Текст книги "Личность и Абсолют"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 37 (всего у книги 54 страниц)

6. На этом я и закончу характеристику бесплотных сил, которая, несмотря на свою краткость, дает, по–моему, совершенно определенный метод построения всей ангелологии и вносит внутренний порядок и логику в область, которая не одними невеждами считается темной и запутанной. Для изображения ангельского мира не хватает здесь главным образом учения о падших ангелах, т. е. о сатане. Но и этот вопрос я считаю более удобным рассматривать впоследствии, когда выяснится перед нами вообще вся диалектическая картина грехопадения. Правда, уже и сейчас ясно, что ангел может отпасть только раз навсегда, на всю вечность. И это потому, что он—умная сила. Человек, например, который не только умен, но и физичен, может очень много раз падать и подниматься, ибо физическое тело по самой своей природе есть нечто текучее и неустойчивое. Но чистый смысл и ум не может [880]880
  В машинописном оригинале: не могут.


[Закрыть]течь и быть в становлении. Он—вне протекания. Поэтому в одно вневременное мгновение ангел становится или ангелом света сразу на всю вечность, или ангелом тьмы—тоже на всю вечность. Это простое и ясное решение вопроса об ангельском грехопадении, однако, недостаточно для рассмотрения всей проблемы сатанологии в целом. Дело в том, что сатана мыслится еще и как активный участник в земной судьбе человека. Сам собой поднимается вопрос о том, как же совместить неподвижную вечность Ада с его непрерывным участием во временном становлении. Впрочем, это не есть вопрос только об одной сатанологии. В сущности, тот же вопрос можно поставить и об ангелах света: как они могут быть вестниками воли Божией и вообще выполнять те или иные пространственно–временные функции, если сами по себе они суть самодовлеющее и не уходящее в тьму становления блаженство вечности? В конце концов это есть, может быть, вопрос просто о взаимоотношении Бога и мира, ибо Бог мыслится тоже как самодовлеющая вечность: как же вся мифология может состоять из повествований о делах Божиих, о мыслях Божиих, даже о чувствах, гневе, милости и т. д. Бога? Все эти вопросы удобнее всего поставить после изучения системы отпавшего мира целиком. Мало того. Даже и проблема Рая и первых людей, прародителей, Адама и Евы, может быть целиком выражена в удобнейшей форме только в связи с мифологией грехопадения.

Поэтому, хотя логически от ангелов надо было бы переходить к райскому космосу, а потом к Адаму и Еве, мы нарушим этим логический порядок. Большинство различений и установок понятны нам сейчас только в их греховном состоянии, т. е. в том их виде, который в науке считается вполне нормальным и естественным и который поэтому и наилучше известен. Мы же, изучивши этот «нормальный» мир и этого «нормального» человека в их естественной мифологичности, сможем легче изучить и то «нормальное» и «естественное» состояние мира и человека, которое уже не современная наука, т. е. один из видов относительной мифологии, считает таковым, но которое является нормальным и естественным уже с точки зрения абсолютной мифологии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЗАКЛЮЧИТЕЛbНЫЕ ФРАГМЕНТЫ К «ДИАЛЕКТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ МАТЕМАТИКИ»

§ 108. Обозрение предыдущего и переход к новым типам числа.

1. Изучение комплексных чисел кладет существенную грань в диалектике типов числа вообще. Чтобы усвоить себе место еще остающихся типов, необходимо сделать обозрение уже изученных нами типов и дать им квалификацию как чему–то целому.

a) При изложении изученных типов числа мы допустили некоторую новизну в методе конструирования по сравнению с методами общей теории числа. Если мы сейчас свяжем изученную классификацию типов числа с методологией общей теории (§ 28—31), то тем самым поставим учение о типах в ближайшую связь с общей методологией нашего исследования и получим руководящую нить для получения еще остающихся типов.

b) Природа типов числа заставила нас конструировать такие три диалектические последовательности: 1) положительное число, отрицательное, нуль; 2) целое, дробное, бесконечное; 3) рациональное, иррациональное, мнимое. Эти последовательности очень естественны; и если последняя еще может представлять некоторую новость для не мыслящих диалектически математиков, то первые две являются во всяком случае довольно банальным местом даже у математиков. Эту привычку и математического, и нематематического ума противопоставлять положительному числу отрицательное и проводить границу между ними в нуле, а также привычку противопоставлять целому числу дробное и мыслить (в теории множеств) бесконечность как эквиваленцию целого и части, – эти навыки нельзя было просто отбросить хотя бы и ради правильной диалектической системы; с ними пришлось считаться как с типовыми, чтобы уже впоследствии интерпретировать их с точки зрения этой общей системы. Теперь этот момент наступил; и мы должны отдать себе полный отчет в том, каково же значение всей этой классификации с точки зрения нашей общей методологии.

c) Обратим внимание на то, что мы конструировали все изученные нами типы числа не только в тех трех направлениях, которые только что указаны нами, но еще и в ином направлении. А именно, позволительно (и очень полезно) было брать только тезисы этих рядов и, понимая их как чисто целое, противопоставлять их антитезисам, взятым тоже как целое, а затем—находить завершение в синтезах, понимаемых, конечно, опять в их целостной совокупности. Тогда получалась у нас другая система, именно: 1) положительное число, целое, рациональное; 2) отрицательное, дробное, иррациональное; 3) нуль, бесконечность, мнимое. Фактически диалектика типов числа в этой именно последовательности приводилась у нас—для первого ряда в § 99, для второго в § 100 и для третьего в § 105. Вот на этом–то втором способе расположения числовых типов мы сейчас и остановимся.

d) Что он собой представляет? Первый ряд вполне отчетливо строится по типу той установки, которая в общей теории числа (§ 15) носила у нас название акта полагания или, точнее, раздельного, единораздельного акта полагания. «Положительное число» – это и есть ведь не что иное, как чистый акт полагания числа после того, как оно сформировано во всей своей категориальной законченности. «Целое число» обращает это полагание вовнутрь числа, производит полагаиие внутреннего содержания числа, а «рациональное число», как это совершенно очевидно, объединяет оба эти акта.

Что такое теперь второй ряд? Едва ли нужно еще доказывать после всех разъяснений общей теории, что он есть переход акта полагания в инобытие, а именно в сферу становления. И становление это тоже дается тут на разных стадиях диалектической зрелости. Отрицательное число полагает стихию становления только лишь как принцип, не развертывая ее в нечто самостоятельное. Дробь уже вносит в нее разнообразные дифференциации, а иррациональное число развивает ее в самостоятельную алогическую последовательность.

Наконец, третий ряд, как это тоже нетрудно заметить, существенно останавливает поток становления, зародившийся во втором ряду, преграждая его дальнейшее развитие и полагая ему границу. Нуль есть такая граница в ее принципиальной положенности; бесконечность развертывает эту границу во всей ее инобытийной мощи; мнимость синтезирует то и другое в некую конечную перспективную структуру числа. Если мы, по примеру общей теории (§ 21), назовем этот диалектический момент «фактом», «ставшим», «наличным бытием», «инфра–актом» [881]881
  В предыдущей части «Диалектических основ математики» (см.: Хаос и структура) моменту «ставшего» соответствует «интра–экстра–акт».


[Закрыть]то, очевидно, мы будем правы.

e) Отсюда сама собой получается и та руководящая нить, которую мы искали для конструирования дальнейших типов числа, а вместе с тем и гарантия того, что мы не пропустим какого–нибудь основного типа числа в будущем. Именно, за «фактом», или «ставшим», общая диалектика требует категории выражения, энергии (в смысловом отношении), или эманации. Стало быть, мы должны конструировать теперь такой тип числа, который по самой своей структуре содержал бы стадию энергийного выражения, или числовой эманации.

2. Что же это за число? Сначала обрисуем его общее понятие, а потом уже будем рассматривать его математические построения.

а) Вспомним, как мы понимали «выражение» в общей теории числа (§ 31) и как пользовались этой категорией при случае (напр., в § 35). Выражение есть соотнесенность с инобытием в условии субстанционального отсутствия самого этого инобытия. Выражение поэтому всегда по меньшей мере двупланово. Один слой в нем– отвлеченно–смысловой, образовавшийся в результате превращения эйдоса через становление в некую ставшую структуру; и второй слой в нем—это перекрытость его теми или другими инобытийными самосоотношениями. В другом месте (§ 69) нам пришлось также поставить «выражение» в существенную связь с «пониманием», которое в отличие от «мышления» также предполагает некую определенную смысловую двуплановость предмета.

b) Итак, число должно отобразить в себе свое инобытие. Оно должно быть предображением всех своих инобытийных судеб. На нем, без перехода в фактическое его инобытие, мы уже должны видеть, что с ним вообще может случиться в этом инобытии. Оно есть идеальный прообраз всякого своего возможного инобытия. Правда, в теории комплексного! числа мы уже столкнулись с такой инобытийной соотнесенностью числам Но там мы имели эту инобытийную соотнесенность как таковую, перспективу как таковую. Здесь же мы имеем самое число, eFo субстанцию вместе со всем перспективным строением. И так как здесь не чистая перспектива сама по себе, взятая вне своей носимости тем или иным числовым фактом, но именно самый этот факт, набухший от вмещения в себе своих инобытийных судеб, то тут уже лучше говорить не α перспективе, т. е. о чем–то уходящем в глубину плоскости, но именно об энергии, об эманации, т. е. о чем–то как бы выпуклом, набухшем, о каких–то смысловых энергиях, изливающихся вовне, но еще неотделимых от самой фактической сущности числа, еще не отрывающихся от своего исходного лона.

c) Энергия, или выражение, есть синтетическое единство внутреннего и внешнего. Но тождество внутреннего и внешнего мы уже находили в рациональном, иррациональном и мнимом числе. Поэтому сейчас мы должны точнейшим образом разграничить эти два вида внутренно–внешнего тождества.

Прежний вид этого тождества был тождеством невыразительным, до–выразительным. Ведь еще до выражения, в сфере чистого смысла, есть свое внутреннее и свое внешнее. Эйдос отличается от логоса тем, что он предполагает некое инобытие, некую «умную» материю, которая, оформляясь через логос, и создает смысловую фигурность эйдоса. Однако это еще не есть выражение. Для выражения нужен переход за пределы самого эйдоса. Если раньше было некое внутреннее и внешнее, то теперь это совокупное внутренно–внешнее само оказывается внутренним для некоей новой внешней инобытийности. Эта новая внешность внешня даже в отношении прежней внешности, которая, как ни внешня в отношении прежнего внутреннего, все же в отношении нового внешнего оказывается уже внутренним.

d) Это нетрудно заметить на функционировании категорий внутреннего и внешнего в последовательности: рациональное, иррациональное, мнимое число. В рациональном числе дано тождество внутреннего и внешнего как тезис, или, что то же, внешняя инобытийность подчинена тут внутреннему бытию; отсюда—внутренняя соизмеримость числа с самим собою. В иррациональном числе это тождество перешло в свое отрицание, или, что то же, внешняя инобытийность подчинила себе внутреннее бытие; отсюда—внешняя несоизмеримость числа с самим собою. В мнимом числе рассматриваемое тождество прошло через отрицание своего отрицания, т. е. вернулось из инобытия снова к себе, но зато стало развернутым, фигурно–положенным, перспективно оконтуренным. Сама по себе мнимость есть поэтому уже некая выраженность (равно как я рациональность и иррациональность). Однако это есть, собственно говоря, внутренно–внешнее тождество на стадии своей ставшести. Можно сказать, что в рациональном числе тождество внутреннего и внешнего дано как тезис, как акт полагания, в иррациональном—как антитезис, как становящийся акт полагания, и в мнимом– как синтез, как ставший акт полагания. Следовательно, остается еще выраженное, энергийно–эманашвное тождество внутреннего и внешнего. Это и есть те числа, к которым мы тетерь переходим. В них будет играть роль не чистое выражение как таковое, но выраженная вещь, почему прежнее внутренно–внешнее окажется опять внутренним содержанием, которое при помощи своего Осуществления на вещи перейдет теперь в новую внешность.

3. Это энергийно–эманативно выраженное число тоже может быть дано на разной степени своей диалектической зрелости.

a) Энергийно–эманативное число может быть дано снова как только еще голый принцип, как чистый акт полагания, как базис, т. е. как неразвернутое бытие. В этом виде оно содержит свое инобытие только лишь как потенцию, т. е. сама эманация числа оказывается пока только потенцией. Это—алгебраическое число.

b) Энергийно–эманативное число может существовать как некий акт полагания в его развитии, как становление акта полагания, как развернутое инобытие числа, энергийно вмещенное в лоно самого числа. Это—трансцедентное число.

c) Энергийно–эманативное число должно вернуться из стадии становления своего акта полагания и тем самым получить свое бытие как оформленное, фигурно осмысленное, как перспективно отработанное. Его инобытийные судьбы, которые оно должно вмещать в себе, пребывают в нем теперь не как потенция и не как инобытийная развернутая энергия, но как структурно–устойчивый эйдос, как некая эманативно развернутая картинность. Это—гиперкомплексное число.

К исследованию этих типов числа мы теперь и обратимся.

4. Энергийно–эманативное выражение § 109. Алгебраическое число.

1. Под алгебраическим числом понимается корень уравнения

а ₀х ⁿ+а ₁х ^n–1+ …+а _n–1х+а _п=0,

коэффициентами которого являются рациональные числа. После элементарного преобразования это уравнение может быть превращено в уравнение с целыми коэффициентами. Поэтому в определении алгебраического числа можно говорить и об уравнении с целыми коэффициентами. Если все коэффициенты уравнения суть числа целые, а коэффициент при х ⁿравен, кроме того, еще и единице, то корень такого уравнения называется целым алгебраическим числом; если нет этого второго условия, то мы имеем дробное алгебраическое число.

2. Как понять это математическое определение, которое, как вся математика, блещет чрезвычайно резким формализмом, не позволяющим философской мысли даже пошевельнуться? Если данное число удовлетворяет тому или иному уравнению, то что это значит? Что такое прежде всего само уравнение? Оно говорит нам о ряде действий, которые необходимо произвести над каким–нибудь числом, чтобы получить другое число. Какие же это действия? Уравнение показывает, что это прежде всего обычные четыре «арифметические» действия, а затем т. н. алгебраические действия, т. е. возведение в степень и извлечение корня (в которых, конечно, нет ничего алгебраического и которые относятся все к той же арифметике). Другими словами, левая часть уравнения есть попросту определенная арифметико–алгебраическая функция корней уравнения. Эта функция, оказывается, равняется целому (или, что то же, рациональному) числу. Другими словами, какие бы арифметико–алгебраические операции мы ни производили над целым числом, т. е. какую бы алгебраическую функцию ни брали от этого числа, мы можем прийти только к целому числу. Алгебраическое число есть такое число, любая алгебраическая функция которого есть целое число. Произведя любое из шести арифметико–алгебраических действий над данным числом, мы всегда можем получить целое число. Если даже мы имеем иррациональное число, мы всегда можем составить такое уравнение, т. е. произвести ряд таких действий над этой иррациональностью, чтобы прийти от этой иррациональности к целому числу.

Но что же это значит? Это и значит, что в данном случае мы рассматриваем число не само по себе, но как потенцию возможных действий над ним, как потенцию всех его инобытийных судеб. По данному числу, если оно алгебраическое, мы уже сразу видим, что над ним можно производить любые арифметико–алгебраические действия и оно не выйдет за пределы своей общей арифметико–алгебраической категории. Реально вовсе и не обязательно производить над ним эти действия, и потому в нем—только потенция его инобытийных судеб. Но эта потенция здесь вполне определенная; это потенция рациональности или даже целости. Всякое алгебраическое число, включая иррациональность, является потенциально целым числом. Если мы имели бы какой–нибудь √3, то стоит эту иррациональность возвысить в квадрат, как мы получаем самое обыкновенное целое число «3». Таким образом, даже иррациональность, если она—алгебраическая (а ниже мы увидим, что существуют и не алгебраические иррациональности), потенциально есть не что иное, как целое число. Правда, из всякого целого числа при помощи тех или иных арифметикоалгебраических операций можно, наоборот, получить иррациональные числа. Но тогда нужно сказать, что целость, рациональность и иррациональность представляют собою некую единую область, смысловая печать которой лежит на каждом числе, входящем в эту область. Каждое число несет с собою потенцию этой общеалгебраической области; и оно не может выйти за пределы той судьбы, которая уготована ему в этой области.

3. а) Зададим себе вопрос: в чем же заключается это единство всей алгебраической области? Каков принцип этой «алгебраичности»? Заметим, что при таком широком понимании алгебраичности сюда войдут и все операции над комплексными числами, потому что операция – 1 входит в общеалгебраические операции решительно на тех же самых общих основаниях. Правда, тут не будет фиксироваться спецификум самого этого математического феномена i или a+bi, но все действия над i войдут в алгебру, очевидно, на общем основании, т. е. в смысле обычных же арифметико–алгебраических действий. Итак, в чем заключается принцип самой алгебраичности в этом контексте? Можно даже попросту сказать: все типы числа, которые мы до сих пор рассматривали, включая нуль и бесконечность, тоже, очевидно, входят в эту алгебраическую область. Все они есть теперь для нас нечто общее, что мы называем алгебраическим (хотя все это по существу, как мы знаем, есть чистейшая арифметика). В чем же принцип этой «алгебраичности»?

b) Этот принцип, вообще говоря, есть принцип сводимости числа на то или иное число натурального ряда, на то или иное целое число. Но в чем заключается эта сводимость? Она заключается в применении тех или других из шести арифметико–алгебраических действий. В чем же общцй принцип этих действий? Ниже, в специальном отделе, мы подвергнем эти действия подробному анализу. Сейчас же нам важно только то одно фундаментальное обстоятельство, что всякая операция выводит данное число из его уединения, приобщает его к тому или иному инобытию, и что арифметические операции различаются между собою только законом приобщения числа к этому инобытию. Мы увидим (§ 116), что, если это приобщение происходит по типу самотождественного различия, мы получаем сложение и вычитание; если по типу подвижного покоя, то получаются умножение и деление; и, наконец, если по типу бытия–небытия (т. е. по типу алогического или органического становления), то получаем возведение в степень и извлечение корня. Всем этим операциям обще то, что они берут к данному числу его инобытие не во всяком смысле, но инобытие как таковое, инобытие как принцип, неразвернутое инобытие, только самый факт инобытия, не входя во внутреннюю жизнь этого инобытия и не приобщая этой внутренней развернутости инобытия числа к самому числу. Что такое сложение и вычитание? Сложение и вычитание сопоставляет данное число с другими числами, т. е. с фактом существования других чисел, а затем категория самотождественного различия, примененная ко всему ряду этих сопоставленных чисел, и приводит нас от самих этих чисел к их сумме или разности. Что такое умножение и деление? Умножение й деление сопоставляет перед нами несколько чисел, т. е. указывает на факт существования таких–то чисел, а потом категория подвижного покоя, примененная к этому ряду чисел, заставляет последовательно одно число переноситься в сферу другого числа и воспроизводиться в нем, и мы получаем произведение или частное. Точно так же и в остальных двух действиях алогическое становление (совокупное функционирование бытия и небытия) заставляет одно число повториться целиком в каждой своей части и тем самым превращает два инобытийно противостоящих числа (напр., основание и показатель степени) в органически спаянную целостность, где одно число повторило себя самого по закону другого числа.

Так или иначе, но везде мы имеем здесь 1) число и 2) его инобытие, причем 3) это инобытие дано не развернуто, но лишь как принцип, т. е. оно имеет здесь единственную функцию—выставить напоказ самый факт существования тех или других инобытийных чисел. Это проще всего в сложении: инобытие действует только в том единственном смысле, что оно кроме одного числа, называемого теперь слагаемым, устанавливает факт другого числа, получающего название слагаемого. Так и во всех других действиях.

с) Следовательно, как же мы теперь должны понимать принцип «алгебраичности» в изучаемом нами контексте? Как принцип сводимости данного числа на целое число он оказывается не чем иным, как принципом сопоставления данного числа с его инобытием в простейшем акте полагания этого инобытия. Это инобытие могло бы быть дано не только как простейший акт полагания. Последний мог бы тут развернуться в становящийся, в ставший и даже в выразительный акт полагания. Но в алгебраическом числе этого нет. Алгебраическое число предполагает просто инобытие как годай принцип, без всякой его развернутости. Отсюда и предопределенность всякого числа быть сводимым на целое число.

4. Теперь мы можем и более сознательно отнестись к тому, что такое алгебраическая иррациональность. Поскольку она предполагает в качестве своего .инобытия только те или иные простейшие акты полагания, т. е. поскольку она сводима к целости и может быть из нее получена, постольку единственным источником алгебраической иррациональности может быть только операция извлечения корня. Когда мы извлекаем неизвлекающийся корень, то мы ведь ничего иного не делаем, как просто известным образом сопоставляем два целых числа, и больше Ничего. Следовательно, даже в случае иррациональности инобытие действует не больше как только выставление другого целого числа, инобытийного к данному. Алгебраическая иррациональность и есть не что иное, как образ соотношения двух целых чисел. Становление, необходимое для структуры этой иррациональности (т. е. бесконечное количество десятичных знаков при извлечении «неизвлекающегося» корня), действует здесь как таковое, без всякого принципиального усложнения и расширения; оно реально есть сила, выставляющая один за другим эти десятичные знаки, и притом абсолютно одинаковая в каждом таком знаке. Оно—то ровное поле, на котором бесконечно возникают все более и более мелкие дроби, стремящиеся к недостижимому пределу; и это поле одинаково равнодушно ко всем отдельным моментам этого бесконечного процесса. Иррациональность с таким алогическим становлением в основе мы и называем алгебраической иррациональностью.

5. Что же теперь сказать по поводу общности этого «алгебраизма» для всех изученных нами типов числа? Раз мы нашли во всех них что–то общее, какой–то один единый принцип, то выставить и формулировать этот принцип—это и значит уже выйти за пределы каждого, такого типа, а следовательно, и за пределы всех этих типов, взятых вместе. Принцип «алгебраичности» было бы нецелесообразно формулировать в связи с тем или другим отдельным типом числа, раз этот принцип остается тем же самым и для всех других типов. Теперь же, изучивши все относящиеся сюда отдельные типы, мы смогли выставить и общий принцип их структуры. Но это значит [и] конструировать новый тип числа, в отношении которого все прежние типы числа будут только частным случаем. В нем не будет никаких иных типов числа, кроме тех, которые исследованы нами раньше. Это будут все те же самые положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные числа, все те же нуль, бесконечность и мнимость. Однако в этом новом общем типе будут представлены не они сами, а только их общий конструктивный принцип, а именно сводимость на целое или неразвернуто–ординарная инобытийность. Это и есть спецификум т. н. алгебраического числа, математически определяемого как корень уравнения с целыми коэффициентами. Этот спецификум «корень уравнения с целыми коэффициентами» в философском раскрытии является не чем иным, как принципом числа, потенциально предполагающим свое неразвернуто–ординарное алогическое становление.

6. Однако в этом нашем логическом анализе алгебраического числа может крыться одна неясность, которую необходимо сейчас же устранить. Алгебраическое число, сказали мы, есть число, хранящее в себе потенцию целого числа. Вместе с тем алгебраическим числом мы называем такое, которое отображает в себе свое неразвернутое (так сказать, одномерное) инобытие. Эти два определения, по–нашему, тождественны. Но пожалуй, их тождественность еще не вполне ясна из предыдущего. Тут необходимо обратить внимание на то, что одномерность инобытия есть ведь попросту единство становления, или, другими словами, единообразие его направления. Наличие такого инобытия в недрах числа обеспечивает возможность для него изменяться в прямо противоположные стороны. Если данное число мыслится полученным в результате той или другой арифметической операции (или определенной комбинации этих операций), то наличие в нем его одномерного инобытия есть не что иное, как возможность произвести над ним действие, обратное тому или тем, которые над ним производились. Если число было суммой двух других чисел, то наличие в нем одномерного инобытия обеспечивает возможность произвести из него вычитание одного из двух этих других чисел. Благодаря этому всеобщему принципу можно положительное число превратить в отрицательное и обратно, целое—в дробное и обратно, рациональное—в иррациональное и мнимое и обратно. Но так как основой всяких вообще операций является обыкновенный счет по натуральному ряду, т. е. по всем возможным целым числам, то и возникает потребность говорить о числах, так или [иначе) сводимых к целому числу. Однако для этого сведёния требуется только наличие в данном числе одномерно–инобытийной потенции. Такое инобытие действует просто как сила, выставляющая новые числа в отношении данного, причем эти числа обеспечивают изменяемость данного числа в самых разнообразных, и в особенности в противоположных, направлениях. Максимальное изменение, которое тут может произойти с числом, – это вовлечение его в стихию чистого становления, но последнее тут всегда дано именно в чистейшем, беспримесном виде, как голый принцип, так что рождающаяся здесь иррациональность есть только результат извлечения корня.

Итак, сказать ли, что число сводимо к целому числу, или сказать, что оно хранит в себе одномерно–инобытийную потенцию, – это действительно есть одно и то же.

7. Так как мы рисуем сейчас алгебраическое число как некий общий тип числа, то нам нет нужды входить в рассмотрение того, что в математике называется алгебраической областью или алгебраическим полем (его называют также алгебраическим телом), хотя только эта отрасль математики показала бы нам подробно структуру алгебраических чисел. Мы не будем здесь делать этого, тем более что «арифметической теории алгебраических чисел» нам еще придется коснуться в своем месте.

8. А теперь на очереди тот тип числа, который является диалектической противоположностью алгебраического числа. Этот новый тип будет тоже выразительным, типом, как и алгебраическое число, но здесь мы найдем выражение совсем иной структуры. Из предыдущего сама собой напрашивается идея построить такое число, которое бы, храня в себе свое инобытие (т. е. являясь выразительным), содержало его не в виде простой, одномерной положенности, но развертывала бы его в сложную, многомерную структуру. То становление, которое приносится инобытием, в свою очередь должно вступать в новое становление, получать усложненность, зависящую от привнесения в него еще новых, не зависящих от него моментов. Такая иррациональность уже не может равномерно расстилаться как результат простого извлечения корня. Она сама перешла здесь в свое инобытие, т. е. в нее вплетены моменты, не зависящие от извлечения корня и—тем более—не зависящие ни от какой другой арифметической операции. Такая иррациональность называется трансцедентной; и такие числа, данные в своем соотношении с многомерно–становящимся инобытием, называются трансцедентными.

К анализу этой труднейшей и темнейшей из всей математики числовой категории мы сейчас и приступим.

§ 110. Трансцедентное число (диалектическая категория).

1. Обычное определение трансцедентного числа в математике гласит: трансцедентное число есть то, которое не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами. Это определение дается по методам того восточного человека, который, желая описать Карапета, указывает на Аванеса и говорит: «Совсем не похож!» Предоставим подобные методы кафедральным академикам и попробуем сами разобраться в этой проблеме, базируясь на тех весьма немногочисленных математических исследованиях, которые относятся к этой области. Но сначала формулируем трансцедентное число как общефилософскую категорию, как она получается в общедиалектическом контексте, – чтобы не потонуть в математической схоластике и формализме, – а потом уже посмотрим, что дает в этом смысле сама математика.

2. Итак, трансцедентное число есть число, соотнесенное со своим инобытием в условиях развернутости (или многомерности) этого инобытия. Уточним это общее определение, полученное еще в конце предыдущего параграфа.

a) Самым главным или по крайней мере исходным пунктом этого определения является соотнесенность числа с инобытием. Следовательно, берем какое–нибудь (алгебраическое) число и берем его отношение к его «инобытию», т. е. к какому–нибудь другому числу. Это отношение двух чисел должно быть все время в центре нашего внимания.

b) Это отношение, однако, должно быть нами взято не просто как таковое. Наше определение трансцедентного числа гласит, что инобытие, привлекаемое здесь, само переходит в свое инобытие, в свое становление. Следовательно, и все только что взятое нами отношение двух чисел также должно перейти в свое инобытие, в свое становление. А это значит, что оно должно осложниться каким–нибудь действием или рядом действий, в результате чего оно потерпело бы ту или иную деформацию.