Текст книги "Личность и Абсолют"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 38 (всего у книги 54 страниц)

c) Достаточно ли этого? Если мы остановились бы только на этом, то у нас ничего и не было бы, кроме какого–то отношения двух целых чисел, деформированного той или иной арифметической операцией. Ни о какой трансцедентности не было бы ни слуху ни духу. В чем же дело? Для трансцедентности числа надо, чтобы само число вмещало в себя эту свою многомерную соотнесенность с инобытием. Значит, по меньшей мере эта соотнесенность должна быть прибавлена к самому числу. Мы должны рассматривать само число и в нем самом находить его соотнесенность с инобытием. Не может быть так, что число существует где–то само по себе, а его соотнесенность с инобытием где–то в другом месте, отдельно. Тогда получилось бы просто два разных числа, и притом алгебраических (если не прямо арифметических), и больше ничего. Следовательно, для трансцедентности необходимо сложить само число с его инобытийной соотнесенностью.

d) Но не получим ли мы и в этом случае опять–таки то же самое алгебраическое (или арифметическое) число? Несомненно получим, если остановимся только на этом. Сумма двух алгебраических чисел есть опять число алгебраическое. Что же мы должны сделать еще новое, чтобы приблизиться к этой неуловимой числовой трансцедентности? Обратим внимание на момент развернутости инобытия, о котором мы говорили. Философский (или, что то же, диалектический) смысл этого развертывания заключается не в чем ином, как в противополагании такому инобытию, которое дано как простой акт полагания. Что значит перейти в противоположность простого акта полагания? Это значит перейти в сплошно–неразличимый акт полагания, в алогическоестановление акта полагания. Следовательно, наше инобытие, с которым соотносится изучаемое число, должно быть не просто ординарным актом, создающим ту или [иную ] соотнесенность; и эта соотнесенность не должна быть чем [-то] устойчивым, как любое арифметическое отношение двух чисел, но она должна уплыть в становление, уйти в нерасчлененную даль все новых и новых становлений. А это значит, что и оба момента, из которых складывается эта соотнесенность, т. е. и первоначальное отношение данного числа к другому, и последующая модернизация этого отношения через приобщения к нему еще нового инобытия, оба эти момента должны уйти в бесконечность становления. Если этого не будет, наш принцип многомерной инобытийности останется только на стадии простого акта полагания, т. е. опять ничем не будет отличаться от принципа алгебраического числа. У нас будет введено новое инобытие в отношении старого, но это инобытие коснется только содержания старого инобытия; оно его единовременно и единообразно деформирует и тем самым только заменит одно арифметико–алгебраическое отношение другим, и больше ничего. А полнота диалектического противоположения требует, чтобы у нас выросла не только антитеза содержания первоначального отношения, но и антитеза самого его факта, антитеза самого принципа этого отношения. А тогда необходимо, чтобы и само первоначальное соотношение числа с его инобытием, и дальнейшая модернизация его на новое соотношение—оба ушли в стихию становления, и так как становление нерасчлененно и неопределенно, то и—в стихию неопределенного, беспредельного становления. Только тогда мы выполним задание, лежащее в основе диалектического отрицания инобытийности, характерной для алгебраического числа; и только тогда получим здесь действительно развернутое становление.

е) Указанное положение дела, однако, обязывает ко многому. Всякая ли бесконечность становления может иметься здесь в виду? Если мы будем без разбора, как попало, нагромождать одно становление за другим, то, во–первых, мы получим не что иное, как опять–таки арифметико–алгебраические числа, с тою только разницей, что их теперь будет бесконечное количество. А во–вторых, трансцедентного числа не получится еще и потому, что оно, как и всякое число, должно быть чем–то простым, а не распадаться на то или иное количество взаимно диспаратных операций. Эти операции могут им предполагаться, но тогда оно должно содержать имманентно своей структуре некий единообразный и простой закон этих операций. Напр., дробь предполагает не просто какое–то одно число, но это число усложнено привнесением определенной арифметической операции. Однако самая структура этой дроби содержит в себе вполне определенный закон этой операции. Трансцедентное число, предполагающее бесконечное количество тех или иных операций, должно самой своей структурой давать закон, по которому эти операции можно было бы развернуть. Совершенно не важно, что мы фактически не в состоянии произвести все эти операции. Имея закон развертывания этих операций, мы и не нуждаемся в производстве всех этих операций целиком. Мы можем остановиться где угодно; и если бы нам и было возможно произвести все эти бесконечные операции целиком, то мы из этого ровно ничего нового не получили бы. Такова важность обладания законом развертывания становления.

Этим законом развертывания становления для трансцедентного числа является понятие предела. Становление по сути своей, по характеру своего развертывания беспредельно. Но это не мешает ему иметь тот или иной предел, который характеризовал бы тот или иной метод данного становления. Беспредельность становления требует только, чтобы оно, если его рассматривать как таковое, нигде не останавливалось и чтобы тем самым не перестало быть самим собою и нё перешло в ставшее. Но это значит только то, что предел становления не может наличествовать в нем самом. Если этот предел наличествует вне самого процесса становления и, следовательно, предопределяет не его абсолютные границы (остановку становления), а только лишь характер и метод его развертывания, то такому пределу становление нисколько не противоречит и даже, наоборот, от него–то и получает определенность своей структуры.

Итак, трансцедентное число должно быть пределом всех своих многомерно–инобытийных становлений или даже пределом объединения некоего алгебраического числа со всем его многомерно–инобытийным становлением.

2. Необходимо отметить, что только после введения этого последнего момента мы имеем право говорить об энергийно–эманативной выраженности трансцедентного числа. Когда шла речь о потенциальности алгебраического числа, то все дело упрощалось тем, что не нужно было реально производить никаких действий над этим числом или, точнее (поскольку в реальном производстве этих действий не нуждается также и трансцедентное число), не нужно было фиксировать реальный характер этих действий, а достаточно было указать только их общую арифметико–алгебраическую природу. Это и привело нас к тому, что мы просто постулировали одномерно–инобытийную соотнесенность как потенцию. В случае же трансцедентного числа мы, хотя и по–прежнему не нуждаемся в реальном производстве всех операций, все же, поскольку они реально предполагаются, должны иметь о них конкретное представление. А так как это последнее по содержанию и есть само определяемое нами число, то мы вынуждены в самом этом числе или, вернее, самим этим числом фиксировать закон, или метод, развертывания всех относящихся сюда операций. Вместе с тем и благодаря этому трансцедентное число оказывается не просто потенцией, но уже реальной мощью, развернутой энергией всех своих инобытийных судеб и даже, больше того, развернутой энергией всех своих инобытийных соотношений в сфере осуществления этих судеб. Трансцедентное число не только ушло в инобытие, оно ушло в бесконечную даль инобытия; и оно не просто как–то унеслось к своему инобытию, но определенным образом соотносится с инобытием решительно в каждый отдельный момент своего инобытийного существования; и оно не просто соотносится там и здесь в отдельные бесконечные моменты, но сразу отпечатлело на себе раз навсегда, однажды на всю вечность, все эти свои соотнесенности в сфере бесконечных скитаний, всю стихию непрерывно менявшейся самоориентации в беспредельных глубинах инобытийного становления. Оно есть мгновенно данное предображение всех своих вершинных судеб в темной области инобытия, и оно—тот вечный предел, который объемлет в себе, и притом в одной точке, всю бездну возможных числовых самоотрицаний.

Это–то и называется энергией сущности, когда вся развернутая мощь этой последней не переходит реально и субстанциально в инобытие и не рассыпается, не умирает в нем, но пребывает вся собранной в одном нерасторгнутом мгновении, в одной неделимой точке, в одном никогда не достижимом для инобытия пределе, в одном бесконечно напряженном заряде, который ежемгновенно готов излиться в инобытие и заполнить его целиком, но не изливается, а пребывает в себе в своем абсолютном покое, в своей смысловой перегруженности. Это же свойство сущности можно назвать и ее эманацией, понимая под последней переход сущности в алогическое инобытие, но в такое инобытие, которое, будучи готово оплодотворить каждый момент инобытия, однако, пребывает в своей идеально–телесной собранности и в себе покоящейся вечности.

Таково трансцедентное число.

3. Легче проследить сущность трансцедентного числа на его эманативных функциях, взятых реально. Допустим, что эманация трансцедентного не остается в своей самозамкнутости, но реально изливается в инобытие, и спросим, что мы в этом случае должны назвать трансцедентным. Тут три вопроса: 1) что такое инобытие как результат эманации, 2) что такое трансцедентное как излившее эманацию и 3) каково отношение между тем и другим?

a) Что такое инобытие как результат эманации! Если бы трансцедентное никак не эманировало бы, то инобытие было бы чистым нулем. В самом деле, трансцедентное число вместило в себя все возможное инобытие; следовательно, на долю инобытия не осталось ничего, остался нуль. Но мы берем теперь трансцедентное в его реальной излиянности на инобытие. Что же именно тут изливается? Изливается само оно, трансцедентное. Но ведь оно—предел бесконечности. Значит, изливается сама бесконечность. А это значит, что инобытие из нуля становится бесконечностью. Если эту инобытийную бесконечность взять как таковую, непосредственно, забывая о ее связи с первоисточником, откуда она произошла, то она предстанет перед нами вполне самостоятельно, т. е. прежде всего как положительная бесконечность. Однако это было бы абстрактной точкой зрения на инобытийную бесконечность; это значило бы судить по поверхности, не заглядывая в глубину вещи. Итак, инобытийная бесконечность не есть бесконечность просто, но именно инобытийная бесконечность, т. е. бесконечность, инобытийная к той, первообразной, бесконечности, откуда она произошла. Это значит, что она, как мяо–бытийная, есть отрицательная бесконечность.

b) Второй вопрос: что же такое трансцедентное число после того, как оно излило из себя бесконечность, ставшую инобытийной, отрицательной бесконечностью? Об этом можно было бы говорить путем ясного раскрытия того хэодержания, которое осталось в трансцедентном после эманирования бесконечности в инобытие. Но мы сейчас стоим на другой позиции. Мы забываем наше полное определение трансцедентного числа и хотим найти это число из обследования эманативных результатов трансцедентного. Мы не знаем, что такое это трансцедентное число, и назовем его каким–нибудь χ или ω. И мы только формально спрашиваем: что делается с этой ω, если мы заставим ее реально излить из себя бесконечность в инобытие? Очевидно, в трансцедентном нечто останется, так как излившееся есть только бесконечность, а трансцедентное есть вовсе не просто бесконечность. Это такая бесконечность, которая вместила в себя все свое инобытие, и притом многомерное инобытие, охвативши и себя и его в некоем целостном, покоящемся пределе. Но, повторяю, не станем пока входить в категориальную структуру того, что в трансцедентном «осталось». Мы просто исключим из некоей гипотетической ω отношение некоего числа к бесконечности. Ведь трансцедентное, сказали мы, эманировало из себя бесконечность. Следовательно, включая в себя свою многоразличную соотнесенность с инобытием (и притом с бесконечным инобытием), оно после эманирования бесконечности должно исключить из себя отношение к этой бесконечности. Раз бесконечность оттуда излилась в инобытие, следовательно, исчезло там и это простое взаимоотношение с бесконечностью. Это и все. Но тут и возникает самый главный вопрос.

с) Каково же отношение между трансцедентным, излившим из себя бесконечность в инобытие, и самим этим инобытием, ставшим бесконечностью, и, показано выше, отрицательной бесконечностью? Тут волей–неволей придется коснуться и категориального раскрытия того, что осталось в трансцедентном после исключения из него соотнесенности с бесконечным. Спросим себя: сделалось ли оно от этого менее бесконечным, т. е. может ли оно стать от этого конечным? Разумеется, нет, потому что трансцедентное есть такая бесконечность, которая охватывает все свои многомерно–инобытийные судьбы в пределе. Это значит, что оно может порождать из себя целую бесконечность разных инобытий–бесконечностей и все же от этого не изнурится. Но тогда что же это такое – «оставшееся» в трансцедентном после эманирования из него бесконечности? Раз мы исключили отсюда соотнесенность с инобытийной бесконечностью, то, очевидно, в нем останется та же самая мощь бесконечных эманаций, но только, ввиду произведенного исключения, мы не будем эту мощь относить к какому–нибудь инобытию, а будем брать ее как таковую, в чистом виде. После произведенного исключения в трансцедентном останется только самая способность вечного порождения, останется бесконечная мощь бесконечных эманаций, бесконечная мощь бесконечных самовоплощений, или бесконечного роста, или иначе—бесконечная степень бесконечности.

Определивши так «остаток», спросим себя опять: в каком же отношении находятся между собою этот «остаток» и отрицательно–инобытийная бесконечность? Что нужно сделать с этой отрицательной бесконечностью, чтобы превратить ее в тот «остаток», который образовался в трансцедентном? И что нужно сделать с этим «остатком», чтобы превратить его в отрицательную бесконечность? Очевидно, и в том и в другом случае надо опять проделать бесконечный процесс, в первом случае, чтобы дорасти до трансцедентного «остатка», во втором случае, чтобы умалиться до отрицательной бесконечности. Если есть действительно трансцедентное число, то, даже исключивши из него его соотнесенность с бесконечностью, мы все же получаем из него нечто такое, до чего отрицательное инобытие должно дорастать еще целую бесконечность времени. Во всяком трансцедентном всегда содержится так или иначе бесконечность в бесконечной степени, ибо мы ведь так и определяем трансцедентное: оно содержит в себе 1) инобытие, 2) инобытие инобытия и 3) то и другое как бесконечности в пределе. Значит, это всегда есть бесконечность, бесконечное число раз повторившая себя в себе. Поэтому, извлекая из нее простую «одномерную» бесконечность, мы всегда найдем, что эту простую бесконечность надо еще возвысить в бесконечную степень, чтобы она сравнялась с трансцедентным числом.

4. Следовательно, результат наших поисков трансцедентного числа таков. .Если по исключении из некоего числа ω соотнесенности с бесконечным оно все же в бесконечной степени превосходит отрицательную бесконечность, то число ω—трансцедентное число.

Теперь обратимся к тому, что дает математика.

§ 111. Трансцедентное число (математическая конструкция).

1. История математического исследования трансцедентных чисел весьма несложная. Хотя с трансцедентными числами и математики оперировали издавна, но до 40–х годов прошлого века сущность этого типа числа совсем не изучалась. Только в 1844 г. французский математик Liouville впервые установил достаточный (хотя все еще не необходимый) признак трансцедентности числа. Он же доказал, что число е, основание натуральных логарифмов, не может быть корнем никакого квадратного или биквадратного уравнения с целыми коэффициентами  [882]882
  Journal des Mathematiques purget appliques. Т. XV и XVI (1–я сер.).


[Закрыть]. Эрмит в 1873 г. доказал трансцедентность е на основании т. н. эрмитовского интегрального тождества  [883]883
  Contel Rendus, 1873, vol. 77, стр. 18—24, 74—79,226—233, 285—293, а также в Собр. соч. 1912. Т. ΠΙ, 150 слл.


[Закрыть], применяя свой громоздкий аппарат (впоследствии упрощенный [884]884
  Шльберрем. – Mathem. Annal. 1893. Т. 43.


[Закрыть]). Только в 1882 г. Линдеман  [885]885
  Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1882, 679 и Mathem. Annal. 1882. 20, 213.


[Закрыть]доказал трансцедентность π, а в 1885г. Вейерштрасс [886]886
  Sitz. d. Berl. Akad. 1885.


[Закрыть].значительно упростил это доказательство, сделавши к тому же вывод о трансцедентности тригонометрических функций (Sinω, если со–алгебраическое число). [887]887
  Хорошее изложение разных доказательств—у К. А. Поссе. О трансцедентности чисел е и π. Известая Технологического Института. 1894.


[Закрыть]Кроме того, в 70–х годах Г. Кантор дал замечательно простое доказательство существования трансцедентных чисел вообще [888]888
  Crelles Journ. Т. 77. 1873.


[Закрыть]. Он установил два тезиса: 1) множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, и 2) множество всех алгебраических чисел есть счетное множество. Отсюда сам собой получается вывод, что алгебраические числа не заполняют собою всего континуума вещественных чисел и что должны существовать еще и не алгебраические, хотя все–таки действительные числа. Эти вещественные, но не алгебраические числа и есть трансцедентные числа, причем [их] бесконечно больше, чем алгебраических. К этому учению можно было бы, конечно, добавить, что все трансцедентные числа тоже еще не составляют континуума, а образуют опять только счетное множество (что легко выводится из счетности коэффициентов дифференциального уравнения для каждого данного л–го положения трансцедентного числа, разлагаемого в алгебраический ряд). Поэтому должны существовать еще какие–то особые числа для заполнения всего вещественного континуума. Эти числа назвали гипертрансцедентными, но, кажется, до последнего дня [о них] ничего не сказано ясного.

Кроме указанных авторов заслуживают упоминания в интересующей нас проблеме только три автора, все уже XX века. Это Э. Борель  [889]889
  Comptes rendus. 1899. Т. 78. Ср. уточнения у Popken. Mathem. Zeitschr. 1929, Т. 29.


[Закрыть], Д. Д. Мордухай–Болтовский  [890]890
  К теории трансцедентных чисел. Протоколы О–ва Естествозн. при Варш. Универс. 1913, и О некоторых свойствах транец, чисел первого класса. – Матем. сб. 1927. Т. 34, 55—100, где автор дает очень интересные построения (напр., определение транец, чисел при помощи корней ряда уравнений с целыми коэффициентами в условиях роста степеней и высот).


[Закрыть]и А. Ф. Гельфонд  [891]891
  Давший целый ряд знаменитых построений, напр., доказавший теоремы Эрмита и Линдемана и решивший Гильбертову проблему трансцендентности еп и др. при помощи теорий конечных разностей и комплексного переменного (Очерк истории и современного состояния теории транец, чисел. – -Естествозн. и марксизм. 1930, 1/5, 33—55). Он же нашел и необходимый признак тр[ансцедентного] числа. – О необходимом и достаточном признаке трансцедентного числа. МГУ. Учен, записки. 1933.1, 6—8.


[Закрыть].

Несмотря на то что вся эта литература не очень обширна, дать логический анализ всех этих учений можно только в большом специальном исследовании. Мы извлечем отсюда только наиболее принципиальные установки, чтобы вышеизложенная философия трансцедентного числа не повисла, в математическом смысле, в воздухе. А именно, 1) мы рассмотрим признак Лиувилля для трансцедентности числа. Затем 2) мы дадим характеристику главнейших представителей этого числа, т. е. Неперова числа е и числа π. При этом 3) придется коснуться и некоторых трансцедентных функций (к которым относятся прежде всего показательная, логарифмическая и тригонометрические), хотя специальному обследованию они должны быть подвергнуты, конечно, не в арифметике. Наконец, 4) огромный логический интерес представляет проблема взаимоотношения общетрансцедентальных, алгебраических (в частности, комплексных) и тригонометрических функций и чисел.

2. а) Итак, остановимся прежде всего на достаточном признаке трансцедентности числа по Лиувиллю. В указанных работах этот математик исходит для разыскания такого признака из абсолютной величины отклонения трансцедентного числа от рациональной дроби,

которая его приближенно выражает. Если алгебраическое число χ определяется неприводимым уравнением w–й степени, то для достаточно большого q мы имеем

x – ≥

где А > 0 и не зависит от q. Это условие, очевидно, неоОходимо для того, чтобы число χ было алгебраическим. Оно, конечно, не есть еще достаточное условие. Но тогда отсюда можно получить условие для трансцедентности числа, которое будет, наоборот, достаточным, но не необходимым. Если, какое бы ни было η, мы имеем, при достаточно большом q, что

x – <

то χ уже не сможет быть алгебраическим числом. Оно будет трансцедентным. На основании этого неравенства можно так формулировать достаточный признак трансцедентности числа ω:

Я утверждаю, что эта формула есть не что иное, как точный математический дублет к развитому выше учению о трансцедентном и об его эманациях в инобытие (§ 110, п. 2—3).

b) В самом деле, что мы тут имеем? Мы тут имеем 1) отношение двух целых чисел т. е. некое p взято в своем соотношении со своим инобытием q. 2) Это q тут не остается стабильным; оно меняется, получая последовательный ряд все новых и новых значений, т. е., другими словами, раз взятое инобытие переходит в свое собственное инобытие и изучаемое отношение становится развернуто–инобытийным. 3) Далее, это соотношение должно быть прибавлено к тому числу, которое претерпевает все эти соотношения. Так оно и будет, когда мы развернем трансцедентное число в ряд. Но тут нас интересует позиция, обрисованная в предыдущем параграфе, п. [892]892
  Здесь и далее «п.» значит «пункт».


[Закрыть]3, т. е. мы только ищем эту трансцедентную ω, уже содержащую в себе данное соотношение. И поэтому, согласно указанной позиции, мы вычитаем это соотношение из ω и получаем ω –

4) Однако, чтобы определить ω согласно этой позиции, мы должны посмотреть, каково отношение этого трансцедентного «остатка» к инобытию, которое из него эманировало. Поскольку ρ мы соотносили с q и поскольку q у нас менялось, мы теперь должны сказать, что если из ω эманировала действительно бесконечность, то q должно у нас получить в конце концов значение бесконечности; q должно стремиться к бесконечности. Только тогда будет на самом деле изображать собою соотнесенность с бесконечностью.

5) При этом мы должны оба числа изучаемого соотношения, т. е. и трансцедентный «остаток», и инобытийную бесконечность, представить не иначе как в атмосфере эманации. «Остаток» должен трактоваться как результат эманации, и инобытийная бесконечность должна трактоваться как результат эманации. Позже, в анализе Неперова числа е, мы увидим, что е, основание натуральных логарифмов, является самым основным и примитивным трансцедентным числом, так как оно говорит о соотнесенности с инобытием не чего другого, как самой обыкновенной единицы, так что, если угодно, е может считаться своего рода трансцедентной единицей, или первообразом трансцедентности вообще. Поэтому, если мы покажем, как данное число, конечное или бесконечное, появилось из е, то этим самым мы обрисуем данное число именно как результат эманации трансцедентного. Но всякое данное число может быть получено из е путем возведения его в ту или иную степень, т. е. свидетелем происхождения данного числа из трансцедентной эманации может явиться только его натуральный логарифм.

Но проводимая здесь позиция для разыскания трансцедентного числа 6) должна привести к тому, что между этими двумя бесконечностями, трансцедентным «остатком» и инобытийной бесконечностью, в свою очередь должна залегать бесконечность, так что, только подвергаясь бесконечному умалению или росту, эти две бесконечности могут встретиться. А 7) если, кроме того, инобытийная бесконечность есть отрицательная, то отношение между натуральными логарифмами трансцедентного «остатка» и самой инобытийной бесконечности, отношение, взятое в пределе (поскольку инобытие только еще растет в бесконечность), это отношение и есть не что иное, как отрицательная бесконечность.

Все это с математической точностью зафиксировано в указанном выше достаточном признаке трансцедентности по Лиувиллю.

3. Этот признак Лиувилля переработан Гельфондом (в указанной статье соответствующего заголовка) в необходимый и достаточный признак путем рассмотрения вместо нижней границы двучленов первой степени относительно данного числа нижней границы многочленов любой степени от него. Это, однако, не вносит ничего принципиально нового в наш анализ, хотя и действительно уточняет математическую теорию. Гельфонд оперирует здесь с т. н. высотой многочлена, которая, во–первых, растет вместе с номером соответствующего коэффициента, а во–вторых, берется в соответствующей степени, при стремлении того и другого в бесконечность. Следовательно, многомерность бесконечно становящегося инобытия соблюдена и здесь; прочее же все в философском отношении не существенно, так как различие между биномом и полиномом в философском отношении не может явиться принципом для новой теории.

4. Признак Лиувилля дает возможность без особого труда построить новые трансцедентные числа (путем разложения) и проверять трансцедентность уже известных. Так, если мы имеем 1 и потом будем брать последовательно отношения этой 1 к некоей растущей функции, возведенной в степень, показатель которой будет тоже некоей растущей функцией, то, беря предельные отношения, мы получим из суммы всех этих отношений не что иное, как трансцедентное число. Напр., число ω, при 1>0, будет трансцедентным числом, если мы его определим при помощи ряда:

^{ω = 1 + + +…+ + +…}

Тут мы имеем данное число, I, и его отношение к его инобытию, т. е. к иному числу, . Далее это отношение вступает в двойное становление. Одно становление—это последовательное повышение степени: , , … Другое становление—это последовательное накопление предыдущих степеней:  , , и т. д. Оба бесконечных становления даны в пределе.

§ 111а. Трансцедентное число (е, отношение синуса к дуге и π)«

1. а) Но отчетливее всего, проще всего, а самое главное, значитель· нее всего для всей математики строится знаменитая трансцедентность е, т. н. Неперово число, или основание натуральных логарифмов. Это, если угодно, совершенная идея и всякого предела. История философии дала бы нам немало аналогий, если бы мы стали прослеживать эту идею исторически. Тут прежде всего вспоминаются, конечно, софиологические учения античной философии. Учение об Уме в неоплатонизме, имманентно саморазвивающемся в Мировой Душе, есть учение об энергийно преисполненном Смысле, эманирующем свои смысловые потенции и объединяющем идеальную неподвижность Ума с реальной живой подвижностью сферы Души. Эта потенция, перешедшая в энергию, все еще вполне идеальна, но она как бы вобрала в себя все свои возможные судьбы в инобытии. Она не перешла реально в инобытие, но она идеально предвосхитила все свое возможное инобытие. Учение об идеале у немецких философов начала XIX в. относится сюда же. Это предел всех возможных взаимоотношений данной смысловой структур ры с окружающим ее инобытием. Тут в идее дана полная тождественность смысловой структуры с инобытием, так что эта структура перестает быть отвлеченным и пустым принципом и голой потенцией, но превращается в универсальную энергию, смысловым образом несущую на себе всю бытийственную тяжесть данной структуры. Прибегая к обычному диалектическому схематизму, нужно сказать так. Потенция—отвлеченный принцип. Он переходит в свое инобытие и воплощается в своем инобытии. Это заставляет его превратиться из голого принципа в некую телесную оформлснность. Переходя в инобытие, этот принцип там находит себя, т. с. осуществляется и воплощается в этом инобытии целиком и полностью. В результате—синтез потенции (или принципа) и ее потенциального же инобытия в энергии, причем все эти три момента действуют все еще в сфере чисто числовой.

b) Этот особого рода предел—не случаен и не выбран по капризу. Он—основная структура наполненного и конкретно явленного предела. Этот основной характер так сконструированного предела еще более делается важным и даже исходным для всякого учения о пределе вообще, если мы за числовую структуру, получающую энергийную перестройку, примем единицу. Такая единица, взятая сначала как потенциальная структура, а потом тут же перестроенная в энергийную структуру, является, можно сказать, прообразом всякого предела, переделывающим на свой манер всякую другую структуру, с которой он вступает в связь (как это мы увидим ниже, напр. в теории рядов).

2. а) Итак, мы берем сначала единицу как таковую, безотносительно к ее росту и безотносительно к ее энергийной обработке. Затем, поскольку мы задались целью взять также и отношение этой единицы ко всякому возможному инобытию, мы должны рассмотреть и это инобытие. Что такое инобытие? Всякое инобытие есть прежде всего становление. Кроме того, само по себе взятое, оно есть беспредельное становление, т. е. становящаяся бесконечность. Нужно взять отношение единицы к этой становящейся бесконечности, т. е. взять с условием, что η стремится к бесконечности. Итак, прибавивши к основной единице ее отношение ко всякому возможному инобытию, мы получаем 1 + .

Тут перед нами субстанция, утвержденность, положенность вместе со всеми возможными взаимоотношениями с окружающим ее безбрежным инобытием.

Но что это такое? Есть ли это то понимание законченного предела, о котором мы говорили выше? Нет, здесь мы получили только отношение единицы к инобытию и механическое присоединение его к самой единице. Тем не менее нами замыслена такая категория, чтобы единица не только содержала в себе свое отношение к инобытию, но чтобы она вместе с нарастанием этого отношения не оставалась одной и той же, замерзшей и оцепеневшей субстанцией, но чтобы она вновь и вновь воплощалась, пусть хотя бы в идеальном воплощении—по мере роста этого взаимоотношения с инобытием. Дуализм «вещи в себе» и «явления» будет преодолен не тогда, когда «вещь в себе» останется самой по себе, не затронутой никаким «явлением», а «явление» только внешне к нему присоединится. Дуализм исчезнет только тогда и «вещь в себе» только тогда действительно начнет излучать из себя живые бытийственные энергии, когда она, эта «вещь в себе», будет вовлечена в процесс реального становления, когда она вместе с нарастанием своего взаимоотношения с инобытием (поскольку инобытие есть становление) нарастает идеально и сама, переходя в подлинно бытийственный процесс соответствующего возрастания. В каждый новый момент нарастания своего взаимоотношения с инобытием единица воплощается и повторяется заново вместе с тем приростом, который был до сих пор.

Только при этом условии неявленная сущность и становится энергией и субстанция—эманацией. Математически это значит, что предыдущий двучлен бесконечно повторяет сам себя η раз, т. е. он должен быть возведен в п–ю степень, при условии, что это η по–прежнему продолжает увеличиваться до бесконечности. Это есть знаменитый предел, обозначенный в математике как е—основание натуральных логарифмов.

b) Короче говоря, в этой формуле—два положенных друг на друга становления: становление бесконечным того числа, с которым единица соотносится (весь натуральный ряд чисел), и становление бесконечной той степени, в которую эта единица вместе со своим инобытийным соотнесением возводится (тут опять натуральный ряд чисел). Стало быть, уже из одного этого видно, что е есть многомерная, т. е. выразительная, эманативная бесконечность, а это и есть признак трансцедентного числа.

3. Тут перед нами прекрасный образец того, каким методом пользуется математика для превращения философского построения в математическое. Этот метод—чисто числовой; и, как таковой, он оставляет без внимания все понятийное содержание философского построения и превращает его в числовую и количественную схему. Однако даже если оставить понятийное содержание без рассмотрения, оно все же вполне определенным образом отражается на числовой схеме и дает ее специфическую формальную структуру и фигурность. И вот эту–то специфическую фигурность числовой схемы, фигурность, выраженную численно, но имеющую не численное, а понятийное происхождение, философ и должен уметь анализировать, если он хочет философски понять математические основы бытия. Число являющееся основным в теории пределов, в своем философско–диалектическом раскрытии дает идеальную выявленность и сконструированность чисто идеальной потенции алогически становящейся единичности. Единица не берется в своем уединенном и тупом существовании, но—как выросшая до той степени, когда она вбирает в себя все свои возможные инобытийные судьбы и дает идеально–софийную воплощенность и субстанциальноэнергийную, эманативную само–преисполненность. Это тот предел, который является первопринципом единицы со всей ее жизнью и судьбой, как бы возросшей, разбухшей, расцветшей единицей, органически ставшей и созревшей, как живое тело, единицей. Это идеальный и энергийный прообраз всякого предела, ибо это предел идеально ставшей единицы.