Текст книги "Личность и Абсолют"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 39 (всего у книги 54 страниц)

4. а) Весьма интересно разложение этого е в реальный ряд—с точки зрения предложенной нами диалектики трансцедентности. Возьмем это Неперово число не в виде разложения по биному Ньютона, а в следующем виде, тождественном, как известно, с разложением по правилу бинома Ньютона:

1 + + +

Попробуем дать диалектическую формулу этого ряда.

Прежде всего мы имеет здесь 1) саму единицу. Далее, мы имеем здесь: 2)  отношение единицы к самой себе, т. е. самосоотношение единицы, во втором члене. Это же является, конечно, и отношением <…> [893]893
  Одно слово разобрать не удалось.


[Закрыть]единицы к единице вообще, к инобытию. В последующем каждый член становится по мере удаления от начала ряда все меньше и меньше. Следовательно, здесь налицо дробление этого самосоотношения, т. е. становление этого самосоотношения, и, следовательно, выявление всякого возможного его содержания. Это дробление и это выявление всех мельчайших внутренних возможностей самосоотношения дано здесь в бесконечном процессе, в алогически становящемся бесконечном процессе [894]894
  Далее в рукописи отсылка к вставке № 6—не обнаружена.


[Закрыть]. Итак, здесь– 3)  алогически становящаяся живая бесконечность единичного самосоотношения (или отношение единицы со всеми прочими единицами).

Но это еще не все. Всматриваясь в строение членов ряда, начиная с третьего, мы замечаем, что тут первоначальное отношение дробится не в том смысле, что оно равномерно становится все меньше и меньше, как, напр., было бы, если бы ряд имел форму 1 + + + + и т. д. В этом случае закон уменьшения оставался бы везде совершенно одинаковым, требуя повсюду, чтобы каждый последующий член был вдвое меньше предыдущего. В нашем ряде мы имеем совсем другое. Здесь основное самосоотношение ( ) сначала взято как половина ( ), потом—не как половина же этой половины, но уже как ее треть ( ), потом опять—не как половина этой трети и даже не как ее треть, но уже как ее четверть ( ) и т. д. и т. д. Следовательно здесь у нас не только уменьшение членов ряда в силу единообразного закона дробления, но здесь еще определенная эволюция самого этого закона, который уже не однообразен при всех переходах, но совершенно разного рода. Именно, он тоже становится в смысле уменьшения. Не только тут уменьшение как таковое, но еще и прогрессирующее уменьшение, прогрессирующее увеличение скорости этого уменьшения. Здесь не просто алогически становящаяся бесконечность единичного самосоотношения, но и—4) становление самого этого становления, инобытие этого становления. Наконец, нетрудно заметить, что в нашем ряде дан и 5) определенный закон инобытия этого становления. А именно, основное самосоотношение уменьшается при помощи дробления на последовательно нарастающие числа натурального ряда, продолженного в бесконечность.

b) Этот анализ основных моментов предела е, выраженного при помощи ряда, сразу становится анализом диалектическим, если мы примем во внимание следующее. Третий момент из тех, которые мы только что указали, говорит об алогическом становлении или, вернее, о законе алогического становления живой самостановящейся единичности. По сравнению с этим третьим моментом четвертый—конструирующий инобытие для этого закона, или, как сказано выше, становление самого становления. Следовательно, третий и четвертый моменты связаны между собою как тезис и антитезис; они—диалектическая противоположность. Стало быть, если предел, вообще говоря, есть принцип и закон алогического становления, то число е дает не только такой принцип, но и переход его в инобытие, воплощение его на некоем материале вместо его отъединенного и неподвижного состояния.

Теперь, о чем говорит пятый момент? Пятый момент определяет форму бытия основного принципа (или потенции) в окружающем его инобытии. Тут не просто переход в становление, но и определенное закрепление в этом становлении. Какое же? Мы видим, что закрепление происходит здесь путем внедрения принципа натурального ряда чисел, продолженного в бесконечность. Сравнивая этот принцип с первоначальным принципом, мы не можем не заметить между ними существенного тождества. Когда говорилось об отношении, то η мыслилось именно по принципу нарастания ряда чисел, уходящего в бесконечность. Стало быть, когда тот же принцип мы нашли и в отношении оформления первоначального принципа в его инобытии, то это значит, что первоначальный принцип в инобытии нашел самого себя. Предел, мыслимый нами сначала как принцип и потенция, не только перешел в свое инобытие, но и закрепился в этом инобытии, и не только закрепился, но закрепился как таковой, целиком, весь, со всем своим существенным содержанием, перевоплотился весь и нацело—так, что в нем уже ничего не осталось невоплощенным. Это значит, что тут перед нами не только диалектическая антитеза, но и диалектический синтез. Пятый момент есть синтез третьего и четвертого моментов. Первоначальный принцип основан на применении бесконечного натурального ряда чисел. И его инобытие основано на том же. Следовательно, первоначальный принцип вошел здесь в подлинный синтез со своим инобытием и осуществился как синтетическое тождество принципа в смысле бытия и принципа в смысле инобытия.

Можно сказать и так, что в бесконечном нарастании инобытия (с которым соотносится единица) в виде 1,1*2, 1 * 2 * 3, 1 * 2 * 3 * 4 и т. д. мы имеем многомерное инобытие, потому что здесь одна бесконечность становления (увеличение количества множителей) перекрыта другой бесконечностью становления (накоплением всех множителей, которые до данного момента появились), причем оба становления (как и полагается всякому становлению) развиваются последовательно, оба они бесконечны, и оба берутся в своем пределе. Таким образом, здесь непременно нарастает возвышение бесконечности в бесконечную же степень.

c) Остается еще второй момент из произведенного анализа числа е, и мы получаем настоящую диалектическую формулу этого предела.

Второй момент говорит о наличии единичного самосоотношения. Оставить, однако, этот второй момент без объединения со всеми прочими значило бы разорвать весь этот анализ на две совершенно несоизмеримые между собою части. Нужно объединить самосоотношение с только что полученной триадой, и это будет объединением его с его же собственной судьбой, т. е. мы получим подлинно живую жизнь этого единичного самосоотношения. Для этого обратим внимание на то, что полученный синтез принципа с его инобытием, как и всякий диалектический синтез, есть некое своеобразное становление. Принцип и потенция, лежащие в глубине предела, находятся в процессе становления. Но этим первопринципом является у нас единичное самосоотношение.

Значит, соотношение единицы с самой собой дано здесь как становящееся соотношение. Однако будем внимательны к тому, что речь идет именно о самосоотношении, об отношении единицы к самой же себе. Это значит, что мы все время имеем дело не с субстанциальным переходом единицы в реальное инобытие, но субстанция единицы остается здесь совершенно нетронутой и неподвижной, и вся смысловая игра совершится в недрах этой субстанциально устойчивой единицы. Речь идет только о соотношении, т. е. весь смысловой процесс, констатируемый нами, есть именно смысловой, а не субстанциальный, – идеальный, а не реальный процесс. Следовательно, если этот процесс мы определили как особое своеобразное становление, то тут перед нами идеальное становление, смысловое становление, становление без убыли бытия, без растекания и самопотери в буднях инобытия. Такое сущностное становление мы именуем в диалектике энергией. А потому и весь предел е оказывается особой смысловой энергией единицы.

Присоединивши сюда, наконец, еще и первый момент, т. е. саму единицу, мы получаем такую конструкцию единицы, когда она оказывается вовлеченной в процесс бесконечного становления и, следовательно, впитывающей в себя все свои инобытийные судьбы, предвосхищающей свою жизнь в окружающем ее безбрежном море инобытия, идеально отобразившей или, вернее, предобразившей всю свою реальную жизнь и судьбу. Вовлечение в процесс становления тут вполне идеально, оно свершается в сфере чистого смысла, а не приводит единицу к самораспаду и субстанциальному уменьшению. Число е есть единица с идеальным предображением всех своих реальных и жизненных судеб. [895]895
  Далее в рукописи отсылка к вставке № 7—не обнаружена.


[Закрыть]

5. а) Жизненную конкретизацию этого числа е мы находим, как известно, в принципе роста населения и нарастания сложных процентов. Тут, в этом приросте не на первоначальную единицу, а на наросшую, жизненно воплощается вся развитая нами диалектика числа е, со всеми присущими ему отдельными диалектическими моментами.

b) Из этого исследования видно, как слепы сами по себе числа в своем голом вычислительном и арифметическом употреблении. Выражение числа е при помощи величины 2,718281828459045… ровно ничего само по себе не говорит. И нужно произвести большую логическую работу, чтобы передать тайный смысл этой иррациональности и уловить в беглых контурах бесконечного ряда слепых чисел великую идею, вызвавшую к бытию этот ряд и его специфическую структуру.

6. Между прочим, большая идея содержится в факте построения т. н. натуральных логарифмов, имеющих, как известно, в качестве основания число е. Этот удивительный факт большею частью оставляется математиками без всяких объяснений. Очень часто бывает так, что могучая математическая интуиция заставляет рассуждать именно таким, а не иным образом, но что в то же время сознательно и разумно сами математики бессильны сказать в оправдание этой интуиции чтонибудь основательное. Так случилось и с вопросом о том, почему основанием для логарифмов взяли именно число е и почему эти логарифмы «натуральные».

Что тут особенно «натурального»? Правда, этот вопрос мы не можем в настоящем месте нашего исследования разрешить полностью, поскольку нами еще не дан анализ той математической операции, которая именуется возведением в степень. Забегая вперед, мы, однако, можем сказать очень многое, и это было бы весьма важно для уяснения природы Неперова числа. Почему всякое число есть (1+ ) ⁿпри том значении n? Почему возводя (1+ ) в n–ую степень мы можем получить любое конечное число? И что это значит?

Как мы увидим в своем месте, возвышение в степень есть математическое выражение органического роста вообще, поскольку эта операция заставляет данное число умножаться на самого себя, т. е. каждую свою единицу построять как целое, делать каждый элемент таким же целым, как и само исходное число. Это—признак роста организма. Показатель степени, логарифм, есть символ того закона, по которому совершается рост организма, а «основание» есть тот корень, из которого происходит фиксируемый в данном случае рост. Когда(1+ ) возводится в п–ю степень, это значит, что в данном случае исходная величина органически растет по закону «и», и растет при этом из е. А так как η мыслится здесь становящимся, то каждый раз, т. е. для каждого числа, мы имеем тот или иной вид е, возведенный в соответствующую степень.

Число е есть, мы сказали, набухшая и отяжелевшая единица. Возвести ее в ту или иную степень—значит подчинить ее дальнейшему росту, но росту уже не в смысле дальнейшего разбухания (оно невозможно, так как е уже вместило в себя всю свою инобытийную бесконечность), но росту в смысле оформления по закону того или иного и, т. е. росту в смысле превращения набухающей и напирающей стихии в ту или [иную] положенность и утвержденность в инобытии, как того требует данный показатель степени. Возвести, напр., в ту или иную степень—значит заставить данное число преобразиться так, чтобы оно данное именно число раз повторило себя самого, т. е. отразило на себе эту степень как закон и структуру своего развития. Значит, и нарастающее число е, будучи возводимо в ту или иную степень, переходит уже в инобытие, отражает там на себе эту закономерность, зафиксированную в показателе степени, инобытийно воспроизводится и тем самым теряет энергийно источающуюся стихию смыслового набухания, превращая ее в ту или иную систему инобытийных положенностей. В самом е положенность и утвержденность дана вместе со всей стихией своего энергийно расцветшего становления. Когда же е возведено в ту или иную степень, то е развивается в направлении упорядочения и рационализации энергийного становления уже инобытийного числа; это энергийное становление получает структуру числовых полаганий, зафиксированных в показателе степени; и мы получаем инобытийное алгебраическое число, но уже как результат эманации из трансцедентного. Это и значит, что число е, возведенное в ту или иную степень, даст нам то или иное конечное число. И вот почему оно—основание тех логарифмов, которые с полным правом можно назвать натуральными логарифмами. Вот почему наиболее естественно именно такое основание, хотя на первый взгляд оно и кажется чересчур сложным, чтобы быть естественным. Рассматривая всякое число через натуральный логарифм, мы рассматриваем его как эманацию трансцедентности.

7. а) До сих пор мы занимались одной основной формой эманации трансцедентного, или наполненного, предела е. Существует, однако, еще два основных предела, связанных с е чисто диалектически, хотя в математике они выражены в более частном виде. Чтобы их назвать, продолжим нашу диалектику предела.

Мы имели предельную эманацию вообще, и мы получили предел в его конкретной явленности. Дальнейшая диалектика, т. е. дальнейшее противопоставление новому инобытию, должна привести к переконструированию полученной конкретно–явленной эманации. Отличая от нового инобытия и проводя, как обычно, границу, отделяющую этот конкретно–явленный предел от окружающего его инобытия, мы, по общим законам диалектики, получаем данную эманативную выраженность уже как некую дробимую величину, получаем различенность и, след., оформленность внутри нее самой. Наша энергийно–софийная субстанция единичности должна получить определенное оформление, в то время как до сих пор речь шла только об ее сущностном становлении вообще. Сущностное становление должно превратиться в сущностно ставшее, и тогда перед нами предстанет единичность не только как энергийность вообще, но как определенным образом очерченная и сформированная энергийность. Становление—всегда растекается; и сущностное становление, отличаясь от вещественного отсутствием убыли и дробления, совершенно не отличается от него своим алогизмом и непрерывно–сплошной текучестью. Подобно тому, как бытие и небытие в синтезе дают становление, само становление и новое инобытие дают ставшее. Противоположность становления ведет его к остановке, но не к той остановке, которая есть уже в первоначальной категории бытия (тут, собственно говоря, не остановка становления, а его полное отсутствие), а к той остановке, которая есть результат становления и вмещает его в себя в виде порожденных им новых смысловых моментов. Поэтому ставшее и есть синтез становления и его (принадлежащего становлению) инобытия. А ставшее в области чисто смысловой есть то, что получилось в результате становления смысла, в результате движений, происходящих в сфере смысла. Движение же и становление смысла есть, как мы хорошо знаем; его разрисовка, возникновение очертаний, фигуры, рождение смыслового лика и цельного образа. Поэтому ставшее в области смысла есть смысловая, умная очерченность и фигурностъ, оформленность как явленный лик и образ. Эта фигурность и образность может быть дана с разной степенью самостоятельности.

b) Яснее всего и ближе всего к полученной структуре предела е является тот предел, который всецело еще связан с внутренним содержанием энергийно–софийной единицы, но который уже рисует отношение этого содержания к возможной его очерченности, или границе. Это отношение получает разную форму в зависимости от того, в каком виде или, вернее, в какой степени мы будем брать эту очерченность, или границу. Если мы хотим взять диалектическую противоположность энергийно–софийной единицы, то мы не можем воспользоваться уже готовой очерченностью этой единицы. Готовая и полная, цельная очерченность свидетельствует скорее о некоем синтезе, чем об антитезисе. Противоположностью для энергийной единицы является ее граница, но не полная и законченная, а граница, данная в своем становлении и даже лучше, если—в своем возникновении. С другой стороны, эта граница, законченная или возникающая, не может тут браться в своей голой изолированности, подобно тому, напр., как такой границей являлся нуль (граница положительного и отрицательного числа). Там мы брали голую положенность числа, и в зависимости от этого граница была тоже как бы голая и внутренне пустая. Здесь же мы взяли положенность числа вместе с его богатым, и притом совершенно специфическим, содержанием. Оттого и граница явится здесь более густой; она связана с внутренним содержанием числа и есть не что иное, как особый тип отношения принципа границы к построению внутреннего содержания.

c) Спрашивается: если понимать число как внутренне энергийнонаполненную стихию и брать очертание этой стихии, не упуская из виду ее внутреннего содержания, то в каком виде должна предстать эта граница и какое отношение существует между так понимаемой возникающей границей и так понимаемым возникающим содержанием?

Ответом на этот вопрос является одно из самых элементарных положений общей диалектики. Пока нет границы, гласит это положение, нет никакого отличия от инобытия, а пока нет никакого отличия от инобытия, нет и того, что именно отличается от инобытия, нет самого предмета определения. Проведение границы для ограничиваемого, стало быть, есть первое создание самого этого ограничиваемого, первое его зарождение и появление. Когда проведена граница, граница не есть ограничиваемое, но, когда она только еще проводится, она ровно ничем не отличается от степени раскрытия ограничиваемого внутреннего содержания. Насколько проведена граница предмета, настолько порождено его внутреннее содержание. Тут весьма интересна диалектика, хотя и обычна: пока совершается самый процесс проведения грацицы, еще нет ничего ни внутреннего, ни внешнего; но, как только замкнулась граница, мгновенно появилась антитеза внутреннего и внешнего и их синтез в факте самой границы. Стало быть, пока граница не замкнута, внутреннее и внешнее с их антитезой и синтезом только еще зарождаются; и в процессе этого зарождения сама внешняя граница и раскрытие внутреннего содержания ограничиваемого еще не дифференцировались, они пока еще вполне тождественны. Нужно только помнить, что так это происходит только в процессе рождения границы и ограничиваемого; и потому не в смысле устойчивого пребывания того и другого, но в смысле проникновения до последней зародышевой формы того и другого—можно [896]896
  Так в рукописи.


[Закрыть]—необходимым является это тождество ограничивающего и ограничиваемого.

8. а) Как эта конструкция дана в математике? В математике, именно в теории пределов, обычно дается учение об одном замечательном пределе, который по своей важности сопоставим даже с пределом е. Правда, этот предел выражен как будто не столь обще, как этого требовала бы развитая только что концепция взаимоотношения ограничиваемого и ограничивающего. Однако это делу нисколько не вредит, так как, несмотря на частный характер этого предела, он выражает как раз предложенную нами концепцию предела. Именно, существует в теории пределов такой предел:

b) Анализируя его с диалектической точки зрения, мы находим следующее. 1) Речь идет прежде всего о синусе. Синус есть мера раскрытия, развертывания угла. Синус свидетельствует о степени раздвинутости сторон, образующих угол; он раскрывает то содержание, которое кроется между сторонами угла. 2) Если χ в этом пределе есть длина дуги, a sinx есть синус угла, соответствующего этой дуге, то вполне правильно будет признать, что χ есть проводимая граница, a sinx есть мера развертываемого внутреннего содержания, получающегося в результате проведения этой границы. 3) Далее, берется отношение между синусом угла и длиной соответствующей дуги; и отношение это берется к тому же не просто как такое, но как предельное отношение, т. е. при том условии, что χ стремится к 0. И длина дуги, и синус соответствующего угла берутся в самом их зарождении или, что все равно, в самом их окончании, т. е. вообще в процессе их становления. 4) И утверждается: этот предел равен 1. Другими словами, sinx их в пределе оказываются равными одно другому, раз отношение между ними в пределе равно 1. Как раз это самое и утверждалось выше, когда говорилось, что в пределе ограничивающее и ограничиваемое вполне тождественны, что проведение внешней границы и раскрытие внутреннего содержания, в смысле предельных процессов, ничем не отличаются одно от другого.

9. а) Учением о пределе отношения синуса угла к длине соответствующей дуги вполне ясно демонстрируется диалектическое учение о становлении границы как о моменте, составляющем антитезис энергийно–выявленной единичности. Но становление должно стать ставшим, чтобы диалектика в данном пункте получила завершение. Ставшее, говорили мы, в сфере смысла есть фигурность смысла. Ставшее, кроме того, т. е. фигурность смысла, мы берем пока не в абсолютной чистоте и самодеятельности, но вместе со стихией энергийно–выявленной единичности. Это ставшее оказывается, таким образом, ставшим границы в условии такого взаимоотношения ее с размерами очерченного границей содержания [897]897
  Так в рукописи.


[Закрыть]. Здесь уже не становящаяся, внешняя граница в ее взаимоотношении с очерчиваемым внутренним содержанием, но законченная, замкнутая граница в ее взаимоотношении со всей целостью очерченного внутреннего содержания. В математике этой диалектической конструкции соответствует число π, определяемое как отношение длины окружности к ее диаметру. Что окружность есть замкнутая граница, это очевидно. Что диаметр указывает на степень раскрытия и растворения или, грубо говоря, просто на размеры окружности, это тоже само собой понятно. Стало быть, π и есть как раз отношение законченной внешней ограниченности к очерченному внутреннему [898]898
  В рукописи: внешнему.


[Закрыть]содержанию, т. е. та самая концепция предела, которая является синтетическим завершением энергийной единичности, получившей, наконец, цельное очертание, сопоставленное со своим внутренним инобытием.

b) Интересен также еще и другой вид представления π как предела, а именно—как площади круга с радиусом, равным 1. Как мы знаем из элементарной геометрии, площадь / правильного вписанного в круг 2m–угольника равняется

Отсюда

если η есть количество удвоений сторон вписанного w–угольника. Если сторона квадрата равняется r√2, т. е., по условию, √2, а, следовательно, площадь его = 2, то отсюда легко вычисляется и само π, равное, как известно, 3,14159265…

с) Это представление π как площади круга с радиусом, равным единице, подчёркивает в π момент выявленности внутреннего содержания, как бы дорастания его до степени явленности, до степени полной и законченной очерченности. Единица в диалектическом смысле есть полагание как таковое. Провести окружность каким бы то ни было радиусом—значит дать некую фигурность, ориентированную на неви–г димый центр, и притом так, что каждый момент этой фйгурности ориентирован совершенно одинаковым образом и фигурность возвращается сама к себе, будучи некоей самодовлеющей явленностью. Провести же окружность радиусом, равным единице, – значит получить фигурность, которая своей внутренней сущностью призвана к тому, Чтобы демонстрировать самодовлеющую явленность энергийной единичности, как бы ее обтекающую выраженную полноту, эманативнофигурную ограниченность и скомпонованность или, если угодно, внешнюю размерность. Число π демонстрирует нам то постоянное отношение, которое существует между этой внешне–эманативной размерной полнотой и внутренним содержанием этой полноты. В наивной форме это и понимается в математике как «предел отношения окружности к диаметру».

Позже мы не раз столкнемся именно с такой интуицией, лежащей в основе построения числа.

d) Между прочим, трансцедентность числа π, в логическом смысле, яснейшим образом вытекает из понимания его как некоей предельной площади. В последнем из приведенных математических выражений мы, с одной стороны, имеем бесконечный рост количества сторон вписанного многоугольника, с другой стороны—бесконечное нарастание его площади. Эти две бесконечности вплетены одна в другую, и потому их результат есть становление становления в пределе, т. е. число трансцедентное.

§ 112. Трансцедентное число (в связи с трансцедентными функциями).

1. Линдеман обобщил бывшую до него теорему о невозможности для числа е быть корнем уравнения, в котором коэффициенты и показатели являются целыми рациональными числами. А именно, он доказал, что в этом случае коэффициенты могут быть любыми, а показатели – различными между собою алгебраическими числами. Частным случаем этой теоремы Линдемана оказывается то, что в уравнении

е ^х= а

числа х и а не могут быть одновременно алгебраическими числами (кроме х = 0, т. е. а= 1). Иначе е в алгебраической степени было бы алгебраическим числом, что после теоремы исключается. Значит, если мы имеем показательную функцию от алгебраического аргумента, то она оказывается числом трансцедентным. Точно так же натуральный логарифм алгебраического числа обязательно есть тоже трансцедентное число. Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что ^ω1, где ω—алгебраическое число, тоже трансцедентно  [899]899
  A. Gelfond. Jor. les nombres transcendentes. Contes Renel. 1929, T. 189, p. 1224. Ср. также – Естеств. и марке. 1930, 1/5, 52 сл.


[Закрыть]. Но из соотношения 1+ e ⁿⁱ= 0 следует, что (—1)' = е ^–n. Следовательно, по Гельфонду, е ^–птоже трансцедентно. Но тогда трансцедентно и е ^п.

2. Все эти заключения (и подобные им) таят под собою ряд неосознанных интуиций, без вскрытия которых невозможно философское понимание предмета.

а) Прежде всего зададим себе вопрос: что значит вообще степень Трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже, в § 118, возведение числа в степень есть его алогический органический рост. Возвести число в степень—это значит повторить его как именно его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его самого в каждом отдельном моменте. Органический рост, это и есть возведение в степень. Но как же это возможно в отношении трансцедентного числа? Ведь трансцедентное число уже вмещает в себе все свое инобытие, т. е. все свои возможные инобытийные самовоспроизведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут мы должны вспомнить, что трансцедентное число вовсе не есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной. Трансцедентное число есть переполнение числа своим инобытием, излияние числа в инобытие, выразительная эманация числа. Отсюда– степень трансцедентного числа только и можно понимать как результат его эманации в инобытии, т. е. как установление какого–нибудь нового числа, инобытийного в отношении данной трансцедентности.

b) Рассуждая таким образом, мы можем получить—в качестве результата эманации трансцедентного, – во–первых, опять все такое же трансцедентное число. Что это значит? Это значит, что из данной трансцедентности эманировало бытие, которое, ставши таковым (т. е. инобытием в отношении данной трансцедентности), само возымело в свою очередь трансцедентные особенности и само стало способным к порождению эманаций. Результатом эманации может быть, во–вторых, и алгебраическое число. Когда трансцедентное число возводится в трансцедентную степень, мы получаем алгебраическое число. Повидимому, тут происходит двойная эманация: с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая, инобытийная, а с другой– поскольку первоначальная трансцедентность возводилась в трансцедентную же степень, то данной эманации хватило не только на продуцирование новой трансцедентности, но и на дальнейшее продуцирование еще алгебраического числа из этой новой трансцедентности. Наконец, результатом эманации может быть и комплексное число. Здесь мы, кажется, тоже имеем дело с двойной эманацией, когда эманированный продукт не только есть инобытие, трансцедентное или алгебраическое, но это инобытие еще и приняло новую форму, именно комплексную.

Итак, та или иная степень трансцедентного числа е есть не что иное, как тот или иной результат эманации числовой трансцедентности.

Изучим некоторые явления из этой области.

3. а) Число е, возведенное в вещественную степень и легко представляемое в виде бесконечного ряда типа Маклорена, для нас менее интересно. Гораздо интереснее здесь мнимые степени. Возводя трансцедентное число в мнимую степень, мы не получаем никакой несуразности и никакого бесполезного нагромождения схоластических терминов, как это всегда кажется неискушенным в диалектике мыслителям. Тут на помощь приходит сама математика, давая замечательные построения в виде Эйлерового представления тригонометрических функций с ίίόмощью мнимых степеней е. Схоластика оборачивается рядом самых обыкновенных и даже самых элементарных математических построений.

b) Именно, если мы возьмем e ^xi, разложим его в ряд, отделим вещественные и мнимые члены, то вещественная часть окажется не чем иным, как разложением cosx, а коэффициент при мнимой части—не чем иным, как разложением sin*; и мы, таким образом, получаем:

e ^xi=cos x + I sin x.

Уже это одно замечательное построение способно вызвать у философствующего некоторый восторг ума. В самом деле, ведь мы же только возводили е в мнимую степень. Откуда же это вдруг всплыли тригонометрические функции?

Прежде всего формулируем, что такое мнимая степень трансцедентности, – независимо ни от каких формул Эйлера.

Мы уже знаем (§ 111а), что степень указывает на органический рост возводимого в степень. Стало быть, трансцедентное должно органически расти и самовоспроизводиться. В какую же сторону оно должно расти? Об этом говорит мнимый показатель степени. Но что такое мнимость? Мнимость есть чисто смысловое оформление вещи (§ 104). Значит, трансцедентность должна расти в сторону своего чисто смыслового оформления; трансцедснтнос испускает из себя эманацию чисто смыслового оформления и воспроизводит себя в нем, как бы покрывает себя прочной броней оформления, облекается в некое внешнее одеяние, облекается выразительным и твердо ощутимым телом. Выразительнотелесная форма как результат эманации трансцедентного—вот что такое мнимая степень трансцедентного.

Что же теперь дает тут математика?

с) Аналитический вывод связи тригонометрических функций с мнимой степенью е указан выше, и он не только внешне элементарен, но он в такой же степени и загадочен и требует какого–нибудь осмысленного уразумения. Нужно сознаться, что математическая схоластика и формализм в данном вопросе особенно постарались сделать свой предмет непонятным, в результате чего формулы Эйлера, можно сказать, просто никто из математиков не понимает, хотя вывести их доступно школьнику.