Текст книги "Личность и Абсолют"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 40 (всего у книги 54 страниц)

Попробуем представить себе мнимую степень е геометрически (Клиффорд). Для этого представим себе, что радиус круга ОР равный единице, своим вращением образует угол QOP, величина которого очень мала. Так как дуга QP–OP· LQOP, а ОP по условию, равно единице, то длина QP, возникшая в результате вращения радиуса ОР есть не что иное, как просто числовая величина угла QOP. Здесь, однако, мы должны вспомнить то, что мы вывели из гауссовского представления мнимых величин (§ 106). Именно, эту величину QP мы можем представить не прямо как таковую, а с точки зрения радиуса OP, т. е. мы будем считать, что в результате своего вращения радиус ОΡ не только поворачивается на определенный угол, но еще и получает некоторое приращение QP, растягивается на величину QP. Поскольку угол QOP очень мал, мы можем QP считать перпендикуляром к ОР и тогда, по Гауссу, это QP окажется мнимой величиной. Итак, QP– LQOP· L А принимая угол QOP тоже за единицу, мы можем сказать: если радиус круга, равный единице, поворачивается на угол, тоже равный единице, то он испытывает растяжение на √-1, что и является длиной образуемой здесь дуги данной окружности. И если угол у нас есть х, то растяжение, очевидно, равняется χ √-1. Но какое же имеет сюда отношение e?

Известно, что когда одна величина равномерно помножается при одинаковых приростах другой, то говорят, что она вырастает логарифмически. Если взять отношение прироста первой величины при увеличении второй на единицу к самой величине, то по этому отношению можно судить о размерах логарифмического возрастания. Когда мы постепенно увеличиваем угол χ и соответственно получаем увеличение радиуса xi, то ясно, что xi растет здесь логарифмически. То же находим мы в т. н. логарифмической спирали. Изучение логарифмической спирали как раз и дает нам искомое решение вопроса.

Оказывается, что если мы станем искать в логарифмической спирали результат поворота луча–единицы на угол–единицу, то при логарифмической скорости возрастания этого луча–единицы (равной котангенсу углов, по которым логарифмическая спираль называется также равномерной) результат этот будет как раз е ^х, где χ—число угловых единиц поворота, есть то, во что превращается начальный луч, равный единице, когда мы, вращая его на угол, равный χ угловым единицам, получаем в результате этих вращений постепенное его логарифмическое возрастание, рисующее нам структуру логарифмической спирали. Следовательно, е ¹есть тоже результат поворота нашего радиуса OA на i угловых единиц, потому что быстрота логарифмического возрастания ОР, отнесенная к угловой единице, есть i. Результат же поворота на угол равен, очевидно, e ^xi.

4. Все это математическое рассуждение, однако, будет совершенно слепым, если мы не предпримем здесь философской интерпретации.

а) Прежде всего, достойно всяческого приветствия толкование окружности при помощи мнимых величин. Когда мы в § 107 говорили о перспективном оформлении, которое приносят с собою мнимые и комплексные числа, то это, конечно, должно было производить на неподготовленных впечатление насильственно притянутых фактов. Не угодно ли теперь воочию убедиться в правильности произведенного там исследования?

Мы можем иметь вещественную прямую и вещественный к ней перпендикуляр. Но мы можем иметь только одну вещественную прямую и соотносить с нею все решительно точки плоскости, вещественно не выходя за пределы данной прямой. Тогда точки этой плоскости оказываются не реальными, а только представляемыми, «мнимыми» точками, идеально созерцаемыми с данной вещественной прямой. Точно так же мы можем иметь круг и его вещественную окружность. Но ;мы можем эту окружность созерцать с точки зрения прямой, мыслить в категориях, не выходящих за пределы прямой. Тогда окружность, как нечто выходящее за пределы прямой и, след. предполагающее уже другое измерение, окажется только представляемой, мнимой, подобно нарисованным предметам, которые хотя и даны вещественно в одной плоскости, но представляются нами в пространстве, в рельефе, в перспективе. Указанное выше представление дуги и окружности круга как некоей величины xi, где χ является тем или другим числом угловых единиц, есть очевиднейшее доказательство перспективного характера мнимой величины и связи ее с чисто смысловым оформлением бытия. Тут мы наглядно видим, как из целесообразного применения гауссовской концепции мнимостей можно конструировать то, что хотя и мыслится вещественно, но при вещественном понимании не создается в своей фигурной границе. Представление об окружности как о 2пг дает очень ценную идею, но это не есть идея фигурного конструирования окружности, в то время как это последнее вполне осязаемо совершается через употребление мнимого числа i.

b) Однако эта концепция тут не единственная. Пожалуй, еще важнее то, что е ^хоказывается связанным с теорией логарифмической спирали. Это обстоятельство чрезвычайно важно, и необходимо отдавать себе в нем полный отчет. Тут два вопроса, один—о принципиальном отличии участия е в конструировании окружности от участия его в спирали, и другой—о принципиальном сходстве того и другого.

Бросается прежде всего в глаза, что для [случая] логарифмической спирали е входит без всякой мнимости. Ведь если упомянутый выше котангенс принять тоже за единицу, то мы получим наипростейшее уравнение логарифмической спирали в виде r=е ^x.

Тут, как видим, совсем не входит ι. И это понятно почему. Ведь луч получает тут все время вещественное приращение, в то время [как] для круга он остается постоянно вещественно равным самому себе, а приращение его выражается мнимыми единицами и переходит в построение самой окружности. Поэтому спираль, на основании указанного ее уравнения, мы мыслим обязательно вещественно, а окружность, на основании упомянутого приращения радиуса, мы мыслим как мнимую (хотя как 2пг или как x ²+y ²=z ²она вполне вещественна). Это кладет принципиальное отличие между обеими кривыми с анализируемой здесь точки зрения на них.

При всем том, однако, между обеими кривыми существует глубочайшее сходство. Обе они развертываются на основе логарифмического возрастания луча–единицы. Другими словами, обе они одинаковым образом появляются из е, из трансцедентного. Обе они суть, в общем, Одинаковые эманации трансцедентного. Именно для того и другого трансцедентное должно выйти за свои пределы; оно должно излиться в реальных эманациях и облечься некой телесностью, выразительносмысловым телом. Оно может по–разному конструировать это тело. Оно может оставить его лри себе, употребивши его всецело на выражение своих собственных глубин, так что тело это не уйдет в бесконечное становление, но его становление будет иметь только единственную функцию—выражать и выявлять трансцедентное, не растекаясь, но всегда возвращаясь в себя и ориентируясь вокруг себя же самого. Таков круг, окружность которого является не вещественным, а чисто идеальным (или мнимым) оформлением. Это—мнимая степень е. С другой стороны, трансцедентное может исходить такими эманациями, которые уже не дадут мнимого, т. е. только смыслового тела, но перейдут в реальное становление, в вещественную эманацию. Образ вещественных (а не только идеально выразительных) эманаций трансцедентного есть спираль, а именно логарифмическая спираль. На этом мы отчетливо видим все сходство и несходство двух рассматриваемых кривых.

с) Итак, e ^xiесть символ идеально выраженной эманации трансцедентного, или образ облачения трансцедентности в адекватно выражающее его тело. Окружность, которая конструируется при помощи этой показательной функции, оказывается образом выразительного оформления и воплощения трансцедентности, расцветшей здесь до степени самодовлеющей, постоянно возвращающейся к себе самой и саму себя обтекающей полноты действительности.

Только теперь мы можем начать разгадывать тайну тригонометрических функций.

5. а) Выше (п. Зb) мы получили чисто аналитически, что

e ^xl= cosx+ismx.

Получивши это выражение аналитически, мы в нем ровно ничего не понимали, оставаясь только при голом факте загадочного и таинственного вывода. Последующее показало нам, что такое e ^xi. Теперь посмотрим, что такое правая часть этого равенства и в чем заключается ее смысл. Это и есть вопрос о сущности тригонометрических функций.

Взглянувши на [рис. 9 ], мы сразу начинаем догадываться, что если угол РОЛ считать за х, то ОМ есть cosx, a MP есть sin* (или, имея в виду концепцию Гаусса, MP=isin л). Отсюда нетрудно вывести и формулы Эйлера. Меняя xi на (—χί), имеем

е ^…xi=cos χ—isin χ,

причем под (—χ) надо будет, очевидно, понимать угол МОР, а под его sin—перпендикуляр МР ₁. Отсюда, решая оба эти уравнения относительно cos.υ и sin χ, мы получаем окончательно:

что имеет вполне ясный не только аналитический, но и геометрический смысл (поскольку e ^xtесть не что иное, как ОР, a e– ^xiесть ОΡ ₁).

В чем же, теперь, философский смысл этих формул Эйлера?

b) Обратим прежде всего внимание на то, что мнимая степень е может быть понята как комплексное число. Другими словами, всякое комплексное число может быть понято как мнимая степень е, т. е. как выразительная эманация трансцедентного. Но комплексное число, как мы знаем (§ 107), есть перспективный символ. Следовательно, всякая перспектива обязательно таит в себе эманацию трансцедентного; и трансцедентное эманирует, в выразительном смысле, перспективно. Когда мы имеем просто е, то перед нами тут некое бытие, овеянное тающими энергиями смысла, но эти энергии еще положены как выразительный образ. Когда же мы имеем мнимую степень е, то исходящие из него смысловые энергии складываются в некую образную положенность, в некое выразительное самообрекание, и это есть перспективная структура эманаций трансцедентного. Всматриваясь в эту перспективную выразительность, мы отчетливо видим начальный пункт этой перспективы и отчетливо видим ее конечный пункт. Также перспектива существует только там, где видны малейшие изгибы перспективных линий и зрительно–выразительная судьба всей вещественной предметности, втянутой в эту перспективу. Когда трансцедентное реально изливается в инобытие, оно превращает свою идеально выразительную, смысловую перспективу в вещественную и субстанциальную стихию действительности; тогда оно теряет свою мнимость, спиралевидным вихрем изливаясь в реальность. Но пока оно не изошло вовне, а только еще бурлит в себе смысловыми энергиями самопроявления, оно содержит всю свою возможную инобытийную образность в своем собственном умном теле, содержит ее пока только лишь как цель, как идеал, как отраженную только в самой себе действительность. Но это и значит, что трансцедентное покоится в себе кругообразно, играя образами перспективных самоотражений. Тут–то и залегает целый ряд трансцедентных функций—тригонометрических, гиперболических, эллиптических, – из которых нас интересуют именно тригонометрические.

Из предыдущего ясно, что тригонометрический косинус в комплексном представлении мнимой степени е есть не что иное, как вещественная часть, а синус—коэффициент при мнимой части комплекса. Другими словами, линия косинуса является как бы тем началом, откуда мы считаем перспективу, а линия синуса—тем направлением, в котором мы созерцаем перспективу. Эманационно возникшая перспектива имеет ведь свою структуру, определяемую известным изгибом линий и тем или другим расположением точек. Синус есть измеритель расстояния перспективной точки от линии отсчета, как бы расстояние отраженной в зеркале точки от поверхности зеркала. Косинус же есть отображение перспективной точки на линии отсчета; это—проекция модуля комплексного числа на неподвижный радиус. Когда мы имеем просто е ^хмы, с увеличением х, все больше и больше раскрываем угол, т. е. все больше и больше выявляем внутреннее содержание круга, как бы все больше и больше захватываем пространство в идеально выразительном теле трансцедентности, все шире и шире заполняем эманацию трансцедентного выразительным оформлением. Ясно, что здесь начинает рисоваться образ трансцедентности, который как–то должен быть зафиксирован и зафиксирован не мертво и устойчиво, но—энергийно, в точной связи с раскрываемым эманационным содержанием. Тригонометрические функции как раз и призваны дать ориентацию в этом эманационном образе трансцедентного. Синус указывает на размеры и направление раскрывающейся в этом образе перспективности, а косинус интерпретирует ее с точки зрения ее исходного пункта. Синус—это перспектива с точки зрения ее конечного пункта, а косинус—перспектива с точки зрения ее начального пункта.

с) В настоящем месте нашего исследования мы, однако, не станем развивать подробно теорию тригонометрических функций, так как их удобнее будет рассмотреть в другом месте. Ясно, что если мы усвоили себе этот исходный пункт, то можно будет подвергнуть философской интерпретации и прочие четыре тригонометрические функции, так как тангенс есть только отношение синуса и косинуса, а котангенс, секанс и косеканс есть только обратные функции соответственно тангенса, косинуса и синуса. Но нам необходимо было прикоснуться к тригонометрическим функциям хотя бы слегка, чтобы проследить диалектическую судьбу трансцедентного числа е.

6. [900]900
  В рукописи номер пункта: 5. Последующие пункты также перенумерованы нами.


[Закрыть]К вышеизложенному я бы прибавил еще очень важное заключение, дающее возможность проверить и уточнить наше рассуждение о трансцедентном. Если мы в комплексном выражении e ^xiбудем понимать χ=π, т. е. как численную величину угла в 180°, то, принимая во внимание, что cos 180°= – 1, a sin 180°=0, мы получим

e ⁿⁱ= – 1, e ²ⁿⁱ= l.

Как ни элементарно это заключение математически, в философском отношении оно чрезвычайно инструктивно для суждения о е, π и L Предоставляя читателю самому продумать эти <…> [901]901
  Одно слово разобрать не удалось.


[Закрыть]на основании предложенной формулы, мы укажем только на то, что единственный путь к их осмысленному применению вместо обычной математической схоластики заключается в идее разделения круга на равные части, т. е. в идее вращения радиуса на те иди иные углы. А это есть идея раскрытия внутреннего содержания круга в виде смыслового образа, т. е. идея завершенной идеально выразительной эманации трансцедентного. Эманация ведь, как мы вывели выше (п. 4 b), совершается или спиралевидно, или кругообразно. Тот и другой символ эманации предполагает какой–нибудь исходный пункт, или начало эманационного отсчета, и предполагает ту или иную его эволюцию. Принимаем, как это естественно, исходный пунк'Гза единицу. Тогда органический рост образности нашего трансцедентного окажется не чем иным, как органическим ростом, т. е. возведением в ту или иную степень, числа е. При х=0 мы получаем e ^xi= 1. Это—начало отсчета. Но, возводя число е все в большую и большую степень, мы все больше и больше раскрываем содержание трансцедентного и, раскрывши его, опять приходим к начальному, исходному пункту, т. е. к 1. Мы видим, следовательно, что эманация кругообразно обволакивает своими смысловыми энергиями неявленную сущность трансцедентного. Отсюда и идея периодичности трансцедентных функций. Отсюда и колоссальная важность числа 2т или πι в теории функций вообще (с чем мы еще встретимся в своем месте), т. е. того, что можно было бы понять как окружность с мнимым радиусом, или как вообще идею фигурной замкнутости бытия.

7. Укажем еще на философский смысл того обстоятельства, что производная от функции е ^хравняется тому же самому е ^х. В чем тут дело? И какое это может иметь для нас значение?

Это, несомненно, имеет для нашей теории огромное значение. И понятным оно может сделаться для нас только в том случае, если мы будем иметь в виду наше общее учение о трансцедентности. Трансцедентное, учили мы, уже включает в себе все свои инобытийные возможности; следовательно, никакое инобытие не может внести в него никакого изменения. Поэтому, взявши эманационный аспект трансцедентного, т. е. е ^х=у, и фиксируя царящее здесь отношение между χ и у, мы и в сфере инобытия'данной трансцедентности найдем это отношение непоколебленным (а производная и есть закон инобытийного соотношения аргумента и функции). Таким образом, разгадка производной от функции е ^хзаключается в инобытийной эманативности трансцедентного.

8. Наконец, уясняется из всего предлагаемого учения и подлинное диалектическое место логарифма. Если логарифм числа есть показатель степени, в которую нужно возвысить е, чтобы получить число, то ясно, что логарифм указывает на некоторый метод инобытийного роста е, т. е. на тот или иной способ эманации трансцедентного. Это есть как бы фиксация возраста инобытия, возрастающего в результате трансцедентных эманаций, или скорости его возрастания. Тригонометрические функции раскрывают нам размер и направление эманативной перспективы, логарифмическая функция говорит нам о скорости ее нарастания. Наконец, простая показательная функция свидетельствует о скорости или возрасте инобытия, эманированного вообще из недр какого бы то ни было числа.

Разумеется, различение Неперовых и Бригговых логарифмов [902]902
  Малоупотребительные названия натурального {Неперов) и десятичного (Бриггов) логарифмов.


[Закрыть]не может иметь принципиального значения для настоящего исследования, и его не следует тут обсуждать.

§ 113. Гиперкомплексное число (общее понятие).

1. а) Алгебраическое число есть число, соотнесенное с своим инобытием и, следовательно, некоторым образом включающее его в себя. Включение это совершается здесь, как мы знаем, только в принципе, только потенциально. Поскольку инобытие мыслится здесь как простой, неразвернутый акт полагания, постольку оно в принципе есть целость, целое число. Следовательно, алгебраическое число есть потенция целого числа. Всякое число, которое в результате конечного числа операций может стать целым числом, есть число алгебраическое.

Диалектической противоположностью его является число трансцедентное. В нем вмещается его инобытие уже не только потенциально, а еще и энергийно. И это потому, что само инобытие дано тут не в виде голого бытия или полагания, но в виде полагания, перешедшего в становление, в развернутое инобытие, так что оно стало здесь инобытием инобытия, становлением становления. Когда число самой своей структурой свидетельствует о том, что оно Может быть получено только путем учета этого многомерного становления, то это число есть трансцедентное. Уже простая иррациональность не может быть получена при помощи конечного числа операций. Но все же путем различных операций ее можно привести к целому числу, если отказаться от непосредственного его вычисления. Трансцедентное же число есть усложненная иррациональность, – как мы говорим, «многомерная», – и поэтому, даже отказываясь От непосредственных вычислений, мы не в состоянии свести его на целое число. «Свести на целое число» – это ведь значит иметь для данного числа инобытие только как простую положенность, а тут она как раз не простая, а «многомерная».

Трансцедентное число всегда есть предел. Оно и не может не быть пределом, потому что иначе оно расплылось бы в многомерной иррациональности и мы не имели бы никакого закона необходимого тут становления становления, т. е. не имели бы и самого трансцедентного числа. Поэтому, если угодно, уже наличие в трансцедентном предела есть начало синтеза трансцедентности и алгебраичности. Алгебраическое число—устойчиво, неподвижно. Стихия инобытийного становления дана тут только принципиально, а не фактически. Трансцедентное же число все бурлит этим сложным становлением, и если бы тут было только это последнее, то оно набросилось бы на трансцедентность и увлекло бы его в свою бездну. Однако трансцедентность, несмотря на вмещаемый в себя вихрь становления, пребывает неподвижно в самом себе, оно управляет этим становлением и дает ему закон. Достигается это тем, что трансцедентность есть предел.

Но, конечно, наличие предела в трансцедентном не есть еще синтез трансцедентной инобытийной подвижности и алгебраической устойчивости. Предел входит в самую конструкцию трансцедентного и потому вовсе не есть какой–нибудь, но входит вместе со всем становлением трансцедентного в антитезу к числу алгебраическому. Зато гораздо более явным синтезом является мнимая степень трансцедентности. В самом деле, поскольку мнимая степень трансцедентности не есть само трансцедентное, может подняться вопрос о том, не является ли она некоторым синтезом.

Несомненно, некоторым синтезом она является. Если синтез бытия и становления должен положить бытийную границу для становления, то ведь мнимая степень трансцедентности, видели мы, получая комплексное истолкование, превращается в идеально выразительную образность трансцедентного, в его смысловое, эманативное оформление. Несомненно, начало покоя залегает в этом аспекте трансцедентного, и покоя не в смысле только предела (которого тут и без того не может не быть), но покоя в смысле зацветения не бывшими до тех пор телесно–изобразительными энергиями.

b) Однако можно ли это считать окончательным синтезом трансцедентного и алгебраического? Всматриваясь в него, мы начинаем замечать здесь совершенно отчетливые признаки ставшего. Ведь ставшее тоже есть синтез бытия и становления, хотя и не окончательный синтез. Здесь расплывающееся становление, сдерживаемое раньше только пределом, превращается в самостоятельную структуру, а не просто упорядочивается извне (как это способен делать предел). Раз из становления рождаются твердые очертания и отдельные его струи затвердевают в смысловую образность и фигурность, то, конечно, здесь перед нами синтез бытия и инобытия. Но необходимо твердо зафиксировать: комплексно понимая [903]903
  Так в рукописи.


[Закрыть]мнимая степень трансцедентного есть только начало этой образности, начало этой самостоятельной фигурности, которая вмещает в себе и алгебраическую устойчивость, потенциальность, и трансцедентную энергийность.

Для полного синтеза необходимо полное исчерпание как всего категориального содержания алгебраичности, так и всего категориального содержания трансцедентности—это возможно не по категории ставшего, но по категории выражения. Можно ли сказать, что то и другое исчерпано в комплексном представлении мнимой степени трансцедентного? Конечно, нет. Алгебраичность есть потенция целого. Следовательно, потенция целого должна войти в наш синтез. Тем не менее комплексная величина представляется нами на плоскости, т. е. она берет только один из возможных элементов пространства и не берет его целиком. Правда, поскольку в алгебраическом числе речь идет не о целости как таковой, но о потенции целости, вовсе не обязательно фиксировать какое–нибудь определенное пространство и отбрасывать все прочие. Тут необходимо дать принцип перехода из одного измерения в другое, не ограничивая себя никаким заранее данным количеством измерений. С другой стороны, трансцедентность есть эманативная энергия инобытия, становления. Осуществлено ли это в комплексном числе? Тут дана только «двумерная», так сказать, энергийность, поскольку с вещественной точкой вещественной прямой соотнесена та или другая точка плоскости. Ясно, что становление тут хотя и является становлением становления, но оно не уходит в бесконечность становлений, как того требовала бы трансцедентная энергийность. Следовательно, и с этой стороны мнимая степень трансцедентности не есть полный диалектический синтез числа алгебраического и трансцедентного.

Разумеется, вовсе [не] необходимо фиксировать всю бесконечность измерений и всю бесконечность становлений. Необходимо только показать, как вообще мыслится в этом случае переход от одного измерения к другому и от одного становления к другому и как вообще мыслится та или иная целость измерений и становлений. Все же, однако, это не осуществимо средствами простых комплексных чисел и требует нахождения новой математически–логической категории.

2. Проще всего это мы сделаем так. Вспомним, что в диалектике не только антитезис является отрицанием тезиса и введением инобытия к нему, но и синтез есть отрицание антитезиса и введение нового инобытия к нему. Если это инобытие правильно подобрано, то оно и вернет нас к тезису, который ведь и есть не что иное, как отрицание отрицания. Комплексное число характеризует определенным образом направленную величину, или вектор (вспомним: вещественная и мнимая часть есть ведь только два слагаемых вектора). Следовательно, необходимо еще инобытие этого вектора или другой такой же вектор. Оба вектора должны быть чем–то единым. Тут–то и кроется подлинный синтез, который создаст нужную нам категорию выражения.

Когда мы имеем а–b bi, мы рассматриваем с точки зрения вещественной прямой—плоскость. Введем еще ряд таких же единиц мнимости: j ²=k ²= I ²= – 1. Пусть с нашей прямой а мы рассматриваем уже не плоскость, а пространство. Это значит, что мы должны выйти за пределы нашей комплексной плоскости, т. е. должны нашу новую мнимость j направить по перпендикуляру не к прямой а, но ко всей плоскости a+bi. Допустим, что мы дальше хотим наблюдать судьбу и самого трехмерного пространства, т. е. смотреть куда–то в четвертое измерение. Тогда еще новая мнимость к направит наш взор и в эту сторону, и наша прямая а станет носить на себе значимость четырехмерного пространства. И т. д. и т. д. Имея такое усложнение комплексов, мы уже реально обладаем и потенцией абсолютной целости, о которой говорило нам алгебраическое число, и всей бесконечностью пронизывающих друг друга становлений, о которой нам вещало число трансцедентное. Здесь уже решительно всякое становление из тех, которыми богата трансцедентность, превращается в фигурную выразительность, в «направление», в «измерение», понимаемое так конкретно, что его можно отождествить даже с соответствующими геометрическими образами. И здесь мы действительно получаем ту принципиальную числовую целость, которая дает нам представление о наглядно зримой числовой комбинации.

Это и есть т.н. гиперкомплексное число.

3. а) Нужно сказать, что еще Гаусс, и притом еще в докторской диссертации 1799 г., предположил для некоторых уравнений необходимость корней не вещественных и не комплексных, но более сложных, о свойствах которых сам Гаусс, однако, отказался высказать какоенибудь суждение. В начале 40–х годов к учению об этих новых числах пришли одновременно два математика, Г. Грассман и В. Гамильтон. Первый дал философско–математическое учение о многообразиях, в отношении которых геометрия должна быть только частным случаем; его два сочинения – «Учение о линейном протяжении» (1844 г.) и «Учение о протяжении» (1862 г.)  [904]904
  Оба перепечатаны—Н. Grassmann. Gesammelte mathematische u. physikalische Werke. I. Lpz., 1894—1898.


[Закрыть]. Гамильтон еще в 30–х годах обобщал комплексные числа в том смысле, что изучал соотношения векторов в пространстве на манер соотношения векторов на плоскости, существовавшего для обычных комплексных чисел. В 40–х годах эта разработка продолжилась, и в 1853 г. вышло большое сочинение «Lectures on quaternions», где была дана теория т. н. кватернионов, т. е. комплексных чисел с четырьмя единицами (одной вещественной и тремя мнимыми), после чего мы имеем еще «Elements of quaternions» (1866)  [905]905
  Есть нем. пер.: Elemente d. Quaternionen, deutsch. v. P. Glan. Lpz., 1882-* 1884. I—II.


[Закрыть]. В дальнейшем кватернионами много занимались англичане, среди которых надо указать Моргана, Кэли, Сильвертра, Клиффорда и .др. Кватернионы получили развитие в том рмысле, что их стали привлекать для изучения взаимоотношения пар векторов в пространстве; возникли т. н. бикватернионы  [906]906
  О них можно получить представление по мемуару В. Клиффорда «Предварительный очерк бикватернионов» – приложение в книге «Здравый смысл точных наук». Пер. А. Р. Кулишер. М., 1910, 314—344.


[Закрыть]. Отсюда возникло и т. н. винтовое исчисление  [907]907
  Ср.: А. П. Котельников. Винтовое исчисление. Каз., 1896; Он же. Проэк–тивная теория векторов. Каз., 1899.


[Закрыть].

b) В настоящее время эта теория гиперкомплексных чисел разрабатывается в двух науках. Во–первых, можно брать такие мнимые единицы, произведение которых относится к тому же самому классу Мнимостей, так что каждая единица является здесь не больше, как результатом линейного преобразования другой. И можно, во–вторых, иметь в виду такие единицы, произведение которых создает новые неприводимые единицы. Вслед за античными греками первое учение можно назвать линейными алгебрами и второе—всеобщей алгеброй.

Мы не станем входить в анализ этих дисциплин, а только ради образца коснемся кватернионов, входящих в первую из них, в линейную алгебру.

4. а) Как показывает самое название, в кватернионе мы имеем дело с четырьмя единицами. Первой единицей здесь является вещественная единица, как и в обыкновенных комплексных числах. Три остальные единицы—Мнимые с теми или иными коэффициентами; по Гамильтону, они обозначаются как / и к, и весь кватернион имеет такой вид:

q = d+ia+jb + kc.

Вещественная единица и операции с нею ничем не отличаются от обычных вещественных правил, так что

1 ²= 1, i*1=1*i=i, j*1=1*j=j, k*1=1*k=k

Что же касается мнимых единиц, то здесь сходно с обычными комплексными числами только общее их определение, т. е.

i ²=j ²=k ²=-1

В этом смысле все, что в § 107 говорилось о мнимости как о квадратном корне из отрицательной единицы, остается и для кватернионов в прежней силе. Далее, однако, этим мнимым единицам принадлежит фундаментальное свойство, резко отличающее их от всяких других единиц.

b) А именно, этим единицам не свойственна коммутативность умножения или, точнее, с переменой порядка сомножителей произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

j*k=i, k*i=j, i*j=k

но при этом

k*j=-i, i*k=-j, j*i=k

Если не принимать интуиций, лежащих в основе кватернионов, то это свойство его мнимых единиц является вполне бессмысленным или по крайней мере необоснованным. В чем же, однако, тут дело? Дело в том, что мнимые единицы i, j, k: противоположны друг другу не в области одного измерения (тогда, если i предполагает только плоскость, j и к тоже оказались бы на плоскости и отождествились бы с О» но они противоположны друг другу как разные пространственные измерения. Количественно будучи одним и тем же, они еще выполняют некую «качественную» функцию, а именно они демонстрируют разные измерения. Поэтому кватернионы есть не что иное, как аналитическое выражение четырехмерного пространства. Подобно тому как обыкновенное комплексное число есть число плоскостное, т. е. двухмерное (ибо оно соотносит с точками данной вещественной прямой те или иные точки плоскости), подобно этому кватернион есть число (а следовательно, и пространство) четырехмерное (соотнося с данной вещественной прямой точки четырехмерного пространства). Отсюда выясняется и смысл некоммутативности умножения мнимых единиц кватерниона.

А именно, поскольку каждая единица связана здесь с новым измерением, она есть также символ известного направления. Направление же, комбинации направлений, естественно, зависят от самих направлений. В сложении направлений дело обстоит просто. Если А, В и С—точки, лежащие не на одной прямой, то вместо того, чтобы идти от А к В ₉а потом от В к С, я могу прямо идти от А к С и в смысле векторном АС=АВ+ВС. Иначе, однако, обстоит дело в умножении. Ведь что такое умножение? Умножение есть составление из множимого нового числа так, как множитель составлен из единицы. Ясно, что произведение тут определенно зависит от того, что считать множимым, а что множителем. Допустим, напр., что множимое положительно. Составляя из него новое число, мы, конечно, так же должны считаться с этим плюсом, как если бы и вообще помножали какое–нибудь положительное (а не отрицательное) число. Поэтому уже в умножении векторов на плоскости мы, вообще говоря, считаемся с порядком действующих тут сомножителей. То же самое и в кватернионах.