящаяся, энергийная внутренно–внешняя структура, то это дает нам путь и для конкретно–математической дедукции. Наличное бытие выносит в выражении свое внутреннее наружу. Но где у нас в предыдущем это наличное бытие, или ставшее, и в чем его внутреннее? Последней и наиболее зрелой формой ставшего у нас была матрица. Она несла с собою и определенный внутренний смысл, который мог быть только количественным ее содержанием. Да и вообще числовой смысл в арифметике неотличим от количества. Внутреннее тут—количество. Но оно, конечно, не есть количество вообще, а определенным образом скомбинированное количество. Последним для матрицы является только детерминант. Следовательно, чтобы перейти в сферу выражения, матрица должна вовне выявить свой детерминантовый смысл. А так как выше мы уже пришли к выводу, что в выразительной сфере число оказывается не просто системой, но системой систем чисел, то вот в какой форме ставится теперь диалектическая задача: как проявляет себя детерминант, когда он из внутреннего содержания одной матрицы становится закономерностью для комбинации сразу нескольких матриц в нечто единое? Ответить на этот вопрос—это и значит диалектически дедуцировать новую, выразительную категорию числа в арифметике.

b) Вспомним структуру детерминанта. Это есть «алгебраическая» сумма всевозможных Произведений данного числа элементов. Значит, ряд матриц должны 1) соединиться в одну общую неделимую совокупность и 2) каждая матрица этой совокупности должна быть одним из тех всевозможных произведений, которые допускаются данными элементами. Но что значит «всевозможные произведения»? Мы знаем, что эта «всевозможность» есть не что иное, как совокупность всех перестановок сомножителей. Следовательно, матрицы, входящие в нашу общую совокупность матриц, должны отличаться одна от другой так, как отличаются одна от другой перестановки некоторого данного числа элементов. Но эти перестановки играли в детерминанте ту роль, что они определяли собою те или иные произведения. Здесь же мы имеем дело не с детерминантами, а с матрицами. Значит, перестановки важны тут не в качестве непосредственно значащих произведений, но в аспекте ставшего, т. е. именно как перестановки. Мы берем все перестановки из данного числа элементов—и получаем ряд числовых комплексов, не прибегая ни к суммированию, ни к умножению, ни вообще к какимнибудь непосредственно значащим количественным операциям. Также и всю совокупность матриц мы берем не как их сумму, но просто как некую комплексную совокупность, т. е. в чисто матричном же смысле.

Итак, получается совокупность матриц, каждая из которых есть одна из перестановок данного числа элементов, а все они суть все возможные перестановки этих элементов. Здесь внутренняя детерминантовая значимость матрицы вышла наружу и, определивши собою совокупность матриц как целое, стала в отношении к ним внешним принципом. Так рождается новая категория арифметики—группа, прообразом и неизменным образцом которой является эта только что выведенная совокупность всех перестановок данного числа элементов, взятая как целое и представимая матричио. Здесь внутреннее числовое содержание матрицы как наличного бытия стало внешним законом ее взаимоотношений с другими матрицами, законом композиции матриц, а внешняя объединенность и внеположность элементов матрицы превратилась во внутренне самообоснованный ряд комплексов, когда каждый из них не цепенеет на месте как всякая матрица, но энергийно тянет [ся] ко всякому другому комплексу общей совокупности и ко всем им эместе.

c) Таким образом, группа, эта наиболее общая выраженная форма арифметического числа, коренится еще в детерминанте, где она, однако, еще связана непосредственной значимостью единичного числа и не развита в совокупность свободно эманирующих элементов. Так оно и должно быть, потому что если наличное бытие есть осуществление смысла, а всякое осуществление предполагает объединение с инобытием, выражение же есть всегда прежде всего некое такое объединение, то нечто выразительное должно крыться уже в наличном бытии, в ставшем. Но конечно, поскольку здесь инобытие привлечено только лишь как голый принцип и не дана его реальная структура, постольку ставшее есть лишь самое начало выражения, его перво–принцип. Когда же инобытие получает свою свободу, т., е. когда из принципа превратится в становление, тогда и воплощенный на нем смысл станет выразительным по своей структуре. Вот почему детерминант—перво–принцип числовой выразительности, еще запрятанный в глубине ставшей сущности числа, а группа—выразительное арифметическое число, развернутое в своей структуре.