Текст книги "Личность и Абсолют"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 42 (всего у книги 54 страниц)

3. Несколько иначе смотрит на дело К. Вейерштрасс, тоже носившийся с идеей сведения всех чисел на целые числа. Правда, Вейерштрасс в этом смысле рассуждает гораздо сдержаннее. Он вовсе не хочет отменять самые понятия разных видов числа и считает, напр., иррациональность столь же реальной для мысли, что и все другие. Не хочет он также и всякие арифметические действия заменять действиями над целыми числами. Насколько можно понять эту теорию, он просто занят психологическими вопросами о том, как мы приходим к представлению о разных типах числа. Если это действительно так, то уже по одному этому учение Вейерштрасса не должно было бы обсуждаться в нашем сочинении. Но ясно и то, что Вейерштрассу меньше всего хотелось быть тут психологом. Поэтому—скажем несколько слов о Вейерштрассе.

О целом числе Вейерштрасс рассуждает не хитро. Вокруг нас мы находим явления, говорит он, которые обладают общими признаками. В каждой такой группе явлений мы различаем несколько единиц. Отсюда—понятие о целом числе. Взявши два таких числа, мы можем взаимно сопоставить входящие в них единицы. Когда эти элементы друг другу соответствуют, мы говорим, что числа равны:; когда в одном числе остаются лишние элементы, мы говорим, что оно больше другого, а это последнее—меньше. Здесь знаменитый математик говорит, конечно, пустяки: целое число там, говорит он, где оно целое.

О дробном числе—рассуждение несколько сложнее. Кроме «главной единицы», говорит он, существуют и многие другие единицы – двойка, тройка, десятка, сотня, миллион, это тоже некоторого рода единицы. Покамест мы берем числа, составленные из «главной единицы», мы можем иметь только целые числа. Но, вводя другие единицы и сравнивая новые единицы со старыми, мы получаем представление о дробных числах. По этому поводу можно только удивиться, почему нс появляется представление о дробной части, когда мы имеем одну цельную группу нескольких предметов, и почему для этого необходим переход к другой группе или к другим единицам. Кроме того, назвать десятку единицей можно только при том условии, что уже имеется представление о целом и дробном, так что здесь Вейерштрасс утверждает только то, что дробное число возникает тогда, когда оно дробное.

Отрицательное число возникает, по Вейерштрассу, тогда, когда кроме основного элемента е вводится «противоположный» элемент е' удовлетворяющий равенству а+е+е'=а (где а состоит только из элементов e). Отсюда е+е' = 0, и если одну из этих величин назвать положительной, то другая будет отрицательной. Тавтологичность этого определения не нуждается в комментарии.

Немногим лучше обходится Вейерштрасс с иррациональными числами. Он их сводит на целые числа так. Мы можем, говорит он, брать агрегаты чисел, состоящие из главной единицы и из разных дробных частей единицы. Число этих разных групп чисел может расти до бесконечности. Допустим, что у нас имеется по конечному числу элементов в каждой группе, а самих этих групп—бесконечное количество. Тогда и получится иррациональное число. В самом деле, пусть такими группами у нас будут дробные части единицы—десятые, сотые, тысячные и т. д. Если этих групп у нас будет бесконечное число, но в каждую группу будет входить только конечное число элементов, то это и даст нам иррациональное число. Проще говоря, Вейерштрасс хочет сказать только то, что иррациональное число есть дробь с бесконечным числом десятичных знаков. Если на основании этого он думает, что иррациональность сводится на целое число, то это есть только подмена логического определения письменными знаками, которые его обозначают. Иррациональность, если ее брать как таковую, в чистом виде, ни в каком смысле не сводима на цельность. Можно, конечно, понимать ее как целое, но в таком же точно смысле окажутся целыми и все дроби, все трансцедентные и гиперкомплексные числа, точно так же, как все их можно назвать единицами. Называет же Вейерштрасс единицами двойки, тройки, десятки, половины, трети, сотые части и т. д. Но если это не диалектика (в том смысле, как мы говорили в § 23 о вездеприсутствии одного и того же перво–принципа единичности)—а в диалектике Вейерштрасс нисколько не повинен, – то это просто игра словами.

4. Наконец, слабым достижением надо считать определение типов чисел как пары целых чисел. Это представление, восходящее к Гамильтону, взятое в чистом виде, очень недостаточно вскрывает сущность данного типа числа, являясь обычной математической тавтологией, хотя у самого Гамильтона в связи с его векторными представлениями это имело, несомненно, гораздо более глубокое значение.

В учении о числах как о паре целых чисел указывают обычно условия равенства и неравенства пар и способы действий над ними. Если мы имеем в виду дроби, то пары я, b и я', Ъ' равны здесь между собою только тогда, когда ab = a'b ^'. Не нужно особенно напрягать свои умственные способности, чтобы догадаться, что здесь попросту имеется в виду равенство в пропорции произведения крайних и средних. Другими словами, здесь только по другому правописанию записана та святейшая истина, что дроби равны, когда равны отношения их числителей и знаменателей. Но никакое новое правописание, конечно, не создаст логического определения, если оно не получено из другого источника.

Точно таким же характером обладает «условие равенства пар» для отрицательного числа. Тут пары а, b и а', b' будут равны при условии a+b' – а' + b. То же самое в комплексных числах и пр. Везде тут– словесный оборот вместо логического построения.

5. В традиционном математическом учении о типах числа поражает отсутствие всякой систематики и методологии. Обычно, желая перечислить решительно все типы числа, говорят, что каждое действие имеет для себя обратное действие, и когда это последнее прямо невыполнимо, то «условились» – де (как будто бы можно было не условиться?) ввести новые понятия—отрицательного, иррационального и мнимого числа. Этим и кончается вся «система». Что единица, нуль и бесконечность есть совсем особые числа, со своим особым влиянием на все прочие числа, об этом в данной «системе» не говорится ни слова, хотя своеобразие этих чисел бьет в глаза на каждом шагу. Всякому ясно, что это не просто разные числа, но разные типы числа, разные категории числа. Почему же о них нет ни слова в указанной «системе»?

О прочих типах числа, хотя они непосредственно связаны с указанной «системой», говорится весьма неохотно и большею частью только там, где уже сам материал хватает математика за горло и требует введения новых чисел. Как возрадовались бы многие математики, если бы удалось выкинуть из низшей геометрии число π. Но, оказывается, без него невозможно решить почти ни одной задачи из теории круга и круглых тел. И вот волей–неволей вносят это π в геометрию. Но как вносят! Вносят, конечно, чисто вычислительно, не давая никакого представления о нем как именно об особом типе числа, а не просто о числе наряду с прочими—напр., иррациональными—числами. О е вяло говорят в низшей алгебре, немного больше—в анализе (потому что без него нельзя было бы понять многих самых элементарных форм дифференцирования). Но где же это е изучается как таковое? Математики не знают даже, в какую науку можно было бы отнести теорию этого е, не то в алгебру, не то в анализ. А то, что это есть чистейшая арифметика, большинство, пожалуй, даже удивится. Но вот без е и π никуда двинуться нельзя, а без остальных трансцедентностей можно двигаться очень далеко. И что же? Результат очень простой: нет почти никакой систематической теории трансцедентностей. О кватернионах я уж и совсем не говорю. Хотя это наиболее зрелый продукт числового типа вообще, они, можно сказать, крайне непопулярны в современной математике (несмотря на значительные удобства, которые они приносят с собою); и тоже неизвестно, арифметика ли это, алгебра или анализ.

Нечего и говорить о том, что предложенное выше диалектическое построение числовой типологии, вероятно, содержит много изъянов, недостатков и, может быть, даже просто ошибок. Однако это только первый опыт. После него другие смогут дать уже и более совершенные построения.

III. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ (СТАНОВЛЕНИЕ СУЩНОСТИ ЧИСЛА)

§ 115. Основная дедукция.

1. а) Натуральный ряд чисел есть энергийное становление (становление единицы). Тут все числа представляют собою по типу одно и то же число; и разница между ними не типовая, но количественная. «Количество» создает разницу в пределах одного и того же «качества», не затрагивая его как таковое. Когда еще не получено число со всеми выраженными количественными различиями, диалектический переход к типам числа невозможен. Но вот натуральный ряд дает числа с любым количественным значением, так что категория числа в этом отношении оказывается вполне исчерпанной. В таком случае дальнейшие диалектические противопоставления уже не могут быть чисто количественными. Дальнейшее противопоставление ведет уже к изменению самого типа, самой категории числа, как он дан в числе натурального ряда. И мы пришли к разным типам числа, отличающимся друг от друга уже не количественно, но категориально. В этом смысле все типы числа суть инобытие в отношении натурального ряда, где сконструированы числа при условии только чисто количественных различий. Возникает неизбежный вопрос о диалектическом объединении и отождествлении натурального ряда и этих типов. Рассмотрим этот синтез.

b) Натуральный ряд дает нам числа, бесконечно разнообразные по количеству, но числа, так сказать, в их статическом употреблении. Хотя натуральный ряд сам по себе и есть становление, но входящие в его состав числа даны отнюдь не в своем становлении. Они—статичны. Становление относится здесь к стихии самого порождения чисел, самого их возникновения. Но о становлении каждого числа в отдельности ровно ничего не говорится в понятии натурального ряда. Итак, эти числа статичны и взаимно изолированы. С другой стороны, типы числа, будучи связаны между собою диалектически, отнюдь не связаны между собою количественно. Они связаны диалектически, т. е. исключительно понятийно, категориально; они связаны как категории чисел, а не как числа с тем или другим количественным значением. В этом смысле они абсолютно изолированы. Итак, числа натурального ряда связаны между собою количественно (да и то в совершенно узком и специальном значении этого слова) и совершенно не связаны категориально (все они—одна и та же категория); и типы числа связаны между собою чисто категориально и совершенно не связаны количественно (ко всем ним применимы любые количества). Возникает диалектическая необходимость так объединить числа натурального ряда с типами чисел, чтобы отношения между числами натурального ряда были не только количественными, но и типовыми, а отношения между типами числа были не только типовыми, но и количественными. Короче говоря, необходим диалектический синтез того и другого.

c) Всякий синтез есть прежде всего становление. В процессе становления отождествляются такие бытийные и такие инобытийные моменты, которые—как тезис и антитезис—стоят абсолютно внеположно друг в отношении друга. Следовательно, й здесь мы должны найти некое становление, в котором количественные различия превращались бы в типовые, а типовые получали бы качественное выражение. Это возможно в тех числовых процессах, которые именуютсяарифметическими действиями.

2. Что всякое арифметическое действие есть некое становление, это ясно само собой, ибо для осуществления сложения, вычитания и пр. необходимо, чтобы нечто произошло. Тут мало простого наличия статических и изолированных чисел; необходимо, чтобы они вошли в какоето взаимное объединение и сплетение, чтобы они входили одно в другое и вообще были во всестороннем взаимоотношении. Итак, всякое арифметическое действие есть становление. Но какое это становление? Это именно такое становление, в котором происходит качественное изменение количественных установок. Пусть, напр., мы умножаем —2 на 5 и из полученного произведения извлекаем квадратный корень. Тут от двух типов числа (положительного и отрицательного) мы путем чисто количественных операций переходим совершенно к новому типу числа (к мйимому). Пусть мы имеем сумму 3+2 и делим ее на 2: из одного (или двух) типов числа (положительного и отрицательного) мы получаем опять третий (дробное число). И т. п. Ясно, что всякое арифметическое действйе есть становление, и как раз становление в смысле диалектического синтеза чисел натурального ряда с теми или другими типами числа.

Таково диалектическое место самой категории арифметического действия.

3. Необходимо отметить следующее. Основное место арифметического действия есть то становление, которое есть синтез натурального ряда как бытия и типов числа как инобытия. Но это только основное место. Другими словами, здесь впервые рождается арифметическое действие как отвлеченная категория. Арифметическое действие само по себе, однако, не есть просто категория. Оно есть именно действие, и потому в нем всегда живет та или другая практически–жизненная сложность. Эта сложность для диалектика есть, конечно, опять–таки не что иное, как нераспутанный клубок многочисленных категорий. И если эта сложность действительно жизненная, то клубок категорий всегда в конце концов целесообразно распутывается, и запутанное предстает во всей своей смысловой ясности. Мы и тут применим наши обычные методы и попробуем поискать, не зарыта ли и в каждом отдельном действии та первообразная пентада, которую мы имели в общей теории числа.

4. Итак, формулируем перво–прищип арифметических действий, их принцип и их реальную структуру.

а) Перво–принцип арифметических действий, насколько последние вытекают из синтеза натурального ряда со всевозможными типами числа вообще, есть, очевидно, разноскомбинированное числовое становление. Натуральный ряд чисел, или, что то же, арифметический счет, в своем наиобщем виде есть простейшее и примитивнейшее становление чисел вообще. Он содержит в себе некую единонаправленную, монотонную энергию становления. Со вступлением в синтез с разными типами числа он начинает нарушать эту единую направленность становления, начинает вырывать из этой стихии числового становления отдельные куски, отдельные отрезки и начинает по–разному их комбинировать. Это и превращает счет вообще в то или иное арифметическое действие. Следовательно, перво–принцип арифметических действий есть разнонаправленное, разнокомбинируемое числовое становление, или, попросту, так или иначе кодифицированный счет. Этот первопринцип 1) требует наличия разных отрезков общечислового становления, 2) полагает их вместе один за другим как некую единую последовательность и 3) постулирует то или [иное] взаимоотношение, в которое должны вступить взятые отрезки. Таковы функции перво–принципа.

Заметим, что если арифметическое действие есть синтез натурального ряда (счета) и числовых типов, то это значит, что здесь счет рассматривается для целей получения того или иного числа и число того или иного типа рассматривается с точки зрения происхождения его из операций счета. Но число того или иного типа в сравнении со счетом (который всегда есть процесс) является чем–то стабильным. Поэтому арифметическая операция, будучи процессом, должна быть ввиду своей синтетичности и чем–то стабильным. Она есть всегда и метод становления, и определенный результат различного методического комбинирования этого становления. Вот почему существует не только категория «плюс», но и «сумма», не только «минус», но и «вычитание» и пр. И вот почему перво–принцип арифметических действий обязательно требует сопоставления разных становлений и искания стабильных результатов этого сопоставления.

b) Каков же принцип арифметических действий? Принцип отличается от перво–принципа тем, что рисует реальный переход к каждому отдельному действию, в то время как перво–принцип говорит о всех действиях как о чем–то неделимом. Другими словами, принцип арифметического действия раскрывает содержание третьего момента первопринципа из только что указанных. В самом деле, в каком же реальном взаимоотношении находятся эти сопоставленные лицом к лицу отрезки общечислового становления?

Во–первых, мы не можем оставить [их] в том раздельном виде, в каком они нам предъявлены, и только говорить об их смысловом единстве. Будучи один в отношении другого инобытием, эти разные отрезки становления, однако, непосредственно примыкают друг в отношении к другу уже в силу перво–принципа. Перво–принцип вырвал из натурального ряда несколько разных чисел и приставил их друг к другу, предоставивши судить об их дальнейшем взаимоотношении уже более конкретным принципам. И вот первое и простейшее, что может появиться с точки зрения диалектики, – это оставить их в такой взаимосопоставленности и только пробовать объединять или разъединять их по их смыслу, т. е. по их количественному содержанию. Отбросим эти числа как факты, как некоторые акты полагания, потому что по актам полагания, по их фактической положенности мы примем их в их непосредственном взаимоследовании. Но зато мы будем судить о них в таком раздельном, но непосредственно–смежном положении—об их различии и об их тождестве. И что тогда получится, какой тогда возникнет результат? Это отождествление или различение двух раздельных, но непосредственно–смежных становлений есть сложение или вычитание.

Во–вторых, совсем необязательно оставаться при таком взаимопротивопоставлении разных отрезков общечислового становления, да притом еще с таким внешнесубстанциальным противостоянием, когда оба они во всех смыслах чужды один другому и определенно отрицают один другого. Можно поставить вопрос: нельзя ли их сблизить между собою, нельзя ли их различать и отождествлять так, чтобы эти различения и отождествления относились не просто к их смыслу без всякого внимания к их несовместимости по факту, но так, чтобы этим затрагивалось и их фактическое существование, чтобы не только смысл их бытия, но и бытие их смысла стало в той или другой мере единым?

Диалектика знает много разных видов такого взаимопроникновения бытия и инобытия. Самое элементарное—это то, когда бытие просто повторяет себя в инобытии. Несомненно, это гораздо большая близость между бытием и инобытием, чем в том случае, когда они противостоят одно другому как несводимые друг на друга факты. Тут в инобытии, оказывается, уже нет ничего такого, чего не было бы в бытии, потому что единственная функция инобытия в таком случае– это повторять бытие, воспроизводить бытие. Ясно, что тут одних категорий тождества и различия будет мало. Тут надо реально перейти из бытия в инобытие, чтобы воспроизвестись в этом последнем. Тут нужны, очевидно, категории движения и покоя. И если в первом случае бытие и инобытие оказывались одно в отношении другого внешними, то тут, когда одно воплотилось на другом, они связаны уже внутреннеинобытийными связями. В том результате, который получен после воспроизведения бытия в инобытии, последнее стало для бытия чем–то внутренним, вошло в его плоть и кровь. Отождествление между бытием и инобытием стало тут не внешнеинобытийным, но внутреннеинобытийным. И вот это взаимоотношение нескольких становлений, когда они переходят друг в друга в порядке подвижного покоя, есть умножение и деление.

В–третьих, необходимо мыслить и еще дальнейшее, уже окончательное взаимопроникновение двух сопоставленных отрезков становления. В самом деле, функции рассмотренного нами инобытия ограничивались у нас только простым воспроизведением бытия; одно становление воспроизводило другое. Но не есть ли это умаление против инобытия? Ведь ясно, что в данном случае инобытие выступает только как некая фактическая сила воспроизведения чего–то другого, внешнего в отношении себя самой; и оно совсем не выступает здесь как конкретная индивидуальность, как некое смысловое содержание. Другое дело было бы, если бы оно так отождествилось с бытием, что вложило бы в него и мощь своего факта, т. е. воспроизвело бы его со всем его содержанием, и мощь своего смысла, т. е. вложило бы в воспроизводимое им Содержание бытия И свое собственное содержание. Это возможно только в том случае, если бытие будет воспроизводиться не вообще, ни в каждом отдельном своем Моменте, когда его целое будет присутствовать в инобытии не просто как единый неделимый факт, но когда оно будет содержаться и в каждом отдельном моменте его инобытийного тела, полученного им как раз от инобытия при своем воспроизведении в нем. Тогда инобытие будет участвовать здесь не просто как голый факт, но и все его содержание воспроизведет на себе некую целостность, неразрывную с воспроизводимым целым как таковым. Другими словами, из механизма оно станет организмом и тем спасет себя не как факт, но и как смысл и не как механический смысл, но и как живую материю. Это взаимоотношение нескольких разных становлений, когда они переходят друг в друга в порядке субстанциального отождествления, есть возведение в степень или извлечение корня.

Таковы принципы арифметических действий.

с) Наконец, рассмотрим реальную структуру арифметических действий или, точнее, принцип структуры арифметических действий. Только что мы рассматривали принцип арифметических действий как некоторых категорий диалектики. Но арифметическое действие, как мы сказали в п. 3, не есть только категория. Оно есть еще и определенная живая структура, живой образ. Спрашивается: каков же принцип построения этой структуры и этого образа?

Поскольку сейчас нам уже не надо выводить самих принципов арифметических действий (они уже выведены) и не надо, следовательно, фиксировать спецификум каждого отдельного действия, мы можем (и должны) применить здесь только нашу общедиалектическую схему всякой структуры вообще, и прежде всего числовой структуры (§ 31). Другими словами, каждое действие будет для нас каким–то бытием, переходящим в свое инобытие и забывающим себя в алогическом становлении, после чего оно вдруг прекращает свое беспредельное становление, останавливается, превращается в ставшее, и мы начинаем видеть его смысловые струи, изливающиеся на новое, теперь уже на всякое инобытие, т. е. начинаем видеть его образ, его выраженную форму, его энергийно–эманативный образ. Никакого иного принципа для структуры арифметического действия мы не знаем в настоящем исследовании, поскольку он был проведен еще в самом начале, в сфере первоначальных установок самого понятия числа вообще. Нет оснований менять его и для отдела об арифметических действиях.

5. Относительно арифметических действий надо особенно бояться традиционной математической самоуверенности. Действительно, что может быть проще сложения и вычитания, умножения и деления? Но эта–то простота и соблазняет. Думают, что тут и понимать–то нечего. Между тем проблема арифметических действий, я бы сказал, – одна из довольно тонких проблем диалектики. И приходится очень долго и очень мучительно размышлять» на разные лады, чтобы добиться ясной диалектической систематики в этой проблеме. Можно даже утверждать, что на таких–то проблемах, которые не загромождены никаким математическим аппаратом, легче всего проверять достоинства и недостатки применяемой у нас методологии. В математически сложных вещах еще можно сомневаться, достаточна или нет эта методология. Но там, где математика не представляет трудностей, а самая конструкция оказывается центральной по своей значимости (а таковы именно и есть арифметические действия), там яснее всего ценность или применимость данной методологии.

Перейдем теперь к самому предмету.

§ 116. Сложение и вычитание [913]913
  На полях рукописи пометка рукою Лосева: 3 авг. 1932.


[Закрыть]

1. Сложение и вычитание характеризуются прежде всего равноправием моментов, из которых они состоят. В то время как, напр., в умножении существенной и основной темой является множимое, множитель же только повторяет множимое известное число раз и в результате появляется опять–таки прежнее же множимое, хотя и в несколько раз увеличенное, – в сложении и вычитании нет такого неравенства смыслового содержания чисел, и последние здесь существенно равноправны. Если сумма складывается, напр., из трех слагаемых, то все три слагаемые хотя и могут отличаться между собою чисто количественно, но это различие не идет дальше чистой количественности. Эти слагаемые как бы лежат на одной плоскости; и процесс сложения только в том и заключается, чтобы взять эти слагаемые вместе, взять в таком виде, как они даны, применивши к каждому из них совершенно одинаковый метод. В умножении множимое и множитель входят с совершенно различным смысловым содержанием; множитель обозначает совсем не то, что обозначает множимое, – помимо уже чисто количественного их различия. Точно так же и в вычитании операция над числами происходит как бы на одной и той же плоскости. Можно сколько угодно складывать и вычитать; и все прибавляемые и вычитаемые единицы будут совершенно равноправны по своему смысловому и оперативному содержанию. Другими словами, сложение и вычитание не переводят чисел в новое инобытие, новое—по сравнению с теми их элементами, которые уже даны с самого начала.

В сложении и вычитании дано только основное, внутричисловое (если иметь в виду сумму) инобытие, без которого не мог бы осуществиться и самый счет, а именно чисто количественное инобытие (хотя самые слагаемые одно в отношении другого внешнеинобытийны). Никакого другого инобытия не требуется для сложения и вычитания чисел. Поэтому если понимать число и счет, необходимый для числа, как тезис, то сложение и вычитание не переходят ни в какой антитезис; и вся картина разыгрывается в пределах счетного тезиса.

2. Что же происходит в пределах этого числового и счетного тезиса и что делается с этими равноправными числами, из которых составляется сумма или разность?

а) Ясно, что сложение и вычитание, равно как и все прочие действия, суть некоторые функции числового смысла, которые надо назвать силами, или энергиями. Сложение и вычитание есть прежде всего некий смысловой акт, активная направленность к определенному результату. В процессе складывания и вычитания мысль нечто активно полагает, активно разделяет и соединяет, суммирует. В этой активной напряженности сложение и вычитание ничем еще пока не отличаются от прочих действий, но с этого общего положения необходимо начать. Сложение и вычитание есть некая смысловая энергия. Точнее сказать, все арифметические действия суть не смысловая энергия, но смысловое становление, как это дедуцировано выше в проблеме натурального ряда. Однако становление в данном случае, как мы уже знаем, конструирует только самую категорию арифметических действий. Конкретное же выполненное действие, напр. решенная задача, есть уже такое становление, которое определенным образом стало и в этом своем ставшем виде определенным образом оформилось. Тут уже переход на ту ступень, которую в общей диалектике мы именуем смысловой энергией.

b) Какая же это смысловая энергия? Это не есть просто энергия счетной природы числа, ибо, сосчитывая единицы в числе, мы не нуждаемся в понятии плюса или минуса, равно как и суммы или разности. С другой стороны, смысловая энергия, рождающая счет, налична и во всех других действиях. Нельзя также сказать, что это есть энергия объединения или разъединения. В умножении, напр., безусловно содержится элемент объединения единиц, полученных в результате увеличения первоначально заданного множимого. Решительно во всякой числовой операции счет, а след., объединение и разъединение единиц содержится или в чистом виде, или в виде некоторой своей модификации. Какая же разница между простым пересчетом единиц, напр. в 10, и между складыванием 6+4=10?

c) Разница эта заключается в следующем. Когда мы просто считаем от 1 до 10, то, переходя от 6 к 7, мы совершенно не задаемся вопросом о том, можно ли присоединить к 6 еще одну единицу и перейти к 7. Необходимость и возможность этого перехода уже заранее обусловлена для нас самим понятием натурального ряда и понятием счета, который строится именно как постоянное и бесконечное увеличение любого числа на ту или иную единицу. Когда же мы складываем 6+4, то при переходе от 6 к 7 мы необходимо ставим вопрос: можно ли в данном случае переходить от 6 к 7 и далее? Если стоит плюс, то такой переход возможен; если же его нет, то мы еще не знаем, к какому числу надо переходить и надо ли вообще переходить. Итак, плюс есть смысловая энергия числа, впервые делающая возможным переход от одной единицы к следующей за ней, т. е. внешней по отношению к ней.

d) Но почему факт перехода делается возможным? Он делается возможным потому, что в сложении мы поставляем складываемые единицы на одной плоскости, приравниваем путь пересчета единиц внутри одного числа к пути пересчета единиц внутри другого числа, делая один путь продолжением другого пути, хотя они внешне–инобытийны один в отношении другого. Мы ничего не меняем в самих складываемых числах, ни в их количественном содержании, ни в какой бы то ни было другой их интерпретации. И все–таки нечто новое мы устанавливаем, когда решаемся в вышеуказанном примере от 6 перейти к 7, чтобы совершить операцию 6+4= 10. Если это новое не касается ни количественной стороны чисел, ни их общей интерпретации, то оно может касаться только места, взаимного положения этих чисел, а именно мы вдруг узнаём, что можно и нужно от 6 перейти к 7, от 7 к 8 и т. д. до 10. Но положение, или место, чего–нибудь не есть само это «чтонибудь». «Что–нибудь», или «нечто», находится «где–нибудь»; и чтобы находиться «где–нибудь», должно [быть] какое–нибудь иное, инобытие—в отношении того, что находится или помещается где–нибудь. Чтобы идти, должен быть путь, пространство, по которому можно было бы идти; и это пространство необходимо должно быть чем–то иным, а не самой вещью, движущейся по пространству, ибо иначе невозможно было бы и само движение. Стало быть, знак «плюс» указывает на отождествление инобытия, по которому движется одно слагаемое, с инобытием, по которому движется другое слагаемое.

e) Надо четко представлять характер функционирующего здесь инобытия. Инобытие налично как внутри самого числа, так и вне его. Есть ли то инобытие, которое необходимо сложению и вычитанию, внутри–числовое или вне–числовое? Когда мы складываем 6+4=10, то о каком инобытии идет речь, когда мы мыслим себе шестерку? Мы тут пересчитываем единицы внутри самой шестерки и не нуждаемся в том, чтобы всю шестерку помещать в какое–то новое инобытие. Новое [ино]бытие дается отдельно и притом внешне в отношении первого. Иначе будет в умножении, где множимое как раз берется в виде неделимого целого и повторяется в новом инобытии, которое есть нечто внешнее в отношении самого множимого. В сложении речь идет пока о внешнем сопряжении инобытия слагаемых. Сначала берется внутреннее инобытие шестерки, т. е. ее счетная составленность из шести разных единиц и необходимость перехода внутри нее от одной единицы к иной, а от этой иной еще к дальнейшей иной и т. д. вплоть до шести. Затем то же самое берется и относительно другого слагаемого—четверки. И наконец, – это и есть самое главное—одна инобытийность (та, которая внутри шестерки) приравнивается, в смысле именно внешней инобытийности, к другой (той, которая внутри четверки). Внешнее приравнение обоих инобытийностей и превращение их в единую инобытийную последовательность и есть сущность сложения и вычитания.